فرمول های تبدیل مثلثات تبدیلات یکسان عبارات مثلثاتی. فرمول حاصل ضرب سینوس، کسینوس و سینوس به کسینوس

برای حل برخی مشکلات، جدولی از هویت های مثلثاتی مفید خواهد بود که تبدیل توابع را بسیار آسان تر می کند:

ساده ترین هویت های مثلثاتی

ضریب تقسیم سینوس یک زاویه آلفا بر کسینوس همان زاویه برابر است با مماس این زاویه (فرمول 1). همچنین به اثبات صحت تبدیل ساده ترین هویت های مثلثاتی مراجعه کنید.
ضریب تقسیم کسینوس یک زاویه آلفا بر سینوس همان زاویه برابر است با کوتانژانت همان زاویه (فرمول 2)
تقاطع زاویه برابر با یک، تقسیم بر کسینوس همان زاویه (فرمول 3)
مجموع مجذورهای سینوس و کسینوس یک زاویه برابر است با یک (فرمول 4). همچنین به اثبات مجموع مجذور کسینوس و سینوس مراجعه کنید.
مجموع یک و مماس یک زاویه برابر است با نسبت یک به مجذور کسینوس این زاویه (فرمول 5)
یک به علاوه کتانژانت یک زاویه برابر است با نصف یک تقسیم بر مجذور سینوس این زاویه (فرمول 6)
حاصل ضرب مماس و کوتانژانت هم زاویه برابر با یک است (فرمول 7).

تبدیل زوایای منفی توابع مثلثاتی ( زوج و فرد)

برای رهایی از مقدار منفی درجه یک زاویه هنگام محاسبه سینوس، کسینوس یا مماس، می توانید از تبدیل های مثلثاتی (هویت) زیر بر اساس اصول زوج یا فرد استفاده کنید. توابع مثلثاتی.

همانطور که دیدیم، کسینوسو سکنت است حتی عملکرد , سینوسی، مماس و کوتانژانت توابع فرد هستند.

سینوسی زاویه منفیبرابر است ارزش منفیسینوسی از همان زاویه مثبت(منهای آلفای سینوس).
کسینوس منهای آلفا همان مقدار کسینوس زاویه آلفا را خواهد داد.
مماس منهای آلفا برابر است با منهای آلفا مماس.

فرمول های کاهش زوایای دوتایی (سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زوایای دوتایی)

اگر نیاز دارید که گوشه را به نصف تقسیم کنید، یا برعکس، از آن خارج شوید زاویه دوتاییبرای یک مورد، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:

تبدیل زاویه دوگانه (سینوس زاویه دوتایی، کسینوس زاویه دوتایی و مماس زاویه دوتایی) در تک طبق قوانین زیر رخ می دهد:

سینوس زاویه دوتاییبرابر با دو برابر حاصل ضرب سینوس و کسینوس یک زاویه است

کسینوس زاویه دوتاییبرابر با اختلاف مربع کسینوس یک زاویه و مربع سینوس این زاویه

کسینوس زاویه دوتاییبرابر با دو برابر مربع کسینوس یک زاویه منهای یک

کسینوس زاویه دوتاییبرابر با یک منهای دو سینوس مجذور تک زاویه

مماس زاویه دوتاییبرابر کسری است که صورت آن دو برابر مماس یک زاویه است و مخرج آن برابر با یک منهای مماس مجذور یک زاویه است.

کوتانژانت زاویه دوتاییبرابر کسری است که صورت آن مجذور کتانژانت یک زاویه منهای یک و مخرج آن برابر با دو برابر کتانژانت یک زاویه است.

فرمول های جایگزینی مثلثاتی جهانی

فرمول های تبدیل زیر می توانند زمانی مفید باشند که باید آرگومان یک تابع مثلثاتی (sin α، cos α، tan α) را بر دو تقسیم کنید و بیان را به مقدار نصف زاویه کاهش دهید. از مقدار α α/2 بدست می آید.

این فرمول ها نامیده می شوند فرمول های جایگزینی مثلثاتی جهانی. ارزش آنها در این واقعیت نهفته است که یک عبارت مثلثاتی با کمک آنها به بیان مماس نیم زاویه کاهش می یابد، صرف نظر از اینکه کدام توابع مثلثاتی ( sincos tg ctg) در ابتدا در عبارت بودند. پس از این، حل معادله با مماس نیم زاویه بسیار ساده تر است.

هویت‌های مثلثاتی برای تبدیل‌های نیم‌زاویه

در زیر فرمول های تبدیل مثلثاتی نیم زاویه به مقدار کل آن آمده است.
مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α/2 به مقدار آرگومان تابع مثلثاتی α کاهش می یابد.

فرمول های مثلثاتی برای اضافه کردن زاویه

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = گناه α cos β + گناه β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

مماس و کتانژانت مجموع زوایاآلفا و بتا را می توان با استفاده از قوانین زیر برای تبدیل توابع مثلثاتی تبدیل کرد:

مماس مجموع زوایابرابر کسری است که صورت آن مجموع مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است و مخرج آن یک منهای حاصل ضرب مماس زاویه اول و مماس زاویه دوم است.

مماس اختلاف زاویهبرابر کسری است که صورت آن برابر است با اختلاف مماس زاویه کاهنده و مماس زاویه کسر و مخرج آن یک به اضافه حاصل ضرب مماس های این زوایا است.

کتانژانت مجموع زوایابرابر کسری است که صورت آن برابر حاصلضرب کوتانژانت این زوایا بعلاوه یک و مخرج آن برابر است با اختلاف کتانژانت زاویه دوم و کتانژانت زاویه اول.

کتانژانت اختلاف زاویهبرابر است با کسری که صورت آن حاصلضرب کوتانژانت این زوایا منهای یک و مخرج آن است. برابر با مجموعکوتانژانت های این زوایا

این هویت‌های مثلثاتی برای استفاده در مواقعی که نیاز به محاسبه مماس 105 درجه (tg 105) دارید، راحت هستند. اگر آن را به صورت tg (45 + 60) تصور کنید، می توانید از تبدیل های یکسان مماس مجموع زوایا استفاده کنید و سپس به سادگی مقادیر جدول بندی شده مماس 45 و مماس 60 درجه را جایگزین کنید.

فرمول های تبدیل مجموع یا تفاضل توابع مثلثاتی

عباراتی که مجموع شکل sin α + sin β را نشان می دهند را می توان با استفاده از فرمول های زیر تبدیل کرد:

فرمول های زاویه سه گانه - تبدیل sin3α cos3α tan3α به sinα cosα tanα

گاهی لازم است مقدار سه گانه یک زاویه را طوری تبدیل کنیم که آرگومان تابع مثلثاتی به جای 3α تبدیل به زاویه α شود.
در این مورد، می توانید از فرمول های تبدیل زاویه سه گانه (هویت ها) استفاده کنید:

فرمول های تبدیل محصولات توابع مثلثاتی

اگر نیاز به تبدیل حاصل ضرب سینوس های زوایای مختلف، کسینوس های زوایای مختلف یا حتی حاصل ضرب سینوس و کسینوس وجود دارد، می توانید از هویت های مثلثاتی زیر استفاده کنید:

در این صورت حاصل ضرب توابع سینوس، کسینوس یا مماس زوایای مختلف به مجموع یا اختلاف تبدیل می شود.

فرمول های کاهش توابع مثلثاتی

شما باید از جدول کاهش به صورت زیر استفاده کنید. در خط ما تابع مورد علاقه خود را انتخاب می کنیم. در ستون یک زاویه وجود دارد. به عنوان مثال، سینوس زاویه (α+90) در محل تلاقی ردیف اول و ستون اول، متوجه می شویم که sin (α+90) = cos α.

که در تحولات هویتی عبارات مثلثاتی از تکنیک های جبری زیر می توان استفاده کرد: جمع و تفریق عبارت های یکسان. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز ضرب و تقسیم بر یک مقدار؛ استفاده از فرمول های ضرب مختصر؛ تخصیص مربع کامل; تجزیه سه جمله ای درجه دومتوسط ضرب کننده ها؛ معرفی متغیرهای جدید برای ساده سازی تبدیل.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی که شامل کسر هستند، می توانید از خواص نسبت، کاهش کسر یا تبدیل کسر به مخرج مشترک. علاوه بر این، می توانید از انتخاب کل جزء کسر استفاده کنید، صورت و مخرج کسر را در یک مقدار ضرب کنید و همچنین در صورت امکان، همگن بودن صورت یا مخرج را در نظر بگیرید. در صورت لزوم، می توانید یک کسری را به عنوان مجموع یا تفاضل چند کسر ساده تر نشان دهید.

علاوه بر این، هنگام اعمال تمام روش های لازم برای تبدیل عبارات مثلثاتی، لازم است که به طور مداوم مساحت را در نظر بگیرید. ارزش های قابل قبولعبارات قابل تبدیل

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1.

محاسبه A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ گناه (3π/2 – x) گناه (2x –5π/2)) 2

راه حل.

از فرمول های کاهش به شرح زیر است:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

از این رو، به موجب فرمول های اضافه کردن آرگومان ها و هویت مثلثاتی اصلی، به دست می آوریم

A = (سین 2x cos x + cos 2x گناه x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = گناه 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= گناه 2 3x + cos 2 3x = 1

پاسخ 1.

مثال 2.

عبارت M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ را به یک محصول تبدیل کنید.

راه حل.

از فرمول های اضافه کردن آرگومان ها و فرمول های تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب بعد از گروه بندی مناسب، داریم.

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β - γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β - γ)/2) - (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

پاسخ: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

مثال 3.

نشان دهید که عبارت A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) برای همه x از R یک می گیرد و معنای مشابه. این مقدار را پیدا کنید.

راه حل.

در اینجا دو راه برای حل این مشکل وجود دارد. با استفاده از روش اول، با جداسازی یک مربع کامل و استفاده از فرمول های مثلثاتی اولیه مربوطه، به دست می آوریم.

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

حل مسئله به روش دوم، A را تابعی از x از R در نظر بگیرید و مشتق آن را محاسبه کنید. پس از تحولات به دست می آوریم

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

از این رو، با توجه به معیار ثبات یک تابع قابل تفکیک در یک بازه، نتیجه می گیریم که

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4، x € R.

پاسخ: A = 3/4 برای x € R.

تکنیک های اصلی برای اثبات هویت مثلثاتی عبارتند از:

آ)کاهش سمت چپ هویت به راست از طریق دگرگونی های مناسب.
ب)کاهش سمت راست هویت به سمت چپ؛
V)کاهش سمت راست و چپ هویت به یک شکل.
ز)به صفر رساندن تفاوت بین سمت چپ و راست هویت در حال اثبات.

مثال 4.

بررسی کنید که cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

راه حل.

تبدیل سمت راست این هویت بر اساس متناظر فرمول های مثلثاتی، ما داریم

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

سمت راست هویت به سمت چپ کاهش می یابد.

مثال 5.

ثابت کنید که sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2، اگر α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث باشند.

راه حل.

با توجه به اینکه α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث هستند، آن را به دست می آوریم

α + β + γ = π و بنابراین γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

برابری اولیه ثابت شده است.

مثال 6.

ثابت کنید برای اینکه یکی از زوایای α، β، γ مثلث برابر با 60 درجه باشد، لازم و کافی است که sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 باشد.

راه حل.

شرط این مشکل هم مستلزم اثبات وجوب و هم کفایی است.

اول بیایید ثابت کنیم ضرورت.

می توان نشان داد که

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

بنابراین، با در نظر گرفتن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، به دست می آوریم که اگر یکی از زوایای α، β یا γ برابر با 60 درجه باشد، پس

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 و بنابراین، sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حالا ثابت کنیم کفایتشرایط مشخص شده

اگر sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، پس cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، و بنابراین

یا cos (3α/2) = 0، یا cos (3β/2) = 0، یا cos (3γ/2) = 0.

از این رو،

یا 3α/2 = π/2 + πk، یعنی. α = π/3 + 2πk/3،

یا 3β/2 = π/2 + πk، یعنی. β = π/3 + 2πk/3،

یا 3γ/2 = π/2 + πk،

آن ها γ = π/3 + 2πk/3، که در آن k ε Z.

از اینکه α، β، γ زوایای یک مثلث هستند، داریم

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

بنابراین، برای α = π/3 + 2πk/3 یا β = π/3 + 2πk/3 یا

γ = π/3 + 2πk/3 از همه kεZ فقط k = 0 مناسب است.

نتیجه می شود که α = π/3 = 60 درجه، یا β = π/3 = 60 درجه، یا γ = π/3 = 60 درجه.

بیانیه ثابت شده است.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه عبارات مثلثاتی را ساده کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

برای تمام مقادیر آرگومان (از دامنه کلی) اجرا می شود.

فرمول های جایگزینی جهانی

با استفاده از این فرمول ها، تبدیل هر عبارتی که حاوی توابع مثلثاتی مختلف از یک آرگومان است، به یک عبارت منطقی از یک تابع آسان است. tg (α /2):

فرمول های تبدیل مبالغ به محصولات و محصولات به مجموع.

قبلاً از فرمول های فوق برای ساده سازی محاسبات استفاده می شد. آنها با استفاده از جداول لگاریتمی و بعداً - یک قانون اسلاید محاسبه کردند، زیرا لگاریتم ها برای ضرب اعداد مناسب هستند. به همین دلیل است که هر عبارت اصلی به شکلی کاهش می یابد که برای لگاریتم سازی مناسب باشد، یعنی به محصولات مثلا:

2 گناه α گناه ب = cos (α - ب) - cos (α + ب);

2 cos α cos ب = cos (α - ب) + cos (α + ب);

2 گناه α cos ب = گناه (α - ب) + گناه (α + ب).

زاویه ای که مخصوصاً برای آن

فرمول های توابع مماس و کتانژانت به راحتی از موارد فوق بدست می آیند.

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

sin 2 α = (1 - cos 2α)/2;	cos 2 α = (1 + cos 2α)/2;
گناه 3α = (3 گناهα - گناه 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

با استفاده از این فرمول ها معادلات مثلثاتیبه راحتی به معادلاتی با توان های کمتر تقلیل می یابند. به همین ترتیب، فرمول های کاهش برای بیشتر مشتق شده است درجات بالا گناهو cos.