درجه را با توان گویا محاسبه کنید. خواص درجات، صورت‌بندی‌ها، برهان‌ها، مثال‌ها. ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

درجه ج شاخص منطقی

خاسیانوا تی.جی.

معلم ریاضی

مطالب ارائه شده برای معلمان ریاضی هنگام مطالعه مبحث "نما با توان منطقی" مفید خواهد بود.

هدف از مطالب ارائه شده: نشان دادن تجربه من از برگزاری یک درس با موضوع "نماینده با توان منطقی" برنامه کاریرشته "ریاضیات".

روش انجام درس با نوع آن مطابقت دارد - درسی در مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید. دانش و مهارت های پایه بر اساس تجربه قبلی به روز شد. حفظ اولیه، تثبیت و به کارگیری اطلاعات جدید. تلفیق و استفاده از مطالب جدید در قالب حل مسائلی انجام شد که من با پیچیدگی های مختلف آزمایش کردم و نتیجه مثبتی در تسلط بر موضوع داد.

در ابتدای درس اهداف زیر را برای دانش آموزان در نظر گرفتم: آموزشی، رشدی، آموزشی. در طول درس استفاده کردم راه های مختلففعالیت ها: پیشانی، فردی، جفتی، مستقل، تست. وظایف متمایز شد و امکان شناسایی در هر مرحله از درس، میزان کسب دانش را فراهم کرد. حجم و پیچیدگی وظایف مطابقت دارد ویژگی های سنیدانش آموزان. از تجربه من، مشق شب، مشابه مشکلات حل شده در کلاس، به شما امکان می دهد تا دانش و مهارت های به دست آمده را به طور قابل اعتمادی تثبیت کنید. در پایان درس، تامل انجام شد و کار تک تک دانش آموزان مورد ارزیابی قرار گرفت.

اهداف محقق شد. دانش آموزان مفهوم و ویژگی های یک درجه را با توان منطقی مطالعه کردند و یاد گرفتند که از این ویژگی ها هنگام حل مسائل عملی استفاده کنند. پشت کار مستقلنمرات در درس بعدی اعلام خواهد شد.

من معتقدم که روشی که من برای تدریس ریاضی استفاده می کنم می تواند توسط معلمان ریاضی استفاده شود.

موضوع درس: قدرت با توان گویا

هدف از درس:

شناسایی میزان تسلط دانش آموزان بر مجموعه ای از دانش ها و مهارت ها و بر اساس آن به کارگیری راهکارهای معین برای بهبود فرآیند آموزشی.

اهداف درس:

آموزشی:ایجاد دانش جدید در بین دانش آموزان مفاهیم اساسی، قوانین، قوانین برای تعیین درجه با یک شاخص منطقی، توانایی استفاده مستقل از دانش در شرایط استاندارد، در شرایط اصلاح شده و غیر استاندارد.

در حال توسعه:منطقی فکر کنید و اجرا کنید مهارت های خلاقانه;

بالا بردن:علاقه به ریاضیات را توسعه دهید، واژگان را با اصطلاحات جدید پر کنید، به دست آورید اطلاعات تکمیلیدر مورد دنیای اطراف ما صبر، پشتکار و توانایی غلبه بر مشکلات را در خود پرورش دهید.

    زمان سازماندهی

    به روز رسانی دانش مرجع

    وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند:

مثلا،

2. هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان، توان درجات کم می شود، اما پایه ثابت می ماند:


مثلا،

3. هنگام بالا بردن درجه به توان، توانها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند:


مثلا،

4. درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل:

مثلا،

5. درجه نصاب برابر است با نصاب درجات سود و مقسوم:


مثلا،

تمرینات با راه حل

معنی عبارت را پیدا کنید:

راه حل:

در این حالت، هیچ یک از خصوصیات یک درجه با توان طبیعی را نمی توان به صراحت اعمال کرد، زیرا همه درجات دارای پایه های متفاوتی هستند. بیایید برخی از قدرت ها را به شکل دیگری بنویسیم:

(درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل).


(وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند؛ وقتی یک درجه را به توان می آوریم، توان ها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند).

سپس دریافت می کنیم:

در این مثال، از چهار ویژگی اول یک درجه با توان طبیعی استفاده شده است.

جذر حسابی
- این نه یک عدد منفی، که مربع آن برابر است باآ,
. در
- اصطلاح
تعریف نشده است، زیرا هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن برابر با یک عدد منفی باشدآ.

دیکته ریاضی(8-10 دقیقه)

    گزینه

II. گزینه

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

آ)

ب)

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

آ)

ب)

2. محاسبه کنید

آ)

ب)

که در)

2. محاسبه کنید

آ)

ب)

V)

خودآزمایی(روی تخته برگردان):

ماتریس پاسخ:

№ گزینه / وظیفه

مشکل 1

مشکل 2

انتخاب 1

الف) 2

ب) 2

الف) 0.5

ب)

V)

گزینه 2

الف) 1.5

ب)

آ)

ب)

در 4

دوم شکل گیری دانش جدید

بیایید در نظر بگیریم که این عبارت چه معنایی دارد، کجا - عدد مثبت – یک عدد کسریو m-عدد صحیح، n-طبیعی (n›1)

تعریف: توان a›0 با توان گویاr = , متر-کل، n-طبیعی ( n›1) شماره تماس گرفته می شود.

بنابراین:

مثلا:

یادداشت:

1. برای هر a مثبت و هر عدد r گویا مثبت

2. وقتی
درجه عقلانیشمارهآمشخص نشده.

عباراتی مانند
منطقی نیست

3.اگر یک عدد مثبت کسری است
.

اگر کسری پس عدد منفی -معنی ندارد

مثلا: - معنی نداره

بیایید ویژگی های یک درجه با توان گویا را در نظر بگیریم.

بگذارید a >0، b>0. r، s - هر عدد گویا. سپس یک درجه با هر توان گویا دارای ویژگی های زیر است:

1.
2.
3.
4.
5.

III. تحکیم. شکل گیری مهارت ها و توانایی های جدید.

کارت های وظیفه در گروه های کوچک به شکل یک آزمون کار می کنند.

MBOU "Sidorskaya"

مدرسه جامع»

توسعه یک طرح کلی درس باز

در جبر در کلاس یازدهم با موضوع:

تهیه و اجرا شد

معلم ریاضی

اسخاکوا E.F.

طرح کلی درس آزاد جبر پایه یازدهم.

موضوع : "مدرک تحصیلی با توان منطقی."

نوع درس : یادگیری مطالب جدید

اهداف درس:

    دانش‌آموزان را با مفهوم مدرک با توان گویا و ویژگی‌های اساسی آن بر اساس مطالبی که قبلاً مطالعه شده‌اند (درجه با توان عدد صحیح) آشنا کنید.

    مهارت های محاسباتی و توانایی تبدیل و مقایسه اعداد با توان های گویا را توسعه دهید.

    توسعه سواد ریاضی و علاقه ریاضی در دانش آموزان.

تجهیزات : کارت های وظیفه، ارائه دانش آموز بر اساس مدرک با نشانگر عدد صحیح، ارائه معلم به درجه با نشانگر منطقی، لپ تاپ، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش.

در طول کلاس ها:

    زمان سازماندهی

بررسی تسلط بر مبحث تحت پوشش با استفاده از کارت های وظیفه فردی.

وظیفه شماره 1.

=2;

ب) =x + 5;

سیستم را حل کنید معادلات غیر منطقی: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

وظیفه شماره 2.

حل معادله غیر منطقی: = - 3;

ب) = x - 2;

حل سیستم معادلات غیر منطقی: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    موضوع و اهداف درس را به اشتراک بگذارید.

موضوع درس امروز ما این است: قدرت با توان منطقی».

    توضیح مطالب جدید با استفاده از مثال مطالبی که قبلا مطالعه شده است.

قبلاً با مفهوم درجه با توان عدد صحیح آشنا هستید. چه کسی به من کمک می کند تا آنها را به خاطر بسپارم؟

تکرار با استفاده از ارائه " درجه با توان عدد صحیح».

برای هر اعداد a، b و هر اعداد صحیح m و n برابری ها معتبر هستند:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a ب) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1 (a ≠ 0)

امروز مفهوم توان یک عدد را تعمیم می دهیم و به عباراتی که دارای توان کسری هستند معنی می دهیم. معرفی کنیم تعریفدرجه با توان گویا (ارائه "درجه با توان گویا"):

قدرت الف > 0 با توان گویا r = ، جایی که متر یک عدد صحیح است و n – طبیعی ( n > 1) با شماره تماس گرفت متر .

بنابراین، طبق تعریف ما آن را دریافت می کنیم = متر .

بیایید سعی کنیم این تعریف را هنگام تکمیل یک کار اعمال کنیم.

مثال شماره 1

من عبارت را به صورت ریشه یک عدد ارائه می کنم:

آ) ب) که در) .

حال بیایید سعی کنیم این تعریف را به صورت معکوس اعمال کنیم

II عبارت را به عنوان یک قدرت با توان منطقی بیان کنید:

آ) 2 ب) که در) 5 .

توان 0 فقط برای نماهای مثبت تعریف می شود.

0 r= 0 برای هر r> 0.

استفاده كردن این تعریف, خانه هاشماره 428 و 429 را تکمیل خواهید کرد.

اکنون اجازه دهید نشان دهیم که با تعریف درجه با توان گویا که در بالا فرموله شد، ویژگی های پایه درجه ها حفظ می شوند که برای هر توانمندی صادق است.

برای هر اعداد گویا r و s و هر مثبت a و b برابری های زیر برقرار است:

1 0 . آ r آ س =a r+s ;

مثال: *

20 . a r: a s =a r-s ;

مثال: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

مثال: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = آ r ب r ; 5 0 . ( = .

مثال: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

مثال استفاده همزمان از چندین ویژگی: * : .

    دقیقه تربیت بدنی

خودکارها را روی میز گذاشتیم، پشت ها را صاف کردیم و حالا به جلو می رسیم، می خواهیم تخته را لمس کنیم. اکنون آن را بلند کرده ایم و به راست، چپ، جلو، عقب متمایل شده ایم. تو دستانت را به من نشان دادی، حالا به من نشان بده که چگونه انگشتانت می توانند برقصند.

    کار بر روی مواد

اجازه دهید به دو ویژگی دیگر از توان ها با توان های گویا توجه کنیم:

6 0 . اجازه دهید r - عدد گویاو 0< a < b . Тогда

آ r < b rدر r> 0,

آ r < b rدر r< 0.

7 0 . برای هر عدد گویاrو ساز نابرابری r> سبه دنبال آن است

آ r> a rبرای یک > 1،

آ r < а rدر 0< а < 1.

مثال: اعداد را با هم مقایسه کنید:

و ; 2 300 و 3 200 .

    خلاصه درس:

امروز در درس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح را یادآوری کردیم، تعریف و ویژگی های پایه درجه با توان گویا را آموختیم و کاربرد این ماده نظری را در عمل در هنگام انجام تمرینات بررسی کردیم. توجه شما را به این نکته جلب می کنم که مبحث "نما با توان منطقی" اجباری است تکالیف آزمون دولتی واحد. در آماده سازی مشق شب (شماره 428 و شماره 429


بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.

پیمایش صفحه.

خواص درجات با توان طبیعی

با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:

  1. ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن.
  2. خاصیت توان های بهره با پایه های یکسان a m:a n =a m−n ;
  3. ویژگی توان محصول (a·b) n =a n ·b n، پسوند آن;
  4. خاصیت یک ضریب در درجه طبیعی(a:b) n =a n:b n ;
  5. افزایش درجه به توان (a m) n =a m·n، تعمیم آن ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. مقایسه درجه با صفر:
    • اگر a>0، آنگاه یک n>0 برای هر عدد طبیعی n.
    • اگر a = 0، آنگاه a n = 0.
    • اگر یک<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
  8. اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0 0 نابرابری a m >a n درست است.

بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. برای مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را به تفصیل بررسی کنیم.

    از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.

    اجازه دهید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های مشابه m ·a n را می توان به صورت ضربی نوشت. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.

    اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. انجام توان، داریم 2 2 · 2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32و 2 5 = 2·2·2·2·2=32، چون مقادیر مساوی به دست می آید، تساوی 2 2 · 2 3 = 2 5 صحیح است و خاصیت اصلی درجه را تأیید می کند.

    ویژگی اصلی یک درجه بر اساس خواص ضرب را می توان به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k اعداد طبیعی n 1 , n 2 , …, n k برابری درست است a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    مثلا، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.

    قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در فرمول بندی بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m اتفاق می افتد).

    اثبات خاصیت اصلی کسری به ما امکان می دهد تساوی را بنویسیم a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. از تساوی حاصل a m−n ·a n =a m و نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است. این ویژگی قدرت های ضریب با پایه های یکسان را ثابت می کند.

    بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های مشابه π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.

    حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: توان طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توان های a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .

    در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم . بر اساس خواص ضرب، آخرین حاصل ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد ، که برابر با a n · b n است.

    در اینجا یک مثال است: .

    این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصل ضرب k عامل به صورت نوشته می شود (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

    برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .

    اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.

    اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nو از تساوی (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب a n تقسیم بر b n است.

    بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

    حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.

    به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

    اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: .

    اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است . برای وضوح بیشتر، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

    بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.

    ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.

    حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و .

    کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

    بیایید به پایه های منفی درجه برویم.

    بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می دهیم، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس . برای هر یک از حاصل‌های شکل a·a برابر است با حاصل ضرب مدول اعداد a و a، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .

    در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه . همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    بیایید به ویژگی مقایسه توان ها با توان های طبیعی یکسان بپردازیم که فرمول زیر را دارد: از دو توان با توان های طبیعی یکسان، n کمتر از توانی است که پایه آن کوچکتر است و بزرگتر قدرتی است که پایه آن بزرگتر است. . بیایید آن را ثابت کنیم.

    نابرابری a n ویژگی های نابرابری هایک نابرابری قابل اثبات از شکل a n نیز صادق است (2.2) 7 و .

    باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده توان ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. فرمول بندیش کنیم از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، توانی که توان آن بزرگتر است بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.

    اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 0 به دلیل شرط اولیه m>n، به این معنی که در 0

    باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.

ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.

ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.

بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیرصفر a و b و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر صادق است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

  1. a m ·a n =a m+n ;
  2. a m:a n =a m−n ;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n =a m·n ;
  6. اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b−n ;
  7. اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، در 0 1 نابرابری a m >a n برقرار است.

وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این خصوصیات کار سختی نیست؛ برای انجام این کار کافی است از تعاریف درجات با توان طبیعی و عدد صحیح و همچنین از خصوصیات عملیات با اعداد حقیقی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهید که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس تساوی (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p) ·q، (a p) −q =a p·(−q) و (a -p) -q =a (-p)·(-q). بیایید آن را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.

اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی . با خاصیت ضریب به توان داریم . از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.

در ماقبل آخر از ویژگی‌های ثبت‌شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a −n >b−n که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است، معتبر است. . از آنجایی که به شرط الف 0 . حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.

آخرین خاصیت توان های دارای توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی ثابت می شود.

خواص قوا با شارح عقلی

ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. برای مثال:

اثبات خواص درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری و بر اساس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح است. اجازه بدهید شواهد ارائه کنیم.

با تعریف توانی با توان کسری و سپس . ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت یک درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و نشانگر مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود:

برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند:

بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد شرایط m<0 и m>0 بر این اساس. برای m>0 و a

به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از کجا، یعنی، و a p >b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q . ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به مخرج مشترک تقلیل دهیم، حتی اگر کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت دارد که از آن نتیجه می شود. سپس با خاصیت مقایسه توان ها با مبانی یکسان و توان های طبیعی در 0 1 - نابرابری a m 1 > a m 2 . این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و . و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0 0 – نابرابری a p >a q .

ویژگی های قدرت ها با نماهای غیر منطقی

از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. a p:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q =a p·q ;
  6. برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p b p ;
  7. برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q .

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توانمند p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

  • Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی
  • کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
  • گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

عبارات، تبدیل بیان

عبارات قدرت (عبارات با قدرت) و تبدیل آنها

در این مقاله در مورد تبدیل عبارات با قدرت صحبت خواهیم کرد. ابتدا، ما روی تبدیل‌هایی تمرکز می‌کنیم که با عباراتی از هر نوع، از جمله عبارات قدرت، مانند باز کردن پرانتز و آوردن اصطلاحات مشابه، انجام می‌شوند. و سپس تبدیل های ذاتی را به طور خاص در عبارات دارای درجه تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: کار با پایه و توان، استفاده از خواص درجه و غیره.

پیمایش صفحه.

عبارات قدرت چیست؟

اصطلاح "عبارات قدرت" عملاً در کتاب های درسی ریاضیات مدرسه ظاهر نمی شود، اما اغلب در مجموعه ای از مسائل ظاهر می شود، به ویژه مواردی که برای آماده سازی برای آزمون یکپارچه دولتی و آزمون دولتی واحد، به عنوان مثال، در نظر گرفته شده است. پس از تجزیه و تحلیل وظایفی که در آنها انجام هر عملی با عبارات قدرت ضروری است، مشخص می شود که عبارات قدرت به عنوان عباراتی حاوی قدرت در ورودی های خود درک می شوند. بنابراین، می توانید تعریف زیر را برای خود بپذیرید:

تعریف.

عبارات قدرتعباراتی هستند که دارای درجه هستند.

بدهیم نمونه هایی از عبارات قدرت. علاوه بر این، آنها را با توجه به چگونگی توسعه دیدگاه ها از یک درجه با یک شاخص طبیعی به یک درجه با ارائه خواهیم کرد شاخص واقعی.

همانطور که مشخص است، ابتدا با توان یک عدد با توان طبیعی آشنا می شود؛ در این مرحله، اولین عبارات توانی ساده از نوع 3 2، 7 5 +1، (2+1) 5، (0.1-) 4، 3 a 2 به نظر می رسد -a+a 2، x 3-1، (a 2) 3 و غیره.

کمی بعد، توان یک عدد با توان عدد صحیح مورد مطالعه قرار می گیرد که منجر به ظهور عبارات توانی با توان های صحیح منفی می شود، مانند موارد زیر: 3-2، , a -2 +2 b -3 +c 2 .

در دبیرستان به مدارج برمی گردند. در آنجا درجه ای با توان گویا معرفی می شود که مستلزم ظهور عبارات قدرت مربوطه است: , , و غیره در نهایت، درجاتی با توان غیر منطقی و عبارات حاوی آنها در نظر گرفته می شود: , .

موضوع به عبارات قدرت فهرست شده محدود نمی شود: متغیر بیشتر به توان نفوذ می کند و به عنوان مثال، عبارات زیر بوجود می آیند: 2 x 2 +1 یا . و پس از آشنایی با، عباراتی با توان ها و لگاریتم ها ظاهر می شوند، برای مثال x 2·lgx −5·x lgx.

بنابراین، ما به این سؤال پرداخته‌ایم که عبارات قدرت چه چیزی را نشان می‌دهند. در ادامه یاد خواهیم گرفت که آنها را تغییر دهیم.

انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت

با عبارات قدرت، می توانید هر یک از تبدیل هویت اصلی عبارات را انجام دهید. به عنوان مثال، می توانید براکت ها را گسترش دهید، جایگزین کنید عبارات عددیمقادیر آنها، عبارت های مشابه و غیره. طبیعتاً در این مورد لازم است رویه پذیرفته شده برای انجام اقدامات رعایت شود. بیایید مثال بزنیم.

مثال.

مقدار عبارت توان 2 3 ·(4 2 −12) را محاسبه کنید.

راه حل.

با توجه به ترتیب اجرای اکشن ها ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام دهید. در آنجا اولاً توان 4 2 را با مقدار آن 16 جایگزین می کنیم (در صورت لزوم ببینید) و ثانیاً تفاوت 16−12=4 را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

در عبارت به دست آمده، توان 2 3 را با مقدار 8 جایگزین می کنیم و پس از آن حاصل ضرب 8·4=32 را محاسبه می کنیم. این مقدار مورد نظر است.

بنابراین، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

پاسخ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

مثال.

عبارات را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b -7 -1 +2 a 4 b -7.

راه حل.

بدیهی است که این بیانشامل عبارات مشابه 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 است و می‌توانیم به آنها بدهیم: .

پاسخ:

3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 -1.

مثال.

یک عبارت را با قدرت ها به عنوان یک محصول بیان کنید.

راه حل.

می توانید با نمایش عدد 9 به عنوان توان 3 2 و سپس استفاده از فرمول ضرب اختصاری - تفاوت مربع ها با این کار کنار بیایید:

پاسخ:

تعدادی نیز وجود دارد تحولات هویتی، به طور خاص در عبارات قدرت ذاتی است. ما آنها را بیشتر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

کار با پایه و توان

درجاتی هستند که مبنا و/یا توان آنها فقط اعداد یا متغیرها نیستند، بلکه برخی عبارات هستند. به عنوان مثال، ورودی های (2+0.3·7) 5-3.7 و (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1) را می دهیم.

هنگام کار با چنین عباراتی، می توانید هم عبارت در پایه درجه و هم عبارت در توان را با یک عبارت یکسان در ODZ متغیرهای آن جایگزین کنید. به عبارت دیگر، طبق قوانینی که برای ما شناخته شده است، می توانیم به طور جداگانه پایه درجه و جداگانه را تبدیل کنیم. واضح است که در نتیجه این دگرگونی، عبارتی به دست می آید که برابر با عبارت اصلی است.

چنین دگرگونی هایی به ما این امکان را می دهد که عبارات را با قدرت ها ساده کنیم یا به اهداف دیگری که نیاز داریم دست یابیم. به عنوان مثال، در عبارت توان ذکر شده در بالا (2+0.3 7) 5-3.7، می توانید عملیاتی را با اعداد موجود در مبنا و توان انجام دهید که به شما امکان می دهد به توان 4.1 1.3 بروید. و پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به پایه درجه (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1)، یک عبارت ساده تر از 2·(x+) به دست می آوریم. 1) .

استفاده از ویژگی های درجه

یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با قدرت، برابری هایی است که منعکس می شوند. اجازه دهید موارد اصلی را یادآوری کنیم. برای هر اعداد مثبت a و b و اعداد حقیقی دلخواه r و s، ویژگی های توان های زیر درست است:

  • a r ·a s =a r+s ;
  • a r:a s =a r−s ;
  • (a·b) r =a r ·b r ;
  • (a:b) r =a r:b r ;
  • (a r) s =a r·s .

توجه داشته باشید که برای نماهای طبیعی، صحیح و مثبت، محدودیت های اعداد a و b ممکن است چندان سختگیرانه نباشد. به عنوان مثال، برای اعداد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n نه تنها برای a مثبت، بلکه برای منفی a و برای a=0 نیز صادق است.

در مدرسه، تمرکز اصلی هنگام تبدیل عبارات قدرت بر توانایی انتخاب ویژگی مناسب و اعمال صحیح آن است. در این حالت، پایه های درجه ها معمولاً مثبت هستند، که اجازه می دهد از خواص درجه ها بدون محدودیت استفاده شود. همین امر در مورد تبدیل عبارات حاوی متغیرها در مبانی قدرت - ناحیه صدق می کند ارزش های قابل قبولمتغیرها معمولاً به گونه ای هستند که پایه های روی آن فقط مقادیر مثبت را می گیرند که به شما امکان می دهد آزادانه از ویژگی های درجه استفاده کنید. به طور کلی، باید دائماً از خود بپرسید که آیا می توان در این مورد از هر خاصیت درجه استفاده کرد، زیرا استفاده نادرست از خواص می تواند منجر به کاهش ارزش آموزشی و سایر مشکلات شود. این نکات به تفصیل و همراه با مثال در مقاله تبدیل عبارات با استفاده از خصوصیات درجه مورد بحث قرار گرفته است. در اینجا به بررسی چند مثال ساده بسنده می کنیم.

مثال.

عبارت a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 را به صورت توان با پایه a بیان کنید.

راه حل.

ابتدا فاکتور دوم (a 2) -3 را با استفاده از خاصیت افزایش توان به توان تبدیل می کنیم: (a 2) -3 =a 2·(-3) =a -6. عبارت قدرت اصلی به شکل 2.5 ·a -6:a -5.5 خواهد بود. بدیهی است که باقی مانده است که از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده کنیم.
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a -3.5-(-5.5) =a 2.

پاسخ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

ویژگی های قدرت ها هنگام تبدیل عبارات قدرت هم از چپ به راست و هم از راست به چپ استفاده می شود.

مثال.

مقدار عبارت قدرت را پیدا کنید.

راه حل.

برابری (a·b) r =a r ·b r که از راست به چپ اعمال می‌شود، به ما امکان می‌دهد از عبارت اصلی به یک حاصل از شکل و بیشتر حرکت کنیم. و هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها با هم جمع می شوند: .

امکان تبدیل عبارت اصلی به روش دیگری وجود داشت:

پاسخ:

.

مثال.

با توجه به عبارت قدرت a 1.5 −a 0.5 −6، یک متغیر جدید t=a 0.5 معرفی کنید.

راه حل.

درجه a 1.5 را می توان به صورت 0.5 3 نشان داد و سپس بر اساس ویژگی درجه به درجه (a r) s =a r s، از راست به چپ اعمال می شود، آن را به شکل (a 0.5) 3 تبدیل می کند. بدین ترتیب، a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. اکنون معرفی یک متغیر جدید t=a 0.5 آسان است، t 3 −t−6 را دریافت می کنیم.

پاسخ:

t 3 −t−6 .

تبدیل کسرهای حاوی توان

عبارات قدرت می توانند شامل یا نمایش کسری با توان باشند. هر یک از تبدیل‌های اساسی کسرها که ذاتی در کسری از هر نوع باشد، به طور کامل برای چنین کسرهایی قابل استفاده است. یعنی کسرهایی که دارای توان هستند را می توان کاهش داد، به مخرج جدید تقلیل داد، با صورت آنها جداگانه و با مخرج جداگانه کار کرد و غیره. برای تشریح این کلمات، راه حل هایی برای چندین مثال در نظر بگیرید.

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

این عبارت قدرت یک کسری است. بیایید با صورت و مخرج آن کار کنیم. در صورت‌حساب، پرانتزها را باز می‌کنیم و عبارت به‌دست‌آمده را با استفاده از ویژگی‌های توان‌ها ساده می‌کنیم و در مخرج عبارت‌های مشابه را ارائه می‌کنیم:

و همچنین علامت مخرج را با قرار دادن منهای جلوی کسر تغییر می دهیم: .

پاسخ:

.

تقلیل کسرهای حاوی توان به مخرج جدید مشابه تقلیل کسرهای گویا به مخرج جدید انجام می شود. در این صورت یک عامل اضافی نیز پیدا می شود و صورت و مخرج کسر در آن ضرب می شود. هنگام انجام این عمل، شایان ذکر است که کاهش به مخرج جدید می تواند منجر به باریک شدن VA شود. برای جلوگیری از این اتفاق، لازم است که فاکتور اضافی برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی به صفر نرسد.

مثال.

کسرها را به مخرج جدید کاهش دهید: الف) به مخرج a، ب) به مخرج.

راه حل.

الف) در این مورد، تشخیص اینکه کدام ضریب اضافی به دستیابی به نتیجه مطلوب کمک می کند، بسیار آسان است. این ضریب 0.3 است، زیرا 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. توجه داشته باشید که در محدوده مقادیر مجاز متغیر a (این مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت است)، توان 0.3 از بین نمی رود، بنابراین، ما حق داریم که صورت و مخرج یک داده را ضرب کنیم. کسر با این عامل اضافی:

ب) با نگاهی دقیق تر به مخرج، متوجه خواهید شد

و با ضرب این عبارت در مجموع مکعب ها و یعنی . و این مخرج جدیدی است که باید کسر اصلی را به آن کاهش دهیم.

به این ترتیب ما یک عامل اضافی پیدا کردیم. در محدوده مقادیر مجاز متغیرهای x و y، عبارت ناپدید نمی شود، بنابراین، می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:

پاسخ:

آ) ، ب) .

همچنین هیچ چیز جدیدی در کاهش کسرهای حاوی توان وجود ندارد: صورت و مخرج به عنوان تعدادی عامل نشان داده می شوند و همان عوامل صورت و مخرج کاهش می یابد.

مثال.

کسر را کم کن: الف) ، ب) .

راه حل.

الف) اولاً صورت و مخرج را می توان با اعداد 30 و 45 کاهش داد که برابر با 15 است. همچنین بدیهی است که امکان کاهش x 0.5 +1 و by نیز وجود دارد . این چیزی است که ما داریم:

ب) در این حالت عوامل یکسان در صورت و مخرج بلافاصله قابل مشاهده نیستند. برای به دست آوردن آنها، باید تغییرات اولیه را انجام دهید. در این مورد، آنها عبارتند از فاکتورگیری مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع:

پاسخ:

آ)

ب) .

تبدیل کسرها به مخرج جدید و کسر کسر عمدتاً برای انجام کارها با کسرها استفاده می شود. اقدامات بر اساس قوانین شناخته شده انجام می شود. هنگام جمع (تفریق) کسرها، آنها به کاهش می یابند مخرج مشترک، پس از آن اعداد جمع می شوند (کاهش می شوند) اما مخرج ثابت می ماند. حاصل کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج ها است. تقسیم بر کسری ضرب در معکوس آن است.

مثال.

مراحل را دنبال کنید .

راه حل.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را کم می کنیم. برای این کار آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم که این است ، پس از آن اعداد را کم می کنیم:

حالا کسرها را ضرب می کنیم:

بدیهی است که می توان با توان x 1/2 کاهش داد که پس از آن داریم .

همچنین می توانید با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، عبارت توان را در مخرج ساده کنید: .

پاسخ:

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

بدیهی است که این کسر را می توان با (x 2.7 +1) 2 کاهش داد، این کسر را می دهد . واضح است که باید کار دیگری با قدرت های X انجام شود. برای انجام این کار، کسر حاصل را به یک محصول تبدیل می کنیم. این به ما این فرصت را می دهد که از ویژگی تقسیم قدرت با پایه های یکسان استفاده کنیم: . و در پایان فرآیند از آن حرکت می کنیم آخرین کاربه کسری.

پاسخ:

.

و این را هم اضافه کنیم که می توان و در بسیاری از موارد مطلوب است که با تغییر علامت مبدل، فاکتورهایی با توان منفی را از صورت به مخرج یا از مخرج به صورت منتقل کنیم. چنین تحولاتی اغلب اقدامات بعدی را ساده می کند. به عنوان مثال، عبارت قدرت را می توان با .

تبدیل عبارات با ریشه و قدرت

غالباً در عباراتی که به برخی تبدیل‌ها نیاز است، ریشه‌هایی با توان کسری نیز همراه با توان وجود دارد. برای تبدیل چنین عبارتی به نوع مناسب، در بیشتر موارد فقط به ریشه ها یا فقط به قدرت ها بروید. اما از آنجایی که کار با قدرت‌ها راحت‌تر است، معمولاً از ریشه‌ها به قدرت‌ها می‌روند. با این حال، توصیه می شود چنین انتقالی را زمانی انجام دهید که ODZ متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می دهد بدون نیاز به مراجعه به ماژول یا تقسیم ODZ به چندین بازه، ریشه ها را با قدرت جایگزین کنید (ما در این مورد به تفصیل در مورد بحث صحبت کردیم. انتقال مقاله از ریشه به توان و برگشت پس از آشنایی با درجه با توان گویا درجه c معرفی می شود. شاخص غیر منطقی، که به ما امکان می دهد در مورد یک مدرک با یک توان واقعی دلخواه صحبت کنیم. در این مرحله مدرسه شروع به تحصیل می کند تابع نمایی که به صورت تحلیلی با توانی به دست می آید که پایه آن یک عدد و توان آن یک متغیر است. بنابراین ما با عبارات توانی حاوی اعداد در پایه توان و در توان - عبارات با متغیر مواجه هستیم و طبیعتاً نیاز به انجام تبدیل این گونه عبارات احساس می شود.

باید گفت که تبدیل عبارات از نوع مشخص شده معمولاً باید هنگام حل انجام شود معادلات نماییو نابرابری های نمایی ، و این تبدیل ها بسیار ساده هستند. در اکثریت قریب به اتفاق موارد، آنها بر اساس ویژگی های مدرک هستند و در بیشتر موارد، با هدف معرفی یک متغیر جدید در آینده هستند. معادله به ما امکان می دهد آنها را نشان دهیم 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

اولاً، توان هایی که در نماهای آنها مجموع یک متغیر خاص (یا عبارت با متغیرها) و یک عدد است، با محصولات جایگزین می شوند. این برای اولین و آخرین عبارت عبارت در سمت چپ اعمال می شود:
5 2 x 5 1-3 5 x 7 x −14 7 2 x 7-1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

در مرحله بعد، هر دو طرف برابری با عبارت 7 2 x تقسیم می شوند، که در ODZ متغیر x برای معادله اصلی فقط مقادیر مثبت را می گیرد (این یک تکنیک استاندارد برای حل معادلات از این نوع است، ما نیستیم. اکنون در مورد آن صحبت می کنیم، بنابراین روی تغییر شکل های بعدی عبارات با قدرت تمرکز کنید:

اکنون می‌توانیم کسرهای دارای توان را لغو کنیم، که می‌دهد .

در نهایت، نسبت قدرت ها با توان های یکسان با توان های روابط جایگزین می شود و در نتیجه معادله ایجاد می شود. ، که معادل است . تغییرات ایجاد شده به ما امکان می دهد یک متغیر جدید را معرفی کنیم که راه حل را به اصلی کاهش می دهد معادله نماییبرای حل یک معادله درجه دوم

  • I. V. Boykov، L. D. Romanovaمجموعه ای از وظایف برای آماده سازی برای آزمون دولتی واحد. قسمت 1. پنزا 2003.



    • همچنین بخوانید:

    دسته بندی ها:

    محبوب: