بسیاری، هنگامی که با مفهوم "نظریه احتمال" روبرو می شوند، می ترسند و فکر می کنند که این چیزی بسیار پیچیده، بسیار پیچیده است. اما همه چیز در واقع چندان غم انگیز نیست. امروز به مفهوم اساسی نظریه احتمال نگاه خواهیم کرد و نحوه حل مسائل را با استفاده از مثال های خاص یاد خواهیم گرفت.

علم

شاخه ای از ریاضیات به عنوان "نظریه احتمال" چه چیزی را مطالعه می کند؟ او الگوها و مقادیر را یادداشت می کند. دانشمندان برای اولین بار در قرن هجدهم، زمانی که قمار را مطالعه کردند، به این موضوع علاقه مند شدند. مفهوم اساسی نظریه احتمال یک رویداد است. هر واقعیتی است که با تجربه یا مشاهده ثابت شود. اما تجربه چیست؟ یکی دیگر از مفاهیم اساسی نظریه احتمال. یعنی این مجموعه شرایط نه به صورت تصادفی، بلکه برای یک هدف خاص ایجاد شده است. در مورد مشاهده، در اینجا خود محقق در آزمایش شرکت نمی کند، بلکه صرفاً شاهد این رویدادها است؛ او به هیچ وجه بر آنچه اتفاق می افتد تأثیر نمی گذارد.

مناسبت ها

ما یاد گرفتیم که مفهوم اصلی نظریه احتمال یک رویداد است، اما طبقه بندی را در نظر نگرفتیم. همه آنها به دسته های زیر تقسیم می شوند:

• قابل اعتماد.
• غیر ممکن
• تصادفی.

صرف نظر از اینکه آنها چه نوع رویدادهایی هستند، مشاهده شده یا در طول تجربه ایجاد شده اند، همه آنها مشمول این طبقه بندی هستند. از شما دعوت می کنیم تا با هر نوع به صورت جداگانه آشنا شوید.

رویداد قابل اعتماد

این شرایطی است که مجموعه اقدامات لازم برای آن انجام شده است. برای درک بهتر اصل مطلب، بهتر است چند مثال بزنیم. فیزیک، شیمی، اقتصاد و ریاضیات عالی مشمول این قانون هستند. نظریه احتمال شامل چنین مفهوم مهمی به عنوان یک رویداد قابل اعتماد است. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

• ما کار می کنیم و غرامت به صورت دستمزد دریافت می کنیم.
• ما امتحانات را به خوبی پشت سر گذاشتیم، مسابقه را پشت سر گذاشتیم و برای این کار پاداشی در قالب پذیرش در یک موسسه آموزشی دریافت می کنیم.
• پول را در بانک سرمایه گذاری کردیم و در صورت لزوم آن را پس خواهیم گرفت.

چنین رویدادهایی قابل اعتماد هستند. اگر همه شرایط لازم را انجام داده باشیم، قطعا نتیجه مورد انتظار را خواهیم گرفت.

اتفاقات غیر ممکن

اکنون در حال بررسی عناصر نظریه احتمال هستیم. پیشنهاد می کنیم به توضیح نوع بعدی رویداد، یعنی غیرممکن برویم. اول، اجازه دهید مهمترین قانون را تعیین کنیم - احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

هنگام حل مسائل نمی توان از این فرمول عدول کرد. برای روشن شدن موضوع، در اینجا نمونه هایی از این گونه رویدادها آورده شده است:

• آب در دمای مثبت ده یخ زد (این غیرممکن است).
• کمبود برق به هیچ وجه بر تولید تأثیر نمی گذارد (همانطور که در مثال قبلی غیرممکن است).

ارزش آوردن مثال های بیشتری را ندارد، زیرا مواردی که در بالا توضیح داده شد به وضوح ماهیت این دسته را منعکس می کنند. یک رویداد غیرممکن هرگز در طول آزمایش و تحت هیچ شرایطی رخ نخواهد داد.

رویدادهای تصادفی

هنگام مطالعه عناصر، باید به این نوع خاص از رویداد توجه ویژه ای شود. این چیزی است که علم مطالعه می کند. در نتیجه این تجربه، ممکن است اتفاقی بیفتد یا نشود. علاوه بر این، آزمایش را می توان به تعداد نامحدود انجام داد. نمونه های واضح عبارتند از:

• پرتاب سکه یک تجربه یا امتحان است، فرود آمدن سرها یک اتفاق است.
• بیرون کشیدن کورکورانه توپ از کیسه یک آزمایش است؛ گرفتن توپ قرمز یک اتفاق است و غیره.

می تواند تعداد نامحدودی از این نمونه ها وجود داشته باشد، اما، به طور کلی، ماهیت باید روشن باشد. برای جمع بندی و نظام مند کردن دانش به دست آمده در مورد رویدادها، جدولی ارائه شده است. نظریه احتمال فقط آخرین نوع از همه ارائه شده را مطالعه می کند.

قوانین

نظریه احتمال علمی است که امکان وقوع یک رویداد را مطالعه می کند. مانند بقیه قوانینی دارد. قوانین زیر در نظریه احتمال وجود دارد:

• همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی.
• قانون اعداد بزرگ

هنگام محاسبه احتمال چیزی پیچیده، می توانید از مجموعه ای از رویدادهای ساده استفاده کنید تا به روشی ساده تر و سریع تر به نتیجه برسید. توجه داشته باشید که قوانین نظریه احتمال به راحتی با استفاده از قضایای خاص اثبات می شوند. پیشنهاد می کنیم ابتدا با قانون اول آشنا شوید.

همگرایی دنباله ای از متغیرهای تصادفی

توجه داشته باشید که چندین نوع همگرایی وجود دارد:

• توالی متغیرهای تصادفی در احتمال همگرا می شوند.
• تقریبا غیرممکن.
• میانگین همگرایی مربع
• همگرایی توزیع

بنابراین، از همان ابتدا، درک ماهیت آن بسیار دشوار است. در اینجا تعاریفی وجود دارد که به شما در درک این موضوع کمک می کند. بیایید با نمای اول شروع کنیم. دنباله نامیده می شود همگرا در احتمال، اگر شرط زیر برقرار باشد: n به بی نهایت میل می کند، عددی که دنباله به آن گرایش دارد بزرگتر از صفر و نزدیک به یک است.

بریم سراغ نمای بعدی، قریب به یقین. گفته می شود دنباله همگرا می شود قریب به یقینبه یک متغیر تصادفی با n تمایل به بی نهایت و P تمایل به مقدار نزدیک به وحدت.

نوع بعدی این است میانگین همگرایی مربع. هنگام استفاده از همگرایی SC، مطالعه فرآیندهای تصادفی برداری به مطالعه فرآیندهای تصادفی مختصات آنها کاهش می یابد.

نوع آخر باقی می ماند، اجازه دهید به طور خلاصه به آن نگاه کنیم تا بتوانیم مستقیماً به سمت حل مشکلات حرکت کنیم. همگرایی در توزیع نام دیگری دارد - "ضعیف" و دلیل آن را بعداً توضیح خواهیم داد. همگرایی ضعیفهمگرایی توابع توزیع در تمام نقاط تداوم تابع توزیع محدود است.

ما قطعا به قول خود عمل خواهیم کرد: همگرایی ضعیف با همه موارد فوق تفاوت دارد زیرا متغیر تصادفی در فضای احتمال تعریف نشده است. این امکان پذیر است زیرا شرط منحصراً با استفاده از توابع توزیع شکل می گیرد.

قانون اعداد بزرگ

قضایای نظریه احتمال، مانند:

• نابرابری چبیشف
• قضیه چبیشف.
• قضیه چبیشف تعمیم یافته است.
• قضیه مارکوف.

اگر همه این قضایا را در نظر بگیریم، این سؤال ممکن است چندین ده صفحه طول بکشد. وظیفه اصلی ما استفاده از نظریه احتمال در عمل است. پیشنهاد می کنیم همین الان این کار را انجام دهید. اما قبل از آن، اجازه دهید به بدیهیات نظریه احتمال نگاه کنیم؛ آنها دستیاران اصلی در حل مسائل خواهند بود.

بدیهیات

ما قبلاً اولین مورد را زمانی ملاقات کردیم که در مورد یک رویداد غیرممکن صحبت کردیم. بیاد داشته باشیم: احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. ما یک مثال بسیار واضح و به یاد ماندنی آوردیم: برف در دمای هوای سی درجه سانتیگراد بارید.

مورد دوم به شرح زیر است: یک رویداد قابل اعتماد با احتمال برابر یک رخ می دهد. اکنون نحوه نوشتن این را با استفاده از زبان ریاضی نشان خواهیم داد: P(B)=1.

سوم: یک رویداد تصادفی ممکن است اتفاق بیفتد یا نباشد، اما این احتمال همیشه از صفر تا یک متغیر است. هر چه مقدار به یک نزدیکتر باشد، شانس بیشتری دارد. اگر مقدار به صفر نزدیک شود، احتمال بسیار کم است. بیایید این را به زبان ریاضی بنویسیم: 0<Р(С)<1.

بیایید اصل چهارم، آخر را در نظر بگیریم که به نظر می رسد: احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها. آن را به زبان ریاضی می نویسیم: P(A+B)=P(A)+P(B).

بدیهیات تئوری احتمالات ساده ترین قوانینی هستند که به خاطر سپردن آنها دشوار نیست. بیایید سعی کنیم برخی از مشکلات را بر اساس دانشی که قبلاً کسب کرده ایم حل کنیم.

بلیط بخت آزمایی

ابتدا به ساده ترین مثال - قرعه کشی نگاه می کنیم. تصور کنید که یک بلیط بخت آزمایی برای خوش شانسی خریده اید. احتمال اینکه شما حداقل بیست روبل برنده شوید چقدر است؟ در مجموع هزار بلیت در تیراژ شرکت دارند که یکی از آنها پانصد روبل جایزه دارد، ده تای آنها هر کدام صد روبل، پنجاه بلیت بیست روبلی و صد تای آنها پنج جایزه دارند. مشکلات احتمال بر اساس یافتن احتمال شانس است. اکنون با هم راه حل کار فوق را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

اگر از حرف A برای نشان دادن برد پانصد روبل استفاده کنیم، احتمال به دست آوردن A برابر با 0.001 خواهد بود. چگونه این را به دست آوردیم؟ فقط باید تعداد بلیط های "خوش شانس" را بر تعداد کل آنها (در این مورد: 1/1000) تقسیم کنید.

B یک برد صد روبل است، احتمال آن 0.01 خواهد بود. اکنون بر اساس همان اصل عمل قبلی (10/1000) عمل کردیم.

ج - برد بیست روبل است. احتمال را پیدا می کنیم، برابر با 0.05 است.

ما علاقه‌ای به بلیط‌های باقی‌مانده نداریم، زیرا صندوق جایزه آنها کمتر از آن چیزی است که در شرایط مشخص شده است. بیایید اصل چهارم را اعمال کنیم: احتمال برنده شدن حداقل بیست روبل P(A)+P(B)+P(C) است. حرف P نشان دهنده احتمال وقوع یک رویداد معین است؛ ما قبلاً آنها را در اقدامات قبلی پیدا کرده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که داده های لازم را جمع کنیم و پاسخی که دریافت می کنیم 0.061 است. این عدد پاسخ سوال وظیفه خواهد بود.

عرشه کارت

مسائل در تئوری احتمال می توانند پیچیده تر باشند؛ برای مثال، بیایید کار زیر را انجام دهیم. در مقابل شما یک عرشه از سی و شش کارت است. وظیفه شما کشیدن دو کارت پشت سر هم بدون به هم زدن پشته است، کارت اول و دوم باید آس باشد، لباس مهم نیست.

ابتدا، بیایید احتمال این را پیدا کنیم که کارت اول یک آس باشد، برای این کار ما چهار را بر سی و شش تقسیم می کنیم. گذاشتند کنار. کارت دوم را بیرون می آوریم، یک آس با احتمال سه سی و پنجم خواهد بود. احتمال رویداد دوم بستگی به این دارد که ابتدا کدام کارت را کشیدیم، ما نمی دانیم که آیا این یک آس بود یا نه. از این نتیجه می شود که رویداد B به رویداد A بستگی دارد.

گام بعدی یافتن احتمال وقوع همزمان است، یعنی A و B را ضرب می کنیم. حاصلضرب آنها به صورت زیر به دست می آید: احتمال یک رویداد را در احتمال شرطی دیگری ضرب می کنیم که با این فرض که اولی را محاسبه می کنیم. رویداد رخ داد، یعنی با کارت اول یک آس کشیدیم.

برای روشن شدن همه چیز، اجازه دهید به چنین عنصری به عنوان رویدادها اشاره کنیم. با فرض اینکه رویداد A رخ داده است محاسبه می شود. به صورت زیر محاسبه می شود: P(B/A).

بیایید به حل مسئله خود ادامه دهیم: P(A * B) = P(A) * P(B/A) یا P(A * B) = P(B) * P(A/B). احتمال برابر است با (4/36) * ((3/35)/(4/36) با گرد کردن به نزدیکترین صدم محاسبه می کنیم. داریم: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0، 82 = 0.09 احتمال اینکه ما دو آس را پشت سر هم بکشیم نه صدم است.مقدار بسیار کوچک است، بنابراین احتمال وقوع رویداد بسیار کم است.

شماره فراموش شده

ما پیشنهاد می کنیم چندین نوع دیگر از وظایف را که توسط نظریه احتمال مورد مطالعه قرار می گیرند، تجزیه و تحلیل کنیم. نمونه هایی از حل برخی از آنها را قبلا در این مقاله مشاهده کرده اید، بیایید سعی کنیم مشکل زیر را حل کنیم: پسر آخرین رقم شماره تلفن دوستش را فراموش کرده بود، اما از آنجایی که تماس بسیار مهم بود، شروع به شماره گیری یک به یک کرد. . ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که او بیش از سه بار تماس نخواهد گرفت. اگر قواعد، قوانین و بدیهیات نظریه احتمال شناخته شده باشند، راه حل مسئله ساده ترین است.

قبل از دیدن راه حل، سعی کنید خودتان آن را حل کنید. می دانیم که رقم آخر می تواند از صفر تا نه باشد، یعنی در مجموع ده مقدار. احتمال به دست آوردن مورد مناسب 1/10 است.

در مرحله بعد، ما باید گزینه هایی را برای منشاء رویداد در نظر بگیریم، فرض کنید که پسر درست حدس زده و بلافاصله درست را تایپ کرده است، احتمال چنین رویدادی 1/10 است. گزینه دوم: تماس اول از دست می رود و دومی در هدف است. بیایید احتمال چنین رویدادی را محاسبه کنیم: 9/10 را در 1/9 ضرب می کنیم و در نتیجه 1/10 نیز به دست می آید. گزینه سوم: تماس اول و دوم در آدرس اشتباهی بود، فقط با سومی پسر به جایی که می خواست رسید. ما احتمال چنین رویدادی را محاسبه می کنیم: 9/10 ضرب در 8/9 و 1/8، که به 1/10 می رسد. ما با توجه به شرایط مشکل علاقه ای به گزینه های دیگر نداریم، بنابراین فقط باید نتایج به دست آمده را جمع کنیم، در نهایت 3/10 داریم. پاسخ: احتمال اینکه پسر بیش از سه بار تماس نگیرد 0.3 است.

کارت هایی با اعداد

نه کارت پیش روی شماست که روی هر کدام از آنها عدد یک تا نه نوشته شده است، اعداد تکرار نمی شوند. آنها را در یک جعبه قرار داده و کاملاً مخلوط کردند. شما باید احتمال آن را محاسبه کنید

• یک عدد زوج ظاهر می شود.
• دو رقمی

قبل از رفتن به حل، اجازه دهید شرط کنیم که m تعداد موارد موفق و n تعداد کل گزینه‌ها باشد. بیایید احتمال زوج بودن عدد را پیدا کنیم. محاسبه اینکه چهار عدد زوج وجود دارد دشوار نخواهد بود، این m ما خواهد بود، در کل نه گزینه ممکن وجود دارد، یعنی m=9. سپس احتمال 0.44 یا 4/9 است.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم: تعداد گزینه ها 9 است و اصلاً نمی توان نتیجه موفقیت آمیزی داشت، یعنی m برابر با صفر است. احتمال اینکه کارت کشیده شده دارای یک عدد دو رقمی باشد نیز صفر است.

احتمال امکان وقوع یک رویداد خاص را با تعداد معینی از تکرارها نشان می دهد. تعداد پیامدهای ممکن با یک یا چند نتیجه تقسیم بر تعداد کل رویدادهای ممکن است. احتمال وقوع چند رویداد با تقسیم مسئله به احتمالات فردی و سپس ضرب این احتمالات محاسبه می شود.

مراحل

احتمال یک رویداد تصادفی منفرد

1. یک رویداد با نتایج منحصر به فرد متقابل را انتخاب کنید.تنها در صورتی می توان احتمال را محاسبه کرد که رویداد مورد نظر رخ دهد یا رخ ندهد. به دست آوردن همزمان یک رویداد و نتیجه مخالف آن غیرممکن است. نمونه هایی از این رویدادها انداختن 5 روی تاس یا برنده شدن یک اسب خاص در یک مسابقه است. پنج یا بالا می آیند یا نه. یک اسب خاص یا اول می آید یا نه.

   • به عنوان مثال، محاسبه احتمال چنین رویدادی غیرممکن است: با یک پرتاب قالب، 5 و 6 به طور همزمان ظاهر می شوند.

2. تمام رویدادها و نتایج احتمالی که ممکن است رخ دهد را شناسایی کنید.فرض کنید باید این احتمال را تعیین کنید که هنگام پرتاب یک قالب بازی با 6 عدد، یک عدد سه دریافت کنید. "Rolling a three" یک رویداد است و از آنجایی که می دانیم هر یک از 6 عدد را می توان چرخاند، تعداد نتایج ممکن 6 است. بنابراین، ما می دانیم که در این مورد 6 نتیجه ممکن و یک رویداد وجود دارد که احتمال آن را می خواهیم تعیین کنیم. در زیر دو نمونه دیگر آورده شده است.

   • مثال 1. در این مورد، رویداد "انتخاب روزی است که در آخر هفته قرار می گیرد" و تعداد نتایج ممکن برابر با تعداد روزهای هفته است، یعنی هفت.
   • مثال 2. رویداد "کشیدن یک توپ قرمز" است و تعداد نتایج ممکن برابر است با تعداد کل توپ ها، یعنی بیست.

3. تعداد رویدادها را بر تعداد نتایج ممکن تقسیم کنید.به این ترتیب احتمال یک رویداد واحد را تعیین خواهید کرد. اگر حالت چرخاندن قالب را 3 در نظر بگیریم، تعداد رویدادها 1 است (3 فقط در یک طرف قالب است) و تعداد کل نتایج 6 است. نتیجه نسبت 1/6 است. 0.166 یا 16.6٪. احتمال وقوع یک رویداد برای دو مثال بالا به صورت زیر است:

   • مثال 1. احتمال اینکه شما به طور تصادفی روزی را انتخاب کنید که در آخر هفته است چقدر است؟تعداد رویدادها 2 است، زیرا در یک هفته دو روز تعطیل است و تعداد کل نتایج 7 است. بنابراین، احتمال 2/7 است. نتیجه به دست آمده را نیز می توان به صورت 0.285 یا 28.5 درصد نوشت.
   • مثال 2. جعبه شامل 4 توپ آبی، 5 قرمز و 11 توپ سفید است. اگر یک توپ تصادفی را از جعبه بیرون بیاورید، احتمال قرمز بودن آن چقدر است؟تعداد رویدادها 5 است، زیرا 5 توپ قرمز در جعبه وجود دارد و تعداد کل نتایج 20 است. احتمال را پیدا می کنیم: 5/20 = 1/4. نتیجه به دست آمده را می توان به صورت 0.25 یا 25 درصد نیز نوشت.

4. احتمالات همه رویدادهای ممکن را جمع کنید و ببینید که آیا مجموع آن 1 است یا خیر.احتمال کل همه رویدادهای ممکن باید 1 یا 100٪ باشد. اگر 100% دریافت نکنید، به احتمال زیاد اشتباه کرده اید و یک یا چند رویداد ممکن را از دست داده اید. محاسبات خود را بررسی کنید و مطمئن شوید که تمام نتایج ممکن را در نظر گرفته اید.

   • به عنوان مثال، احتمال گرفتن 3 هنگام انداختن تاس 1/6 است. در این صورت احتمال افتادن هر عدد دیگری از پنج باقیمانده نیز برابر با 1/6 است. در نتیجه، 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6، یعنی 100٪ بدست می آوریم.
   • اگر مثلاً عدد 4 را در قالب فراموش کردید، با جمع کردن احتمالات فقط 5/6 یا 83 درصد به شما می رسد که برابر با یک نیست و نشان دهنده خطا است.

5. احتمال یک نتیجه غیرممکن را 0 بیان کنید.این بدان معنی است که رویداد داده شده نمی تواند اتفاق بیفتد و احتمال آن 0 است. به این ترتیب می توانید رویدادهای غیرممکن را حساب کنید.

   • به عنوان مثال، اگر بخواهید احتمال اینکه عید پاک در روز دوشنبه سال 2020 رخ دهد را محاسبه کنید، 0 دریافت خواهید کرد زیرا عید پاک همیشه در یکشنبه جشن گرفته می شود.

   احتمال وقوع چندین رویداد تصادفی

   1. هنگام در نظر گرفتن رویدادهای مستقل، هر احتمال را جداگانه محاسبه کنید.پس از تعیین احتمالات وقایع، می توان آنها را جداگانه محاسبه کرد. فرض کنید می‌خواهیم احتمال چرخاندن یک قالب را دو بار پشت سر هم و بدست آوردن 5 بدانیم. می‌دانیم که احتمال گرفتن یک 5 1/6 است و احتمال گرفتن 5 دوم نیز 1/6 است. نتیجه اول به نتیجه دوم مربوط نمی شود.

      • چند رول پنج تایی نامیده می شود رویدادهای مستقل، زیرا اتفاقی که بار اول می افتد روی رویداد دوم تأثیری ندارد.

   2. هنگام محاسبه احتمال رویدادهای وابسته، تأثیر نتایج قبلی را در نظر بگیرید.اگر رویداد اول بر احتمال نتیجه دوم تأثیر بگذارد، ما در مورد محاسبه احتمال صحبت می کنیم. رویدادهای وابسته. به عنوان مثال، اگر دو کارت را از یک دسته 52 کارتی انتخاب کنید، پس از کشیدن کارت اول، ترکیب عرشه تغییر می کند که بر انتخاب کارت دوم تأثیر می گذارد. برای محاسبه احتمال دوم از دو رویداد وابسته، باید در هنگام محاسبه احتمال رویداد دوم، 1 را از تعداد پیامدهای ممکن کم کنید.

      • مثال 1. رویداد زیر را در نظر بگیرید: دو کارت به طور تصادفی یکی پس از دیگری از روی عرشه کشیده می شود. احتمال اینکه هر دو کارت متعلق به باشگاه باشد چقدر است؟احتمال اینکه اولین کارت یک لباس باشگاهی باشد 13/52 یا 1/4 است، زیرا 13 کارت از همان لباس در عرشه وجود دارد.
        • پس از این، احتمال اینکه کارت دوم یک لباس باشگاهی باشد 12/51 است، زیرا یک کارت باشگاه دیگر وجود ندارد. این به این دلیل است که رویداد اول بر رویداد دوم تأثیر می گذارد. اگر سه باشگاه را بکشید و آن را به عقب نگذارید، یک کارت کمتر در عرشه وجود خواهد داشت (51 به جای 52).
      • مثال 2. 4 توپ آبی، 5 قرمز و 11 توپ سفید در جعبه وجود دارد. اگر سه توپ به طور تصادفی کشیده شوند، احتمال اینکه اولی قرمز، دومی آبی و سومی سفید باشد چقدر است؟
        • احتمال قرمز شدن توپ اول 5/20 یا 1/4 است. احتمال آبی بودن توپ دوم 4/19 است، زیرا یک توپ کمتر در جعبه باقی مانده است، اما هنوز 4 است. آبیتوپ در نهایت، احتمال سفید شدن توپ سوم 18/11 است زیرا ما قبلاً دو توپ کشیده ایم.

   3. احتمالات هر رویداد جداگانه را ضرب کنید.صرف نظر از اینکه با رویدادهای مستقل یا وابسته سروکار دارید یا تعداد پیامدها (می تواند 2، 3 یا حتی 10 باشد)، می توانید با ضرب احتمالات همه رویدادهای مورد نظر در یکدیگر، احتمال کلی را محاسبه کنید. در نتیجه احتمال وقوع چندین رویداد را دریافت خواهید کرد که در ادامه می‌آید یکی پس از دیگری. به عنوان مثال، وظیفه است این احتمال را پیدا کنید که وقتی یک قالب را دو بار پشت سر هم می‌چرخانید، عدد 5 را دریافت کنید. این دو رویداد مستقل هستند که احتمال هر کدام 1/6 است. بنابراین، احتمال هر دو رویداد 1/6 x 1/6 = 1/36، یعنی 0.027 یا 2.7٪ است.

      • مثال 1. دو کارت به طور تصادفی از روی عرشه یکی پس از دیگری کشیده می شود. احتمال اینکه هر دو کارت متعلق به باشگاه باشد چقدر است؟احتمال رخداد اول 13/52 است. احتمال رخداد دوم 12/51 است. احتمال کل را پیدا می کنیم: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17، یعنی 0.058 یا 5.8%.
      • مثال 2. جعبه شامل 4 توپ آبی، 5 قرمز و 11 توپ سفید است. اگر سه توپ به طور تصادفی از یک جعبه یکی پس از دیگری کشیده شوند، احتمال اینکه اولی قرمز، دومی آبی و سومی سفید باشد چقدر است؟احتمال رخداد اول 5/20 است. احتمال رخداد دوم 4/19 است. احتمال رخداد سوم 18/11 است. بنابراین احتمال کل 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032 یا 3.2 درصد است.

در زیر قوانین اساسی برای تعیین احتمال وقوع یک رویداد پیچیده بر اساس احتمالات شناخته شده رویدادهای ساده تر تشکیل دهنده آن وجود دارد.

1. احتمال وقوع یک رویداد خاصبرابر یک:

2. احتمال ترکیب (مجموع) رویدادهای ناسازگاربرابر مجموع احتمالات آنها:

این دو برابری بدیهیات نظریه احتمال هستند، یعنی به عنوان ویژگی‌های احتمال اولیه، اما مستلزم اثبات، پذیرفته شده‌اند. کل نظریه احتمال بر اساس آنها ساخته شده است.

تمام فرمول های دیگر ارائه شده در زیر بدون اثبات می توانند از بدیهیات پذیرفته شده استخراج شوند.

3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکنبرابر با صفر:

4. احتمال رخداد مخالفرویداد A برابر است با

(4.5)

فرمول (4.5) در مواردی که محاسبه احتمال خود یک رویداد در عمل مفید است. آدشوار است، در حالی که احتمال رخداد متضاد به راحتی یافت می شود (به پاراگراف زیر مراجعه کنید). 9 ).

5. قضیه جمع احتمال. احتمال ترکیب رویدادهای دلخواه برابر است با مجموع احتمالات آنها منهای احتمال ترکیب رویدادها:

برای رویدادهای ناسازگار و، فرمول (4.6) به (4.3) تبدیل می شود.

6. احتمال مشروطاگر می خواهید احتمال یک رویداد را پیدا کنید که درمشروط بر اینکه اتفاق دیگری رخ داده باشد آ، پس چنین وضعیتی با استفاده از احتمال شرطی مشخص می شود. احتمال شرطی برابر است با نسبت احتمال وقوع حوادث آو که دربه احتمال یک رویداد آ:

(4.7)

در مواردی که حوادث آو که درناسازگار، و بر این اساس.

7. تعریف احتمال شرطی به شکل (4.7) امکان نوشتن فرمول زیر را برای محاسبه احتمال وقوع رویدادها فراهم می کند. (قضیه ضرب احتمال)

8. از آنجایی که احتمال یک رویداد وجود دارد آ(یا که در) برای رویدادهای مستقل، طبق تعریف، زمانی که رویداد دیگری رخ می دهد تغییر نمی کند، پس احتمال شرطی با احتمال رویداد منطبق می شود. آ، و احتمال شرطی با است P(B). احتمالات P(A)و P(B) در مقابل احتمالات شرطی نامشروط نامیده می شوند.

قضیه ضرب احتمال برای رویدادهای مستقلبه صورت زیر نوشته شده است:

یعنی احتمال ایجاد رویدادهای مستقل برابر با حاصلضرب احتمالات آنهاست.

9. بیایید محاسبه کنیم احتمال وقوع حداقل یک رویداد در n کارآزمایی

آ- ظهور در nتست ها حداقلیک بار رویداد مورد علاقه ما.

- رویدادی که ما به آن علاقه مندیم در آن ظاهر نشد nتست ها هرگز.

آ 1 - رویداد مورد علاقه ما در اولین آزمون ظاهر شد.

آ 2 - رویداد مورد علاقه ما در آزمون دوم ظاهر شد.

آ n – رویدادی که به آن علاقه مندیم ظاهر شد n- آزمون

10. فرمول احتمال کل.

اگر رویداد آتنها زمانی رخ می دهد که یکی از رویدادهای ناسازگار رخ دهد ن 1 ، ن 2 ، …، ن n، آن

مثال 4.3

یک گلدان حاوی 5 توپ سفید، 20 گلوله قرمز و 10 توپ سیاه است که از نظر اندازه تفاوتی ندارند. توپ ها کاملاً مخلوط می شوند و سپس 1 توپ به طور تصادفی خارج می شود. احتمال اینکه توپ کشیده شده سفید یا سیاه باشد چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- ظاهر یک توپ سفید یا سیاه. بیایید این رویداد را به موارد ساده تر تقسیم کنیم. اجازه دهید که در 1- پیدایش توپ سفید و که در 2- سیاه. سپس، A=B 1 + بی 2 P(A)=P(B 1 + بی 2 ) . زیرا که در 1 و که در 2 رویدادهای ناسازگار هستند، پس با توجه به قضیه احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار (فرمول 4.3) P(B 1 + بی 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 ) .

بیایید احتمالات وقایع را محاسبه کنیم که در 1 و که در 2 . در این مثال، 35 نتیجه یکسان ممکن (توپ ها در اندازه تفاوت ندارند) از آزمایش، رویداد وجود دارد. که در 1 (ظاهر یک توپ سفید) مورد علاقه 5 نفر از آنها است، بنابراین . به همین ترتیب،. از این رو، .

مثال 4.4

جستجو برای یافتن دو مجرم ادامه دارد. هر یک از آنها مستقل از دیگری می توانند در عرض 24 ساعت با احتمال 0.5 شناسایی شوند. احتمال اینکه حداقل یک مجرم در طول روز کشف شود چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- "حداقل یک مجرم کشف شده است." بیایید این رویداد را به موارد ساده تر تقسیم کنیم. اجازه دهید که در 1 که در 2 - جنایتکار دوم کشف شد. سپس، A=B 1 + بی 2 با تعیین مجموع رویدادها از این رو P(A)=P(B 1 + بی 2 ) . زیرا که در 1 و که در 2 رویدادهای مشترک هستند، پس با توجه به قضیه احتمال مجموع رویدادها (فرمول 4.6)

P(B 1 + بی 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 )-P(B 1 که در 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

شما همچنین می توانید از طریق رویداد معکوس حل کنید: .

مثال 4.5 الف)

جنایتکار 3 کلید دارد. در تاریکی با انتخاب تصادفی کلید در را باز می کند. او برای باز کردن هر در 5 ثانیه وقت می گذارد. احتمال اینکه او تمام درها را در 15 ثانیه باز کند را پیدا کنید.

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- "همه درها باز است." بیایید این رویداد را به موارد ساده تر تقسیم کنیم. اجازه دهید که در- "1 باز است" با– «دومین باز است» و D- "سوم باز است." سپس، A=BCD P(A)=P(BCD). با قضیه احتمال حاصلضرب رویدادهای مستقل (فرمول 4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(D).

بیایید احتمالات وقایع را محاسبه کنیم قبل از میلاد مسیحو D. در این مثال، 3 نتیجه آزمایش به طور مساوی امکان پذیر است (هر کلید را از بین 3 انتخاب می کنیم). هر یک از رویدادها قبل از میلاد مسیحو Dبه نفع 1 از آنها، بنابراین ..

مثال 4.5 ب)

بیایید مشکل را تغییر دهیم: فرض می کنیم که مجرم یک فرد فراموشکار است. بگذارید جنایتکار در را باز کند و کلید را در آن بگذارد. پس احتمال اینکه او تمام درها را در 15 ثانیه باز کند چقدر است؟

راه حل.رویداد آ- "همه درها باز است." از نو، A=BCDبا تعریف محصول رویدادها. از این رو P(A)=P(BCD). اما در حال حاضر حوادث قبل از میلاد مسیحو D- وابسته با توجه به قضیه احتمال حاصلضرب رویدادهای وابسته Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

بیایید احتمالات را محاسبه کنیم: (فقط دو کلید باقی مانده است و یکی از آنها مناسب است!)، و بنابراین، .

مثال 4.6

جستجو برای یافتن دو مجرم ادامه دارد. هر یک از آنها مستقل از دیگری می توانند در عرض 24 ساعت با احتمال 0.5 شناسایی شوند. پس از دستگیری یکی از آنها، به دلیل افزایش تعداد کارکنان درگیر در جستجو، احتمال یافتن نفر دوم به 0.7 افزایش می یابد. احتمال اینکه هر دو جنایتکار ظرف 24 ساعت کشف شوند چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- "دو جنایتکار کشف شدند." بیایید این رویداد را به موارد ساده تر تقسیم کنیم. اجازه دهید که در 1 – اولین جنایتکار کشف می شود و که در 2 - بعد از دستگیری مجرم دوم، مجرم دوم کشف می شود. سپس، A=B 1 که در 2 با تعریف محصول رویدادها. از این رو P(A)=P(B 1 که در 2 ) . زیرا که در 1 و که در 2 رویدادهای وابسته هستند، پس با توجه به قضیه احتمال حاصلضرب رویدادهای وابسته (فرمول 4.8) P(B 1 که در 2 ) = P(B 1 )P(B 2 /که در 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

مثال 4.7

این احتمال را پیدا کنید که وقتی یک سکه را 10 بار پرتاب کنید، حداقل یک بار نشان ظاهر شود.

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- «نشان خواهد افتاد حداقل 1 بار". واقعه مخالف را در نظر بگیرید: - «نشان نمی افتد هرگز" بدیهی است که شکستن رویداد معکوس به موارد ساده‌تر از رویداد اصلی آسان‌تر است. اجازه دهید آ 1 - در اولین پرتاب، نشان از زمین نیفتاد. آ 2 – در پرتاب دوم نشان بیرون نیفتاد... آ 10 – در پرتاب 10 نشان از زمین نیفتاد. همه رویدادها آ 1 …آ 10 بنابراین، مستقل (فرمول 4.11)

مثال 4.8

دو گروه از تک تیراندازان در عملیات آزادسازی گروگان ها شرکت دارند: 10 نفر با یک تفنگ OP21 و 20 نفر با یک قبضه AKM47. احتمال شکست از OP21 0.85 و AKM47 0.65 است. این احتمال را پیدا کنید که با یک شلیک از یک تک تیرانداز خودسر، مجرم مورد اصابت قرار گیرد.

راه حل.اجازه دهید رویداد آ- "جنایتکار ضربه خورده است." بیایید این رویداد را به موارد ساده تر تقسیم کنیم. مجرم می تواند توسط OP21 یا AKM47 مورد اصابت قرار گیرد. احتمال اینکه یک تک تیرانداز تصادفی به OP21 مسلح شود (رویداد ن 1 ) برابر با 10/30 است. احتمال اینکه یک تک تیرانداز تصادفی به یک AKM47 مسلح شود (رویداد ن 2 ) برابر با 20/30 است.

احتمال ضربه خوردن مجرم (فرمول 4.12) است.

در چنین مسائلی، ترسیم درختی از تمام نتایج ممکن (که احتمالات هر نتیجه را نشان می دهد) مفید است.

هنگامی که یک سکه پرتاب می شود، می توانیم بگوییم که سر به بالا فرود می آید، یا احتمال این 1/2 است. البته این بدان معنا نیست که اگر یک سکه 10 بار پرتاب شود، لزوماً 5 بار روی سر می افتد. اگر سکه "عادلانه" باشد و اگر بارها پرتاب شود، نیمی از زمان سرها بسیار نزدیک فرود می آیند. بنابراین، دو نوع احتمال وجود دارد: تجربی و نظری .

احتمال تجربی و نظری

اگر یک سکه را چندین بار - مثلاً 1000 بار - بچرخانیم و تعداد دفعات فرود آن را بشماریم، می‌توانیم احتمال فرود آمدن آن روی سر را تعیین کنیم. اگر سرها 503 بار پرتاب شوند، می‌توانیم احتمال فرود آن را محاسبه کنیم:
503/1000 یا 0.503.

این تجربی تعریف احتمال این تعریف از احتمال از مشاهده و مطالعه داده ها به دست می آید و کاملا رایج و بسیار مفید است. برای مثال، برخی از احتمالاتی که به صورت تجربی تعیین شده اند در اینجا آمده است:

1. احتمال ابتلای یک زن به سرطان سینه 1/11 است.

2. اگر فردی را که سرماخورده است ببوسید، احتمال اینکه شما هم سرما بخورید 0.07 است.

3. فردی که به تازگی از زندان آزاد شده است 80 درصد شانس بازگشت به زندان دارد.

اگر پرتاب سکه را در نظر بگیریم و در نظر بگیریم که به همان اندازه احتمال دارد که سر یا دم بالا بیاید، می‌توانیم احتمال به دست آوردن سر را محاسبه کنیم: 1/2. این یک تعریف نظری از احتمال است. در اینجا چند احتمال دیگر وجود دارد که به صورت نظری با استفاده از ریاضیات تعیین شده اند:

1. اگر در یک اتاق 30 نفر باشند، احتمال اینکه دو نفر از آنها تولد یکسانی داشته باشند (به استثنای سال) 0.706 است.

2. در طول سفر با شخصی آشنا می شوید و در حین گفتگو متوجه می شوید که یک دوست مشترک دارید. واکنش معمولی: "این نمی تواند باشد!" در واقع، این عبارت مناسب نیست، زیرا احتمال چنین رویدادی بسیار زیاد است - کمی بیش از 22٪.

بنابراین، احتمالات تجربی از طریق مشاهده و جمع آوری داده ها تعیین می شوند. احتمالات نظری از طریق استدلال ریاضی تعیین می شوند. نمونه هایی از احتمالات تجربی و نظری، مانند مواردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، و به ویژه آنهایی که ما انتظار نداریم، ما را به اهمیت مطالعه احتمال می رساند. ممکن است بپرسید "احتمال واقعی چیست؟" در واقع چنین چیزی وجود ندارد. احتمالات در محدوده های معین را می توان به صورت تجربی تعیین کرد. آنها ممکن است با احتمالاتی که ما از لحاظ نظری به دست می آوریم منطبق باشند یا نباشند. موقعیت هایی وجود دارد که در آنها تعیین یک نوع احتمال بسیار آسان تر از نوع دیگر است. برای مثال، یافتن احتمال سرماخوردگی با استفاده از احتمالات نظری کافی است.

محاسبه احتمالات تجربی

اجازه دهید ابتدا تعریف تجربی احتمال را در نظر بگیریم. اصل اساسی که برای محاسبه چنین احتمالاتی استفاده می کنیم به شرح زیر است.

اصل P (تجربی)

اگر در آزمایشی که در آن n مشاهده انجام شده است، یک موقعیت یا رویداد E m بار در n مشاهده اتفاق بیفتد، آنگاه احتمال تجربی رویداد P (E) = m/n گفته می شود.

مثال 1 بررسی جامعه شناختی یک مطالعه تجربی برای تعیین تعداد افراد چپ دست، افراد راست دست و افرادی که هر دو دست آنها به یک اندازه رشد کرده است انجام شد که نتایج در نمودار نشان داده شده است.

الف) احتمال راست دست بودن فرد را مشخص کنید.

ب) احتمال چپ دست بودن فرد را مشخص کنید.

ج) احتمال تسلط یک فرد به هر دو دست را تعیین کنید.

د) بیشتر مسابقات انجمن بولینگ حرفه ای به 120 بازیکن محدود می شود. بر اساس داده های این آزمایش، چند بازیکن می توانند چپ دست باشند؟

راه حل

الف) تعداد افرادی که راست دست هستند 82 نفر، تعداد چپ دست ها 17 نفر و تعداد کسانی که به هر دو دست مسلط هستند 1 نفر است. تعداد کل مشاهدات 100 است. بنابراین احتمال وجود دارد. اینکه یک شخص راست دست است P است
P = 82/100، یا 0.82، یا 82٪.

ب) احتمال چپ دست بودن شخص P است که در آن
P = 17/100، یا 0.17، یا 17٪.

ج) احتمال اینکه یک فرد در هر دو دست به یک اندازه مسلط باشد P است که در آن
P = 1/100، یا 0.01، یا 1٪.

د) 120 بولر، و از (ب) می توان انتظار داشت که 17٪ چپ دست باشند. از اینجا
17% از 120 = 0.17.120 = 20.4،
یعنی می توان انتظار داشت حدود 20 بازیکن چپ دست باشند.

مثال 2 کنترل کیفیت . برای یک تولید کننده بسیار مهم است که کیفیت محصولات خود را در سطح بالایی نگه دارد. در واقع، شرکت ها برای اطمینان از این فرآیند، بازرسان کنترل کیفیت را استخدام می کنند. هدف تولید حداقل تعداد ممکن محصولات معیوب است. اما از آنجایی که این شرکت روزانه هزاران محصول تولید می کند، نمی تواند هر محصولی را آزمایش کند تا مشخص شود که آیا معیوب است یا خیر. برای اینکه بفهمد چند درصد از محصولات معیوب هستند، این شرکت محصولات بسیار کمتری را آزمایش می کند.
USDA ایجاب می کند که 80 درصد بذرهای فروخته شده توسط پرورش دهندگان باید جوانه بزنند. برای تعیین کیفیت بذری که یک شرکت کشاورزی تولید می کند، 500 بذر از بذرهایی که تولید شده کاشته می شود. پس از این محاسبه شد که 417 بذر جوانه زد.

الف) احتمال جوانه زدن بذر چقدر است؟

ب) آیا بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند؟

راه حلالف) می دانیم که از 500 بذری که کاشته شد، 417 بذر جوانه زد. احتمال جوانه زنی بذر P، و
P = 417/500 = 0.834، یا 83.4%.

ب) از آنجایی که درصد بذرهای جوانه زده در حد نیاز از 80 درصد فراتر رفته است، بذرها مطابق با استانداردهای دولتی هستند.

مثال 3 رتبه بندی تلویزیون طبق آمار، 105500000 خانوار دارای تلویزیون در ایالات متحده هستند. هر هفته اطلاعات مربوط به مشاهده برنامه ها جمع آوری و پردازش می شود. در یک هفته، 7,815,000 خانوار با سریال کمدی پرطرفدار "همه ریموند را دوست دارند" در CBS و 8،302،000 خانواده با سریال موفق "قانون و نظم" در NBC کوک کردند (منبع: تحقیقات رسانه ای نیلسن). احتمال اینکه تلویزیون یک خانواده در طول یک هفته معین روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود چقدر است؟ روی «قانون و نظم»؟

راه حلاحتمال اینکه تلویزیون در یک خانواده روی «همه ریموند را دوست دارند» تنظیم شود P است، و
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
احتمال اینکه تلویزیون خانواده روی قانون و نظم تنظیم شده باشد P است و
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
این درصدها را رتبه بندی می نامند.

احتمال نظری

فرض کنید در حال انجام آزمایشی هستیم، مانند پرتاب یک سکه یا دارت، کشیدن کارت از روی عرشه، یا آزمایش کیفیت محصولات در خط مونتاژ. هر نتیجه ممکن از چنین آزمایشی نامیده می شود خروج . مجموعه تمام نتایج ممکن نامیده می شود فضای نتیجه . رویداد مجموعه ای از نتایج است، یعنی زیر مجموعه ای از فضای پیامدها.

مثال 4 پرتاب دارت. فرض کنید در آزمایش پرتاب دارت، یک دارت به هدف برخورد کند. هر یک از موارد زیر را بیابید:

ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج عبارتند از: ضربه زدن به سیاهی (B)، ضربه زدن به قرمز (R) و ضربه زدن به سفید (B).

ب) فضای پیامدها ( ضربه زدن به سیاهی، ضربه زدن به قرمز، ضربه زدن به سفید) است که می توان آن را به سادگی به صورت (H، K، B) نوشت.

مثال 5 پرتاب تاس. قالب مکعبی با شش ضلع است که هر کدام یک تا شش نقطه روی آن قرار دارد.


فرض کنید در حال پرتاب یک قالب هستیم. پیدا کردن
الف) نتایج
ب) فضای نتیجه

راه حل
الف) نتایج: 1، 2، 3، 4، 5، 6.
ب) فضای نتیجه (1، 2، 3، 4، 5، 6).

احتمال وقوع یک رویداد E را به صورت P(E) نشان می دهیم. به عنوان مثال، "سکه روی سرها فرود خواهد آمد" را می توان با H نشان داد. سپس P(H) نشان دهنده احتمال فرود سکه روی سر است. زمانی که همه نتایج یک آزمایش احتمال وقوع یکسانی داشته باشند، گفته می شود که به یک اندازه احتمال دارند. برای مشاهده تفاوت بین رویدادهایی که به یک اندازه محتمل هستند و رویدادهایی که چنین نیستند، هدف نشان داده شده در زیر را در نظر بگیرید.

برای هدف A، رویدادهای برخورد سیاه، قرمز و سفید به یک اندازه محتمل است، زیرا بخش های سیاه، قرمز و سفید یکسان هستند. با این حال، برای هدف B، مناطق دارای این رنگ ها یکسان نیستند، یعنی احتمال برخورد با آنها به یک اندازه نیست.

اصل P (نظری)

اگر یک رویداد E بتواند در m راه خارج از n نتیجه احتمالی مساوی از فضای نتیجه S رخ دهد، آنگاه احتمال نظری رویدادها، P(E) است
P(E) = m/n.

مثال 6احتمال چرخاندن قالب برای گرفتن 3 چقدر است؟

راه حلروی یک تاس 6 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد و تنها یک امکان برای انداختن عدد 3 وجود دارد. سپس احتمال P خواهد بود P(3) = 1/6.

مثال 7احتمال چرخاندن عدد زوج روی قالب چقدر است؟

راه حلرویداد پرتاب یک عدد زوج است. این می تواند به 3 روش اتفاق بیفتد (اگر 2، 4 یا 6 رول کنید). تعداد پیامدهای با احتمال مساوی 6 است. سپس احتمال P( زوج) = 3/6 یا 1/2 است.

ما از تعدادی مثال استفاده خواهیم کرد که شامل یک دسته کارت استاندارد 52 می باشد. این عرشه شامل کارت هایی است که در شکل زیر نشان داده شده است.

مثال 8احتمال کشیدن یک آس از یک دسته کارتی که به خوبی در هم ریخته شده است چقدر است؟

راه حل 52 نتیجه وجود دارد (تعداد کارت‌های موجود در عرشه)، احتمال آن‌ها به همان اندازه است (اگر عرشه به خوبی به هم ریخته باشد)، و 4 راه برای کشیدن یک آس وجود دارد، بنابراین طبق اصل P، احتمال وجود دارد.
P (یک آس بکشید) = 4/52 یا 1/13.

مثال 9فرض کنید بدون نگاه کردن، یک توپ از یک کیسه با 3 توپ قرمز و 4 توپ سبز انتخاب می کنیم. احتمال انتخاب توپ قرمز چقدر است؟

راه حلبرای کشیدن هر توپ 7 نتیجه به یک اندازه محتمل وجود دارد، و از آنجایی که تعداد روش های کشیدن یک توپ قرمز 3 است، به دست می آوریم.
P (انتخاب توپ قرمز) = 3/7.

عبارات زیر حاصل اصل P هستند.

خواص احتمال

الف) اگر رویداد E نمی تواند اتفاق بیفتد، P(E) = 0.
ب) اگر رویداد E قطعی باشد، P(E) = 1.
ج) احتمال وقوع رویداد E عددی از 0 تا 1 است: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

به عنوان مثال، در پرتاب سکه، احتمال اینکه سکه روی لبه خود بیفتد، صفر است. احتمال اینکه یک سکه سر یا دم باشد، احتمال 1 دارد.

مثال 10بیایید فرض کنیم که 2 کارت از یک عرشه 52 کارتی کشیده شده است. احتمال اینکه هر دو اوج باشند چقدر است؟

راه حلتعداد n روش برای کشیدن 2 کارت از یک دسته 52 کارتی که به خوبی در هم ریخته شده اند، 52 C 2 است. از آنجایی که 13 کارت از 52 کارت بیل هستند، تعداد روش های m برای کشیدن 2 پیک، 13 C 2 است. سپس،
P (کشیدن 2 قله) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

مثال 11فرض کنید 3 نفر به طور تصادفی از یک گروه 6 مرد و 4 زن انتخاب شده اند. احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن چقدر است؟

راه حلتعداد راه های انتخاب سه نفر از یک گروه 10 نفره 10 C 3 است. یک مرد را می توان به 6 روش C 1 و 2 زن را به 4 روش C 2 انتخاب کرد. بر اساس اصل اساسی شمارش، تعداد راه های انتخاب 1 مرد و 2 زن 6 C 1 است. 4 C 2 . سپس، احتمال انتخاب 1 مرد و 2 زن است
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

مثال 12 پرتاب تاس. احتمال انداختن مجموعاً 8 روی دو تاس چقدر است؟

راه حلهر تاس دارای 6 نتیجه ممکن است. نتایج دو برابر می شوند، به این معنی که 6.6 یا 36 روش ممکن وجود دارد که در آن اعداد روی دو تاس می توانند ظاهر شوند. (بهتر است اگر مکعب ها متفاوت باشند، مثلاً یکی قرمز و دیگری آبی باشد - این به تجسم نتیجه کمک می کند.)

جفت اعدادی که جمع آنها 8 می شود در شکل زیر نشان داده شده است. 5 راه ممکن برای بدست آوردن مجموع 8 وجود دارد، بنابراین احتمال آن 5/36 است.

جمع و ضرب احتمالات. این مقاله بر حل مسائل در نظریه احتمال تمرکز خواهد کرد. قبلاً برخی از ساده ترین کارها را تحلیل کرده ایم؛ برای حل آنها کافی است فرمول را بدانید و درک کنید (به شما توصیه می کنم آن را تکرار کنید).

مشکلاتی وجود دارد که کمی پیچیده تر هستند؛ برای حل آنها باید بدانید و درک کنید: قانون جمع احتمالات، قانون ضرب احتمالات، مفاهیم رویدادهای وابسته و مستقل، رویدادهای متضاد، رویدادهای سازگار و ناسازگار. از تعاریف نترسید، ساده است)).در این مقاله ما دقیقاً چنین وظایفی را در نظر خواهیم گرفت.

یک نظریه ساده و مهم:

ناسازگار در صورتی که ظاهر یکی از آنها منتفی از ظاهر دیگران باشد. یعنی فقط یک رویداد خاص می تواند اتفاق بیفتد.

یک مثال کلاسیک: هنگام پرتاب یک تاس، فقط یک تاس می تواند بالا بیاید، یا فقط یک تاس، یا فقط یک تاس و غیره. هر یک از این وقایع با دیگری ناسازگار است و وقوع یکی از آنها، وقوع دیگری را منتفی می کند (در یک آزمایش). در مورد سکه هم همین‌طور است - وقتی سرها بالا می‌آیند، احتمال بالا آمدن دم را از بین می‌برد.

این همچنین در مورد ترکیب های پیچیده تر صدق می کند. به عنوان مثال، دو لامپ روشنایی روشن است. هر یک از آنها ممکن است به مرور زمان بسوزد یا نسوزد. گزینه هایی وجود دارد:

1. اولی می سوزد و دومی می سوزد
2. اولی می سوزد و دومی نمی سوزد
3. اولی نمی سوزد و دومی می سوزد
4. اولی نمی سوزد و دومی می سوزد.

همه این 4 گزینه برای رویدادها ناسازگار هستند - آنها به سادگی نمی توانند با هم اتفاق بیفتند و هیچ یک از آنها با هیچ یک دیگر ...

تعریف: رویدادها نامیده می شوند مفصلدر صورتی که ظاهر یکی از آنها مانع از ظاهر دیگری نباشد.

مثال: یک ملکه از دسته کارت ها و یک کارت بیل از دسته کارت ها گرفته می شود. دو رویداد در نظر گرفته شده است. این رویدادها متقابلاً منحصر به فرد نیستند - می توانید ملکه بیل را بکشید و بنابراین هر دو رویداد رخ می دهد.

در مورد مجموع احتمالات

مجموع دو رویداد A و B را رویداد A+B می نامند که شامل این واقعیت است که یا رویداد A یا رویداد B یا هر دو در یک زمان اتفاق می افتد.

اگر وجود دارد ناسازگاررویدادهای A و B، پس احتمال مجموع این رویدادها برابر است با مجموع احتمالات رویدادها:

نمونه تاس:

تاس ها را می اندازیم. احتمال چرخاندن عددی کمتر از چهار چقدر است؟

اعداد کمتر از چهار عبارتند از 1،2،3. می دانیم که احتمال به دست آوردن یک 1/6، دو 1/6 و سه 1/6 است. اینها رویدادهای ناسازگاری هستند. می توانیم قانون جمع را اعمال کنیم. احتمال چرخاندن عددی کمتر از چهار برابر است با:

در واقع، اگر از مفهوم احتمال کلاسیک پیش برویم: آنگاه تعداد نتایج ممکن 6 (تعداد تمام اضلاع مکعب)، تعداد نتایج مطلوب 3 است (ظاهر یک، دو یا سه). احتمال مورد نظر 3 تا 6 یا 3/6 = 0.5 است.

*احتمال مجموع دو رویداد مشترک با مجموع احتمالات این رویدادها بدون در نظر گرفتن وقوع مشترک آنها برابر است: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

در مورد ضرب احتمالات

اگر دو رویداد ناسازگار A و B رخ دهند، احتمالات آنها به ترتیب برابر با P (A) و P (B) است. حاصلضرب دو رویداد A و B یک رویداد A B است که شامل این واقعیت است که این رویدادها با هم رخ می دهند، یعنی هر دو رویداد A و B رخ می دهد. احتمال چنین رویدادی برابر است با حاصل ضرب احتمالات رویدادهای A و Bبا فرمول محاسبه می شود:

همانطور که قبلاً متوجه شدید، پیوند منطقی "AND" به معنای ضرب است.

مثال با همان قالب:تاس را دو بار می اندازیم. احتمال چرخاندن دو شش تا چقدر است؟

احتمال چرخش شش در بار اول 1/6 است. زمان دوم نیز برابر با 1/6 است. احتمال چرخاندن شش بار اول و بار دوم برابر است با حاصل ضرب احتمالات:

به عبارت ساده: هنگامی که یک رویداد معین در یک آزمایش رخ می دهد، و سپس رویدادی دیگر (دیگر) رخ می دهد، آنگاه احتمال وقوع آنها با هم برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها.

ما مسائل را با تاس حل کردیم، اما فقط از استدلال منطقی استفاده کردیم و از فرمول محصول استفاده نکردیم. در کارهایی که در زیر در نظر گرفته شده است، نمی توانید بدون فرمول انجام دهید؛ یا بهتر است بگوییم، با آنها آسان تر و سریع تر به نتیجه می رسید.

شایان ذکر است یک نکته ظریف دیگر. هنگام استدلال در حل مسائل، از مفهوم همزمانی رویدادها استفاده می شود. رویدادها به طور همزمان رخ می دهند - این بدان معنا نیست که آنها در یک ثانیه (در یک نقطه از زمان) رخ می دهند. این بدان معنی است که آنها در یک دوره زمانی خاص (در یک آزمایش) رخ می دهند.

مثلا:

دو لامپ در طول یک سال می سوزند (می توان گفت - به طور همزمان در یک سال)

دو دستگاه در عرض یک ماه خراب می شوند (شاید بتوان گفت همزمان در عرض یک ماه)

تاس ها سه بار ریخته می شوند (امتیازها همزمان ظاهر می شوند، یعنی در یک آزمایش)

ورزشکار دوگانه پنج تیر شلیک می کند. رویدادها (شات) در طول یک آزمایش رخ می دهد.

رویدادهای A و B مستقل هستند اگر احتمال هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع رویداد دیگر بستگی نداشته باشد.

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

دو کارخانه عینک های یکسان برای چراغ های جلو خودرو تولید می کنند. کارخانه اول 35 درصد از این شیشه ها را تولید می کند، دومی 65 درصد. کارخانه اول 4 درصد شیشه معیوب تولید می کند و دومی 2 درصد. احتمال معیوب بودن شیشه ای که به طور تصادفی در فروشگاه خریداری شده است را پیدا کنید.

اولین کارخانه 0.35 محصول (شیشه) تولید می کند. احتمال خرید شیشه معیوب از کارخانه اول 0.04 است.

کارخانه دوم 0.65 لیوان تولید می کند. احتمال خرید شیشه معیوب از کارخانه دوم 0.02 است.

احتمال اینکه شیشه در کارخانه اول خریداری شده باشد و معیوب باشد 0.35∙0.04 = 0.0140 است.

احتمال اینکه شیشه در کارخانه دوم خریداری شده باشد و معیوب باشد 0.65∙0.02 = 0.0130 است.

خرید شیشه معیوب در فروشگاه به این معنی است که آن (شیشه معیوب) یا از کارخانه اول یا از کارخانه دوم خریداری شده است. اینها رویدادهای ناسازگار هستند، یعنی احتمالات حاصل را جمع می کنیم:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

پاسخ: 0.027

اگر استاد بزرگ A. سفید بازی کند، با احتمال 0.62 در برابر استاد بزرگ B. پیروز می شود. اگر A. سیاه بازی کند، A. در برابر B با احتمال 0.2 پیروز می شود. استاد بزرگ A. و B. دو بازی انجام می دهند و در بازی دوم رنگ مهره ها را تغییر می دهند. احتمال برنده شدن A. هر دو بار را بیابید.

احتمال پیروزی در بازی اول و دوم به یکدیگر بستگی ندارد. می گویند استاد بزرگ باید هر دو بار برنده شود، یعنی بار اول برنده شود و در همان زمان بار دوم برنده شود. در مواردی که باید رویدادهای مستقل با هم اتفاق بیفتند، احتمالات این رویدادها چند برابر می شود، یعنی از قانون ضرب استفاده می شود.

احتمال وقوع این رویدادها برابر با 0.62∙0.2 = 0.124 خواهد بود.

پاسخ: 0.124

در امتحان هندسه دانش آموز از لیست سوالات امتحانی یک سوال می گیرد. احتمال اینکه این یک سوال دایره ای است 0.3 است. احتمال اینکه این سوال متوازی الاضلاع باشد 0.25 است. هیچ سوالی وجود ندارد که به طور همزمان به این دو موضوع مرتبط باشد. احتمال اینکه دانش آموزی در یکی از این دو مبحث در امتحان سوال بگیرد را بیابید.

یعنی باید این احتمال را پیدا کرد که دانش آموز یا در موضوع "دایره محاط" یا در موضوع "متوازی الاضلاع" سوالی دریافت کند. در این مورد، احتمالات خلاصه می شوند، زیرا این رویدادها ناسازگار هستند و هر یک از این رویدادها می تواند رخ دهد: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*رویدادهای ناسازگار رویدادهایی هستند که نمی توانند همزمان اتفاق بیفتند.

پاسخ: 0.55

یک ورزشکار دوگانه پنج بار به سمت اهداف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.9 است. این احتمال را پیدا کنید که دو ورزشکار چهار بار اول به اهداف برخورد کند و آخرین مورد را از دست بدهد. نتیجه را به صدم گرد کنید.

از آنجایی که دواتلنگ با احتمال 0.9 به هدف می زند، با احتمال 1 - 0.9 = 0.1 از دست می دهد.

*مس و ضربه حوادثی هستند که با یک شلیک نمی توانند همزمان اتفاق بیفتند، مجموع احتمالات این رویدادها برابر با 1 است.

ما در مورد وقوع چندین رویداد (مستقل) صحبت می کنیم. اگر رویدادی اتفاق بیفتد و در همان زمان یک رویداد دیگر (بعدی) رخ دهد (آزمون)، احتمال این رویدادها چند برابر می شود.

احتمال حاصل ضرب رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها.

بنابراین، احتمال رویداد " ضربه، ضربه، ضربه، ضربه، از دست رفته" 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561 است.

به نزدیکترین صدم گرد کنید، 0.07 می گیریم

پاسخ: 0.07

دو دستگاه پرداخت در فروشگاه وجود دارد. هر یک از آنها بدون توجه به ماشین دیگر می تواند با احتمال 0.07 معیوب باشد. احتمال اینکه حداقل یک ماشین کار می کند را پیدا کنید.

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که هر دو دستگاه معیوب هستند.

این رویدادها مستقل هستند، به این معنی که احتمال برابر با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها خواهد بود: 0.07∙0.07 = 0.0049.

این بدان معنی است که احتمال کارکرد هر دو ماشین یا یکی از آنها برابر با 1 – 0.0049 = 0.9951 خواهد بود.

*هر دو عملیاتی هستند و یکی از آنها کاملاً عملیاتی است - شرط "حداقل یک" را دارد.

می توان احتمالات همه رویدادهای (مستقل) را برای آزمایش ارائه کرد:

1. "عیب- معیوب" 0.07∙0.07 = 0.0049

2. "عیب- معیوب" 0.93∙0.07 = 0.0651

3. "عیب- معیوب" 0.07∙0.93 = 0.0651

4. "عیب- معیوب" 0.93∙0.93 = 0.8649

برای تعیین احتمال اینکه حداقل یک ماشین کار می کند، لازم است احتمالات رویدادهای مستقل 2،3 و 4 را اضافه کنید: یک رویداد قابل اعتماد رویدادی که به طور قطع در نتیجه یک تجربه رخ می دهد نامیده می شود. رویداد نامیده می شود غیر ممکن،اگر هرگز در نتیجه تجربه رخ ندهد.

به عنوان مثال، اگر یک توپ به طور تصادفی از جعبه ای که فقط حاوی توپ های قرمز و سبز است کشیده شود، ظاهر شدن یک توپ سفید در بین توپ های کشیده شده یک اتفاق غیرممکن است. ظاهر قرمز و ظاهر توپ های سبز یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

تعریف:رویدادها نامیده می شوند به همان اندازه ممکن است ، مگر اینکه دلیلی وجود داشته باشد که باور کنیم یکی از آنها به احتمال زیاد در نتیجه تجربه ظاهر می شود.

در مثال بالا، ظاهر شدن توپ‌های قرمز و سبز در صورتی که تعداد توپ‌های قرمز و سبز در جعبه یکسان باشد، احتمال یکسانی دارند. اگر تعداد توپ‌های قرمز در جعبه بیشتر از توپ‌های سبز باشد، در این صورت ظاهر شدن یک توپ سبز نسبت به ظاهر یک توپ قرمز احتمال کمتری دارد.

در ادامه مشکلات بیشتری را بررسی خواهیم کرد که در آن از مجموع و حاصل ضرب احتمالات رویدادها استفاده شده است، آن را از دست ندهید!

همین. آرزو می کنم موفق شوی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

ماریا ایوانونا به واسیا سرزنش می کند:
- پتروف، چرا دیروز در مدرسه نبودی؟
مادرم دیروز شلوارم را شست.
- پس چی؟
- و من از جلوی خانه گذشتم و دیدم که مال شما آویزان است. فکر میکردم نمیای

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.