زوج، اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر درست باشد: \(f(-x)=f(x)\) .

نمودار یک تابع زوج متقارن با محور \(y\) است:

مثال: تابع \(f(x)=x^2+\cos x\) زوج است، زیرا \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) فراخوانی می شود فرد، اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر درست باشد: \(f(-x)=-f(x)\) .

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است:

مثال: تابع \(f(x)=x^3+x\) فرد است زیرا \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) توابعی که نه زوج هستند و نه فرد، توابع شکل کلی نامیده می شوند. چنین تابعی را همیشه می توان به صورت یکتا به صورت مجموع یک تابع زوج و فرد نشان داد.

برای مثال، تابع \(f(x)=x^2-x\) مجموع تابع زوج \(f_1=x^2\) و فرد \(f_2=-x\) است.

\(\مثلث سیاه\) برخی از خواص:

1) حاصلضرب و ضریب دو تابع برابری یکسان یک تابع زوج است.

2) حاصل ضرب و ضریب دو تابع برابری های مختلف یک تابع فرد است.

3) مجموع و تفاضل توابع زوج - تابع زوج.

4) مجموع و تفاضل توابع فرد - تابع فرد.

5) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج باشد، معادله \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ریشه یکتا دارد اگر و فقط زمانی که \( x =0\).

6) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج یا فرد باشد و معادله \(f(x)=0\) ریشه \(x=b\) داشته باشد، این معادله لزوما یک ثانیه خواهد داشت. ریشه \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) در \(X\) دوره ای نامیده می شود اگر برای برخی از عدد \(T\ne 0\) موارد زیر برقرار باشد: \(f(x)=f( x+T) \) ، جایی که \(x، x+T\در X\). کوچکترین \(T\) که این برابری برای آن برآورده می شود دوره اصلی (اصلی) تابع نامیده می شود.

یک تابع تناوبی هر عددی به شکل \(nT\) دارد، که در آن \(n\in \mathbb(Z)\) نیز نقطه خواهد بود.

مثال: هر تابع مثلثاتی تناوبی است.
برای توابع \(f(x)=\sin x\) و \(f(x)=\cos x\) دوره اصلی برابر است با \(2\pi\)، برای توابع \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) و \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) دوره اصلی برابر با \(\pi\) است.

برای ساختن نمودار یک تابع تناوبی، می توانید نمودار آن را بر روی هر قطعه ای از طول \(T\) (دوره اصلی) رسم کنید. سپس نمودار کل تابع با جابجایی قسمت ساخته شده با تعداد صحیح نقطه به راست و چپ تکمیل می شود:

\(\blacktriangleright\) دامنه \(D(f)\) تابع \(f(x)\) مجموعه‌ای از تمام مقادیر آرگومان \(x\) است که تابع برای آن معنا دارد. (تعریف شده است).

مثال: تابع \(f(x)=\sqrt x+1\) یک دامنه تعریف دارد: \(x\in

وظیفه 1 #6364

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

معادله در چه مقادیری از پارامتر \(a\) انجام می شود

یک راه حل واحد دارد؟

توجه داشته باشید که از آنجایی که \(x^2\) و \(\cos x\) توابع زوج هستند، اگر معادله ریشه \(x_0\) داشته باشد، ریشه \(-x_0\) نیز خواهد داشت.
در واقع، اجازه دهید \(x_0\) یک ریشه باشد، یعنی برابری \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)درست. بیایید \(-x_0\) را جایگزین کنیم: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

بنابراین، اگر \(x_0\ne 0\) باشد، معادله از قبل حداقل دو ریشه خواهد داشت. بنابراین، \(x_0=0\) . سپس:

ما دو مقدار برای پارامتر \(a\) دریافت کردیم. توجه داشته باشید که ما از این واقعیت استفاده کردیم که \(x=0\) دقیقاً ریشه معادله اصلی است. اما ما هرگز از این واقعیت استفاده نکردیم که او تنها است. بنابراین، باید مقادیر حاصل از پارامتر \(a\) را در معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید که ریشه \(x=0\) در کدام \(a\) خاص منحصر به فرد خواهد بود.

1) اگر \(a=0\) باشد، معادله به شکل \(2x^2=0\) خواهد بود. بدیهی است که این معادله فقط یک ریشه \(x=0\) دارد. بنابراین، مقدار \(a=0\) برای ما مناسب است.

2) اگر \(a=-\mathrm(tg)\,1\) باشد، معادله شکل خواهد گرفت \ بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم \ زیرا \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\)، آن \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). در نتیجه، مقادیر سمت راست معادله (*) متعلق به بخش است \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) است، پس سمت چپ معادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.

بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. و این به این معنی است \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright arrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftright arrow\quad x=0\]بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.

پاسخ:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

وظیفه 2 #3923

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع است \

متقارن در مورد مبدا

اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه برقرار است. تعریف تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]

آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه \(f(x)\ برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

پاسخ:

\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)

وظیفه 3 #3069

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط اعداد و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(تکلیف از مشترکین)

از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن متقارن با محور ارتجاعی است، بنابراین، وقتی \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . بنابراین، زمانی که \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\)، و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\) ، تابع \(f(x)=ax^2\) است.

1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود:


سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند:


از این رو، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شد)\درست.\]از آنجایی که \(a>0\) ، پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.

2) اجازه دهید \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


لازم است که نمودار \(g(x)\) از نقطه \(B\) عبور کند: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end(جمع آوری شده)\راست.\]از وقتی که<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) موردی که \(a=0\) مناسب نیست، زیرا \(f(x)=0\) برای همه \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) و معادله فقط 1 ریشه خواهد داشت.

پاسخ:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

وظیفه 4 #3072

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \

حداقل یک ریشه دارد.

(تکلیف از مشترکین)

بیایید معادله را در فرم بازنویسی کنیم \ و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) و \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
تابع \(g(x)\) زوج است و دارای حداقل نقطه \(x=0\) (و \(g(0)=49\)) است.
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال کاهش است و برای \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) ماژول دوم مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول اول، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\)، که در آن \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر با \(-9\) یا \(-3\) است. وقتی \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
بیایید مقدار \(f\) را در حداکثر نقطه پیدا کنیم: \

برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \ \\]

پاسخ:

\(a\in \(-7\)\فنجان\)

وظیفه 5 #3912

سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی

تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر یک از آنها معادله است \

دارای شش راه حل مختلف

بیایید جایگزین \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) را ایجاد کنیم. سپس معادله شکل خواهد گرفت \ ما به تدریج شرایطی را می نویسیم که در آن معادله اصلی شش راه حل خواهد داشت.
توجه داشته باشید که معادله درجه دوم \((*)\) می تواند حداکثر دو جواب داشته باشد. هر معادله مکعبی \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) نمی تواند بیش از سه راه حل داشته باشد. بنابراین، اگر معادله \((*)\) دو راه حل متفاوت داشته باشد (مثبت!، از آنجایی که \(t\) باید بزرگتر از صفر باشد) \(t_1\) و \(t_2\)، با انجام معکوس جایگزینی، دریافت می کنیم: \[\سمت چپ[\begin(جمع شد)\begin(تراز شده) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(تراز شده)\end(جمع آوری)\راست.\]از آنجایی که هر عدد مثبت را می توان تا حدودی به صورت \(\sqrt2\) نشان داد، برای مثال، \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\)، سپس اولین معادله مجموعه در فرم بازنویسی می شود \ همانطور که قبلاً گفتیم، هر معادله مکعبی بیش از سه راه حل ندارد، بنابراین هر معادله در مجموعه بیش از سه راه حل نخواهد داشت. این بدان معنی است که کل مجموعه بیش از شش راه حل نخواهد داشت.
این بدان معناست که برای اینکه معادله اصلی شش راه حل داشته باشد، معادله درجه دوم \((*)\) باید دو جواب متفاوت داشته باشد و هر معادله مکعبی حاصل (از مجموعه) باید سه جواب متفاوت داشته باشد (و نه یک جواب واحد). یک معادله باید با هر معادله منطبق باشد - با تصمیم دوم!)
بدیهی است که اگر معادله درجه دوم \((*)\) یک راه حل داشته باشد، برای معادله اصلی شش جواب نخواهیم داشت.

بنابراین، طرح راه حل روشن می شود. شرایطی را که باید رعایت شود را نقطه به نقطه بنویسیم.

1) برای اینکه معادله \((*)\) دو جواب متفاوت داشته باشد، ممیز آن باید مثبت باشد: \

2) همچنین لازم است که هر دو ریشه مثبت باشند (از آنجا که \(t>0\) ). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

بنابراین، ما قبلاً دو ریشه مثبت مختلف \(t_1\) و \(t_2\) را برای خود فراهم کرده ایم.

3) بیایید به این معادله نگاه کنیم \ برای چه \(t\) سه راه حل مختلف خواهد داشت؟
تابع \(f(x)=x^3-3x^2+4\) را در نظر بگیرید.
می توان فاکتورسازی کرد: \ بنابراین، صفرهای آن عبارتند از: \(x=-1;2\) .
اگر مشتق \(f"(x)=3x^2-6x\) را پیدا کنیم، آنگاه دو نقطه افراطی \(x_(max)=0، x_(min)=2\) بدست می آوریم.
بنابراین، نمودار به شکل زیر است:


می بینیم که هر خط افقی \(y=k\) ، جایی که \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)سه راه حل مختلف داشت، لازم است \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
بنابراین، شما نیاز دارید: \[\شروع (موارد) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که اگر اعداد \(t_1\) و \(t_2\) متفاوت باشند، اعداد \(\log_(\sqrt2)t_1\) و \(\log_(\sqrt2)t_2\) خواهند بود. متفاوت است که به معنای معادلات است \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)و \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ریشه های متفاوتی خواهد داشت.
سیستم \((**)\) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: \[\شروع (موارد) 1

بنابراین، ما تعیین کردیم که هر دو ریشه معادله \((*)\) باید در بازه \((1;4)\) قرار گیرند. چگونه این شرط را بنویسیم؟
ما ریشه ها را به صراحت نمی نویسیم.
تابع \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) را در نظر بگیرید. نمودار آن سهمی با شاخه های رو به بالا است که دارای دو نقطه تقاطع با محور x است (این شرط را در بند 1 یادداشت کردیم). نمودار آن چگونه باید باشد تا نقاط تقاطع با محور x در بازه \((1;4)\) باشد؟ بنابراین:


اولاً مقادیر \(g(1)\) و \(g(4)\) تابع در نقاط \(1\) و \(4\) باید مثبت باشد و ثانیاً راس سهمی \(t_0\ ) نیز باید در بازه \((1;4)\) باشد. بنابراین، می توانیم سیستم را بنویسیم: \[\begin(موارد) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) همیشه حداقل یک ریشه \(x=0\) دارد. این بدان معنی است که برای تحقق شرایط مسئله لازم است که معادله \

دارای چهار ریشه مختلف، متفاوت از صفر، که همراه با \(x=0\)، یک پیشرفت حسابی را نشان می‌دهد.

توجه داشته باشید که تابع \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) زوج است، به این معنی که اگر \(x_0\) ریشه معادله \( (*)\ ) ، سپس \(-x_0\) نیز ریشه آن خواهد بود. سپس لازم است که ریشه های این معادله اعدادی باشد که به ترتیب صعودی مرتب شده اند: \(-2d, -d, d, 2d\) (سپس \(d>0\)). پس از آن است که این پنج عدد یک تصاعد حسابی (با اختلاف \(d\)) تشکیل می دهند.

برای اینکه این ریشه ها اعداد \(-2d، -d، d، 2d\) باشند، لازم است که اعداد \(d^(\,2)، 4d^(\,2)\) ریشه های باشند. معادله \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . سپس طبق قضیه ویتا:

بیایید معادله را در فرم بازنویسی کنیم \ و دو تابع را در نظر بگیرید: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) و \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
تابع \(g(x)\) دارای حداکثر نقطه \(x=0\) است (و \(g_(\text(بالا))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). مشتق صفر: \(x=0\) . وقتی \(x<0\) имеем: \(g">0\) ، برای \(x>0\) : \(g"<0\) .
تابع \(f(x)\) برای \(x>0\) در حال افزایش است و برای \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
در واقع، وقتی \(x>0\) اولین ماژول مثبت باز می شود (\(|x|=x\))، بنابراین، صرف نظر از نحوه باز شدن ماژول دوم، \(f(x)\) برابر خواهد بود. به \( kx+A\) ، که \(A\) عبارت \(a\) است و \(k\) برابر است با \(13-10=3\) یا \(13+10 =23\). وقتی \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
بیایید مقدار \(f\) را در حداقل نقطه پیدا کنیم: \

برای اینکه معادله حداقل یک جواب داشته باشد، لازم است نمودارهای توابع \(f\) و \(g\) حداقل یک نقطه تقاطع داشته باشند. بنابراین، شما نیاز دارید: \ با حل این مجموعه از سیستم ها، به جواب می رسیم: \\]

پاسخ:

\(a\in \(-2\)\فنجان\)

زوج بودن و عجیب بودن یک تابع یکی از ویژگی های اصلی آن است و برابری بخش قابل توجهی از درس ریاضیات مدرسه را به خود اختصاص می دهد. تا حد زیادی رفتار تابع را تعیین می کند و ساخت نمودار مربوطه را تا حد زیادی تسهیل می کند.

بیایید برابری تابع را تعیین کنیم. به طور کلی، تابع مورد مطالعه در نظر گرفته می شود حتی اگر برای مقادیر متضاد متغیر مستقل (x) واقع در دامنه تعریف آن، مقادیر متناظر y (تابع) برابر باشد.

بیایید تعریف دقیق تری ارائه دهیم. تابع f (x) را در نظر بگیرید که در دامنه D تعریف شده است. حتی اگر برای هر نقطه x واقع در دامنه تعریف باشد:

• -x (نقطه مقابل) نیز در این محدوده قرار دارد،

• f(-x) = f(x).

از تعریف فوق شرط لازم برای دامنه تعریف چنین تابعی به دست می آید، یعنی تقارن نسبت به نقطه O که مبدأ مختصات است، زیرا اگر نقطه b در دامنه تعریف زوج باشد. تابع، سپس نقطه مربوطه b نیز در این حوزه قرار دارد. بنابراین، از موارد فوق نتیجه می‌گیریم: تابع زوج نسبت به محور ارتین (Oy) شکلی متقارن دارد.

چگونه برابری یک تابع را در عمل تعیین کنیم؟

بگذارید با استفاده از فرمول h(x)=11^x+11^(-x) مشخص شود. با پیروی از الگوریتمی که مستقیماً از تعریف حاصل می شود، ابتدا دامنه تعریف آن را بررسی می کنیم. بدیهی است که برای تمام مقادیر آرگومان تعریف شده است، یعنی شرط اول برآورده می شود.

مرحله بعدی این است که مقدار مخالف (-x) را جایگزین آرگومان (x) کنید.
ما گرفتیم:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
از آنجایی که جمع قانون جابجایی (تبدیلی) را برآورده می کند، بدیهی است که h(-x) = h(x) و وابستگی تابعی داده شده زوج است.

بیایید برابری تابع h(x)=11^x-11^(-x) را بررسی کنیم. با پیروی از همان الگوریتم، دریافت می کنیم که h(-x) = 11^(-x) -11^x. با برداشتن منهای، در پایان داریم
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). بنابراین h(x) فرد است.

به هر حال، لازم به یادآوری است که توابعی وجود دارند که نمی توان آنها را بر اساس این معیارها طبقه بندی کرد؛ آنها نه زوج و نه فرد نامیده می شوند.

حتی توابع دارای تعدادی ویژگی جالب هستند:

• در نتیجه افزودن توابع مشابه، یک عدد زوج به دست می آورند.
• در نتیجه تفریق چنین توابعی، یک زوج به دست می آید.
• حتی، همچنین یکنواخت؛
• در نتیجه ضرب دو تابع از این قبیل، یک عدد زوج به دست می آید.
• در نتیجه ضرب توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• در نتیجه تقسیم توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• مشتق چنین تابعی فرد است.
• اگر یک تابع فرد را مربع کنید، یک عدد زوج به دست می آید.

برای حل معادلات می توان از برابری یک تابع استفاده کرد.

برای حل معادله ای مانند g(x) = 0، جایی که سمت چپ معادله یک تابع زوج است، یافتن راه حل های آن برای مقادیر غیر منفی متغیر کاملاً کافی خواهد بود. ریشه های حاصل از معادله باید با اعداد مخالف ترکیب شوند. یکی از آنها در معرض تأیید است.

این نیز با موفقیت برای حل مشکلات غیر استاندارد با یک پارامتر استفاده می شود.

به عنوان مثال، آیا مقداری از پارامتر a وجود دارد که معادله 2x^6-x^4-ax^2=1 دارای سه ریشه باشد؟

اگر در نظر بگیریم که متغیر با توان زوج وارد معادله می شود، مشخص می شود که جایگزینی x با - x معادله داده شده را تغییر نمی دهد. بنابراین اگر عدد معینی ریشه آن باشد، عدد مقابل نیز ریشه است. نتیجه واضح است: ریشه های یک معادله که با صفر متفاوت است در مجموعه راه حل های آن به صورت "جفت" گنجانده شده است.

واضح است که خود عدد 0 نیست، یعنی تعداد ریشه های چنین معادله ای فقط می تواند زوج باشد و طبیعتاً برای هر مقدار پارامتر نمی تواند سه ریشه داشته باشد.

اما تعداد ریشه های معادله 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 می تواند فرد باشد و برای هر مقدار از پارامتر. در واقع، به راحتی می توان بررسی کرد که مجموعه ریشه های این معادله حاوی راه حل های "جفت" باشد. بیایید بررسی کنیم که آیا 0 یک ریشه است یا خیر. وقتی آن را در معادله جایگزین می کنیم، 2=2 به دست می آید. بنابراین، علاوه بر "جفت"، 0 نیز یک ریشه است که عدد فرد آنها را ثابت می کند.

پنهان کردن نمایش

روش های تعیین یک تابع

اجازه دهید تابع با فرمول داده شود: y=2x^(2)-3. با اختصاص دادن هر مقدار به متغیر مستقل x، می توانید با استفاده از این فرمول، مقادیر مربوط به متغیر وابسته y را محاسبه کنید. به عنوان مثال، اگر x=-0.5، پس با استفاده از فرمول، متوجه می‌شویم که مقدار مربوط به y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 است.

با گرفتن هر مقداری که توسط آرگومان x در فرمول y=2x^(2)-3 گرفته می شود، می توانید تنها یک مقدار از تابع مربوط به آن را محاسبه کنید. تابع را می توان به صورت جدول نشان داد:

ایکس	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

با استفاده از این جدول، می توانید ببینید که برای مقدار آرگومان -1 مقدار تابع -3 مطابقت دارد. و مقدار x=2 با y=0 و غیره مطابقت دارد. همچنین مهم است که بدانید هر مقدار آرگومان در جدول تنها با یک مقدار تابع مطابقت دارد.

توابع بیشتری را می توان با استفاده از نمودارها مشخص کرد. با استفاده از یک نمودار مشخص می شود که کدام مقدار تابع با مقدار خاصی x ارتباط دارد. اغلب، این مقدار تقریبی تابع خواهد بود.

تابع زوج و فرد

تابع است حتی عملکرد، زمانی که f(-x)=f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی در مورد محور Oy متقارن خواهد بود.

تابع است تابع فرد، زمانی که f(-x)=-f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی نسبت به مبدا O متقارن خواهد بود (0;0).

تابع است نه حتی, نه عجیب و غریبو نامیده می شود عملکرد کلی، زمانی که در مورد محور یا مبدا تقارن نداشته باشد.

اجازه دهید تابع زیر را برای برابری بررسی کنیم:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) با دامنه تعریف متقارن نسبت به مبدا. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

این بدان معناست که تابع f(x)=3x^(3)-7x^(7) فرد است.

تابع دوره ای

تابع y=f(x) که در حوزه آن برابری f(x+T)=f(x-T)=f(x) برای هر x برقرار است، نامیده می شود. تابع دوره ایبا دوره T \neq 0 .

تکرار نمودار یک تابع در هر بخش از محور x که طول T دارد.

فواصل زمانی که تابع مثبت است، یعنی f(x) > 0، بخش هایی از محور آبسیسا هستند که مربوط به نقاط نمودار تابعی هستند که بالای محور آبسیسا قرار دارند.

f(x) > 0 روشن است (x_(1)؛ x_(2) \ cup (x_(3); +\infty)

فواصل زمانی که تابع منفی است، یعنی f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ cup (x_(2); x_(3))

عملکرد محدود

از پایین محدود شده استزمانی که یک عدد A وجود دارد که نابرابری f(x) \geq A برای هر x \در X وجود دارد، مرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را فراخوانی کنیم.

مثالی از یک تابع محدود شده از زیر: y=\sqrt(1+x^(2)) زیرا y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 برای هر x.

از بالا محدود شده استیک تابع y=f(x)، x \in X زمانی فراخوانی می‌شود که یک عدد B وجود داشته باشد که نابرابری f(x) \neq B برای هر x \در X وجود دارد.

مثالی از تابعی که در زیر محدود شده است: y=\sqrt(1-x^(2))، x \in [-1;1]از آنجایی که y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 برای هر x \in [-1;1] .

محدودمرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را زمانی که یک عدد K > 0 وجود دارد که نابرابری \left | f(x)\right | \neq K برای هر x \در X.

مثالی از یک تابع محدود: y=\sin x در کل محور اعداد محدود است، زیرا \ چپ | \sin x \راست | \neq 1.

عملکرد افزایش و کاهش

مرسوم است که از تابعی صحبت کنیم که در بازه مورد نظر به عنوان افزایش می یابد افزایش عملکردسپس، زمانی که مقدار بزرگتر x با مقدار بزرگتری از تابع y=f(x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه از آرگومان x_(1) و x_(2) از بازه مورد نظر، با x_(1) > x_(2)، نتیجه y(x_(1)) خواهد شد. y (x_(2)).

تابعی که در بازه مورد نظر کاهش می یابد نامیده می شود عملکرد کاهشیوقتی مقدار بزرگتر x با مقدار کوچکتر تابع y(x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه آرگومان x_(1) و x_(2) و x_(1) > x_(2) از بازه مورد بررسی، نتیجه y(x_(1)) خواهد بود.< y(x_{2}) .

ریشه های تابعمرسوم است که نقاطی را که تابع F=y(x) محور آبسیسا را ​​قطع می کند، نامیده می شود (از حل معادله y(x)=0 به دست می آیند).

الف) اگر برای x > 0 یک تابع زوج افزایش یابد، آنگاه برای x کاهش می یابد< 0

ب) وقتی یک تابع زوج در x > 0 کاهش می یابد، آنگاه در x افزایش می یابد< 0

ج) هنگامی که یک تابع فرد در x > 0 افزایش می یابد، آنگاه در x نیز افزایش می یابد< 0

د) هنگامی که یک تابع فرد برای x > 0 کاهش می یابد، آنگاه برای x نیز کاهش می یابد< 0

افراطی عملکرد

حداقل نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) > f خواهد بود. راضی (x_(0)) . y_(min) - تعیین تابع در نقطه min.

حداکثر نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) برآورده می شود.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

پيش نياز

طبق قضیه فرما: f"(x)=0 وقتی تابع f(x) که در نقطه x_(0) قابل تمایز است در این نقطه دارای یک اکسترموم باشد.

شرایط کافی

1. هنگامی که مشتق علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، آنگاه x_(0) حداقل نقطه خواهد بود.
2. x_(0) - تنها زمانی یک نقطه حداکثر خواهد بود که مشتق هنگام عبور از نقطه ثابت x_(0) علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهد.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه

مراحل محاسبه:

1. مشتق f"(x) جستجو می شود.
2. نقاط ثابت و بحرانی تابع پیدا شده و آنهایی که متعلق به بخش هستند انتخاب می شوند.
3. مقادیر تابع f(x) در نقاط ثابت و بحرانی و انتهای قطعه یافت می شود. کوچکتر از نتایج به دست آمده خواهد بود کوچکترین مقدار تابع، و بیشتر - بزرگترین.

مطالعه عملکرد.

1) D(y) – دامنه تعریف: مجموعه تمام آن مقادیر متغیر x. که برای آن عبارات جبری f(x) و g(x) معنی دارند.

اگر تابعی با فرمول داده شود، دامنه تعریف شامل تمام مقادیر متغیر مستقلی است که فرمول برای آن معنا دارد.

2) ویژگی های تابع: زوج/فرد، تناوب:

فردو زوجتوابعی نامیده می شوند که نمودارهای آنها با توجه به تغییرات علامت آرگومان متقارن باشد.

تابع فرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل (متقارن نسبت به مرکز مختصات) مقدار را به عکس تغییر می دهد.

حتی عملکرد- تابعی که با تغییر علامت متغیر مستقل، مقدار خود را تغییر نمی دهد (متقارن نسبت به مختصات).

نه تابع زوج و نه فرد (عملکرد عمومی)- تابعی که تقارن ندارد. این دسته شامل توابعی است که در 2 دسته قبلی قرار نمی گیرند.

توابعی که به هیچ یک از دسته های بالا تعلق ندارند نامیده می شوند نه زوج و نه فرد(یا توابع عمومی).

توابع فرد

توان فرد که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

حتی توابع

حتی قدرت که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.

تابع دوره ای- تابعی که مقادیر خود را در یک بازه آرگومان منظم تکرار می کند، یعنی با اضافه کردن تعداد ثابت غیر صفر به آرگومان، مقدار خود را تغییر نمی دهد. دوره زمانیتوابع) در کل دامنه تعریف.

3) صفر (ریشه) یک تابع نقاطی هستند که در آن ها صفر می شود.

پیدا کردن نقطه تلاقی نمودار با محور اوه. برای این کار باید مقدار را محاسبه کنید f(0). همچنین نقاط تلاقی نمودار با محور را پیدا کنید گاو نر، چرا ریشه های معادله را پیدا کنید f(ایکس) = 0 (یا مطمئن شوید که ریشه وجود ندارد).

نقاطی که نمودار محور را قطع می کند نامیده می شوند تابع صفر. برای پیدا کردن صفرهای یک تابع باید معادله را حل کنید، یعنی پیدا کنید آن معانی "x"، که در آن تابع صفر می شود.

4) فواصل ثبات علائم، نشانه ها در آنها.

بازه هایی که تابع f(x) علامت را حفظ می کند.

فاصله پایداری علامت فاصله است در هر نقطه از آنتابع مثبت یا منفی است.

بالای محور x.

زیر محور.

5) تداوم (نقاط انقطاع، ماهیت ناپیوستگی، مجانب).

عملکرد پیوسته- یک تابع بدون "پرش"، یعنی تابعی که در آن تغییرات کوچک در آرگومان منجر به تغییرات کوچک در مقدار تابع می شود.

نقاط شکست قابل جابجایی

اگر حد تابع وجود دارد، اما تابع در این نقطه تعریف نشده است، یا حد با مقدار تابع در این نقطه منطبق نیست:

,

سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه شکست قابل جابجاییتوابع (در تحلیل پیچیده، یک نقطه منفرد قابل جابجایی).

اگر تابع را در نقطه ناپیوستگی قابل جابجایی "تصحیح" کنیم و قرار دهیم ، سپس تابعی دریافت می کنیم که در یک نقطه معین پیوسته است. این عملیات روی یک تابع نامیده می شود گسترش تابع به پیوستهیا تعریف مجدد تابع بر اساس پیوستگی، که نام نقطه را به عنوان یک نقطه توجیه می کند قابل جابجاییپارگی

نقاط ناپیوستگی نوع اول و دوم

اگر تابعی در یک نقطه معین ناپیوستگی داشته باشد (یعنی حد تابع در یک نقطه مشخص وجود نداشته باشد یا با مقدار تابع در یک نقطه مشخص منطبق نباشد)، برای توابع عددی دو گزینه ممکن وجود دارد. مرتبط با وجود توابع عددی محدودیت های یک طرفه:

اگر هر دو حد یک طرفه وجود داشته باشند و محدود باشند، چنین نقطه ای نامیده می شود نقطه ناپیوستگی از نوع اول. نقاط ناپیوستگی قابل جابجایی نقاط ناپیوستگی از نوع اول هستند.

اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه وجود نداشته باشد یا یک مقدار محدود نباشد، چنین نقطه ای نامیده می شود. نقطه ناپیوستگی نوع دوم.

مجانب - سر راست، که این خاصیت را دارد که فاصله یک نقطه از منحنی تا این سر راستبا دور شدن نقطه در امتداد شاخه به سمت بی نهایت به سمت صفر میل می کند.

عمودی

مجانب عمودی - خط حد .

به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به این منظور انجام می‌شود تا مشخص شود که تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از جهات مختلف چگونه رفتار می‌کند. مثلا:

افقی

مجانب افقی - سر راستگونه ها، مشروط به وجود حد

.

شیب دار

مجانب مایل - سر راستگونه ها، مشروط به وجود محدودیت ها

نکته: یک تابع نمی تواند بیش از دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد.

نکته: اگر حداقل یکی از دو حد ذکر شده در بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد.

اگر در مورد 2.)، سپس، و حد با استفاده از فرمول مجانب افقی پیدا می شود، .

6) یافتن فواصل یکنواختیبازه های یکنواختی یک تابع را بیابید f(ایکس)(یعنی فواصل افزایش و کاهش). این کار با بررسی علامت مشتق انجام می شود f(ایکس). برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید f(ایکس) و نابرابری را حل کنید f(ایکس) 0. در فواصل زمانی که این نابرابری برقرار است، تابع f(ایکس)افزایش. جایی که نابرابری معکوس برقرار است f(ایکس)0، تابع f(ایکس) در حال کاهش است.

یافتن یک اکستریم موضعیبا یافتن فواصل یکنواختی، می‌توانیم فوراً نقاط انتهایی محلی را تعیین کنیم که در آن افزایش با کاهش جایگزین می‌شود، حداکثرهای محلی قرار دارند و جایی که کاهش با افزایش جایگزین می‌شود، حداقل‌های محلی قرار دارند. مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید. اگر یک تابع دارای نقاط بحرانی است که نقاط اکستروم محلی نیستند، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است.

پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع y = f(x) در یک قطعه(ادامه)

1. مشتق تابع را پیدا کنید: f(ایکس). 2. نقاطی را که مشتق در آنها صفر است پیدا کنید: f(ایکس)=0ایکس 1, ایکس 2 ,... 3. وابستگی نقاط را تعیین کنید ایکس 1 ,ایکس 2 , … بخش [ آ; ب]: اجازه دهید ایکس 1آ;ب، آ ایکس 2آ;ب . 4. مقادیر تابع را در نقاط انتخاب شده و در انتهای بخش پیدا کنید: f(ایکس 1), f(ایکس 2),..., f(ایکس آ),f(ایکس ب), 5. انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع از میان مقادیر یافت شده. اظهار نظر. اگر در بخش [ آ; ب] نقاط ناپیوستگی وجود دارد، پس باید حدود یک طرفه را در آنها محاسبه کرد و سپس در انتخاب بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع، مقادیر آنها را در نظر گرفت.

7) یافتن فواصل تحدب و تقعر. این کار با بررسی علامت مشتق دوم انجام می شود f(ایکس). نقاط عطف را در محل اتصال فواصل محدب و مقعر پیدا کنید. مقدار تابع را در نقاط عطف محاسبه کنید. اگر تابعی دارای نقاط پیوستگی دیگری باشد (به جز نقاط عطف) که در آن مشتق دوم 0 است یا وجود ندارد، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است. پیدا کردن f(ایکس)، نابرابری را حل می کنیم f(ایکس) 0. در هر یک از بازه های حل تابع به سمت پایین محدب خواهد بود. حل نابرابری معکوس f(ایکس)0، فواصل زمانی که تابع به سمت بالا محدب است (یعنی مقعر) را پیدا می کنیم. ما نقاط عطف را به عنوان نقاطی تعریف می کنیم که در آن تابع جهت تحدب را تغییر می دهد (و پیوسته است).

نقطه عطف یک تابع- این نقطه ای است که تابع پیوسته است و هنگام عبور از آن تابع جهت تحدب را تغییر می دهد.

شرایط وجود

شرط لازم برای وجود نقطه عطف:اگر تابع در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه دو بار متمایز شود، سپس یا .

تابعیکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. تابع - وابستگی متغیر دراز متغیر ایکس، اگر هر مقدار ایکسبا یک مقدار منطبق است در. متغیر ایکسمتغیر یا آرگومان مستقل نامیده می شود. متغیر درمتغیر وابسته نامیده می شود. تمام مقادیر متغیر مستقل (متغیر ایکس) دامنه تعریف تابع را تشکیل می دهند. تمام مقادیری که متغیر وابسته می گیرد (متغیر y، محدوده مقادیر تابع را تشکیل می دهد.

نمودار تابعمجموعه تمام نقاط صفحه مختصات را فراخوانی می کنیم که ابسیساهای آن برابر با مقادیر آرگومان است و مختصات آن برابر با مقادیر مربوط به تابع، یعنی مقادیر متغیرها در امتداد محور آبسیسا رسم می شوند ایکس، و مقادیر متغیر در امتداد محور ارتین رسم می شوند y. برای ترسیم نمودار یک تابع، باید ویژگی های تابع را بدانید. ویژگی های اصلی تابع در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت!

برای ساختن نمودار یک تابع، توصیه می کنیم از برنامه خود استفاده کنید - توابع نموداری آنلاین. اگر در حین مطالعه مطالب موجود در این صفحه سؤالی دارید، همیشه می توانید آنها را در انجمن ما بپرسید. همچنین در انجمن آنها به شما در حل مسائل ریاضی، شیمی، هندسه، نظریه احتمالات و بسیاری موضوعات دیگر کمک می کنند!

ویژگی های اساسی توابع

1) دامنه تابع و محدوده تابع.

دامنه یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر آرگومان معتبر معتبر است ایکس(متغیر ایکس) که برای آن تابع y = f(x)مشخص.
محدوده یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر واقعی است y، که تابع آن را می پذیرد.

در ریاضیات ابتدایی، توابع فقط بر روی مجموعه اعداد حقیقی مطالعه می شوند.

2) تابع صفر.

ارزش های ایکس، که در آن y=0، تماس گرفت تابع صفر. اینها ابسیساهای نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Ox هستند.

3) فواصل علامت ثابت یک تابع.

بازه های علامت ثابت یک تابع، چنین بازه هایی از مقادیر هستند ایکس، که در آن تابع مقدار می شود yیا فقط مثبت یا فقط منفی نامیده می شوند فواصل علامت ثابت تابع.

4) یکنواختی تابع.

تابع افزایشی (در یک بازه معین) تابعی است که در آن مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار بیشتری از تابع مطابقت دارد.

یک تابع کاهشی (در یک بازه زمانی معین) تابعی است که در آن مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار کوچکتری از تابع مطابقت دارد.

5) تابع زوج (فرد)..

تابع زوج تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است ایکس f(-x) = f(x). نمودار یک تابع زوج متقارن نسبت به ارتجاع است.

تابع فرد تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است ایکساز حوزه تعریف، برابری صادق است f(-x) = - f(x). نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

حتی عملکرد
1) دامنه تعریف با توجه به نقطه (0; 0) متقارن است، یعنی اگر نقطه آمتعلق به حوزه تعریف است، سپس نقطه -آهمچنین به حوزه تعریف تعلق دارد.
2) برای هر مقدار ایکس f(-x)=f(x)
3) نمودار یک تابع زوج نسبت به محور Oy متقارن است.

تابع فرددارای خواص زیر است:
1) دامنه تعریف در مورد نقطه (0؛ 0) متقارن است.
2) برای هر مقدار ایکس، متعلق به حوزه تعریف، برابری است f(-x)=-f(x)
3) نمودار یک تابع فرد با توجه به مبدا متقارن است (0؛ 0).

هر تابعی زوج یا فرد نیست. کارکرد نمای کلینه زوج هستند و نه فرد

6) توابع محدود و نامحدود.

اگر یک عدد مثبت M وجود داشته باشد که |f(x)| باشد، یک تابع محدود خوانده می شود ≤ M برای همه مقادیر x. اگر چنین عددی وجود نداشته باشد، تابع نامحدود است.

7) تناوب بودن تابع.

یک تابع f(x) تناوبی است اگر یک عدد غیرصفر T وجود داشته باشد به طوری که برای هر x از دامنه تعریف تابع، موارد زیر برقرار است: f(x+T) = f(x). این کوچکترین عدد دوره تابع نامیده می شود. همه توابع مثلثاتی تناوبی هستند. (فرمول های مثلثاتی).

تابع fاگر عددی وجود داشته باشد که برای هر یک وجود داشته باشد دوره ای نامیده می شود ایکساز حوزه تعریف برابری f(x)=f(x-T)=f(x+T). تیدوره عملکرد است.

هر تابع تناوبی بی نهایت دوره دارد. در عمل معمولاً کوچکترین دوره مثبت در نظر گرفته می شود.

مقادیر یک تابع تناوبی پس از فاصله ای برابر با دوره تکرار می شود. این در هنگام ساخت نمودار استفاده می شود.