تعریف

لگاریتم اعشاریلگاریتم پایه 10 نامیده می شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

این لگاریتم راه حل است معادله نمایی. گاهی اوقات (مخصوصاً در ادبیات خارجی) لگاریتم اعشاری نیز به عنوان علامت گذاری می شود، اگرچه دو نام اول نیز در لگاریتم طبیعی ذاتی هستند.

اولین جداول لگاریتم های اعشاریتوسط ریاضیدان انگلیسی هنری بریگز (1561-1630) در سال 1617 منتشر شد (بنابراین، دانشمندان خارجی اغلب لگاریتم های اعشاری را هنوز بریگز می نامند)، اما این جداول حاوی خطاهایی بود. بر اساس جداول (1783) ریاضیدان اسلوونیایی و اتریشی، گئورگ بارتالمیو وگا (Juri Veha یا Vehovec، 1754-1802)، در سال 1857، ستاره شناس و نقشه بردار آلمانی کارل برمیکر (1804-1877) اولین نسخه بدون خطا را منتشر کرد. با مشارکت ریاضیدان و معلم روسی لئونتی فیلیپوویچ مگنیتسکی (تلیاتین یا تلیاشین، 1669-1739)، اولین جداول لگاریتم در سال 1703 در روسیه منتشر شد. لگاریتم اعشاری به طور گسترده ای برای محاسبات استفاده می شد.

خواص لگاریتم های اعشاری

این لگاریتم تمام خصوصیات ذاتی یک لگاریتم به یک پایه دلخواه را دارد:

1. هویت لگاریتمی پایه:

5. .

7. انتقال به یک پایگاه جدید:

تابع لگاریتم اعشاری یک تابع است. نمودار این منحنی اغلب نامیده می شود لگاریتمی.

ویژگی های تابع y=lg x

1) محدوده تعریف: .

2) معانی متعدد: .

3) عملکرد کلی.

4) تابع غیر تناوبی است.

5) نمودار تابع محور x را در نقطه قطع می کند.

6) فواصل ثابت علامت: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} برای اینکه .

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون، در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه لگاریتم x توانی است که برای بدست آوردن x باید a را به آن افزایش داد.

علامت گذاری: log a x = b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b چیزی است که لگاریتم در واقع برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان موفقیت، log 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه معین را لگاریتم سازی می گویند. بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بازه قرار می گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). بسیاری از مردم در ابتدا اشتباه می گیرند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های آزار دهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

[کپشن عکس]

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم یک قدرت است، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه لگاریتم ها را بشمارید. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف مدرک به دست می آید شاخص منطقی، که تعریف لگاریتم به آن می رسد.
2. پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود منطقه ارزش های قابل قبول (ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط در حال بررسی هستیم عبارات عددی، جایی که نیازی به دانستن CVD لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی می روند معادلات لگاریتمیو نابرابری، الزامات DHS اجباری خواهد شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حال بیایید به طرح کلی محاسبه لگاریتم نگاه کنیم. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. شرط بزرگتر بودن پایه از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. در مورد کسرهای اعشاری هم همینطور است: اگر بلافاصله آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با استفاده از مثال‌های خاص چگونه کار می‌کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. جواب گرفتیم: 2.

وظیفه. محاسبه لگاریتم:

[کپشن عکس]

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. جواب گرفتیم: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. جواب گرفتیم: 0.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده است - فقط آن را در فاکتورهای اصلی قرار دهید. و اگر چنین عواملی را نتوان به توانهایی با توانهای یکسان جمع کرد، آنگاه عدد اصلی یک توان دقیق نیست.

وظیفه. دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - دوباره قدرت دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیقی از خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را به آن افزایش داد. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این یک لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. این در مورد استدر مورد لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی x لگاریتم به پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. من فقط ارقام اول را می آورم:
e = 2.718281828459...

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویاغیر منطقی البته به جز یکی: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعیتمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند معتبر هستند.

آنها اغلب عدد ده را می گیرند. لگاریتم اعداد بر اساس پایه ده نامیده می شود اعشاری. هنگام انجام محاسبات با لگاریتم اعشاری، معمول است که با علامت عمل کنید ال جی، اما نه ورود به سیستم; در این مورد، عدد ده که پایه را مشخص می کند، نشان داده نمی شود. بله تعویض کنیم لاگ 10 105ساده شده lg105; آ لاگ 10 2بر lg2.

برای لگاریتم های اعشاریهمان ویژگی هایی که لگاریتم ها با پایه بزرگتر از یک دارند، معمولی هستند. یعنی لگاریتم های اعشاری منحصراً برای اعداد مثبت مشخص می شوند. لگاریتم های اعشاری اعداد بزرگتر از یک مثبت و لگاریتم های اعداد کوچکتر از یک منفی هستند. از دو عدد غیر منفی، عدد بزرگتر معادل لگاریتم اعشاری بزرگتر است و غیره. علاوه بر این، لگاریتم های اعشاری دارای ویژگی های متمایز کنندهو ویژگی‌های عجیبی که توضیح می‌دهند که چرا ترجیح دادن عدد ده به عنوان پایه لگاریتم راحت است.

قبل از بررسی این خواص، اجازه دهید با فرمول های زیر آشنا شویم.

قسمت صحیح لگاریتم اعشاری یک عدد آنامیده میشود مشخصه، و کسری است مانتیساین لگاریتم

ویژگی های لگاریتم اعشاری یک عدد آبه صورت , و آخوندک به صورت (lg آ}.

بیایید مثلاً log 2 ≈ 0.3010 را در نظر بگیریم. بر این اساس = 0، (log 2) ≈ 0.3010.

به همین ترتیب برای log 543.1 ≈2.7349. بر این اساس، = 2، (log 543.1)≈ 0.7349.

محاسبه لگاریتم اعشاری اعداد مثبت از جداول به طور گسترده استفاده می شود.

ویژگی های لگاریتم اعشاری

اولین علامت لگاریتم اعشاری.نه یک کل عدد منفی، که با یک و به دنبال آن صفر نشان داده می شود، یک عدد صحیح مثبت برابر با تعداد صفرها در ورودی عدد انتخاب شده است. .

بیایید log 100 = 2، log 1 00000 = 5 را در نظر بگیریم.

به طور کلی، اگر

که آ= 10n ، که از آن می گیریم

lg a = lg 10 n = n lg 10 =پ.

علامت دوملگاریتم ده اعشاری مثبت که به صورت یک با صفرهای ابتدایی نشان داده شده است، برابر است با - پ، جایی که پ- تعداد صفرها در نمایش این عدد با در نظر گرفتن صفر اعداد صحیح.

در نظر بگیریم , log 0.001 = - 3، log 0.000001 = -6.

به طور کلی، اگر

,

که آ= 10-n و معلوم می شود

lga = lg 10n =-n log 10 =-n

علامت سومویژگی لگاریتم اعشاری یک عدد غیر منفی، بزرگتر از یک، برابر است با تعداد ارقام در قسمت صحیح این عدد به استثنای یک.

بیایید این ویژگی را تحلیل کنیم: 1) مشخصه لگاریتم lg 75.631 برابر با 1 است.

در واقع 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

ال جی 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

این دلالت می کنه که،

log 75.631 = 1 +b،

کاما آفست در اعشاریسمت راست یا چپ معادل عمل ضرب این کسر در توان ده با توان عدد صحیح است. پ(مثبت یا منفی). و بنابراین، هنگامی که نقطه اعشار در یک کسر اعشاری مثبت به چپ یا راست منتقل می شود، مانتیس لگاریتم اعشاری این کسری تغییر نمی کند.

بنابراین، (log 0.0053) = (log 0.53) = (log 0.0000053).