چگونه کوچکترین زاویه مثبت را پیدا کنیم زوایای مثبت و منفی در مثلثات حفاظت از اطلاعات شخصی

آلفا مخفف عدد واقعی است. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید، چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مثال بزنیم مجموعه بی نهایت اعداد طبیعی، سپس نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر ارائه کرد:

ریاضیدانان برای اینکه به وضوح ثابت کنند که حق با آنهاست، روش های مختلفی را ارائه کردند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان شمن هایی که با تنبور می رقصند نگاه می کنم. در اصل، همه آنها به این واقعیت خلاصه می شوند که یا برخی از اتاق ها خالی از سکنه هستند و مهمانان جدید در حال نقل مکان هستند، یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان به بیرون پرتاب می شوند تا جایی برای مهمانان باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب یک داستان فانتزی در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد نامحدودی از بازدیدکنندگان زمان بی نهایتی را می طلبد. بعد از اینکه اولین اتاق را برای مهمان خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می‌توان عامل زمان را به‌طور احمقانه نادیده گرفت، اما این در رده «هیچ قانونی برای احمق‌ها نوشته نشده» خواهد بود. همه چیز به کاری که ما انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با نظریه های ریاضی یا بالعکس.

"هتل بی پایان" چیست؟ هتل بی نهایت هتلی است که همیشه هر تعداد تخت خالی داشته باشد، صرف نظر از اینکه چند اتاق اشغال شده است. اگر تمام اتاق‌های راهروی بی‌پایان «ویزیتور» اشغال شود، راهروی بی‌انتهای دیگری با اتاق‌های «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. علاوه بر این، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده اند. ریاضیدانان نمی توانند از مسائل پیش پا افتاده روزمره فاصله بگیرند: همیشه فقط یک خدا-الله-بودا وجود دارد، فقط یک هتل وجود دارد، فقط یک راهرو وجود دارد. بنابراین ریاضی‌دانان در تلاش هستند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «در غیرممکن‌ها حرکت کرد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا اعداد را خودمان اختراع کردیم؛ اعداد در طبیعت وجود ندارند. بله، طبیعت در شمارش عالی است، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. من به شما خواهم گفت که طبیعت چه فکری می کند. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه اعداد طبیعی وجود داشته باشد. بیایید هر دو گزینه را همانطور که شایسته دانشمندان واقعی است در نظر بگیریم.

گزینه یک «بگذارید به ما داده شود» یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین است، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده است و جایی برای بردن آنها نیست. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا قبلاً آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست می‌توانیم یکی از مجموعه‌ای را که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. بعد از آن می توانیم یکی را از قفسه برداریم و به چیزی که مانده اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت خواهیم کرد. شما می توانید تمام دستکاری های ما را به این صورت بنویسید:

من اعمال را در ضبط کردم سیستم جبرینمادگذاری و در سیستم نمادگذاری که در تئوری مجموعه ها اتخاذ شده است، با فهرستی دقیق از عناصر مجموعه. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان واحد اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی را در قفسه خود داریم. تأکید می کنم - متفاوت هستند، با وجود این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. بیایید یکی از این مجموعه ها را برداریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلا گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. این چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس های "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلفی تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی دیگری را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

از مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود، همانطور که یک خط کش برای اندازه گیری استفاده می شود. حالا تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا مسیر استدلال نادرست را دنبال می‌کنید که توسط نسل‌های مختلف ریاضی‌دانان پا گذاشته شده است. از این گذشته ، کلاس های ریاضی ، اول از همه ، یک کلیشه پایدار از تفکر در ما شکل می دهد و فقط پس از آن به ما اضافه می کند. توانایی های ذهنی(یا برعکس، آزاد اندیشی را از ما سلب می کنند).

یکشنبه 4 آگوست 2019

من داشتم پست نویسی مقاله ای در مورد آن را تمام می کردم و این متن فوق العاده را در ویکی پدیا دیدم:

می خوانیم: «... ثروتمند مبنای نظریریاضیات بابل خصلت کل‌نگر نداشت و به مجموعه‌ای از تکنیک‌های متفاوت و فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل یافت.

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا نگاه کردن به ریاضیات مدرن در همین چارچوب برای ما دشوار است؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً به این نتیجه رسیدم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ماهیت کل نگر ندارد و به مجموعه ای از بخش های نامتجانس کاهش می یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات متفاوت است. اسامی یکسان در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک سری کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای انجام این کار، باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

انشالله زیاد داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. اجازه دهید عناصر این مجموعه را با حرف نشان دهیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان می دهد شماره سریالهر فرد در این انبوه بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "جنس" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آبر اساس جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "افراد" ما اکنون به مجموعه ای از "افراد با ویژگی های جنسیتی" تبدیل شده است. پس از این می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسی اکنون می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک - مرد یا زن. اگر شخصی آن را داشته باشد، آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد، آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس از ریاضیات مدرسه معمولی استفاده می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، به دو زیر مجموعه رسیدیم: زیر مجموعه مردان Bmو زیر مجموعه ای از زنان Bw. ریاضیدانان وقتی نظریه مجموعه ها را در عمل به کار می برند، تقریباً به همان شیوه استدلال می کنند. اما آنها به ما جزئیات نمی دهند، اما به ما می دهند نتیجه تمام شده- «مجموعه ای از افراد شامل زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان است». به طور طبیعی، ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: چقدر ریاضیات در تبدیل های ذکر شده در بالا به درستی اعمال شده است؟ به جرات می توانم به شما اطمینان دهم که اساساً همه چیز به درستی انجام شده است؛ کافی است مبانی ریاضی حساب، جبر بولی و سایر شاخه های ریاضیات را بدانید. آن چیست؟ یک بار دیگر در این مورد به شما خواهم گفت.

در مورد سوپرست ها، می توانید با انتخاب واحد اندازه گیری موجود در عناصر این دو مجموعه، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کنید.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضیات معمولی، نظریه مجموعه ها را به یادگاری از گذشته تبدیل می کنند. نشانه این که همه چیز با نظریه مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان برای نظریه مجموعه ها اختراع کردند زبان خودو نمادهای خود را دارند. ریاضی‌دانان مانند شمن‌ها زمانی عمل می‌کردند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "به درستی" به کار ببرند. آنها این "دانش" را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند.

دوشنبه 7 ژانویه 2019

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نباید بی پایان جستجو کرد اعداد بزرگ، اما بر حسب واحد اندازه گیری.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، شما هنوز هم برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

من قبلاً به شما گفته ام که با کمک آن شمن ها سعی می کنند "" واقعیت را مرتب کنند. آنها چطور این کار را انجام میدهند؟ در واقع تشکیل یک مجموعه چگونه اتفاق می افتد؟

بیایید نگاهی دقیق تر به تعریف مجموعه بیندازیم: "مجموعه ای از عناصر مختلف که به عنوان یک کل واحد تصور می شوند." اکنون تفاوت بین دو عبارت را احساس کنید: «معمولاً قابل تصور» و «معمولاً قابل تصور». اولین عبارت نتیجه نهایی، مجموعه است. عبارت دوم مقدمه ای برای تشکیل انبوه است. در این مرحله، واقعیت به عناصر منفرد («کل») تقسیم می‌شود، که سپس انبوهی از آنها («کل واحد») تشکیل می‌شود. در عین حال، عاملی که ترکیب "کل" را به یک "کل واحد" امکان پذیر می کند به دقت نظارت می شود، در غیر این صورت شمن ها موفق نخواهند شد. به هر حال، شمن ها از قبل می دانند دقیقا چه مجموعه ای را می خواهند به ما نشان دهند.

من روند را با یک مثال به شما نشان می دهم. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن، بخشی از "کل" را انتخاب می کنیم و مجموعه "با کمان" را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، غذای خود را به دست می آورند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد با یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل ها" را با توجه به رنگ ترکیب کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. ما مقدار زیادی "قرمز" گرفتیم. حالا سوال آخر: آیا ست های به دست آمده «با کمان» و «قرمز» یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همینطور خواهد بود.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ ما مجموعه ای از "جامد قرمز با یک جوش و یک کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری در چهار واحد مختلف اندازه گیری صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (جوش)، تزئین (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری به ما اجازه می دهد که به اندازه کافی توصیف کنیم اشیاء واقعیبه زبان ریاضی. این چیزی است که به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. واحدهای اندازه گیری که با آنها "کل" در مرحله مقدماتی متمایز می شود در پرانتز مشخص شده است. واحد اندازه گیری که با آن مجموعه تشکیل می شود از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدهای اندازه گیری برای تشکیل یک مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و استدلال کنند که "بدیهی" است، زیرا واحدهای اندازه گیری بخشی از زرادخانه "علمی" آنها نیست.

با استفاده از واحدهای اندازه گیری، تقسیم یک مجموعه یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

شنبه 30 ژوئن 2018

اگر ریاضیدانان نتوانند مفهومی را به مفاهیم دیگر تقلیل دهند، پس چیزی از ریاضیات نمی فهمند. من پاسخ می دهم: عناصر یک مجموعه چه تفاوتی با عناصر یک مجموعه دیگر دارد؟ پاسخ بسیار ساده است: اعداد و واحدهای اندازه گیری.

امروزه، هر چیزی که ما نمی گیریم متعلق به مجموعه ای است (همانطور که ریاضیدانان به ما اطمینان می دهند). به هر حال، آیا در آینه روی پیشانی خود لیستی از مجموعه هایی که به آنها تعلق دارید را دیدید؟ و من چنین لیستی را ندیده ام. بیشتر می گویم - هیچ چیز در واقعیت برچسبی با لیست مجموعه هایی که این چیز به آنها تعلق دارد ندارد. ست ها همه اختراعات شمن ها هستند. چگونه این کار را انجام می دهند؟ بیایید کمی عمیق تر به تاریخ نگاه کنیم و ببینیم که عناصر این مجموعه قبل از اینکه شمن های ریاضیدان آنها را وارد مجموعه خود کنند چگونه به نظر می رسیدند.

مدتها پیش، زمانی که هیچ کس تا به حال نام ریاضیات را نشنیده بود، و فقط درختان و زحل حلقه داشتند، گله های عظیمی از عناصر وحشی مجموعه ها در میدان های فیزیکی پرسه می زدند (بالاخره، شمن ها هنوز زمینه های ریاضی را اختراع نکرده بودند). آنها چیزی شبیه این به نظر می رسیدند.

بله، تعجب نکنید، از نظر ریاضیات، همه عناصر مجموعه ها بیشتر شبیه به جوجه های دریایی- از یک نقطه، مانند سوزن، واحدهای اندازه گیری در همه جهات بیرون می آیند. برای کسانی که به شما یادآوری می کنم که هر واحد اندازه گیری را می توان به صورت هندسی به عنوان یک قطعه با طول دلخواه و یک عدد به عنوان یک نقطه نشان داد. از نظر هندسی، هر کمیتی را می توان به صورت دسته ای از بخش هایی که به بیرون می چسبند نشان داد طرف های مختلفاز یک نقطه این نقطه نقطه صفر است. من این قطعه از هنر هندسی را نمی کشم (بدون الهام)، اما شما به راحتی می توانید آن را تصور کنید.

چه واحدهای اندازه گیری عنصری از یک مجموعه را تشکیل می دهند؟ انواع چیزهایی که یک عنصر معین را از دیدگاه های مختلف توصیف می کنند. اینها واحدهای اندازه گیری باستانی هستند که اجداد ما از آنها استفاده می کردند و مدتهاست که همه آنها را فراموش کرده اند. اینها واحدهای اندازه گیری مدرنی هستند که اکنون از آنها استفاده می کنیم. اینها همچنین واحدهای اندازه گیری ناشناخته ای هستند که فرزندان ما به آن دست خواهند یافت و از آنها برای توصیف واقعیت استفاده خواهند کرد.

ما هندسه را مرتب کرده ایم - مدل پیشنهادی عناصر مجموعه یک نمایش هندسی واضح دارد. در مورد فیزیک چطور؟ واحدهای اندازه گیری ارتباط مستقیم بین ریاضیات و فیزیک هستند. اگر شمن ها واحدهای اندازه گیری را به عنوان یک عنصر تمام عیار از نظریه های ریاضی تشخیص نمی دهند، این مشکل آنهاست. من شخصا نمی توانم علم واقعی ریاضیات را بدون واحدهای اندازه گیری تصور کنم. به همین دلیل است که در همان ابتدای داستان درباره تئوری مجموعه‌ها، از آن به عنوان عصر حجر صحبت کردم.

اما بیایید به جالب ترین چیز برویم - جبر عناصر مجموعه ها. از نظر جبری، هر عنصر از یک مجموعه، حاصل ضرب (نتیجه ضرب) مقادیر مختلف است.

من عمداً از قراردادهای نظریه مجموعه ها استفاده نکردم، زیرا ما در حال بررسی عنصری از یک مجموعه در محیط طبیعی آن قبل از ظهور نظریه مجموعه هستیم. هر جفت حروف داخل پرانتز مقدار جداگانه‌ای را نشان می‌دهد که شامل یک عدد است که با حرف " n"و واحد اندازه گیری که با حرف نشان داده شده است" آ". شاخص های کنار حروف نشان می دهد که اعداد و واحدهای اندازه گیری متفاوت هستند. یک عنصر از مجموعه می تواند از تعداد نامتناهی کمیت تشکیل شده باشد (چقدر ما و فرزندانمان تخیل کافی داریم). هر براکت به صورت هندسی نشان داده شده است. یک بخش جداگانه در مثال با خارپشت دریایی یک براکت یک سوزن است.

چگونه شمن ها مجموعه هایی را از عناصر مختلف تشکیل می دهند؟ در واقع با واحدهای اندازه گیری یا اعداد. آنها که چیزی از ریاضیات نمی دانند، خارپشت های دریایی مختلف را می گیرند و در جستجوی همان سوزن تکی که در امتداد آن مجموعه ای را تشکیل می دهند، آنها را به دقت بررسی می کنند. اگر چنین سوزنی وجود داشته باشد، پس این عنصر متعلق به مجموعه است، اگر چنین سوزنی وجود نداشته باشد، پس این عنصر از این مجموعه نیست. شمن ها برای ما افسانه هایی در مورد فرآیندهای فکری و کل آن می گویند.

همانطور که ممکن است حدس زده باشید، یک عنصر می تواند به مجموعه های بسیار متفاوتی تعلق داشته باشد. در ادامه به شما نشان خواهم داد که چگونه مجموعه ها، زیرمجموعه ها و دیگر مزخرفات شمنی شکل می گیرند. همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "من را ببند، من در خانه هستم" یا بهتر بگوییم "مطالعات ریاضیات" پنهان می شوند. مفاهیم انتزاعی"، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیر با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اعمال کنید. نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...

و اکنون من جالب ترین سوال را دارم: خطی که فراتر از آن عناصر یک مولتی مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

آلفا مخفف عدد واقعی است. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید، چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی را به عنوان مثال در نظر بگیریم، نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به این شکل نشان داد:

من اعمال را در نماد جبری و در نمادگذاری تئوری مجموعه ها، با فهرستی دقیق از عناصر مجموعه یادداشت کردم. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان واحد اضافه شود.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، به این فکر کنید که آیا مسیر استدلال نادرست را دنبال می‌کنید که توسط نسل‌های مختلف ریاضی‌دانان پا گذاشته شده است. از این گذشته، مطالعه ریاضیات، اول از همه، یک کلیشه پایدار از تفکر را در ما شکل می دهد و تنها پس از آن به توانایی های ذهنی ما می افزاید (یا برعکس، ما را از تفکر آزاد محروم می کند).

یکشنبه 4 آگوست 2019

من داشتم پست نویسی مقاله ای در مورد آن را تمام می کردم و این متن فوق العاده را در ویکی پدیا دیدم:

می خوانیم: «... مبنای نظری غنی ریاضیات بابل، ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون، عاری از یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل یافت.

شنبه 3 آگوست 2019

انشالله زیاد داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. اجازه دهید عناصر این مجموعه را با حرف نشان دهیم آ، زیرنویس با یک شماره نشان دهنده شماره سریال هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "جنس" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آبر اساس جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "افراد" ما اکنون به مجموعه ای از "افراد با ویژگی های جنسیتی" تبدیل شده است. پس از این می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسی اکنون می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک - مرد یا زن. اگر شخصی آن را داشته باشد، آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد، آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس از ریاضیات مدرسه معمولی استفاده می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، به دو زیر مجموعه رسیدیم: زیر مجموعه مردان Bmو زیر مجموعه ای از زنان Bw. ریاضیدانان وقتی نظریه مجموعه ها را در عمل به کار می برند، تقریباً به همان شیوه استدلال می کنند. اما آنها جزئیات را به ما نمی گویند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: چقدر ریاضیات در تبدیل های ذکر شده در بالا به درستی اعمال شده است؟ به جرات می توانم به شما اطمینان دهم که اساساً همه چیز به درستی انجام شده است؛ کافی است مبانی ریاضی حساب، جبر بولی و سایر شاخه های ریاضیات را بدانید. آن چیست؟ یک بار دیگر در این مورد به شما خواهم گفت.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضیات معمولی، نظریه مجموعه ها را به یادگاری از گذشته تبدیل می کنند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضی‌دانان مانند شمن‌ها زمانی عمل می‌کردند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "به درستی" به کار ببرند. آنها این "دانش" را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند.

دوشنبه 7 ژانویه 2019

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

چهارشنبه 4 جولای 2018

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ ما مجموعه ای از "جامد قرمز با یک جوش و یک کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری در چهار واحد مختلف اندازه گیری صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (جوش)، تزئین (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری به ما اجازه می دهد تا اشیاء واقعی را به اندازه کافی در زبان ریاضیات توصیف کنیم.. این چیزی است که به نظر می رسد.

شنبه 30 ژوئن 2018

بله، تعجب نکنید، از نظر ریاضیات، همه عناصر مجموعه ها شبیه خارپشت دریایی هستند - از یک نقطه، مانند سوزن، واحدهای اندازه گیری در همه جهات بیرون می آیند. برای کسانی که به شما یادآوری می کنم که هر واحد اندازه گیری را می توان به صورت هندسی به عنوان یک قطعه با طول دلخواه و یک عدد به عنوان یک نقطه نشان داد. از نظر هندسی، هر کمیت را می توان به صورت دسته ای از بخش هایی که در جهات مختلف از یک نقطه بیرون آمده اند، نشان داد. این نقطه نقطه صفر است. من این قطعه از هنر هندسی را نمی کشم (بدون الهام)، اما شما به راحتی می توانید آن را تصور کنید.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

در درس گذشته، مفاهیم کلیدی همه مثلثات را با موفقیت تسلط یافتیم (یا بسته به اینکه چه کسی تکرار کردیم). این دایره مثلثاتی , زاویه روی یک دایره , سینوس و کسینوس این زاویه ، و همچنین مسلط شد نشانه های توابع مثلثاتی بر اساس ربع . ما با جزئیات به آن مسلط شدیم. روی انگشتان، شاید بتوان گفت.

اما این هنوز کافی نیست. برای موفقیت کاربرد عملیهمه این مفاهیم سادهما به یک مهارت مفید دیگر نیاز داریم. یعنی - درست است کار با گوشه ها در مثلثات بدون این مهارت در مثلثات راهی وجود ندارد. حتی در ابتدایی ترین نمونه ها. چرا؟ بله، زیرا زاویه، عامل کلیدی در تمام مثلثات است! نه نه توابع مثلثاتی، نه سینوس با کسینوس، نه مماس با کوتانژانت، یعنی خود گوشه. بدون زاویه به معنای نداشتن توابع مثلثاتی است، بله...

چگونه با زاویه روی دایره کار کنیم؟ برای این کار باید دو نکته را محکم درک کنیم.

1) چگونهآیا زوایا روی دایره اندازه گیری می شوند؟

2) چیآیا آنها شمارش می شوند (اندازه گیری می شوند)؟

پاسخ سوال اول موضوع درس امروز است. در اینجا و اکنون به طور مفصل به اولین سوال می پردازیم. پاسخ سوال دوم را در اینجا نمی دهم. چون کاملا توسعه یافته است. درست مثل سوال دوم که خیلی لغزنده است، بله.) هنوز وارد جزئیات نمی شوم. این موضوع درس جداگانه بعدی است.

شروع کنیم؟

زوایای یک دایره چگونه اندازه گیری می شوند؟ زوایای مثبت و منفی.

کسانی که عنوان پاراگراف را می خوانند ممکن است از قبل موهایشان سیخ شده باشد. چطور؟! زوایای منفی؟ آیا این حتی ممکن است؟

به منفی شمارهما قبلاً به آن عادت کرده ایم. می‌توانیم آنها را روی محور عددی به تصویر بکشیم: سمت راست صفر مثبت و سمت چپ صفر منفی است. بله، و ما به طور دوره ای به دماسنج خارج از پنجره نگاه می کنیم. به خصوص در زمستان، در سرما.) و پول تلفن در منهای است (یعنی. وظیفه) گاهی می روند. همه اینها آشناست

در مورد گوشه ها چطور؟ به نظر می رسد که زوایای منفی در ریاضیات نیز وجود دارد!همه چیز بستگی به نحوه اندازه گیری این زاویه دارد... نه، نه روی خط اعداد، بلکه روی دایره اعداد! یعنی روی دایره. دایره - در اینجا، آنالوگ خط اعداد در مثلثات است!

بنابراین، زوایای یک دایره چگونه اندازه گیری می شوند؟هیچ کاری نمی توانیم انجام دهیم، ابتدا باید این دایره را ترسیم کنیم.

من این تصویر زیبا را می کشم:

بسیار شبیه به تصاویر درس گذشته است. محور وجود دارد، یک دایره وجود دارد، یک زاویه وجود دارد. اما اطلاعات جدیدی نیز وجود دارد.

من همچنین اعداد 0°، 90°، 180°، 270° و 360° را روی محورها اضافه کردم. حالا این جالب تر است.) این چه نوع اعدادی هستند؟ درست! اینها مقادیر زاویه ای هستند که از سمت ثابت ما که سقوط می کنند اندازه گیری می شوند به محورهای مختصاتبه یاد داریم که سمت ثابت زاویه همیشه محکم به نیمه محور مثبت OX گره خورده است. و هر زاویه ای در مثلثات دقیقاً از این نیم محور اندازه گیری می شود. این نقطه شروع اولیه برای زوایا را باید به طور محکم در نظر داشت. و محورها - آنها در زوایای قائم تلاقی می کنند، درست است؟ بنابراین در هر ربع 90 درجه اضافه می کنیم.

و موارد دیگر اضافه شد فلش قرمز. با یک امتیاز قرمز از عمد است تا چشم را جلب کند. و به خوبی در حافظه من حک شده است. زیرا این باید به طور قابل اعتماد به خاطر سپرده شود.) این پیکان به چه معناست؟

بنابراین معلوم می شود که اگر گوشه خود را بپیچانیم در امتداد فلش با یک به علاوه(در برابر در جهت عقربه های ساعت، با توجه به شماره گذاری چهارم)، سپس زاویه مثبت تلقی خواهد شد!به عنوان مثال، شکل زاویه +45 درجه را نشان می دهد. به هر حال، لطفاً توجه داشته باشید که زوایای محوری 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه نیز در جهت مثبت می‌پیچند! پیکان قرمز را دنبال کنید.

حالا بیایید به تصویر دیگری نگاه کنیم:

اینجا تقریبا همه چیز یکسان است. فقط زوایای روی محورها شماره گذاری می شوند معکوس شد.در جهت عقربه های ساعت. و علامت منفی دارند.) هنوز کشیده شده است فلش آبی همچنین با منهای. این فلش جهت زوایای منفی روی دایره است. او به ما نشان می دهد که اگر ما گوشه خود را عقب بیندازیم در جهت عقربه های ساعت، آن زاویه منفی در نظر گرفته خواهد شد.برای مثال، من زاویه 45- درجه را نشان دادم.

به هر حال، لطفا توجه داشته باشید که شماره گذاری یک چهارم هرگز تغییر نمی کند! فرقی نمی کند که زاویه ها را به مثبت یا منفی منتقل کنیم. همیشه کاملاً خلاف جهت عقربه های ساعت.)

یاد آوردن:

1. نقطه شروع زاویه ها از نیم محور مثبت OX است. با ساعت - "منهای"، در مقابل ساعت - "به علاوه".

2. شماره گذاری ربع ها بدون توجه به جهتی که زوایا در آن محاسبه می شوند همیشه در خلاف جهت عقربه های ساعت است.

به هر حال، برچسب زدن زوایای روی محورهای 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه، 360 درجه، در هر بار کشیدن یک دایره، به هیچ وجه اجباری نیست. این کار صرفاً برای درک موضوع انجام می شود. اما این اعداد باید وجود داشته باشند در سر شماهنگام حل هر مسئله مثلثاتی چرا؟ بله، زیرا این دانش پایه به بسیاری از سوالات دیگر در تمام مثلثات پاسخ می دهد! اکثر سوال اصلی – زاویه ای که ما به آن علاقه مندیم در کدام ربع قرار می گیرد؟ باور کنید یا نه، پاسخ صحیح به این سوال سهم بزرگی از سایر مسائل مثلثاتی را حل می کند. در همین درس اما کمی بعد به این کار مهم (تقسیم زوایا به ربع) می پردازیم.

مقادیر زوایای واقع در محورهای مختصات (0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه و 360 درجه) را باید به خاطر بسپارید! آن را محکم به خاطر بسپارید، تا زمانی که خودکار شود. و هر دو مثبت و منفی.

اما از این لحظه اولین شگفتی ها شروع می شود. و همراه با آنها، سؤالات حیله گر خطاب به من، بله ...) اگر یک زاویه منفی روی یک دایره وجود داشته باشد چه اتفاقی می افتد همزمان با مثبت؟معلوم می شود که همین نکتهروی دایره هم می توان با زاویه مثبت و هم با زاویه منفی نشان داد؟؟؟

کاملا درسته! این است.) به عنوان مثال، زاویه مثبت+270 درجه یک دایره را اشغال می کند همین وضعیت ، همان زاویه منفی 90 درجه است. یا مثلاً زاویه مثبت +45 درجه روی یک دایره خواهد گرفت همین وضعیت ، همان زاویه منفی -315 درجه.

ما به نقاشی بعدی نگاه می کنیم و همه چیز را می بینیم:

به همین ترتیب، زاویه مثبت +150 درجه در همان مکان با زاویه منفی 210- درجه، زاویه مثبت +230 درجه در همان مکان با زاویه منفی 130- درجه سقوط می کند. و غیره…

و حالا چه کاری می توانم انجام دهم؟ دقیقاً چگونه می توان زاویه ها را شمارش کرد، اگر می توانید این کار را به این صورت انجام دهید؟ کدام درسته؟

پاسخ: از هر نظر درسته!ریاضیات هیچ یک از دو جهت را برای شمارش زوایا منع نمی کند. و انتخاب یک جهت خاص فقط به کار بستگی دارد. اگر تکلیف چیزی در متن ساده در مورد علامت زاویه نگوید (مانند "بزرگترین را تعریف کنید منفیگوشه"و غیره)، سپس با زوایایی کار می کنیم که برای ما راحت تر است.

البته مثلا در موضوعات باحالی مثل معادلات مثلثاتیو نابرابری ها، جهت محاسبه زوایا می تواند تاثیر زیادی در پاسخ داشته باشد. و در تاپیک های مربوطه به بررسی این دام ها خواهیم پرداخت.

یاد آوردن:

هر نقطه روی یک دایره را می توان با یک زاویه مثبت یا منفی مشخص کرد. هر کسی! هر چی بخوایم

حالا بیایید به این موضوع فکر کنیم. متوجه شدیم که زاویه 45 درجه دقیقاً با زاویه 315- درجه یکسان است؟ من از کجا متوجه همین 315 شدم° ? نمی توانید حدس بزنید؟ آره! از طریق یک چرخش کامل.) در 360 درجه. زاویه 45 درجه داریم. چه مدت طول می کشد تا یک انقلاب کامل کامل شود؟ 45 را کم کنید° از 360° - بنابراین ما 315 می گیریم° . برویم به جنبه منفی– و زاویه 315- را بدست می آوریم. هنوز مشخص نیست؟ سپس دوباره به تصویر بالا نگاه کنید.

و این باید همیشه هنگام تبدیل زوایای مثبت به منفی (و بالعکس) انجام شود - یک دایره بکشید، علامت بزنید تقریبایک زاویه داده شده، محاسبه می کنیم که چند درجه برای تکمیل یک دور کامل وجود ندارد و اختلاف حاصل را در جهت مخالف حرکت می دهیم. همین است.)

به نظر شما چه چیز دیگری در مورد زوایایی که در یک دایره موقعیت یکسانی دارند جالب است؟ و این واقعیت است که در گوشه و کنار دقیقا همینطور سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت! همیشه!

مثلا:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333° = ctg (-27°)

اما این بسیار مهم است! برای چی؟ بله، همه برای یک چیز!) برای ساده کردن عبارات. زیرا ساده کردن عبارات یک روش کلیدی است راه حل موفق هرتکالیف ریاضی و همچنین در مثلثات.

بنابراین، با قانون کلیما متوجه شدیم که چگونه زاویه های یک دایره را بشماریم. خوب، اگر ما شروع به صحبت در مورد پیچ های کامل، در مورد پیچ های یک چهارم کردیم، وقت آن است که همین گوشه ها را بچرخانیم و بکشیم. بکشیم؟)

بیا شروع کنیم با مثبتگوشه ها ترسیم آنها آسان تر خواهد بود.

زاویه ها را در یک دور (بین 0 تا 360 درجه) رسم می کنیم.

برای مثال زاویه 60 درجه را رسم می کنیم. اینجا همه چیز ساده است، بدون دردسر. محورهای مختصات و یک دایره رسم می کنیم. می توانید این کار را مستقیماً با دست و بدون هیچ قطب نما یا خط کشی انجام دهید. بیایید قرعه کشی کنیم به صورت شماتیک: ما با شما نقشه نمی کشیم. شما نیازی به رعایت GOST ندارید، مجازات نخواهید شد.)

می توانید (برای خودتان) مقادیر زاویه را روی محورها علامت گذاری کنید و فلش را در جهت بگیرید خلاف ساعتپس از همه، ما قصد داریم به عنوان یک مزیت پس انداز کنیم؟) شما مجبور نیستید این کار را انجام دهید، اما باید همه چیز را در ذهن خود نگه دارید.

و حالا ضلع دوم (متحرک) گوشه را رسم می کنیم. در چه سه ماهه؟ البته در اولی! زیرا 60 درجه به شدت بین 0 تا 90 درجه است. بنابراین در کوارتر اول مساوی می کنیم. در یک زاویه تقریبا 60 درجه به سمت ثابت. نحوه شمارش تقریبا 60 درجه بدون نقاله؟ به آسانی! 60 درجه است دو سوم از زاویه راست! شیطان اول دایره را ذهنی به سه قسمت تقسیم می کنیم و دو سوم را برای خودمان می گیریم. و ما ترسیم می کنیم ... واقعاً چقدر به آنجا می رسیم (اگر نقاله را بچسبانید و اندازه بگیرید) - 55 درجه یا 64 - مهم نیست! مهم این است که هنوز جایی باشد حدود 60 درجه.

ما تصویر را دریافت می کنیم:

همین. و هیچ ابزاری لازم نبود. بیایید چشم خود را توسعه دهیم! در مسائل هندسه مفید خواهد بود.) این نقاشی نامطلوب زمانی ضروری است که شما نیاز دارید به سرعت یک دایره و یک زاویه را خط بکشید، بدون اینکه واقعاً به زیبایی فکر کنید. اما در عین حال خط خطی کنید درست، بدون خطا، با همه اطلاعات لازم. به عنوان مثال، مانند کمکهنگام حل معادلات مثلثاتی و نامساوی.

حالا یک زاویه رسم می کنیم، مثلاً 265 درجه. بیایید بفهمیم کجا ممکن است واقع شود؟ خوب، واضح است که نه در سه ماهه اول و نه حتی در دوم: آنها در 90 و 180 درجه به پایان می رسند. می توانید بفهمید که 265 درجه 180 درجه به اضافه 85 درجه دیگر است. یعنی به نیمه محور منفی OX (که در آن 180 درجه است) باید اضافه کنید تقریبا 85 درجه یا حتی ساده تر، حدس بزنید که 265 درجه به نیمه محور منفی OY (که 270 درجه است) به 5 درجه تاسف بار نمی رسد. به طور خلاصه، در سه ماهه سوم این زاویه وجود خواهد داشت. خیلی نزدیک به نیمه محور منفی OY، تا 270 درجه، اما همچنان در سوم!

بیایید نقاشی کنیم:

باز هم، دقت مطلق در اینجا لازم نیست. بگذارید در واقعیت این زاویه مثلاً 263 درجه باشد. اما به مهمترین سوال (چه ربعی؟)ما درست جواب دادیم چرا این مهمترین سوال است؟ بله، زیرا هر کاری با زاویه در مثلثات (مهم نیست این زاویه را ترسیم کنیم یا نه) دقیقاً با پاسخ به این سؤال شروع می شود! همیشه. اگر این سوال را نادیده بگیرید یا سعی کنید ذهنی به آن پاسخ دهید، اشتباهات تقریباً اجتناب ناپذیر هستند، بله ... آیا به آن نیاز دارید؟

یاد آوردن:

هر کار با زاویه (از جمله کشیدن همین زاویه روی یک دایره) همیشه با تعیین یک چهارمی که این زاویه در آن قرار می گیرد شروع می شود.

اکنون، امیدوارم بتوانید زوایایی را به دقت به تصویر بکشید، به عنوان مثال، 182 درجه، 88 درجه، 280 درجه. که در درستچهارم. در سوم، اول و چهارم، اگر ...)

کوارتر چهارم با زاویه 360 درجه به پایان می رسد. این یک انقلاب کامل است. واضح است که این زاویه روی دایره همان موقعیت 0 درجه (یعنی مبدا) را اشغال می کند. اما زوایا به همین جا ختم نمی شود، بله...

با زوایای بیشتر از 360 درجه چه کنیم؟

"آیا واقعا چنین چیزهایی وجود دارد؟"- تو پرسیدی. آنها اتفاق می افتد! برای مثال زاویه 444 درجه وجود دارد. و گاهی اوقات، مثلاً، زاویه 1000 درجه. همه نوع زاویه وجود دارد.) فقط از نظر بصری چنین زوایای عجیب و غریب کمی دشوارتر از زوایایی که ما در یک چرخش به آنها عادت کرده ایم درک می شوند. اما شما همچنین باید بتوانید چنین زوایایی را ترسیم و محاسبه کنید، بله.

برای ترسیم صحیح چنین زوایایی روی یک دایره، باید همین کار را انجام دهید - پیدا کنید زاویه ای که ما به آن علاقه مندیم در کدام ربع قرار می گیرد؟ در اینجا، توانایی تعیین دقیق ربع بسیار مهمتر از زوایای 0 درجه تا 360 درجه است! روش تعیین سه ماهه خود تنها با یک مرحله پیچیده است. به زودی خواهید دید که چه چیزی است.

بنابراین، برای مثال، باید بفهمیم که زاویه 444 درجه در کدام ربع قرار می‌گیرد. بیایید شروع به چرخیدن کنیم. جایی که؟ البته یک نکته مثبت! به ما زاویه مثبت دادند! +444 درجه. می پیچیم، می پیچیم... یک دور آن را می پیچیم - به 360 درجه رسیدیم.

چقدر تا 444 درجه باقی مانده است؟دم باقی مانده را می شماریم:

444-360 درجه = 84 درجه.

بنابراین، 444 درجه یک چرخش کامل (360 درجه) به اضافه 84 درجه دیگر است. واضح است که این سه ماهه اول است. بنابراین، زاویه 444 درجه سقوط می کند در سه ماهه اولنیمی از جنگ تمام شده است.

اکنون تنها چیزی که باقی مانده این است که این زاویه را به تصویر بکشیم. چگونه؟ بسیار ساده! یک دور کامل در امتداد فلش قرمز (به اضافه) می زنیم و 84 درجه دیگر اضافه می کنیم.

مثل این:

در اینجا من حوصله به هم ریختن نقاشی را نداشتم - برچسب زدن به چهارخانه ها، کشیدن زوایای روی محورها. همه این چیزهای خوب باید برای مدت طولانی در ذهن من بود.)

اما من از یک "حلزون" یا یک مارپیچ استفاده کردم تا دقیقاً نشان دهم که چگونه زاویه 444 درجه از زوایای 360 درجه و 84 درجه تشکیل می شود. خط قرمز نقطه چین یک انقلاب کامل است. که به آن 84 درجه (خط جامد) نیز پیچ می شود. ضمناً توجه داشته باشید که اگر این انقلاب کامل کنار گذاشته شود به هیچ وجه در موقعیت زاویه ما تأثیری نخواهد داشت!

اما این مهم است! موقعیت زاویه 444 درجه کاملا منطبق استبا موقعیت زاویه 84 درجه هیچ معجزه ای وجود ندارد، فقط اینطور است.)

آیا می توان نه یک انقلاب کامل، بلکه دو یا چند انقلاب را کنار گذاشت؟

چرا که نه؟ اگر زاویه زیاد است، پس نه تنها ممکن است، بلکه حتی ضروری است! زاویه تغییر نمی کند! به طور دقیق تر، خود زاویه، البته، از نظر بزرگی تغییر خواهد کرد. اما موضع او در مورد دایره مطلقاً نیست!) به همین دلیل است که آنها پر شدهانقلاب‌ها، که مهم نیست چند نسخه اضافه کنید، هر چقدر هم کم کنید، باز هم در همان نقطه خواهید بود. خوب است، اینطور نیست؟

یاد آوردن:

اگر هر زاویه ای را به یک زاویه اضافه کنید (کم کنید). کلتعداد دورهای کامل، موقعیت زاویه اصلی روی دایره تغییر نخواهد کرد!

مثلا:

زاویه 1000 درجه در کدام ربع قرار می گیرد؟

مشکلی نیست! ما شمارش می کنیم که چند دور کامل در هزار درجه می نشیند. یک دور 360 درجه است، دیگری در حال حاضر 720 درجه است، سومی 1080 درجه است... توقف کنید! خیلی زیاد! این بدان معنی است که در زاویه 1000 درجه قرار می گیرد دوچرخش کامل آنها را از 1000 درجه می اندازیم و باقیمانده را محاسبه می کنیم:

1000 درجه - 2 360 درجه = 280 درجه

بنابراین، موقعیت زاویه 1000 درجه روی دایره است همان، در زاویه 280 درجه. کار با کدام بسیار خوشایندتر است.) و این گوشه کجا می افتد؟ به ربع چهارم می رسد: 270 درجه (نیم محور OY منفی) به اضافه 10 درجه دیگر.

بیایید نقاشی کنیم:

در اینجا دیگر دو دور کامل با یک مارپیچ نقطه‌دار نکشیدم: معلوم می‌شود که خیلی طولانی است. من فقط دم باقی مانده را کشیدم از صفر، دور انداختن همهچرخش اضافی انگار اصلا وجود نداشتند.)

یک بار دیگر. به خوبی، زوایای 444 درجه و 84 درجه و همچنین 1000 درجه و 280 درجه متفاوت هستند. اما برای سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت این زوایا عبارتند از - همان!

همانطور که می بینید، برای کار با زوایای بیشتر از 360 درجه، باید تعیین کنید چند دور کامل در یک زاویه بزرگ مشخص می شود. این مرحله بسیار اضافی است که باید ابتدا هنگام کار با چنین زوایایی انجام شود. هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

البته رد کردن انقلاب‌های کامل تجربه‌ای خوشایند است.) اما در عمل، هنگام کار با زوایای کاملاً وحشتناک، مشکلاتی پیش می‌آیند.

مثلا:

زاویه 31240 درجه در کدام ربع قرار می گیرد؟

پس چه، آیا قرار است 360 درجه را چندین و چند بار اضافه کنیم؟ ممکنه اگه زیاد نسوزه. اما ما نه تنها می توانیم اضافه کنیم.) می توانیم تقسیم هم کنیم!

پس بیایید زاویه بزرگ خود را به 360 درجه تقسیم کنیم!

با این عمل متوجه می شویم که دقیقاً چند دور کامل در 31240 درجه ما پنهان شده است. می توانید آن را به گوشه ای تقسیم کنید، می توانید (در گوش خود زمزمه کنید:)) روی ماشین حساب.)

ما 31240:360 = 86.777777 را دریافت می کنیم….

این واقعیت که معلوم شد عدد کسری است ترسناک نیست. فقط ما کلمن به دور موتور علاقه دارم! بنابراین، نیازی به تقسیم کامل نیست.)

بنابراین، زغال سنگ پشمالو ما به اندازه 86 دور کامل نشسته است. وحشت…

بر حسب درجه خواهد بود86·360 درجه = 30960 درجه

مثل این. این دقیقاً همان چند درجه است که می توان بدون درد از یک زاویه معین 31240 درجه به بیرون پرتاب کرد. باقی:

31240 درجه - 30960 درجه = 280 درجه

همه! موقعیت زاویه 31240 درجه کاملا مشخص است! همان مکان 280 درجه. آن ها چهارمین چهارم.) فکر می کنم قبلاً این زاویه را به تصویر کشیده ایم؟ زاویه 1000 درجه کی کشیده شد؟) اونجا هم 280 درجه رفتیم. اتفاقی.)

بنابراین، اخلاقیات این داستان این است:

اگر زاویه ترسناکی به ما داده شود، پس:

1. تعیین کنید که چند دور کامل در این گوشه قرار دارد. برای این کار، زاویه اصلی را بر 360 تقسیم کنید و قسمت کسری را دور بریزید.

2. شمارش می کنیم که تعداد دورهای حاصل چند درجه است. برای این کار تعداد دورها را در 360 ضرب کنید.

3. این چرخش ها را از زاویه اصلی کم می کنیم و با زاویه معمولی از 0 تا 360 درجه کار می کنیم.

چگونه با زوایای منفی کار کنیم؟

مشکلی نیست! دقیقاً مانند موارد مثبت، فقط با یک تفاوت. کدام یک؟ آره! باید گوشه ها را بچرخانید سمت معکوس، منهای! حرکت در جهت عقربه های ساعت.)

برای مثال، زاویه 200- درجه را رسم می کنیم. اول، همه چیز برای زوایای مثبت مثل همیشه است - محورها، دایره. بیایید یک فلش آبی با منهای هم رسم کنیم و زوایای محورها را متفاوت امضا کنیم. طبیعتاً آنها نیز باید در جهت منفی شمارش شوند. این زوایای یکسان هستند، از 90 درجه عبور می کنند، اما در جهت مخالف، به منفی شمارش می شوند: 0°، -90°، -180°، -270°، -360°.

تصویر به شکل زیر خواهد بود:

هنگام کار با زوایای منفی، اغلب احساس سردرگمی جزئی وجود دارد. چطور؟! معلوم می شود که همان محور مثلاً +90 درجه و 270- درجه در یک زمان است؟ نه، اینجا چیزی شبیه به ماهی است...

بله، همه چیز تمیز و شفاف است! ما قبلاً می دانیم که هر نقطه از یک دایره را می توان زاویه مثبت یا منفی نامید! مطلقا هر. از جمله در برخی از محورهای مختصات. در مورد ما نیاز داریم منفیمحاسبه زاویه بنابراین ما تمام گوشه ها را به منفی می زنیم.)

اکنون ترسیم زاویه 200- درجه به درستی کار سختی نیست. این -180 درجه است و منهای 20 درجه دیگر ما شروع به چرخش از صفر به منفی می کنیم: ما در سه ماهه چهارم پرواز می کنیم، سوم را نیز از دست می دهیم، به -180 درجه می رسیم. بیست تا باقی مانده را کجا خرج کنم؟ بله، همه چیز آنجاست! با ساعت.) زاویه کل -200 درجه در داخل قرار می گیرد دومینربع.

اکنون می‌دانید که حفظ دقیق زوایای محورهای مختصات چقدر مهم است؟

زوایای محورهای مختصات (0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه، 360 درجه) باید دقیقاً به خاطر بسپارند تا به طور دقیق یک چهارمی که زاویه سقوط می کند، مشخص شود!

اگر زاویه بزرگ باشد و چندین چرخش کامل داشته باشد چه؟ خوبه! چه فرقی می کند که این انقلاب های کامل به سمت مثبت یا منفی تبدیل شوند؟ نقطه روی یک دایره موقعیت خود را تغییر نمی دهد!

مثلا:

زاویه -2000 درجه در کدام یک چهارم قرار می گیرد؟

همه همین طور! اول، شمارش می کنیم که چند انقلاب کامل در این گوشه شیطانی نشسته است. برای اینکه علائم را به هم نزنیم، فعلاً منفی را رها می کنیم و به سادگی 2000 را بر 360 تقسیم می کنیم. با یک دنباله 5 می گیریم. فعلاً به دم اهمیتی نمی دهیم، وقتی گوشه را می کشیم کمی بعد آن را می شماریم. حساب می کنیم پنجچرخش کامل بر حسب درجه:

5 360 درجه = 1800 درجه

وای. این دقیقاً همان تعداد درجه اضافی است که می توانیم با خیال راحت از گوشه خود بیرون بیاوریم بدون اینکه به سلامتی خود آسیبی برساند.

دم باقی مانده را می شماریم:

2000 - 1800 درجه = 200 درجه

اما اکنون می‌توانیم منهای را به خاطر بیاوریم.) دم 200 درجه را کجا خواهیم پیچید؟ منهای، البته! به ما زاویه منفی داده می شود.)

2000 درجه = -1800 - 200 درجه

بنابراین زاویه 200- درجه را می کشیم، فقط بدون هیچ چرخش اضافی. من فقط آن را کشیدم، اما همینطور باشد، یک بار دیگر آن را می کشم. با دست.

واضح است که زاویه داده شده -2000 درجه و همچنین -200 درجه در داخل قرار می گیرد ربع دوم.

پس بیا دیوانه شویم... ببخشید... روی سرمان:

اگر یک زاویه منفی بسیار بزرگ داده شود، اولین قسمت کار با آن (پیدا کردن تعداد دورهای کامل و دور انداختن آنها) مانند هنگام کار با زاویه مثبت است. علامت منفی در این مرحله از راه حل هیچ نقشی ندارد. هنگام کار با زاویه باقی مانده پس از حذف کامل چرخش، علامت فقط در انتها مورد توجه قرار می گیرد.

همانطور که می بینید، کشیدن زوایای منفی روی یک دایره دشوارتر از زوایای مثبت نیست.

همه چیز یکسان است، فقط در جهت دیگر! به ساعت!

حالا جالب ترین قسمت می آید! ما به زوایای مثبت، زوایای منفی، زوایای بزرگ، زوایای کوچک نگاه کردیم - محدوده کامل. ما همچنین متوجه شدیم که هر نقطه از یک دایره را می توان یک زاویه مثبت و منفی نامید، ما انقلابات کامل را دور انداختیم ... فکری دارید؟ باید به تعویق بیفتد...

آره! هر نقطه از دایره را که بگیرید، با آن مطابقت دارد تعداد بی نهایت زاویه! بزرگ ها و نه چندان بزرگ ها، مثبت ها و منفی ها - همه جور! و تفاوت بین این زوایا خواهد بود کل تعداد چرخش کامل همیشه! دایره مثلثاتی اینگونه کار می کند، بله...) به همین دلیل است معکوسوظیفه یافتن زاویه با استفاده از سینوس / کسینوس / مماس / کوتانژانت شناخته شده است - قابل حل مبهم. و خیلی سخت تر. در مقابل مسئله مستقیم - با توجه به یک زاویه، کل مجموعه توابع مثلثاتی آن را پیدا کنید. و در مباحث جدی تر مثلثات ( قوس ها، مثلثاتی معادلاتو نابرابری ها ) همیشه با این ترفند مواجه خواهیم شد. ما داریم به آن عادت می کنیم.)

1. زاویه -345 درجه به کدام یک می رسد؟

2. زاویه 666 درجه به کدام ربع می افتد؟

3. زاویه 5555 درجه به کدام ربع می رسد؟

4. زاویه -3700 درجه به کدام یک می رسد؟

5. علامت چه می کندcos999 درجه؟

6. علامت چه می کندctg999 درجه؟

و آیا کار کرد؟ فوق العاده! مشکلی وجود دارد؟ سپس شما.

پاسخ ها:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

این بار پاسخ ها به ترتیب و سنت شکنی داده می شود. زیرا تنها چهار ربع وجود دارد و فقط دو نشانه وجود دارد. واقعا فرار نخواهید کرد...)

در درس بعدی در مورد رادیان صحبت خواهیم کرد شماره مرموز"pi"، بیایید یاد بگیریم که چگونه رادیان ها را به راحتی و به سادگی به درجه تبدیل کنیم و بالعکس. و ما متعجب خواهیم شد اگر کشف کنیم که حتی همین دانش و مهارت های ساده برای حل موفقیت آمیز بسیاری از مسائل مثلثاتی غیر پیش پا افتاده کافی است!

گوشه: ° π راد =

تبدیل به: رادیان درجه 0 - 360 درجه 0 - 2π مثبت منفی محاسبه

وقتی خطوط همدیگر را قطع می کنند، نتیجه چهار می شود مناطق مختلفنسبت به نقطه تقاطع
این مناطق جدید نامیده می شوند گوشه ها.

تصویر 4 زاویه مختلف را نشان می دهد که از تلاقی خطوط AB و CD تشکیل شده است

زاویه ها معمولاً بر حسب درجه اندازه گیری می شوند که با درجه نشان داده می شود. هنگامی که یک جسم یک دایره کامل ایجاد می کند، یعنی از نقطه D به B، C، A و سپس به D برمی گردد، می گویند 360 درجه (360 درجه) چرخیده است. بنابراین یک درجه $\frac(1)(360)$ از یک دایره است.

زوایای بیشتر از 360 درجه

ما در مورد این صحبت کردیم که وقتی یک جسم یک دایره کامل به دور یک نقطه می‌زند، 360 درجه می‌رود، اما وقتی یک جسم بیش از یک دایره می‌سازد، زاویه بیش از 360 درجه ایجاد می‌کند. این یک اتفاق رایج در زندگی روزمره. چرخ هنگام حرکت خودرو دایره های زیادی را دور می زند، یعنی زاویه ای بیش از 360 درجه تشکیل می دهد.

برای فهمیدن تعداد چرخه ها (دایره های تکمیل شده) هنگام چرخش یک جسم، تعداد دفعاتی را که باید 360 به خودش اضافه کنیم تا عددی مساوی یا کمتر از یک زاویه داده شده بدست آوریم، می شماریم. به همین ترتیب عددی را می یابیم که آن را در 360 ضرب می کنیم تا عددی کوچکتر اما نزدیکترین به زاویه داده شده بدست آید.

مثال 2
1. تعداد دایره هایی را که توسط جسمی که یک زاویه را تشکیل می دهد، بیابید
الف) 380 درجه
ب) 770 درجه
ج) 1000 درجه
راه حل
الف) 380 = (1 × 360) + 20
جسم یک دایره و 20 درجه را توصیف کرد
از آنجایی که $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ دایره
شیء دایره های $1\frac(1)(18)$ را توصیف می کند.

ب) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
این شی دو دایره و 50 درجه را توصیف می کند
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ دایره
شی $2\frac(5)(36)$ از یک دایره را توصیف کرد
ج) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ حلقه ها
شیء دایره های $2\frac(7)(9)$ را توصیف می کند

هنگامی که یک جسم در جهت عقربه های ساعت می چرخد، یک زاویه چرخش منفی و زمانی که در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد، یک زاویه مثبت تشکیل می دهد. تا اینجا فقط زوایای مثبت را در نظر گرفته ایم.

در شکل نمودار، یک زاویه منفی را می توان مطابق شکل زیر نشان داد.

شکل زیر علامت زاویه را نشان می دهد که از یک خط مستقیم مشترک اندازه گیری می شود، محور 0 (محور x - محور x)

این به این معنی است که اگر یک زاویه منفی وجود داشته باشد، می توانیم یک زاویه مثبت مربوط به آن را بدست آوریم.
به عنوان مثال، پایین یک خط عمودی 270 درجه است. هنگامی که در جهت منفی اندازه گیری می شود، -90 درجه می شود. به سادگی 270 را از 360 کم می کنیم. با توجه به یک زاویه منفی، 360 را اضافه می کنیم تا زاویه مثبت مربوطه را بدست آوریم.
هنگامی که زاویه -360 درجه است، به این معنی است که جسم بیش از یک دایره در جهت عقربه های ساعت ایجاد کرده است.

مثال 3
1. زاویه مثبت مربوطه را پیدا کنید
الف) -35 درجه
ب) -60 درجه
ج) -180 درجه
د) - 670 درجه

2. زاویه منفی 80 درجه، 167 درجه، 330 درجه و 1300 درجه را پیدا کنید.
راه حل
1. برای یافتن زاویه مثبت مربوطه، 360 را به مقدار زاویه اضافه می کنیم.
الف) -35 درجه = 360 + (35-) = 360 - 35 = 325 درجه
ب) -60 درجه = 360 + (60-) = 360 - 60 = 300 درجه
ج) -180 درجه = 360 + (180-) = 360 - 180 = 180 درجه
د) -670 درجه = 360 + (670-) = 310-
این یعنی یک دایره در جهت عقربه های ساعت (360)
360 + (310-) = 50 درجه
زاویه 360 + 50 = 410 درجه است

2. برای به دست آوردن زاویه منفی مربوطه، 360 را از مقدار زاویه کم می کنیم.
80 درجه = 80 - 360 = - 280 درجه
167 درجه = 167 - 360 = -193 درجه
330 درجه = 330 - 360 = -30 درجه
1300 درجه = 1300 - 360 = 940 (یک دور کامل شده)
940 - 360 = 580 (دومین دوره تکمیل شد)
580 - 360 = 220 (دوره سوم تکمیل شد)
220 - 360 = -140 درجه
زاویه 360- - 360 - 360 - 140 = -1220 درجه است.
بنابراین 1300 درجه = -1220 درجه

رادیان

رادیان زاویه ای از مرکز دایره ای است که کمانی که طول آن برابر با شعاع دایره است را در بر می گیرد. این واحد اندازه گیری قدر زاویه ای است. این زاویه تقریباً 57.3 درجه است.
در بیشتر موارد، این به عنوان نشان داده شده است خوشحالم.
بنابراین $1 راد \تقریباً 57.3^(\circ)$

شعاع = r = OA = OB = AB
زاویه BOA برابر با یک رادیان است

از آنجایی که محیط به صورت $2\pi r$ داده می شود، پس شعاع $2\pi$ در دایره وجود دارد و بنابراین در کل دایره رادیان $2\pi$ وجود دارد.

رادیان ها معمولاً بر حسب $\pi$ بیان می شوند تا از اعشار در محاسبات جلوگیری شود. در اکثر کتاب ها، مخفف خوشحالمرخ نمی دهد، اما خواننده باید بداند که چه زمانی ما در مورددر مورد زاویه، بر حسب $\pi$ مشخص می شود و واحدهای اندازه گیری به طور خودکار رادیان می شوند.

360$^(\circ) = 2\pi\rad$
180$^(\circ) = \pi\rad$،
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) راد$،
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) راد$،
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) راد$،
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) راد$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

مثال 4
1. 240 درجه، 45 درجه، 270 درجه، 750 درجه و 390 درجه را با استفاده از $\pi$ به رادیان تبدیل کنید.
راه حل
بیایید زوایا را در $\frac(\pi)(180)$ ضرب کنیم.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. زوایای زیر را به درجه تبدیل کنید.
الف) $\frac(5)(4)\pi$
ب) 3.12$\pi$
ج) 2.4 رادیان
راه حل
$180^(\circ) = \pi$
الف) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
ب) 3.12 $\pi = 3.12 \ بار 180 = 561.6^(\circ)$
ج) 1 راد = 57.3 درجه
$2.4 = \frac(2.4 \زمان 57.3)(1) = 137.52$

زوایای منفی و زوایای بزرگتر از $2\pi$ رادیان

برای تبدیل زاویه منفی به مثبت، آن را به $2\pi$ اضافه می کنیم.
برای تبدیل زاویه مثبت به منفی، $2\pi$ را از آن کم می کنیم.

مثال 5
1. $-\frac(3)(4)\pi$ و $-\frac(5)(7)\pi$ را به زوایای مثبت بر حسب رادیان تبدیل کنید.

راه حل
$2\pi$ را به زاویه اضافه کنید
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ پی $

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ پی $

وقتی یک جسم با زاویه ای بیشتر از $2\pi$; می چرخد، بیش از یک دایره می سازد.
برای تعیین تعداد دور (دایره ها یا چرخه ها) در چنین زاویه ای، عددی را پیدا می کنیم، با ضرب آن در $2\pi$، نتیجه برابر یا کمتر است، اما تا حد امکان نزدیک به این عدد است.

مثال 6
1. تعداد دایره هایی را که جسم در زوایای داده شده طی می کند، بیابید
الف) 10-$\pi$
ب) $9\pi$
ج) $\frac(7)(2)\pi$

راه حل
الف) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ دلالت بر یک چرخه در جهت عقربه های ساعت دارد، این به این معنی است
جسم 5 چرخه در جهت عقربه های ساعت انجام داد.

ب) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$، $\pi =$ نیم چرخه
این جسم چهار و نیم چرخه در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام داد

ج) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$، $1.5\pi$ برابر است با سه چهارم چرخه $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
جسم یک و سه چهارم چرخه را در خلاف جهت عقربه های ساعت طی کرده است

شمارش زوایا روی دایره مثلثاتی

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

تقریباً مانند درس قبل است. یک محور، یک دایره، یک زاویه وجود دارد، همه چیز مرتب است. اعداد یک چهارم اضافه شده (در گوشه های مربع بزرگ) - از اول تا چهارم. اگر کسی نداند چه؟ همانطور که می بینید، ربع ها (به آنها نیز گفته می شود یک کلمه زیبا"ربع") در خلاف جهت عقربه های ساعت شماره گذاری می شوند. اضافه شدن مقادیر زاویه روی محورها. همه چیز روشن است، مشکلی وجود ندارد.

و یک فلش سبز اضافه می شود. با یک امتیاز چه مفهومی داره؟ اجازه دهید به شما یادآوری کنم که سمت ثابت زاویه همیشه به نیمه محور مثبت OX میخکوب شده است. بنابراین، اگر سمت متحرک زاویه را بچرخانیم در امتداد فلش با یک به علاوه، یعنی به ترتیب اعداد سه ماهه صعودی، زاویه مثبت در نظر گرفته خواهد شد.به عنوان مثال، تصویر زاویه مثبت +60 درجه را نشان می دهد.

اگر گوشه ها را کنار بگذاریم در جهت مخالف، در جهت عقربه های ساعت، زاویه منفی در نظر گرفته خواهد شد.مکان نما خود را روی تصویر نگه دارید (یا تصویر را روی رایانه لوحی خود لمس کنید)، یک فلش آبی با علامت منفی خواهید دید. این جهت خواندن زاویه منفی است. به عنوان مثال، یک زاویه منفی (-60 درجه) نشان داده شده است. و همچنین خواهید دید که چگونه اعداد روی محورها تغییر کرده اند ... آنها را نیز به زوایای منفی تبدیل کردم. شماره گذاری ربع ها تغییر نمی کند.

اینجاست که معمولا اولین سوء تفاهم ها شروع می شود. چطوره!؟ اگر یک زاویه منفی روی یک دایره با یک زاویه مثبت منطبق شود چه می شود!؟ و به طور کلی معلوم می شود که همان موقعیت ضلع متحرک (یا نقطه روی دایره عددی) را می توان هم زاویه منفی و هم مثبت نامید!؟

آره. دقیقا. فرض کنید زاویه مثبت 90 درجه یک دایره را می گیرد دقیقا همینطور موقعیت را به عنوان زاویه منفی 270 درجه قرار دهید. برای مثال زاویه مثبت +110 درجه می گیرد دقیقا همینطور موقعیت به عنوان زاویه منفی -250 درجه.

مشکلی نیست هر چیزی درست است.) انتخاب محاسبه زاویه مثبت یا منفی بستگی به شرایط کار دارد. اگر شرط چیزی نمی گوید در متن روشن در مورد علامت زاویه (مانند کوچکترین را تعیین کنید مثبتزاویه" و غیره)، سپس با مقادیری کار می کنیم که برای ما مناسب است.

یک استثنا (و چگونه می توانستیم بدون آنها زندگی کنیم؟!) هستند نابرابری های مثلثاتی، اما در آنجا به این ترفند مسلط خواهیم شد.

و حالا یک سوال از شما از کجا فهمیدم که موقعیت زاویه 110 درجه با زاویه 250- درجه یکسان است؟
اجازه دهید اشاره کنم که این با یک انقلاب کامل مرتبط است. در 360 درجه ... مشخص نیست؟ سپس دایره ای می کشیم. ما خودمان آن را روی کاغذ می کشیم. علامت گذاری گوشه تقریبا 110 درجه. و ما فکر می کنیم، چقدر زمان تا یک انقلاب کامل باقی مانده است. فقط 250 درجه باقی می ماند ...

فهمیدم؟ و اکنون - توجه! اگر زوایای 110 درجه و 250- درجه یک دایره را اشغال کنند یکسان وضعیت، پس چی؟ بله، زاویه 110 درجه و -250 درجه است دقیقا همینطور سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت!
آن ها sin110° = sin(-250°)، ctg110° = ctg(-250°) و غیره. حالا این واقعا مهم است! و به خودی خود، وظایف زیادی وجود دارد که در آنها باید عبارات را ساده کنید، و به عنوان مبنایی برای تسلط بعدی بر فرمول های کاهش و سایر پیچیدگی های مثلثات.

البته من 110 درجه و -250 درجه را به صورت تصادفی صرفاً به عنوان مثال گرفتم. همه این برابری ها برای هر زاویه ای که موقعیت یکسانی را در دایره اشغال می کند کار می کند. 60 درجه و -300 درجه، -75 درجه و 285 درجه و غیره. اجازه دهید فوراً متذکر شوم که زوایای این جفت ها هستند ناهمسان.اما آنها توابع مثلثاتی دارند - همان

فکر می کنم متوجه شده اید که زوایای منفی چیست. این کاملا ساده است. خلاف جهت عقربه های ساعت - شمارش مثبت. در طول راه - منفی. زاویه را مثبت یا منفی در نظر بگیرید به ما بستگی دارد. از آرزوی ما خوب، و البته از تکلیف... امیدوارم متوجه شده باشید که چگونه در توابع مثلثاتی از زوایای منفی به مثبت و عقب حرکت کنید. یک دایره، یک زاویه تقریبی رسم کنید و ببینید چقدر برای تکمیل یک دور کامل کم است، یعنی. تا 360 درجه

زوایای بیشتر از 360 درجه

بیایید با زوایای بزرگتر از 360 درجه بپردازیم. آیا چنین چیزهایی وجود دارد؟ البته وجود دارد. چگونه آنها را روی دایره بکشیم؟ مشکلی نیست! فرض کنید باید بفهمیم زاویه 1000 درجه در کدام ربع قرار می گیرد؟ به آسانی! یک دور کامل در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام می دهیم (زاویه ای که به ما داده شده مثبت است!). 360 درجه به عقب برگشتیم. خب بریم جلو! یک چرخش دیگر - در حال حاضر 720 درجه است. چقدر باقی مانده است؟ 280 درجه. برای چرخش کامل کافی نیست... اما زاویه بیش از 270 درجه است - و این مرز بین ربع سوم و چهارم است. بنابراین، زاویه 1000 درجه ما به ربع چهارم می رسد. همه.

همانطور که می بینید، بسیار ساده است. اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که زاویه 1000 درجه و زاویه 280 درجه که با دور انداختن چرخش های کامل "اضافی" به دست آوردیم، به طور دقیق، ناهمسانگوشه ها اما توابع مثلثاتی این زوایا دقیقا همینطور! آن ها sin1000° = sin280°، cos1000° = cos280° و غیره. اگر من سینوس بودم متوجه تفاوت این دو زاویه نمی شدم...

چرا این همه مورد نیاز است؟ چرا باید زاویه ها را از یکی به دیگری تبدیل کنیم؟ بله، همه برای یک چیز.) به منظور ساده کردن عبارات. ساده سازی عبارات در واقع کار اصلی است ریاضیات مدرسه. خوب، و در طول راه، سر آموزش داده می شود.)

خوب بیایید تمرین کنیم؟)

ما به سوالات پاسخ می دهیم. اول ساده ها

1. زاویه -325 درجه به کدام یک می رسد؟

2. زاویه 3000 درجه در کدام ربع قرار می گیرد؟

3. زاویه -3000 درجه به کدام ربع می رسد؟

مشکلی وجود دارد؟ یا عدم قطعیت؟ به بخش 555، تمرین دایره مثلثاتی بروید. آنجا، در اولین درس از این کار عملی..." همه با جزئیات ... در چنینسوالات عدم قطعیت بودن نباید!

4. sin555° چه علامتی دارد؟

5. tg555° چه علامتی دارد؟

آیا شما تعیین کرده اید؟ عالی! آیا شما شک دارید؟ باید به قسمت 555 بروید... اتفاقاً در آنجا یاد خواهید گرفت که مماس و کتانژانت را روی آن بکشید. دایره مثلثاتی. یک چیز بسیار مفید

و اکنون سؤالات پیچیده تر شده اند.

6. عبارت sin777° را به سینوس کوچکترین زاویه مثبت کاهش دهید.

7. عبارت cos777° را به کسینوس بزرگترین زاویه منفی کاهش دهید.

8. عبارت cos(-777°) را به کسینوس کوچکترین زاویه مثبت کاهش دهید.

9. عبارت sin777° را به سینوس بزرگترین زاویه منفی کاهش دهید.

چه، سوالات 6-9 شما را متحیر کرده است؟ به آن عادت کنید، در آزمون یکپارچه دولتی چنین فرمول‌بندی‌هایی پیدا نمی‌کنید... همینطور باشد، من آن را ترجمه می‌کنم. فقط برای تو!

واژه «بیان را به ... بیاور» به معنای دگرگون کردن عبارت است تا معنای آن تغییر نکرده استآ ظاهربا توجه به تکلیف تغییر کرد. بنابراین، در وظایف 6 و 9 باید یک سینوس به دست آوریم که داخل آن وجود دارد کوچکترین زاویه مثبتبقیه چیزها مهم نیست

من پاسخ ها را به ترتیب (بر خلاف قوانین ما) ارائه خواهم کرد. اما چه باید کرد، فقط دو نشانه وجود دارد، و تنها چهار ربع وجود دارد ... شما برای انتخاب خراب نخواهید شد.

6. sin57°.

7. cos(-57 درجه).

8. cos57 درجه.

9. -sin(-57°)

من فرض می کنم که پاسخ به سوالات 6-9 برخی از افراد را گیج کرده است. بخصوص -sin(-57°)واقعاً؟) در واقع، در قوانین ابتدایی برای محاسبه زوایا جای خطا وجود دارد ... به همین دلیل مجبور شدم درسی را انجام دهم: "چگونه علائم توابع را تعیین کنیم و روی یک دایره مثلثاتی زاویه دهیم؟" در بخش 555. وظایف 4 - 9 در آنجا پوشش داده شده است. خوب مرتب شده است، با تمام مشکلات. و آنها اینجا هستند.)

در درس بعدی به رادیان های مرموز و عدد پی می پردازیم. بیایید یاد بگیریم که چگونه به راحتی و به درستی درجه را به رادیان و بالعکس تبدیل کنیم. و ما از کشف این اطلاعات اولیه در سایت شگفت زده خواهیم شد به اندازه کافی در حال حاضر برای حل برخی از مشکلات مثلثاتی سفارشی!