تست بر روی معادلات نمایی و لگاریتمی. تست ریاضی با موضوع معادلات لگاریتمی و نامساوی

1 از 22

شرح ارائه توسط اسلایدهای جداگانه:

اسلاید شماره 1

کتابچه راهنمای علمی جبر موضوع: "معادلات لگاریتمی و نمایی و نابرابری ها" تکمیل شده توسط: Manuilova L.N. - معلم ریاضیات MBOU دبیرستان شماره 76، Izhevsk Udmurtia

اسلاید شماره 2

مطالب: فصل 1. 1.1. مفهوم لگاریتم 1.2. خواص لگاریتم 1.3. معادلات لگاریتمیآ. بخش تئوریب. مثال 1.4. نابرابری های لگاریتمی الف. بخش نظری ب. مثال ها فصل 2. 2.1. توان یک عدد مثبت 2.2 است. تابع نمایی 2.3. معادلات نماییالف. بخش نظری ب. مثالها 2.4. نابرابری های نمایی الف. بخش نظری ب. مثال ها فصل 3. 3.1. تست مبحث معادلات لگاریتمی و نابرابری ها I سطح پیچیدگی II سطح پیچیدگی III سطح پیچیدگی 3.2. تست با موضوع معادلات نمایی و نابرابری ها سطح پیچیدگی اول سطح پیچیدگی 3 سطح پیچیدگی

اسلاید شماره 3

1.1 مفهوم لگاریتم y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0، a ≠ 0) یک عدد n است به طوری که b = an لگاریتم یک عدد مثبت b به مبنای a (a > 0,a ≠ 1) به صورت زیر نشان داده می شود: n = لوگا b از تعریف لگاریتم به وضوح به این ترتیب برای a > 0، a ≠ 1، b > 0: a Loga b = b

اسلاید شماره 4

تابع لگاریتمی y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x تابع y = لوگا x را تابع لگاریتمی می نامند. ویژگی های تابع y = لوگا x، برای a > 0: پیوسته و افزایشی در بازه (0;+∞); اگر x→+∞، سپس y→+∞؛ اگر x→0، سپس y→ -∞. از آنجایی که loga1=0، پس از ویژگی 1 نتیجه می شود: اگر x > 1، آنگاه y > 0; اگر 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1، سپس y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

اسلاید شماره 5

فرض کنید a، M و N اعداد مثبت با a ≠ 1 باشند و k یک عدد واقعی است. سپس برابری ها صادق هستند: 1. لوگا (M N) = لوگا M + لگا N - لگاریتم حاصلضرب اعداد مثبت برابر با مجموعلگاریتم این اعداد 2. لوگا M = لوگا M – لوگا N - لگاریتم ضریب اعداد مثبت N برابر است با اختلاف لگاریتم های تقسیم کننده و مقسوم علیه. 3. لوگا Mk = k · لوگا M - لگاریتم توان یک عدد مثبت برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم این عدد. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - فرمول تبدیل لگاریتم از یک logb a logb a به پایه دیگر. موارد منفرد: 1. log10 b = log b - لگاریتم یک عدد مثبت b به پایه 10 نامیده می شود. لگاریتم اعشاریاعداد ب. 2. loge b = ln b - لگاریتم یک عدد مثبت b به پایه e نامیده می شود لگاریتم طبیعیاعداد b 1.2 خواص لگاریتم

اسلاید شماره 6

1. بگذارید a یک عدد مثبت معین باشد نه برابر 1، b یک عدد واقعی معین باشد. سپس معادله loga x = b را ساده ترین معادله لگاریتمی می نامند. به عنوان مثال، معادلات a) log3 x = 3 ; (1) ب) log⅓ x = -2 ; (2) ج) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) ساده ترین معادلات لگاریتمی هستند. با تعریف لگاریتم، اگر عدد x0 برابری عددی لوگا x = b را برآورده کند، عدد x0 ab است و این عدد x0 = ab تنها عدد است. بنابراین، برای هر عدد واقعی b، معادله لوگا x = b یک ریشه منحصر به فرد x0 = ab دارد. 2. معادلاتی که پس از جایگزینی مجهول به ساده ترین معادلات لگاریتمی تبدیل می شوند: الف) log5 (4x – 3) = 2; (4) ب) 2 + 1 = -1 ; (5) log (3x + 1) + log0.01 log (3x + 1) 1.3 معادلات (بخش نظری)

اسلاید شماره 7

1.3 مثال log3 x = 3 اجازه دهید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: log3 x = log3 27 سپس واضح است که این معادله دارای یک ریشه واحد x0 = 27 است. پاسخ: 27. ب) log1/3 x = -2 این معادله یک ریشه واحد دارد x0 = ( ⅓)-2 =9 پاسخ: 9. ج) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) با کاهش همه لگاریتم ها به یک پایه، بازنویسی می کنیم معادله به صورت: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 از آنجایی که هر جمله از مجموع محصور در پرانتز مثبت است، مجموع برابر با صفر نیست. بنابراین معادله (1) و بنابراین معادله (2) معادل معادله log25 x = 0 است که دارای یک ریشه واحد x0 = 1 است. بنابراین معادله (1) دارای یک ریشه واحد x0 = 1 است. پاسخ: 1 . a، b - ساده ترین معادلات. c معادله ای است که پس از تبدیل به ساده ترین log تبدیل می شود. معادله

اسلاید شماره 8

1.3 مثالهای الف) log5 (4x – 3) = 2 (1) با معرفی t = 4x – 3 جدید شناخته شده، معادله را به شکل log5 t = 2 بازنویسی می کنیم. این معادله دارای یک ریشه است t1 = 52 =25. برای یافتن ریشه معادله (1)، باید این معادله را حل کنید: 4x – 3 = 25. (2) دارای یک ریشه واحد x1 =7 است. بنابراین معادله (1) نیز دارای یک ریشه واحد x1=7 است. پاسخ: 7. ب) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log (3x + 1) معرفی یک مجهول جدید t = log (3x + 1) و با در نظر گرفتن log 0.01 = -2، معادله (1) را به این شکل بازنویسی می کنیم: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t پس از حل معادله منطقی (2)، متوجه می شویم که دارای دو ریشه t1 = -2 و t2 = است. 1. برای یافتن تمام ریشه های معادله (1)، باید ریشه های دو معادله log(3x + 1) = -2 و log(3x + 1) = 1 را با هم ترکیب کرد. معادله اول معادل معادله است. 3x + 1 = 10-2، که دارای یک ریشه واحد x1 = -0.33 است. معادله دوم معادل معادله 3x + 1 = 10 است که یک ریشه نیز دارد x2 = 3. پاسخ: -0.33 ; 3. a, b – معادلات با جایگزینی مجهول به ساده ترین کاهش می یابند

اسلاید شماره 9

1.4 نامعادلات (بخش نظری) بگذارید a یک عدد مثبت معین باشد نه برابر 1، b یک عدد واقعی معین باشد. سپس نابرابری ها: logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1، سپس تابع y = loga x در کل دامنه تعریف خود افزایش می یابد، یعنی. در بازه (0;+∞). بنابراین، برای هر عدد x > x0 درست است نابرابری عددی loga x > loga x0 و برای هر عدد x از بازه 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 و هر عدد واقعی b، مجموعه همه راه حل های نابرابری (3) بازه (x0 ;+ ∞) و مجموعه همه راه حل های نابرابری (4) بازه (0؛ x0) است. اگر 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 لوگا نابرابری عددی x درست است< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >لوگا x0. علاوه بر این، لوگا برابری x = لوگا x0 فقط برای x = x0 معتبر است. بنابراین، در 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

اسلاید شماره 10

1.4 نابرابری ها (بخش نظری) در هواپیمای مختصات xOy نمودارهای تابع y = لوگا x و y = b را در نظر بگیرید. خط مستقیم y = b نمودار تابع y = لوگا x را در یک نقطه واحد x0 = ab قطع می کند. اگر a > 1 باشد، برای هر x > x0 نقطه متناظر در نمودار تابع y = لوگا x بالای خط مستقیم y = b قرار دارد، یعنی. برای هر x > x0، مختصات مربوطه y = ax بزرگتر از رده ax0 است، و برای هر x از فاصله 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 نقطه مربوطه در نمودار تابع y = لوگا x زیر خط مستقیم y = b است و برای هر x از بازه های 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = لوگا x (0< a < 1) х0

اسلاید شماره 11

1.4 مثال ها اجازه دهید نابرابری log1/3 x > -2 را حل کنیم. (1) از آنجایی که -2 = log⅓ 9، پس نابرابری (1) را می توان به صورت log ⅓x > log ⅓ 9 (2) بازنویسی کرد زیرا ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) از آنجایی که ½ = log4 2، پس نابرابری (3) را می توان به صورت log4 x > log4 2 بازنویسی کرد (4) از آنجایی که 4 > 1، پس تابع y = log4 x در حال افزایش است. بنابراین، مجموعه تمام راه‌حل‌های نابرابری (4) و در نتیجه نابرابری (3)، بازه (2;+∞) است. پاسخ: (2;+∞). (شکل 1 را ببینید) x y 1 2 3 4 1 -1 0 شکل 1 y = ½ y = log4 x

اسلاید شماره 12

1.4 مثال ها اجازه دهید نابرابری log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5 را حل کنیم. (5) از آنجایی که log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x)، log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x)، سپس نابرابری (5) را می توان به صورت: (1 – 1.5 – ¼) log3 x > 1.5 یا به صورت log3 x بازنویسی کرد.< log3 1/9. (6) Так как 3 >1، سپس تابع y = log3 x در حال افزایش است. بنابراین، مجموعه تمام راه حل های نابرابری (6) و در نتیجه نابرابری (5)، بازه 0 است.< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

اسلاید شماره 13

2.1 توان یک عدد مثبت توان c شاخص منطقیبگذارید a یک عدد مثبت و p/q باشد عدد گویا(q ≥ 2). طبق تعریف، عدد a به توان p/q ریشه حسابی توان q از a به توان p است، یعنی. a p/q = q√ap . قضیه. بگذارید a یک عدد مثبت، p یک عدد صحیح، k و q باشد اعداد صحیح, q ≥ 2, k ≥ 2. سپس برابری های زیر درست هستند: a) ap/q = (a1/p)p ; ب) ap/q = a pk /qk ; ج) ap = a pq /q ; ویژگی های یک درجه با توان گویا قضیه 1. یک عدد مثبت a به یک درجه با هر توان گویا r مثبت است: ar > 0 قضیه 2. فرض کنید a یک عدد مثبت باشد و r1، r2 و r اعداد گویا هستند. سپس ویژگی‌های زیر درست هستند: 1. هنگام ضرب توان‌ها با توان‌های گویا از یک عدد مثبت، توان‌ها جمع می‌شوند: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. هنگام تقسیم توان ها با توان های گویا با یک عدد مثبت، توان ها کم می شوند: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. هنگام بالا بردن توانی با ضریب گویا عدد مثبت در درجه عقلانینماها ضرب می شوند: (a r1) r2 = a r1∙ r2. قضیه 3. فرض کنید a و b اعداد مثبت و r یک عدد گویا باشند. سپس خواص زیر یک درجه با توان گویا معتبر است: درجه ای با توان گویا حاصل ضرب اعداد مثبت برابر است با حاصلضرب توان های یکسان ضرایب: (ab)r = ar ∙ br . توان با یک توان گویا از ضریب اعداد مثبت برابر است با ضریب همان توانهای تقسیم کننده و مقسوم: (a / b)r = ar / br. قضیه 4. عدد a > 1 را بگذارید و r یک عدد گویا باشد. سپس ar > 1 برای r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1 و اعداد گویا r1 و r2 نابرابری r1 را برآورده می کنند< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

اسلاید شماره 14

2.2 تابع نمایی تابع y = a (1) را در نظر بگیرید که a > 0 و a ≠ 0 در مجموعه اعداد گویا. برای هر عدد گویا r یک عدد ar تعریف می شود. تابع (1) در حال حاضر روی مجموعه اعداد گویا به این صورت است. نمودار این تابع در سیستم مختصات x0y مجموعه ای از نقاط (x؛ ax) است که x هر عدد گویا است. برای یک > 1، این نمودار به صورت شماتیک در شکل (1) و برای 0 نشان داده شده است< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют تابع نماییبا پایه a.

اسلاید شماره 15

2.3 معادلات نمایی (قسمت نظری) 1. بگذارید a یک عدد مثبت معین با 1 نباشد، b یک عدد واقعی باشد. سپس معادله ax = b (1) را ساده ترین معادله نمایی می نامند. به عنوان مثال، معادلات 2x = 8، (1/3)x = 9، 25x = -25 ساده ترین معادلات نمایی هستند. ریشه (یا حل) یک معادله با x مجهول، عدد x0 است، با جایگزینی آن در معادله به جای x، برابری عددی صحیح به دست می آید. حل یک معادله یعنی یافتن تمام ریشه های آن یا نشان دادن اینکه هیچ کدام وجود ندارد. از آنجایی که ax0 > 0 برای هر عدد واقعی x0 که برابری عددی ax0 = b برای آن صادق است، مفرد x0 = لوگا b. بنابراین، معادله (1): برای b ≤ 0 هیچ ریشه ای ندارد. برای b > 0، یک ریشه واحد x0 = لوگا b دارد. 2. معادلاتی که پس از جایگزینی مجهول به ساده ترین معادلات نمایی تبدیل می شوند.

اسلاید شماره 16

2.3 مثالها اجازه دهید معادله (1/2)x = 2 (2) را حل کنیم زیرا 2 > 1، این معادله یک ریشه دارد x0 = log½ 2 = -1. پاسخ 1. بیایید معادله 3x = 5 را حل کنیم (3) از آنجایی که 5 > 0، این معادله دارای یک ریشه واحد است x0 = log3 5. پاسخ: log3 5. حل معادله 25x = -25 چون -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 این معادله اغلب به صورت ax = aα نوشته می شود، جایی که α = loga b. پس بدیهی است که تنها ریشه این معادله و بنابراین معادله (1) عدد α است. از آنجایی که معادله (2) را می توان به شکل (1/2)x = (1/2)-1 نوشت، پس تنها ریشه آن x0 = -1 است. از آنجایی که معادله (3) را می توان به صورت 3x = 3log 35 نوشت، تنها ریشه آن x0 = log3 5 است.

اسلاید شماره 17

2.3 مثال ها حالا اجازه دهید به معادلاتی نگاه کنیم که پس از تبدیل های ساده به معادلات نمایی ساده تبدیل می شوند. بیایید معادله 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) را حل کنیم زیرا 5x+2 = 25 5x، 5x+1 = 5 5x، پس معادله (4) را می توان به صورت 5x بازنویسی کرد ( 25 - 2 – 15) = 200 یا به صورت 5x = 52 (5) بدیهی است که معادله (5) و در نتیجه معادله (4) یک ریشه دارد x0 = 2. پاسخ: 2. حل معادله 4 3x - 9 2x = 0 (6) از آنجایی که 2x ≠ 0 برای هر عدد واقعی، سپس با تقسیم معادله (6) بر 2x، معادله 4 (3/2)x - 9 = 0، (7) معادل معادله (6) را به دست می آوریم. معادله (7) را می توان به صورت (3/2)x = (3/2)2 بازنویسی کرد. (8) از آنجایی که معادله (8) دارای یک ریشه واحد x0 = 2 است، پس معادله معادل (6) دارای یک ریشه واحد x0 = 2 است. پاسخ: 2.

اسلاید شماره 18

2.3 مثالها اجازه دهید معادله 9 را حل کنیم 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) با بازنویسی معادله (9) به شکل 34x2 – 8x + 3 = 1، مجهول جدیدی را معرفی می کنیم. از آنجایی که معادله (10 ) دارای یک ریشه t1 = 0 است، بنابراین برای یافتن ریشه های معادله (9) باید معادله 4x2 – 8x + 3 = 0 را حل کرد. این معادله دارای دو ریشه x1 = 1 است. /2، x2 = 3/2، بنابراین معادله (9) ریشه های یکسانی دارد. پاسخ: 1/2 ; 3/2. حال حل معادلاتی را در نظر بگیرید که پس از معرفی t مجهول جدید به معادلات درجه دوم یا گویا با t مجهول تبدیل شوند. بیایید معادله 4x - 3 2x + 2 = 0 را حل کنیم. (11) از آنجایی که 4x = (2x)2 است، پس معادله (11) را می توان به صورت (2x)2 - 3 2x + 2 = 0 بازنویسی کرد. با معرفی یک مجهول جدید t = 2x، یک معادله درجه دوم t2 - 3t + 2 = 0 به دست می آوریم که دارای دو ریشه t1 = 1، t2 = 2 است. بنابراین، برای یافتن تمام ریشه های معادله (11)، باید تمام ریشه های معادله (11) را با هم ترکیب کنیم. دو معادله 2x = 1 و 2x = 2 با حل این ساده ترین معادلات نمایی، متوجه می شویم که تمام ریشه های معادله (11) x1 = 0 هستند. x2 = 1. پاسخ: 0; 1 .

اسلاید شماره 19

2.4 نابرابری های نمایی (بخش نظری) بگذارید a یک عدد مثبت معین باشد نه برابر 1، b یک عدد واقعی معین باشد. سپس نامساوی ax > b (1) و ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3، 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 برای هر عدد واقعی x0، سپس برای b ≤ 0 نابرابری a x0 > b برای هر عدد واقعی x0 صادق است، اما یک عدد واقعی x0 وجود ندارد که نابرابری عددی a x0 برای آن صادق باشد.< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0، سپس نابرابری (1) و (2) را می توان به صورت ax > ax0 (1) و ax بازنویسی کرد.< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. از آنجایی که برای چنین تابعی y = ax در حال افزایش است، پس برای هر عدد x > > ax0، و برای هر عدد x > x0، نامعادله عددی ax صادق است.< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

اسلاید شماره 20

2.4 نابرابری های نمایی (بخش نظری) بنابراین، برای b > 0 و a > 1، مجموعه همه راه حل های نابرابری (3) بازه (x0 ;+∞) است، و مجموعه همه راه حل های نابرابری (4) است. بازه (-∞؛ x0)، که در آن x0 = لوگا b. اجازه دهید اکنون 0 باشد< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 محور نابرابری عددی درست است< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 و 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b و هیچ x وجود ندارد که نابرابری برای آن محور باشد< b . При b >0 خط مستقیم y = b نمودار تابع y = aх را در یک نقطه قطع می کند x0 = لوگا b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = تبر (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

اسلاید شماره 22

2.4 مثال ها نابرابری را 2x حل کنید< 8 . (1) Так как 8 >0، سپس نابرابری (1) را می توان به صورت 2x بازنویسی کرد< 23. (2) Так как 2 >1، سپس تابع y = 2x در حال افزایش است. بنابراین، راه حل های نابرابری (2) و بنابراین برای نابرابری (1)، همه x هستند< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0، سپس این نابرابری (3) را می توان به صورت (1/3) x بازنویسی کرد< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. پاسخ: (log⅓ 5؛ +∞). بیایید نابرابری را در نظر بگیریم که پس از جایگزینی مجهول، به ساده ترین نابرابری تبدیل می شود نابرابری نمایی. بیایید نابرابری 5 3x2 - 2x - 6 را حل کنیم< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1، پس همه راه حل های این نابرابری همه t هستند< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив نابرابری درجه دوم(6)، همه راه حل های آن را می یابیم: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

معادلات لگاریتمی، انواع و روش حل آنها تمرکز توجه: تمرکز توجه برابر N است. N = (تعداد پاسخ های صحیح) x 0.125 x 100%. آن را بنویسید مورد خاصفرمول های انتقال به لگاریتم پایه دیگر فرمول انتقال به لگاریتم پایه دیگر را بنویسید لگاریتم توان یک عدد و یک پایه برابر با چند است؟ لگاریتم پایه چیست؟ لگاریتم توان یک عدد چیست؟ لگاریتم ضریب چقدر است؟ لگاریتم محصول چیست؟ پاسخ سوال تعریف لگاریتم را فرموله کنید

در نظر بگیریم ترتیب متقابلنمودار تابع y = log a x (a > 0، a ≠ 1) و خط مستقیم y = b. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

معادلات لگاریتمی، انواع و روش‌های حل آن‌ها نتیجه‌گیری: نمودار تابع y = log a x (a > 0, a ≠ 1) و خط مستقیم y = b در یک نقطه قطع می‌شوند، یعنی. لاگ معادله a x = b، a > 0، a ≠ 1، x > 0 یک راه حل منحصر به فرد دارد x 0 = a b.

تعریف: معادله log a x = b، a > 0، a ≠ 1، x > 0 ساده ترین معادله لگاریتمی نامیده می شود. معادلات لگاریتمی، انواع و روش حل آنها مثال:

انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. تعریف: معادلات لگاریتمی آنهایی هستند که شامل یک مجهول در زیر علامت لگاریتم یا در پایه لگاریتم (یا هر دو) هستند. معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها

انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. ضمیمه: هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید در نظر گرفت: محدوده مقادیر مجاز لگاریتم: فقط مقادیر مثبت می توانند تحت علامت لگاریتم باشند. در پایه لگاریتم ها فقط مقادیر مثبت متفاوت از وحدت وجود دارد. خواص لگاریتم؛ عمل تقویت معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 1) ساده ترین معادلات لگاریتمی. پاسخ مثال شماره 1: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 2) معادلات لگاریتمی که به ساده ترین معادلات لگاریتمی تقلیل یافته اند. پاسخ مثال شماره 1: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 2) معادلات لگاریتمی که به ساده ترین معادلات لگاریتمی تقلیل یافته اند. جواب مثال شماره 2: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 2) معادلات لگاریتمی که به ساده ترین معادلات لگاریتمی تقلیل یافته اند. جواب مثال شماره 3: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 2) معادلات لگاریتمی که به ساده ترین معادلات لگاریتمی تقلیل یافته اند. جواب مثال شماره 4: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 3) معادلات لگاریتمی تقلیل به معادلات درجه دوم. پاسخ مثال شماره 1: راه حل:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 3) معادلات لگاریتمی تقلیل به معادلات درجه دوم. مثال شماره 2 پاسخ: راه حل: در محدوده یافت شده از مقادیر مجاز متغیر x، معادله را با استفاده از خواص لگاریتم تبدیل می کنیم. با در نظر گرفتن محدوده مقادیر قابل قبول، به دست می آوریم: 10; 100

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 4) معادلات لگاریتمی، تقلیل به معادلات منطقی. مثال شماره 1 پاسخ: راه حل: به متغیر x برگردیم

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 4) معادلات لگاریتمی، تقلیل به معادلات گویا. مثال شماره 2 پاسخ: راه حل: در محدوده یافت شده از مقادیر مجاز متغیر x، تبدیل می کنیم. معادله داده شدهو دریافت می کنیم: بیایید به متغیر x برگردیم:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 5) معادلات لگاریتمی با متغیر در پایه و زیر علامت لگاریتم. مثال شماره 1 پاسخ: راه حل: در محدوده یافت شده از مقادیر مجاز متغیر x، معادله را تبدیل می کنیم و به دست می آوریم: با در نظر گرفتن محدوده مقادیر مجاز متغیر x، به دست می آوریم:

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها انواع و روش های حل معادلات لگاریتمی. 5) معادلات لگاریتمی با متغیر در پایه و زیر علامت لگاریتم. مثال شماره 2 پاسخ: راه حل: در محدوده یافت شده مقادیر مجاز متغیر x معادله معادل مجموعه است: با در نظر گرفتن محدوده مقادیر مجاز متغیر x به دست می آید: 5; 6.

معادلات لگاریتمی، انواع و روش های حل آنها

هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها، از خواص لگاریتم ها و همچنین ویژگی های تابع لگاریتمی استفاده کنید.

y=log a x، a > 0، a 1:

1) دامنه تعریف: x > 0;

2) محدوده: y آر ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) برای a>1 تابع y=log a x برای 0 افزایش می یابد< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0، یعنی

a >1 و log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

هنگام انتقال از معادلات لگاریتمی (نابرابری) به معادلات (نابرابری) که دارای علامت لگاریتمی نیستند، باید محدوده مقادیر مجاز (APV) معادله اصلی (نابرابری) را در نظر گرفت.

مسائل و تست های مبحث "معادلات لگاریتمی"

معادلات لگاریتمی
درس: 4 تکلیف: 25 تست: 1
سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - نمایشی و تابع لگاریتمیدرجه 11
درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1
§5.1. حل معادلات لگاریتمی
درس: 1 وظایف: 38
§7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی، درجه 10
درس: 1 وظایف: 17
معادل سازی معادلات - معادلات و نابرابری ها پایه یازدهم
درس: 2 تکلیف: 9 تست: 1

هنگام حل معادلات لگاریتمی، در بسیاری از موارد لازم است از خواص لگاریتم یک محصول، ضریب یا درجه استفاده شود. در مواردی که در یک معادله لگاریتمی لگاریتمی با پایه های مختلف وجود دارد، استفاده از خواص مشخص شدهتنها پس از انتقال به لگاریتم با پایه های مساوی امکان پذیر است.

علاوه بر این، حل معادله لگاریتمی باید با یافتن محدوده مقادیر مجاز (O.D.Z.) آغاز شود. معادله داده شده، زیرا در طول فرآیند حل، ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. هنگام تکمیل راه حل، فراموش نکنید که ریشه های یافت شده مربوط به O.D.Z را بررسی کنید.

شما می توانید معادلات لگاریتمی را بدون استفاده از O.D.Z حل کنید. در این مورد، تأیید یک عنصر اجباری راه حل است.

مثال ها.

حل معادلات:

الف) log 3 (5x – 1) = 2.

راه حل:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x–1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9،
x = 2.

هدف اصلیهنگام کار با بلیط های ارائه شده:

به دانش‌آموزان بیاموزید که در حل معادلات و نابرابری‌های مربوطه وجه اشتراک و تفاوت‌ها را هنگام نوشتن پاسخ ببینند.
صرفه جویی در زمان؛
توانایی پیمایش در محتوای این مطالب.

اگر هدف اول سؤالاتی را ایجاد نکند، پس انداز در زمان بلافاصله احساس نمی شود. اگرچه کمبود زمان بود که بر ساختار بلیط تأثیر گذاشت. آنها بر اساس همان اصل تدوین شده اند. معادلات و نابرابری ها طوری چیده شده اند که برقراری تطابق بین آنها آسان تر باشد.

و علیرغم توصیه معلم: برای حل معادله و دنبال کردن سریع آن با حل نابرابری مربوطه، نیمی از دانش آموزان ترجیح دادند ابتدا تمام معادلات را از ستون اول حل کنند و سپس شروع به حل نامساوی کنند. هنگام نوشتن پاسخ به این نکته توجه کنید که به دلیل عدم وجود ریشه در معادله، نتیجه نمی شود که نابرابری راه حلی نداشته باشد.

هنگام گذراندن آزمون دوم، چنین مشکلی ایجاد نشد، زیرا بسیاری توانایی "دیدن" و مهارت های خاصی را توسعه داده بودند.

در هر بلیط، مواد به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که علاوه بر معادلات (نابرابری‌های) که با تعریف و ویژگی‌ها حل می‌شوند، معادلات (نابرابری‌هایی) نیز وجود داشته باشند که با فاکتورسازی حل می‌شوند. تغییر متغیرها و طبیعتاً این تصمیم تکرار می شود معادلات درجه دومو نابرابری های درجه دو

فقط 26 کار در بلیط ها وجود دارد. بنابراین، به دانش آموزان استانداردهای زیر ارائه شد: "5" - 26 ass. ، "4" - 19-25 الاغ. ، "3" - 14-18 الاغ. ، "2" - کمتر از 14 الاغ.

دانش آموزی که برای نمره "5" درخواست می کند باید زمان داشته باشد تا تمام معادلات و نابرابری ها را در طول درس حل کند. چهارده کار اول حداقل مورد نیاز است. البته می توان آزمون را دوباره انجام داد. اما توصیه می شود این کار را در مدت زمان تعیین شده انجام دهید.

هنگام آماده شدن برای آزمون یکپارچه دولتی، زمانی که مهارت های حل معادلات (نابرابری) قبلاً ایجاد شده است، می توان وظایف را جایگزین کرد. مثلاً اینها:

مجموع (محصول) ریشه های معادله را نشان دهید.
کوچکترین (بزرگترین) ریشه معادله را نشان دهید.
پیدا کردن کوچکترین (بزرگترین) راه حل عدد صحیح برای نابرابری.
مجموع (مضرب) جواب های اعداد صحیح نابرابری را پیدا کنید.

البته هر معلمی می تواند خودش به این لیست اضافه کند. بسته به کلاس، توجه بیشتر به برخی کارها و کمتر به برخی دیگر ضروری می شود.

بلیط ها را می توان هم برای آزمایش و هم برای کار مستقل استفاده کرد. هر بلیط از دو بلوک تشکیل شده است: یک سطح پایه از(سطح 1) و مرتفع (سطح 2). بلوک از دو بخش تشکیل شده است: معادلات و نابرابری ها که به دو ستون تقسیم می شوند تا دانش آموز راحت تر بتواند بین آنها مطابقت برقرار کند.

در زیر شش گزینه بلیط برای هر موضوع وجود دارد. پاسخ هایی به آنها داده شده است.

پیوست 1.معادلات لگاریتمی و نامساوی.

ضمیمه 2. معادلات و نابرابری های نمایی.

پیوست 3.پاسخ به بلیط در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل.