یک مثلث قائم الزاویه حاوی تعداد زیادی وابستگی است. این باعث می شود که آن یک شی جذاب برای همه نوع باشد مسائل هندسی. یکی از رایج ترین مشکلات، یافتن هیپوتانوس است.

راست گوشه

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم باشد، یعنی. زاویه 90 درجه تنها در راست گوشهرا می توان بیان کرد توابع مثلثاتیاز طریق اندازه های طرفین. در یک مثلث دلخواه، ساختارهای اضافی باید ساخته شود.
در مثلث قائم الزاویه، دو ارتفاع از سه ارتفاع منطبق بر اضلاع، پا نامیده می شوند. ضلع سوم هیپوتنوز نامیده می شود. ارتفاعی که به سمت هیپوتنوز کشیده شده است تنها ارتفاعی در این نوع مثلث است که نیاز به ساخت اضافی دارد.

برنج. 1. انواع مثلث.

مثلث قائم الزاویه نمی تواند زوایای منفرد داشته باشد. همانطور که وجود دومی غیرممکن است زاویه راست. در این حالت، هویت مجموع زوایای یک مثلث نقض می شود که همیشه برابر با 180 درجه است.

هیپوتنوئوس

بیایید مستقیماً به سمت هیپوتنوز مثلث برویم. هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مثلث است. هیپوتانوس همیشه از هر یک از پاها بزرگتر است، اما همیشه کمتر از مجموع پاها است. این نتیجه ای از قضیه نابرابری مثلث است.

این قضیه بیان می کند که در یک مثلث هیچ ضلعی نمی تواند بزرگتر از مجموع دو ضلع دیگر باشد. فرمول دوم یا قسمت دوم قضیه وجود دارد: در یک مثلث، در مقابل ضلع بزرگتر، زاویه بزرگتر قرار دارد و بالعکس.

برنج. 2. مثلث قائم الزاویه.

در یک مثلث قائم الزاویه، زاویه اصلی، زاویه راست است، زیرا به دلایلی که قبلاً ذکر شد، نمی توان یک زاویه قائم دوم یا زاویه مبهم وجود داشت. این بدان معنی است که ضلع بزرگتر همیشه در مقابل زاویه راست قرار دارد.

مشخص نیست که چرا یک مثلث قائم الزاویه برای هر یک از اضلاع خود نام جداگانه ای دارد. در واقع، در مثلث متساوی الساقینطرف ها نیز نام های خود را دارند: طرف و پایه. اما دقیقاً برای پاها و هیپوتنوس هاست که معلمان به خصوص دوست دارند دس بدهند. چرا؟ از یک طرف، این ادای احترام به یاد یونانیان باستان، مخترعان ریاضیات است. آنها بودند که مثلث های قائم الزاویه را مطالعه کردند و همراه با این دانش، یک لایه کامل از اطلاعات را بر جای گذاشتند که بر اساس آن می توان ساخت علم مدرن. از سوی دیگر، وجود این نام ها، صورت بندی قضایا و هویت های مثلثاتی را بسیار ساده می کند.

قضیه فیثاغورس

اگر معلمی در مورد فرمول فرضیه مثلث قائم الزاویه بپرسد، به احتمال 90% منظورش قضیه فیثاغورث است. این قضیه بیان می کند: در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

برنج. 3. هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه.

توجه کنید که قضیه چقدر واضح و مختصر فرموله شده است. بدون استفاده از مفاهیم هیپوتنوز و پا نمی توان به چنین سادگی دست یافت.

قضیه دارای فرمول زیر است:

$c^2=b^2+a^2$ - که در آن c فرضیه، a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.

ما چه آموخته ایم؟

ما در مورد اینکه مثلث قائم الزاویه چیست صحبت کردیم. ما متوجه شدیم که چرا نام پاها و هیپوتونوس در وهله اول اختراع شد. ما به برخی از خصوصیات هیپوتنوز پی بردیم و با استفاده از قضیه فیثاغورث فرمول طول هیپوتنوز یک مثلث را ارائه کردیم.

در مورد موضوع تست کنید

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.6. مجموع امتیازهای دریافتی: 213.

دستورالعمل ها

زوایای مقابل پاهای a و b به ترتیب با A و B نشان داده می شوند. هیپوتنوس طبق تعریف، ضلع مثلث قائم الزاویه ای است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد (در حالی که هیپوتانوس با اضلاع دیگر زوایای تند تشکیل می دهد. مثلث). طول هیپوتانوس را با c نشان می دهیم.

شما نیاز خواهید داشت:
ماشین حساب.

از عبارت زیر برای پا استفاده کنید: a=sqrt(c^2-b^2)، اگر مقادیر هیپوتانوس و پای دیگر را می دانید. این عبارت از قضیه فیثاغورث می آید که می گوید مربع فرضیه مثلث برابر با مجموعمربع های پا عملگر sqrt مخفف گرفتن جذر است. علامت «^2» به معنای بالا بردن به توان دوم است.

اگر هيپوتنوس (c) و زاويه مقابل پاي مورد نظر را مي دانيد از فرمول a=c*sinA استفاده كنيد (اين زاويه را با A مشخص كرديم).
اگر هیپوتانوس (c) و زاویه مجاور پای مورد نظر را می دانید (این زاویه را با B نشان دادیم) از عبارت a=c*cosB برای پیدا کردن پا استفاده کنید.
ساق را با استفاده از فرمول a=b*tgA در حالتی که پایه b و زاویه مقابل پای مورد نظر داده شده است محاسبه کنید (ما پذیرفتیم که این زاویه را با A مشخص کنیم).

توجه داشته باشید:
اگر در مشکل شما پا به هیچ یک از روش های توصیف شده یافت نشد، به احتمال زیاد می توان آن را به یکی از آنها کاهش داد.

نکات مفید:
همه این عبارات از تعاریف شناخته شده توابع مثلثاتی به دست می آیند، بنابراین، حتی اگر یکی از آنها را فراموش کنید، همیشه می توانید به سرعت آن را با استفاده از عملیات ساده استخراج کنید. همچنین دانستن مقادیر توابع مثلثاتی برای رایج ترین زوایای 30، 45، 60، 90، 180 درجه مفید است.

قبل از یافتن هیپوتنوز مثلث، باید بدانید که این شکل چه ویژگی هایی دارد. بیایید موارد اصلی را در نظر بگیریم:

1. در یک مثلث قائم الزاویه هر دو زوایای حادمجموع برابر با 90 درجه خواهد بود.
2. پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با ½ اندازه هیپوتونوس خواهد بود.
3. اگر ساق برابر با ½ هیپوتنوز باشد، زاویه دوم همان مقدار - 30 درجه را خواهد داشت.

راه های مختلفی برای یافتن هیپوتنوس در مثلث قائم الزاویه وجود دارد. بیشترین راه حل سادهیک محاسبه از طریق پاها است. فرض کنید مقادیر پایه های اضلاع A و B را می دانید. سپس قضیه فیثاغورث به کمک می آید و به ما می گوید که اگر هر مقدار پا را مربع کنیم و داده های حاصل را جمع کنیم، متوجه خواهیم شد که هیپوتنوز برابر است با. بنابراین ما فقط باید مقدار ریشه مربع را استخراج کنیم:

به عنوان مثال، اگر پایه A = 3 سانتی متر و پایه B = 4 سانتی متر باشد، محاسبه به این صورت خواهد بود:

چگونه هیپوتانوس را از طریق یک زاویه پیدا کنیم؟

راه دیگر برای فهمیدن اینکه هیپوتانوس در یک مثلث قائم الزاویه چیست، محاسبه از طریق یک زاویه معین است. برای انجام این کار، باید مقدار را از طریق فرمول سینوس استخراج کنیم. فرض کنید اندازه ساق (A) و مقدار زاویه مقابل (α) را می دانیم. سپس کل محلول در یک فرمول موجود است: C=A/sin(α).

به عنوان مثال، اگر طول پا 40 سانتی متر و زاویه آن 45 درجه باشد، طول هیپوتنوس را می توان به صورت زیر بدست آورد:

مقدار مورد نیاز را می توان از طریق کسینوس یک زاویه مشخص نیز تعیین کرد. فرض کنید مقدار یک پا (B) و یک زاویه مجاور حاد (α) را می دانیم. سپس برای حل مسئله به یک فرمول نیاز دارید: C=B/ cos(α).

به عنوان مثال، اگر طول پا 50 سانتی متر و زاویه آن 45 درجه باشد، هیپوتنوس را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

بنابراین، ما به راه های اصلی برای یافتن هیپوتانوس در مثلث نگاه کردیم. هنگام حل یک مسئله، تمرکز بر داده های موجود مهم است، سپس یافتن کمیت مجهول بسیار ساده خواهد بود. شما فقط باید چند فرمول را بدانید و روند حل مسائل ساده و لذت بخش خواهد شد.

با دانستن یکی از پایه ها در یک مثلث قائم الزاویه، می توانید پایه دوم و هیپوتنوس را با استفاده از نسبت های مثلثاتی - سینوس و مماس یک زاویه شناخته شده پیدا کنید. از آنجایی که نسبت پای مقابل زاویه به هیپوتنوز برابر با سینوس این زاویه است، بنابراین برای یافتن هیپوتنوز باید ساق را بر سینوس زاویه تقسیم کنید. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

پایه دوم را می توان از مماس یک زاویه شناخته شده، به عنوان نسبت پایه شناخته شده به مماس پیدا کرد. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

برای محاسبه زاویه مجهول در مثلث قائم الزاویه، باید مقدار زاویه α را از 90 درجه کم کنید. β=90-α

محیط و مساحت یک مثلث قائم الزاویه را می توان بر حسب ساق و زاویه مقابل آن با جایگزین کردن عبارات به دست آمده قبلی برای پای دوم و هیپوتانوس در فرمول بیان کرد. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

شما همچنین می توانید ارتفاع را از طریق نسبت های مثلثاتی محاسبه کنید، اما در مثلث قائم مقام داخلی با ضلع a که آن را تشکیل می دهد. برای انجام این کار، باید ضلع a را به عنوان هیپوتانوز چنین مثلثی در سینوس زاویه β یا کسینوس α ضرب کنید، زیرا با توجه به هویت های مثلثاتیآنها معادل هستند. (شکل 79.2) h=a cos⁡α

میانه هیپوتنوز برابر است با نصف هیپوتنوز یا پای شناخته شده a تقسیم بر دو سینوس α. برای یافتن وسط پاها، فرمول ها را به شکل مربوط به اضلاع و زوایای شناخته شده کاهش می دهیم. (شکل 79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

از آنجایی که نیمساز یک زاویه قائمه در یک مثلث حاصل ضرب دو ضلع و ریشه دو است که بر مجموع این اضلاع تقسیم می شود، پس با جایگزینی یکی از پایه ها با نسبت قاعده شناخته شده به مماس، به دست می آوریم. عبارت زیر به همین ترتیب، با جایگزینی نسبت به فرمول دوم و سوم، می توانید نیمسازهای زوایای α و β را محاسبه کنید. (شکل 79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

خط وسط به موازات یکی از اضلاع مثلث کشیده می شود و در عین حال مثلث قائم الزاویه مشابه دیگری را با همان زوایای تشکیل می دهد که در آن تمام اضلاع به اندازه نصف مثلث اصلی هستند. بر این اساس، خطوط میانی را می توان توسط فرمول های زیر، فقط ساق و زاویه مقابل آن را می شناسد. (شکل 79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

شعاع دایره محاطی برابر است با اختلاف پایه ها و هیپوتنوز تقسیم بر دو و برای یافتن شعاع دایره محاطی باید افت فشار را بر دو تقسیم کنید. پایه دوم و هیپوتنوز را به ترتیب با نسبت پایه a به سینوس و مماس جایگزین می کنیم. (شکل 79.5، 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

پس از مطالعه موضوعی در مورد مثلث های قائم الزاویه، دانش آموزان اغلب تمام اطلاعات مربوط به آنها را فراموش می کنند. از جمله چگونگی یافتن هیپوتانوس، نه به ذکر است که چیست.

و بیهوده زیرا در آینده مشخص می شود که قطر مستطیل دقیقاً همین هیپوتانوس است و باید آن را پیدا کرد. یا قطر دایره با بزرگترین ضلع مثلثی که یکی از زوایای آن قائمه است منطبق است. و یافتن آن بدون این دانش غیرممکن است.

چندین گزینه برای یافتن هیپوتنوز مثلث وجود دارد. انتخاب روش به مجموعه داده های اولیه در مسئله کمیت ها بستگی دارد.

روش شماره 1: هر دو طرف داده می شود

این به یاد ماندنی ترین روش است زیرا از قضیه فیثاغورث استفاده می کند. فقط گاهی اوقات دانش آموزان فراموش می کنند که از این فرمول برای یافتن مربع هیپوتانوس استفاده می شود. این بدان معنی است که برای پیدا کردن خود ضلع، باید جذر را بگیرید. بنابراین، فرمول هیپوتانوس، که معمولا با حرف "c" نشان داده می شود، به صورت زیر خواهد بود:

c = √ (a 2 + b 2)، که در آن حروف "a" و "b" هر دو پایه یک مثلث قائم الزاویه را نشان می دهند.

روش شماره 2: ساق و زاویه مجاور آن مشخص است

برای اینکه یاد بگیرید چگونه هیپوتانوس را پیدا کنید، باید توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید. یعنی کسینوس. برای راحتی، فرض می کنیم که پایه "a" و زاویه α مجاور آن آورده شده است.

اکنون باید به یاد داشته باشیم که کسینوس زاویه یک مثلث قائم الزاویه برابر با نسبتدو طرف. صورت شامل مقدار ساق و مخرج حاوی هیپوتانوس خواهد بود. از این نتیجه می شود که دومی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

c = a / cos α.

روش شماره 3: یک پا و زاویه ای که در مقابل آن قرار دارد داده می شود

برای اینکه در فرمول ها گیج نشویم، بیایید نام این زاویه - β را معرفی کنیم و سمت را همان "a" بگذاریم. در این مورد، به تابع مثلثاتی دیگری نیاز خواهید داشت - سینوس.

مانند مثال قبل، سینوس برابر است با نسبت ساق به هیپوتنوز. فرمول این روش به شکل زیر است:

c = a / گناه β.

برای اینکه در توابع مثلثاتی گیج نشوید، می توانید یک یادداشت ساده را به خاطر بسپارید: اگر در یک مشکل هستید ما در مورد o pr Oزاویه مخالف، پس باید از آن استفاده کنید وخوب، اگر - آه pr ودراز کشیدن، سپس به Oسینوسی به اولین حروف صدادار در دقت کنید کلید واژه ها. آنها جفت تشکیل می دهند o-iیا و در مورد.

روش شماره 4: در امتداد شعاع دایره محدود شده

حال، برای اینکه بفهمید چگونه هیپوتانوس را پیدا کنید، باید ویژگی دایره ای را که به دور یک مثلث قائم الزاویه احاطه شده است را به خاطر بسپارید. به شرح زیر می خواند. مرکز دایره با وسط هیپوتنوز منطبق است. به بیان دیگر، بلندترین ضلع مثلث قائم الزاویه برابر با قطر دایره است. یعنی دو برابر شعاع. فرمول این مشکل به صورت زیر خواهد بود:

c = 2 * r، که در آن حرف r نشان دهنده شعاع شناخته شده است.

این همه است راه های ممکنچگونه هپوتنوز مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم برای هر کار خاص، باید از روشی استفاده کنید که برای مجموعه داده ها مناسب تر است.

نمونه کار شماره 1

شرط: در مثلث قائم الزاویه، وسط ها به دو طرف کشیده می شوند. طول یکی که به سمت بزرگتر کشیده شده است √52 است. میانه دیگر دارای طول √73 است. باید هیپوتانوس را محاسبه کنید.

از آنجایی که میانه ها در یک مثلث رسم می شوند، پاها را به دو قسمت مساوی تقسیم می کنند. برای راحتی استدلال و جستجوی نحوه یافتن هیپوتانوس، باید چندین نماد را معرفی کنید. بگذارید هر دو نیمه پای بزرگتر با حرف "x" و دیگری با "y" مشخص شود.

حال باید دو مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم که هیپوتنوس آنها میانه های شناخته شده است. برای آنها باید فرمول قضیه فیثاغورث را دو بار بنویسید:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

این دو معادله یک سیستم با دو مجهول را تشکیل می دهند. پس از حل آنها، یافتن پایه های مثلث اصلی و از بین آنها هیپوتونوس آن آسان خواهد بود.

ابتدا باید همه چیز را به قدرت دوم برسانید. معلوم می شود:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

از معادله دوم مشخص است که y 2 = 73 - 4x 2. این عبارت باید با عبارت اول جایگزین شود و "x" محاسبه شود:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.

پس از تبدیل:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 یا 15x 2 = 240.

از آخرین عبارت x = √16 = 4.

اکنون می توانید "y" را محاسبه کنید:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

با توجه به شرایط، معلوم می شود که پایه های مثلث اصلی برابر با 6 و 8 است. یعنی می توانید از فرمول روش اول استفاده کنید و هیپوتانوس را پیدا کنید:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

پاسخ: هیپوتانوز برابر با 10 است.

نمونه کار شماره 2

شرط: مورب رسم شده در مستطیل با ضلع کوتاهتر برابر با 41 را محاسبه کنید. اگر معلوم باشد که زاویه را به 2 به 1 تقسیم می کند.

در این مسئله، مورب یک مستطیل طولانی ترین ضلع در یک مثلث 90 درجه است. بنابراین همه چیز به چگونگی یافتن هیپوتانوس بستگی دارد.

مشکل از زاویه است. این بدان معنی است که شما باید از یکی از فرمول هایی که حاوی توابع مثلثاتی است استفاده کنید. ابتدا باید اندازه یکی از زوایای حاد را تعیین کنید.

بگذارید کوچکتر از زوایای مورد بحث در شرط α تعیین شود. سپس زاویه قائمه ای که بر قطر تقسیم می شود برابر با 3α خواهد بود. نماد ریاضی برای این به نظر می رسد:

از این معادله به راحتی می توان α را تعیین کرد. برابر 30 درجه خواهد بود. علاوه بر این، در مقابل ضلع کوچکتر مستطیل قرار خواهد گرفت. بنابراین به فرمولی که در روش شماره 3 توضیح داده شده است نیاز خواهید داشت.

هیپوتنوز برابر است با نسبت ساق به سینوس زاویه مقابل، یعنی:

41 / گناه 30º = 41 / (0.5) = 82.

پاسخ: افت فشار 82 است.