چگونه تابع y=sin x را رسم کنیم؟ ابتدا، بیایید به نمودار سینوس در بازه نگاه کنیم.

ما یک بخش 2 سلولی را در دفترچه یادداشت برداریم. در محور Oy یکی را علامت گذاری می کنیم.

برای راحتی، عدد π/2 را به 1.5 گرد می کنیم (و نه به 1.6، همانطور که قوانین گرد کردن لازم است). در این مورد، یک قطعه به طول π/2 مربوط به 3 سلول است.

در محور Ox ما نه بخش های منفرد، بلکه بخش هایی به طول π/2 (هر 3 سلول) را علامت گذاری می کنیم. بر این اساس، یک بخش از طول π مربوط به 6 سلول، و یک قطعه به طول π/6 مربوط به 1 سلول است.

با این انتخاب یک قطعه واحد، نمودار نشان داده شده بر روی یک برگه دفترچه در یک جعبه تا حد امکان با نمودار تابع y=sin x مطابقت دارد.

بیایید جدولی از مقادیر سینوس در بازه ایجاد کنیم:

نقاط حاصل را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم:

از آنجایی که y=sin x یک تابع فرد است، نمودار سینوسی با توجه به مبدا متقارن است - نقطه O(0;0). با در نظر گرفتن این واقعیت، نمودار را به سمت چپ و سپس نقاط -π را ادامه می دهیم:

تابع y=sin x تناوبی با دوره T=2π است. بنابراین، نمودار تابعی که در بازه [-π;π] گرفته شده است، بی نهایت بار به سمت راست و چپ تکرار می شود.

گرافیک تابعی

تابع سینوسی

- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش [-1; 1]، یعنی تابع سینوسی - محدود.

تابع فرد: sin(−x)=−sin x برای همه x ∈ آر.

تابع دوره ای است

sin(x+2π k) = sin x، جایی که k∈ زبرای همه x ∈ آر.

sin x = 0برای x = π·k، k ∈ ز.

sin x > 0(مثبت) برای همه x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ ز.

گناه x< 0 (منفی) برای همه x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ ز.

تابع کسینوس

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش [-1; 1]، یعنی تابع کسینوس - محدود.

عملکرد یکنواخت: cos(−x)=cos x برای همه x ∈ آر.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت 2π:

cos(x+2π ک) = cos x، که در آن ک ∈ زبرای همه x ∈ آر.

cos x = 0در
cos x > 0برای همه
cos x< 0 برای همه
عملکرد افزایش می یابداز 1- تا 1 در فواصل:
عملکرد در حال کاهش استاز 1- تا 1 در فواصل:
بالاترین ارزش توابع گناه x = 1در نقاط:
کوچکترین مقدار تابع sin x = -1در نقاط:

تابع مماس

مقادیر چند تابع- کل خط اعداد، یعنی. مماس - تابع نامحدود.

تابع فرد: tg(−x)=−tg x
نمودار تابع نسبت به محور OY متقارن است.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت π، یعنی. tg(x+π ک) = tan x، ک ∈ زبرای همه x از دامنه تعریف.

تابع کوتانژانت

مقادیر چند تابع- کل خط اعداد، یعنی. کوتانژانت - تابع نامحدود.

تابع فرد: ctg(−x)=−ctg x برای همه x از دامنه تعریف.
نمودار تابع نسبت به محور OY متقارن است.

تابع دوره ای استبا کوچکترین دوره مثبت π، یعنی. cotg(x+π ک)=ctg x, ک ∈ زبرای همه x از دامنه تعریف.

عملکرد آرکسین

دامنه تابع- بخش [-1; 1]

مقادیر چند تابع- بخش -π /2 قوس x π /2، یعنی. آرکسین - عملکرد محدود.

تابع فرد: arcsin(−x)=−arcsin x برای همه x∈ آر.
نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

در کل منطقه تعریف.

تابع کسینوس قوس

دامنه تابع- بخش [-1; 1]

مقادیر چند تابع- بخش 0 arccos x π، یعنی. آرکوزین - عملکرد محدود.

عملکرد در حال افزایش استدر کل منطقه تعریف

تابع قطبی

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش 0 π، به عنوان مثال. قطبی - تابع محدود.

تابع فرد: arctg(−x)=−arctg x برای همه x∈ آر.
نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

عملکرد در حال افزایش استدر کل منطقه تعریف

تابع مماس قوس

دامنه تابع- یک دسته از آرهمه اعداد واقعی

مقادیر چند تابع- بخش 0 π، به عنوان مثال. arccotangent - تابع محدود.

تابع نه زوج است و نه فرد.
نمودار تابع نه نسبت به مبدا و نه نسبت به محور Oy نامتقارن است.

عملکرد در حال کاهش استدر کل منطقه تعریف

در یک نقطه متمرکز شده است آ.
α - زاویه بیان شده در رادیان.

تعریف
سینوس (sin α)تابع مثلثاتی بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق است راست گوشه, برابر با نسبتطول ضلع مقابل | قبل از میلاد| به طول هیپوتنوز |AC|.

کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.

نمادهای پذیرفته شده

;
;
.

;
;
.

نمودار تابع سینوس، y = sin x

نمودار تابع کسینوس، y = cos x

خواص سینوس و کسینوس

دوره ای

توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.

	y= گناه x	y= cos x
دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
در حال افزایش است
نزولی
ماکسیما، y = 1
حداقل، y = - 1
صفر، y = 0
نقاط تقاطع با محور ترتیبی، x = 0	y= 0	y= 1

فرمول های پایه

مجموع مجذورات سینوس و کسینوس

فرمول های سینوس و کسینوس از مجموع و تفاوت

;
;

فرمول های حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

بیان سینوس از طریق کسینوس

;
;
;
.

بیان کسینوس از طریق سینوس

;
;
;
.

بیان از طریق مماس

; .

وقتی، داریم:
; .

در:
; .

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; . استخراج فرمول ها > > >

مشتقات مرتبه n:
{ -∞ < x < +∞ }

سکانت، متقاطع

توابع معکوس

توابع معکوسبه سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

آرکسین، آرکسین

آرکوزین، آرکوس

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

آهن زنگ می زند بدون اینکه فایده ای پیدا کند،
آب راکددر سرما می پوسد یا یخ می زند،
و ذهن آدمی که هیچ فایده ای برای خود پیدا نمی کند، از بین می رود.
لئوناردو داوینچی

تکنولوژی های مورد استفاده:یادگیری مبتنی بر مسئله، تفکر انتقادی، ارتباط ارتباطی.

اهداف:

• توسعه علاقه شناختیبه یادگیری
• مطالعه خصوصیات تابع y = sin x.
• شکل گیری مهارت های عملی در ساخت نمودار تابع y = sin x بر اساس مطالب نظری مورد مطالعه.

وظایف:

1. از پتانسیل موجود دانش در مورد ویژگی های تابع y = sin x در موقعیت های خاص استفاده کنید.

2. برقراری آگاهانه ارتباطات بین مدل های تحلیلی و هندسی تابع y = sin x را اعمال کنید.

توسعه ابتکار، تمایل و علاقه خاصی برای یافتن راه حل؛ توانایی تصمیم گیری، در اینجا متوقف نشوید و از دیدگاه خود دفاع کنید.

پرورش فعالیت های شناختی، احساس مسئولیت، احترام به یکدیگر، درک متقابل، حمایت متقابل و اعتماد به نفس در دانش آموزان؛ فرهنگ ارتباطی

در طول کلاس ها

مرحله ی 1. به روز رسانی دانش پایه، ایجاد انگیزه برای یادگیری مطالب جدید

"ورود به درس."

3 عبارت روی تابلو نوشته شده است:

1. معادله مثلثاتی sin t = a همیشه جواب دارد.
2. برنامه تابع فردرا می توان با استفاده از تبدیل تقارن حول محور Oy ساخت.
3. یک تابع مثلثاتی را می توان با استفاده از یک نیمه موج اصلی رسم کرد.

دانش آموزان به صورت دو نفره بحث می کنند: آیا عبارات درست هستند؟ (1 دقیقه). نتایج بحث اولیه (بله، خیر) سپس در جدول در ستون "قبل" وارد می شود.

معلم اهداف و مقاصد درس را تعیین می کند.

2. به روز رسانی دانش (از جلو بر روی مدلی از یک دایره مثلثاتی).

قبلاً با تابع s = sin t آشنا شده ایم.

1) متغیر t چه مقادیری می تواند بگیرد. دامنه این عملکرد چیست؟

2) مقادیر عبارت sin t در چه بازه ای قرار دارند؟ بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع s = sin t را بیابید.

3) معادله sin t = 0 را حل کنید.

4) وقتی یک نقطه در ربع اول حرکت می کند چه اتفاقی می افتد؟ (مرتب افزایش می یابد). با حرکت یک نقطه در ربع دوم چه اتفاقی می افتد؟ (مرتب به تدریج کاهش می یابد). این چه ارتباطی با یکنواختی تابع دارد؟ (تابع s = sin t در قطعه افزایش می یابد و در قطعه کاهش می یابد).

5) بیایید تابع s = sin t را به شکل y = sin x بنویسیم که برای ما آشناست (آن را در سیستم مختصات xOy معمولی می سازیم) و جدولی از مقادیر این تابع را تهیه می کنیم.

ایکس	0
در	0			1			0

مرحله 2. ادراک، درک، تثبیت اولیه، حفظ غیر ارادی

مرحله 4. سیستم سازی اولیهدانش و روش های فعالیت، انتقال و کاربرد آنها در شرایط جدید

6. شماره 10.18 (b,c)

مرحله 5. کنترل نهایی، اصلاح، ارزیابی و خودارزیابی

7. به عبارات (ابتدای درس) برگردید، در مورد استفاده از ویژگی های تابع مثلثاتی y = sin x بحث کنید و ستون "After" را در جدول پر کنید.

8. D/z: بند 10، شماره 10.7(a)، 10.8(b)، 10.11(b)، 10.16(a)

ما آن رفتار را پیدا کردیم توابع مثلثاتی، و توابع y = گناه x به خصوص، در کل خط اعداد (یا برای همه مقادیر آرگومان ایکس) کاملاً با رفتار آن در بازه مشخص می شود 0 < ایکس < π / 2 .

بنابراین، ابتدا تابع را رسم می کنیم y = گناه x دقیقا در این فاصله

بیایید جدول زیر از مقادیر تابع خود را بسازیم.

با علامت گذاری نقاط مربوطه در صفحه مختصات و اتصال آنها با یک خط صاف، منحنی نشان داده شده در شکل را به دست می آوریم.

منحنی به دست آمده را می‌توان به صورت هندسی، بدون تهیه جدولی از مقادیر تابع، ساخت y = گناه x .

1. ربع اول یک دایره با شعاع 1 را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنید.

2. ربع اول دایره مربوط به زوایای 0 تا است π / 2 . بنابراین، در محور ایکسبیایید یک قطعه برداریم و آن را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنیم.

3. خطوط مستقیم موازی با محورها رسم می کنیم ایکس، و از نقاط تقسیم عمود می سازیم تا زمانی که با خطوط افقی تلاقی کنند.

4. نقاط تقاطع را با یک خط صاف وصل کنید.

حالا بیایید به فاصله زمانی نگاه کنیم π / 2 < ایکس < π .
هر مقدار آرگومان ایکساز این فاصله را می توان به صورت نمایش داد

ایکس = π / 2 + φ

جایی که 0 < φ < π / 2 . طبق فرمول های کاهش

گناه ( π / 2 + φ ) = cos φ = گناه ( π / 2 - φ ).

نقاط محور ایکسبا آبسیسا π / 2 + φ و π / 2 - φ متقارن با یکدیگر در مورد نقطه محور ایکسبا آبسیسا π / 2 ، و سینوس ها در این نقاط یکسان هستند. این به ما امکان می دهد نموداری از تابع را بدست آوریم y = گناه x در فاصله [ π / 2 , π ] به سادگی با نمایش متقارن نمودار این تابع در بازه نسبت به خط مستقیم ایکس = π / 2 .

در حال حاضر با استفاده از اموال تابع برابری فرد y = گناه x،

گناه (- ایکس) = - گناه ایکس,

رسم این تابع در بازه [- آسان است π , 0].

تابع y = sin x تناوبی با دوره 2π است ;. بنابراین برای ساخت کل نمودار این تابع کافی است منحنی نشان داده شده در شکل را به صورت دوره ای با نقطه به چپ و راست ادامه دهید. 2π .

منحنی حاصل نامیده می شود سینوسی . این نمودار تابع است y = گناه x.

شکل به خوبی تمام ویژگی های تابع را نشان می دهد y = گناه x ، که قبلا ثابت کرده ایم. اجازه دهید این خواص را یادآوری کنیم.

1) عملکرد y = گناه x برای همه مقادیر تعریف شده است ایکس ، بنابراین دامنه آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

2) عملکرد y = گناه x محدود. تمام مقادیری که می پذیرد بین 1- و 1 است که شامل این دو عدد می شود. در نتیجه، دامنه تغییرات این تابع توسط نابرابری -1 تعیین می شود < در < 1. وقتی ایکس = π / 2 + 2 هزار π تابع می گیرد بالاترین ارزش ها، برابر با 1 و برای x = - π / 2 + 2 هزار π - کوچکترین مقادیر، برابر با - 1.

3) عملکرد y = گناه x فرد است (موج سینوسی نسبت به مبدا متقارن است).

4) عملکرد y = گناه x دوره ای با دوره 2 π .

5) در فواصل 2n π < ایکس < π + 2n π (n هر عدد صحیح است) مثبت است و در فواصل زمانی π + 2 هزار π < ایکس < 2π + 2 هزار π (k هر عدد صحیحی است) منفی است. در x = k π تابع به صفر می رسد. بنابراین، این مقادیر آرگومان x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) تابع صفر نامیده می شوند y = گناه x

6) در فواصل زمانی - π / 2 + 2n π < ایکس < π / 2 + 2n π تابع y = گناه ایکس به صورت یکنواخت و در فواصل زمانی افزایش می یابد π / 2 + 2 هزار π < ایکس < 3π / 2 + 2 هزار π یکنواخت کاهش می یابد.

شما باید به رفتار تابع توجه ویژه ای داشته باشید y = گناه x نزدیک نقطه ایکس = 0 .

به عنوان مثال، sin 0.012 ≈ 0.012; sin(-0.05) ≈ -0,05;

گناه 2 درجه = گناه π 2 / 180 = گناه π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

با این حال، باید توجه داشت که برای هر مقدار x

| گناه ایکس| < | x | . (1)

در واقع، بگذارید شعاع دایره نشان داده شده در شکل برابر با 1 باشد،
آ / AOB = ایکس.

بعد گناه کن ایکس= AC اما AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол ایکس. طول این کمان آشکارا برابر است با ایکس، از آنجایی که شعاع دایره 1 است. بنابراین، در 0< ایکس < π / 2

گناه x< х.

از این رو، به دلیل عجیب بودن تابع y = گناه x به راحتی می توان نشان داد که وقتی - π / 2 < ایکس < 0

| گناه ایکس| < | x | .

بالاخره کی ایکس = 0

| گناه x | = | x |.

بنابراین، برای | ایکس | < π / 2 نابرابری (1) ثابت شده است. در واقع این نابرابری برای | نیز صادق است ایکس | > π / 2 با توجه به اینکه | گناه ایکس | < 1، الف π / 2 > 1

تمرینات

1. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید: الف) گناه 2; ب) گناه 4; ج) گناه (-3).

2. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام عدد از بازه
[ - π / 2 , π / 2 ] دارای سینوس برابر با: الف) 0.6; ب) -0.8.

3. با توجه به نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام اعداد دارای سینوس هستند،
برابر با 1/2.

4. تقریباً (بدون استفاده از جداول) پیدا کنید: a) sin 1°; ب) گناه 0.03;
ج) گناه (-0.015); د) گناه (-2°30").