بنابراین، آخرین قضیه فرما (که اغلب آن را آخرین قضیه فرما می نامند)، که در سال 1637 توسط ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر فرما فرموله شد، ماهیت بسیار ساده ای دارد و برای هرکسی که تحصیلات متوسطه دارد قابل درک است. می گوید که فرمول a به توان n + b به توان n = c به توان n راه حل های طبیعی (یعنی نه کسری) برای n > 2 ندارد. همه چیز ساده و واضح به نظر می رسد، اما بهترین ریاضیدانان و آماتورهای معمولی بیش از سه قرن و نیم با جستجوی راه حل مبارزه کردند.

چرا او اینقدر معروف است؟ حالا ما متوجه می شویم ...



آیا بسیاری از قضایای اثبات شده، اثبات نشده و هنوز اثبات نشده وجود دارد؟ نکته اینجاست که آخرین قضیه فرما نشان دهنده بزرگترین تضاد بین سادگی فرمول و پیچیدگی اثبات است. آخرین قضیه فرما یک مسئله فوق‌العاده دشوار است، و با این حال، فرمول‌بندی آن برای هر کسی با سطح کلاس پنجم قابل درک است. دبیرستان، اما اثبات حتی برای هر ریاضیدان حرفه ای نیست. نه در فیزیک، نه در شیمی، نه در زیست شناسی و نه در ریاضیات، هیچ مسئله ای وجود ندارد که بتوان آن را به این سادگی فرموله کرد، اما برای مدت طولانی حل نشده باقی ماند. 2. از چه چیزی تشکیل شده است؟

بیایید با شلوار فیثاغورثی شروع کنیم جمله بندی واقعاً ساده است - در نگاه اول. همانطور که از دوران کودکی می دانیم، "شلوار فیثاغورثی از همه طرف برابر است." مسئله بسیار ساده به نظر می رسد زیرا بر اساس یک گزاره ریاضی است که همه می دانند - قضیه فیثاغورث: در هر راست گوشهمربعی که بر روی هیپوتانوس ساخته شده است، برابر با مجموعمربع های ساخته شده بر روی پاها

در قرن پنجم قبل از میلاد. فیثاغورث برادری فیثاغورثی را تأسیس کرد. فیثاغورثی‌ها، در میان چیزهای دیگر، سه‌قلوهای صحیح را که برابری x2+y²=z2 را برآورده می‌کردند، مطالعه کردند. آنها ثابت کردند که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد و فرمول های کلی برای یافتن آنها به دست آوردند. آنها احتمالا سعی کرده اند به دنبال سه یا بیشتر بگردند درجات بالا. فیثاغورثی ها که متقاعد شده بودند که این کار مؤثر نبود، تلاش های بیهوده خود را کنار گذاشتند. اعضای اخوان بیشتر فیلسوف و زیباشناس بودند تا ریاضیدان.


یعنی انتخاب مجموعه‌ای از اعداد که تساوی x²+y²=z² را کاملاً برآورده می‌کنند آسان است.

شروع از 3، 4، 5 - در واقع، یک دانش آموز جوان می داند که 9 + 16 = 25.

یا 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عالی است.

و غیره. اگر معادله مشابه x³+y³=z³ را در نظر بگیریم چه می شود؟ شاید چنین اعدادی هم وجود داشته باشد؟




و به همین ترتیب (شکل 1).

بنابراین، معلوم می شود که آنها نیستند. اینجاست که ترفند شروع می شود. سادگی ظاهری است، زیرا اثبات وجود چیزی، بلکه برعکس، عدم وجود آن دشوار است. وقتی نیاز به اثبات وجود راه حل دارید، می توانید و باید به سادگی این راه حل را ارائه دهید.

اثبات غیبت دشوارتر است: مثلاً یکی می گوید: فلان معادله راه حل ندارد. او را در یک گودال بریزیم؟ آسان: بام - و اینجاست، راه حل! (راه حل بدهید). و بس، حریف شکست خورده است. چگونه غیبت را ثابت کنیم؟

بگویید: "من چنین راه حل هایی پیدا نکرده ام"؟ یا شاید خوب به نظر نمی رسید؟ اگر آنها وجود داشته باشند، فقط بسیار بزرگ، بسیار بزرگ، به طوری که حتی یک کامپیوتر فوق قدرتمند هنوز قدرت کافی را نداشته باشد، چه؟ این چیزی است که سخت است.

این را می توان به صورت بصری به این صورت نشان داد: اگر دو مربع با اندازه های مناسب را بردارید و آنها را به مربع های واحد جدا کنید، از این دسته از مربع های واحد یک مربع سوم به دست می آید (شکل 2):


اما بیایید همین کار را با بعد سوم انجام دهیم (شکل 3) - کار نمی کند. مکعب های کافی وجود ندارد، یا مکعب های اضافی باقی مانده است:





اما ریاضیدان قرن هفدهم، پیر دو فرما، فرانسوی، مشتاقانه کاوش کرد معادله کلیایکس n +y n =z n . و در نهایت نتیجه گرفتم: برای n>2 هیچ راه حل عدد صحیحی وجود ندارد. اثبات فرما به طور جبران ناپذیری گم شده است. دست نوشته ها می سوزند! تنها چیزی که باقی می‌ماند اظهارات او در حساب دیوفانتوس است: «من یک مدرک واقعاً شگفت‌انگیز برای این گزاره پیدا کرده‌ام، اما حاشیه‌ها در اینجا بسیار محدود هستند که نمی‌توان آن را دربرداشت».

در واقع به یک قضیه بدون اثبات، فرضیه می گویند. اما فرما به این شهرت دارد که هرگز اشتباه نمی کند. حتی اگر مدرکی دال بر بیانیه ای باقی نگذاشته بود، متعاقباً تأیید شد. علاوه بر این، فرما تز خود را برای n=4 ثابت کرد. بنابراین، فرضیه ریاضیدان فرانسوی به عنوان آخرین قضیه فرما در تاریخ ثبت شد.

پس از فرما، ذهن های بزرگی مانند لئونارد اویلر در جستجوی یک دلیل کار کردند (در سال 1770 او راه حلی برای n = 3 پیشنهاد کرد).

آدرین لژاندر و یوهان دیریکله (این دانشمندان به طور مشترک برای n = 5 در سال 1825 اثبات کردند)، گابریل لام (که اثبات n = 7 را یافت) و بسیاری دیگر. در اواسط دهه 1980 مشخص شد که دنیای علمیدر راه حل نهایی آخرین قضیه فرما است، اما تنها در سال 1993 بود که ریاضیدانان دیدند و باور کردند که حماسه سه قرنی برای یافتن اثبات آخرین قضیه فرما عملاً به پایان رسیده است.

به راحتی نشان داده می شود که برای اثبات قضیه فرما فقط برای n ساده کافی است: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... برای n مرکب، اثبات معتبر باقی می ماند. اما همچنین اعداد اولبی نهایت زیاد...

در سال 1825، با استفاده از روش سوفی ژرمن، ریاضیدانان زن، دیریکله و لژاندر به طور مستقل قضیه n=5 را اثبات کردند. در سال 1839، گابریل لام فرانسوی با استفاده از همین روش، صحت قضیه را برای n=7 نشان داد. به تدریج این قضیه تقریباً برای همه n کمتر از صد ثابت شد.


سرانجام ارنست کومر، ریاضیدان آلمانی، در پژوهشی درخشان نشان داد که با استفاده از روش های ریاضیات قرن نوزدهم، قضیه در نمای کلیقابل اثبات نیست جایزه آکادمی علوم فرانسه، که در سال 1847 برای اثبات قضیه فرما تأسیس شد، بدون اعطا باقی ماند.

در سال 1907، پل ولفسکهل، صنعتگر ثروتمند آلمانی، به دلیل عشق نافرجام تصمیم گرفت جان خود را بگیرد. او مانند یک آلمانی واقعی، تاریخ و زمان خودکشی را تعیین کرد: دقیقاً نیمه شب. در روز آخر وصیت کرد و به دوستان و اقوام نامه نوشت. همه چیز قبل از نیمه شب تمام شد. باید گفت که پل به ریاضیات علاقه داشت. بدون اینکه کاری انجام دهد، به کتابخانه رفت و شروع به خواندن مقاله معروف کومر کرد. ناگهان به نظرش رسید که کومر در استدلال خود اشتباه کرده است. ولفسکل با مدادی در دست شروع به تحلیل این قسمت از مقاله کرد. نیمه شب گذشت، صبح فرا رسید. شکاف در اثبات پر شده است. و دلیل خودکشی اکنون کاملاً مضحک به نظر می رسید. پولس نامه های خداحافظی خود را پاره کرد و وصیت نامه خود را بازنویسی کرد.

او خیلی زود به مرگ طبیعی درگذشت. وارثان کاملاً شگفت زده شدند: 100000 مارک (بیش از 1000000 پوند استرلینگ فعلی) به حساب انجمن علمی سلطنتی گوتینگن واریز شد که در همان سال مسابقه ای را برای جایزه Wolfskehl اعلام کرد. 100000 نمره به کسی که قضیه فرما را اثبات کرد تعلق گرفت. برای رد این قضیه هیچ پنیگی تعلق نگرفت...

اکثر ریاضیدانان حرفه ای جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما را کاری ناامیدکننده می دانستند و قاطعانه از هدر دادن زمان برای چنین تمرین بی فایده ای خودداری می کردند. اما آماتورها یک انفجار داشتند. چند هفته پس از اعلام این خبر، بهمنی از "شواهد" به دانشگاه گوتینگن رسید. پروفسور E.M. Landau که مسئولیتش تجزیه و تحلیل شواهد ارسال شده بود، کارتهایی را بین دانشجویانش توزیع کرد:


عزیز. . . . . . . .

از اینکه نسخه خطی را همراه با اثبات آخرین قضیه فرما برای من ارسال کردید متشکرم. اولین خطا در صفحه ... در ردیف... . به همین دلیل، کل اثبات اعتبار خود را از دست می دهد.
پروفسور E. M. Landau











در سال 1963 پل کوهن با تکیه بر یافته های گودل حل نشدنی یکی از بیست و سه مسئله هیلبرت - فرضیه پیوستگی - را ثابت کرد. چه می شود اگر آخرین قضیه فرما نیز غیر قابل تصمیم گیری باشد؟! اما متعصبان واقعی قضیه بزرگ اصلاً ناامید نشدند. ظهور کامپیوترها ناگهان روش جدیدی برای اثبات به ریاضیدانان داد. پس از جنگ جهانی دوم، تیم هایی از برنامه نویسان و ریاضیدانان آخرین قضیه فرما را برای تمام مقادیر n تا 500، سپس تا 1000 و بعداً تا 10000 اثبات کردند.

در دهه 1980، ساموئل واگستاف حد مجاز را به 25000 رساند و در دهه 1990، ریاضیدانان اعلام کردند که آخرین قضیه فرما برای تمام مقادیر n تا 4 میلیون صادق است. اما اگر حتی یک تریلیون تریلیون را از بی نهایت کم کنید، کوچکتر نمی شود. ریاضیدانان با آمار قانع نمی شوند. برای اثبات قضیه بزرگ به معنای اثبات آن برای همه n رفتن به بی نهایت بود.




در سال 1954، دو دوست جوان ریاضیدان ژاپنی شروع به تحقیق در مورد فرم های مدولار کردند. این فرم‌ها مجموعه‌ای از اعداد را تولید می‌کنند که هر کدام سری خاص خود را دارند. به طور تصادفی، تانیاما این سریال ها را با سریال های تولید شده توسط معادلات بیضی مقایسه کرد. مطابقت داشتند! اما اشکال مدولار اجسام هندسی هستند و معادلات بیضوی جبری هستند. هیچ ارتباطی بین چنین اشیاء متفاوتی پیدا نشده است.

با این حال، پس از آزمایش دقیق، دوستان یک فرضیه را مطرح کردند: هر معادله بیضوی یک دوقلو دارد - یک شکل مدولار، و بالعکس. این فرضیه بود که پایه و اساس یک جهت کامل در ریاضیات شد، اما تا زمانی که فرضیه تانیاما-شیمورا ثابت نشد، کل ساختمان هر لحظه ممکن بود فرو بریزد.

در سال 1984، گرهارد فری نشان داد که راه حل معادله فرما، در صورت وجود، می تواند در برخی از معادله های بیضوی گنجانده شود. دو سال بعد، پروفسور کن ریبت ثابت کرد که این معادله فرضی نمی تواند مشابهی در دنیای مدولار داشته باشد. از این به بعد، آخرین قضیه فرما با حدس تانیاما-شیمورا پیوند ناگسستنی داشت. پس از اثبات مدولار بودن هر منحنی بیضوی، نتیجه می گیریم که معادله بیضوی با جواب معادله فرما وجود ندارد و آخرین قضیه فرما بلافاصله اثبات می شود. اما تا سی سال امکان اثبات فرضیه تانیاما-شیمورا وجود نداشت و امید به موفقیت کمتر و کمتر می شد.

اندرو وایلز در سال 1963، زمانی که تنها ده سال داشت، شیفته ریاضیات بود. هنگامی که او در مورد قضیه بزرگ مطلع شد، متوجه شد که نمی تواند از آن دست بکشد. در دوران دانش آموزی، دانش آموز و فارغ التحصیل، خود را برای این کار آماده کرد.

وایلز پس از اطلاع از یافته های کن ریبت، با سرسختی در اثبات حدس تانیاما-شیمورا غوطه ور شد. او تصمیم گرفت در انزوا و مخفی کاری کامل کار کند. "من فهمیدم که هر چیزی که با آخرین قضیه فرما ربطی دارد نیز همینطور است علاقه بزرگ... تعداد زیادی از تماشاگران عمداً در رسیدن به هدف دخالت می کنند.» هفت سال کار سخت نتیجه داد؛ وایلز سرانجام اثبات حدس تانیاما-شیمورا را تکمیل کرد.

در سال 1993، اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی، اثبات آخرین قضیه فرما را به جهانیان ارائه کرد (وایلز مقاله هیجان انگیز خود را در کنفرانسی در مؤسسه سر آیزاک نیوتن در کمبریج خواند.)، کاری که بیش از هفت سال طول کشید.







در حالی که تبلیغات در مطبوعات ادامه داشت، کار جدی برای تأیید شواهد آغاز شد. قبل از اینکه شواهد دقیق و دقیق تلقی شوند، هر مدرکی باید به دقت بررسی شود. وایلز تابستان بی قراری را در انتظار بازخورد داوران گذراند، به این امید که بتواند تایید آنها را جلب کند. در پایان ماه اوت، کارشناسان این قضاوت را به اندازه کافی ثابت نکردند.

معلوم شد که این تصمیم حاوی یک خطای فاحش است، اگرچه به طور کلی صحیح است. وایلز تسلیم نشد و از متخصص مشهور نظریه اعداد ریچارد تیلور کمک گرفت و قبلاً در سال 1994 اثبات تصحیح شده و بسط قضیه را منتشر کردند. شگفت انگیزترین چیز این است که این کار 130 (!) صفحه در مجله ریاضی "Annals of Mathematics" را اشغال کرده است. اما داستان به همین جا ختم نشد - به نقطه نهایی فقط در سال بعد، 1995 رسید، زمانی که نسخه نهایی و "ایده آل"، از نظر ریاضی، نسخه اثبات منتشر شد.

«...نیم دقیقه بعد از شروع شام جشن به مناسبت تولدش، دستنوشته اثبات کامل را به نادیا تقدیم کردم» (اندرو ولز). آیا هنوز نگفته ام که ریاضیدانان آدم های عجیبی هستند؟






این بار هیچ شکی در شواهد وجود نداشت. دو مقاله تحت دقیق ترین تجزیه و تحلیل قرار گرفتند و در ماه مه 1995 در Annals of Mathematics منتشر شدند.

زمان زیادی از آن لحظه گذشته است، اما هنوز این عقیده در جامعه وجود دارد که آخرین قضیه فرما حل‌ناپذیر است. اما حتی کسانی که در مورد اثبات یافت شده می دانند به کار خود در این جهت ادامه می دهند - تعداد کمی از آنها راضی هستند که قضیه بزرگ به یک راه حل 130 صفحه ای نیاز دارد!

بنابراین، اکنون تلاش بسیاری از ریاضیدانان (عمدتاً آماتور، نه دانشمندان حرفه ای) در جستجوی یک اثبات ساده و مختصر است، اما این راه، به احتمال زیاد، به جایی نخواهد رسید... - » چالش های بشریت

مسائل ریاضی حل نشده توسط بشریت

مشکلات هیلبرت

23 مهمترین مشکلاتریاضیدانان توسط بزرگترین ریاضیدان آلمانی، دیوید هیلبرت، در دومین کنگره بین المللی ریاضیدانان در پاریس در سال 1990 ارائه شدند. سپس این مسائل (شامل مبانی ریاضیات، جبر، نظریه اعداد، هندسه، توپولوژی، هندسه جبری، گروه های دروغ، واقعی و تحلیل جامع, معادلات دیفرانسیل، فیزیک ریاضی، حساب تغییرات و نظریه احتمال، حل نشد. بر این لحظه 16 مسئله از 23 حل شده است. 2 مسئله دیگر ریاضی صحیح نیستند (یکی خیلی مبهم فرموله شده است تا بفهمیم حل شده است یا نه، دیگری که به دور از حل شدن است، فیزیکی است نه ریاضی). از 5 مشکل باقی مانده، دو مشکل به هیچ وجه حل نشده است و سه مشکل فقط برای برخی موارد حل شده است.

مشکلات لاندو

هنوز هم زیاد هستند سوالات بازمربوط به اعداد اول (عدد اول عددی است که فقط دو مقسوم علیه دارد: یک و خود عدد). مهمترین مسائل ذکر شده است ادموند لاندودر پنجمین کنگره بین المللی ریاضی:

اولین مشکل لاندو (مسئله گلدباخ): آیا درست است که هر عدد زوج، بزرگتر از 2 را می توان به عنوان مجموع دو عدد اول و هر عدد فرد بزرگتر از 5 را می توان به عنوان مجموع نمایش داد. سه سادهشماره؟

مشکل دوم لاندو: آیا مجموعه بی نهایت است؟ "دوقلوهای ساده"- اعداد اول که تفاوت آنها 2 است؟
مشکل سوم لاندو(فرضیه لژاندر): آیا درست است که برای هر عدد طبیعی n بین و همیشه یک عدد اول وجود دارد؟
مشکل چهارم لاندو: آیا یک مجموعه نامتناهی از اعداد اول از فرم وجود دارد که n یک عدد طبیعی است؟

چالش های هزاره (مسائل جایزه هزاره)

ساعت هفت است مسائل ریاضی, ساعتو راه حل برای هر کدام از آنها موسسه Clay جایزه 1,000,000 دلار آمریکا را ارائه کرد. مؤسسه Clay با جلب توجه این هفت مسئله به ریاضیدانان، آنها را با 23 مسئله هیلبرت مقایسه کرد که بر روی آنها تأثیر گذاشت. نفوذ بزرگدر مورد ریاضیات قرن بیستم از 23 مسئله هیلبرت، اکثر آنها قبلاً حل شده اند و تنها یک - فرضیه ریمان - در فهرست مسائل هزاره گنجانده شده است. تا دسامبر 2012، تنها یکی از هفت مسئله هزاره (حدس پوانکاره) حل شده است. جایزه حل آن به ریاضیدان روسی گریگوری پرلمن تعلق گرفت که آن را رد کرد.

در اینجا لیستی از این هفت کار آمده است:

شماره 1. برابری کلاس های P و NP

اگر پاسخ یک سوال مثبت باشد سریعبررسی کنید (با استفاده از برخی اطلاعات کمکی به نام گواهی) آیا پاسخ خود (همراه با گواهی) به این سوال درست است یا خیر. سریعپیدا کردن؟ مسائل نوع اول متعلق به کلاس NP، دوم - به کلاس P. مسئله برابری این کلاس ها یکی از مهمترین مسائل در نظریه الگوریتم ها است.

شماره 2. حدس هاج

یک مسئله مهم در هندسه جبری. حدس، کلاس‌های cohomology را در انواع پیچیده تصویری، که توسط زیرشاخه‌های جبری درک می‌شوند، توصیف می‌کند.

شماره 3. حدس پوانکاره (اثبات شده توسط G.Ya. Perelman)

معروف ترین مسئله توپولوژی در نظر گرفته می شود. به‌طور ساده‌تر، بیان می‌کند که هر «شیء» سه‌بعدی که برخی از ویژگی‌های یک کره سه‌بعدی را دارد (مثلاً هر حلقه در داخل آن باید قابل انقباض باشد) باید یک کره تا یک تغییر شکل باشد. جایزه اثبات حدس پوانکاره به ریاضیدان روسی G.Ya Perelman تعلق گرفت که در سال 2002 مجموعه ای از آثار را منتشر کرد که اعتبار حدس پوانکاره از آنها حاصل می شود.

شماره 4. فرضیه ریمان

این فرضیه بیان می کند که همه چیزهای غیر پیش پا افتاده (یعنی داشتن غیر صفر) قسمت خیالی) صفرهای تابع زتای ریمان دارای بخش واقعی 1/2 هستند. فرضیه ریمان در فهرست مسائل هیلبرت هشتم بود.

شماره 5. نظریه یانگ میلز

مسئله ای از حوزه فیزیک ذرات بنیادی. ما باید ثابت کنیم که برای هر گروه سنج فشرده ساده G نظریه کوانتوممعادله یانگ میلز برای یک فضای چهار بعدی وجود دارد و دارای نقص جرم غیر صفر است. این عبارت با داده های تجربی و شبیه سازی های عددی سازگار است، اما هنوز اثبات نشده است.

شماره 6. وجود و هموار بودن جواب های معادلات ناویر-استوکس

معادلات ناویر-استوکس حرکت یک سیال چسبناک را توصیف می کند. یکی از مهمترین مسائل هیدرودینامیک.

شماره 7. حدس توس-سوینرتون-دایر

فرضیه مربوط به معادلات منحنی های بیضوی و مجموعه آنها می باشد تصمیمات منطقی.

تنها چیزی که می دانم این است که من چیزی نمی دانم، اما دیگران نیز این را نمی دانند.
(سقراط، فیلسوف یونان باستان)

به هیچ کس این قدرت داده نمی شود که صاحب ذهن جهانی شود و همه چیز را بداند. با این حال، اکثر دانشمندان، و کسانی که به سادگی عاشق فکر کردن و کاوش هستند، همیشه میل به یادگیری بیشتر، حل اسرار دارند. اما آیا هنوز موضوعات حل نشده ای برای بشریت باقی مانده است؟ پس از همه، به نظر می رسد که همه چیز از قبل روشن است و شما فقط باید دانش به دست آمده در طول قرن ها را به کار ببرید؟

ناامید نشو! هنوز مسائل حل نشده ای در زمینه ریاضیات و منطق وجود دارد که در سال 2000، کارشناسان مؤسسه ریاضیات Clay در کمبریج (ماساچوست، ایالات متحده آمریکا) آنها را در لیستی از به اصطلاح 7 رمز و راز هزاره (مسائل جایزه هزاره) ترکیب کردند. این مشکلات دانشمندان سراسر سیاره را نگران می کند. از آن زمان تا به امروز، هر کسی می تواند ادعا کند که راه حلی برای یکی از مشکلات پیدا کرده است، این فرضیه را ثابت کرده و از میلیاردر بوستون لاندون کلی (که موسسه به نام او نامگذاری شده است) جایزه دریافت کند. وی تاکنون 7 میلیون دلار به این منظور اختصاص داده است. راستی، امروز یکی از مشکلات حل شده است.

بنابراین، آیا برای یادگیری معماهای ریاضی آماده هستید؟

معادلات ناویر-استوکس (تدوین شده در سال 1822)

زمینه: هیدروآئرودینامیک

معادلات مربوط به جریان های آشفته و هوا و همچنین جریان مایعات به عنوان معادلات ناویر-استوکس شناخته می شوند. به عنوان مثال، اگر روی دریاچه ای روی چیزی حرکت کنید، به ناچار امواج در اطراف شما ظاهر می شوند. این نیز صدق می کند حریم هوایی: هنگام پرواز با هواپیما، جریان های متلاطمی نیز در هوا ایجاد می شود.
این معادلات تولید می کنند شرح فرآیندهای حرکت یک سیال چسبناکو وظیفه اصلی تمام هیدرودینامیک ها هستند. برای برخی از موارد خاص، قبلاً راه‌حل‌هایی پیدا شده است که در آن بخش‌هایی از معادلات به‌عنوان تأثیری بر نتیجه نهایی کنار گذاشته می‌شوند، اما به طور کلی، راه‌حل‌هایی برای این معادلات یافت نشده است.
یافتن راه حل برای معادلات و شناسایی توابع صاف ضروری است.

فرضیه ریمان (تدوین شده در سال 1859)

زمینه: نظریه اعداد

مشخص است که توزیع اعداد اول (که فقط بر خودشان و بر یک بخش پذیرند: 2،3،5،7،11...) در بین تمام اعداد طبیعی. از هیچ الگوی پیروی نمی کند
ریمان ریاضیدان آلمانی در مورد این مسئله فکر کرد و فرضیات خود را از نظر تئوری در مورد خواص دنباله اعداد اول موجود مطرح کرد. به اصطلاح اعداد اول زوجی از دیرباز شناخته شده اند - اعداد اول دوقلو، که تفاوت بین آنها 2 است، برای مثال 11 و 13، 29 و 31، 59 و 61. 107، 109 و 113.
اگر چنین خوشه‌هایی پیدا شوند و الگوریتم خاصی استخراج شود، این امر منجر به تغییر انقلابی در دانش ما در زمینه رمزگذاری و پیشرفت بی‌سابقه‌ای در زمینه امنیت اینترنت خواهد شد.

مسئله پوانکاره (در سال 1904 فرموله شد. در سال 2002 حل شد.)

زمینه: توپولوژی یا هندسه فضاهای چند بعدی

ماهیت مشکل در توپولوژی نهفته است و در این واقعیت نهفته است که اگر یک نوار لاستیکی را مثلاً روی یک سیب (کره) بکشید، از نظر تئوری می توان آن را به یک نقطه فشرده کرد و به آرامی آن را بدون بلند کردن حرکت داد. نوار از سطح اما اگر همان نوار دور یک دونات (توروس) کشیده شود، نمی توان نوار را بدون شکستن نوار یا شکستن خود دونات فشرده کرد. آن ها تمام سطح یک کره به سادگی متصل است، در حالی که یک چنبره نیست. وظیفه این بود که ثابت کنیم فقط کره به سادگی متصل است.

نماینده مدرسه هندسی لنینگراد گریگوری یاکولویچ پرلمندریافت کننده جایزه هزاره مؤسسه ریاضیات Clay (2010) برای حل مسئله پوانکاره است. او مدال معروف فیلدز را رد کرد.

فرضیه هاج (تدوین شده در سال 1941)

زمینه: هندسه جبری

در واقعیت، بسیاری از اشیاء هندسی ساده و بسیار پیچیده‌تر وجود دارند. هرچه یک شی پیچیده تر باشد، مطالعه آن دشوارتر است. اکنون دانشمندان رویکردی مبتنی بر استفاده از بخش هایی از یک کل ("آجر") برای مطالعه این شی، به عنوان مثال - یک مجموعه ساخت و ساز، ارائه کرده اند و فعالانه از آنها استفاده می کنند. با دانستن ویژگی های "بلوک های ساختمانی"، می توان به ویژگی های خود شی نزدیک شد.فرضیه هاج در این مورد با خصوصیات خاصی از "آجرها" و اشیاء مرتبط است.
این یک مشکل بسیار جدی در هندسه جبری است: یافتن راه ها و روش های دقیق برای تجزیه و تحلیل اشیاء پیچیده با استفاده از "بلوک های ساختمانی" ساده.

معادلات یانگ میلز (در سال 1954 فرموله شد)

زمینه: هندسه و فیزیک کوانتومی

فیزیکدانان یانگ و میلز دنیای ذرات بنیادی را توصیف می کنند. آنها با کشف ارتباط بین هندسه و فیزیک ذرات، معادلات خود را در زمینه فیزیک کوانتومی نوشتند. در نتیجه راهی برای یکسان سازی تئوری های برهمکنش های الکترومغناطیسی، ضعیف و قوی پیدا شد.
در سطح ریز ذرات، یک اثر "ناخوشایند" ایجاد می شود: اگر چندین میدان به طور همزمان روی یک ذره عمل کنند، اثر ترکیبی آنها دیگر نمی تواند به عمل هر یک از آنها به صورت جداگانه تجزیه شود. این به دلیل این واقعیت است که در این نظریه نه تنها ذرات ماده به یکدیگر جذب می شوند، بلکه خطوط برقزمینه های.
اگرچه معادلات یانگ میلز توسط همه فیزیکدانان جهان پذیرفته شده است، اما نظریه مربوط به پیش بینی جرم ذرات بنیادی به صورت تجربی ثابت نشده است.

فرضیه برچ و سوینرتون-دایر (تدوین شده در سال 1960)

زمینه: جبر و نظریه اعداد

فرضیه مربوط به معادلات منحنی های بیضوی و مجموعه راه حل های منطقی آنها. در اثبات قضیه فرما، منحنی های بیضوی یکی از مهم ترین مکان ها را به خود اختصاص دادند. و در رمزنگاری آنها یک بخش کامل از نام خود را تشکیل می دهند و برخی از استانداردهای امضای دیجیتال روسیه بر اساس آنها هستند.
مشکل این است که شما باید همه راه حل ها را در اعداد صحیح x، y، z توصیف کنید معادلات جبرییعنی معادلات چند متغیر با ضرایب صحیح.

مشکل کوک (تدوین شده در سال 1971)

رشته: منطق ریاضی و سایبرنتیک

به آن «برابری کلاس‌های P و NP» نیز می‌گویند و یکی از مهم‌ترین مسائل در نظریه الگوریتم‌ها، منطق و علوم کامپیوتر است.
آیا فرآیند بررسی صحت راه حل یک مشکل بیشتر از زمان صرف شده برای حل این مشکل می تواند طول بکشد؟(صرف نظر از الگوریتم تأیید)؟
اگر شرایط و الگوریتم‌ها را تغییر دهید، گاهی اوقات برای حل یک مشکل زمان‌های متفاوتی نیاز است. به عنوان مثال: در یک شرکت بزرگ به دنبال یک آشنا هستید. اگر می دانید که او در گوشه ای یا پشت میز نشسته است، پس برای دیدن او یک ثانیه طول می کشد. اما اگر دقیقاً ندانید شی کجاست، زمان بیشتری را برای جستجوی آن صرف خواهید کرد و از همه مهمانان دیدن خواهید کرد.
سوال اصلی این است: تمام مشکلاتی که به راحتی و به سرعت قابل بررسی هستند یا نه، می توانند به راحتی و به سرعت حل شوند؟

ریاضیات، همانطور که ممکن است برای بسیاری به نظر برسد، چندان دور از واقعیت نیست. این مکانیسمی است که با آن می توانیم جهان خود و بسیاری از پدیده ها را توصیف کنیم. ریاضیات همه جا هست. و V.O درست می گفت. کلیوچفسکی که گفت: «تقصیر گلها نیست که مرد نابینا آنها را نمی بیند.».

در نتیجه….

یکی از مشهورترین قضایا در ریاضیات - قضیه بزرگ (آخرین) فرما: аn + bn = cn - به مدت 358 سال قابل اثبات نبود! و تنها در سال 1994، اندرو وایلز بریتانیایی توانست به او راه حلی بدهد.

مسائل حل نشدنی 7 مسئله جالب ریاضی هستند. هر یک از آنها در یک زمان توسط دانشمندان مشهور و معمولاً در قالب فرضیه ارائه شده است. اکنون چندین دهه است که ریاضیدانان در سرتاسر جهان مغز خود را برای حل آنها به کار می گیرند. کسانی که موفق شوند یک میلیون دلار جایزه دریافت خواهند کرد که توسط موسسه Clay ارائه شده است.

موسسه خاک رس

این نامی است که به یک سازمان خصوصی غیرانتفاعی که دفتر مرکزی آن در کمبریج، ماساچوست، داده شده است. این در سال 1998 توسط ریاضیدان هاروارد A. Jaffee و تاجر L. Clay تاسیس شد. هدف این موسسه گسترش و توسعه دانش ریاضی است. برای دستیابی به این هدف، این سازمان به دانشمندان و حامیان مالی تحقیقات امیدوار کننده جوایزی اعطا می کند.

در آغاز قرن بیست و یکم، مؤسسه ریاضیات Clay به کسانی که مسائلی را که به عنوان سخت‌ترین مسائل غیرقابل حل شناخته می‌شوند، حل می‌کردند، جایزه داد و فهرست خود را مسائل جایزه هزاره نامید. از فهرست هیلبرت فقط فرضیه ریمان در آن گنجانده شده است.

چالش های هزاره

لیست موسسه Clay در ابتدا شامل موارد زیر بود:

• فرضیه چرخه هاج;
• معادلات نظریه کوانتومی یانگ میلز;
• حدس پوانکاره;
• مشکل برابری کلاس های P و NP.
• فرضیه ریمان؛
• در مورد وجود و روان بودن راه حل های آن؛
• مشکل توس-سوینرتون-دایر.

این مسائل ریاضی باز بسیار جالب هستند زیرا می توانند پیاده سازی های عملی زیادی داشته باشند.

چیزی که گریگوری پرلمن ثابت کرد

در سال 1900، هانری پوانکاره، دانشمند و فیلسوف معروف، پیشنهاد کرد که هر منیفولد سه بعدی فشرده و بدون مرزی که به سادگی متصل می شود، به یک کره 3 بعدی همومورف است. مدرک او وارد است مورد کلییک قرن است که پیدا نشده است تنها در سالهای 2002-2003، ریاضیدان سن پترزبورگ، G. Perelman، تعدادی مقاله برای حل مسئله پوانکاره منتشر کرد. آنها اثر انفجار بمب را ایجاد کردند. در سال 2010، فرضیه پوانکاره از لیست "مشکلات حل نشده" موسسه Clay حذف شد و به خود پرلمن پیشنهاد شد که پاداش قابل توجهی را دریافت کند، که دومی بدون توضیح دلایل تصمیم خود آن را رد کرد.

قابل درک ترین توضیح در مورد آنچه ریاضیدان روسی توانست اثبات کند را می توان با تصور اینکه آنها یک دیسک لاستیکی را روی یک دونات (توروس) می کشند و سپس سعی می کنند لبه های دایره آن را به یک نقطه بکشند ارائه شود. بدیهی است که این غیر ممکن است. اگر این آزمایش را با توپ انجام دهید موضوع متفاوتی است. در این صورت به نظر می رسد کره سه بعدی حاصل از دیسکی که محیط آن توسط یک بند ناف فرضی به نقطه ای کشیده شده است، در درک سه بعدی خواهد بود. آدم عادی، اما از نظر ریاضی دو بعدی است.

پوانکاره پیشنهاد کرد که کره سه بعدی تنها "شیء" سه بعدی است که سطح آن می تواند به یک نقطه منقبض شود و پرلمن توانست این را ثابت کند. بنابراین، لیست "مشکلات حل نشدنی" امروز شامل 6 مشکل است.

نظریه یانگ میلز

این مسئله ریاضی توسط نویسندگان آن در سال 1954 مطرح شد. فرمول علمی این نظریه به شرح زیر است: برای هر گروه گیج فشرده ساده، کوانتوم نظریه فضاییایجاد شده توسط یانگ و میلز، وجود دارد، و در عین حال نقص جرمی صفر دارد.

صحبت کردن به زبانی که افراد عادی می توانند آن را درک کنند، تعاملات بین آنها اشیاء طبیعی(ذرات، اجسام، امواج و ...) به 4 نوع الکترومغناطیسی، گرانشی، ضعیف و قوی تقسیم می شوند. اکنون سال هاست که فیزیکدانان در تلاش برای ایجاد این هستند نظریه عمومیزمینه های. باید ابزاری برای توضیح همه این تعاملات شود. نظریه یانگ میلز است زبان ریاضی، که با کمک آن می توان 3 مورد از 4 نیروی اصلی طبیعت را توصیف کرد. در مورد جاذبه صدق نمی کند. بنابراین نمی توان تصور کرد که یانگ و میلز موفق به ایجاد نظریه میدانی شده اند.

علاوه بر این، غیر خطی بودن معادلات پیشنهادی حل آنها را بسیار دشوار می کند. برای ثابت های جفت کوچک، می توان آنها را تقریباً در قالب یک سری تئوری اغتشاش حل کرد. با این حال، هنوز مشخص نیست که چگونه می توان این معادلات را تحت جفت قوی حل کرد.

معادلات ناویر استوکس

این عبارات فرآیندهایی مانند جریان هوا، جریان سیال و تلاطم را توصیف می کنند. برای برخی از موارد خاص، راه‌حل‌های تحلیلی برای معادله ناویر-استوکس قبلاً یافت شده است، اما هنوز کسی موفق به انجام این کار برای حالت کلی نشده است. در عین حال، مدل‌سازی عددی برای مقادیر خاص سرعت، چگالی، فشار، زمان و غیره به فرد اجازه می‌دهد تا به نتایج عالی دست یابد. فقط می توانیم امیدوار باشیم که کسی بتواند معادلات ناویر-استوکس را در جهت مخالف اعمال کند، یعنی پارامترها را با استفاده از آنها محاسبه کند یا ثابت کند که هیچ روش حلی وجود ندارد.

مشکل توس-سوینرتون-دایر

مقوله "مسائل حل نشده" نیز شامل فرضیه ای است که توسط دانشمندان انگلیسی دانشگاه کمبریج ارائه شده است. حتی 2300 سال پیش، دانشمند یونان باستان اقلیدس داد توضیحات کاملحل معادله x2 + y2 = z2.

اگر برای هر عدد اول تعداد نقاط منحنی مدول آن را بشماریم، مجموعه بی نهایتی از اعداد صحیح بدست می آید. اگر به طور خاص آن را به یک تابع از یک متغیر مختلط بچسبانید، تابع زتا Hasse-Weil را برای یک منحنی مرتبه سوم دریافت می کنید که با حرف L نشان داده می شود. این تابع حاوی اطلاعاتی در مورد رفتار مدول همه اعداد اول به طور همزمان است. .

برایان برچ و پیتر سوینرتون-دایر حدسی در مورد منحنی های بیضوی ارائه کردند. بر اساس آن، ساختار و کمیت مجموعه راه حل های منطقی آن به رفتار تابع L در واحد مربوط می شود. حدس ثابت نشده توس-سویننرتون-دایر به توصیف معادلات جبری درجه 3 بستگی دارد و تنها معادلات نسبتاً ساده است. به صورت کلیمحاسبه رتبه منحنی های بیضوی

برای درک اهمیت عملی این مشکل، کافی است بگوییم که در رمزنگاری منحنی بیضوی مدرن، یک کلاس کامل از سیستم های نامتقارن مبتنی است و استانداردهای امضای دیجیتال داخلی بر اساس استفاده از آنها است.

برابری کلاس های p و np

اگر بقیه مسائل هزاره کاملاً ریاضی هستند، پس این یکی به نظریه الگوریتم های فعلی مربوط می شود. مسئله مربوط به برابری کلاس‌های p و np که به عنوان مسئله کوک-لوین نیز شناخته می‌شود، می‌تواند به زبان واضح به صورت زیر فرموله شود. بیایید فرض کنیم که پاسخ مثبت به یک سوال خاص را می توان به سرعت به اندازه کافی بررسی کرد، یعنی در زمان چند جمله ای (PT). آیا این درست است که بگوییم پاسخ آن نسبتاً سریع پیدا می شود؟ حتی ساده تر به نظر می رسد: آیا واقعاً بررسی راه حل یک مشکل دشوارتر از یافتن آن نیست؟ اگر برابری کلاس‌های p و np ثابت شود، تمام مسائل انتخاب را می‌توان با PV حل کرد. در حال حاضر بسیاری از کارشناسان در صحت این گفته تردید دارند، اگرچه نمی توانند خلاف آن را ثابت کنند.

فرضیه ریمان

تا سال 1859، هیچ الگویی که نحوه توزیع اعداد اول بین اعداد طبیعی را توصیف کند، شناسایی نشد. شاید به این دلیل بود که علم به مسائل دیگری می پرداخت. با این حال، در اواسط قرن 19، وضعیت تغییر کرد، و آنها به یکی از مرتبط ترین مواردی تبدیل شدند که ریاضیات شروع به مطالعه کرد.

فرضیه ریمان که در این دوره پدیدار شد، این فرض است که الگوی خاصی در توزیع اعداد اول وجود دارد.

امروزه، بسیاری از دانشمندان مدرن بر این باورند که در صورت اثبات، بسیاری از اصول اساسی رمزنگاری مدرن، که اساس بسیاری از مکانیسم‌های تجارت الکترونیک را تشکیل می‌دهند، باید مورد بازنگری قرار گیرند.

طبق فرضیه ریمان، ماهیت توزیع اعداد اول ممکن است به طور قابل توجهی با آنچه در حال حاضر فرض می شود متفاوت باشد. واقعیت این است که تاکنون هیچ سیستمی در توزیع اعداد اول کشف نشده است. به عنوان مثال، مشکل "دوقلوها" وجود دارد که تفاوت آنها 2 است. این اعداد 11 و 13، 29 هستند. سایر اعداد اول خوشه ها را تشکیل می دهند. اینها 101، 103، 107 و غیره هستند. دانشمندان مدتهاست که گمان می کردند که چنین خوشه هایی در میان اعداد اول بسیار بزرگ وجود دارند. اگر آنها پیدا شوند، قدرت کلیدهای رمزنگاری مدرن زیر سوال خواهد رفت.

حدس چرخه هاج

این مشکل هنوز حل نشده در سال 1941 فرموله شد. فرضیه هاج امکان تقریب شکل هر جسمی را با "چسباندن" اجسام ساده با ابعاد بالاتر به هم پیشنهاد می کند. این روش برای مدت طولانی شناخته شده و با موفقیت مورد استفاده قرار گرفته است. با این حال، مشخص نیست که تا چه حد می توان ساده سازی را انجام داد.

اکنون می دانید که در حال حاضر چه مشکلات غیرقابل حلی وجود دارد. آنها موضوع تحقیقات هزاران دانشمند در سراسر جهان هستند. ما فقط می توانیم امیدوار باشیم که آنها در آینده نزدیک حل شوند و آنها استفاده عملیبه بشریت کمک خواهد کرد تا وارد مرحله جدیدی از توسعه فناوری شود.

سلام به همه!

این عقیده وجود دارد که انجام علم امروز سودآور نیست - شما ثروتمند نخواهید شد! اما امیدوارم پست امروز به شما نشان دهد که این موضوع دور از واقعیت است. امروز در حین تمرین به شما خواهم گفت که چگونه تحقیق بنیادی، می توانید یک مبلغ منظم کسب کنید.

در هر مرحله از رشد، هر یک از علوم همواره با تعدادی از مسائل و وظایف حل نشده روبرو بوده است که دانشمندان را به خود مشغول کرده است. فیزیک - همجوشی گرما هسته ای سرد، ریاضیات - فرضیه گلدباخ، پزشکی - درمان سرطان و غیره. برخی از آنها آنقدر مهم هستند (به دلایلی) که برای حل آنها پاداشی وجود دارد. و گاهی اوقات این پاداش بسیار بسیار مناسب است.

در تعدادی از علوم این ثواب می تواند باشد جایزه نوبل. اما آنها آن را برای اکتشافات ریاضی نمی دهند و امروز می خواهم در مورد ریاضیات صحبت کنم.

ریاضیات، ملکه علوم، دریایی از مسائل حل نشده و مسائل جالب را به شما پیشنهاد می کند، اما امروز ما فقط در مورد هفت مورد صحبت خواهیم کرد. آنها همچنین "چالش های هزاره" نامیده می شوند.

به نظر می رسد که وظایف، و حتی وظایف؟ چه چیز خاصی در مورد آنها وجود دارد؟ واقعیت این است که سال هاست راه حلی برای آنها پیدا نشده است و برای حل هر کدام از آنها موسسه Clay وعده 1 میلیون دلار پاداش داده است! موافقم نه کم البته نه جایزه نوبل که تقریباً 1.5 میلیون اندازه است، بلکه خواهد شد.

در اینجا لیست آنها است:

• برابری کلاس های P و NP
• حدس هاج
• حدس پوانکاره (حل شده)
• فرضیه ریمان
• نظریه کوانتومی یانگ میلز
• وجود و هموار بودن جواب های معادلات ناویر-استوکس
• حدس توس-سوینرتون-دایر

بنابراین، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به هر یک از آنها بیندازیم.

1.برابری کلاس های P و NP

این مشکل یکی از مهمترین مشکلات در تئوری الگوریتم ها است و شرط می بندم که بسیاری از شما حداقل به طور غیر مستقیم در مورد آن شنیده اید. این مشکل چیست و ماهیت آن چیست؟ تصور کنید که دسته خاصی از مشکلات وجود دارد که می توانیم به سرعت به آنها پاسخ دهیم، یعنی سریع راه حلی برای آنها پیدا کنیم. در تئوری الگوریتم ها، من این دسته از مسائل را کلاس P می نامم. و یک کلاس از مشکلات وجود دارد که ما می توانیم به سرعت صحت راه حل آنها را بررسی کنیم - این کلاس NP است. و تا به حال معلوم نیست این طبقات برابر هستند یا خیر. یعنی مشخص نیست که حداقل از نظر تئوری می توان الگوریتمی را پیدا کرد که به وسیله آن بتوانیم به سرعت راه حلی برای یک مسئله معین پیدا کنیم و همچنین صحت آن را بررسی کنیم.

نمونه کلاسیک اجازه دهید مجموعه ای از اعداد داده شود، به عنوان مثال: 50، 2، 47، 5، 21، 4، 78، 1. مسئله: آیا می توان از بین این اعداد به گونه ای انتخاب کرد که مجموع آنها 100 شود؟ پاسخ: می توانید مثلاً 50+47+2+1 = 100. بررسی صحت راه حل آسان است. عملیات جمع را چهار بار اعمال کنید و تمام. فقط انتخاب این اعداد مهم است. در نگاه اول، انجام این کار بسیار دشوارتر است. یعنی یافتن راه حل برای یک مشکل دشوارتر از بررسی آن است. از نظر دانش پیش پا افتاده، این درست است، اما از نظر ریاضی ثابت نشده است، و این امید وجود دارد که اینطور نباشد.

و که چی؟ پس اگر معلوم شود که کلاس های P و NP برابر هستند، چه می شود؟ ساده است. برابری کلاس ها به این معنی است که الگوریتم هایی برای حل بسیاری از مسائل وجود دارد که بسیار سریعتر از موارد شناخته شده فعلی هستند (همانطور که در بالا ذکر شد).

طبیعتاً بیش از یک بار تلاش برای اثبات یا رد این فرضیه انجام شد، اما هیچ کدام موفق نبودند. آخرین تلاش وینی دیولالیکار، ریاضیدان هندی بود. به گفته نویسنده بیانیه مشکل، استفان کوک، این راه حل "یک تلاش نسبتا جدی برای حل مشکل P در مقابل NP بود." اما متأسفانه تعدادی خطا در اثبات ارائه شده یافت شد که نویسنده قول اصلاح آنها را داد.

2. حدس هوج

پیچیدگی مجموع اجزای ساده است. در نتیجه مطالعه اشیاء پیچیده، ریاضیدانان روش هایی را برای تقریب آنها با چسباندن اجسام با ابعاد فزاینده به یکدیگر توسعه دادند. اما هنوز مشخص نشده است که تا چه حد می توان این نوع تقریب را انجام داد و ماهیت هندسی برخی از اجسام که در تقریب استفاده می شوند نامشخص است.

3. حدس پوانکاره

حدس پوانکاره در حال حاضر تنها یکی از مشکلات هفت هزاره است که حل شده است. جالب است بدانید که نویسنده این تصمیم هموطن ما گریگوری یاکولوویچ پرلمن بود که او نیز یک نابغه منزوی است. ما می توانیم خیلی و جالب در مورد آن صحبت کنیم، اما اجازه دهید روی خود فرضیه تمرکز کنیم.

فرمولاسیون:

هر منیفولد سه بعدی فشرده و بدون مرزی که به سادگی متصل می شود، به یک کره سه بعدی همومورف است.

یا حدس تعمیم یافته پوانکاره:

برای هر عدد طبیعی n، هر منیفولد بعد n هموتوپی معادل کره ای با بعد n است اگر و فقط اگر با آن همومورف باشد.

به بیان ساده، اصل مشکل این است. اگر یک سیب را برداریم و روی آن را با یک لایه لاستیکی بپوشانیم، با کمک تغییر شکل ها، بدون اینکه فیلم پاره شود، می توانیم سیب را به یک نقطه یا مکعب تبدیل کنیم، اما به هیچ وجه نمی توانیم آن را تبدیل به دونات کنیم. مکعب، کره سه بعدی و حتی فضای سه بعدییکسان با یکدیگر، تا تغییر شکل.

با وجود چنین فرمول ساده ای، این فرضیه برای صدها سال اثبات نشده باقی ماند. اگرچه در ریاضیات، گاهی اوقات، هر چه فرمول ساده تر باشد، اثبات پیچیده تر است (همه ما آخرین قضیه فرما را به یاد داریم).

به رفیق پرلمن برگردیم. این آقا به خاطر امتناع از میلیونی که حقش بود هم معروف است و این جمله را می‌گوید: «چرا به پول شما نیاز دارم اگر تمام جهان در دستانم است؟» من نمی توانستم این کار را انجام دهم. در نتیجه امتناع، یک میلیون تخصیص داده شده به ریاضیدانان جوان فرانسوی و آمریکایی تعلق گرفت.

در نهایت می خواهم به این نکته اشاره کنم که فرضیه پوانکاره مطلقاً کاربرد عملی ندارد (!!!).

4. فرضیه ریمان.

فرضیه ریمان احتمالاً مشهورترین (همراه با فرضیه پوانکاره) از مسائل هفت هزاره است. یکی از دلایل محبوبیت آن در بین افرادی که به طور حرفه ای در ریاضیات فعالیت ندارند این است که فرمول بسیار ساده ای دارد.

تمام صفرهای غیر پیش پا افتاده تابع زتای ریمان دارای قسمت واقعی برابر با ? هستند.

موافقم، خیلی ساده است. و سادگی ظاهری دلیل تلاش های فراوان برای اثبات این فرضیه بود. متاسفانه هنوز نتیجه ای حاصل نشده است.

تعداد زیادی از تلاش های ناموفق برای اثبات فرضیه ریمان تردیدهایی را در مورد اعتبار آن در بین برخی از ریاضیدانان ایجاد کرده است. از جمله جان لیتل وود است. اما درجات شکاکان چندان زیاد نیست و بیشتر جامعه ریاضیات تمایل دارند باور کنند که فرضیه ریمان در نهایت درست است. تایید غیرمستقیم این موضوع، اعتبار تعدادی از گزاره ها و فرضیه های مشابه است.

بسیاری از الگوریتم ها و گزاره ها در نظریه اعداد با این فرض که فرضیه فوق درست است، فرموله شده است. بنابراین، اثبات صحت فرضیه ریمان، شالوده نظریه اعداد را ایجاد خواهد کرد و رد آن، نظریه اعداد را در پایه آن "تکان خواهد داد".

و در نهایت، یکی کاملا معروف، اما بسیار حقیقت جالب. یک بار از دیوید گیلبرت پرسیده شد: "اگر 500 سال بخوابید و بیدار شوید، اولین اقدام شما چه خواهد بود؟" - من می پرسم که آیا فرضیه ریمان ثابت شده است؟

5. نظریه یانگ میلز

یکی از نظریه های گیج فیزیک کوانتومی با گروه سنج غیر آبلی. این نظریهدر اواسط قرن گذشته ارائه شد، اما برای مدت طولانی به عنوان یک تکنیک کاملاً ریاضی که هیچ ارتباطی با ماهیت واقعی اشیا ندارد، در نظر گرفته شد. اما بعدها بر اساس نظریه یانگ میلز، نظریه های اساسی ساخته شد مدل استاندارد- کرومودینامیک کوانتومی و نظریه برهمکنش های ضعیف.

بیان مسأله:

برای هر گروه سنج فشرده ساده، یک نظریه کوانتومی یانگ میلز برای فضا وجود دارد و دارای یک نقص جرم غیر صفر است.

این نظریه کاملاً توسط نتایج آزمایش ها و نتایج مدل سازی رایانه ای تأیید شده است، اما اثبات نظری دریافت نکرده است.

6. وجود و هموار بودن جواب های معادلات ناویر استوکس

یکی از مهمترین مسائل هیدرودینامیک و آخرین مسائل حل نشده مکانیک کلاسیک است.

معادله ناویر-استوکس که با معادلات ماکسول، معادلات انتقال حرارت و غیره تکمیل می شود، برای حل بسیاری از مسائل الکتروهیدرودینامیک، مگنتوهیدرودینامیک، همرفت مایعات و گازها، انتشار حرارتی و غیره استفاده می شود.

معادلات خود سیستمی از معادلات دیفرانسیل جزئی هستند. معادلات از دو بخش تشکیل شده است:

• معادلات حرکت
• معادلات تداوم

یافتن یک راه حل تحلیلی کامل برای معادلات ناویر-استوکس به دلیل غیرخطی بودن و وابستگی شدید آنها به شرایط مرزی و اولیه بسیار پیچیده است.

7. حدس توس-سوینرتون-دایر

آخرین مسئله هزاره، فرضیه برچ-سوینرتون-دایر است.

فرضیه بیان می کند که

رتبه یک منحنی بیضی r بر Q برابر است با مرتبه صفر تابع زتا Hasse-Weil

E(L,s) در نقطه s = 1.

این فرضیه تنها راه نسبتاً ساده برای تعیین رتبه منحنی‌های بیضوی است که به نوبه خود، اهداف اصلی مطالعه هستند. نظریه مدرناعداد و رمزنگاری

این همه مشکلات هزاره است. عذرخواهی می کنم که برخی از مشکلات بسیار کمتر از سایرین پوشش داده شده است. این به دلیل کمبود اطلاعات در مورد این مسائل و عدم امکان کاملاً ساده (بدون درگیر کردن ریاضیات دست و پا گیر و پیچیده) برای ارائه ماهیت آنها است. موسسه Clay برای حل هر مشکل یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد. به دنبال آن برو! این شانس وجود دارد که با پیشرفت علم بنیادین پول خوبی به دست آورید، زیرا از هر هفت مشکل شش مشکل هنوز حل نشده است.