نشانه‌های کافی برای افراط در عملکرد. علائم افزایش و کاهش موضعی یک تابع. شرایط لازم و کافی برای وجود منتهی به یک تابع در یک نقطه نشانه کافی از وجود اکستروم

تابع y = f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (در حال کاهش) در یک بازه زمانی مشخص، اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

اگر تابع متمایز y = f(x) در یک بازه افزایش (کاهش) پیدا کند، مشتق آن در این بازه f " (x) > 0

(f" (x)< 0).

نقطه x oتماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) تابع f(x)، اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x o، برای تمام نقاطی که نابرابری f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) درست است.

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراط.

شرایط لازم برای افراط. اگر نکته x oیک نقطه منتهی از تابع f(x) است، پس یا f " (x o) = 0 یا f (x o) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شوند. بحرانی،و خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

اولین شرط کافیاجازه دهید x o- نقطه بحرانی. اگر f "(x) هنگام عبور از یک نقطه x oعلامت مثبت را به منفی و سپس در نقطه تغییر می دهد x oتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر هنگام عبور از نقطه بحرانی، مشتق علامت تغییر نکند، در نقطه x oافراطی وجود ندارد

شرط کافی دوماجازه دهید تابع f(x) یک مشتق داشته باشد
f "(x) در مجاورت نقطه x oو مشتق دوم در خود نقطه x o. اگر f "(x o) = 0، > 0 (<0), то точка x oنقطه حداقل (حداکثر) محلی تابع f(x) است. اگر =0 باشد، باید یا از اولین شرط کافی استفاده کنید یا از مشتقات بالاتر استفاده کنید.

در یک قطعه، تابع y = f(x) می تواند به حداقل یا حداکثر مقدار خود در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مطالعه شرایط و رسم نمودارها.

دامنه یک تابع را پیدا کنید

نقاط تلاقی نمودار را با محورهای مختصات پیدا کنید

فواصل علامت ثبات را بیابید

یکنواختی، عجیب بودن را بررسی کنید

مجانبی از نمودار یک تابع را پیدا کنید

بازه های یکنواختی یک تابع را بیابید

منتهی الیه تابع را پیدا کنید

فواصل تحدب و نقاط عطف را بیابید

مجانب نمودارهای تابع. طرح کلی برای مطالعه و رسم نمودارهای تابع. مثال ها.

عمودی

مجانب عمودی - یک خط مستقیم، مشروط به وجود حد .

به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به این منظور انجام می‌شود تا مشخص شود که تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از جهات مختلف چگونه رفتار می‌کند. مثلا:

توجه: به علائم بی نهایت در این برابری ها توجه کنید.

[ویرایش] افقی

مجانب افقی - یک خط مستقیم، مشروط به وجود حد

[ویرایش] مایل

مجانب مایل - یک خط مستقیم، مشروط به وجود محدودیت

مثال مجانب مایل

نکته: یک تابع نمی تواند بیش از دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد!

نکته: اگر حداقل یکی از دو حد ذکر شده در بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد!

رابطه بین مجانب مایل و افقی

اگر هنگام محاسبه حد ، پس واضح است که مجانب مایل با مجانب افقی منطبق است. چه ارتباطی بین این دو نوع مجانب وجود دارد؟

چیزی که است، که مجانب افقی حالت خاصی از مایل استدر و از کامنت های فوق چنین بر می آید که

1. تابع یا فقط یک مجانب مایل دارد، یا یک مجانب عمودی، یا یک مجانب مایل و یک عمودی، یا دو مایل، یا دو عمودی، یا اصلاً مجانبی ندارد.

2. وجود مجانبی که در بند 1 ذکر شده است.) مستقیماً با وجود حدود مربوطه مرتبط است.

نمودار یک تابع با دو مجانب افقی

]یافتن مجانبی

ترتیب یافتن مجانب

1. یافتن مجانب عمودی.

2. یافتن دو حد

3. یافتن دو حد:

اگر در مورد 2.)، سپس، و حد با استفاده از فرمول مجانب افقی جستجو می شود، .

نقطه منتهی یک تابع نقطه ای از دامنه تعریف تابع است که در آن مقدار تابع یک مقدار حداقل یا حداکثر را به خود می گیرد. مقادیر تابع در این نقاط را حداکثر (حداقل و حداکثر) تابع می نامند.

تعریف. نقطه ایکس1 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداکثر نقطه تابع ، اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاط به اندازه کافی نزدیک به آن که در سمت راست و چپ آن قرار دارد بیشتر باشد (یعنی نابرابری برقرار است f(ایکس0 ) > f(ایکس 0 + Δ ایکس) ایکس1 بیشترین.

تعریف. نقطه ایکس2 دامنه تابع f(ایکس) نامیده میشود حداقل نقطه تابع، اگر مقدار تابع در این نقطه از مقادیر تابع در نقاطی که به اندازه کافی نزدیک به آن واقع در سمت راست و چپ آن قرار دارند کمتر از مقادیر تابع باشد (یعنی نابرابری برقرار است f(ایکس0 ) < f(ایکس 0 + Δ ایکس) ). در این حالت می گوییم که تابع در نقطه است ایکس2 کمترین.

بیایید بگوییم نقطه ایکس1 - حداکثر نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس1 عملکرد افزایش می یابدبنابراین مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0) و در بازه بعد ایکس1 تابع کاهش می یابد، بنابراین، مشتق یک تابعکمتر از صفر ( f "(ایکس) < 0 ). Тогда в точке ایکس1

بگذارید این نکته را نیز فرض کنیم ایکس2 - حداقل نقطه تابع f(ایکس) . سپس در فاصله تا ایکس2 تابع در حال کاهش است و مشتق تابع کمتر از صفر است ( f "(ایکس) < 0 ), а в интервале после ایکس2 تابع در حال افزایش است و مشتق تابع بزرگتر از صفر است ( f "(ایکس) > 0). در این مورد نیز در نقطه ایکس2 مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

قضیه فرما (نشان ضروری وجود یک انتها یک تابع). اگر نکته ایکس0 - نقطه افراطی تابع f(ایکس) سپس در این نقطه مشتق تابع برابر با صفر است ( f "(ایکس) = 0 ) یا وجود ندارد.

تعریف. نقاطی که مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد، نامیده می شوند نقاط بحرانی .

مثال 1.بیایید عملکرد را در نظر بگیریم.

در نقطه ایکس= 0 مشتق تابع صفر است، بنابراین نقطه است ایکس= 0 نقطه بحرانی است. با این حال، همانطور که در نمودار تابع مشاهده می شود، در کل دامنه تعریف افزایش می یابد، بنابراین نقطه ایکس= 0 نقطه انتهایی این تابع نیست.

بنابراین، شرایطی که مشتق یک تابع در یک نقطه برابر با صفر باشد یا وجود نداشته باشد، شرایط لازم برای یک افراط هستند، اما کافی نیستند، زیرا نمونه های دیگری از توابع را می توان ارائه داد که این شرایط برای آنها وجود دارد، اما تابع در نقطه مربوطه اکسترموم ندارد. از همین رو باید شواهد کافی وجود داشته باشد، به شخص اجازه می دهد تا قضاوت کند که آیا یک افراط در یک نقطه بحرانی خاص وجود دارد و چه نوع افراطی است - حداکثر یا حداقل.

قضیه (نخستین نشانه کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 f(ایکس) اگر در هنگام عبور از این نقطه، مشتق تابع تغییر علامت دهد و اگر علامت از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، آنگاه یک نقطه حداکثر است و اگر از "منهای" به "بعلاوه" یک حداقل امتیاز است.

اگر نزدیک به نقطه ایکس0 ، در سمت چپ و سمت راست آن، مشتق علامت خود را حفظ می کند، به این معنی که تابع در یک همسایگی خاص از نقطه یا فقط کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد. ایکس0 . در این مورد، در نقطه ایکس0 افراطی وجود ندارد

بنابراین، برای تعیین نقاط انتهایی تابع، باید موارد زیر را انجام دهید :

مشتق تابع را بیابید.
مشتق را با صفر برابر کنید و نقاط بحرانی را تعیین کنید.
به صورت ذهنی یا روی کاغذ، نقاط بحرانی را روی خط اعداد علامت بزنید و نشانه های مشتق تابع را در فواصل حاصل مشخص کنید. اگر علامت مشتق از "بعلاوه" به "منهای" تغییر کند، نقطه بحرانی حداکثر نقطه است و اگر از "منهای" به "بعلاوه"، حداقل نقطه است.
مقدار تابع را در نقاط انتهایی محاسبه کنید.

مثال 2.منتهی الیه تابع را پیدا کنید .

راه حل. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید مشتق را با صفر برابر کنیم تا نقاط بحرانی را پیدا کنیم:

از آنجایی که برای هر یک از مقادیر "x" مخرج برابر با صفر نیست، صورت را با صفر برابر می کنیم:

یک نقطه بحرانی گرفتم ایکس= 3. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل تعیین شده توسط این نقطه تعیین کنیم:

در محدوده منهای بی نهایت تا 3 - یک علامت منفی، یعنی تابع کاهش می یابد،

در بازه 3 تا بعلاوه بی نهایت علامت مثبت وجود دارد، یعنی تابع افزایش می یابد.

یعنی دوره ایکس= 3 حداقل امتیاز است.

بیایید مقدار تابع را در نقطه حداقل پیدا کنیم:

بنابراین، نقطه انتهایی تابع پیدا می شود: (3؛ 0)، و آن نقطه حداقل است.

قضیه (دومین علامت کافی برای وجود یک تابع).نقطه بحرانی ایکس0 نقطه منتهی تابع است f(ایکساگر مشتق دوم تابع در این نقطه برابر با صفر نباشد ( f ""(ایکس) ≠ 0)، و اگر مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) > 0)، آنگاه حداکثر نقطه، و اگر مشتق دوم کمتر از صفر باشد ( f ""(ایکس) < 0 ), то точкой минимума.

نکته 1. اگر در نقطه ایکس0 اگر هر دو مشتق اول و دوم ناپدید شوند، در این مرحله قضاوت در مورد وجود یک افراط بر اساس معیار کافی دوم غیرممکن است. در این مورد، باید از اولین معیار کافی برای حداکثر یک تابع استفاده کنید.

نکته 2. دومین معیار کافی برای حداکثر یک تابع حتی زمانی که مشتق اول در یک نقطه ثابت وجود نداشته باشد (پس مشتق دوم نیز وجود ندارد) قابل اجرا نیست. در این مورد، شما همچنین باید از اولین علامت کافی از اکستریم یک تابع استفاده کنید.

ماهیت محلی قسمت های انتهایی تابع

از تعاریف بالا چنین نتیجه می شود که حداکثر یک تابع در طبیعت محلی است - این بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مقایسه با مقادیر نزدیک است.

فرض کنید به درآمد خود در یک دوره یک ساله نگاه می کنید. اگر در ماه مه 45000 روبل و در آوریل 42000 روبل و در ژوئن 39000 روبل کسب کرده اید، درآمد ماه مه حداکثر تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. اما در اکتبر 71000 روبل، در سپتامبر 75000 روبل و در نوامبر 74000 روبل درآمد کسب کردید، بنابراین درآمد اکتبر حداقل تابع درآمد در مقایسه با مقادیر نزدیک است. و به راحتی می توانید ببینید که حداکثر در بین مقادیر آوریل-مه- ژوئن کمتر از حداقل سپتامبر-اکتبر-نوامبر است.

به طور کلی، در یک بازه، یک تابع می تواند چندین منتهی داشته باشد، و ممکن است معلوم شود که مقداری از حداقل تابع از هر حداکثری بزرگتر است. بنابراین، برای تابع نشان داده شده در شکل بالا، .

یعنی نباید فکر کرد که حداکثر و حداقل یک تابع به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن در کل بخش مورد نظر است. در نقطه ماکزیمم، تابع تنها در مقایسه با مقادیری که در همه نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداکثر نقطه است، بیشترین مقدار را دارد و در نقطه حداقل، تنها در مقایسه با آن مقادیر، کوچکترین مقدار را دارد. که در تمام نقاط به اندازه کافی نزدیک به حداقل نقطه باشد.

بنابراین، می‌توان مفهوم فوق را از نقاط انتهایی یک تابع روشن کرد و حداقل نقاط را نقاط حداقل محلی و حداکثر نقاط را نقاط حداکثر محلی نامید.

ما با هم به دنبال حداکثر تابع می گردیم

مثال 3.

راه حل: تابع در کل خط اعداد تعریف شده و پیوسته است. مشتق آن همچنین در کل خط اعداد وجود دارد. بنابراین، در این مورد، نقاط بحرانی تنها مواردی هستند که در آنها، به عنوان مثال. ، از کجا و . نقاط بحرانی و تقسیم کل دامنه تعریف تابع به سه بازه یکنواختی: . بیایید در هر یک از آنها یک نقطه کنترل انتخاب کنیم و علامت مشتق را در این نقطه پیدا کنیم.

برای بازه، نقطه کنترل می تواند: پیدا کنید. با گرفتن یک نقطه در بازه، می گیریم، و با گرفتن یک نقطه در بازه، داریم. بنابراین، در فواصل و، و در فاصله . با توجه به اولین معیار کافی برای یک اکستروم، هیچ اکسترومی در نقطه وجود ندارد (زیرا مشتق علامت خود را در بازه حفظ می کند) و در نقطه ای تابع دارای حداقل است (زیرا مشتق هنگام عبور علامت از منفی به مثبت تغییر می دهد. از طریق این نقطه). بیایید مقادیر مربوط به تابع را پیدا کنیم: , a . در بازه تابع کاهش می یابد، زیرا در این بازه، و در بازه افزایش می یابد، زیرا در این بازه .

برای روشن شدن ساختار نمودار، نقاط تلاقی آن را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. وقتی معادله ای به دست می آوریم که ریشه های آن و، یعنی دو نقطه (0; 0) و (4; 0) از نمودار تابع پیدا می شود. با استفاده از تمام اطلاعات دریافتی، یک نمودار می سازیم (به ابتدای مثال مراجعه کنید).

برای خود چک کردن در حین محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

مثال 4.انتهای تابع را پیدا کنید و نمودار آن را بسازید.

دامنه تعریف یک تابع کل خط عددی است، به جز نقطه، یعنی. .

برای کوتاه کردن مطالعه، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که این تابع یکنواخت است، زیرا . بنابراین نمودار آن نسبت به محور متقارن است اوهو مطالعه فقط برای بازه زمانی قابل انجام است.

یافتن مشتق و نقاط بحرانی تابع:

1) ;

2) ,

اما تابع در این نقطه دچار ناپیوستگی می‌شود، بنابراین نمی‌تواند یک نقطه افراطی باشد.

بنابراین، تابع داده شده دارای دو نقطه بحرانی است: و. با در نظر گرفتن برابری تابع، فقط نقطه را با استفاده از دومین معیار کافی برای یک اکسترموم بررسی می کنیم. برای انجام این کار، مشتق دوم را پیدا می کنیم و علامت آن را در: دریافت می کنیم. از آنجایی که و، حداقل نقطه تابع است، و .

برای اینکه تصویر کاملتری از نمودار یک تابع بدست آوریم، بیایید رفتار آن را در مرزهای دامنه تعریف پیدا کنیم:

(در اینجا نماد نشان دهنده تمایل است ایکساز سمت راست به صفر و ایکسمثبت باقی می ماند؛ به همین ترتیب به معنای آرزو است ایکساز سمت چپ به صفر و ایکسمنفی باقی می ماند). بنابراین، اگر، پس. بعد، پیدا می کنیم

آن ها اگر پس از آن .

نمودار یک تابع هیچ نقطه تلاقی با محورها ندارد. تصویر در ابتدای مثال است.

برای خود چک کردن در حین محاسبات، می توانید استفاده کنید ماشین حساب مشتق آنلاین .

ما با هم به جستجوی اکسترم های تابع ادامه می دهیم

مثال 8.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل. بیایید دامنه تعریف تابع را پیدا کنیم. از آنجایی که نابرابری باید برآورده شود، از .

بیایید اولین مشتق تابع را پیدا کنیم.

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع، می توانید از هر یک از سه علامت کافی برای یک اکسترموم استفاده کنید. اگرچه رایج ترین و راحت ترین مورد اول است.

اولین شرط کافی برای افراط.

اجازه دهید تابع y = f(x)در یک همسایگی نقطه قابل تمایز است و در خود نقطه پیوسته است. سپس

به عبارت دیگر:

الگوریتم.

دامنه تعریف تابع را پیدا می کنیم.

مشتق تابع را در حوزه تعریف پیدا می کنیم.

صفرهای صورت، صفرهای مخرج مشتق و نقاط حوزه تعریفی که مشتق در آنها وجود ندارد را تعیین می کنیم (این نقاط نامیده می شوند. نقاط افراطی احتمالی، با عبور از این نقاط، مشتق فقط می تواند علامت خود را تغییر دهد).

این نقاط دامنه تعریف تابع را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که مشتق علامت خود را حفظ می کند. نشانه های مشتق را در هر یک از بازه ها تعیین می کنیم (مثلاً با محاسبه مقدار مشتق یک تابع در هر نقطه از یک بازه خاص).

نقاطی را انتخاب می کنیم که تابع پیوسته است و با عبور از آنها، مشتق علامت تغییر می دهد.

مثال.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.
راه حل.
دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است به جز x = 2.
پیدا کردن مشتق:

صفرهای صورتگر نقطه هستند x = -1و x = 5، مخرج به صفر در می رود x = 2. این نقاط را روی محور اعداد علامت بزنید

نشانه های مشتق را در هر بازه تعیین می کنیم؛ برای این کار، مقدار مشتق را در هر یک از نقاط هر بازه، مثلاً در نقاط، محاسبه می کنیم. x = -2، x = 0، x = 3و x=6.

بنابراین، در بازه مشتق مثبت است (در شکل یک علامت مثبت روی این بازه قرار می دهیم). به همین ترتیب

بنابراین، ما یک منهای بالاتر از فاصله دوم، یک منفی بالاتر از سوم، و یک مثبت بالاتر از چهارم قرار می دهیم.

باقی می ماند که نقاطی را انتخاب کنیم که در آنها تابع پیوسته است و مشتق آن علامت تغییر می دهد. اینها نقاط افراطی هستند.
در نقطه x = -1تابع پیوسته است و مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد، بنابراین، با توجه به اولین علامت یک اکستروم، x = -1حداکثر نقطه است؛ حداکثر تابع مربوط به آن است.
در نقطه x = 5تابع پیوسته است و علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند، بنابراین، x = -1حداقل نقطه است؛ حداقل تابع با آن مطابقت دارد.
تصویر گرافیکی.

پاسخ: .

دومین علامت کافی برای یک تابع.
اجازه دهید ،

اگر، آنگاه حداقل امتیاز است.

اگر، آنگاه حداکثر نقطه است.

همانطور که می بینید، این معیار مستلزم وجود مشتق حداقل تا مرتبه دوم در نقطه است.
مثال.منتهی الیه تابع را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید با دامنه تعریف شروع کنیم:

بیایید تابع اصلی را متمایز کنیم:

مشتق به صفر در می رود x = 1، یعنی این یک نقطه افراط ممکن است.
مشتق دوم تابع را پیدا کرده و مقدار آن را در محاسبه می کنیم x = 1:

بنابراین، با دومین شرط کافی برای افراط، x = 1- حداکثر امتیاز سپس - حداکثر تابع.
تصویر گرافیکی.

پاسخ: .
سومین علامت کافی برای یک تابع.
اجازه دهید تابع y = f(x)دارای مشتقات تا nمرتبه -ام در همسایگی نقطه و مشتقات تا n+1مرتبه -ام در خود نقطه. بگذار باشد.
سپس،

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

جبر و هندسه تحلیلی. مفهوم ماتریس، عملیات روی ماتریس ها و خواص آنها

مفهوم ماتریس عبارت است از عملیات روی ماتریس ها و ویژگی های آنها. ماتریس یک جدول مستطیلی است که از اعدادی تشکیل شده است که نمی توان آنها را ... و جمع ماتریس یک عملیات عنصری است.

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

تمامی موضوعات این بخش:

تعریف تمایز پذیری
عملیات یافتن مشتق را تمایز یک تابع می گویند. اگر تابعی در آن نقطه مشتق متناهی داشته باشد در نقطه ای قابل تفکیک گفته می شود و

قاعده تمایز
نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

معنای هندسی مشتق. معادله مماس
زاویه تمایل یک خط مستقیم y = kx+b زاویه ای است که از موقعیت اندازه گیری می شود

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه
اجازه دهید مقطع AB نمودار تابع y = f(x) را طوری در نظر بگیریم که نقاط A و B به ترتیب دارای مختصات باشند.

راه حل
تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. از آنجایی که (-1؛ -3) نقطه مماس است، پس

شرایط لازم برای افراط و شرایط کافی برای افراط
تعریف تابع افزایشی تابع y = f(x) در بازه X در صورت وجود افزایش می یابد

شرایط یکنواختی و ثبات یک تابع
شرط یکنواختی (غیر محدود) یک تابع در یک بازه. اجازه دهید تابع در هر یک مشتق داشته باشد

تعریف آنتی مشتق
پاد مشتق تابع f(x) در بازه (a; b) تابع F(x) است به طوری که برابری

معاینه
برای بررسی نتیجه، عبارت حاصل را متمایز می کنیم: در نتیجه، می گیریم

ضد مشتق حاصلضرب ثابت و تابع برابر است با حاصلضرب ثابت و ضدمشتق تابع
شرط کافی برای وجود یک پاد مشتق از یک تابع داده شده در یک بازه است

تعریف
بگذارید روی آن تعریف شود

معنی هندسی
انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت شکل است که توسط محور آبسیسا و خطوط مستقیم محدود شده است.

ویژگی های یک انتگرال معین
ویژگی های اساسی یک انتگرال معین خاصیت 1. مشتق یک انتگرال معین نسبت به حد بالایی برابر است با انتگرال که به جای یک متغیر در آن ادغام شده است.

فرمول نیوتن-لایبنیتس (با اثبات)
فرمول نیوتن لایب نیتس اجازه دهید تابع y = f(x) در یک بازه پیوسته باشد و F(x) یکی از پاد مشتق های تابع در این بازه باشد، سپس معادله

قضیه (اولین شرط کافی برای یک افراط). اجازه دهید تابع در یک نقطه پیوسته باشد و در هنگام عبور از نقطه علامت مشتق تغییر کند. سپس نقطه افراطی است: حداکثر اگر علامت از "+" به "-" تغییر کند، و حداقل اگر از "-" به "+" تغییر کند.

اثباتاجازه دهید در و در .

طبق قضیه لاگرانژ , کجا .بعد اگر پس ; از همین رو از این رو، ، یا . اگر پس از آن؛ از همین رو از این رو، یا .

بنابراین، ثابت شده است که در هر نقطه نزدیک، یعنی. - حداکثر نقطه تابع.

اثبات قضیه برای نقطه حداقل نیز به همین ترتیب انجام می شود. قضیه ثابت شده است.

اگر در هنگام عبور از یک نقطه، مشتق علامت تغییر نکند، در آن نقطه هیچ افراطی وجود ندارد.

قضیه (دومین شرط کافی برای افراط). فرض کنید مشتق تابع دوبار متمایزپذیر در یک نقطه برابر با 0 () باشد و مشتق دوم آن در این نقطه با صفر () متفاوت و در برخی از همسایگی های آن نقطه پیوسته باشد. سپس نقطه افراطی است. در این نقطه حداقل است، و در این نقطه حداکثر است.

الگوریتمی برای یافتن انتهای یک تابع با استفاده از اولین شرط کافی برای یک اکستروم.

1. مشتق را بیابید.

2. نقاط بحرانی تابع را بیابید.

3. علامت مشتق سمت چپ و راست هر نقطه بحرانی را بررسی کنید و در مورد وجود اکسترم نتیجه بگیرید.

4. مقادیر شدید تابع را بیابید.

الگوریتمی برای یافتن انتهای یک تابع با استفاده از دومین شرط کافی برای یک اکستروم.

1. مشتق را بیابید.

2. مشتق دوم را بیابید.

3. نقاطی را که در آن .

4. علامت را در این نقاط مشخص کنید.

5. در مورد وجود و ماهیت افراطی نتیجه گیری کنید.

6. مقادیر شدید تابع را بیابید.

مثال.در نظر بگیریم . پیدا خواهیم کرد . علاوه بر این، در و در . اجازه دهید نقاط بحرانی را با استفاده از اولین شرط کافی برای اکسترموم مطالعه کنیم. ما داریم که برای و برای و برای . در نقاط و مشتق علامت خود را تغییر می دهد: at از "+" به "-" و at at از "-" به "+". این بدان معنی است که در یک نقطه تابع دارای حداکثر و در یک نقطه دارای حداقل است. . برای مقایسه، نقاط بحرانی را با استفاده از شرط کافی دوم برای اکسترموم مطالعه می کنیم. بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. داریم: و این بدان معناست که در یک نقطه تابع دارای حداکثر و در یک نقطه دارای حداقل است.

مفهوم مجانب نمودار تابع. مجانب افقی، مایل و عمودی. مثال ها.

تعریف. مجانبی از نمودار یک تابع، خط مستقیمی است که دارای این ویژگی است که فاصله یک نقطه تا این خط مستقیم به صفر میل می کند، زیرا نقطه نمودار به طور نامحدود از مبدا حرکت می کند.

مجانبی عمودی (شکل 6.6 الف)، افقی (شکل 6.6 ب) و مایل (شکل 6.6 ج) وجود دارد.

در شکل 6.6a نشان داده شده است مجانب عمودی.

در شکل 6.6b - مجانب افقی.

در شکل 6.6 ولت - مجانب مایل.

قضیه 1.در نقاط مجانب عمودی (به عنوان مثال،) تابع دچار ناپیوستگی می شود، حد آن در سمت چپ و راست نقطه برابر است با:

قضیه 2.اجازه دهید تابع برای اندازه کافی بزرگ تعریف شود و محدودیت های محدودی وجود دارد

و .

سپس خط مستقیم مجانب مایل نمودار تابع است.

قضیه 3.اجازه دهید تابع برای اندازه کافی بزرگ تعریف شود و محدودیتی برای تابع وجود دارد. سپس خط مستقیم مجانب افقی نمودار تابع است.

مجانب افقی حالت خاصی از مجانب مایل است، زمانی که . بنابراین، اگر در هر جهت یک منحنی مجانبی افقی داشته باشد، در این جهت هیچ مایل وجود ندارد و بالعکس.

مثال.مجانب نمودار تابع را پیدا کنید.

راه حل. در نقطه‌ای که تابع تعریف نشده است، محدودیت‌های تابع را در سمت چپ و راست نقطه پیدا می‌کنیم:

; .

بنابراین، مجانبی عمودی است.

طرح کلی برای مطالعه توابع و ساخت نمودار آنها. مثال.

طرح کلی کارکرد تحقیق و ترسیم آن

1. دامنه تعریف را پیدا کنید.

2. تابع یکنواختی - عجیب بودن را بررسی کنید.

3. مجانب عمودی و نقاط ناپیوستگی (در صورت وجود) را بیابید.

4. بررسی رفتار یک تابع در بی نهایت; مجانب افقی و مایل (در صورت وجود) را پیدا کنید.

5. مادون و فواصل یکنواختی تابع را بیابید.

6. نقاط تلاقی نمودار را با محورهای مختصات پیدا کنید و در صورت لزوم برای ساخت شماتیک نمودار، نقاط اضافی را بیابید.

7. به صورت شماتیک یک نمودار رسم کنید.

نمودار تفصیلی مطالعه تابع و نقشه کشیدن .

1. دامنه تعریف را پیدا کنید .

آ. اگر y مخرج داشته باشد، نباید به 0 برود.

ب بیان رادیکال یک ریشه درجه زوج باید غیر منفی (بزرگتر یا مساوی صفر) باشد.

ج. عبارت زیر لاگ باید مثبت باشد.

2. تابع برابری - عجیب بودن را بررسی کنید.

آ. اگر، پس تابع زوج است.

ب اگر، پس تابع فرد است.

ج. اگر نه، نه ، سپس تابعی از شکل کلی است.

3. مجانب عمودی و نقاط ناپیوستگی (در صورت وجود) را پیدا کنید.

آ. یک مجانب عمودی فقط می تواند در مرز دامنه تعریف تابع رخ دهد.

ب اگر (یا)، مجانب عمودی نمودار است.

4. بررسی رفتار یک تابع در بی نهایت؛ مجانب افقی و مایل (در صورت وجود) را پیدا کنید.

آ. اگر، آنگاه مجانب افقی نمودار است.

ب اگر ، سپس خط مستقیم مجانب مایل نمودار است.

ج. اگر حدود مشخص شده در پاراگراف های a، b فقط زمانی وجود داشته باشند که یک طرفه به بی نهایت ( یا ) تمایل دارد، مجانب حاصل یک طرفه خواهند بود: چپ دست در و راست دست وقتی .

5. حداکثر و فواصل یکنواختی تابع را بیابید.

آ. مشتق را بیابید.

ب نقاط بحرانی را بیابید (آن نقاطی که وجود ندارد یا جایی که وجود ندارد).

ج. در محور اعداد، دامنه تعریف و نقاط بحرانی آن را علامت بزنید.

د در هر یک از بازه های عددی حاصل، علامت مشتق را تعیین کنید.

ه. بر اساس نشانه های مشتق، در مورد وجود افراط در y و نوع آنها نتیجه بگیرید.

f. مقادیر افراطی را پیدا کنید.

g. بر اساس نشانه های مشتق، در مورد افزایش و کاهش نتیجه گیری کنید.

6. نقاط تلاقی نمودار را با محورهای مختصات پیدا کنید و در صورت لزوم برای ترسیم شماتیک نمودار، نقاط اضافی را بیابید.

آ. برای یافتن نقاط تلاقی نمودار با محور، باید معادله را حل کرد. نقاطی که صفر هستند، نقاط تلاقی نمودار با محور خواهند بود.

ب نقطه تقاطع نمودار با محور به نظر می رسد. فقط در صورتی وجود دارد که نقطه در دامنه تابع باشد.

8. به صورت شماتیک یک نمودار رسم کنید.

آ. یک سیستم مختصات و مجانبی بسازید.

ب نقاط افراطی را علامت گذاری کنید

ج. نقاط تقاطع نمودار را با محورهای مختصات مشخص کنید.

د به صورت شماتیک نموداری بسازید که از نقاط مشخص شده عبور کرده و به مجانب نزدیک شود.

مثال.تابع را کاوش کرده و نمودار آن را به صورت شماتیک بسازید.

2. – تابع شکل کلی.

3. از آنجا که و، سپس خطوط و مجانبی عمودی هستند. نقاط شکست هستند. ، زمانی که در دامنه تعریف تابع گنجانده نشده است

بلیط شماره 1

تابع ضد مشتققضیهاثبات انتگرال نامعین

نقطه (X 0 ;Y 0) فراخوانی می شود حداکثر امتیاز حداقل امتیازتوابع: برای همه نقاط (x;y) متفاوت از (X 0 ;Y 0)، از همسایگی δ نقطه (X 0 ;Y 0) نابرابری f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) راضی است.

شواهد و مدارک:

بلیط شماره 2

اثباتمعنی هندسی

افزایش خصوصی مشتق جزئی معنی هندسی

بلیط شماره 3

19. تعیین حداکثر و حداقل نقاط تابع z=f(x,y).نقطه (X 0 ;Y 0) فراخوانی می شود حداکثر امتیازتابع z=f(x;y)، اگر یک همسایگی δ برای نقطه (X 0 ;Y 0) وجود داشته باشد به طوری که نابرابری f(x;y) برقرار باشد. حداقل امتیازتوابع: برای همه نقاط (x;y) متفاوت از (X 0 ;Y 0)، از همسایگی δ نقطه (X 0 ;Y 0) نابرابری f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) راضی است. اجازه دهید در یک نقطه ثابت (X 0 ;Y 0) و برخی از همسایگی های آن تابع f(x;y) مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم را شامل شود. اجازه دهید در نقطه (X 0 ;Y 0) مقادیر A=f"" xx (X 0 ;Y 0)، B=f"" xy (X 0 ;Y 0)، C=f"" را محاسبه کنیم. yy (X 0 ;Y 0). اجازه دهید Δ=|AB را نشان دهیم. BC|=AC-B^2. سپس: 1) اگر Δ><0; минимум, если A>0; 2) اگر Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

بلیط شماره 4 با یک انتگرال معین خواص اثباتدر نقطه ای با مختصات (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ فرض کنید که تابع u(x;y;z) پیوسته است و با توجه به آرگومان های خود در حوزه D مشتقات پیوسته دارد: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+ E 1 Δx + E 2 Δy + E 3 Δz، که در آن E 1، E 2، E 3 به عنوان Δl→0 به صفر تمایل دارند. اجازه دهید کل تساوی را بر Δl تقسیم کنیم. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. برابری را می توان به صورت زیر نشان داد: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. با حرکت به سمت حد، Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ را بدست می آوریم.

بلیط شماره 5

1. تابع ضد مشتق. قضیه تفاوت بین دو ضد مشتق (با اثبات). انتگرال نامعین: تعریف تابع F(x) فراخوانی می شود تابع ضد مشتق f(x) در بازه (a;b)، اگر برای هر x∈(a;b) برابری F"(x)=f(x) برقرار است. قضیه. اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) روی (a;b) باشد، مجموعه تمام پاد مشتق‌ها برای f(x) با فرمول F(x)+C به دست می‌آید، که در آن C= پایان اثبات. تابع F(x)+C پاد مشتق f(x) است. در واقع، (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). فرض کنید Ф(x) یک تابع ضد مشتق دیگر f(x)، متفاوت از F(x) باشد. Ф"(x)=f(x). سپس برای هر x∈(a;b) داریم (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x)-f(x)=0. و این بدان معنی است که Ф(x)-F(x)=C، C=const. بنابراین، Ф(x)=F(x)+C. مجموعه تمام توابع ضد مشتق F(x)+C برای f(x) نامیده می شود. انتگرال نامعینتابع f(x) و با نماد ∫f(x)dx نشان داده می شود.

19. تعیین حداکثر و حداقل نقاط تابع z=f(x,y).نقطه (X 0 ;Y 0) فراخوانی می شود حداکثر امتیازتابع z=f(x;y)، اگر یک همسایگی δ برای نقطه (X 0 ;Y 0) وجود داشته باشد به طوری که نابرابری f(x;y) برقرار باشد. حداقل امتیازتوابع: برای همه نقاط (x;y) متفاوت از (X 0 ;Y 0)، از همسایگی δ نقطه (X 0 ;Y 0) نابرابری f(x;y)>f(X 0 ;Y 0) راضی است. 20. نشانه ی کافی از وجود یک منتهی از تابع z=f(x;y). (جمله بندی).اجازه دهید در یک نقطه ثابت (X 0 ;Y 0) و برخی از همسایگی های آن تابع f(x;y) مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم را شامل شود. اجازه دهید در نقطه (X 0 ;Y 0) مقادیر A=f"" xx (X 0 ;Y 0)، B=f"" xy (X 0 ;Y 0)، C=f"" را محاسبه کنیم. yy (X 0 ;Y 0). اجازه دهید Δ=|AB را نشان دهیم. BC|=AC-B^2. سپس: 1) اگر Δ> 0، آنگاه تابع f(x;y) در نقطه (X 0 ;Y 0) یک اکستروم دارد: حداکثر اگر A<0; минимум, если A>0; 2) اگر Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

بلیط شماره 6

3. محاسبه انتگرال معین روی یک پاره. فرمول نیوتن لایب نیتس (اشتقاق).اگر تابع y=f(x) در یک بازه پیوسته باشد و F(x) هر یک از پاد مشتق های آن در (F"(x)=f(x) باشد، فرمول ∫(از a تا b) f( x) )dx=F(b)-F(a) را نگه می دارد. این فرمول فرمول نیوتن-لایبنیتس است. هویت را در نظر بگیرید: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x 0)= (F(x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1 )-F(x 0)). بیایید هر تفاوت در پرانتز را با استفاده از فرمول لاگرانژ تبدیل کنیم: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a). ما F(b)-F(a) را دریافت می کنیم. )=F'(c n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1)(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi، یعنی F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi، جایی که Ci نقطه ای از بازه است. (X i -1 ,X i). بنابراین از آنجایی که تابع y=f(x) بر روی پیوسته است، پس قابل انتگرال است در . بنابراین، حدی از مجموع انتگرال برابر با انتگرال قطعی f(x) وجود دارد. با عبور از حد λ=maxΔXi→0، F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi به دست می آوریم، یعنی ∫(از a به b) f(x)dx=F( ب)-F(a).

تابع z=f(x;y) فراخوانی می شود قابل تمایز

11. خاصیت تابع متمایز پذیر: ارتباط بین تمایزپذیری تابع z=f(x;y) و پیوستگی تابع z=f(x;y) در یک نقطه (فرمول بندی، اثبات). اگر تابع z=f(x;y) در نقطه M(x;y) متمایز باشد، در این نقطه پیوسته است و مشتقات جزئی در آن دارد. اثبات. اجازه دهید تابع y=f(x) در نقطه x 0 قابل تفکیک باشد. در این مرحله به آرگومان افزایش Δx می دهیم. تابع یک افزایش Δу دریافت خواهد کرد. بیایید limΔx→0(Δy) را پیدا کنیم. limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. بنابراین، y =f(x) در نقطه x 0 پیوسته است.

بلیط شماره 7

نشانه ضروری یک افراط.

اگر یک تابع پیوسته z=z(x,y) در نقطه P0(x0,y0) انتها داشته باشد، تمام مشتقات جزئی مرتبه اول آن در این نقطه یا برابر با صفر هستند یا وجود ندارند.

شواهد و مدارک:مشتق جزئی تابع z=f(x,y) نسبت به x در نقطه P0(x0,y0) مشتق تابع یک متغیر φ(x)=f(x,y0) در نقطه است. x-x0. اما در این مرحله تابع φ(x) به وضوح دارای یک اکسترموم است. بنابراین، φ'(x0)=0. چون φ'(x0)=f'x(x0,y0)، پس f'x(x0,y0)=0 به طور مشابه، می توان نشان داد که f'y(x0، y0 )=0. قضیه ثابت شده است.

بلیط شماره 8

6. قضیه مقدار میانگین (فرمول بندی، اثبات، معنای هندسی).اگر تابع f(x) روی قطعه پیوسته باشد، یک نقطه C∈ وجود دارد که ∫(از a تا b) f(x)dx=f(c)*(b-a). اثبات. طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، ∫(از a تا b) f(x)dx=F(x)|(از a تا b)=F(b)-F(a) داریم که در آن F"(x) )=f( x) با اعمال قضیه لاگرانژ (قضیه افزایش متناهی یک تابع) به تفاضل F(b)-F(a)، F(b)-F(a)=F"(c) بدست می آوریم. )*(b-a)=f(c) *(b-a). معنی هندسی. قضیه f(x)≥0 معنای هندسی ساده ای دارد: مقدار انتگرال معین برای مقداری C∈ (a;b) برابر با مساحت مستطیل با ارتفاع f(c) و قاعده است. b-a. عدد f(c)=1/(b-a)∫(از a تا b) f(x)dx را مقدار میانگین تابع f(x) در قطعه می نامند.

8. افزایش جزئی تابع z=f(x;y). مشتقات جزئی: تعریف و معنای هندسی آنها.اجازه دهید تابع z=f(x;y) داده شود. از آنجایی که x و y متغیرهای مستقل هستند، یکی از آنها می تواند تغییر کند در حالی که دیگری ثابت می ماند. بیایید به متغیر x یک افزایش ∆x بدهیم و مقدار متغیر y را بدون تغییر نگه داریم. سپس تابع z یک افزایش دریافت می کند که آن را فراخوانی می کنیم افزایش خصوصی z در x و ∆ x z را نشان می دهیم. بنابراین، ∆ x z=f(x+∆x;y)–f(x;y). به طور مشابه، افزایش جزئی z را نسبت به y بدست می آوریم: ∆ y z=f(x;у+∆y)–f(x;y). اگر حدی وجود داشته باشد lim∆x→0(∆ x z/∆x )=lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x)، سپس نامیده می شود مشتق جزئیتابع z=f(x;y) در نقطه M(x;y) در متغیر x و با یکی از نمادها نشان داده می شود: z" x، δz/δx؛ f" x، δf/δx. معنی هندسی. نمودار تابع z=f(x;y) یک سطح معین است. نمودار تابع z=f(x 0 ;y 0) خط تقاطع این سطح با صفحه y=y 0 است. بر اساس معنای هندسی مشتق برای تابعی از یک متغیر، نتیجه می گیریم که f" x (x 0 ;y 0)=tgα، که α زاویه بین محور Ox و مماس رسم شده به منحنی z=f است. (x 0 ;y 0) در نقطه M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). مشابه f"y (x 0 ;y 0)=tgβ.

بلیط شماره 9

اثبات معنی هندسی

هواپیمای مماس معمولی به سطح

بلیط شماره 10

10. تعریف تابع متمایز z=f(x;y) در یک نقطه. تعریف dz دیفرانسیل کل و شکل آن.تابع z=f(x;y) فراخوانی می شود قابل تمایزدر نقطه M(x;y)، اگر افزایش کل آن در این نقطه را بتوان به صورت: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y، که α=α(∆) نشان داد x;∆y)→0 و β=β(∆x;∆y)→0 برای ∆x→0 و ∆y→0. قسمت اصلی افزایش تابع z=f(x;y) خطی نسبت به ∆x و ∆y نامیده می شود. دیفرانسیل کاملاین تابع و با علامت dz نشان داده می شود: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

بلیط شماره 11

4. تعریف انتگرال معین روی یک قطعه. ویژگی های اساسی یک انتگرال معین روی یک قطعه (با اثبات یکی از آنها). با یک انتگرال معیندر قسمتی از تابع f(x)، حد مجموع انتگرال Σf(c i)Δx i نامیده می شود اگر این حد وجود داشته باشد و به تقسیم قطعه به قطعات یا به انتخاب نقاط t بستگی ندارد. در داخل هر یک از قطعات، مشروط بر اینکه طول بزرگترین بخش های جزئی (∆xi) به صفر میل کند، یعنی ∫(از a به b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i. خواص: 1) اگر c یک عدد ثابت است و تابع f(x) در انتگرال پذیر است، پس ∫(از a به b) c*f(x)dx=c* .2) اگر توابع f 1 (x) b f 2 (x) در انتگرال پذیر باشند، پس مجموع آنها نیز انتگرال پذیر است ∫(از a تا b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫( از a تا b) f 1 (x)dx+∫(از a تا b) f 2 (x)dx. 3)∫(از a تا b) f(x)dx= -∫(از b تا a) f(x)dx. 4)اگر تابع f(x) روی و a قابل ادغام باشد

10. تعریف تابع متمایز z=f(x;y) در یک نقطه.تابع z=f(x;y) فراخوانی می شود قابل تمایزدر نقطه M(x;y)، اگر افزایش کل آن در این نقطه را بتوان به صورت: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y، که α=α(∆) نشان داد x;∆y)→0 و β=β(∆x;∆y)→0 برای ∆x→0 و ∆y→0.

12. خاصیت تابع متمایز پذیر: ارتباط بین تمایز پذیری تابع z=f(x,y) و وجود مشتقات جزئی در یک نقطه (فرمول بندی، اثبات). قضیه: اگر تابعی در یک نقطه قابل تفکیک باشد، در این نقطه مشتقات جزئی محدودی وجود دارد، A و B از نظر عددی برابر هستند با توجه به: Δz=AΔx+BΔy+0(ρ) ثابت کنید: Ǝ(δz/δx(x 0 ; y 0)=A اثبات: اجازه دهید x 0 →Δx، y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+0(│x│). ρ=√(Δx 2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx. LimΔx→0 (Δ x z/Δx)=lim=A. δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. به طور مشابه: Y 0 →Δy، x=x 0 => Δ y Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

بلیط شماره 12

اثبات

بلیط شماره 13

2. مسئله مساحت ذوزنقه منحنی که منجر به مفهوم انتگرال معین بر روی یک قطعه می شود. تعریف انتگرال معین روی یک قطعه. اجازه دهید تابع y=f(x)≥0 روی قطعه داده شود. شکلی که در بالا با نمودار تابع y=f(x)، در پایین با محور Ox و در سمت آن با خطوط مستقیم x=a و x=b محدود شده باشد ذوزنقه منحنی نامیده می شود. بیایید مساحت این ذوزنقه را پیدا کنیم. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. با کاهش تمام مقادیر Δx i، دقت تقریب ذوزنقه منحنی با شکل پلکانی و دقت فرمول حاصل افزایش می یابد. بنابراین، برای مقدار دقیق مساحت S یک ذوزنقه منحنی، حد S را می گیریم که مساحت شکل پلکانی Sn زمانی که n بدون حد افزایش می یابد به آن میل می کند به طوری که λ=maxΔx i →0: S=lim n →∞ Sn=lim n→∞(λ→0 ) Σf(c i)Δx i، یعنی S=∫(از a تا b) f(x)dx. بنابراین، انتگرال معین یک تابع نامشخص از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است.اگر مجموع انتگرال Sn دارای حد I باشد که نه به روش تقسیم قطعه به قطعات عددی و نه به با انتخاب نقاط موجود در آنها، عدد I را انتگرال معین تابع y=f(x) روی قطعه می نامند و با ∫(از a تا b) f(x)dx نشان داده می شود. بنابراین، ∫(از a تا b) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i.

17. صفحه مماس و نرمال به سطح (تعریف).هواپیمای مماسبه سطحی در نقطه M، صفحه ای که از این نقطه از سطح می گذرد نامیده می شود اگر زاویه بین این صفحه و سکانسی که از نقطه M می گذرد و هر نقطه دیگر M 1 سطح به صفر میل کند همانطور که M به M میل می کند. 1. معمولی به سطحدر نقطه M خط مستقیمی است که از این نقطه عمود بر صفحه مماس عبور می کند.

بلیط شماره 14

5. قضیه تخمین انتگرال معین بر پاره (فرمول بندی، برهان، معنای هندسی). تخمین انتگرال. اگر m و M به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع y=f(x) در قطعه باشند، (a اثبات. از آنجایی که برای هر x∈ m≤f(x)≤M داریم، پس ∫(از a تا b) mdx≤ ∫(از a تا b) f(x)dx≤∫(از a تا b) Mdx. دریافت می کنیم: m(b-a)≤∫(از a تا b) f(x)dx≤M(b-a). معنی هندسی. مساحت یک ذوزنقه منحنی بین ناحیه مستطیل هایی که قاعده آنها و ارتفاع آنها m و M است محصور شده است.

بلیط شماره 15

بلیط شماره 16

21. مشتق تابع u=u(x;y;z) در جهت l (تعریف).حد LimΔl→0(Δu/Δl) نامیده می شود مشتق تابع u(x;y;z) در جهت بردار lدر نقطه ای با مختصات (x;y;z).

22. گرادیان تابع u=u(x;y;z) در یک نقطه (تعریف).بردار با مختصات (δu/δx؛ δu/δy؛ δu/δz) نامیده می شود

بلیط شماره 17

7. انتگرال با حد بالایی متغیر. قضیه مشتق انتگرال با حد بالایی متغیر (فرمول بندی، اثبات). مشتق یک انتگرال معین با توجه به حد بالایی متغیر برابر است با انتگرالی که در آن متغیر انتگرال با این حد جایگزین می شود، یعنی (∫(از a تا x) f(t)dt)" x =f (ایکس). اثبات. طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس داریم: ∫(از a تا x) f(t)dt=F(t)|(از a تا x)=F(x)-F(a). بنابراین، (∫(از a تا x) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). انتگرال معین با حد بالایی متغیر یکی از ضد مشتقات انتگرال است.

افزایش کامل مداوم مداوم

بلیط شماره 18

1. تابع ضد مشتق. قضیه تفاوت بین دو ضد مشتق (با اثبات). انتگرال نامعین: تعریف، ساده ترین ویژگی های انتگرال نامعین (با اثبات یکی از آنها). تابع F(x) فراخوانی می شود تابع ضد مشتق f(x) در بازه (a;b)، اگر برای هر x∈(a;b) برابری F"(x)=f(x) برقرار است. قضیه. اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) روی (a;b) باشد، مجموعه تمام پاد مشتق‌ها برای f(x) با فرمول F(x)+C به دست می‌آید، که در آن C= پایان اثبات. تابع F(x)+C پاد مشتق f(x) است. در واقع، (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). فرض کنید Ф(x) یک تابع ضد مشتق دیگر f(x)، متفاوت از F(x) باشد. Ф"(x)=f(x). سپس برای هر x∈(a;b) داریم (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x)-f(x)=0. و این بدان معنی است که Ф(x)-F(x)=C، C=const. بنابراین، Ф(x)=F(x)+C. مجموعه تمام توابع ضد مشتق F(x)+C برای f(x) نامیده می شود. انتگرال نامعینتابع f(x) و با نماد ∫f(x)dx نشان داده می شود. خواص: 1) دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر انتگرال است و مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. و (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) انتگرال نامعین دیفرانسیل فلان تابع برابر است با مجموع از این تابع و یک ثابت دلخواه: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع پیوسته برابر است با مجموع جبری انتگرال های مجموع توابع: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (عدم تغییر فرمول یکپارچه سازی). اگر ∫f(x)dx=F(x)+C، پس ∫f(u)du=F(u)+C، که در آن u=φ(x) یک تابع دلخواه با مشتق پیوسته است.

22. گرادیان تابع u=u(x;y;z) در یک نقطه (تعریف، خواص). رابطه بین مشتق جهت و گرادیان یک تابع (منطقی). بردار با مختصات (δu/δx؛ δu/δy؛ δu/δz) نامیده می شود گرادیان تابع u=f(x;y;z)و با gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz) نشان داده می شود. gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. خواص: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU، که در آن u*v حاصل ضربات اسکالر بردارهای u و v هستند. ارتباط. اجازه دهید تابع u=u(x;y;z) و میدان گرادیان gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k داده شود. سپس مشتق Δu/Δl در جهت برخی از بردار l برابر است با طرح ریزی بردار GradU بر بردار l.

بلیط شماره 19

4. تعریف انتگرال معین روی یک قطعه. ویژگی های اساسی یک انتگرال معین روی یک قطعه (با اثبات یکی از آنها). با یک انتگرال معیندر قسمتی از تابع f(x)، حد مجموع انتگرال Σf(c i)Δx i نامیده می شود اگر این حد وجود داشته باشد و به تقسیم قطعه به قطعات یا به انتخاب نقاط t بستگی ندارد. در داخل هر یک از قطعات، مشروط بر اینکه طول بزرگترین بخش های جزئی (∆xi) به صفر میل کند، یعنی ∫(از a به b) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i. خواص: 1) اگر c یک عدد ثابت است و تابع f(x) در انتگرال پذیر است، پس ∫(از a به b) c*f(x)dx=c* . اثباتبیایید مجموع انتگرال تابع c*f(x) را بسازیم. ما Σσ*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i داریم. سپس lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(از a تا b) f(x)dx. نتیجه می شود که تابع с*f(x) قابل انتگرال است و فرمول ∫(از a تا b) с*f(x)dx= с*∫(از a تا b) f(x)dx.2) اگر توابع f 1 (x) b f 2 (x) در انتگرال پذیر هستند، سپس مجموع آنها انتگرال پذیر است و ∫(از a تا b) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(از a تا b ) f 1 (x)dx+∫(از a تا b) f 2 (x)dx. 3)∫(از a تا b) f(x)dx= -∫(از b تا a) f(x)dx. 4)اگر تابع f(x) روی و a قابل ادغام باشد

17. صفحه مماس و نرمال به سطح (تعریف). قضیه وجود صفحه مماس (فرمول بندی، اثبات). هواپیمای مماسبه سطحی در نقطه M، صفحه ای که از این نقطه از سطح می گذرد نامیده می شود اگر زاویه بین این صفحه و سکانسی که از نقطه M می گذرد و هر نقطه دیگر M 1 سطح به صفر میل کند همانطور که M به M میل می کند. 1. معمولی به سطحدر نقطه M خط مستقیمی است که از این نقطه عمود بر صفحه مماس عبور می کند. قضیه. اگر δF/δx; δF/δy; δF/δz در مجاورت نقطه Mo تعریف می شوند و در خود نقطه M 0 پیوسته هستند و در عین حال ناپدید نمی شوند، سپس تمام خطوط مماس به خطوط روی سطح در یک صفحه قرار می گیرند. اثبات. L: سیستم (x=x(t)؛ y=y(t)؛ z=z(t)). خط مماس (M 0 ;P) y=(x"(t 0)؛ y"(t o)؛ z"(t 0)). L∈Q (سطح). F(x(t)، y(t) ، z(t))=0 یک تابع مختلط از متغیر t است. ما از قانون تمایزپذیری یک تابع مختلط استفاده می کنیم: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt )+(δF/δz)*(dz/dt)=0؛ (δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+ (δF(M 0)/δz) *z"(t 0)=0; g=(x"(t 0)، y"(t 0)، z"(t 0))؛ نشان دهنده n=(δF(M 0)/δx؛ δF(M 0)/δy؛ δF(M 0) /δz)؛ n⊥g از آنجایی که تعداد نامتناهی از خطوطی که روی سطح قرار دارند را می توان از طریق یک نقطه معین ترسیم کرد، و تعداد نامتناهی خطوط مماس بر آنها، بنابراین همه خطوط مماس در یک صفحه قرار دارند.

بلیط شماره 20

9. افزایش کامل تابع z=f(x;y). پیوستگی تابع z=f(x;y) در یک نقطه (دو تعریف).اجازه دهید تابع z=f(x;y) داده شود. بیایید به متغیر مستقل x یک افزایش ∆x و به متغیر y یک افزایش ∆y بدهیم. سپس افزایش کامل∆z تابع با برابری تعیین می شود: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) تابع z=f(x;y) فراخوانی می شود مداومدر نقطه M 0 (x 0 ;y 0)∈ D(z)، اگر حد آن در این نقطه با مقدار تابع در این نقطه منطبق باشد، یعنی. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0;y 0). 2) تابع z=f(x;y) مداومدر یک مجموعه اگر در هر نقطه از این مجموعه پیوسته باشد

بلیط شماره 21

21. مشتق تابع u=u(x;y;z) در جهت l (تعریف، فرمول محاسبه، مشتق فرمول محاسبه). حد LimΔl→0(Δu/Δl) نامیده می شود مشتق تابع u(x;y;z) در جهت بردار lدر نقطه ای با مختصات (x;y;z).Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ فرض کنید که تابع u(x;y;z) پیوسته است و مشتقات پیوسته ای نسبت به آرگومان های خود در حوزه D دارد: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+ E 1 Δx + E 2 Δy + E 3 Δz، که در آن E 1، E 2، E 3 به عنوان Δl→0 به صفر تمایل دارند. اجازه دهید کل تساوی را بر Δl تقسیم کنیم. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E 3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. برابری را می توان به صورت زیر نشان داد: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. با حرکت به سمت حد، Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ را بدست می آوریم.

بلیط شماره 22

20. نشانه ی کافی از وجود یک منتهی از تابع z=f(x;y). (جمله بندی).اجازه دهید در یک نقطه ثابت (X 0 ;Y 0) و برخی از همسایگی های آن تابع f(x;y) مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم را شامل شود. اجازه دهید در نقطه (X 0 ;Y 0) مقادیر A=f"" xx (X 0 ;Y 0)، B=f"" xy (X 0 ;Y 0)، C=f"" را محاسبه کنیم. yy (X 0 ;Y 0). اجازه دهید Δ=|AB را نشان دهیم. BC|=AC-B^2. سپس: 1) اگر Δ> 0، آنگاه تابع f(x;y) در نقطه (X 0 ;Y 0) یک اکستروم دارد: حداکثر اگر A<0; минимум, если A>0; 2) اگر Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

بلیط شماره 23

17. صفحه مماس به سطح (تعریف).هواپیمای مماسبه سطحی در نقطه M، صفحه ای که از این نقطه از سطح می گذرد نامیده می شود اگر زاویه بین این صفحه و سکانسی که از نقطه M می گذرد و هر نقطه دیگر M 1 سطح به صفر میل کند همانطور که M به M میل می کند. 1.

18. معادلات یک صفحه مماس بر سطحی که به صراحت مشخص شده استبه طور مشخص. z=f(x;y) در نقطه Mo(Xo;Yo;Zo). K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

بلیط شماره 24