اعداد باورنکردنی ایان استوارت استوارت I. تعداد باورنکردنی پروفسور استوارت. ساده یا نه

استوارت شایسته است بالاترین امتیازبرای داستان او در مورد اینکه نقش هر یک از شرکت کنندگان در جامعه جهانی اعداد چقدر عالی، شگفت انگیز و مفید است. Kirkus Reviews Stewart کار درخشانی در توضیح مسائل پیچیده انجام می دهد. New Scientist درخشان ترین و پربارترین محبوب کننده ریاضیات در بریتانیا. الکس بلوس کتاب در مورد چیست؟در اصل، ریاضیات اعداد هستند، ابزار اصلی ما برای درک جهان. در کتاب خود، پروفسور ایان استوارت، معروف‌ترین محبوب انگلیسی ریاضیات، مقدمه‌ای لذت بخش از اعدادی که ما را احاطه کرده‌اند، از ترکیب‌های آشنای نمادها تا نمادهای عجیب‌تر - فاکتوریل، فراکتال یا ثابت آپری، ارائه می‌کند. در این مسیر، نویسنده در مورد اعداد اول، معادلات مکعبی، مفهوم صفر، نسخه های احتمالی مکعب روبیک، نقش اعداد در تاریخ بشر و ارتباط مطالعه آنها در زمان ما به ما می گوید. استوارت با هوش و دانش مشخص خود، دنیای شگفت انگیز ریاضیات را برای خواننده آشکار می کند. چرا کتاب ارزش خواندن دارد جالب ترین چیز در مورد باورنکردنی ترین اعداد داستان بهترین محبوب کننده ریاضیات از بریتانیا، برنده جایزه لوئیس توماس 2015. بررسی های ایان استوارت خواص شگفت انگیزاعداد از صفر تا بی نهایت - طبیعی، پیچیده، غیر منطقی، مثبت، منفی، ساده، مرکب - و تاریخچه آنها را از اکتشافات شگفت انگیزریاضیدانان باستان قبل از وضعیت فعلی علوم ریاضی. با راهنمایی مجرب استاد، اسرار کدهای ریاضی و سودوکو، مکعب روبیک و مقیاس های موسیقی را یاد می گیرید، می بینید که چگونه یک بی نهایت می تواند بزرگتر از دیگری باشد و همچنین کشف می کنید که در فضای یازده بعدی زندگی می کنید. این کتاب کسانی را که عاشق اعداد هستند و کسانی که هنوز فکر می کنند آنها را دوست ندارند خوشحال خواهد کرد. درباره نویسنده پروفسور یان استوارت یکی از محبوب‌کنندگان ریاضیات در جهان و نویسنده بسیاری از کتاب‌های جذاب است و تعدادی از بالاترین جوایز آکادمیک بین‌المللی را دریافت کرده است. در سال 2001 به عضویت انجمن سلطنتی لندن درآمد. استاد بازنشسته در دانشگاه وارویک، او در مورد دینامیک سیستم های غیرخطی تحقیق می کند و دانش ریاضی را ارتقا می دهد. نویسنده کتاب پرفروش «بزرگترین مشکلات ریاضیمنتشر شده توسط انتشارات غیرداستانی آلپینا در سال 2015. مفاهیم کلیدی ریاضیات، ارقام، اعداد، معماها، ریاضیات عالی، مسائل ریاضی، تحقیق ریاضی، تاریخ ریاضیات، علوم، علوم.

...

استوارت به خاطر داستانش در مورد اینکه نقش همه افراد در جامعه جهانی اعداد چقدر عالی، شگفت انگیز و مفید است، سزاوار بالاترین ستایش است. Kirkus Reviews Stewart کار درخشانی در توضیح مسائل پیچیده انجام می دهد. New Scientist درخشان ترین و پربارترین محبوب کننده ریاضیات در بریتانیا. الکس بلوس کتاب در مورد چیست؟در اصل، ریاضیات اعداد هستند، ابزار اصلی ما برای درک جهان. در کتاب خود، پروفسور ایان استوارت، معروف‌ترین محبوب انگلیسی ریاضیات، مقدمه‌ای لذت بخش از اعدادی که ما را احاطه کرده‌اند، از ترکیب‌های آشنای نمادها تا نمادهای عجیب‌تر - فاکتوریل، فراکتال یا ثابت آپری، ارائه می‌کند. در این مسیر، نویسنده در مورد اعداد اول، معادلات مکعبی، مفهوم صفر، نسخه های احتمالی مکعب روبیک، نقش اعداد در تاریخ بشر و ارتباط مطالعه آنها در زمان ما به ما می گوید. استوارت با هوش و دانش مشخص خود، دنیای شگفت انگیز ریاضیات را برای خواننده آشکار می کند. چرا کتاب ارزش خواندن دارد جالب ترین چیز در مورد باورنکردنی ترین اعداد داستان بهترین محبوب کننده ریاضیات از بریتانیا، برنده جایزه لوئیس توماس 2015. ایان استوارت خواص شگفت انگیز اعداد از صفر تا بی نهایت - طبیعی، پیچیده، غیرمنطقی، مثبت، منفی، اول، مرکب - را بررسی می کند و تاریخچه آنها را از اکتشافات شگفت انگیز ریاضیدانان باستان تا وضعیت مدرن علوم ریاضی نشان می دهد. با راهنمایی مجرب استاد، اسرار کدهای ریاضی و سودوکو، مکعب روبیک و مقیاس های موسیقی را یاد می گیرید، می بینید که چگونه یک بی نهایت می تواند بزرگتر از دیگری باشد و همچنین کشف می کنید که در فضای یازده بعدی زندگی می کنید. این کتاب کسانی را که عاشق اعداد هستند و کسانی که هنوز فکر می کنند آنها را دوست ندارند خوشحال خواهد کرد. درباره نویسنده پروفسور یان استوارت یکی از محبوب‌کنندگان ریاضیات در جهان و نویسنده بسیاری از کتاب‌های جذاب است و تعدادی از بالاترین جوایز آکادمیک بین‌المللی را دریافت کرده است. در سال 2001 به عضویت انجمن سلطنتی لندن درآمد. استاد بازنشسته در دانشگاه وارویک، او در مورد دینامیک سیستم های غیرخطی تحقیق می کند و دانش ریاضی را ارتقا می دهد. نویسنده کتاب پرفروش "بزرگترین مسائل ریاضی" منتشر شده توسط انتشارات "آلپینا غیرداستانی" در سال 2015. مفاهیم کلیدی: ریاضیات، اعداد، اعداد، معماها، ریاضیات عالی، مسائل ریاضی، تحقیقات ریاضی، تاریخ ریاضیات، علم ، علوم پایه.

کتاب " اعداد باورنکردنی پروفسور استوارتتوسط استوارت ایان توسط بازدیدکنندگان Book Guide رتبه‌بندی شد و امتیاز خوانندگان او 0.00 از 10 بود.
موارد زیر برای مشاهده رایگان در دسترس هستند: چکیده، انتشار، بررسی، و همچنین فایل هایی برای دانلود.

پروفسور ممتاز ریاضیات در دانشگاه وارویک، محبوب کننده مشهور علم، ایان استوارت، به نقش اعداد در تاریخ بشریت و ارتباط مطالعه آنها در زمان ما اختصاص داده است.

هیپوتنوز فیثاغورثی

مثلث های فیثاغورثی دارای زوایای قائمه و ضلع های صحیح هستند. ساده ترین آنها دارای طولانی ترین ضلع به طول 5 است، بقیه 3 و 4 هستند. در کل 5 چند وجهی منظم وجود دارد. معادله درجه پنجم را نمی توان با استفاده از ریشه های پنجم - یا هر ریشه دیگری حل کرد. مشبک در هواپیما و داخل فضای سه بعدیتقارن چرخشی پنج گلبرگ ندارند، بنابراین چنین تقارن هایی در کریستال ها وجود ندارد. با این حال، آنها را می توان در شبکه های چهار بعدی و در ساختارهای جالبی که به عنوان شبه کریستال شناخته می شوند، یافت.

هیپوتنوز کوچکترین سه گانه فیثاغورثی

قضیه فیثاغورث بیان می کند که طولانی ترین ضلع یک مثلث قائم الزاویه (هیپوتنوس بدنام) با دو ضلع دیگر این مثلث به روشی بسیار ساده و زیبا مرتبط است: مربع فرضی برابر با مجموع مربعات دو طرف دیگر

به طور سنتی، ما این قضیه را با نام فیثاغورث می نامیم، اما در واقع تاریخ آن کاملا مبهم است. لوح های گلی نشان می دهد که بابلیان باستان قضیه فیثاغورث را خیلی قبل از خود فیثاغورث می دانستند. شهرت این کاشف توسط فرقه ریاضی فیثاغورثی ها برای او به ارمغان آمد که طرفداران آن معتقد بودند که جهان بر اساس قوانین عددی است. نویسندگان باستان به فیثاغورثیان - و در نتیجه به فیثاغورث - انواعی از آنها را نسبت می دهند قضایای ریاضی، اما در واقع ما نمی دانیم که خود فیثاغورث چه نوع ریاضیاتی انجام داده است. ما حتی نمی دانیم که آیا فیثاغورثی ها می توانستند قضیه فیثاغورث را اثبات کنند یا اینکه آنها صرفاً به درستی آن اعتقاد داشتند. یا، به احتمال زیاد، آنها شواهد قانع کننده ای از صدق آن داشتند، که با این وجود برای آنچه ما امروز مدرک می دانیم کافی نخواهد بود.

شواهد فیثاغورث

اولین اثبات شناخته شده قضیه فیثاغورث در عناصر اقلیدس یافت می شود. این یک اثبات نسبتاً پیچیده با استفاده از نقاشی است که دانش‌آموزان دوره ویکتوریا بلافاصله آن را به عنوان "شلوار فیثاغورثی" تشخیص می‌دهند. این نقاشی واقعاً شبیه زیرشلواری است که روی یک خط خشک می شود. به معنای واقعی کلمه صدها دلیل دیگر وجود دارد که اکثر آنها این ادعا را آشکارتر می کنند.

تشریح پریگال یکی دیگر از اثبات های معما است.

همچنین یک اثبات قضیه با استفاده از ترتیب مربع ها در یک صفحه وجود دارد. شاید فیثاغورثی ها یا اسلاف ناشناخته آنها این قضیه را اینگونه کشف کردند. اگر نگاه کنید که چگونه مربع کج روی دو مربع دیگر همپوشانی دارد، می توانید ببینید که چگونه یک مربع بزرگ را تکه تکه کنید و سپس آنها را در کنار هم به شکل دو مربع کوچکتر قرار دهید. شما همچنین می توانید مثلث های قائم الزاویه را ببینید که اضلاع آنها ابعاد سه مربع درگیر را نشان می دهد.

بخور شواهد جالباستفاده از مثلث های مشابه در مثلثات حداقل پنجاه دلیل مختلف شناخته شده است.

سه گانه فیثاغورثی

در نظریه اعداد، قضیه فیثاغورث سرچشمه ایده ای پربار شد: یافتن راه حل های اعداد صحیح. معادلات جبری. سه گانه فیثاغورثی مجموعه ای از اعداد صحیح a، b و c است به طوری که

a 2 + b 2 = c 2 .

از نظر هندسی، چنین سه گانه ای تعیین می کند راست گوشهبا اضلاع عدد صحیح

کوچکترین هیپوتنوز سه گانه فیثاغورثی 5 است.

دو ضلع دیگر این مثلث 3 و 4 هستند. در اینجا

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

هیپوتانوس بعدی 10 است زیرا

6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 2 .

با این حال، این اساساً همان مثلث با دو ضلع است. هیپوتانوس بزرگ و واقعا متفاوت بعدی 13 است که برای آن

5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2 .

اقلیدس می دانست که بی نهایت تنوع مختلف از سه قلوهای فیثاغورثی وجود دارد و آنچه را که می توان آن را فرمولی برای یافتن همه آنها نامید ارائه داد. بعدها، دیوفانتوس اسکندریه دستور العمل ساده ای را پیشنهاد کرد که اساساً مشابه اقلیدسی بود.

هر دو عدد طبیعی را بگیرید و محاسبه کنید:

محصول دوگانه آنها؛

تفاوت مربع آنها؛

مجموع مربع های آنها

سه عدد به دست آمده اضلاع مثلث فیثاغورث خواهند بود.

برای مثال اعداد 2 و 1 را در نظر می گیریم.

محصول دوگانه: 2 × 2 × 1 = 4;

تفاوت مربع ها: 2 2 – 1 2 = 3;

مجموع مربع ها: 2 2 + 1 2 = 5،

و به مثلث معروف 3-4-5 رسیدیم. اگر به جای آن اعداد 3 و 2 را بگیریم، به دست می آید:

محصول دوگانه: 2 × 3 × 2 = 12;

تفاوت مربع ها: 3 2 – 2 2 = 5;

مجموع مربع ها: 3 2 + 2 2 = 13،

و ما معروف ترین مثلث بعدی 5 – 12 – 13 را دریافت می کنیم.

محصول دوگانه: 2 × 42 × 23 = 1932;

اختلاف مربع ها: 42 2 – 23 2 = 1235;

مجموع مربع ها: 42 2 + 23 2 = 2293،

هیچ کس تا به حال نام مثلث 1235-1932-2293 را نشنیده است.

اما این اعداد نیز کار می کنند:

1235 2 + 1932 2 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 2293 2 .

یک ویژگی دیگر از قانون دیوفانتین وجود دارد که قبلاً به آن اشاره شده است: با توجه به سه عدد، می توانیم یک عدد دلخواه دیگر را بگیریم و همه آنها را در آن ضرب کنیم. بنابراین، یک مثلث 3-4-5 را می توان با ضرب همه ضلع ها در 2 به یک مثلث 6-8-10 یا با ضرب همه در 5 به مثلث 15-20-25 تبدیل کرد.

اگر به زبان جبر برویم، قاعده به شکل زیر در می آید: اجازه دهید u، v و k باشند اعداد صحیح. سپس یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع

2kuv و k (u 2 – v 2) دارای هیپوتانوس است

راه های دیگری برای ارائه ایده اصلی وجود دارد، اما همه آنها به روشی که در بالا توضیح داده شد خلاصه می شود. این روش به شما امکان می دهد تمام سه گانه های فیثاغورثی را بدست آورید.

چند وجهی منظم

دقیقاً پنج چند وجهی منظم وجود دارد. یک چندوجهی (یا چندوجهی) منظم است شکل حجمیبا تعداد محدودی از وجوه صاف. چهره ها روی خطوطی به نام لبه ها با یکدیگر ملاقات می کنند. یال ها در نقاطی به نام راس به هم می رسند.

نقطه اوج اصول اقلیدسی اثبات این است که تنها پنج چند وجهی منتظم می توانند وجود داشته باشند، یعنی چند وجهی که در آن هر وجه یک چندضلعی منتظم است (اضلاع مساوی، زوایای برابر)، همه وجوه یکسان هستند و همه رئوس با یک برابر احاطه شده اند. تعداد چهره هایی با فاصله مساوی در اینجا پنج چند وجهی منظم وجود دارد:

چهار وجهی با چهار وجه مثلثی، چهار راس و شش لبه.

مکعب، یا شش وجهی، با 6 وجه مربع، 8 رأس و 12 لبه.

هشت وجهی با 8 وجه مثلثی، 6 رأس و 12 لبه.

دوازده وجهی با 12 وجه پنج ضلعی، 20 راس و 30 لبه.

یک ایکوساهدر با 20 وجه مثلثی، 12 رأس و 30 لبه.

چندوجهی منظم نیز در طبیعت یافت می شود. در سال 1904، ارنست هکل طرح‌هایی از موجودات کوچکی را منتشر کرد که به نام رادیولاریان شناخته می‌شوند. بسیاری از آنها شبیه همان پنج چند وجهی منظم هستند. شاید، با این حال، او کمی طبیعت را تصحیح کرد، و نقاشی ها به طور کامل شکل موجودات زنده خاص را منعکس نمی کنند. سه ساختار اول نیز در کریستال ها مشاهده می شود. دوازده وجهی و ایکو وجهی را در کریستالها نخواهید یافت، اگرچه دوازده وجهی نامنظم و ایکو وجهی گاهی در آنجا یافت می شود. دوازده‌وجهی‌های واقعی می‌توانند به‌صورت شبه بلورهایی به وجود بیایند که از هر نظر شبیه بلورها هستند با این تفاوت که اتم‌های آن‌ها یک شبکه تناوبی تشکیل نمی‌دهند.

ساختن مدل های چند وجهی منظم از کاغذ با برش دادن مجموعه ای از چهره های به هم پیوسته می تواند جالب باشد - به این می گویند ایجاد یک چند وجهی. توسعه در امتداد لبه ها تا می شود و لبه های مربوطه به هم چسبانده می شوند. همانطور که در شکل نشان داده شده است، افزودن یک چسب اضافی به یکی از دنده های هر جفت مفید است. 39. اگر چنین پلتفرمی وجود ندارد، می توانید از نوار چسب استفاده کنید.

معادله درجه پنجم

وجود ندارد فرمول جبریبرای حل معادلات درجه 5

که در نمای کلیمعادله درجه پنجم به صورت زیر است:

ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0.

مشکل پیدا کردن فرمولی برای حل چنین معادله ای است (می تواند تا پنج راه حل داشته باشد). تجربه معادلات درجه دوم و مکعب و همچنین معادلات درجه چهار نشان می دهد که چنین فرمولی باید برای معادلات درجه پنجم نیز وجود داشته باشد و از نظر تئوری ریشه های درجه های پنجم، سوم و دوم در آن ظاهر شود. باز هم، می توانیم با خیال راحت فرض کنیم که چنین فرمولی، در صورت وجود، بسیار بسیار پیچیده خواهد بود.

این فرض در نهایت اشتباه بود. در واقع، چنین فرمولی وجود ندارد. حداقل هیچ فرمولی متشکل از ضرایب a، b، c، d، e و f وجود ندارد که با استفاده از جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و ریشه گرفتن ساخته شود. بنابراین چیز بسیار خاصی در مورد عدد 5 وجود دارد. دلایل این رفتار غیرعادی این پنج نفر بسیار عمیق است و درک آنها زمان زیادی را صرف کرد.

اولین نشانه مشکل این بود که ریاضیدانان هر چقدر هم که برای یافتن چنین فرمولی تلاش می کردند، هر چقدر هم که باهوش بودند، همیشه شکست می خوردند. برای مدتی، همه معتقد بودند که دلایل آن در پیچیدگی باورنکردنی فرمول نهفته است. اعتقاد بر این بود که هیچ کس به سادگی نمی تواند این جبر را به درستی درک کند. با این حال، با گذشت زمان، برخی از ریاضیدانان شروع به شک کردند که چنین فرمولی حتی وجود دارد، و در سال 1823 نیلز هندریک آبل توانست خلاف آن را ثابت کند. چنین فرمولی وجود ندارد. اندکی پس از آن، Évariste Galois راهی برای تعیین اینکه آیا معادله‌ای با یک درجه یا دیگری - پنجم، ششم، هفتم، هر نوع- با استفاده از این نوع فرمول قابل حل است پیدا کرد.

نتیجه گیری از همه اینها ساده است: عدد 5 خاص است. می توانید معادلات جبری را حل کنید (با استفاده از ریشه های نهمدرجه برای مقادیر مختلف n) برای توان های 1، 2، 3 و 4، اما نه برای توان 5. اینجاست که الگوی آشکار به پایان می رسد.

هیچ کس تعجب نمی کند که معادلات درجات بالاتر از 5 حتی بدتر عمل کنند. به طور خاص، همان دشواری با آنها همراه است: هیچ فرمول کلی برای حل آنها وجود ندارد. این بدان معنا نیست که معادلات هیچ راه حلی ندارند. این همچنین به این معنی نیست که یافتن مقادیر عددی بسیار دقیق برای این راه حل ها غیرممکن است. همه چیز در مورد محدودیت های ابزارهای جبر سنتی است. این یادآور عدم امکان برش سه زاویه با استفاده از خط کش و قطب نما است. پاسخ وجود دارد، اما روش های ذکر شده کافی نیستند و به ما اجازه نمی دهند که آن را تعیین کنیم.

محدودیت کریستالوگرافی

بلورهای دو و سه بعدی تقارن دورانی 5 پرتویی ندارند.

اتم ها در یک کریستال یک شبکه تشکیل می دهند، یعنی ساختاری که به طور متناوب خود را در چندین جهت مستقل تکرار می کند. به عنوان مثال، الگوی روی کاغذ دیواری در طول رول تکرار می شود. علاوه بر این، معمولاً در جهت افقی تکرار می شود، گاهی اوقات با تغییر از یک تکه کاغذ دیواری به قطعه بعدی. در اصل، کاغذ دیواری یک کریستال دو بعدی است.

17 نوع الگوی کاغذ دیواری در یک هواپیما وجود دارد (به فصل 17 مراجعه کنید). آنها در انواع تقارن متفاوت هستند، یعنی در روش هایی که الگو را به طور سفت و سخت حرکت می دهند تا دقیقاً روی خود در موقعیت اصلی خود قرار گیرد. انواع تقارن شامل انواع مختلفی از تقارن چرخشی است که در آن الگو باید با زاویه خاصی حول یک نقطه خاص - مرکز تقارن - چرخانده شود.

ترتیب تقارن چرخشی این است که چند بار می توان بدنه را در یک دایره کامل چرخاند تا تمام جزئیات الگو به موقعیت اولیه خود بازگردند. به عنوان مثال، یک چرخش 90 درجه، تقارن چرخش مرتبه چهارم * است. فهرست انواع احتمالی تقارن چرخشی در یک شبکه کریستالی دوباره به غیرعادی بودن عدد 5 اشاره می کند: وجود ندارد. گزینه هایی با تقارن چرخش مرتبه 2، 3، 4 و 6 وجود دارد، اما هیچ یک از طرح های کاغذ دیواری دارای تقارن چرخش مرتبه 5 نیستند. تقارن چرخشی مرتبه بزرگتر از 6 نیز در کریستال ها وجود ندارد، اما اولین نقض دنباله همچنان در عدد 5 رخ می دهد.

همین اتفاق در مورد سیستم های کریستالوگرافی در فضای سه بعدی می افتد. در اینجا شبکه خود را در سه جهت مستقل تکرار می کند. 219 نوع مختلف تقارن یا 230 نوع تقارن وجود دارد انعکاس آینهطراحی به عنوان نسخه جداگانه ای از آن - با وجود این واقعیت که در این مورد هیچ تقارن آینه ای وجود ندارد. باز هم تقارن های چرخشی مرتبه های 2، 3، 4 و 6 مشاهده می شود، اما نه 5. این واقعیت را محصور شدن کریستالوگرافی می نامند.

در فضای چهاربعدی، شبکه هایی با تقارن مرتبه 5 وجود دارد. به طور کلی، برای شبکه هایی با ابعاد به اندازه کافی بالا، هر ترتیب از پیش تعیین شده تقارن چرخشی امکان پذیر است.

شبه بلورها

اگرچه تقارن دورانی مرتبه 5 در شبکه های 2 بعدی یا 3 بعدی امکان پذیر نیست، اما می تواند در ساختارهای کمی کمتر منظم به نام شبه بلورها وجود داشته باشد. راجر پنروز با استفاده از طرح‌های کپلر، سیستم‌های مسطح با نوع کلی‌تری از تقارن پنج‌گانه را کشف کرد. به آنها شبه بلور می گویند.

شبه بلورها در طبیعت وجود دارند. در سال 1984، دانیل شختمن کشف کرد که آلیاژی از آلومینیوم و منگنز می تواند شبه بلورها را تشکیل دهد. در ابتدا، بلورشناسان با کمی تردید از پیام او استقبال کردند، اما بعداً این کشف تأیید شد و در سال 2011 جایزه شختمان دریافت کرد. جایزه نوبلدر شیمی در سال 2009، تیمی از دانشمندان به رهبری لوکا بیندی شبه بلورهایی را در یک ماده معدنی از ارتفاعات کوریاک روسیه کشف کردند - ترکیبی از آلومینیوم، مس و آهن. امروزه این ماده معدنی ایکوساهدریت نامیده می شود. دانشمندان با اندازه‌گیری محتوای ایزوتوپ‌های مختلف اکسیژن در این ماده معدنی با استفاده از طیف‌سنج جرمی نشان دادند که این ماده معدنی از زمین منشاء نمی‌گیرد. حدود 4.5 میلیارد سال پیش، در زمانی که منظومه شمسیتازه در ابتدای راه بود و بیشتر وقت خود را در کمربند سیارکی گذراند و به دور خورشید می چرخید تا اینکه برخی اختلالات مدار آن را تغییر داد و در نهایت آن را به زمین آورد.

دنیا بر اساس قدرت اعداد ساخته شده است.
فیثاغورث

حتی در اوایل کودکی، شمارش را یاد می گیریم، سپس در مدرسه ایده ای از سری اعداد نامحدود، عناصر هندسه، اعداد کسری و غیر منطقی به دست می آوریم و اصول جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی را مطالعه می کنیم. نقش ریاضیات در دانش مدرن و فعالیت های عملی مدرن بسیار زیاد است.

بدون ریاضیات، پیشرفت در فیزیک، مهندسی و سازمان تولید غیرممکن خواهد بود.
عدد یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات است که به فرد امکان می دهد نتایج شمارش یا اندازه گیری را بیان کند. ما برای تنظیم کل زندگی خود به اعداد نیاز داریم. آنها همه جا ما را احاطه کرده اند: شماره خانه، شماره ماشین، تاریخ تولد، چک...

ایان استوارت، محبوب جهانی ریاضیات و نویسنده بسیاری از کتاب های جذاب، اعتراف می کند که اعداد از همان ابتدا او را مجذوب خود کرده اند. اوایل کودکی، و "تا به امروز او مجذوب اعداد است و بیشتر و بیشتر حقایق جدید در مورد آنها می آموزد."

قهرمانان کتاب جدید او اعداد هستند. به گفته این استاد انگلیسی، هر کدام از آنها فردیت خاص خود را دارند. برخی از آنها در حال بازی هستند نقش اصلیدر بسیاری از زمینه های ریاضیات مثلا عدد π که نسبت محیط دایره به قطر آن را بیان می کند. اما، همانطور که نویسنده معتقد است، «حتی متوسط ترین تعداد نیز مقداری خواهد داشت دارایی غیر معمول" بنابراین، برای مثال، تقسیم بر 0 به هیچ وجه غیرممکن است، و "در جایی در پایه ریاضیات، همه اعداد را می توان از صفر مشتق کرد." کوچکترین عدد صحیح مثبت 1 است. این واحد غیرقابل تقسیم حساب است، تنها عدد مثبتی که با جمع اعداد مثبت کوچکتر بدست نمی آید. شمارش را از 1 شروع می کنیم؛ هیچ کس در ضرب 1 مشکلی ندارد. هر عددی وقتی در 1 ضرب شود یا بر 1 تقسیم شود بدون تغییر باقی می ماند. این مفرد، که اینگونه رفتار می کند.
نشریه را باز می کند بررسی کوتاهسیستم های اعداد نویسنده نشان می دهد که چگونه آنها در زمینه تغییر ایده های انسانی در مورد اعداد رشد کردند. اگر از دانش ریاضی در گذشته های دور برای حل مسائل روزمره استفاده می شد، امروزه تمرین مسائل پیچیده تری را برای ریاضیات ایجاد می کند.
هر فصل از کتاب در مورد یکی صحبت می کند عدد جالب" فصل‌های «0»، «√2»، «-1» وجود دارد... با خواندن کتاب یان استوارت، واقعاً شروع به درک شگفت‌انگیز بودن دنیای اعداد می‌کنید! البته، برای یک خواننده بدون دانش ریاضی ممکن است درک اعداد باورنکردنی پروفسور استوارت دشوار باشد. خطاب این نشریه بیشتر به کسانی است که می‌کوشند دانشمند شوند یا می‌خواهند دانش خود را به رخ بکشند. اما، اگر عاشق ریاضیات هستید و می خواهید در مورد اعداد فوق مگا بزرگ یا اعداد مگا کوچک بیاموزید، این کتاب برای شما مناسب است.

پس از پرداختن به اعداد 1 تا 10، یک قدم به عقب برمی‌گردیم و به 0 نگاه می‌کنیم.
سپس یک قدم دیگر به عقب بردارید تا −1 را به دست آورید.
این یک دنیای کامل از اعداد منفی را برای ما باز می کند. همچنین کاربردهای جدید اعداد را نشان می دهد.
اکنون آنها نه تنها برای شمارش مورد نیاز هستند.

0. هیچ چیز عددی نیست یا نه؟

صفر اولین بار در سیستم هایی برای ثبت اعداد ظاهر شد و دقیقاً برای این منظور در نظر گرفته شد - برای ضبط، یعنی تعیین. فقط بعداً صفر به عنوان یک عدد مستقل شناخته شد و اجازه یافت جای آن را بگیرد - محل یکی از اجزای اساسی سیستم اعداد ریاضی. با این حال، صفر دارای بسیاری از خواص غیر معمول، گاهی اوقات متناقض است. به طور خاص، تقسیم هر چیزی بر 0 به هیچ وجه معقول غیرممکن است.

ساختار سیستم اعداد

در بسیاری از فرهنگ های باستانی، نمادهای 1، 10 و 100 به هیچ وجه به یکدیگر مرتبط نبودند. برای مثال یونانیان باستان از حروف الفبای خود برای نشان دادن اعداد 1 تا 9، 10 تا 90 و 100 تا 900 استفاده می کردند. یک حرف مخفف: حرف یا عدد واقعی است. اما، علاوه بر این، چنین سیستمی عملیات حسابی را بسیار دشوار می کرد.

روش ما برای نوشتن اعداد، زمانی که یک رقم به معنی است اعداد مختلفبسته به مکان آن در عدد، نماد موقعیتی نامیده می شود (به فصل 10 مراجعه کنید). این سیستم مزایای بسیار جدی برای شمارش بر روی کاغذ "در یک ستون" دارد و تا همین اواخر اکثر محاسبات در جهان به این ترتیب انجام می شد. با علامت گذاری موقعیتی، اصلی ترین چیزی که باید بدانید قوانین اساسی برای جمع و ضرب ده نماد 0-9 است. این الگوها همچنین زمانی اعمال می شوند که اعداد یکسان در موقعیت های دیگر باشند.
به عنوان مثال،
23 + 5 = 28 230 + 50 = 280 2300 + 500 = 2800.

با این حال، در نماد یونان باستان، دو مثال اول به این صورت است:
κγ + ε = κη σλ + ν = σπ,
و هیچ شباهت آشکاری بین آنها وجود ندارد.

با این حال، نماد موقعیتی یک ویژگی اضافی دارد که به طور خاص در عدد 2015 ظاهر می شود: نیاز به یک کاراکتر تهی. در این مورد می گوید که صدها عدد نیست. در نماد یونانی نیازی به نویسه پوچ نیست. در عدد σπ، مثلا، σ به معنای 200 و π به معنای 80 است. ما می‌توانیم مطمئن باشیم که هیچ واحدی در عدد وجود ندارد، فقط به این دلیل که نماد واحد α - θ در آن وجود ندارد. به جای استفاده از کاراکتر null، ما به سادگی هیچ کاراکتری را در عدد نمی نویسیم.

اگر بخواهیم همین کار را در سیستم اعشاری انجام دهیم، 2015 به 215 تبدیل می‌شود و نمی‌توانیم بگوییم که دقیقاً معنی این عدد چیست: 215، 2150، 2105، 2015 یا شاید 2000150. نسخه‌های اولیه سیستم موقعیتی مورد استفاده قرار گرفت. یک فاصله، 2 15، اما این فضا به راحتی قابل از دست دادن است، و دو فاصله در یک ردیف فقط یک فضای کمی طولانی تر است. بنابراین سردرگمی وجود دارد و همیشه اشتباه کردن آسان است.

تاریخچه مختصر صفر

بابل

بابلی‌ها اولین کسانی بودند که در بین فرهنگ‌های جهان نمادی به معنای «اینجا عددی وجود ندارد» ارائه کردند. بیایید به خاطر داشته باشیم (به فصل 10 مراجعه کنید) که اساس سیستم اعداد بابلی 10 نبود بلکه 60 بود. در محاسبات اولیه بابلی، عدم وجود جزء 60 2 با فاصله نشان داده می شد، اما در قرن سوم. قبل از میلاد مسیح ه. نماد خاصی برای این کار اختراع کردند. با این حال، به نظر می رسد بابلی ها این نماد را یک عدد واقعی نمی دانستند. علاوه بر این، در انتهای عدد این نماد حذف شده بود و معنای آن باید از متن حدس می زد.

هندوستان

ایده نمادگذاری موقعیتی اعداد در یک سیستم اعداد پایه 10 برای اولین بار در Lokavibhaga، یک متن کیهانی جین در سال 458 بعد از میلاد ظاهر شد، که همچنین از آن استفاده می کند. شونیا(به معنای «خالی بودن») که در آن عدد 0 قرار می دهیم. در سال 498، آریابهاتا، ریاضیدان و ستاره شناس معروف هندی، سیستم موقعیتی نوشتن اعداد را به عنوان «مکانی پس از مکان، هر کدام 10 برابر بزرگتر از قدر» توصیف کرد. اولین استفاده شناخته شده از یک نماد خاص برای رقم اعشاری 0 به سال 876 در کتیبه ای در معبد Chaturbhuja در Gwalior برمی گردد. این نماد نشان دهنده - حدس بزنید چیست؟ دایره کوچک.

مایاها

تمدن مایاهای آمریکای مرکزی که بین سال‌های 250 تا 900 بعد از میلاد به اوج خود رسید، از سیستم عددی پایه 20 استفاده می‌کرد و نماد خاصی برای نشان دادن صفر داشت. در واقع، قدمت این روش بسیار زودتر است و اعتقاد بر این است که توسط اولمک ها (1500-400 قبل از میلاد) اختراع شده است. علاوه بر این، مایاها به طور فعال از اعداد در سیستم تقویم خود استفاده می کردند که یکی از قوانین آن "شمار طولانی" نام داشت. این به معنای شمارش تاریخ بر حسب روزهای پس از تاریخ افسانه‌ای آفرینش است، که طبق تقویم مدرن غربی، 11 اوت 3114 قبل از میلاد بوده است. ه. در این سیستم، نماد صفر کاملاً ضروری است، زیرا بدون آن اجتناب از ابهام غیرممکن است.

آیا صفر یک عدد است؟

تا قرن نهم. صفر راحت در نظر گرفته شد سمبلبرای محاسبات عددی، اما به خودی خود یک عدد در نظر گرفته نمی شد. احتمالاً به این دلیل که برای شمارش استفاده نمی شد.

اگر بپرسند چند گاو دارید - و شما گاو دارید - به نوبت به هر کدام از آنها اشاره می کنید و می شمرید: "یک، دو، سه..." اما اگر گاو نداشته باشید، نخواهید داشت. به یک گاو اشاره کنید و بگویید: "صفر"، زیرا چیزی برای اشاره ندارید. از آنجایی که 0 هرگز شمارش نمی شود، بدیهی است که یک عدد نیست.

اگر این موقعیت برای شما عجیب به نظر می رسد، باید توجه داشت که حتی قبل از آن "یک" نیز یک عدد در نظر گرفته نمی شد. در برخی از زبان ها، کلمه "عدد" نیز به معنای "چند" یا حتی "بسیاری" است. تقریباً در تمام زبان های امروزی بین مفرد و جمع تمایز وجود دارد. در یونان باستان نیز یک عدد "دوگانه" وجود داشت و در مکالمات در مورد دو شی یا شخص از اشکال خاصی از کلمات استفاده می شد. بنابراین، از این نظر، "دو" نیز با بقیه یک عدد در نظر گرفته نمی شد. همین امر در چندین زبان کلاسیک دیگر و حتی در برخی از زبان های مدرن مانند اسکاتلندی گالیک یا اسلوونی مشاهده می شود. ردپای همین اشکال در زبان انگلیسی قابل مشاهده است، جایی که "هر دو" ( هر دو) و همه" ( همه) - کلمات مختلف.

همانطور که نماد صفر به طور گسترده‌تری مورد استفاده قرار گرفت، و با شروع استفاده از اعداد برای چیزی فراتر از شمارش، مشخص شد که از بسیاری جهات، صفر مانند هر عدد دیگری رفتار می‌کند. تا قرن نهم. ریاضیدانان هندی قبلاً صفر را یک عدد واقعی می‌دانستند و نه فقط نمادی که به راحتی فضاهای بین نمادهای دیگر را برای وضوح نشان می‌دهد. صفر آزادانه در محاسبات روزمره استفاده می شد.

روی خط اعدادی که اعداد 1، 2، 3... به ترتیب از چپ به راست نوشته شده اند، هیچ کس مشکلی ندارد که صفر را کجا قرار دهد: در سمت چپ 1. دلیل آن کاملاً واضح است: با افزودن 1 به هر عددی، آن را یک پله به سمت راست تغییر می دهد. با افزودن 1 به 0 آن را 1 جابجا می کنیم، بنابراین 0 باید در جایی قرار گیرد که یک قدم به سمت راست یک عدد 1 می دهد. این یعنی یک قدم به سمت چپ 1.

تشخیص اعداد منفی در نهایت جایگاه صفر را در سری اعداد حقیقی تضمین کرد. هیچ کس استدلال نکرد که 3 یک عدد است. اگر بپذیریم که -3 نیز یک عدد است و با جمع دو عدد همیشه یک عدد تولید می شود، نتیجه 3 + (-3) باید یک عدد باشد. و عدد 0 است.

خواص غیر معمول

گفتم "از بسیاری جهات، صفر درست مانند هر عدد دیگری رفتار می کند." در بسیاری، اما نه در همه. صفر یک عدد خاص است. باید خاص باشد زیرا یک عدد واحد است که بین اعداد مثبت و منفی فشرده شده است.

واضح است که با افزودن 0 به هر عددی، آن عدد تغییر نخواهد کرد. اگر سه گاو داشته باشم و یک گاو دیگر به آنها اضافه کنم، باز هم سه گاو خواهم داشت. مسلماً محاسبات عجیبی مانند این وجود دارد:

یک گربه یک دم دارد.
هیچ گربه ای هشت دم ندارد.
لذا افزود:
یک گربه 9 دم دارد.

این شوخی کوچک با تعابیر مختلفی از نفی "نه" بازی می کند.

از این خاصیت ویژه صفر نتیجه می شود که 0 + 0 = 0، که به معنی 0- = 0 است. صفر مخالف خودش است. این تنها چنین عددی است و این دقیقاً به این دلیل اتفاق می‌افتد که در خط عددی صفر بین اعداد مثبت و منفی قرار گرفته است.

در مورد ضرب چطور؟ اگر ضرب را به عنوان جمع متوالی در نظر بگیریم، پس
2 × 0 = 0 + 0 = 0
3 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0،
و بنابراین
n× 0 = 0
برای هر شماره n. به هر حال، این در مسائل مالی نیز منطقی است: اگر سه برابر صفر روبل به حساب خود بگذارم، در نهایت چیزی در آنجا قرار نمی دهم. باز هم صفر تنها عددی است که این ویژگی را دارد.

در حساب متر × nبرابر است n × متربرای همه اعداد nو متر. این توافق بیانگر آن است
0 × n = 0
برای هرکس n، علیرغم این واقعیت که نمی توانیم "صفر بار" را بر اساس اضافه کنیم n.

تقسیم بندی چه اشکالی دارد؟ تقسیم صفر بر یک عدد غیر صفر ساده و واضح است: نتیجه صفر است. نیمی از هیچ، یک سوم یا هر بخش دیگری از هیچ چیزی نیست. اما وقتی صحبت از تقسیم یک عدد بر صفر می شود، عجیب بودن صفر به میان می آید. مثلاً 1:0 چیست؟ تعریف می کنیم متر : nمثل یک عدد q، که عبارت برای آن صادق است q × n = متر. بنابراین 1:0 همان چیزی است که هست q، برای کدام q× 0 = 1. اما چنین عددی وجود ندارد. هر چه ما به عنوان q، ما گرفتیم q× 0 = 0. و ما هرگز واحد نخواهیم گرفت.

راه واضح برای حل این مشکل، بدیهی گرفتن آن است. تقسیم بر صفر ممنوع است زیرا معنی ندارد. از طرف دیگر، قبل از معرفی کسرها، عبارت 1:2 نیز معنی نداشت، پس شاید نباید به این سرعت تسلیم شویم. می‌توانیم سعی کنیم عدد جدیدی به دست آوریم که به ما اجازه دهد بر صفر تقسیم کنیم. مشکل این است که چنین عددی قوانین اساسی حساب را نقض می کند. به عنوان مثال، می دانیم که 1 × 0 = 2 × 0، زیرا هر دو به طور جداگانه برابر با صفر هستند. با تقسیم هر دو طرف بر 0، 1 = 2 می گیریم، که صراحتاً مضحک است. بنابراین منطقی به نظر می رسد که به سادگی اجازه تقسیم بر صفر را ندهیم.

اعداد از هیچ

مفهوم ریاضی که شاید نزدیک‌ترین مفهوم به مفهوم «هیچ» باشد را می‌توان در نظریه مجموعه‌ها یافت. یک دسته از- این مجموعه خاصی از اشیاء ریاضی است: اعداد، اشکال هندسی، توابع، نمودارها... یک مجموعه با فهرست کردن یا توصیف عناصر آن تعریف می شود. "مجموعه اعداد 2، 4، 6، 8" و "مجموعه اعداد زوج بزرگتر از 1 و کوچکتر از 9" همان مجموعه را تعریف می کنند که می توانیم با برشمردن: (2، 4، 6، 8)،
که در آن بریس های فرفری () نشان می دهد که عناصر یک مجموعه در داخل قرار دارند.

در حدود سال 1880، کانتور، ریاضیدان آلمانی توسعه یافت نظریه تفصیلیمجموعه ها او در تلاش بود تا برخی از جنبه‌های فنی تحلیل ریاضی مربوط به نقاط شکست توابع را درک کند - مکان‌هایی که یک تابع پرش‌های غیرمنتظره می‌کند. ساختار ناپیوستگی های چندگانه نقش مهمی در پاسخ او داشت. در این مورد، شکاف های فردی مهم نبود، بلکه کلیت آنها مهم بود. کانتور واقعاً به مجموعه های بی نهایت بزرگ در ارتباط با تحلیل علاقه مند بود. او یک کشف جدی کرد: او متوجه شد که بی نهایت ها یکسان نیستند - برخی از آنها بزرگتر هستند، برخی دیگر کوچکتر هستند (به فصل ℵ 0 مراجعه کنید).

همانطور که در بخش "عدد چیست؟" اشاره کردم، یک ریاضیدان آلمانی دیگر، فرگه، ایده های کانتور را انتخاب کرد، اما او خیلی بیشتر به مجموعه های محدود علاقه داشت. او معتقد بود که با کمک آنها می توان مسائل جهانی را حل کرد مشکل فلسفیمربوط به ماهیت اعداد او به این فکر کرد که ست ها چگونه با یکدیگر مرتبط هستند: مثلاً چند فنجان به بسیاری از نعلبکی ها مربوط می شود. هفت روز هفته، هفت کوتوله و اعداد 1 تا 7 کاملاً با یکدیگر ردیف می شوند به طوری که همه آنها یک عدد را تعریف می کنند.

کدام یک از مجموعه های زیر را برای نمایش عدد هفت انتخاب کنیم؟ فرگه، در پاسخ به این سوال، کلمات را کوتاه نکرد: همه به یکباره. او عدد را به عنوان مجموعه ای از تمام مجموعه های مربوط به یک مجموعه معین تعریف کرد. در این حالت هیچ مجموعه ای ترجیح داده نمی شود و انتخاب بدون ابهام و نه تصادفی یا دلخواه انجام می شود. نمادها و نام اعداد ما فقط میانبرهای مناسبی برای این مجموعه های غول پیکر هستند. عدد هفت یک مجموعه است هر کسمجموعه هایی معادل gnomes است، و این همان مجموعه همه مجموعه ها معادل روزهای هفته یا لیست است (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7).

شاید ذکر این نکته ضروری نباشد که این یک راه حل بسیار ظریف است مفهومیمشکل از نظر یک سیستم معقول برای نمایش اعداد چیزی مشخص به ما نمی دهد.

هنگامی که فرگه ایده های خود را در اثر دو جلدی قوانین اساسی حساب (1893 و 1903) ارائه کرد، بسیاری فکر کردند که او مشکل را حل کرده است. حالا همه می دانستند که این شماره چند است. اما درست قبل از انتشار جلد دوم، برتراند راسل نامه‌ای به فرگه نوشت: «گاتلوب عزیز، مجموعه‌ای از مجموعه‌هایی را در نظر بگیرید که شامل خودشان نیستند». مثل یک آرایشگر روستایی است که موهای خود را اصلاح می کند. با چنین تعریفی تناقضی به وجود می آید. پارادوکس راسل، همانطور که اکنون نامیده می شود، نشان داد که چقدر خطرناک است که فرض کنیم مجموعه های فراگیر وجود دارند (به فصل ℵ 0 مراجعه کنید).

کارشناسان منطق ریاضی سعی کردند مشکل را حل کنند. معلوم شد که پاسخ کاملاً مخالف «تفکر گسترده» فرگه و سیاست او برای جمع کردن همه مجموعه‌های ممکن در یک پشته است. ترفند این بود که دقیقاً یکی از مجموعه های ممکن را انتخاب کنید. برای تعیین عدد 2، لازم بود یک مجموعه استاندارد با دو عنصر ساخته شود. برای تعریف 3 می توانید از یک مجموعه استاندارد با سه عنصر و ... استفاده کنید. اگر این مجموعه‌ها ابتدا بدون استفاده صریح از اعداد ساخته شوند، و تنها پس از آن علامت‌ها و نام‌های عددی را به آن‌ها اختصاص دهیم، منطق در اینجا چرخه نمی‌رود.

مشکل اصلی انتخاب مجموعه های استاندارد برای استفاده بود. آنها باید بدون ابهام تعریف می شدند و تنها راه، و ساختار آنها باید به نحوی با روند شمارش مرتبط باشد. پاسخ از یک مجموعه بسیار خاص به نام مجموعه خالی آمد.

صفر یک عدد است، اساس کل سیستم اعداد ما. در نتیجه، می توان از آن برای شمارش عناصر یک مجموعه خاص استفاده کرد. چه تعداد؟ خوب، باید مجموعه ای بدون عناصر باشد. به دست آوردن چنین مجموعه ای دشوار نیست: بگذارید مثلاً "مجموعه همه موش ها با وزن بیش از 20 تن باشد." در زبان ریاضی، این بدان معنی است که مجموعه ای وجود دارد که یک عنصر واحد ندارد: مجموعه خالی. در ریاضیات، یافتن مثال‌ها نیز آسان است: مجموعه اعداد اول که مضرب 4 هستند، یا مجموعه تمام مثلث‌های دارای چهار راس. این مجموعه‌ها متفاوت به نظر می‌رسند - یکی شامل اعداد، دیگری شامل مثلث است - اما در واقع آنها یک مجموعه هستند، زیرا چنین اعداد و مثلث‌هایی در واقع وجود ندارند و تشخیص بین مجموعه‌ها به سادگی غیرممکن است. همه مجموعه‌های خالی دقیقاً حاوی عناصر یکسانی هستند: یعنی هیچ کدام. بنابراین، مجموعه خالی منحصر به فرد است. نماد آن توسط گروهی از دانشمندان که با نام مستعار رایج Bourbaki در سال 1939 کار می کردند معرفی شد و به نظر می رسد: ∅. تئوری مجموعه‌ها به مجموعه خالی نیاز دارد، همان‌طور که محاسبات به عدد 0 نیاز دارد: اگر آن را وارد کنید، همه چیز بسیار ساده‌تر می‌شود.

علاوه بر این، می توانیم تعیین کنیم که 0 مجموعه خالی است.

در مورد شماره 1 چطور؟ به طور مستقیم واضح است که در اینجا ما به مجموعه ای نیاز داریم که دقیقاً از یک عنصر و یک عنصر منحصر به فرد تشکیل شده باشد. خوب ... مجموعه خالی منحصر به فرد است. بنابراین، ما 1 را به عنوان مجموعه ای تعریف می کنیم که تنها عنصر آن مجموعه خالی است: در زبان نمادین (∅). این با مجموعه خالی یکی نیست زیرا این مجموعه یک عنصر دارد، در حالی که مجموعه خالی ندارد. موافقم، این تک عنصر یک مجموعه خالی است، چنین شد، اما همچنان این عنصر در مجموعه وجود دارد. مجموعه را به عنوان یک کیسه کاغذی با عناصر در نظر بگیرید. مجموعه خالی یک بسته خالی است. مجموعه ای که تنها عنصر آن مجموعه خالی است، بسته ای است که حاوی بسته دیگری، بسته خالی است. می توانید خودتان ببینید که این یک چیز نیست - در یک بسته چیزی وجود ندارد و در بسته دیگر یک بسته وجود دارد.

مرحله کلیدی تعیین عدد 2 است. ما باید یک مجموعه خاص با دو عنصر را به طور منحصر به فرد بدست آوریم. پس چرا از تنها دو مجموعه ای که تاکنون ذکر کردیم استفاده نکنید: ∅ و (∅)؟ بنابراین ما 2 را به عنوان مجموعه (∅، (∅)) تعریف می کنیم. و این طبق تعاریف ما همان 0، 1 است.

اکنون یک الگوی کلی شروع به ظهور می کند. بیایید 3 = 0، 1، 2 را تعریف کنیم - مجموعه ای با سه عنصر که قبلاً تعریف کرده ایم. سپس 4 = 0، 1، 2، 3. 5 = 0، 1، 2، 3، 4 و غیره. همه چیز، اگر به آن نگاه کنید، به آن بازمی گردد مجموعه تهی. به عنوان مثال،
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

احتمالاً نمی خواهید ببینید که تعداد گنوم ها چگونه است.

مصالح ساختمانی در اینجا انتزاع هستند: مجموعه خالی و عمل تشکیل مجموعه با برشمردن عناصر آن. اما نحوه ارتباط این مجموعه ها با یکدیگر منجر به ایجاد یک چارچوب دقیق برای یک سیستم اعداد می شود که در آن هر عدد نشان دهنده مجموعه خاصی است که (به طور شهودی) دقیقاً همان تعداد عنصر را دارد. و داستان به همین جا ختم نمی شود. پس از تعریف اعداد طبیعی، می توانیم از ترفندهای تئوری مجموعه های مشابه برای تعریف اعداد منفی، کسرها، اعداد واقعی (اعشار بی نهایت) استفاده کنیم. اعداد مختلطو غیره، به مدرن ترین مفهوم ریاضی مبتکرانه در نظریه کوانتومی.

بنابراین اکنون شما راز وحشتناک ریاضیات را می دانید: در پایه آن هیچی نهفته است.

-1. کمتر از هیچ

آیا یک عدد می تواند کوچکتر از صفر باشد؟ شمردن گاوها چنین کاری را انجام نمی دهد، مگر اینکه "گاوهای مجازی" را تصور کنید که مدیون کسی هستید. در این حالت، شما یک بسط طبیعی از مفهوم عددی دارید که زندگی را برای جبرشناسان و حسابداران بسیار آسان تر می کند. در همان زمان، شگفتی ها در انتظار شما هستند: یک منهای برای منهای یک مثبت می دهد. چرا روی زمین؟

اعداد منفی

پس از یادگیری جمع کردن اعداد، شروع به تسلط بر عملیات معکوس می کنیم: تفریق. به عنوان مثال، 4 − 3 در پاسخ عددی را می دهد که وقتی به 3 اضافه می شود، 4 می دهد. این البته 1 است. تفریق مفید است زیرا بدون آن برای ما دشوار است که مثلاً بدانیم چقدر پول داریم. اگر در ابتدا 4 روبل داشتیم، می رفتیم، اما 3 روبل خرج کردیم.

کم کردن یک عدد کوچکتر از عدد بزرگتر عملاً هیچ مشکلی ایجاد نمی کند. اگر کمتر از جیب یا کیف پولمان پول خرج کنیم، باز هم چیزی برایمان باقی می ماند. اما اگر کم کنیم چه اتفاقی می افتد تعداد بزرگتراز کمتر؟ 3-4 چیست؟

اگر سه سکه 1 روبلی در جیب خود دارید، نمی توانید چهار سکه از این قبیل را از جیب خود بیرون بیاورید و به صندوقدار سوپرمارکت بدهید. اما امروزه، با کارت های اعتباری، هر کسی می تواند به راحتی پولی را که ندارد، نه تنها در جیب، بلکه در حساب بانکی خود خرج کند. وقتی این اتفاق می افتد، یک فرد بدهکار می شود. در این مورد، بدهی بدون احتساب سود بانکی 1 روبل خواهد بود. بنابراین به یک معنا 3 − 4 برابر با 1 است، اما یکی دیگر 1: یک واحد بدهی، نه پول. اگر 1 متضاد خود را داشت، دقیقاً اینگونه بود.

برای تشخیص بدهی از وجه نقد، مرسوم است که پیش شماره را با علامت منفی قرار دهید. در چنین ضبطی
3 − 4 = −1,
و می توانیم در نظر بگیریم که نوع جدیدی از اعداد را اختراع کرده ایم: منفیعدد.

تاریخچه اعداد منفی

از نظر تاریخی، اولین بسط عمده سیستم اعداد کسری بود (به فصل ½ مراجعه کنید). دومی اعداد منفی بودند. با این حال، من قصد دارم با این نوع اعداد به ترتیب معکوس برخورد کنم. اولین ذکر شناخته شده از اعداد منفی در یک سند چینی از سلسله هان (202 قبل از میلاد - 220 پس از میلاد) به نام هنر شمارش در نه بخش (Jiu Zhang Xuan Shu) است.

این کتاب از یک "کمک" فیزیکی برای شمارش استفاده می کرد: چوب های شمارش. این ها چوب های کوچکی هستند که از چوب، استخوان یا مواد دیگر ساخته شده اند. برای نشان دادن اعداد، میله ها به شکل های خاصی چیده می شدند. در رقم واحد یک عدد، خط افقی به معنای "یک" و خط عمودی به معنای "پنج" است. اعداد در مکان صدم یکسان به نظر می رسند. در ارقام ده ها و هزاران، جهت میله ها برعکس می شود: عمودی به معنای "یک" و افقی به معنای "پنج" است. جایی که ما 0 قرار می دهیم، چینی ها به سادگی یک فاصله گذاشتند. با این حال، فضا به راحتی از دست می‌رود، در این صورت، اگر مثلاً در بخش ده‌ها چیزی وجود نداشته باشد، قانون تغییر جهت به جلوگیری از سردرگمی کمک می‌کند. اگر عدد شامل چندین صفر پشت سر هم باشد، این روش کمتر موثر است، اما این یک مورد نادر است.

در هنر شمارش در نه بخش، از چوب ها برای نمایش اعداد منفی و به روشی بسیار ساده استفاده می شد: آنها به جای قرمز، سیاه رنگ بودند. بنابراین
4 چوب قرمز منهای 3 عدد قرمز برابر است با 1 چوب قرمز،
ولی
3 چوب قرمز منهای 4 چوب قرمز برابر با 1 چوب سیاه است.

بنابراین، شکل چوب سیاه نشان دهنده بدهی است و اندازه بدهی با ارقام چوب قرمز مطابقت دارد.

ریاضیدانان هندی نیز اعداد منفی را تشخیص دادند. علاوه بر این، آنها قوانین ثابتی را برای انجام عملیات حسابی با آنها تدوین کردند.

نسخه خطی بخشعلی که مربوط به قرن سوم است حاوی محاسباتی با اعداد منفی است که با علامت + در جاهایی که از - استفاده می‌کنیم، قابل تشخیص است. ( نمادهای ریاضیدر طول زمان چندین بار تغییر کرد، گاهی به گونه ای که جای تعجب نیست که ما در آنها گیج می شویم.) این ایده توسط ریاضیدانان عرب انتخاب شد و از آنها به تدریج در سراسر اروپا گسترش یافت. تا قرن هفدهم ریاضیدانان اروپایی معمولاً پاسخ منفی را به عنوان دلیلی برای عدم وجود راه حل تفسیر می کردند، اما فیبوناچی قبلاً فهمیده بود که در محاسبات مالی آنها می توانند بدهی ها را نشان دهند. تا قرن 19 اعداد منفی دیگر ریاضیدانان را نمی ترساند و آنها را گیج می کرد.

نوشتن اعداد منفی

از نظر هندسی، نشان دادن اعداد به عنوان نقاط روی خطی که از چپ به راست و از 0 شروع می‌شود، راحت است. قبلاً دیده‌ایم که این خط شمارهیک ادامه طبیعی وجود دارد که شامل اعداد منفی است و در جهت مخالف می رود.

انجام جمع و تفریق روی خط اعداد بسیار راحت و ساده است. به عنوان مثال، برای اضافه کردن 3 به هر عددی، باید سه مرحله را به سمت راست حرکت دهید. برای تفریق 3، باید 3 قدم به سمت چپ حرکت کنید. این عمل نتیجه صحیح را برای اعداد مثبت و منفی می دهد. برای مثال، اگر با 7- شروع کنیم و 3 را اضافه کنیم، 3 مرحله به سمت راست حرکت می کنیم و 4- می کنیم. قوانین انجام عملیات حسابی برای اعداد منفی نیز نشان می دهد که جمع یا تفریق یک عدد منفی همان نتیجه ای را به دست می دهد که با تفریق یا جمع کردن عدد مثبت مربوطه. بنابراین برای اضافه کردن -3 به هر عددی باید 3 مرحله به سمت چپ حرکت کنیم. برای تفریق 3- از هر عددی، باید 3 مرحله به سمت راست حرکت کنید.

ضرب با اعداد منفی جالب تر است. وقتی برای اولین بار در مورد ضرب می آموزیم، آن را به عنوان جمع مکرر در نظر می گیریم. به عنوان مثال:
6 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

همین رویکرد نشان می‌دهد که هنگام ضرب 5 × 6 باید به طور مشابه عمل کنیم:
6 × -5 = -5 + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = 30-.

علاوه بر این، یکی از قوانین حسابی بیان می کند که ضرب دو عدد مثبت بدون در نظر گرفتن ترتیبی که اعداد را در آن می گیریم، یک نتیجه را به دست می دهد. بنابراین، 5 × 6 نیز باید برابر 30 باشد. این است، زیرا
5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

بنابراین منطقی به نظر می رسد که همین قانون را برای اعداد منفی اتخاذ کنیم. سپس -5 × 6 نیز برابر با -30 است.

در مورد -6 × -5 چطور؟ در این موضوع وضوح کمتری وجود دارد. ما نمی توانیم پشت سر هم بنویسیم منهای ششبرابر −5، و سپس آنها را اضافه کنید. بنابراین، ما باید به طور مداوم به این موضوع بپردازیم. بیایید ببینیم آنچه قبلاً می دانیم.

6 × 5 = 30
6 × −5 = −30
-6 × 5 = 30-
−6 × −5 =؟

در نگاه اول، بسیاری از مردم فکر می کنند که پاسخ باید 30- باشد. از نظر روانشناختی، این احتمالاً موجه است: کل عمل با روح "منفی" نفوذ کرده است، بنابراین احتمالاً پاسخ باید منفی باشد. احتمالاً همین احساس در پشت عبارت سهام نهفته است: "اما من کاری انجام ندادم." با این حال، اگر شما هیچ چیاین کار را نکرد، به این معنی که شما باید «هیچ کاری» انجام می‌دادید، یعنی چیزی. اینکه چنین اظهارنظری منصفانه است یا خیر، به قواعد دستور زبانی که شما استفاده می کنید بستگی دارد. نفی اضافی نیز می تواند به عنوان یک ساخت تشدید کننده در نظر گرفته شود.

به همین ترتیب، چیزی که برابر با -6 × -5 خواهد بود، موضوع توافق انسان است. وقتی به اعداد جدیدی می‌رسیم، هیچ تضمینی وجود ندارد که مفاهیم قدیمی در مورد آنها اعمال شود. بنابراین ریاضیدانان می توانند تصمیم بگیرند که -6 × -5 = -30. به بیان دقیق، آنها ممکن است به این نتیجه رسیده باشند که با ضرب -6 در -5 یک اسب آبی بنفش تولید می شود.

با این حال، چندین دلیل خوب وجود دارد که چرا -30 در این مورد یک انتخاب ضعیف است، و همه این دلایل در جهت مخالف - به سمت عدد 30 - اشاره دارند.

یکی از دلایل این است که اگر −6 × −5 = −30، آنگاه این همان −6 × 5 است. با تقسیم هر دو بر −6، 5=-5 به دست می‌آید، که با تمام آنچه قبلاً درباره اعداد منفی گفته‌ایم در تضاد است.

دلیل دوم این است که ما قبلاً می دانیم: 5 + (-5) = 0. به خط اعداد نگاه کنید. پنج قدم در سمت چپ عدد 5 چند است؟ صفر با ضرب هر عدد مثبت در 0، 0 تولید می شود و منطقی به نظر می رسد که فرض کنیم همین امر در مورد اعداد منفی نیز صدق می کند. بنابراین منطقی است که فکر کنیم -6 × 0 = 0. بنابراین
0 = -6 × 0 = -6 × (5 + (-5)).

طبق قوانین معمول حساب، این برابر است با
−6 × 5 + −6 × −5.

از طرف دیگر، اگر 30-×5-6- را انتخاب کنیم، به دست می آوریم
0 = -6 × 0 = -6 × (5 + (-5)) = -6 × 5 + (-6) × -5 =
= −30 + 30 = 0,
و همه چیز سر جای خودش قرار می گرفت

دلیل سوم ساختار خط اعداد است. با ضرب یک عدد مثبت در -1، آن را به عدد مربوطه تبدیل می کنیم یک عدد منفی; یعنی کل نیمه مثبت خط اعداد را 180 درجه می چرخانیم و آن را از راست به چپ حرکت می دهیم. نیمه منفی در تئوری کجا باید برود؟ اگر آن را در جای خود رها کنیم، همان مشکل را دریافت می کنیم، زیرا −1 × −1 برابر با 1 × −1 است و می توانیم نتیجه بگیریم که −1 = 1. تنها جایگزین معقول دقیقاً این است یا قسمت منفی خط اعداد را 180 درجه بچرخانید و آن را از چپ به راست حرکت دهید. این درست است زیرا اکنون ضرب در -1 خط اعداد را کاملا معکوس می کند و ترتیب اعداد را معکوس می کند. از این نتیجه می شود، همانطور که شب پس از روز، ضرب جدید در -1 یک بار دیگر خط عددی را 180 درجه می چرخاند. ترتیب اعداد دوباره برعکس خواهد شد و همه چیز به همان جایی که شروع شده باز خواهد گشت. بنابراین، −1 × −1 جایی است که وقتی خط عددی را می‌چرخانیم، −1 به پایان می‌رسد، که 1 است. و اگر تصمیم بگیریم که −1 × −1 = 1، آنگاه مستقیماً به این نتیجه می‌رسد که −6 × −5 = 30 است.

دلیل چهارم، تعبیر مقدار منفی پول به بدهی است. در این نوع، ضرب مقدار معینی از پول در یک عدد منفی همان نتیجه حاصل از ضرب آن در عدد مثبت مربوطه است، با این تفاوت که پول واقعی به بدهی تبدیل می شود. از طرف دیگر، منها کردن"برداشتن" بدهی، همان اثری را دارد که گویی بانک بخشی از بدهی شما را از سوابق خود حذف می کند و اساساً مقداری پول به شما پس می دهد. کم کردن بدهی 10 روبلی از مبلغ حساب شما دقیقاً مانند واریز 10 روبل از پول شما به این حساب است: در حالی که مبلغ حساب افزایشبرای 10 روبل. اثر ترکیبی هر دو در این شرایط باعث می شود موجودی بانک شما به صفر برگردد. نتیجه این است که −6 × −5 همان تأثیری را بر حساب شما دارد که شش برابر کم کردن (حذف) بدهی 5 روبلی، یعنی باید موجودی بانک شما را 30 روبل افزایش دهد.

یک گربه یک دم دارد. گربه صفر هشت دم دارد. (یک قرائت دیگر این است: «هیچ گربه ای با هشت دم وجود ندارد.») بنابراین دریافتیم: یک گربه نه دم دارد. - توجه داشته باشید ویرایش