فرمول فیبوناچی به شکل زیر است: اعداد فیبوناچی: حقایق جالب ریاضی لئوناردو اهل پیزا، با نام مستعار فیبوناچی

دنیای اطراف ما، از کوچکترین ذرات نامرئی گرفته تا کهکشان های دوردست فضای بی پایان، مملو از رازهای حل نشده بسیاری است. با این حال، به لطف ذهن کنجکاو تعدادی از دانشمندان، پرده رمز و راز از روی برخی از آنها برداشته شده است.

یکی از این نمونه ها این است «نسبت طلایی» و اعداد فیبوناچی ، که اساس آن را تشکیل می دهند. این الگو به شکل ریاضی منعکس شده است و اغلب در طبیعت اطراف انسان یافت می شود، و یک بار دیگر این احتمال را که در نتیجه تصادف به وجود آمده است منتفی می کند.

اعداد فیبوناچی و دنباله آنها

دنباله فیبوناچی اعداد مجموعه ای از اعداد است که هر کدام حاصل جمع دو عدد قبلی است:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

ویژگی این دنباله مقادیر عددی است که از تقسیم اعداد این سری بر یکدیگر به دست می آید.

سری اعداد فیبوناچی الگوهای جالب خود را دارد:

در سری اعداد فیبوناچی، هر عدد تقسیم بر عدد بعدی، مقداری را نشان می‌دهد که تمایل به آن دارد 0,618 . هر چه اعداد از ابتدای مجموعه بیشتر باشد، نسبت دقیق تر خواهد بود. به عنوان مثال، اعدادی که در ابتدای ردیف گرفته شده اند 5 و 8 نشان خواهد داد 0,625 (5/8=0,625 ). اگر اعداد را بگیریم 144 و 233 ، سپس نسبت را نشان می دهند 0.618 .
به نوبه خود، اگر در یک سری از اعداد فیبوناچی، عددی را بر عدد قبلی تقسیم کنیم، نتیجه تقسیم به سمت 1,618 . برای مثال، همان اعدادی که در بالا توضیح داده شد استفاده شد: 8/5=1,6 و 233/144=1,618 .
عددی که بعد از تقسیم بر عدد بعدی، نزدیک شدن مقدار را نشان می دهد 0,382 . و هر چه اعداد از ابتدای سری بیشتر گرفته شود، مقدار نسبت دقیق تر است: 5/13=0,385 و 144/377=0,382 . با تقسیم اعداد به ترتیب معکوس نتیجه می شود 2,618 : 13/5=2,6 و 377/144=2,618 .

با استفاده از روش‌های محاسبه‌ای که در بالا توضیح داده شد و افزایش شکاف بین اعداد، می‌توانید سری مقادیر زیر را استخراج کنید: 4.235، 2.618، 1.618، 0.618، 0.382، 0.236 که در ابزارهای فیبوناچی در بازار فارکس بسیار استفاده می‌شود.

نسبت طلایی یا نسبت الهی

قیاس با یک بخش "نسبت طلایی" و اعداد فیبوناچی را به وضوح نشان می دهد. اگر قطعه AB بر نقطه C به نسبتی تقسیم شود که شرط برقرار باشد:

AC/BC=BC/AB، سپس «نسبت طلایی» خواهد بود.

مقالات زیر را نیز بخوانید:

با کمال تعجب، این دقیقاً همان رابطه ای است که در سری فیبوناچی قابل ردیابی است. با گرفتن چند عدد از یک سری، می توانید با محاسبه بررسی کنید که این چنین است. به عنوان مثال، این دنباله از اعداد فیبوناچی ... 55, 89, 144 ... عدد 144 قسمت صحیح AB باشد که در بالا ذکر شد. از آنجایی که 144 مجموع دو عدد قبلی است، پس 55+89=AC+BC=144 است.

تقسیم بخش ها نتایج زیر را نشان می دهد:

AC/BC=55/89=0.618

BC/AB=89/144=0.618

اگر قطعه AB را به عنوان یک کل یا یک واحد در نظر بگیریم، AC=55 0.382 از این کل و BC=89 برابر با 0.618 خواهد بود.

اعداد فیبوناچی کجا رخ می دهند؟

یونانی ها و مصری ها دنباله منظم اعداد فیبوناچی را خیلی قبل از خود لئوناردو فیبوناچی می دانستند. این سری اعداد پس از اطمینان از انتشار گسترده این پدیده ریاضی در بین دانشمندان توسط ریاضیدان مشهور، این نام را به دست آورد.

توجه به این نکته مهم است که اعداد فیبوناچی طلایی فقط علم نیستند، بلکه نمایشی ریاضی از دنیای اطراف ما هستند. بسیاری از پدیده های طبیعی، نمایندگان گیاهان و جانوران دارای "نسبت طلایی" در نسبت خود هستند. اینها فرهای مارپیچی پوسته و چیدمان تخمه های آفتابگردان، کاکتوس ها و آناناس هستند.

مارپیچ که نسبت شاخه های آن تابع قوانین «نسبت طلایی» است، زمینه ساز شکل گیری طوفان، بافتن تار توسط عنکبوت، شکل بسیاری از کهکشان ها، درهم تنیدگی مولکول های DNA و بسیاری از پدیده های دیگر

نسبت طول دم مارمولک به بدنش 62 به 38 است. شاخساره کاسنی قبل از رها کردن برگ، جهش می کند. پس از رها شدن ورق اول، جهش دوم قبل از رها شدن ورق دوم با نیرویی برابر با 0.62 واحد متعارف نیروی پرتاب اول رخ می دهد. پرت سوم 0.38 و چهارم 0.24 است.

برای یک معامله گر، همچنین اهمیت زیادی دارد که حرکت قیمت در بازار فارکس اغلب تابع الگوی اعداد فیبوناچی طلایی باشد. بر اساس این توالی، تعدادی ابزار ساخته شده است که یک معامله گر می تواند در زرادخانه خود از آنها استفاده کند

ابزار " " که اغلب توسط معامله گران استفاده می شود، می تواند اهداف حرکت قیمت و همچنین سطوح اصلاح آن را با دقت بالایی نشان دهد.

هنوز بسیاری از اسرار حل نشده در جهان وجود دارد که دانشمندان قبلاً قادر به شناسایی و توصیف برخی از آنها بوده اند. اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی پایه و اساس بازگشایی دنیای اطراف ما، ساختن فرم آن و درک بصری بهینه توسط شخص است که با کمک آن می تواند زیبایی و هماهنگی را احساس کند.

نسبت طلایی

اصل تعیین ابعاد نسبت طلایی زیربنای کمال کل جهان و اجزای آن در ساختار و کارکردهای آن است که تجلی آن را در طبیعت، هنر و فناوری می توان دید. دکترین نسبت طلایی در نتیجه تحقیقات دانشمندان باستانی در مورد ماهیت اعداد پایه گذاری شد.

این نظریه بر اساس تئوری نسبت ها و نسبت های تقسیمات بخش ها است که توسط فیلسوف و ریاضیدان باستانی فیثاغورث ساخته شده است. او ثابت کرد که هنگام تقسیم یک بخش به دو قسمت: X (کوچکتر) و Y (بزرگتر)، نسبت بزرگتر به کوچکتر برابر با نسبت مجموع آنها (کل قطعه) خواهد بود:

نتیجه یک معادله است: x 2 - x - 1=0،که به صورت حل شده است x=(1±√5)/2.

اگر نسبت 1/x را در نظر بگیریم برابر است با 1,618…

شواهدی مبنی بر استفاده از نسبت طلایی توسط متفکران باستان در کتاب اقلیدس «عناصر» که در قرن سوم نوشته شده است، آمده است. قبل از میلاد، که این قانون را برای ساختن پنج ضلعی های منظم به کار برد. در میان فیثاغورثی ها این شکل مقدس به شمار می رود زیرا هم متقارن و هم نامتقارن است. پنتاگرام نماد زندگی و سلامتی بود.

اعداد فیبوناچی

کتاب معروف Liber abaci توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو اهل پیزا که بعدها به فیبوناچی معروف شد در سال 1202 منتشر شد. در آن دانشمند برای اولین بار به الگوی اعداد اشاره می کند که در یک سری از آنها هر عدد حاصل جمع اعداد است. 2 رقم قبلی دنباله اعداد فیبوناچی به صورت زیر است:

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، و غیره.

این دانشمند همچنین تعدادی الگو را ذکر کرد:

هر عددی از سری تقسیم بر عدد بعدی برابر با مقداری خواهد بود که به 0.618 تمایل دارد. علاوه بر این، اعداد فیبوناچی اول چنین عددی را ارائه نمی دهند، اما هرچه از ابتدای دنباله حرکت می کنیم، این نسبت دقیق تر و دقیق تر می شود.
اگر عدد سری را بر عدد قبلی تقسیم کنید، نتیجه به 1.618 می رسد.
یک عدد تقسیم بر عدد بعدی بر یک مقداری را نشان می دهد که به 0.382 گرایش دارد.

کاربرد اتصال و الگوهای مقطع طلایی، عدد فیبوناچی (0.618) را نه تنها در ریاضیات، بلکه در طبیعت، تاریخ، معماری و ساخت و ساز و در بسیاری از علوم دیگر می توان یافت.

مارپیچ ارشمیدس و مستطیل طلایی

مارپیچ ها، که در طبیعت بسیار رایج هستند، توسط ارشمیدس مورد مطالعه قرار گرفتند، که حتی معادله آن را استخراج کرد. شکل مارپیچ بر اساس قوانین نسبت طلایی است. هنگام باز کردن آن، طولی به دست می آید که نسبت ها و اعداد فیبوناچی را می توان به طور یکنواخت افزایش داد.

موازی بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی را می توان با ساختن یک "مستطیل طلایی" که اضلاع آن متناسب با 1.618:1 است، مشاهده کرد. با حرکت از مستطیل بزرگتر به مستطیل کوچکتر ساخته می شود به طوری که طول اضلاع برابر با اعداد سری باشد. همچنین می توان آن را به ترتیب معکوس ساخت که با مربع "1" شروع می شود. هنگامی که گوشه های این مستطیل با خطوطی در مرکز تقاطع خود به هم متصل می شوند، یک مارپیچ فیبوناچی یا لگاریتمی به دست می آید.

تاریخچه استفاده از نسبت های طلایی

بسیاری از بناهای معماری باستانی مصر با استفاده از تناسبات طلایی ساخته شده اند: اهرام معروف خئوپس و غیره. معماران یونان باستان به طور گسترده از آنها در ساخت اشیاء معماری مانند معابد، آمفی تئاترها و استادیوم ها استفاده می کردند. به عنوان مثال، از چنین تناسباتی در ساخت معبد باستانی پارتنون، (آتن) و سایر اشیایی که به شاهکارهای معماری باستانی تبدیل شدند، استفاده شد و هماهنگی مبتنی بر الگوهای ریاضی را نشان داد.

در قرون بعدی، علاقه به نسبت طلایی فروکش کرد و الگوها فراموش شدند، اما دوباره در رنسانس با کتاب راهب فرانسیسکن L. Pacioli di Borgo «نسبت الهی» (1509) از سر گرفت. این شامل تصاویری از لئوناردو داوینچی بود که نام جدید «نسبت طلایی» را ایجاد کرد. 12 خاصیت نسبت طلایی نیز از نظر علمی ثابت شد و نویسنده در مورد چگونگی تجلی آن در طبیعت، در هنر صحبت کرد و آن را "اصل ساخت جهان و طبیعت" نامید.

مرد ویترویی لئوناردو

این نقاشی که لئوناردو داوینچی برای تصویرسازی کتاب ویترویوس در سال 1492 از آن استفاده کرد، یک انسان را در 2 حالت با بازوهای باز به طرفین نشان می دهد. شکل به صورت دایره و مربع حک شده است. این نقاشی به عنوان نسبت های متعارف بدن انسان (مرد) در نظر گرفته می شود که توسط لئوناردو بر اساس مطالعه آنها در رساله های معمار رومی ویترویوس توصیف شده است.

مرکز بدن به عنوان یک نقطه مساوی از انتهای دست ها و پاها ناف است، طول دست ها برابر با قد فرد است، حداکثر عرض شانه ها = 1/8 قد، فاصله از بالای سینه تا مو = 1/7، از بالای سینه تا بالای سر = 1/6 و غیره.

از آن زمان، این نقاشی به عنوان نمادی برای نشان دادن تقارن درونی بدن انسان استفاده شده است.

لئوناردو از اصطلاح "نسبت طلایی" برای تعیین روابط متناسب در شکل انسان استفاده کرد. به عنوان مثال، فاصله کمر تا پا به همان اندازه که قد تا طول اول (از کمر به پایین) از ناف تا بالای سر است، مرتبط است. این محاسبه به طور مشابه با نسبت بخش ها هنگام محاسبه نسبت طلایی انجام می شود و به 1.618 تمایل دارد.

همه این تناسبات هماهنگ اغلب توسط هنرمندان برای خلق آثار زیبا و چشمگیر استفاده می شود.

تحقیق در مورد نسبت طلایی در قرن 16 تا 19

با استفاده از نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی، تحقیقات در مورد مسئله نسبت ها برای قرن ها ادامه داشته است. به موازات لئوناردو داوینچی، هنرمند آلمانی آلبرشت دورر نیز بر روی توسعه نظریه تناسب صحیح بدن انسان کار کرد. برای این منظور او حتی یک قطب نما مخصوص ایجاد کرد.

در قرن شانزدهم مسئله ارتباط بین عدد فیبوناچی و نسبت طلایی به کار ستاره شناس I. Kepler اختصاص داشت که اولین بار این قوانین را در گیاه شناسی به کار برد.

یک "کشف" جدید در انتظار نسبت طلایی در قرن 19 بود. با انتشار "تحقیق زیبایی شناختی" دانشمند آلمانی پروفسور زایسیگ. او این نسبت ها را تا حد مطلق بالا برد و اعلام کرد که برای همه پدیده های طبیعی جهانی است. او مطالعاتی را روی تعداد زیادی از افراد یا به عبارت بهتر نسبت های بدنی آنها (حدود 2 هزار نفر) انجام داد که بر اساس نتایج آن نتایجی در مورد الگوهای تایید شده آماری در نسبت قسمت های مختلف بدن به دست آمد: طول شانه ها، ساعد، دست، انگشتان و غیره

اشیاء هنری (گلدان‌ها، سازه‌های معماری)، لحن‌های موسیقی و اندازه‌ها هنگام نوشتن اشعار نیز مورد مطالعه قرار گرفتند - زایسیگ همه اینها را از طریق طول بخش‌ها و اعداد نشان داد و همچنین اصطلاح "زیبایی‌شناسی ریاضی" را معرفی کرد. پس از دریافت نتایج مشخص شد که سری فیبوناچی به دست آمده است.

عدد فیبوناچی و نسبت طلایی در طبیعت

در دنیای گیاهی و جانوری تمایل به مورفولوژی به صورت تقارن وجود دارد که در جهت رشد و حرکت مشاهده می شود. تقسیم به قسمت های متقارن که در آن نسبت های طلایی مشاهده می شود - این الگو در بسیاری از گیاهان و حیوانات ذاتی است.

طبیعت اطراف ما را می توان با استفاده از اعداد فیبوناچی توصیف کرد، به عنوان مثال:

چیدمان برگ ها یا شاخه های هر گیاه و همچنین فواصل با یک سری اعداد داده شده 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13 و غیره مطابقت دارد.
دانه های آفتابگردان (فلس روی مخروط ها، سلول های آناناس)، که در دو ردیف در امتداد مارپیچ های پیچ خورده در جهات مختلف قرار گرفته اند.
نسبت طول دم و کل بدن مارمولک؛
شکل یک تخم مرغ، اگر یک خط از قسمت پهن آن بکشید.
نسبت اندازه انگشتان روی دست فرد

و البته جالب‌ترین شکل‌ها شامل پوسته‌های حلزون مارپیچی، الگوهای روی تار عنکبوت، حرکت باد در داخل طوفان، مارپیچ دوگانه در DNA و ساختار کهکشان‌ها می‌شود - که همگی شامل دنباله فیبوناچی هستند.

استفاده از نسبت طلایی در هنر

محققانی که در جستجوی نمونه هایی از استفاده از نسبت طلایی در هنر هستند، اشیاء و آثار هنری مختلف معماری را با جزئیات مطالعه می کنند. آثار مجسمه سازی معروفی وجود دارد که سازندگان آنها به نسبت های طلایی پایبند بودند - مجسمه های زئوس المپیک، آپولو بلودر و

یکی از ساخته‌های لئوناردو داوینچی، «پرتره مونالیزا» سال‌ها موضوع تحقیقات دانشمندان بوده است. آنها دریافتند که ترکیب این اثر کاملاً از "مثلثهای طلایی" تشکیل شده است که با هم متحد شده و به یک ستاره پنج ضلعی منتظم تبدیل شده اند. همه آثار داوینچی گواه این است که دانش او تا چه حد در ساختار و تناسبات بدن انسان عمیق بوده است که به لطف آنها توانست لبخند اسرارآمیز مونالیزا را به تصویر بکشد.

نسبت طلایی در معماری

به عنوان مثال، دانشمندان شاهکارهای معماری ایجاد شده بر اساس قوانین "نسبت طلایی" را بررسی کردند: اهرام مصر، پانتئون، پارتنون، کلیسای جامع نوتردام پاریس، کلیسای جامع سنت باسیل و غیره.

پارتنون - یکی از زیباترین بناهای یونان باستان (قرن پنجم قبل از میلاد) - دارای 8 ستون و 17 ستون در اضلاع مختلف است که نسبت ارتفاع آن به طول اضلاع 0.618 است. برجستگی های روی نماهای آن با توجه به "نسبت طلایی" ساخته شده است (عکس زیر).

یکی از دانشمندانی که پیشرفتی در سیستم مدولار تناسبات برای اشیاء معماری (به اصطلاح "مدولور") ایجاد کرد و با موفقیت اعمال کرد، معمار فرانسوی لوکوربوزیه بود. تعدیل کننده بر اساس یک سیستم اندازه گیری مرتبط با تقسیم مشروط به بخش هایی از بدن انسان است.

معمار روسی M. Kazakov، که چندین ساختمان مسکونی در مسکو، و همچنین ساختمان سنا در کرملین و بیمارستان Golitsyn (در حال حاضر اولین کلینیک به نام N. I. Pirogov) ساخته است، یکی از معمارانی بود که از قوانین در طراحی و طراحی استفاده کرد. ساخت و ساز در مورد نسبت طلایی

اعمال تناسب در طراحی

در طراحی لباس، همه طراحان مد با در نظر گرفتن تناسبات بدن انسان و قوانین نسبت طلایی، تصاویر و مدل‌های جدیدی خلق می‌کنند، اگرچه طبیعتاً همه افراد تناسب ایده‌آل ندارند.

هنگام برنامه ریزی طراحی منظر و ایجاد ترکیبات پارک سه بعدی با کمک گیاهان (درختان و درختچه ها)، فواره ها و اشیاء کوچک معماری، می توان قوانین "نسبت های الهی" را نیز اعمال کرد. از این گذشته ، ترکیب پارک باید بر ایجاد تأثیری بر بازدید کننده متمرکز شود ، که می تواند آزادانه در آن حرکت کند و مرکز ترکیب را پیدا کند.

همه عناصر پارک به اندازه ای هستند که با کمک ساختار هندسی، موقعیت نسبی، روشنایی و نور، جلوه ای از هماهنگی و کمال ایجاد می کنند.

کاربرد نسبت طلایی در سایبرنتیک و فناوری

قوانین بخش طلایی و اعداد فیبوناچی همچنین در انتقال انرژی، در فرآیندهایی که با ذرات بنیادی تشکیل دهنده ترکیبات شیمیایی، در سیستم‌های فضایی و در ساختار ژنتیکی DNA رخ می‌دهند، ظاهر می‌شوند.

فرآیندهای مشابهی در بدن انسان رخ می دهد و خود را در بیوریتم های زندگی او، در عملکرد اندام ها، به عنوان مثال، مغز یا بینایی نشان می دهد.

الگوریتم ها و الگوهای نسبت های طلایی به طور گسترده در سایبرنتیک مدرن و علوم کامپیوتر استفاده می شود. یکی از کارهای ساده ای که به برنامه نویسان تازه کار داده می شود، نوشتن فرمول و تعیین مجموع اعداد فیبوناچی تا یک عدد معین با استفاده از زبان های برنامه نویسی است.

تحقیق مدرن در مورد نظریه نسبت طلایی

از اواسط قرن بیستم، علاقه به مشکلات و تأثیر قوانین نسبت های طلایی بر زندگی انسان به شدت افزایش یافته است و از سوی بسیاری از دانشمندان حرفه های مختلف: ریاضیدانان، محققان قومی، زیست شناسان، فیلسوفان، کارکنان پزشکی، اقتصاددانان، موسیقیدانان، و غیره.

در ایالات متحده، مجله The Fibonacci Quarterly در دهه 1970 شروع به انتشار کرد، جایی که آثاری در این زمینه منتشر شد. آثاری در مطبوعات ظاهر می شوند که در آنها از قوانین تعمیم یافته نسبت طلایی و سری فیبوناچی در زمینه های مختلف دانش استفاده می شود. به عنوان مثال، برای کدگذاری اطلاعات، تحقیقات شیمیایی، تحقیقات بیولوژیکی و غیره.

همه اینها نتیجه گیری دانشمندان قدیم و جدید را تأیید می کند که تناسب طلایی به طور چند جانبه با مسائل اساسی علم مرتبط است و در تقارن بسیاری از آفرینش ها و پدیده های جهان اطراف ما متجلی می شود.

دنباله اعداد فیبوناچی. آیا این اولین باری است که در این مورد می شنوید و حتی نمی دانید از چه حوزه ای از دانش است؟ معلوم می شود که منظم بودن پدیده های طبیعی، ساختار و تنوع موجودات زنده در سیاره ما، همه چیزهایی که ما را احاطه کرده است، با هماهنگی و نظم آن، قوانین جهان، حرکت تفکر انسان و دستاوردهای علم - همه اینها با جمع بندی توضیح داده می شود دنباله فیبوناچی.

میل همیشگی انسان برای شناخت خود و جهان پیرامونش، علم را به پیش برده است.

یکی از مهمترین دستاوردها در ریاضیات، معرفی اعداد عربی به جای اعداد رومی است. این متعلق به یکی از برجسته ترین دانشمندان قرن دوازدهم، فیبوناچی (1175) است. کشف دیگری که او انجام داد به نام او - دنباله جمع: 1،1،2،3،5،8،13،21،34،55،89،144،... اینها به اصطلاح هستند. اعداد فیبوناچی.

این الگو در ریاضیات مورد توجه دانشمند دیگر قرون وسطایی، توماس آکویناس بود. این دانشمند به دلیل تمایل به "اندازه گیری هماهنگی با جبر" به این نتیجه رسید که بین ریاضیات و زیبایی ارتباط مستقیمی وجود دارد. توماس آکویناس احساسات زیبایی شناختی را که هنگام تأمل در اشیاء هماهنگ ایجاد شده توسط طبیعت با همان اصل توالی جمعی به وجود می آیند توضیح داد.

این اصل توضیح می دهد که با شروع از 1.1، عدد بعدی حاصل جمع دو عدد قبلی خواهد بود. این الگو از اهمیت زیادی برخوردار است. اما این رابطه غیرمنطقی است، یعنی دارای یک دنباله اعداد بی نهایت و غیرقابل پیش بینی در قسمت کسری است. بیان دقیق آن غیر ممکن است. با تقسیم هر جمله از دنباله فیبوناچی بر عبارت قبل از آن، مقداری به دست می‌آید که حول مقدار 1.61803398875... (غیر منطقی) نوسان می‌کند، که هر بار یا به آن نمی‌رسد یا از آن فراتر می‌رود. حتی ابدیت برای تعیین دقیق این نسبت کافی نیست. برای اختصار، از آن به عنوان 1.618 استفاده می کنیم.

لوکا پاچیولی، ریاضیدان قرون وسطایی، این نسبت را نسبت الهی نامید. کپلر این توالی جمع را «یکی از گنجینه‌های هندسه» نامید. در علم جدید، جمع دنباله فیبوناچیچندین نام دارد، نه کمتر شاعرانه: نسبت مربع های دوار، میانگین طلایی، نسبت طلایی. در ریاضیات با حرف یونانی فی (Ф=1.618) نشان داده می شود.

ماهیت مجانبی دنباله، نوسانات آن حول عدد فیبوناچی غیرمنطقی که تمایل به محو شدن دارند، اگر روابط اولین جمله های این دنباله را در نظر بگیریم، واضح تر می شود. در مثال زیر به اعداد فیبوناچی نگاه می کنیم و نسبت جمله دوم به اول، سوم به دوم و غیره را می دهیم:
1:1 = 1.0000، این مقدار کمتر از فی در 0.6180 است
2:1 = 2.0000، این 0.3820 بیشتر از فی است
3:2 = 1.5000، این کمتر از فی در 0.1180 است
5:3 = 1.6667، این 0.0486 بیشتر از فی است
8:5 = 1.6000، این مقدار کمتر از فی در 0.0180 است
با حرکت بیشتر در امتداد دنباله فیبوناچی، هر عبارت جدید عبارت بعدی را تقسیم می کند و به عدد دست نیافتنی F نزدیک و نزدیکتر می شود.

متعاقباً خواهیم دید که برخی اعداد فیبوناچی، که توالی جمع آن را تشکیل می دهد، در پویایی قیمت ها برای کالاهای مختلف قابل مشاهده است. در میان روش های تحلیل تکنیکال فارکس از آن استفاده می شود سطوح فیبوناچی. نوسانات نسبت های نزدیک به 1.615 با یک یا مقدار دیگری را می توان در آن تشخیص داد که در قانون جایگزینی ظاهر می شوند. ناخودآگاه، هر فردی به دنبال نسبت بدنام الهی است که برای ارضای میل به راحتی لازم است.

اگر هر جمله ای از دنباله فیبوناچی را بر عبارت زیر تقسیم کنیم، معکوس 1.618 به دست می آید، یعنی 1:1.618. این نیز یک پدیده نسبتاً غیرمعمول، شاید حتی قابل توجه است. نسبت اصلی یک کسر نامتناهی است، بنابراین، این نسبت نیز باید نامتناهی باشد.

واقعیت مهم دیگر موارد زیر است. مربع هر جمله در دنباله فیبوناچی برابر است با عددی که در دنباله قبل از آن می آید ضرب در عددی که بعد از آن می آید، به اضافه یا منهای.
5 2 = (3 × 8) + 1
8 2 = (5 × 13) - 1
13 2 = (8 x 21) + 1
مثبت و منفی همیشه متناوب هستند و این بخشی از نظریه موج الیوت به نام قانون تناوب است. این قانون می گوید: امواج پیچیده با ماهیت اصلاحی متناوب با امواج ساده، امواج قوی ماهیت تکانشی با امواج ضعیف با ماهیت اصلاحی و غیره.

تجلیات تناسب الهی در طبیعت

دنباله ریاضی کشف شده به فرد امکان می دهد تعداد بی نهایت ثابت را محاسبه کند. اعضای این دنباله همیشه در تعداد بی نهایت ترکیب ظاهر می شوند.
با استفاده از یک الگوی ثابت، یک تفسیر ریاضی از پدیده های طبیعی ارائه می شود. در این راستا، کشف یک دنباله ریاضی یکی از شاخص ترین مکان ها در دانش تاریخی را دارد.
می توان به تعدادی از نظریه های جالب برگرفته از توالی ریاضی اشاره کرد.

هرم جیزه

طراحی هرم بر اساس نسبت Ф=1.618 است. این کشف پس از تلاش های متعدد برای کشف رازهای این هرم صورت گرفت. به نظر می رسد که هرم جیزه نوعی پیام به فرزندان است تا دانش خاصی از قوانین توالی ریاضی را منتقل کند. در زمان ساخت هرم، سازندگان آن فرصت کافی برای بیان قوانین شناخته شده برای خود نداشتند. در آن زمان نوشتن وجود نداشت و از هیروگلیف استفاده نمی شد. با این حال، سازندگان هرم موفق شدند دانش خود را از الگوهای ریاضی با استفاده از نسبت‌های هندسی خلقت خود به نسل‌های آینده منتقل کنند.

کاهنان معبد راز هرم در جیزه را به هرودوت دادند. به گونه ای ساخته شده است که مساحت هر وجه برابر با مربع ارتفاع این وجه باشد.
مساحت مثلث: 356 x 440 / 2 = 78320
مساحت مربع: 280 x 280 = 78400
طول صورت هرم جیزه 783.3 فوت (238.7 متر) و ارتفاع آن 484.4 فوت (147.6 متر) است. با تقسیم طول صورت بر قد، به نسبت Ф=1.618 می رسید. ارتفاع 484.4 فوت معادل 5813 اینچ (5-8-13) است که چیزی بیش از اعداد دنباله فیبوناچی نیست. همه این مشاهدات ما را به این نتیجه می رساند که کل طراحی هرم بر اساس نسبت Ф = 1.618 است.
اینها اعدادی از دنباله فیبوناچی هستند. این مشاهدات جالب نشان می دهد که طراحی هرم بر اساس نسبت Ф=1.618 است.
این اطلاعات دلیلی برای این باور است که دانش در زمینه ریاضیات و طالع بینی در آن زمان بسیار توسعه یافته بود. این بزرگترین خلقت نه تنها از دست انسان، بلکه ذهن او نیز مطابق با شماره 1.618 ساخته شده است. تناسبات درونی و بیرونی هرم، که مطابق با قانون بخش طلایی رعایت شده است، پیامی برای ما، فرزندان، از اعماق قرن‌ها از بزرگترین دانش است.

اهرام مکزیکی

شگفت انگیز است که اهرام مکزیک بر اساس همین اصل ساخته شده اند. نمی توان تصور کرد که اهرام مکزیک همزمان با اهرام مصر ساخته شده اند، علاوه بر این، سازندگان از قانون ریاضی نسبت طلایی آگاهی داشتند.
مقطعی از هرم شکل یک راه پله را نشان می دهد. طبقه اول آن دارای 16 پله، دوم شامل 42 پله، طبقه سوم - 68 پله است. اعداد بر اساس دنباله فیبناچی به شرح زیر است:
16 × 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 × 1.618 = 42
42 + 26 = 68
عدد Ф = 1.618 زیر بنای نسبت های هرم مکزیک است. (

اعداد فیبوناچی ... در طبیعت و زندگی

لئوناردو فیبوناچی یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرون وسطی است. فیبوناچی در یکی از آثار خود به نام "کتاب محاسبات" سیستم محاسبه هند و عربی و مزایای استفاده از آن را نسبت به سیستم رومی شرح داد.

تعریف
اعداد فیبوناچی یا دنباله فیبوناچی یک دنباله اعدادی است که دارای تعدادی ویژگی است. به عنوان مثال، مجموع دو عدد مجاور در یک دنباله، مقدار عدد بعدی را به دست می‌دهد (مثلاً 1+1=2؛ 2+3=5 و غیره) که وجود ضرایب فیبوناچی را تأیید می‌کند. ، یعنی نسبت های ثابت

دنباله فیبوناچی به این صورت شروع می شود: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233…

تعریف کامل اعداد فیبوناچی

3.

ویژگی های دنباله فیبوناچی

1. نسبت هر عدد به عدد بعدی با افزایش شماره سریال بیشتر و بیشتر به 0.618 میل می کند. نسبت هر عدد به عدد قبلی به 1.618 (برعکس 0.618) تمایل دارد. عدد 0.618 (FI) نامیده می شود.

2. هنگام تقسیم هر عدد بر عدد بعدی، عدد بعد از یک 0.382 است. برعکس - به ترتیب 2.618.

3. با انتخاب نسبت ها به این ترتیب، مجموعه اصلی نسبت های فیبوناچی را به دست می آوریم: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

ارتباط بین دنباله فیبوناچی و "نسبت طلایی"

دنباله فیبوناچی به طور مجانبی (آهسته تر و کندتر نزدیک می شود) به یک رابطه ثابت تمایل دارد. با این حال، این نسبت غیر منطقی است، یعنی عددی را با یک دنباله بی نهایت و غیرقابل پیش بینی از ارقام اعشاری در قسمت کسری نشان می دهد. بیان دقیق آن غیرممکن است.

اگر هر یک از اعضای دنباله فیبوناچی بر سلف خود تقسیم شود (مثلاً 13:8)، نتیجه مقداری خواهد بود که حول مقدار غیر منطقی 1.61803398875 ... نوسان می کند و گاهی از آن فراتر می رود، گاهی اوقات به آن نمی رسد. اما حتی پس از صرف ابدیت در این مورد، نمی‌توان نسبت را دقیقاً تا آخرین رقم اعشاری پی برد. برای اختصار آن را در قالب 1.618 ارائه می کنیم. حتی قبل از اینکه لوکا پاچیولی (ریاضی‌دان قرون وسطایی) آن را نسبت الهی نامید، نام‌های خاصی به این نسبت داده شد. از نام های مدرن آن می توان به نسبت طلایی، میانگین طلایی و نسبت مربع های چرخان اشاره کرد. کپلر این رابطه را یکی از "گنجینه های هندسه" نامید. در جبر، به طور کلی پذیرفته شده است که با حرف یونانی فی نشان داده شود

بیایید نسبت طلایی را با استفاده از مثال یک قطعه تصور کنیم.

پاره ای را با انتهای A و B در نظر بگیرید. بگذارید نقطه C قسمت AB را طوری تقسیم کند که

AC/CB = CB/AB یا

AB/CB = CB/AC.

شما می توانید آن را چیزی شبیه به این تصور کنید: A-–C--–B

نسبت طلایی تقسیم متناسبی از یک بخش به قسمت های نابرابر است که در آن کل بخش به قسمت بزرگتر مربوط می شود همانطور که خود قسمت بزرگتر به قسمت کوچکتر مربوط می شود. یا به عبارت دیگر، بخش کوچکتر به بزرگتر است همانطور که بزرگتر به کل است.

بخش های نسبت طلایی به صورت یک کسر غیرمنطقی بی نهایت 0.618 بیان می شوند، اگر AB به عنوان یک در نظر گرفته شود، AC = 0.382. همانطور که قبلاً می دانیم، اعداد 0.618 و 0.382 ضرایب دنباله فیبوناچی هستند.

نسبت های فیبوناچی و نسبت طلایی در طبیعت و تاریخ

10.

توجه به این نکته مهم است که به نظر می رسید فیبوناچی دنباله خود را به بشریت یادآوری می کند. برای یونانیان و مصریان باستان شناخته شده بود. و در واقع، از آن زمان، الگوهای توصیف شده توسط نسبت های فیبوناچی در طبیعت، معماری، هنرهای زیبا، ریاضیات، فیزیک، نجوم، زیست شناسی و بسیاری از زمینه های دیگر یافت شده است. شگفت انگیز است که چگونه بسیاری از ثابت ها را می توان با استفاده از دنباله فیبوناچی محاسبه کرد، و چگونه عبارت های آن در تعداد زیادی از ترکیب ها ظاهر می شوند. با این حال، اغراق نیست اگر بگوییم این فقط یک بازی با اعداد نیست، بلکه مهمترین بیان ریاضی پدیده های طبیعی است که تاکنون کشف شده است.

11.

مثال های زیر کاربردهای جالب این دنباله ریاضی را نشان می دهد.

12.

1. سینک به صورت مارپیچ پیچ خورده است. اگر آن را باز کنید، طول آن کمی کوتاهتر از طول مار است. پوسته کوچک ده سانتی متری دارای مارپیچ به طول 35 سانتی متر است. واقعیت این است که نسبت ابعاد فرهای پوسته ثابت و برابر با 1.618 است. ارشمیدس مارپیچ صدف ها را مطالعه کرد و معادله مارپیچ را استخراج کرد. مارپیچی که طبق این معادله ترسیم شده است به نام او خوانده می شود. افزایش گام او همیشه یکنواخت است. در حال حاضر، مارپیچ ارشمیدس به طور گسترده ای در فناوری استفاده می شود.

2. گیاهان و حیوانات. گوته همچنین بر گرایش طبیعت به مارپیچ تأکید کرد. چینش مارپیچ و مارپیچ برگ ها روی شاخه های درختان مدت ها پیش مورد توجه قرار گرفت. مارپیچ در چیدمان تخمه های آفتابگردان، مخروط کاج، آناناس، کاکتوس ها و غیره دیده می شد. کار مشترک گیاه شناسان و ریاضیدانان این پدیده شگفت انگیز طبیعی را روشن می کند. معلوم شد که در چیدمان برگ ها روی شاخه ای از تخمه های آفتابگردان و مخروط های کاج سری فیبوناچی خود را نشان می دهد و بنابراین قانون نسبت طلایی خود را نشان می دهد. عنکبوت تار خود را به صورت مارپیچ می بافد. یک طوفان مانند یک مارپیچ در حال چرخش است. گله ای از گوزن های شمالی ترسیده به صورت مارپیچی پراکنده می شوند. مولکول DNA در یک مارپیچ دوتایی پیچ خورده است. گوته مارپیچ را "منحنی زندگی" نامید.

در میان گیاهان کنار جاده، یک گیاه غیر قابل توجه رشد می کند - کاسنی. بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. یک شاخه از ساقه اصلی تشکیل شده است. اولین برگ درست همانجا قرار داشت. شلیک یک پرتاب قوی به فضا انجام می دهد، می ایستد، یک برگ را رها می کند، اما این بار کوتاهتر از اول است، دوباره به فضا پرتاب می کند، اما با نیروی کمتر، یک برگ با اندازه کوچکتر را رها می کند و دوباره پرتاب می شود. . اگر انتشار اول 100 واحد در نظر گرفته شود، دومی برابر با 62 واحد، سومی - 38، چهارمی - 24 و غیره است. طول گلبرگ ها نیز تابع نسبت طلایی است. در رشد و تسخیر فضا، گیاه نسبت های خاصی را حفظ کرد. تکانه های رشد آن به تدریج متناسب با نسبت طلایی کاهش یافت.

مارمولک زنده زا است. در نگاه اول، مارمولک نسبت هایی دارد که برای چشم ما خوشایند است - طول دم آن به طول بقیه بدن مربوط می شود، از 62 تا 38.

در هر دو جهان گیاهی و حیوانی، گرایش تکوینی طبیعت به طور مداوم از بین می رود - تقارن در مورد جهت رشد و حرکت. در اینجا نسبت طلایی در نسبت قطعات عمود بر جهت رشد ظاهر می شود. طبیعت به قسمت های متقارن و نسبت های طلایی تقسیم شده است. اجزاء تکرار ساختار کل را آشکار می کنند.

پیر کوری در آغاز این قرن تعدادی ایده عمیق در مورد تقارن تدوین کرد. او استدلال کرد که نمی توان تقارن هر جسمی را بدون در نظر گرفتن تقارن محیط در نظر گرفت. قوانین تقارن طلایی در انتقال انرژی ذرات بنیادی، در ساختار برخی از ترکیبات شیمیایی، در سیستم های سیاره ای و کیهانی، در ساختارهای ژنی موجودات زنده آشکار می شود. این الگوها، همانطور که در بالا ذکر شد، در ساختار اندام های فردی انسان و بدن به عنوان یک کل وجود دارند و همچنین خود را در بیوریتم ها و عملکرد مغز و ادراک بصری نشان می دهند.

3. فضا. از تاریخ نجوم مشخص است که I. Titius، ستاره شناس آلمانی قرن هجدهم، با کمک این سری (فیبوناچی) الگویی و نظمی در فواصل بین سیارات منظومه شمسی پیدا کرد.

با این حال، یک مورد که به نظر می رسید با قانون مغایرت داشت: هیچ سیاره ای بین مریخ و مشتری وجود نداشت. رصد متمرکز این قسمت از آسمان منجر به کشف کمربند سیارکی شد. این اتفاق پس از مرگ تیتیوس در آغاز قرن نوزدهم رخ داد.

سری فیبوناچی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد: از آن برای نشان دادن معماری موجودات زنده، سازه های ساخته شده توسط انسان و ساختار کهکشان ها استفاده می شود. این حقایق گواهی بر استقلال سری اعداد از شرایط تجلی آن است که یکی از نشانه های جهانی بودن آن است.

4. اهرام. بسیاری سعی کرده اند اسرار هرم جیزه را کشف کنند. برخلاف دیگر اهرام مصر، این یک مقبره نیست، بلکه یک معمای حل نشدنی از ترکیب اعداد است. نبوغ، مهارت، زمان و زحمت قابل توجهی که معماران هرم در ساختن نماد ابدی به کار گرفتند، نشان دهنده اهمیت فوق العاده پیامی است که آنها می خواستند به نسل های آینده منتقل کنند. دوران آنها پیش از سواد، پیش هیروگلیف بود و نمادها تنها ابزار ثبت اکتشافات بودند. كليد راز هندسي رياضي هرم جيزه كه مدتها براي بشر راز بود، در واقع توسط كاهنان معبد به هرودوت داده شد و به وي اطلاع دادند كه اين هرم به گونه اي ساخته شده است كه منطقه هر یک از وجوه آن به اندازه مربع ارتفاع آن بود.

مساحت یک مثلث

356 x 440 / 2 = 78320

مساحت مربع

280 x 280 = 78400

طول لبه قاعده هرم در جیزه 783.3 فوت (238.7 متر) و ارتفاع هرم 484.4 فوت (147.6 متر) است. طول لبه پایه تقسیم بر ارتفاع منجر به نسبت Ф=1.618 می شود. ارتفاع 484.4 فوت مربوط به 5813 اینچ (5-8-13) است - این اعداد از دنباله فیبوناچی هستند. این مشاهدات جالب نشان می دهد که طراحی هرم بر اساس نسبت Ф=1.618 است. برخی از محققان امروزی تمایل دارند تفسیر کنند که مصریان باستان آن را تنها با هدف انتقال دانشی ساخته اند که می خواستند برای نسل های آینده حفظ کنند. مطالعات فشرده در مورد هرم جیزه نشان داد که دانش ریاضیات و طالع بینی در آن زمان چقدر گسترده بود. در تمام نسبت های داخلی و خارجی هرم، عدد 1.618 نقش اصلی را ایفا می کند.

اهرام در مکزیک نه تنها اهرام مصر مطابق با تناسب کامل نسبت طلایی ساخته شدند، بلکه همین پدیده در اهرام مکزیک نیز یافت شد. این ایده مطرح می شود که هر دو اهرام مصر و مکزیک تقریباً در یک زمان توسط افرادی با منشاء مشترک ساخته شده اند.

دنباله فیبوناچی به صورت زیر تعریف می شود:

چند نفر از اولین اعضای آن:

داستان

این اعداد در سال 1202 توسط لئوناردو فیبوناچی (همچنین به نام لئوناردو پیسانو) معرفی شدند. با این حال، به لطف ریاضیدان قرن نوزدهم، لوکاس بود که نام "اعداد فیبوناچی" رایج شد.

با این حال، ریاضیدانان هندی اعداد این دنباله را حتی زودتر ذکر کردند: گوپالا تا سال 1135، همچاندرا - در سال 1150.

اعداد فیبوناچی در طبیعت

فیبوناچی خود این اعداد را در رابطه با مشکل زیر ذکر کرده است: «مردی یک جفت خرگوش را در قلمی که از هر طرف با دیوار احاطه شده است قرار داد، اگر معلوم باشد که هر سال چند جفت خرگوش می تواند تولید کند ماه، از ماه دوم، هر جفت یک جفت خرگوش تولید می کند؟" راه حل این مشکل اعداد دنباله ای خواهد بود که اکنون به افتخار او نامگذاری شده است. با این حال، وضعیت توصیف شده توسط فیبوناچی بیشتر یک بازی ذهنی است تا طبیعت واقعی.

گوپالا و همچاندرا، ریاضیدانان هندی، اعداد این دنباله را در ارتباط با تعداد الگوهای ریتمیک ناشی از تناوب هجاهای بلند و کوتاه در شعر یا ضربات قوی و ضعیف در موسیقی ذکر کرده اند. تعداد این گونه نقشه ها با مجموع سهام برابر است با .

اعداد فیبوناچی همچنین در کار کپلر در سال 1611 در مورد اعداد موجود در طبیعت (درباره دانه های برف شش ضلعی) ظاهر می شوند.

یک مثال جالب از یک گیاه بومادران است که تعداد ساقه های آن (و در نتیجه گل ها) همیشه عدد فیبوناچی است. دلیل این امر ساده است: پس از اینکه ابتدا یک ساقه داشتیم، آن ساقه به دو قسمت تقسیم می شود، سپس شاخه دیگری از ساقه اصلی منشعب می شود، سپس دو ساقه اول دوباره منشعب می شوند، سپس همه شاخه ها به جز دو شاخه آخر منشعب می شوند و به همین ترتیب بر. بنابراین، هر ساقه، پس از ظهور، یک شاخه را "پرش" می کند، و سپس شروع به تقسیم در هر سطح از انشعاب می کند، که منجر به اعداد فیبوناچی می شود.

به طور کلی، برای بسیاری از گل ها (به عنوان مثال، نیلوفرها)، تعداد گلبرگ ها یک یا آن عدد فیبوناچی است.

پدیده فیلوتاکسی در گیاه شناسی نیز شناخته شده است. به عنوان مثال، چیدمان تخمه های آفتابگردان است: اگر از بالا به چیدمان آنها نگاه کنید، می توانید همزمان دو سری مارپیچ را مشاهده کنید (که انگار روی یکدیگر قرار گرفته اند): برخی در جهت عقربه های ساعت پیچ خورده اند، برخی دیگر در خلاف جهت عقربه های ساعت. به نظر می رسد که تعداد این مارپیچ ها تقریباً به اندازه دو عدد فیبوناچی متوالی است: 34 و 55 یا 89 و 144. حقایق مشابه برای برخی از گل های دیگر و همچنین برای مخروط های کاج، کلم بروکلی، آناناس و غیره صادق است.

برای بسیاری از گیاهان (طبق برخی منابع، برای 90٪ از آنها) این واقعیت جالب صادق است. بیایید مقداری برگ را در نظر بگیریم و از آن پایین می رویم تا زمانی که دقیقاً به همان شکل (یعنی دقیقاً در همان جهت به سمت ساقه قرار دارد) برسیم. در طول راه، ما تمام برگ هایی را که به ما برخورد کرده اند (یعنی در ارتفاع بین برگ شروع و برگ نهایی قرار دارند) می شماریم، اما به طور متفاوتی قرار دارند. با شماره گذاری آن ها به تدریج دور ساقه چرخ می زنیم (چون برگ ها به صورت مارپیچ روی ساقه قرار دارند). بسته به اینکه چرخش را در جهت عقربه های ساعت انجام دهید یا در خلاف جهت عقربه های ساعت، تعداد دورهای متفاوتی دریافت خواهید کرد. اما معلوم می شود که تعداد چرخش هایی که در جهت عقربه های ساعت انجام دادیم، تعداد دورهایی که در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام دادیم و تعداد برگ هایی که با آنها مواجه شدیم 3 عدد فیبوناچی متوالی را تشکیل می دهند.

با این حال، لازم به ذکر است که گیاهانی نیز وجود دارند که محاسبات فوق اعدادی را از توالی های کاملاً متفاوت به دست می دهند، بنابراین نمی توان گفت که پدیده فیلوتاکسی یک قانون است - این یک روند جالب است.

خواص

اعداد فیبوناچی ویژگی های ریاضی جالب زیادی دارند.

اینجا تنها تعداد کمی از آنها هستند:

سیستم اعداد فیبوناچی

قضیه زکندورفبیان می کند که هر عدد طبیعی را می توان به صورت یکتا به صورت مجموع اعداد فیبوناچی نشان داد:

جایی که , , , (یعنی دو عدد فیبوناچی مجاور را نمی توان در ورودی استفاده کرد).

نتیجه این است که هر عددی را می توان به صورت منحصر به فرد در آن نوشت سیستم اعداد فیبوناچی، مثلا:

علاوه بر این، هیچ عددی نمی تواند دو عدد پشت سر هم داشته باشد.

به دست آوردن قانون برای جمع کردن یک به یک عدد در سیستم اعداد فیبوناچی دشوار نیست: اگر کمترین رقم 0 باشد، آن را با 1 جایگزین می کنیم و اگر برابر با 1 باشد (یعنی در پایان 01 وجود دارد). سپس 01 با 10 جایگزین می شود. سپس رکورد را "تصحیح" می کنیم و 011 را به ترتیب 100 در همه جا تصحیح می کنیم. در نتیجه، در زمان خطی یک رکورد از یک عدد جدید به دست می آید.

تبدیل یک عدد به سیستم اعداد فیبوناچی توسط یک الگوریتم ساده "طمع" انجام می شود: ما به سادگی اعداد فیبوناچی را از بزرگ به کوچک مرتب می کنیم و اگر مقداری باشد، در نماد عدد گنجانده می شود و از آن کم می کنیم. و جستجو را ادامه دهید

فرمول nامین عدد فیبوناچی

فرمول از طریق رادیکال ها

فرمول شگفت انگیزی وجود دارد که به نام ریاضیدان فرانسوی بینه نامیده می شود، اگرچه قبل از او برای مویور شناخته شده بود:

اثبات این فرمول با استقرا آسان است، اما می توان آن را با استفاده از مفهوم تولید توابع یا با حل یک معادله تابعی استخراج کرد.

بلافاصله می توانید متوجه شوید که عبارت دوم همیشه کمتر از 1 در مدول است و علاوه بر این، بسیار سریع (به صورت تصاعدی) کاهش می یابد. نتیجه این است که مقدار اولین عبارت "تقریبا" مقدار . این را می توان به شکل دقیق نوشت: