FizMat: تابع درجه دوم. انتخاب یک مربع کامل استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، شرایط وجود آنها و اعداد. قضایای مستقیم و معکوس ویتا تجزیه یک مثلث درجه دوم به عوامل خطی. نحوه اثبات قضیه ویتا

قضیه Vieta اغلب برای بررسی ریشه هایی که قبلاً پیدا شده اند استفاده می شود. اگر ریشه ها را پیدا کرده اید، می توانید از فرمول \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) برای محاسبه مقادیر \(p) استفاده کنید. \) و \(q\ ). و اگر آنها مانند معادله اصلی باشند، ریشه ها به درستی پیدا می شوند.

به عنوان مثال، اجازه دهید با استفاده از . بیایید بررسی کنیم که آیا در فرآیند راه حل اشتباه کرده ایم. در مورد ما، \(p=1\)، و \(q=-56\). با قضیه ویتا داریم:

\(\شروع(موارد)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\پایان(موارد)\) \(\پیکان راست چپ\) \(\شروع(موارد)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end (موارد)\) \(\فلش سمت راست\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end (موردها)\ )

هر دو عبارت همگرا شدند، یعنی معادله را به درستی حل کردیم.

این بررسی را می توان به صورت شفاهی انجام داد. 5 ثانیه طول می کشد و شما را از اشتباهات احمقانه نجات می دهد.

قضیه معکوس ویتا

اگر \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)، آنگاه \(x_1\) و \(x_2\) ریشه های معادله درجه دوم هستند \ (x^ 2+px+q=0\).

یا به روشی ساده: اگر معادله ای به شکل \(x^2+px+q=0\ دارید)، سپس سیستم \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot را حل کنید. x_2=q\ end(cases)\) ریشه های آن را پیدا خواهید کرد.

با تشکر از این قضیه، شما می توانید به سرعت ریشه ها را پیدا کنید معادله درجه دومبه خصوص اگر این ریشه ها باشند . این مهارت مهم است زیرا باعث صرفه جویی در زمان می شود.

مثال . معادله \(x^2-5x+6=0\) را حل کنید.

راه حل : با استفاده از قضیه معکوس Vieta، متوجه می‌شویم که ریشه‌ها شرایط زیر را دارند: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
به معادله دوم سیستم \(x_1 \cdot x_2=6\) نگاه کنید. عدد \(6\) را به کدام دو می توان تجزیه کرد؟ در \(2\) و \(3\)، \(6\) و \(1\) یا \(-2\) و \(-3\)، و \(-6\) و \(- 1\). اولین معادله سیستم به شما می گوید که کدام جفت را انتخاب کنید: \(x_1+x_2=5\). \(2\) و \(3\) مشابه هستند، زیرا \(2+3=5\).
پاسخ : \(x_1=2\)، \(x_2=3\).

مثال ها . با استفاده از عکس قضیه ویتا، ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنید:
الف) \(x^2-15x+14=0\); ب) \(x^2+3x-4=0\); ج) \(x^2+9x+20=0\); د) \(x^2-88x+780=0\).

راه حل :
الف) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(2\) و \(7\)، \(-2\) و \(-7\)، \(-1\) و \(-14\)، \(1\) و \(14\ ). چه جفت اعدادی با \(15\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(14\).

ب) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(-2\) و \(2\)، \(4\) و \(-1\)، \(1\) و \(-4\). چه جفت اعدادی با \(-3\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(1\) و \(-4\).

ج) \(x^2+9x+20=0\) - \(20\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(4\) و \(5\)، \(-4\) و \(-5\)، \(2\) و \(10\)، \(-2\) و \(-10\ )، \(-20\) و \(-1\)، \(20\) و \(1\). چه جفت اعدادی به \(-9\) جمع می شوند؟ پاسخ: \(-4\) و \(-5\).

د) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\) به چه عواملی تجزیه می شود؟ \(390\) و \(2\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ خیر \(780\) چه ضریب دیگری دارد؟ \(78\) و \(10\). آیا آنها به \(88\) اضافه می شوند؟ آره. پاسخ: \(78\) و \(10\).

لزومی ندارد که ترم آخر را به همه عوامل ممکن بسط دهیم (مانند مثال آخر). بلافاصله می توانید بررسی کنید که آیا مجموع آنها \(-p\) می دهد یا خیر.

مهم!قضیه ویتا و قضیه مکالمهفقط با آن کار کنید، یعنی ضریب آن جلوی \(x^2\) برابر با یک. اگر در ابتدا یک معادله غیر کاهش یافته به ما داده شد، می‌توانیم آن را با تقسیم بر ضریب جلوی \(x^2\) کاهش دهیم.

مثلا، اجازه دهید معادله \(2x^2-4x-6=0\) داده شود و می خواهیم از یکی از قضایای ویتا استفاده کنیم. اما ما نمی توانیم، زیرا ضریب \(x^2\) برابر با \(2\) است. بیایید با تقسیم کل معادله بر \(2\) از شر آن خلاص شویم.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

آماده. اکنون می توانید از هر دو قضیه استفاده کنید.

پاسخ به سوالات متداول

سوال: با استفاده از قضیه ویتا، می توانید هر کدام را حل کنید؟
پاسخ: متاسفانه نه. اگر معادله شامل اعداد صحیح نباشد یا معادله اصلاً ریشه نداشته باشد، قضیه ویتا کمکی نخواهد کرد. در این مورد باید استفاده کنید ممیز . خوشبختانه 80 درصد معادلات در دوره مدرسهریاضی راه حل های کامل دارد.

تابع درجه دوم.

تابعی که با فرمول y = ax2 + bx + c، که در آن x و y متغیر هستند و a، b، c اعداد داده می شوند و a برابر با 0 نیست.
تماس گرفت تابع درجه دوم

انتخاب مربع کامل.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، شرایط وجود آنها و اعداد.

- تشخیص معادله درجه دوم.

قضایای مستقیم و معکوس ویتا

تجزیه سه جمله ای درجه دومبه عوامل خطی

قضیه. اجازه دهید

ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های یک مثلث مربعایکس 2 + px + q. سپس این سه جمله ای به صورت زیر به عوامل خطی تجزیه می شود:ایکس 2 + px + q = (ایکس - ایکس 1) (ایکس - ایکس 2).

اثبات به جای آن بیایید جایگزین کنیم

پو qبیان آنها از طریقایکس 1 و ایکس 2 و از روش گروه بندی استفاده کنید:

x 2 + px + q = ایکس 2 - (ایکس 1 + ایکس 2 ) ایکس + ایکس 1 ایکس 2 = ایکس 2 - ایکس 1 ایکس - ایکس 2 ایکس + ایکس 1 ایکس 2 = ایکس (ایکس - ایکس 1 ) - ایکس 2 (ایکس - ایکس 1 ) = = (ایکس - ایکس 1 ) (ایکس - ایکس 2 ). قضیه ثابت شده است.

معادله درجه دوم. نمودار یک مثلث درجه دوم

معادله فرم

معادله درجه دوم نامیده می شود. عدد D = b 2 - 4ac ممیز این معادله است.
اگر

سپس اعداد

ریشه (یا راه حل) یک معادله درجه دوم هستند. اگر D = 0 باشد، ریشه ها یکسان هستند:

اگر D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
فرمول های معتبر:

- فرمول های ویتا؛ آ
تبر 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2) -
فرمول فاکتورسازی
نمودار تابع درجه دوم (مثلثی درجه دوم) y = ax 2 + bx + c یک سهمی است. محل سهمی بسته به علائم ضریب a و متمایز D در شکل نشان داده شده است.

اعداد x 1 و x 2 در محور آبسیسا ریشه های معادله درجه دوم ax 2 + bx + + c = 0 هستند. مختصات راس سهمی (نقطه A) در همه موارد

نقطه تقاطع سهمی با محور مختصات (0; c) است.
مانند یک خط مستقیم و یک دایره، سهمی یک صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. در یکی از این قسمت ها مختصات همه نقاط نابرابری y > ax 2 + bx + c را برآورده می کند و در دیگری، برعکس. علامت نابرابری را در قسمت انتخاب شده از هواپیما با پیدا کردن آن در هر نقطه از این قسمت از صفحه تعیین می کنیم.
بیایید مفهوم مماس بر سهمی (یا دایره) را در نظر بگیریم. اگر یک نقطه مشترک با این منحنی داشته باشد، خط مستقیم را y - kx + 1 مماس بر سهمی (یا دایره) می نامیم.

در نقطه تماس M(x; y)، برای سهمی برابری kx +1 = تبر 2 + bx + c برقرار است (برای یک دایره - برابری (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0 ) 2 - R 2). با برابر کردن ممیز معادله درجه دوم حاصله با صفر (از آنجایی که معادله باید یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد)، به شرایط محاسبه ضرایب مماس می رسیم.

تعدادی رابطه در معادلات درجه دوم وجود دارد. اصلی ترین آنها روابط بین ریشه ها و ضرایب است. همچنین در معادلات درجه دوم تعدادی رابطه وجود دارد که توسط قضیه ویتا به دست می آید.

در این مبحث، خود قضیه ویتا و اثبات آن برای یک معادله درجه دوم، قضیه معکوس قضیه ویتا را ارائه خواهیم کرد و تعدادی مثال از حل مسائل را تحلیل خواهیم کرد. در مطالب ما توجه ویژه ای به در نظر گرفتن فرمول های ویتا خواهیم داشت که رابطه بین ریشه های واقعی را تعریف می کند. معادله جبریدرجه nو ضرایب آن

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0از شکل x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a، جایی که D = b 2 − 4 a c، روابط را برقرار می کند x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. این موضوع توسط قضیه ویتا تایید می شود.

قضیه 1

در یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، جایی که x 1و x 2– ریشه ها، مجموع ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود بو آکه با علامت مخالف گرفته شد و حاصل ضرب ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود. جو آ، یعنی x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

شواهد 1

ما طرح زیر را برای انجام اثبات به شما پیشنهاد می کنیم: فرمول ریشه ها را بگیرید، مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازید و سپس عبارات حاصل را تبدیل کنید تا مطمئن شوید که برابر هستند. - ب الفو ج الفبه ترتیب.

بیایید مجموع ریشه های x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a را ایجاد کنیم. بیایید کسرها را به کاهش دهیم مخرج مشترک- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . بیایید پرانتزها را در صورت کسر حاصل باز کنیم و عبارات مشابه را ارائه کنیم: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . بیایید کسر را کاهش دهیم: 2 - b a = - b a.

اینگونه است که اولین رابطه قضیه ویتا را که به مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم مربوط می شود، اثبات کردیم.

حالا بریم سراغ رابطه دوم.

برای این کار باید حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازیم: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

بیایید قانون ضرب کسرها را به خاطر بسپاریم و حاصل ضرب آخر را به صورت زیر بنویسیم: - b + D · - b - D 4 · a 2.

بیایید یک براکت را در یک براکت در عدد کسر ضرب کنیم، یا از فرمول اختلاف مربع ها برای تبدیل سریعتر این حاصل ضرب استفاده کنیم: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

بیایید از تعریف استفاده کنیم ریشه دومبه منظور انتقال زیر: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. فرمول D = b 2 − 4 a cمطابق با تمایز یک معادله درجه دوم است، بنابراین، به جای کسری Dمی تواند جایگزین شود b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه را اضافه کنیم و بدست آوریم: 4 · a · c 4 · a 2. اگر کوتاهش کنیم به 4 a، سپس چیزی که باقی می ماند c a است. اینگونه است که رابطه دوم قضیه ویتا را برای حاصلضرب ریشه ها اثبات کردیم.

اگر از توضیحات صرف نظر کنیم، اثبات قضیه ویتا را می توان به شکل بسیار لاکونیک نوشت:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

وقتی ممیز یک معادله درجه دوم برابر با صفر باشد، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت. برای اینکه بتوانیم قضیه ویتا را برای چنین معادله ای اعمال کنیم، می توانیم فرض کنیم که معادله با ممیز برابر صفر، دو ریشه یکسان دارد. در واقع، چه زمانی D=0ریشه معادله درجه دوم: - b 2 · a، سپس x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a و x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2، و چون D = 0، یعنی b 2 - 4 · a · c = 0، از آنجا b 2 = 4 · a · c، سپس b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

غالباً در عمل، قضیه ویتا برای معادله درجه دوم کاهش یافته فرم اعمال می شود x 2 + p x + q = 0، که در آن ضریب پیشرو a برابر با 1 است. در این راستا، قضیه ویتا به طور خاص برای معادلات از این نوع فرموله شده است. این امر کلیت را محدود نمی کند زیرا هر معادله درجه دوم را می توان با یک معادله معادل جایگزین کرد. برای این کار باید هر دو قسمت آن را به عددی متفاوت از صفر تقسیم کنید.

اجازه دهید فرمول دیگری از قضیه ویتا ارائه دهیم.

قضیه 2

مجموع ریشه ها در معادله درجه دوم داده شده x 2 + p x + q = 0برابر ضریب x خواهد بود که با علامت مخالف گرفته می شود، حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد خواهد بود، یعنی. x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q.

قضیه در مقابل قضیه ویتا قرار دارد

اگر به فرمول دوم قضیه ویتا با دقت نگاه کنید، می توانید ببینید که برای ریشه ها x 1و x 2معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + p x + q = 0روابط زیر معتبر خواهند بود: x 1 + x 2 = − p، x 1 · x 2 = q. از این روابط x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q نتیجه می شود که x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم هستند x 2 + p x + q = 0. بنابراین به بیانی می رسیم که برعکس قضیه ویتا است.

اکنون پیشنهاد می کنیم که این بیانیه را به عنوان یک قضیه رسمی کنیم و اثبات آن را انجام دهیم.

قضیه 3

اگر اعداد x 1و x 2به گونه ای هستند که x 1 + x 2 = - pو x 1 x 2 = q، آن x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته است x 2 + p x + q = 0.

شواهد 2

جایگزینی شانس پو qبه بیان آنها از طریق x 1و x 2به شما امکان می دهد معادله را تبدیل کنید x 2 + p x + q = 0به یک معادل .

اگر عدد را جایگزین معادله حاصل کنیم x 1بجای ایکس، سپس برابری را بدست می آوریم x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. این برابری برای هر کسی است x 1و x 2به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود 0 = 0 ، زیرا x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. این به آن معنا است x 1- ریشه معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، پس چی x 1همچنین ریشه معادله معادل است x 2 + p x + q = 0.

جایگزینی در معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0شماره x 2به جای x به ما امکان می دهد برابری را بدست آوریم x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. این برابری را می توان درست در نظر گرفت، زیرا x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. معلوم می شود که x 2ریشه معادله است x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، و از این رو معادلات x 2 + p x + q = 0.

عکس قضیه ویتا ثابت شده است.

نمونه هایی از استفاده از قضیه ویتا

بیایید اکنون شروع به تجزیه و تحلیل نمونه های معمولی در مورد موضوع کنیم. بیایید با تجزیه و تحلیل مسائلی که نیازمند اعمال قضیه معکوس به قضیه ویتا هستند، شروع کنیم. می توان از آن برای بررسی اعداد تولید شده توسط محاسبات استفاده کرد تا ببینیم آیا آنها ریشه های یک معادله درجه دوم هستند یا خیر. برای این کار باید مجموع و تفاوت آنها را محاسبه کنید و سپس اعتبار روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c را بررسی کنید.

تحقق هر دو رابطه نشان می دهد که اعداد به دست آمده در طول محاسبات ریشه معادله هستند. اگر دیدیم که حداقل یکی از شروط برآورده نشده است، این اعداد نمی توانند ریشه معادله درجه دومی باشند که در بیان مسئله آمده است.

مثال 1

کدام یک از جفت اعداد 1) x 1 = − 5، x 2 = 3، یا 2) x 1 = 1 - 3، x 2 = 3 + 3، یا 3) x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2 یک جفت ریشه یک معادله درجه دوم است 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

راه حل

بیایید ضرایب معادله درجه دوم را پیدا کنیم 4 x 2 - 16 x + 9 = 0.این a = 4، b = - 16، c = 9 است. بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم باید برابر با - ب الف، به این معنا که، 16 4 = 4 ، و حاصلضرب ریشه ها باید برابر باشد ج الف، به این معنا که، 9 4 .

بیایید اعداد به دست آمده را با محاسبه مجموع و حاصل ضرب اعداد از سه جفت داده شده و مقایسه آنها با مقادیر به دست آمده بررسی کنیم.

در مورد اول x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. این مقدار با 4 متفاوت است، بنابراین بررسی نیازی به ادامه ندارد. با توجه به قضیه معکوس با قضیه ویتا، بلافاصله می‌توان نتیجه گرفت که جفت اعداد اول ریشه‌های این معادله درجه دوم نیستند.

در حالت دوم، x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. می بینیم که شرط اول برقرار است. اما شرط دوم این نیست: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. ارزشی که ما گرفتیم با آن تفاوت دارد 9 4 . این بدان معنی است که جفت دوم اعداد ریشه معادله درجه دوم نیستند.

بیایید به بررسی جفت سوم بپردازیم. در اینجا x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 و x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. هر دو شرط رعایت می شود، یعنی این x 1و x 2ریشه های یک معادله درجه دوم هستند.

پاسخ: x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2

همچنین می‌توانیم از عکس قضیه ویتا برای یافتن ریشه‌های یک معادله درجه دوم استفاده کنیم. ساده ترین راه این است که ریشه های اعداد صحیح معادلات درجه دوم را با ضرایب صحیح انتخاب کنید. گزینه های دیگری را می توان در نظر گرفت. اما این می تواند محاسبات را به طور قابل توجهی پیچیده کند.

برای انتخاب ریشه از این واقعیت استفاده می کنیم که اگر مجموع دو عدد برابر با ضریب دوم یک معادله درجه دوم باشد که با علامت منفی گرفته می شود و حاصل ضرب این اعداد برابر با جمله آزاد است، این اعداد عبارتند از: ریشه های این معادله درجه دوم

مثال 2

به عنوان مثال از معادله درجه دوم استفاده می کنیم x 2 − 5 x + 6 = 0. شماره x 1و x 2اگر دو برابری برآورده شود می تواند ریشه های این معادله باشد x 1 + x 2 = 5و x 1 x 2 = 6. بیایید این اعداد را انتخاب کنیم. اینها اعداد 2 و 3 هستند، زیرا 2 + 3 = 5 و 2 3 = 6. معلوم می شود که 2 و 3 ریشه های این معادله درجه دوم هستند.

برعکس قضیه ویتا را می توان برای یافتن ریشه دوم در زمانی که ریشه اول مشخص یا آشکار است استفاده کرد. برای این کار می توانیم از روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a استفاده کنیم.

مثال 3

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. نیاز به ریشه یابی معادله داده شده.

راه حل

ریشه اول معادله 1 است، زیرا مجموع ضرایب این معادله درجه دوم صفر است. معلوم می شود که x 1 = 1.

حالا بیایید ریشه دوم را پیدا کنیم. برای این می توانید از رابطه استفاده کنید x 1 x 2 = c a. معلوم می شود که 1 x 2 = - 3512، جایی که x 2 = - 3512.

پاسخ:ریشه های معادله درجه دوم مشخص شده در بیان مسئله 1 و - 3 512 .

انتخاب ریشه با استفاده از قضیه معکوس قضیه ویتا فقط در موارد ساده امکان پذیر است. در موارد دیگر، بهتر است با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم از طریق ممیز جستجو کنید.

به لطف برعکس قضیه ویتا، می توانیم با استفاده از ریشه های موجود معادلات درجه دوم بسازیم. x 1و x 2. برای این کار باید مجموع ریشه ها را محاسبه کنیم که ضریب برای را می دهد ایکسبا علامت مخالف معادله درجه دوم داده شده، و حاصل ضرب ریشه ها، که عبارت آزاد را می دهد.

مثال 4

معادله درجه دومی بنویسید که ریشه آن اعداد باشد − 11 و 23 .

راه حل

بیایید این را فرض کنیم x 1 = − 11و x 2 = 23. مجموع و حاصلضرب این اعداد برابر خواهد بود: x 1 + x 2 = 12و x 1 x 2 = − 253. این به این معنی است که ضریب دوم 12، عبارت آزاد است − 253.

بیایید یک معادله بسازیم: x 2 − 12 x − 253 = 0.

پاسخ: x 2 - 12 x - 253 = 0.

می‌توانیم از قضیه ویتا برای حل مسائلی استفاده کنیم که شامل نشانه‌های ریشه‌های معادلات درجه دوم است. ارتباط بین قضیه ویتا مربوط به نشانه های ریشه معادله درجه دوم کاهش یافته است. x 2 + p x + q = 0به روش زیر:

اگر معادله درجه دوم ریشه واقعی داشته باشد و اگر عبارت قطع باشد qیک عدد مثبت است، سپس این ریشه ها همان علامت "+" یا "-" را خواهند داشت.
اگر معادله درجه دوم ریشه داشته باشد و اگر جمله قطع باشد qیک عدد منفی است، سپس یک ریشه "+" و دومی "-" خواهد بود.

هر دوی این گزاره ها نتیجه فرمول هستند x 1 x 2 = qو قوانینی برای ضرب مثبت و اعداد منفیو همچنین اعداد با علائم مختلف.

مثال 5

آیا ریشه های یک معادله درجه دوم هستند x 2 − 64 x − 21 = 0مثبت؟

راه حل

طبق قضیه ویتا، ریشه های این معادله نمی توانند هر دو مثبت باشند، زیرا باید برابری را برآورده کنند. x 1 x 2 = − 21. این با مثبت غیرممکن است x 1و x 2.

پاسخ:خیر

مثال 6

در چه مقادیر پارامتری rمعادله درجه دوم x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0دو خواهد داشت ریشه های واقعیبا نشانه های مختلف

راه حل

بیایید با یافتن مقادیر آن شروع کنیم r، که معادله آن دو ریشه خواهد داشت. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم و ببینیم در چه چیزی است rارزش های مثبت خواهد داشت. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. مقدار بیان r 2 + 8مثبت برای هر واقعی rبنابراین، تفکیک کننده برای هر واقعی بزرگتر از صفر خواهد بود r. این بدان معنی است که معادله درجه دوم اصلی دو ریشه برای هر مقدار واقعی پارامتر خواهد داشت r.

حال ببینیم ریشه ها چه زمانی ریشه خواهند داشت نشانه های مختلف. این در صورتی امکان پذیر است که محصول آنها منفی باشد. بر اساس قضیه ویتا، حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با جمله آزاد است. این بدان معنی است که راه حل صحیح آن مقادیر خواهد بود r، که عبارت آزاد r − 1 برای آن منفی است. بیا تصمیم بگیریم نابرابری خطی r - 1< 0 , получаем r < 1 .

پاسخ:در r< 1 .

فرمول های ویتا

تعدادی فرمول وجود دارد که برای انجام عملیات با ریشه ها و ضرایب نه تنها معادلات درجه دوم، بلکه مکعب و سایر انواع معادلات قابل استفاده هستند. به آنها فرمول های ویتتا می گویند.

برای یک معادله جبری درجه nاز شکل 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 معادله در نظر گرفته می شود nریشه های واقعی x 1، x 2، …، x n، که ممکن است یکی از آنها باشد:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0، x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0، x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

تعریف 1

فرمول های Vieta به ما کمک می کند تا به دست آوریم:

قضیه تجزیه یک چند جمله ای به عوامل خطی.
تعیین چند جمله ای های مساوی از طریق برابری همه ضرایب متناظر آنها.

بنابراین، چند جمله ای a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n و بسط آن به عوامل خطی به شکل a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) برابر هستند.

اگر پرانتز را در داخل گسترش دهیم آخرین کارو ضرایب مربوطه را با هم برابر می کنیم، فرمول Vieta را بدست می آوریم. با گرفتن n = 2، می توانیم فرمول Vieta را برای معادله درجه دوم بدست آوریم: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

تعریف 2

فرمول ویتا برای معادله مکعب:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0، x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0، x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

سمت چپ فرمول Vieta شامل چند جمله ای های متقارن ابتدایی است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ماهیت این تکنیک یافتن ریشه ها بدون کمک تمایز است. برای معادله ای به شکل x2 + bx + c = 0، که در آن دو ریشه واقعی متفاوت وجود دارد، دو عبارت درست است.

عبارت اول بیان می کند که مجموع ریشه های این معادله برابر با مقدار ضریب متغیر x است (در این حالت b است) اما با علامت مخالف. از نظر بصری به نظر می رسد: x1 + x2 = -b.

گزاره دوم دیگر مربوط به جمع نیست، بلکه مربوط به حاصلضرب همین دو ریشه است. این محصول برابر با ضریب آزاد است، یعنی. ج. یا، x1 * x2 = c. هر دوی این مثال ها در سیستم حل شده اند.

قضیه ویتا راه حل را بسیار ساده می کند، اما یک محدودیت دارد. یک معادله درجه دوم که ریشه های آن را می توان با استفاده از این تکنیک پیدا کرد باید کاهش یابد. در معادله فوق ضریب a که در مقابل x2 قرار دارد برابر با یک است. هر معادله ای را می توان با تقسیم عبارت بر ضریب اول به شکل مشابهی در آورد، اما این عمل همیشه منطقی نیست.

اثبات قضیه

برای شروع، باید به یاد داشته باشیم که چگونه به طور سنتی مرسوم است که به دنبال ریشه های یک معادله درجه دوم باشیم. ریشه های اول و دوم یافت می شوند، یعنی: x1 = (-b-√D)/2، x2 = (-b+√D)/2. به طور کلی بر 2a بخش پذیر است، اما، همانطور که قبلا ذکر شد، این قضیه فقط زمانی قابل اعمال است که a=1 باشد.

از قضیه ویتا مشخص می شود که مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت منفی است. این بدان معنی است که x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = -2b/2 = -b.

همین امر برای حاصل ضرب ریشه های مجهول صادق است: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. به نوبه خود، D = b2-4c (دوباره با a=1). معلوم می شود که نتیجه این است: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

از اثبات ساده ارائه شده، تنها یک نتیجه می توان گرفت: قضیه ویتا کاملاً تأیید شده است.

فرمول دوم و اثبات

قضیه ویتا تفسیر دیگری دارد. به بیان دقیق تر، این یک تفسیر نیست، بلکه یک صورت بندی است. واقعیت این است که اگر شرایط مشابه مورد اول وجود داشته باشد: دو ریشه واقعی متفاوت وجود دارد، آنگاه می توان قضیه را با فرمول دیگری نوشت.

این برابری به این صورت است: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). اگر تابع P(x) در دو نقطه x1 و x2 قطع شود، می توان آن را به صورت P(x) = (x - x1) (x - x2) * R(x) نوشت. در موردی که P درجه دوم داشته باشد، و این دقیقاً همان چیزی است که عبارت اصلی به نظر می رسد، آنگاه R است عدد اول، یعنی 1. این عبارت درست است به این دلیل که در غیر این صورت برابری برقرار نمی شود. ضریب x2 هنگام باز کردن براکت ها نباید باشد بیش از یکی، و عبارت باید مربع باقی بماند.

یکی از روش های حل معادله درجه دوم استفاده از آن است فرمول های VIET، که به نام فرانسوا ویت نامگذاری شده است.

او وکیل مشهوری بود که در قرن شانزدهم به پادشاه فرانسه خدمت کرد. که در وقت آزادنجوم و ریاضیات خوانده است. او بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم ارتباط برقرار کرد.

مزایای فرمول:

1 . با اعمال فرمول می توانید به سرعت راه حلی پیدا کنید. زیرا نیازی به وارد کردن ضریب دوم در مربع نیست، سپس 4ac را از آن کم کرده، تفکیک کننده را پیدا کرده و مقدار آن را در فرمول جایگزین کنید تا ریشه ها را پیدا کنید.

2 . بدون راه حل، می توانید نشانه های ریشه ها را تعیین کنید و مقادیر ریشه ها را انتخاب کنید.

3 . پس از حل یک سیستم از دو رکورد، پیدا کردن ریشه ها دشوار نیست. در معادله درجه دوم، مجموع ریشه ها برابر با مقدار ضریب دوم با علامت منفی است. حاصل ضرب ریشه ها در معادله درجه دوم فوق برابر با مقدار ضریب سوم است.

4 . با استفاده از این ریشه ها یک معادله درجه دوم بنویسید، یعنی مسئله معکوس را حل کنید. به عنوان مثال، از این روش در هنگام حل مسائل در مکانیک نظری استفاده می شود.

5 . هنگامی که ضریب پیشرو برابر با یک باشد، استفاده از فرمول راحت است.

ایرادات:

1 . فرمول جهانی نیست.