ایجاد نمودارهای توابع حاوی ماژول ها معمولاً مشکلات قابل توجهی را برای دانش آموزان ایجاد می کند. با این حال، همه چیز چندان بد نیست. کافی است چند الگوریتم را برای حل چنین مسائلی به خاطر بسپارید و به راحتی می توانید نموداری از به ظاهر پیچیده ترین تابع نیز بسازید. بیایید بفهمیم که اینها چه نوع الگوریتم هایی هستند.

1. رسم نمودار تابع y = |f(x)|

توجه داشته باشید که مجموعه مقادیر تابع y = |f(x)| : y ≥ 0. بنابراین، نمودارهای چنین توابعی همیشه به طور کامل در نیم صفحه بالایی قرار دارند.

رسم نمودار تابع y = |f(x)| شامل چهار مرحله ساده زیر است.

1) با دقت و با دقت نموداری از تابع y = f(x) بسازید.

2) تمام نقاط نمودار را که در بالا یا روی محور 0x قرار دارند، بدون تغییر رها کنید.

3) قسمتی از نمودار را که در زیر محور 0x قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور 0x نمایش دهید.

مثال 1. نموداری از تابع y = |x 2 – 4x + 3|

1) یک نمودار از تابع y = x 2 – 4x + 3 می سازیم. بدیهی است که نمودار این تابع یک سهمی است. بیایید مختصات تمام نقاط تقاطع سهمی با محورهای مختصات و مختصات راس سهمی را پیدا کنیم.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3، x 2 = 1.

بنابراین، سهمی محور 0x را در نقاط (3، 0) و (1، 0) قطع می کند.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

بنابراین، سهمی محور 0y را در نقطه (0، 3) قطع می کند.

مختصات راس سهمی:

x در = -(-4/2) = 2، y در = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

بنابراین نقطه (2, -1) راس این سهمی است.

با استفاده از داده های به دست آمده سهمی رسم کنید (عکس. 1)

2) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور 0x نمایش داده می شود.

3) یک نمودار از تابع اصلی دریافت می کنیم ( برنج. 2، به صورت نقطه چین نشان داده شده است).

2. رسم تابع y = f(|x|)

توجه داشته باشید که توابع شکل y = f(|x|) زوج هستند:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). این به این معنی است که نمودارهای چنین توابعی در مورد محور 0y متقارن هستند.

رسم نمودار تابع y = f(|x|) از زنجیره ساده زیر تشکیل شده است.

1) تابع y = f(x) را رسم کنید.

2) آن قسمت از نمودار را که x ≥ 0 برای آن است، یعنی بخشی از نمودار که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها کنید.

3) قسمتی از نمودار مشخص شده در نقطه (2) را به صورت متقارن با محور 0y نمایش دهید.

4) به عنوان نمودار نهایی، اتحاد منحنی های به دست آمده در نقاط (2) و (3) را انتخاب کنید.

مثال 2. نموداری از تابع y = x 2 – 4 · |x| رسم کنید + 3

از آنجایی که x 2 = |x| 2، سپس تابع اصلی را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. اکنون می توانیم الگوریتم پیشنهادی بالا را اعمال کنیم.

1) ما با دقت و دقت نموداری از تابع y = x 2 – 4 x + 3 می سازیم (همچنین رجوع کنید به برنج. 1).

2) آن قسمت از نمودار را که x ≥ 0 برای آن است، یعنی بخشی از نمودار که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها می کنیم.

3) نمایش سمت راستگرافیک با محور 0y متقارن است.

(شکل 3).

مثال 3. نمودار تابع y = log 2 |x| را رسم کنید

ما طرح ارائه شده در بالا را اعمال می کنیم.

1) نموداری از تابع y = log 2 x بسازید (شکل 4).

3. رسم تابع y = |f(|x|)|

توجه داشته باشید که توابع شکل y = |f(|x|)| نیز یکنواخت هستند. در واقع، y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x)، و بنابراین، نمودارهای آنها در مورد محور 0y متقارن هستند. مجموعه مقادیر چنین توابعی: y ≥ 0. این بدان معنی است که نمودارهای چنین توابعی کاملاً در نیم صفحه بالایی قرار دارند.

برای رسم تابع y = |f(|x|)|، باید:

1) نمودار تابع y = f(|x|) را با دقت بسازید.

2) بخشی از نمودار را که در بالا یا روی محور 0x قرار دارد، بدون تغییر رها کنید.

3) قسمتی از نمودار را که در زیر محور 0x قرار دارد به طور متقارن نسبت به محور 0x نمایش دهید.

4) به عنوان نمودار نهایی، اتحاد منحنی های به دست آمده در نقاط (2) و (3) را انتخاب کنید.

مثال 4. نموداری از تابع y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) توجه داشته باشید که x 2 = |x| 2. این بدان معنی است که به جای تابع اصلی y = -x 2 + 2|x| - 1

می توانید از تابع y = -|x| استفاده کنید 2 + 2|x| - 1، زیرا نمودارهای آنها منطبق است.

ما یک نمودار می سازیم y = -|x| 2 + 2|x| – 1. برای این کار از الگوریتم 2 استفاده می کنیم.

الف) تابع y = -x 2 + 2x – 1 را رسم کنید (شکل 6).

ب) آن قسمت از نمودار را که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد، رها می کنیم.

ج) قسمت حاصل از نمودار را به صورت متقارن با محور 0y نمایش می دهیم.

د) نمودار حاصل به صورت نقطه چین در شکل نشان داده شده است (شکل 7).

2) هیچ نقطه ای بالاتر از محور 0x وجود ندارد، ما نقاط روی محور 0x را بدون تغییر می گذاریم.

3) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد به صورت متقارن نسبت به 0x نمایش داده می شود.

4) نمودار حاصل در شکل با خط نقطه نشان داده شده است (شکل 8).

مثال 5. تابع y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) ابتدا باید تابع y = (2|x| – 4) / (|x| +3) را رسم کنید. برای این کار به الگوریتم 2 برمی گردیم.

الف) تابع y = (2x – 4) / (x + 3) را با دقت رسم کنید. (شکل 9).

توجه داشته باشید که این تابع خطی کسری و نمودار آن هذلولی است. برای رسم منحنی، ابتدا باید مجانب نمودار را پیدا کنید. افقی - y = 2/1 (نسبت ضرایب x در صورت و مخرج کسری)، عمودی - x = -3.

2) آن قسمت از نمودار را که بالای محور 0x یا روی آن قرار دارد را بدون تغییر می گذاریم.

3) بخشی از نمودار که در زیر محور 0x قرار دارد به صورت متقارن نسبت به 0x نمایش داده می شود.

4) نمودار نهایی در شکل نشان داده شده است (شکل 11).

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

"تغییر توابع" - اره برقی. محور y را به سمت بالا تغییر دهید. صدا را تا حد کامل افزایش دهید - یک (دامنه) ارتعاشات هوا را افزایش خواهید داد. محور x را به سمت چپ تغییر دهید. اهداف درس 3 امتیاز. موسیقی. تابع را رسم کنید و D(f)، E(f) و T را تعیین کنید: فشرده سازی در امتداد محور x. محور y را به سمت پایین تغییر دهید. رنگ قرمز را به پالت اضافه کنید و k (فرکانس) نوسانات الکترومغناطیسی را کاهش دهید.

"توابع چندین متغیر" - مشتقات مرتبه بالاتر. تابعی از دو متغیر را می توان به صورت گرافیکی نشان داد. حساب دیفرانسیل و انتگرال. نقاط داخلی و مرزی تعیین حد تابع 2 متغیر. دوره تحلیل ریاضی. برمن. حد یک تابع از 2 متغیر. نمودار تابع قضیه. منطقه محدود.

"مفهوم یک تابع" - روش های رسم نمودارها تابع درجه دوم. یادگیری روش های مختلف برای تعریف یک تابع مهم است تکنیک روشمند. ویژگی های مطالعه توابع درجه دوم. تفسیر ژنتیکی مفهوم "عملکرد". توابع و نمودارها در درس ریاضیات مدرسه. ایده یک تابع خطی هنگام ترسیم نمودار یک تابع خطی مشخص برجسته می شود.

"عملکرد تم" - تجزیه و تحلیل. باید نه آنچه دانش آموز نمی داند، بلکه آنچه را که می داند، کشف کرد. پایه گذاری برای اتمام موفقیت آمیزآزمون یکپارچه دولتی و پذیرش در دانشگاه ها. سنتز. اگر دانش آموزان متفاوت کار می کنند، معلم باید با آنها متفاوت کار کند. مقایسه. تعمیم. توزیع وظایف آزمون دولتی واحد بر اساس بلوک های محتوای اصلی دوره مدرسهریاضیات

"تبدیل نمودارهای تابع" - انواع تبدیل نمودار را تکرار کنید. هر نمودار را با یک تابع مطابقت دهید. تقارن. هدف درس: ساختن نمودارها توابع پیچیده. بیایید به نمونه هایی از تبدیل ها نگاه کنیم و هر نوع تبدیل را توضیح دهیم. تبدیل نمودارهای تابع. کشش. ساخت نمودارهای توابع را با استفاده از تبدیل نمودارهای توابع ابتدایی تقویت کنید.

"نمودار توابع" - نوع تابع. محدوده مقادیر یک تابع همه مقادیر متغیر وابسته y است. نمودار یک تابع یک سهمی است. نمودار تابع یک سهمی مکعبی است. نمودار یک تابع یک هذلولی است. دامنه تعریف و محدوده مقادیر یک تابع. هر خط را با معادله آن مرتبط کنید: دامنه تعریف تابع همه مقادیر متغیر مستقل x است.

عملکرد ساخت

ما به شما خدماتی را برای ساخت نمودارهای توابع به صورت آنلاین ارائه می دهیم که کلیه حقوق آن متعلق به شرکت است دسموس. برای وارد کردن توابع از ستون سمت چپ استفاده کنید. می توانید آن را به صورت دستی یا با استفاده وارد کنید صفحه کلید مجازیدر پایین پنجره برای بزرگ کردن پنجره با نمودار، می توانید هم ستون سمت چپ و هم صفحه کلید مجازی را پنهان کنید.

مزایای نمودار آنلاین

• نمایش بصری توابع وارد شده
• ساخت نمودارهای بسیار پیچیده
• ساختن نمودارهایی که به طور ضمنی مشخص شده است (به عنوان مثال، بیضی x^2/9+y^2/16=1)
• امکان ذخیره نمودارها و دریافت لینک به آنها که در اینترنت در دسترس همه قرار می گیرد
• کنترل مقیاس، رنگ خط
• امکان رسم نمودارها بر اساس نقاط، با استفاده از ثابت
• رسم چندین نمودار تابع به طور همزمان
• رسم در مختصات قطبی (استفاده از r و θ(\theta))

با ما ساختن نمودارهایی با پیچیدگی های مختلف به صورت آنلاین آسان است. ساخت و ساز به صورت فوری انجام می شود. این سرویس برای یافتن نقاط تقاطع توابع، به تصویر کشیدن نمودارها برای انتقال بیشتر آنها به سند Word به عنوان تصاویر هنگام حل مسائل، و برای تجزیه و تحلیل ویژگی های رفتاری نمودارهای تابع مورد تقاضا است. مرورگر بهینه برای کار با نمودارها در این صفحه وب سایت گوگل کروم است. هنگام استفاده از مرورگرهای دیگر، عملکرد صحیح تضمین نمی شود.

"لگاریتم طبیعی" - 0.1. لگاریتم های طبیعی. 4. دارت لگاریتمی. 0.04. 7.121.

"گرید تابع توان 9" - U. سهمی مکعبی. Y = x3. معلم کلاس نهم لادوشکینا I.A. Y = x2. هذلولی. 0. Y = xn، y = x-n که در آن n داده شده است عدد طبیعی. X. توان یک عدد طبیعی زوج است (2n).

"تابع درجه دوم" - 1 تعریف تابع درجه دوم 2 ویژگی های یک تابع 3 نمودارهای یک تابع 4 نامساوی درجه دوم 5 نتیجه گیری. ویژگی ها: نابرابری ها: تهیه شده توسط دانش آموز کلاس 8A آندری گرلیتز. طرح: نمودار: فواصل یکنواختی برای a > 0 برای a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"تابع درجه دوم و نمودار آن" - Solution.y=4x A(0.5:1) 1=1 A- متعلق است. وقتی a=1 فرمول y=ax شکل می گیرد.

"تابع درجه دوم درجه هشتم" - 1) راس سهمی را بسازید. رسم نمودار یک تابع درجه دوم. ایکس. -7. یک نمودار از تابع بسازید. جبر کلاس هشتم معلم 496 مدرسه بووینا T.V. -1. نقشه ساخت. 2) محور تقارن x=-1 را بسازید. y

1. تابع خطی کسری و نمودار آن

تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.

با مفهوم اعداد گویااحتمالا از قبل همدیگر را می شناسید به همین ترتیب توابع منطقی توابعی هستند که می توان آنها را به عنوان ضریب دو چند جمله ای نشان داد.

اگر یک تابع گویا کسری ضریب دو باشد توابع خطی- چند جمله ای های درجه یک، یعنی. عملکرد فرم

y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد واقعی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی کسری از نظر شکل با نمودار y = 1/x که می دانید تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هذلولی. با افزایش نامحدود x قدر مطلقتابع y = 1/x به طور نامحدود در مقدار مطلق کاهش می یابد و هر دو شاخه نمودار به محور x نزدیک می شوند: سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های یک رویکرد هذلولی به آنها نامیده می شود مجانبی.

مثال 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

راه حل.

بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: جابجایی 3 واحد به سمت راست، کشیده شدن در امتداد محور Oy 7 بار و جابجایی 2. بخش های واحد به سمت بالا

هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به روشی مشابه نوشت و "قسمت صحیح" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای تمام توابع خطی کسری هذلولی هستند که به طرق مختلف در امتداد محورهای مختصات جابجا شده و در امتداد محور Oy کشیده شده‌اند.

برای ساختن یک نمودار از هر تابع کسری-خطی دلخواه، تغییر کسری که این تابع را تعریف می کند، اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوط مستقیمی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.

مثال 2.

مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.

راه حل.

تابع در x = -1 تعریف نشده است. این بدان معنی است که خط مستقیم x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.

برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم کنید:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل خواهد داشت. این بدان معنی است که مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.

مثال 3.

تابع y = (2x + 1)/(x + 1) را رسم کنید.

راه حل.

بیایید "قسمت کامل" کسری را انتخاب کنیم:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

اکنون به راحتی می توان مشاهده کرد که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox و جابجایی با 2 واحد در امتداد محور Oy به سمت بالا تقسیم می شود.

دامنه D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).

نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر بازه دامنه تعریف افزایش می یابد.

پاسخ: شکل 1.

2. تابع گویا کسری

یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اول هستند.

نمونه هایی از این توابع منطقی:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

اگر تابع y = P(x) / Q(x) نشان دهنده ضریب دو چندجمله ای با درجه بالاتر از اولین باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده تر است و گاهی اوقات ساختن دقیق آن دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک های مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا معرفی کردیم، کافی است.

بگذارید کسر یک کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом تنها راه، به صورت مجموع عدد محدود کسرهای ابتداییکه شکل آن با تجزیه مخرج کسری Q(x) به حاصل ضرب عوامل واقعی مشخص می شود:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.

رسم نمودارهای توابع گویا کسری

بیایید چندین روش برای ساختن نمودارهای یک تابع گویا کسری در نظر بگیریم.

مثال 4.

نموداری از تابع y = 1/x 2 رسم کنید.

راه حل.

ما از نمودار تابع y = x 2 برای ساختن نمودار y = 1/x 2 استفاده می کنیم و از تکنیک "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.

دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).

هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.

پاسخ: شکل 2.

مثال 5.

تابع y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = -(x - 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

در اینجا از تکنیک فاکتورسازی، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.

پاسخ: شکل 3.

مثال 6.

تابع y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) را رسم کنید.

راه حل.

دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار متقارن نسبت به مختصات است. قبل از ساختن یک نمودار، بیایید دوباره عبارت را تغییر دهیم و کل قسمت را برجسته کنیم:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

توجه داشته باشید که جداسازی قسمت صحیح در فرمول یک تابع گویا کسری یکی از اصلی‌ترین موارد هنگام ساخت نمودار است.

اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی. خط مستقیم y = 1 مجانبی افقی است.

پاسخ: شکل 4.

مثال 7.

بیایید تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیریم و سعی کنیم به دقت بزرگترین مقدار آن را پیدا کنیم. بیشترین نقطه اوجنیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "بالا" شود، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای این کار باید معادله x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 را حل کنیم. این معادله ندارد. ریشه های واقعی. این بدان معناست که فرض ما نادرست است. برای یافتن بیشترین پراهمیتتابع، باید دریابید که معادله A = x/(x 2 + 1) در کدام بزرگ ترین A راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با معادله درجه دوم جایگزین کنیم: Аx 2 – x + А = 0. این معادله زمانی جواب دارد که 1 – 4A 2 ≥ 0 باشد. بالاترین ارزش A = 1/2.

پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه توابع را نمودار کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.