معادله متعارف بیضی شکل دارد

که در آن a محور نیمه اصلی است. ب – محور نیمه فرعی. نقاط F1(c,0) و F2(-c,0)-c نامیده می شوند

الف، ب - نیمه محورهای بیضی.

یافتن کانون‌ها، گریز از مرکز، جهت‌های یک بیضی در صورتی که معادله متعارف آن مشخص باشد.

تعریف هایپربولی ترفندهای هایپربولی.

تعریف. هذلولی مجموعه ای از نقاط روی صفحه ای است که مدول اختلاف فواصل از دو نقطه داده شده که کانون نامیده می شوند، مقدار ثابتی کمتر از فاصله کانون ها است.

طبق تعریف |r1 – r2|= 2a. F1، F2 - کانون های هذلولی. F1F2 = 2c.

معادله متعارف هذلولی. نیمه محورهای هذلولی. ساخت هذلولی در صورتی که معادله متعارف آن شناخته شده باشد.

معادله متعارف:

محور نیمه اصلی یک هذلولی نصف حداقل فاصله بین دو شاخه هذلولی در دو طرف مثبت و منفی محور (چپ و راست نسبت به مبدا) است. برای شعبه ای که در در جنبه مثبت، نیم محور برابر خواهد بود با:

اگر آن را از طریق بخش مخروطی و خارج از مرکز بیان کنیم، این عبارت به شکل زیر در می آید:

یافتن کانون ها، گریز از مرکز، جهات هذلولی، در صورتی که معادله متعارف آن مشخص باشد.

خروج از مرکزیت هایپربولا

تعریف. این نسبت خروج از مرکز هذلولی نامیده می شود که در آن c-

نیمی از فاصله بین کانون ها و نیم محور واقعی است.

با در نظر گرفتن این واقعیت که c2 – a2 = b2:

اگر a = b، e = هذلولی را متساوی الاضلاع (متساوی الاضلاع) می نامند.

جهت های یک هذلولی

تعریف. دو خط مستقیم عمود بر محور واقعی هذلولی که به طور متقارن نسبت به مرکز در فاصله a/e از آن قرار دارند، جهت هذلولی نامیده می شوند. معادلات آنها عبارتند از: .

قضیه. اگر r فاصله یک نقطه دلخواه M از هذلولی تا هر کانونی باشد، d فاصله همان نقطه تا جهت متناظر با این کانون است، آنگاه نسبت r/d یک مقدار ثابت برابر با گریز از مرکز است.

تعریف سهمی. کانون و جهت یک سهمی.

سهمی. سهمی مکان نقاطی است که هر کدام از یک نقطه ثابت معین و از یک خط ثابت معین به یک اندازه فاصله دارند. نکته ای که در مورد آن ما در مورددر تعریف، کانون سهمی نامیده می شود و خط مستقیم، جهت آن است.

معادله متعارف سهمی. پارامتر پارابولا ساخت سهمی.

معادله متعارف سهمی در یک سیستم مختصات مستطیلی: (یا اگر محورها عوض شوند).

ساخت سهمی برای مقدار معینی از پارامتر p به ترتیب زیر انجام می شود:

محور تقارن سهمی را رسم کنید و پاره KF=p را روی آن رسم کنید.

Directrix DD1 از نقطه K عمود بر محور تقارن کشیده شده است.

قطعه KF به نصف تقسیم می شود تا راس 0 سهمی به دست آید.

مجموعه ای از نقاط دلخواه 1، 2، 3، 5، 6 از بالا با فاصله بین آنها به تدریج افزایش می یابد.

از طریق این نقاط، خطوط مستقیم کمکی عمود بر محور سهمی رسم کنید.

در خطوط مستقیم کمکی سری هایی با شعاع بسازید برابر فاصلهاز مستقیم به کارگردان؛

نقاط به دست آمده توسط یک منحنی صاف به هم متصل می شوند.

خطوط مرتبه دوم.
بیضی و معادله متعارف آن. دایره

پس از مطالعه کامل خطوط مستقیم در هواپیماما به بررسی هندسه دنیای دو بعدی ادامه می دهیم. مخاطرات دو برابر شده است و من از شما دعوت می کنم از یک گالری زیبا از بیضی ها، هذلولی ها، سهمی ها بازدید کنید که نمایندگان معمولی هستند. خطوط مرتبه دوم. گشت و گذار در حال حاضر آغاز شده است، و اول اطلاعات مختصردرباره کل نمایشگاه در طبقات مختلف موزه:

مفهوم خط جبری و ترتیب آن

یک خط در هواپیما نامیده می شود جبری، اگر در سیستم مختصات افینمعادله آن شکل دارد، که در آن یک چند جمله ای متشکل از عبارات شکل (- عدد واقعی، - اعداد صحیح غیر منفی) است.

همانطور که می بینید، معادله یک خط جبری شامل سینوس ها، کسینوس ها، لگاریتم ها و دیگر بوموندهای کاربردی نیست. فقط X و Y وارد می شوند اعداد صحیح غیر منفیدرجه.

سفارش خطیبرابر با حداکثر مقدار اصطلاحات موجود در آن است.

با توجه به قضیه مربوطه، مفهوم خط جبری و همچنین ترتیب آن به انتخاب بستگی ندارد. سیستم مختصات افینبنابراین، برای سهولت وجود، فرض می‌کنیم که تمام محاسبات بعدی در آن صورت می‌گیرد مختصات کارتزین.

معادله کلیخط مرتبه دوم دارای فرم، جایی است که - اعداد واقعی دلخواه (مرسوم است که آن را با ضریب دو بنویسند)، و ضرایب در همان زمان برابر با صفر نیستند.

اگر، پس معادله ساده می شود ، و اگر همزمان ضرایب برابر با صفر نباشند، دقیقاً همین است معادله کلی یک خط "مسطح".، که نشان می دهد خط سفارش اول.

بسیاری معنای اصطلاحات جدید را درک کرده اند، اما، با این وجود، برای تسلط 100٪ بر مواد، انگشتان خود را به سوکت می چسبانیم. برای تعیین ترتیب خط، باید تکرار کنید همه شرایطمعادلات آن و پیدا کردن برای هر یک از آنها مجموع درجاتمتغیرهای ورودی

مثلا:

عبارت حاوی "x" تا توان 1 است.
این عبارت حاوی "Y" تا توان 1 است.
هیچ متغیری در عبارت وجود ندارد، بنابراین مجموع توان آنها صفر است.

حالا بیایید بفهمیم که چرا معادله خط را تعریف می کند دومینسفارش:

این عبارت حاوی "x" تا توان 2 است.
جمع دارای مجموع توانهای متغیرها است: 1 + 1 = 2;
این عبارت حاوی "Y" تا توان 2 است.
همه اصطلاحات دیگر - کمتردرجه.

حداکثر مقدار: 2

اگر مثلاً به معادله خود اضافه کنیم، آنگاه مشخص خواهد شد خط مرتبه سوم. بدیهی است که شکل کلی معادله خط مرتبه 3 شامل یک "مجموعه کامل" از اصطلاحات است که مجموع توانهای متغیرهای آن برابر با سه است:
، که در آن ضرایب به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

در صورتی که یک یا چند عبارت مناسب را اضافه کنید که حاوی ، سپس ما قبلاً در مورد آن صحبت خواهیم کرد خطوط سفارش 4، و غیره.

به ویژه هنگام آشنایی با خطوط جبری مرتبه های 3، 4 و بالاتر بیش از یک بار مواجه خواهیم شد. سیستم مختصات قطبی.

با این حال، اجازه دهید به معادله کلی بازگردیم و ساده ترین تغییرات مدرسه را به خاطر بسپاریم. به عنوان مثال، یک سهمی به وجود می آید که معادله آن را می توان به راحتی به یک شکل کلی تقلیل داد، و یک هذلولی با یک معادله معادل. با این حال، همه چیز به این راحتی نیست ...

ضرر قابل توجه معادله کلیاین است که تقریباً همیشه مشخص نیست که کدام خط را تعیین می کند. حتی در ساده ترین حالت، بلافاصله متوجه نمی شوید که این یک هذل گویی است. چنین چیدمان هایی فقط در یک بالماسکه خوب هستند، بنابراین مراقب باشید هندسه تحلیلیدر حال بررسی است کار معمولی معادله خط مرتبه 2 را به شکل متعارف می آورد.

شکل متعارف یک معادله چیست؟

این شکل استاندارد عمومی پذیرفته شده یک معادله است، زمانی که در عرض چند ثانیه مشخص می شود که چه جسم هندسی را تعریف می کند. علاوه بر این، فرم متعارف برای حل بسیاری از موارد بسیار راحت است وظایف عملی. بنابراین، برای مثال، با توجه به معادله متعارف "مسطح" مستقیماولاً بلافاصله مشخص می شود که این یک خط مستقیم است و ثانیاً نقطه متعلق به آن و بردار جهت به راحتی قابل مشاهده است.

بدیهی است که هر خط سفارش 1یک خط مستقیم است در طبقه دوم، دیگر این نگهبان نیست که منتظر ما است، بلکه یک گروه بسیار متنوع تر از 9 مجسمه است:

طبقه بندی خطوط مرتبه دوم

با استفاده از مجموعه خاصی از اقدامات، هر معادله یک خط مرتبه دوم به یکی از اشکال زیر کاهش می یابد:

(و اعداد حقیقی مثبت هستند)

1) - معادله متعارف بیضی؛

2) - معادله متعارف هذلولی.

3) - معادله متعارف سهمی؛

4) – خیالیبیضی

5) - یک جفت خط متقاطع؛

6) - جفت خیالیخطوط متقاطع (با یک نقطه تقاطع معتبر در مبدا)؛

7) - یک جفت خط موازی؛

8) - جفت خیالیخطوط موازی؛

9) - یک جفت خط منطبق.

برخی از خوانندگان ممکن است این تصور را داشته باشند که فهرست ناقص است. به عنوان مثال در نقطه شماره 7 معادله زوج را مشخص می کند مستقیم، موازی با محور، و این سوال پیش می آید: معادله ای که خطوط موازی با محور ارتجاعی را تعیین می کند کجاست؟ پاسخ دهید متعارف در نظر گرفته نمی شود. خطوط مستقیم نشان دهنده همان حالت استاندارد است که 90 درجه چرخیده است و ورودی اضافی در طبقه بندی اضافی است، زیرا اساساً چیز جدیدی را به ارمغان نمی آورد.

بنابراین، نه و تنها نه نوع مختلف از خطوط مرتبه دوم وجود دارد، اما در عمل رایج ترین آنها هستند بیضی، هذلولی و سهمی.

ابتدا بیضی را بررسی می کنیم. طبق معمول روی آن نکاتی تمرکز می کنم که دارند پراهمیتبرای حل مسائل، و اگر به استنتاج دقیق فرمول ها، اثبات قضایا نیاز دارید، لطفاً به عنوان مثال به کتاب درسی بازیلف/آتاناسیان یا الکساندروف مراجعه کنید.

بیضی و معادله متعارف آن

املا... لطفا اشتباهات برخی از کاربران Yandex که علاقه مند به "نحوه ساختن بیضی"، "تفاوت بین بیضی و بیضی" و "غیر مرکزیت یک بیضی" هستند را تکرار نکنید.

معادله متعارف بیضی دارای شکل است که در آن اعداد حقیقی مثبت هستند و . من بعداً تعریف بیضی را بیان خواهم کرد، اما در حال حاضر وقت آن است که از فروشگاه صحبت کردن فاصله بگیریم و یک مشکل رایج را حل کنیم:

چگونه یک بیضی بسازیم؟

بله، فقط آن را بگیرید و فقط آن را بکشید. این کار اغلب اتفاق می افتد و بخش قابل توجهی از دانش آموزان به درستی با نقاشی کنار نمی آیند:

مثال 1

بیضی داده شده توسط معادله را بسازید

راه حل: ابتدا معادله را به کاهش می دهیم شکل متعارف:

چرا آوردن؟ یکی از مزایای معادله متعارف این است که به شما امکان می دهد فوراً تعیین کنید رئوس بیضی، که در نقاطی قرار دارند. به راحتی می توان فهمید که مختصات هر یک از این نقاط معادله را برآورده می کند.

در این مورد :


بخش خطتماس گرفت محور اصلیبیضی
بخش خط – محور فرعی;
عدد تماس گرفت شفت نیمه اصلیبیضی
عدد – محور فرعی.
در مثال ما: .

برای اینکه سریع تصور کنید یک بیضی خاص چگونه به نظر می رسد، کافی است به مقادیر "a" و "be" معادله متعارف آن نگاه کنید.

همه چیز خوب، صاف و زیبا است، اما یک نکته وجود دارد: من نقاشی را با استفاده از برنامه انجام دادم. و شما می توانید نقاشی را با استفاده از هر برنامه ای انجام دهید. با این حال، در واقعیت خشن، یک تکه کاغذ شطرنجی روی میز وجود دارد و موش ها به صورت دایره ای روی دستان ما می رقصند. افراد با استعداد هنری، البته، می توانند بحث کنند، اما شما موش هایی نیز دارید (هر چند کوچکتر). بیهوده نیست که بشریت خط کش، قطب نما، نقاله و سایر وسایل ساده را برای طراحی اختراع کرد.

به همین دلیل، بعید است بتوانیم با دانستن رئوس به دقت بیضی بکشیم. اگر بیضی کوچک باشد، مثلاً با نیم محور، مشکلی ندارد. متناوبا، می توانید مقیاس و بر این اساس، ابعاد نقاشی را کاهش دهید. ولی در مورد کلییافتن نکات اضافی بسیار مطلوب است.

دو روش برای ساخت بیضی وجود دارد - هندسی و جبری. من ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش را دوست ندارم زیرا الگوریتم کوتاه ترین نیست و ترسیم به طور قابل توجهی به هم ریخته است. در مواقع اضطراری لطفا به کتاب درسی مراجعه کنید، اما در واقع استفاده از ابزار جبر بسیار منطقی تر است. از معادله بیضی در پیش نویس به سرعت بیان می کنیم:

سپس معادله به دو تابع تقسیم می شود:
- قوس بالای بیضی را مشخص می کند.
- قوس پایین بیضی را مشخص می کند.

بیضی تعریف شده توسط معادله متعارف با توجه به محورهای مختصات و همچنین نسبت به مبدا متقارن است. و این عالی است - تقارن تقریباً همیشه منادی رایگان است. بدیهی است که کافی است با یک چهارم مختصات سروکار داشته باشیم، بنابراین به تابع نیاز داریم . برای یافتن نقاط اضافی با ابسیسا التماس می شود . بیایید روی سه پیامک روی ماشین حساب ضربه بزنید:

البته، همچنین خوب است که اگر اشتباه جدی در محاسبات انجام شود، بلافاصله در طول ساخت و ساز مشخص می شود.

نقاط روی نقاشی را علامت گذاری کنید (رنگ قرمز)، نقاط متقارنروی کمان های باقی مانده ( رنگ ابی) و با دقت کل شرکت را با یک خط وصل کنید:


بهتر است طرح اولیه را خیلی نازک بکشید و تنها پس از آن با مداد فشار وارد کنید. نتیجه باید یک بیضی کاملا مناسب باشد. به هر حال، دوست دارید بدانید این منحنی چیست؟

تعریف بیضی کانون های بیضی و خروج از مرکز بیضی

بیضی است مورد خاصبیضی شکل کلمه "بیضی" را نباید به معنای فلسطینی فهمید ("کودک بیضی کشید" و غیره). این یک اصطلاح ریاضی است که فرمول بندی دقیقی دارد. هدف این درس در نظر گرفتن تئوری بیضی ها و انواع آنها نیست که در درس استاندارد هندسه تحلیلی عملاً به آنها توجه نمی شود. و مطابق با نیازهای فعلی بیشتر، بلافاصله به تعریف دقیق بیضی می رویم:

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده به نام ترفندهابیضی - از نظر عددی یک کمیت ثابت است برابر طولمحور اصلی این بیضی: .
در این حالت فواصل بین فوکوس ها کمتر از این مقدار است: .

حالا همه چیز واضح تر می شود:

تصور کنید که نقطه آبی در امتداد یک بیضی حرکت می کند. بنابراین، مهم نیست که چه نقطه ای از بیضی را می گیریم، مجموع طول قطعات همیشه یکسان خواهد بود:

بیایید مطمئن شویم که در مثال ما مقدار مجموع واقعاً برابر با هشت است. به طور ذهنی نقطه "um" را در راس سمت راست بیضی قرار دهید، سپس: ، که چیزی است که باید بررسی شود.

روش دیگر ترسیم آن بر اساس تعریف بیضی است. ریاضیات بالاتر گاهی اوقات عامل تنش و استرس است، بنابراین وقت آن است که یک جلسه تخلیه مجدد داشته باشید. لطفاً کاغذ واتمن یا یک ورق مقوای بزرگ بردارید و با دو میخ به میز سنجاق کنید. اینها ترفندهایی خواهند بود. یک نخ سبز به سرهای ناخن بیرون زده ببندید و با مداد آن را تا انتها بکشید. سرب مدادی به نقطه خاصی که متعلق به بیضی است ختم می شود. حالا شروع به حرکت مداد در امتداد کاغذ کنید و نخ سبز را کشیده نگه دارید. روند را ادامه دهید تا به نقطه شروع برگردید ... عالی ... نقاشی توسط دکتر و معلم قابل بررسی است =)

چگونه کانون بیضی را پیدا کنیم؟

در مثال بالا، من نقاط کانونی "آماده" را به تصویر کشیدم و اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را از اعماق هندسه استخراج کنیم.

اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، کانون های آن دارای مختصاتی هستند ، کجاست فاصله از هر کانون تا مرکز تقارن بیضی.

محاسبات ساده تر از ساده هستند:

! مختصات خاص کانون ها را نمی توان با معنی «تسه» شناسایی کرد!تکرار می کنم که این است DISTANCE از هر کانون تا مرکز(که در حالت کلی لازم نیست دقیقاً در مبدا قرار گیرد).
و بنابراین، فاصله بین کانون ها نیز نمی تواند به موقعیت متعارف بیضی گره بخورد. به عبارت دیگر، بیضی را می توان به مکان دیگری منتقل کرد و مقدار آن بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که کانون ها به طور طبیعی مختصات خود را تغییر می دهند. لطفا درنظر داشته باشید این لحظهدر طول مطالعه بیشتر موضوع

خروج از مرکز بیضی و معنای هندسی آن

خروج از مرکز یک بیضی نسبتی است که می تواند مقادیری در محدوده داشته باشد.

در مورد ما:

بیایید دریابیم که چگونه شکل یک بیضی به خارج از مرکز آن بستگی دارد. برای این راس چپ و راست را اصلاح کنیداز بیضی مورد نظر، یعنی مقدار محور نیمه اصلی ثابت می ماند. سپس فرمول خروج از مرکز به شکل زیر در می آید:

بیایید شروع کنیم به نزدیک کردن مقدار خروج از مرکز به وحدت. این تنها در صورتی امکان پذیر است که . چه مفهومی داره؟ ... ترفندها را به خاطر بسپار . این بدان معنی است که کانون های بیضی در امتداد محور آبسیسا به سمت رئوس کناری "از هم دور می شوند". و از آنجایی که "قطعات سبز لاستیکی نیستند"، بیضی به ناچار شروع به صاف شدن می کند و به سوسیس نازک تر و نازک تری تبدیل می شود که روی یک محور قرار گرفته است.

بدین ترتیب، چگونه ارزش نزدیک ترخروج از مرکز بیضی به وحدت، بیضی کشیده تر است.

حالا بیایید روند مخالف را مدل کنیم: کانون های بیضی به سمت یکدیگر رفتند و به مرکز نزدیک شدند. این بدان معنی است که مقدار ce کمتر و کمتر می شود و بر این اساس، خروج از مرکز به صفر میل می کند: .
در این حالت، برعکس، "قطعات سبز" " شلوغ می شوند" و شروع به "فشار دادن" خط بیضی به بالا و پایین می کنند.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر به آن شباهت دارد... به مورد محدود کننده زمانی که کانون ها با موفقیت دوباره در مبدا متحد می شوند نگاه کنید:

دایره یک حالت خاص از بیضی است

در واقع، در مورد تساوی نیم محورها، معادله متعارف بیضی شکل می گیرد، که به طور انعکاسی به معادله دایره ای با مرکز در مبدا شعاع "a" تبدیل می شود، که از مدرسه به خوبی شناخته شده است.

در عمل، علامت گذاری با حرف «ر» بیشتر استفاده می شود: . شعاع طول یک قطعه است که هر نقطه از دایره با فاصله شعاع از مرکز جدا می شود.

توجه داشته باشید که تعریف بیضی کاملاً صحیح است: کانون ها بر هم منطبق هستند و مجموع طول بخش های منطبق برای هر نقطه روی دایره ثابت است. از آنجایی که فاصله بین کانون ها است، پس خروج از مرکز هر دایره صفر است.

ساخت یک دایره آسان و سریع است، فقط از یک قطب نما استفاده کنید. با این حال، گاهی اوقات لازم است مختصات برخی از نقاط آن را دریابیم، در این مورد ما به روش آشنا می رویم - معادله را به شکل شاد ماتانوف می آوریم:

- عملکرد نیم دایره بالایی؛
- عملکرد نیم دایره پایین.

سپس مقادیر مورد نیاز را پیدا می کنیم، متمایز کردن, ادغام کردنو کارهای خوب دیگر انجام دهید

البته مقاله فقط برای مرجع است، اما چگونه می توان بدون عشق در جهان زندگی کرد؟ کار خلاقانهبرای تصمیم گیری مستقل

مثال 2

معادله متعارف یک بیضی را در صورتی بسازید که یکی از کانون ها و محورهای نیمه فرعی آن شناخته شده باشد (مرکز در مبدا باشد). رئوس، نقاط اضافی را پیدا کنید و یک خط در نقاشی بکشید. خروج از مرکز را محاسبه کنید.

حل و نقاشی در پایان درس

بیایید یک عمل اضافه کنیم:

بیضی را بچرخانید و موازی کنید

اجازه دهید به معادله متعارف بیضی بازگردیم، یعنی به شرایطی که راز آن از اولین ذکر این منحنی ذهن های کنجکاو را عذاب داده است. بنابراین ما به بیضی نگاه کردیم ، اما آیا در عمل امکان برآوردن معادله وجود ندارد ? بالاخره اینجا اما به نظر بیضی هم هست!

این نوع معادله نادر است، اما وجود دارد. و در واقع یک بیضی را تعریف می کند. بیایید ابهام زدایی کنیم:

در نتیجه ساخت و ساز، بیضی بومی ما به دست آمد که 90 درجه چرخیده است. به این معنا که، - این ورودی غیر متعارفبیضی . رکورد!- معادله هیچ بیضی دیگری را تعریف نمی کند، زیرا هیچ نقطه (کانونی) روی محور وجود ندارد که تعریف بیضی را برآورده کند.

قضیه. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، معادله بیضی به شکل زیر است:

اثبات ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم. در مرحله اول، ثابت خواهیم کرد که مختصات هر نقطه ای که روی بیضی قرار دارد، معادله (4) را برآورده می کند. در مرحله دوم، ثابت خواهیم کرد که هر جوابی برای معادله (4) مختصات یک نقطه روی بیضی را به دست می دهد. از این نتیجه خواهد شد که معادله (4) تنها با آن نقاط ارضا می شود هواپیمای مختصات، که روی بیضی قرار دارند. از این و تعریف معادله منحنی نتیجه می شود که معادله (4) معادله یک بیضی است.

1) نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی باشد، یعنی. مجموع شعاع کانونی آن 2a است:

بیایید از فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات استفاده کنیم و از این فرمول برای پیدا کردن شعاع کانونی یک نقطه M استفاده کنیم:

از کجا تهیه کنیم:

بیایید یک ریشه را به سمت راستبرابری و مربع آن:

با کاهش، دریافت می کنیم:

موارد مشابه را ارائه می دهیم، 4 کاهش می دهیم و رادیکال را حذف می کنیم:

.

مربع کردن

براکت ها را باز کنید و کوتاه کنید:

جایی که به دست می آوریم:

با استفاده از برابری (2) به دست می آوریم:

.

با تقسیم آخرین تساوی بر تساوی (4) و غیره به دست می آید.

2) فرض کنید یک جفت اعداد (x,y) معادله (4) را برآورده کند و فرض کنید M(x,y) نقطه متناظر در صفحه مختصات Oxy باشد.

سپس از (4) چنین می شود:

ما این برابری را با عبارت برای شعاع کانونی نقطه M جایگزین می کنیم:

.

در اینجا از برابری (2) و (3) استفاده کردیم.

بدین ترتیب، . به همین ترتیب، .

حال توجه داشته باشید که از برابری (4) نتیجه می شود که

یا غیره ، سپس نابرابری به صورت زیر است:

از اینجا به نوبه خود نتیجه می شود که

از مساوات (5) نتیجه می شود که، i.e. نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی است و غیره.

قضیه ثابت شده است.

تعریف. معادله (4) معادله متعارف بیضی نامیده می شود.

تعریف. محورهای مختصات متعارف یک بیضی را محورهای اصلی بیضی می نامند.

تعریف. مبدأ سیستم مختصات متعارف بیضی را مرکز بیضی می گویند.

بیضیمکان هندسی نقاط یک صفحه نامیده می شود که برای هر یک از آنها مجموع فواصل دو نقطه داده شده از همان صفحه که کانون بیضی نامیده می شود مقدار ثابتی است. برای بیضی، چندین تعریف معادل بیشتر می توان ارائه داد. علاقه مندان می توانند در کتاب های درسی جدی تر هندسه تحلیلی با آنها آشنا شوند. در اینجا فقط اشاره می کنیم که بیضی منحنی است که به صورت برآمدگی بر روی صفحه دایره ای که در صفحه ای که تشکیل می شود به دست می آید. گوشه ی تیزبا یک هواپیما برخلاف دایره، نوشتن معادله بیضی در یک سیستم مختصات دلخواه به شکل "مناسب" ممکن نیست. بنابراین برای یک بیضی ثابت باید یک سیستم مختصات انتخاب کرد تا معادله آن کاملاً ساده باشد. بگذار و کانون بیضی باشد. بیایید مبدا سیستم مختصات را در وسط قطعه قرار دهیم. محور در امتداد این بخش هدایت می شود، محور عمود بر این بخش هدایت می شود

24)هذلولی

از یک درس ریاضی مدرسه می دانیم که منحنی تعریف شده با معادله، جایی که یک عدد است، هذلولی نامیده می شود. با این حال، این یک مورد خاص از هذلولی (هذلولی متساوی الاضلاع) است. تعریف 12. 5 هذلولی مکان نقاط روی صفحه است که برای هر یک از آنهاست قدر مطلقاختلاف فاصله تا دو نقطه ثابت از یک صفحه که کانون هذلولی نامیده می شود، یک مقدار ثابت است. همانطور که در مورد بیضی، برای به دست آوردن معادله هذلولی، یک سیستم مختصات مناسب را انتخاب می کنیم. بیایید مبدا مختصات را در وسط قطعه بین کانون ها قرار دهیم، محور را در امتداد این قطعه هدایت کنیم و محور مختصات را عمود بر آن هدایت کنیم. قضیه 12. 3 فاصله بین کانون ها و هذلولی ها مساوی باشد و قدر مطلق اختلاف فواصل نقطه هذلولی تا کانون ها برابر باشد. سپس هذلولی در سیستم مختصات انتخاب شده در بالا دارای معادله (12.8) است که در آن (12.9) اثبات. نقطه فعلی هذلولی باشد (شکل 12.9). برنج. 12 . 9 . از آنجایی که اختلاف بین دو ضلع مثلث کمتر از ضلع سوم است، پس ، به این معنا که ، . بر اساس آخرین نابرابری، عدد واقعی تعریف شده با فرمول (12.9) وجود دارد. طبق قرارداد، تمرکزها عبارتند از . با استفاده از فرمول (10.4) برای حالت صفحه، با تعریف هذلولی این معادله را به شکل هر دو طرف مربع می نویسیم: پس از آوردن عبارت های مشابه و تقسیم بر 4، به برابری می رسیم. دوباره دو طرف را مربع می کنیم: با باز کردن براکت و آوردن عبارت های مشابه، با در نظر گرفتن فرمول (12.9)، معادله به شکل می رسد. بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم و معادله (12.8) بدست آوریم. معادله (12.8) معادله متعارف هذلولی نامیده می شود. گزاره 12. 3 یک هذلولی دارای دو محور متقارن عمود بر یکدیگر است که یکی از آنها کانون های هذلولی و یک مرکز تقارن را شامل می شود. اگر هذلولی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محورهای تقارن آن هستند

محورهای مختصات و، و مبدأ مرکز تقارن هذلولی است. اثبات اثبات مشابه گزاره 12.1 است. اجازه دهید هذلولی را که در رابطه (12.8) به دست آمده است بسازیم. توجه داشته باشید که به دلیل تقارن، ساختن منحنی فقط در زاویه مختصات اول کافی است. اجازه دهید از معادله متعارف به عنوان یک تابع بیان کنیم، مشروط بر اینکه، و یک نمودار از این تابع بسازید. دامنه تعریف بازه است، تابع به طور یکنواخت رشد می کند. مشتق در کل دامنه تعریف وجود دارد، به جز نقطه. بنابراین، نمودار یک منحنی صاف (بدون گوشه) است. مشتق دوم در تمام نقاط بازه منفی است، بنابراین، نمودار به سمت بالا محدب است. بیایید نمودار را برای وجود مجانبی در . اجازه دهید مجانب معادله داشته باشد. سپس طبق قوانین آنالیز ریاضی عبارت را در زیر علامت حد ضرب می کنیم و بر آن تقسیم می کنیم.

دریافت می کنیم: بنابراین، نمودار تابع دارای مجانبی است. از تقارن هذلولی به دست می آید که آن هم مجانبی است. ماهیت منحنی در مجاورت نقطه نامشخص است، یعنی اینکه آیا نمودار شکل می گیرد یا خیر و بخشی از هذلولی که با آن متقارن است نسبت به محور در این نقطه یک زاویه یا یک هذلولی در این نقطه است - یک منحنی صاف (یک مماس وجود دارد). برای حل این مسئله، از معادله (12.8) به صورت زیر بیان می کنیم: واضح است که این تابع در نقطه، مشتق دارد و در نقطه ای که هذلولی دارای مماس عمودی است. با استفاده از داده های به دست آمده، نموداری از تابع رسم می کنیم (شکل 12.10). برنج. 12 . 10. نمودار یک تابع در نهایت با استفاده از تقارن هذلولی، منحنی شکل 12.11 را به دست می آوریم. برنج. 12 . 11-تعریف هایپربولی 12. 6 نقاط تقاطع هذلولی که با معادله متعارف (12.8) با محور تعریف شده اند، راس هذلولی نامیده می شوند، قطعه بین آنها را محور واقعی هذلول می نامند. پاره محور رده بین نقاط را محور خیالی می گویند. اعداد و به ترتیب نیمه محورهای واقعی و خیالی هذلولی نامیده می شوند. مبدأ مختصات را مرکز آن می گویند. کمیت را خروج از مرکز هذلولی می نامند. تبصره 12. 3 از برابری (12.9) نتیجه می شود که، یعنی برای هذلولی. خروج از مرکز، زاویه بین مجانب را مشخص می کند؛ هر چه به 1 نزدیکتر باشد، این زاویه کوچکتر است. تبصره 12. 4 بر خلاف بیضی، در معادله متعارف هذلولی، رابطه بین کمیت ها و می تواند دلخواه باشد. به ویژه، زمانی که ما یک هذلولی متساوی الاضلاع را دریافت می کنیم که از درس ریاضیات مدرسه شناخته می شود. اگر محورها را بگیریم و آنها را در امتداد نیمسازهای زوایای مختصات چهارم و اول هدایت کنیم، شکلی آشنا دارد (شکل 12.12). برنج. 12 . 12. هذلولی متساوی الاضلاع برای انعکاس در شکل ویژگی های کیفیبرای یک هذلولی، کافی است رئوس آن را شناسایی کنید، مجانب ها را رسم کنید، و یک منحنی صاف که از رئوس عبور می کند، نزدیک به مجانب ها و شبیه به منحنی شکل 12.10 رسم کنید. مثال 12. 4 یک هذلولی بسازید، کانون و خارج از مرکز آن را پیدا کنید. راه حل. بیایید هر دو طرف معادله را بر 4 تقسیم کنیم. معادله متعارف، . مجانبی ترسیم می کنیم و هذلولی می سازیم (شکل 12.13). برنج. 12 . 13. Hyperbola از فرمول (12.9) بدست می آوریم. سپس ترفندها عبارتند از , , . مثال 12. 5 هذلولی بسازید. کانون ها و خارج از مرکز آن را پیدا کنید. راه حل. بیایید معادله را به شکل تبدیل کنیم این معادلهیک معادله متعارف هذلولی نیست، زیرا علائم قبل و مقابل علائم معادله متعارف هستند. با این حال، اگر متغیرها را دوباره طراحی کنیم، آنگاه در متغیرهای جدید معادله متعارف را به دست می آوریم. ، معادله در مختصات اصلی. نیمه محور واقعی برابر با 5 است، یک محور خیالی 2 است. مطابق با این داده ها، ساخت و ساز را انجام می دهیم (شکل 12.14). برنج. 12 . 14. هایپربولا با معادله از فرمول (12.9) به دست می آوریم، کانون ها روی محور واقعی - , , جایی که مختصات در سیستم مختصات اصلی نشان داده شده است.

سهمی

که در دوره مدرسهریاضیات سهمی را با جزئیات کافی مورد مطالعه قرار داد، که طبق تعریف، یک نمودار بود سه جمله ای درجه دوم. در اینجا تعریف دیگری (هندسی) از سهمی ارائه خواهیم داد. تعریف 12. 7 سهمی مکان هندسی نقاط یک صفحه است که برای هر یک از آنها فاصله تا نقطه ثابتی از این صفحه که کانون نامیده می شود برابر است با فاصله تا یک خط مستقیم ثابت که در همان صفحه قرار دارد و به آن خط مستقیم می گویند. سهمی برای بدست آوردن معادله منحنی متناظر با این تعریف، یک سیستم مختصات مناسب را معرفی می کنیم. برای انجام این کار، عمود را از کانون به سمت جهت پایین بیاورید. بیایید مبدا مختصات را در وسط پاره قرار دهیم و محور را در امتداد قطعه طوری هدایت کنیم که جهت آن با جهت بردار منطبق باشد. بیایید محور عمود بر محور را رسم کنیم (شکل 12.15). برنج. 12 . 15 . قضیه 12. 4 بگذارید فاصله بین کانون و جهت سهمی برابر باشد. سپس در سیستم مختصات انتخاب شده سهمی معادله (12.10) اثبات است. در سیستم مختصات انتخاب شده، کانون سهمی نقطه است و جهت مدار دارای معادله است (شکل 12.15). بگذارید نقطه فعلی سهمی باشد. سپس با استفاده از فرمول (10.4) برای صفحه صفحه، پیدا می کنیم فاصله از یک نقطه تا جهاز، طول عمودی است که از نقطه به جهاز کاهش می یابد. از شکل 12.15 واضح است که . سپس با تعریف سهمی، یعنی بیایید دو طرف آخرین معادله را مربع کنیم: جایی که پس از آوردن عبارت های مشابه، معادله (12.10) را به دست می آوریم. معادله (12.10) معادله متعارف سهمی نامیده می شود. گزاره 12. 4 سهمی دارای یک محور تقارن است. اگر سهمی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محور تقارن با محور منطبق است. اثبات به همان روش اثبات ادامه دهید (گزاره های 12.1). نقطه تلاقی محور تقارن با سهمی را رأس سهمی می نامند. اگر متغیرها را دوباره طراحی کنیم، می توان معادله (12.10) را به شکلی نوشت که با معادله سهمی معمول در یک درس ریاضی مدرسه مطابقت دارد. بنابراین، ما یک سهمی را بدون تحقیق اضافی ترسیم می کنیم (شکل 12.16). برنج. 12 . 16. پارابولا مثال 12. 6 سهمی بسازید. تمرکز و کارگردان او را پیدا کنید. راه حل. معادله معادله متعارف سهمی است، . محور سهمی محور است، راس در مبدا است، شاخه های سهمی در امتداد محور هدایت می شوند. برای ساختن، چند نقطه از سهمی را خواهیم یافت. برای این کار مقادیری را به متغیر اختصاص می دهیم و مقادیر را پیدا می کنیم. بیایید امتیاز بگیریم , , . با در نظر گرفتن تقارن حول محور، منحنی رسم می کنیم (شکل 12.17) برنج. 12 . 17. پارابولا، توسط معادله داده شده استتمرکز روی محور در فاصله ای از راس قرار دارد، یعنی دارای مختصاتی است. Directrix یک معادله دارد، یعنی . سهمی مانند یک بیضی دارای خاصیت مرتبط با بازتاب نور است (شکل 12.18). بیایید دوباره این ویژگی را بدون اثبات فرمول بندی کنیم. گزاره 12. 5 بگذارید کانون سهمی، یک نقطه دلخواه سهمی، و یک پرتو با مبدأ آن در نقطه ای موازی با محور سهمی باشد. سپس نرمال به سهمی در نقطه، زاویه تشکیل شده توسط قطعه و پرتو را به نصف تقسیم می کند. برنج. 12 . 18. انعکاس یک پرتو نور از یک سهمی این ویژگی به این معنی است که پرتوی از نور که از کانون خارج می‌شود و از سهمی منعکس می‌شود، به موازات محور این سهمی خواهد رفت. و برعکس، تمام پرتوهایی که از بی نهایت و موازی با محور سهمی می آیند در کانون آن همگرا خواهند شد. این ویژگی به طور گسترده در فناوری استفاده می شود. نورافکن ها معمولا دارای یک آینه هستند که سطح آن با چرخش سهمی حول محور تقارن آن (آینه سهموی) به دست می آید. منبع نور در نورافکن ها در کانون یک سهمی قرار می گیرد. در نتیجه، نورافکن پرتویی از پرتوهای تقریباً موازی نور تولید می کند. از همین ویژگی در دریافت آنتن برای ارتباطات فضایی و در آینه های تلسکوپ استفاده می شود که جریانی از پرتوهای موازی امواج رادیویی یا جریانی از پرتوهای موازی نور را جمع آوری کرده و در کانون آینه متمرکز می کنند.

26) تعریف ماتریس. ماتریس یک جدول مستطیلی از اعداد است که شامل تعداد مشخصی m ردیف و تعداد معینی n ستون است.

مفاهیم اولیه ماتریس: اعداد m و n را مرتبه های ماتریس می گویند. اگر m=n، ماتریس نامیده می شود مربعو عدد m=n ترتیب آن است.

در ادامه، از نماد زیر برای نوشتن ماتریس استفاده می شود:

اگرچه گاهی اوقات در ادبیات این نام ظاهر می شود:

با این حال، برای نشان دادن مختصر یک ماتریس، اغلب از یک استفاده می شود حرف بزرگالفبای لاتین، (مثلا A)، یا علامت ||a ij ||، و گاهی اوقات با توضیح: A=||a ij ||=(a ij) (i=1,2,..., m؛ j=1،2،...n)

اعداد a ij موجود در این ماتریس را عناصر آن می نامند. در ورودی a ij، شاخص اول i به معنای شماره ردیف و شاخص دوم j به معنای شماره ستون است.

به عنوان مثال، ماتریس

این ماتریسی از مرتبه 2×3 است، عناصر آن عبارتند از 11 = 1، 12 = x، 13 = 3، 21 =-2y، ...

بنابراین، ما تعریف ماتریس را معرفی کرده ایم. اجازه دهید انواع ماتریس ها را در نظر بگیریم و تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

انواع ماتریس ها

اجازه دهید مفهوم ماتریس ها را معرفی کنیم: مربع، مورب، واحد و صفر.

تعریف ماتریس مربع: ماتریس مربعیک ماتریس مرتبه n، ماتریس n×n نامیده می شود.

در مورد ماتریس مربع

مفهوم قطرهای اصلی و فرعی معرفی شده است. مورب اصلیماتریس قطری است که از گوشه سمت چپ بالای ماتریس به گوشه سمت راست پایین آن می رود.

مورب جانبیاز همان ماتریس، مورب از گوشه پایین سمت چپ به گوشه بالا سمت راست نامیده می شود.

مفهوم ماتریس مورب: موربیک ماتریس مربع است که در آن تمام عناصر خارج از قطر اصلی برابر با صفر هستند.

مفهوم ماتریس هویت: تنها(گاهی با E نشان داده می شود) یک ماتریس مورب نامیده می شود که ماتریس هایی روی قطر اصلی قرار دارند.

مفهوم ماتریس صفر:خالیماتریسی است که همه عناصر آن صفر هستند.

دو ماتریس A و B اگر اندازه یکسانی داشته باشند (یعنی تعداد سطرهای یکسان و تعداد ستونهای یکسان داشته باشند و عناصر متناظر آنها مساوی باشند) برابر (A=B) گفته می شود. بنابراین، اگر

سپس A=B، اگر a 11 =b 11، a 12 =b 12، a 21 =b 21، a 22 =b 22

ماتریس ها نوع خاص

ماتریس مربع تماس گرفت مثلثی بالا، من چاقم i>j، و مثلثی پایین، من چاقم من

فرم کلیماتریس های مثلثی:

توجه داشته باشید که در میان عناصر مورب ممکن است عناصری برابر با صفر وجود داشته باشد. ماتریس اگر سه شرط زیر وجود داشته باشد، ذوزنقه فوقانی نامیده می شود:

1. برای i>j;

2. چنین چیزی وجود دارد عدد طبیعی r ارضای نابرابری ها ، چی .

3. اگر هر عنصر مورب است، پس همه عناصر خط i-امو تمام خطوط بعدی برابر با صفر هستند.

نمای کلی ماتریس های ذوزنقه ای فوقانی:

در .

در .

در r=n

در r=m=n.

توجه داشته باشید که وقتی r=m=n، ماتریس ذوزنقه ای بالا یک ماتریس مثلثی با عناصر قطری غیر صفر است.

27) اقدامات با ماتریس

اضافه کردن ماتریس

ماتریس های هم اندازه را می توان انباشته کرد.

به مجموع دو ماتریس A و B ماتریس C می گویند که عناصر آن برابر با مجموع عناصر متناظر ماتریس های A و B است و به طور نمادین آن را به این صورت می نویسیم: A+B=C.

به راحتی می توان فهمید که جمع ماتریس ها از قوانین جابجایی و ترکیبی تبعیت می کند:

(A+B)+C=A+(B+C).

هنگام جمع کردن ماتریس ها، ماتریس صفر هنگام جمع اعداد نقش یک صفر معمولی را بازی می کند: A+0=A.

تفریق ماتریس ها

تفاوت بین دو ماتریس A و B هم اندازه در ماتریس C است به طوری که

از این تعریف به دست می آید که عناصر ماتریس C برابر است با اختلاف عناصر متناظر ماتریس های A و B.

تفاوت بین ماتریس های A و B به صورت زیر نشان داده می شود: C=A – B.

3. ضرب ماتریسی

قانون ضرب دو ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید.

حاصل ضرب ماتریس A و ماتریس B ماتریس C=AB نامیده می شود.

قوانین ضرب ماتریس های مستطیلی:

ضرب ماتریس A در ماتریس B در مواردی منطقی است که تعداد ستون های ماتریس A با تعداد ردیف های ماتریس B منطبق باشد.

در نتیجه ضرب دو ماتریس مستطیلی، ماتریسی به دست می آید که به تعداد سطر در ماتریس اول و به تعداد ستون در ماتریس دوم، تعداد سطرها را شامل می شود.

4. ضرب یک ماتریس در یک عدد

وقتی ماتریس A در عدد  ضرب می شود، تمام اعدادی که ماتریس A را تشکیل می دهند در عدد  ضرب می شوند. به عنوان مثال، بیایید ماتریس را در عدد 2 ضرب کنیم. دریافت می کنیم، i.e. هنگام ضرب یک ماتریس در یک عدد، عامل تحت علامت ماتریس "معرفی" می شود.

ماتریس انتقال

ماتریس جابجا شده یک ماتریس AT است که از ماتریس اصلی A با جایگزینی سطرها با ستون ها به دست می آید.

به طور رسمی، ماتریس جابجا شده برای یک ماتریس A با ابعاد m*n یک ماتریس AT با ابعاد n*m است که به صورت AT = A تعریف شده است.

مثلا،

ویژگی های ماتریس های جابجا شده

2. (A + B)T = AT + BT

28) مفهوم تعیین کننده مرتبه n

اجازه دهید یک جدول مربعی به ما داده شود که شامل اعدادی است که در n ردیف افقی و n ردیف عمودی مرتب شده اند. با استفاده از این اعداد طبق قوانین خاصی عدد معینی محاسبه می شود که به آن دترمینال مرتبه n می گویند و به صورت زیر نشان داده می شود:

(1)

ردیف‌های افقی در تعیین‌کننده (1) ردیف نامیده می‌شوند، ردیف‌های عمودی ستون نامیده می‌شوند، اعداد عناصر تعیین‌کننده هستند (شاخص اول به معنی شماره ردیف است، دوم - شماره ستونی که در تقاطع آن عنصر قرار دارد. ؛ i = 1، 2، ...، n؛ j = 1، 2، ...، n). ترتیب یک تعیین کننده تعداد سطرها و ستون های آن است.

یک خط مستقیم فرضی که عناصر تعیین کننده را به هم متصل می کند که هر دو شاخص برای آن یکسان هستند، یعنی. عناصر

مورب اصلی و مورب دیگر مورب ثانویه نامیده می شود.

تعیین کننده مرتبه n عددی است که هست جمع جبری n! عبارت‌ها که هر کدام حاصل ضرب n عنصر آن است، از هر n ردیف و از هر n ستون یک جدول مربعی اعداد، فقط یک مورد گرفته می‌شود، که نیمی از (معین) عبارت‌ها با علامت‌هایشان گرفته می‌شود، و بقیه با نشانه های مخالف

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه تعیین کننده های سه مرتبه اول محاسبه می شوند.

تعیین کننده مرتبه اول خود عنصر است، یعنی.

تعیین کننده مرتبه دوم عددی است که به صورت زیر بدست می آید:

(2)

فرمول (3) نشان می دهد که عبارات گرفته شده با علائم آنها حاصل ضرب عناصر مورب اصلی و همچنین عناصر واقع در راس دو مثلث است که پایه های آنها موازی با آن هستند. با موارد متضاد - اصطلاحاتی که محصول عناصر مورب جانبی هستند و همچنین عناصری هستند که در راس دو مثلث موازی با آن قرار دارند.

مثال 2. تعیین کننده مرتبه سوم را محاسبه کنید:

راه حل. با استفاده از قانون مثلث، دریافت می کنیم

محاسبه تعیین کننده های مرتبه چهارم و بعدی را می توان به محاسبه تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم تقلیل داد. این را می توان با استفاده از ویژگی های تعیین کننده انجام داد. اکنون به بررسی آنها می پردازیم.

ویژگی های تعیین کننده مرتبه n

خاصیت 1. هنگام جایگزینی سطرها با ستون (transposition)، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد، i.e.

خاصیت 2. اگر حداقل یک سطر (ردیف یا ستون) از صفر تشکیل شده باشد، دترمینان برابر با صفر است. اثبات واضح است.

در واقع، پس در هر ترم تعیین کننده یکی از عوامل صفر خواهد بود.

خاصیت 3. اگر دو ردیف موازی مجاور (ردیف یا ستون) در دترمینان جابجا شوند، آنگاه دترمینان علامت خود را به عکس تغییر می‌دهد، یعنی.

خاصیت 4. اگر دترمینان دارای دو سری موازی یکسان باشد، دترمینان برابر با صفر است:

خاصیت 5. اگر دو سری موازی در دترمینان متناسب باشند، دترمینان برابر با صفر است:

خاصیت 6. اگر همه عناصر تعیین کننده که در یک ردیف هستند در یک عدد ضرب شوند، مقدار تعیین کننده با این تعداد بار تغییر می کند:

نتیجه. عامل مشترک موجود در همه عناصر یک ردیف را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد، به عنوان مثال:

خاصیت 7. اگر در یک تعیین کننده همه عناصر یک سری به صورت مجموع دو جمله ارائه شوند، آنگاه برابر با مجموعدو مرحله مقدماتی:

خاصیت 8. اگر حاصل ضرب عناصر متناظر یک سری موازی با یک عامل ثابت به عناصر هر سری اضافه شود، مقدار تعیین کننده تغییر نمی کند:

خاصیت 9. اگر به عناصر ردیف iام اضافه کنیم ترکیب خطیعناصر متناظر چندین سری موازی، سپس مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد:

می توان مینورهای مختلفی از مرتبه اول، دوم و سوم ساخت.