اگورووا ویکتوریا والریونا

معلم ریاضی

بالاترین رده صلاحیت

موضوع: «تحول هویت

عبارات لگاریتمی"

دانش و مهارت هایی که دانش آموزان پس از مطالعه این درس باید به آنها مسلط شوند:

تعریف لگاریتم یک عدد، هویت لگاریتمی اساسی، خواص لگاریتم را بدانید.

قادر به انجام تبدیل عبارات حاوی لگاریتم و محاسبه لگاریتم باشد.

ادبیات:

1. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10-11 موسسات آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 2001.

2. Kochagin V.V.، Kochagina M.V.، دوره آمادگی فشرده برای آزمون دولتی واحد. - M.: Eksmo، 2009.

3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S.، شبیه ساز جبری: کتابچه راهنمای دانش آموزان و متقاضیان. - M.: Ilexa، 2005.

4. گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات: منابع مرجع: کتابی برای دانش آموزان. - م.: آموزش و پرورش، 2001.

طرح درس:

در طول کلاس ها:

1) لگاریتم یک کلمه یونانی است که از 2 کلمه تشکیل شده است: "logos" - نسبت، "arithmos" - عدد. این بدان معناست که لگاریتم عددی است که نسبت را اندازه می گیرد. نشریه ای در سال 1614 گزارش داد که ناپیر لگاریتم ها را اختراع کرد. بعداً جداول لگاریتمی را تهیه کرد که امروزه به عنوان جداول برادیس برای ما شناخته می شوند. در کمتر از یک قرن، جداول در سراسر جهان گسترش یافته و به یک ابزار محاسباتی ضروری تبدیل شده اند. متعاقباً ، آنها به عنوان یک دستگاه مناسب ساخته شدند که روند محاسبه را بسیار تسریع می کند - یک قانون اسلاید که تا دهه هفتاد قرن بیستم استفاده می شد.

پیوست 1.

2) لگاریتم عدد مثبتببر اساس آ، و و بزرگتر از صفر است و مساوی یک نیست،توانی است که یک عدد باید به آن افزایش یابدآ برای دریافت شمارهب

این برابری، بیانگر تعریف لگاریتم، نامیده می شودهویت لگاریتمی پایه .

سی

یا 1

پ

پایه توان و پایه لگاریتم هفده است، یعنی با توجه به هویت لگاریتمی پایه، مقدار عبارت سه است.

بیایید به صورت شفاهی کار کنیم:

SCH
FIR-BELLE

در باره پایین دوم برابر با صفر نقطه پنج است، یعنی عبارت برابر است با جذر حسابی پنج.

پ

ضمیمه 2.

برابری یعنی که

از تعریف لگاریتم برابری های مهم زیر به دست می آید:

مثلا:

پ
پیوست 3.

بیایید به ادامه مطلب برویم تکالیف آزمون دولتی واحد:

پیوست 4.

3
) نماد و نام خاصی برای لگاریتم پایه ده وجود داردلگاریتم اعشاری .

L
تقویم پایهه تماس گرفتلگاریتم طبیعی .

ن
مثلا،

4) خواص زیر از تعریف لگاریتم به دست می آید. تمام خصوصیات فقط برای مقادیر مثبت متغیرهای موجود در زیر علائم لگاریتم فرموله و اثبات می شوند.

لگاریتم حاصل ضرب دو عدد مثبت به قاعده آ برابر با مجموعلگاریتم این اعداد با پایه یکسان.

TsOR 2

مثلا،

ز
تکلیف 1.

وظیفه 2.بیان را ساده کنید

که در
بیایید از راه حل مثال قبل استفاده کنیم. جایگزین خواهیم کرد

لطفاً توجه داشته باشید که لگاریتم مربع است، بنابراین مجموع باید مجذور شود. با استفاده از فرمول مربع مجموع، پرانتزها را باز می کنیم. اجازه دهید اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم.

5) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم تقسیم کننده و مقسوم علیه.

سی

به پایه توان و پایه لگاریتم توجه کنید - آنها یکسان هستند.

یا 3

آر

بیایید با استفاده از یک مثال به کاربرد این فرمول نگاه کنیم:

ز
تکلیف 1.مقدار عبارت if را پیدا کنید

وظیفه 2.مقدار را پیدا کنید بتوسط لگاریتم آن

6) لگاریتم یک توان به پایهآ ، برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم با استفاده از یک پایه.

TsOR 4

مثلا،

ز
تکلیف 1.محاسبه کنید اگر

بیایید بیان را ساده کنیم

فرمول

تماس گرفت فرمول انتقال به یک پایه جدید

ز

تکلیف 1.با استفاده از لگاریتم پایه 2 بیان کنید.

وظیفه 2.محاسبه

TsOR 5

TsOR 6

مثلا،

ز

تکلیف 1.محاسبه

ز
وظیفه 2.محاسبه

9) تبدیلات لگاریتمی را می توان تنها در مواردی شروع کرد کهاگر تمام خصوصیات لگاریتم را به خاطر داشته باشید. با تکرار آنها، وظایف تبدیل را در نظر خواهیم گرفت عبارات لگاریتمیاز طرف دیگر.

برای تبدیل مجموع یا تفاضل عبارات لگاریتمی، گاهی اوقات کافی است از تعریف لگاریتم و اغلب از خواص لگاریتم یک محصول یا ضریب استفاده کنیم.

ز
تکلیف 1.محاسبه

بیایید آن را به دو روش حل کنیم.

1 راه، با استفاده از تعریف لگاریتم:

روش 2، بر اساسخاصیت لگاریتم یک ضریب:

وظیفه 2.معنی عبارت را پیدا کنید

بیایید ابتدا فرمول را اعمال کنیملگاریتم محصول، سپس تعریف لگاریتم.

هویت لگاریتمی اصلی هنگام تبدیل عبارات حاوی لگاریتم به عنوان یک توان استفاده می شود. ایده چنین عملیاتی به دست آوردن است زمینه های برابرقدرت ها و پایه های لگاریتم

گاهی اوقات لازم است که بیان را تغییر دهیمبا خواص لگاریتم و با خواص درجه نیز با استفاده از فرمول انتقال به راحتی می توانید از یک پایه به پایه دیگر حرکت کنید. در موارد دیگر، چندین ویژگی باید اعمال شود.

ز
وظیفه 3.محاسبه

ز
تکلیف 4.معنی عبارت را پیدا کنید

وظیفه 5.معنی عبارت را پیدا کنید

ز
تکلیف 6.آن را به صورت اختلاف لگاریتم بیان کنید

ن
بزرگترین مشکل در تبدیل عبارات لگاریتمی تحت رادیکال است. در فرآیند تبدیل ها، لازم است که ماژول های عبارات لگاریتمی را در نظر بگیریم که برای حل آنها باید اعداد غیر منطقی یا یک عدد گویا و یک عدد غیر منطقی را با هم مقایسه کرد. ما به طور مداوم عمل خواهیم کرد. بیایید به بیان زیر رادیکال درونی نگاه کنیم.

بیایید آن را با عبارت اصلی جایگزین کنیم.

لازم به ذکر است که تبدیل عبارات لگاریتمی هنگام حل معادلات و نامساوی یا مطالعه توابع نیز قابل مشاهده است، بنابراین می توانند به صورت ضمنی در وظایف گروه B و C حضور داشته باشند.

10) جمع بندی سوالات:

لگاریتم به پایه 10 نامیده می شود

لگاریتم پایه

لگاریتم اصلی

لگاریتم طبیعی

لگاریتم اعشاری

2) چه ارزش هایی می تواند داشته باشد؟ایکس در بیان

مقدار تعریف نشده است

5) نسبتی بدهید که برای همه صادق استایکس ≠ 0 .

6) نسبت صحیح فرمول انتقال به پایه جدید را مشخص کنید.

7) برابری صحیح را مشخص کنید

11) تست کنترل

ریاضیات. تست های موضوعی. قسمت دوم. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010. پایه های 10-11. اد. لیسنکو اف.اف. - Rostov n/d.: Legion, 2009. - 176 p.

ریاضیات. آزمون یکپارچه دولتی 2009. تست های موضوعی قسمت دوم (B4-B8, C1-C2) Ed. لیسنکو اف.اف. - Rostov n/D: Legion, 2008 - 160 p.

این کتابچه راهنمای شامل تست هایی در مورد موضوعات فردی است که در دوره های ریاضی سنتی است و بنابراین، به عنوان یک قاعده، در آزمون یکپارچه ایالت گنجانده شده است. آنها به طور کامل گروه هایی از وظایف با سطح پیچیدگی افزایش یافته و بالا در آزمون یکپارچه ایالت را پوشش می دهند، به جز مشکلات کلمه و مسائل هندسی. برای هر مبحث یک یا چند مجموعه تست ارائه می شود. هر مجموعه شامل 10 تست، هر تست شامل 8 کار است.

هدف این کتاب تمرین تکالیف با پاسخ های کوتاه و بلند است. تست های آزمون یکپارچه دولتی. در درجه اول برای فارغ التحصیلانی که انتظار دریافت الف را دارند ضروری است استفاده مناسبارزیابی، و همچنین برای دانش آموزان کلاس دهم که می توانند موضوعات تحت پوشش را از منظر آزمون دولتی واحد تلفیق کنند. کتابچه راهنمای پیشنهادی می تواند برای همه فارغ التحصیلانی که برای امتحان دولتی واحد ریاضی آماده می شوند و همچنین معلمانی که دانش آموزان را برای آزمون دولتی واحد آماده می کنند مفید باشد.

قالب: djvu/zip (2009 ، 176 ص.)

اندازه: 2.5 مگابایت

دانلود / دانلود فایل 14

قالب: pdf (2009 ، 176 ص.)

اندازه: 8.6 مگابایت

دانلود: 14 .12.2018، پیوندها به درخواست انتشارات Legion حذف شدند (به یادداشت مراجعه کنید)

قالب: djvu/zip (2008 ، دهه 160.)

اندازه: 3 مگابایت

دانلود / دانلود فایل 14 .12.2018، پیوندها به درخواست انتشارات Legion حذف شدند (به یادداشت مراجعه کنید)

قالب: pdf (2008 ، دهه 160.)

اندازه: 9.9 مگابایت

دانلود: 14 .12.2018، پیوندها به درخواست انتشارات Legion حذف شدند (به یادداشت مراجعه کنید)

مجتمع آموزشی و روش شناسی"ریاضیات. آزمون دولتی یکپارچه-2010" ویرایش. لیسنکو اف.اف. و کولابوخوا اس.یو. شامل آموزش:
1. ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010.
2. رشبنیک. ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010.
3. ریاضیات. تست های موضوعی بخش اول (سطح پایه). آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010. پایه های 10-11.
4. ریاضیات. تست های موضوعی قسمت دوم. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010. پایه های 10-11.
5. ریاضیات. تست های موضوعی: هندسه، مسائل کلمه. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010. پایه های 10-11.
6. ریاضیات. مجموعه تست های آزمون یکپارچه دولتی 2001 - 2010.
7. ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2010. آزمون های آموزشی و تربیتی.
8. راهنمای جیبیریاضیات

فهرست مطالب
از نویسندگان 11
§ 1. تبدیلات یکسان عبارات لگاریتمی 13
گزینه شماره 1 13
گزینه شماره 2 13
گزینه شماره 3 14
گزینه شماره 4 14
گزینه شماره 5 15
گزینه شماره 6 15
گزینه شماره 7 16
گزینه شماره 8 16
گزینه شماره 9 17
گزینه شماره 10 17
§ 2. تبدیل های یکسان عبارات حاوی توان های 18
گزینه شماره 1 18
گزینه شماره 2 19
گزینه شماره 3 19
گزینه شماره 4 20
گزینه شماره 5 21
گزینه شماره 6 21
گزینه شماره 7 22
گزینه شماره 8 23
گزینه شماره 9 23
گزینه شماره 10 24
§ 3. دگرگونی های هویت عبارات غیر منطقی 25
گزینه شماره 1 25
گزینه شماره 2 25
گزینه شماره 3 26
گزینه شماره 4 26
گزینه شماره 5 27
گزینه شماره 6 28
گزینه شماره 7 28
گزینه شماره 8 29
گزینه شماره 9 30
گزینه شماره 10 30
§ 4. سیستم های معادلات 31
گزینه شماره 1 31
گزینه شماره 2 32
گزینه شماره 3 33
گزینه شماره 4 33
گزینه شماره 5 34
گزینه شماره 6 35
گزینه شماره 7 36
گزینه شماره 8 37
گزینه شماره 9 38
گزینه شماره 10 39
§ 5. معنای هندسیمشتق 39
گزینه شماره 1 39
گزینه شماره 2 41
گزینه شماره 3 43
گزینه شماره 4 44
گزینه شماره 5 46
گزینه شماره 6 48
گزینه شماره 7 50
گزینه شماره 8 52
گزینه شماره 9 54
گزینه شماره 10 55
§ 6. نابرابری ها 56
گزینه شماره 1 g 56
گزینه شماره 2 57
گزینه شماره 3 58
گزینه شماره 4 58
گزینه شماره 5 59
گزینه شماره 6 60
گزینه شماره 7 60
گزینه شماره 8 61
گزینه شماره 9 62
گزینه شماره 10 63
§ 7. معادلات غیر منطقی 63
گزینه شماره 1 63
گزینه شماره 2 64
گزینه شماره 3 65
گزینه شماره 4 65
گزینه شماره 5 66
گزینه شماره 6 66
گزینه شماره 7 67
گزینه شماره 8 67
گزینه شماره 9 68
گزینه شماره یو 68
§ 8. معادلات مثلثاتی 69
گزینه شماره 1 69
گزینه شماره 2 69
گزینه شماره 3 70
گزینه شماره 4 70
گزینه شماره 5 71
گزینه شماره 6 72
گزینه شماره 7 72
گزینه شماره 8 73
گزینه شماره 9 74
گزینه شماره 10 74
§ 9. معادلات لگاریتمی 75
گزینه شماره 1 75
گزینه شماره 2 75
گزینه شماره 3 76
گزینه شماره 4 76
گزینه شماره 5 77
گزینه شماره 6 77
گزینه شماره 7 78
گزینه شماره 8 * 78
گزینه شماره 9 79
گزینه شماره 10 79
§ 10. معادلات نمایی 80
گزینه شماره 1 80
گزینه شماره 2 80
گزینه شماره 3 81
گزینه شماره 4 81
گزینه شماره 5 82
گزینه شماره 6 82
گزینه شماره 7 83
گزینه شماره 8 83
گزینه شماره 9 84
گزینه شماره 10 84
§ یازده. توابع تناوب، زوج و فرد 85
گزینه شماره 1 85
گزینه شماره 2 86
گزینه شماره 3 87
گزینه شماره 4 89
گزینه شماره 5 90
گزینه شماره 6 91
گزینه شماره 7 92
گزینه شماره 8 93
گزینه شماره 9 94
گزینه شماره 10 95
§ 12. صفر تابع پیچیده. عملکرد محدود 97
گزینه شماره 1 97
گزینه شماره 2 97
گزینه شماره 3 98
گزینه شماره 4 98
گزینه شماره 5 99
گزینه شماره 6 99
گزینه شماره 7 100
گزینه شماره 8 100
گزینه شماره 9 101
گزینه شماره 10 101
§ 13. دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، یکنواختی توابع 102
گزینه شماره 1 102
گزینه شماره 2 102
گزینه شماره 3 103
گزینه شماره 4 103
گزینه شماره 5 104
گزینه شماره 6 104
گزینه شماره 7 105
گزینه شماره 8 105
گزینه شماره 9 106
گزینه شماره 10 107
§ 14. مادون تابع. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع 107
گزینه شماره 1 107
گزینه شماره 2 108
گزینه شماره 3 108
گزینه شماره 4 109
گزینه شماره 5 109
گزینه شماره 6 110
گزینه شماره 7 110
گزینه شماره 8 111
گزینه شماره 9 111
گزینه شماره 10 112
§ 15. تکنیک های مختلف برای حل معادلات لگاریتمی 113
گزینه شماره 1 113
گزینه شماره 2 113
گزینه شماره 3 114
گزینه شماره 4 114
گزینه شماره 5 115
گزینه شماره 6 115
گزینه شماره 7 116
گزینه شماره 8 116
گزینه شماره 9 117
گزینه شماره 10 117
§ 16. تکنیک های مختلف برای حل معادلات مثلثاتی 118
گزینه شماره 1 118
گزینه شماره 2 118
گزینه شماره 3 118
گزینه شماره 4 119
گزینه شماره 5 119
گزینه شماره 6 120
گزینه شماره 7 120
گزینه شماره 8 121
گزینه شماره 9 121
گزینه شماره 10 122
§ 17. تکنیک های مختلف برای حل معادلات غیر منطقی 123
گزینه شماره 1 123
گزینه شماره 2 123
گزینه شماره 3 124
گزینه شماره 4 124
گزینه شماره 5 125
گزینه شماره 6 125
گزینه شماره 7 125
گزینه شماره 8 126
گزینه شماره 9 126
گزینه شماره 10 127
§ 18. معادلات حاوی یک متغیر تحت علامت مدول 127
گزینه شماره 1 127
گزینه شماره 2 128
گزینه شماره 3 128
گزینه شماره 4 129
گزینه شماره 5 129
گزینه شماره 6 130
گزینه شماره 7 130
گزینه شماره 8 131
گزینه شماره 9 131
گزینه شماره 10 131
§ 19. تکنیک های مختلف برای حل معادلات نمایی.132
گزینه شماره 1 132
گزینه شماره 2 133
گزینه شماره 3 133
گزینه شماره 4 134
گزینه شماره 5 134
گزینه شماره 6 135
گزینه شماره 7 135
گزینه شماره 8 135
گزینه شماره 9 136
گزینه شماره 10 136
§ 20. تکنیک های مختلف برای حل معادلات ترکیبی 137
گزینه شماره 1 137
گزینه شماره 2 137
گزینه شماره 3 138
گزینه شماره 4 138
گزینه شماره 5 139
گزینه شماره 6 139
گزینه شماره 7 140
گزینه شماره 8 140
گزینه شماره 9 141
گزینه شماره 10 141
§ 21. معادلات با پارامتر حاوی ماژول 142
گزینه شماره 1 142
گزینه شماره 2 142
گزینه شماره 3 143
گزینه شماره 4 144
گزینه شماره 5 144
گزینه شماره 6 145
گزینه شماره 7 146
گزینه شماره 8 146
گزینه شماره 9 147
گزینه شماره 10 148
پاسخ ها 149
§ 1. دگرگونی های هویتعبارات لگاریتمی 149
§ 2. تبدیل های یکسان عبارات حاوی توان های 150
§ 3. تبدیلات یکسان عبارات غیر منطقی 150
§ 4. سیستم های معادلات 151
§ 5. معنای هندسی مشتق 151
§ 6. نابرابری ها 152
§ 7. معادلات غیر منطقی 152
§ 8. معادلات مثلثاتی 153
§ 9. معادلات لگاریتمی 153
§ 10. معادلات نمایی 154
§ یازده. توابع تناوب، زوج و فرد 154
§ 12. صفرهای یک تابع مختلط. عملکرد محدود 155
§ 13. دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، یکنواختی توابع 156
§ 14. مادون تابع. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع 158
§ 15. تکنیک های مختلف برای حل معادلات لگاریتمی 159
§ 16. تکنیک های مختلف برای حل معادلات مثلثاتی 160
§ 17. تکنیک های مختلف برای حل معادلات غیر منطقی 164
§ 18. معادلات حاوی یک متغیر تحت علامت مدول 165
§ 19. تکنیک های مختلف برای حل معادلات نمایی.166
§ 20. تکنیک های مختلف برای حل معادلات ترکیبی 167
§ 21. معادلات با پارامتر حاوی ماژول 169
ادبیات 170

مسئله B7 بیانی می دهد که باید ساده شود. نتیجه باید یک عدد منظم باشد که بتوان آن را در برگه پاسخنامه شما یادداشت کرد. تمام عبارات به طور معمول به سه نوع تقسیم می شوند:

1. لگاریتمی،
2. نشان دهنده،
3. ترکیب شده.

عبارات نمایی و لگاریتمی در شکل خالص خود عملاً هرگز یافت نمی شوند. با این حال، دانستن نحوه محاسبه آنها کاملاً ضروری است.

به طور کلی، مشکل B7 کاملاً ساده حل می شود و کاملاً در حد توانایی های یک فارغ التحصیل متوسط ​​است. فقدان الگوریتم های واضح با استانداردسازی و یکنواختی آن جبران می شود. شما می توانید به سادگی حل چنین مشکلاتی را یاد بگیرید مقدار زیادآموزش.

عبارات لگاریتمی

اکثریت قریب به اتفاق مسائل B7 شامل لگاریتم در یک شکل یا شکل دیگر است. این موضوع به طور سنتی دشوار در نظر گرفته می شود، زیرا مطالعه آن معمولاً در کلاس یازدهم رخ می دهد - عصر آمادگی انبوه برای امتحانات نهایی. در نتیجه، بسیاری از فارغ التحصیلان درک بسیار مبهمی از لگاریتم دارند.

اما در این کار هیچ کس به دانش نظری عمیق نیاز ندارد. ما فقط بیشتر ملاقات خواهیم کرد عبارات ساده، که نیاز به استدلال ساده دارند و به راحتی می توان به طور مستقل بر آنها مسلط شد. در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که برای مقابله با لگاریتم ها باید بدانید:

علاوه بر این، شما باید بتوانید ریشه ها و کسرها را با قدرت ها جایگزین کنید شاخص منطقی، در غیر این صورت در برخی از عبارات به سادگی چیزی برای خارج کردن از زیر علامت لگاریتم وجود نخواهد داشت. فرمول های جایگزین:

وظیفه. معنی عبارات را بیابید:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

دو عبارت اول به عنوان تفاضل لگاریتم تبدیل می شوند:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

برای محاسبه عبارت سوم، باید قدرت ها را جدا کنید - هم در پایه و هم در استدلال. ابتدا بیایید لگاریتم داخلی را پیدا کنیم:

سپس - خارجی:

ساختارهای فرم log a log b x برای بسیاری پیچیده و اشتباه به نظر می رسد. در همین حال، این فقط یک لگاریتم لگاریتم است، یعنی. log a (log b x ). ابتدا لگاریتم داخلی محاسبه می شود (log b x = c) و سپس خارجی: log a c.

عبارات نمایشی

ما یک عبارت نمایی را به هر ساختی از شکل k می‌گوییم، که در آن اعداد a و k ثابت دلخواه هستند و a > 0. روش‌های کار با چنین عباراتی بسیار ساده هستند و در درس‌های جبر کلاس هشتم مورد بحث قرار می‌گیرند.

در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که قطعاً باید بدانید. استفاده از این فرمول ها در عمل، به عنوان یک قاعده، مشکلی ایجاد نمی کند.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

اگر با یک عبارت پیچیده با قدرت مواجه شدید و نحوه برخورد با آن مشخص نیست، از یک تکنیک جهانی استفاده کنید - تجزیه به عوامل ساده. در نتیجه اعداد بزرگدر پایه درجه ها با عناصر ساده و قابل فهم جایگزین می شوند. سپس تنها چیزی که باقی می ماند این است که فرمول های فوق را اعمال کنید - و مشکل حل خواهد شد.

وظیفه. مقادیر عبارات را بیابید: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

راه حل. بیایید همه پایه های قدرت ها را به عوامل ساده تجزیه کنیم:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

وظایف ترکیبی

اگر فرمول ها را بدانید، پس تمام عبارات نمایی و لگاریتمی را می توان به معنای واقعی کلمه در یک خط حل کرد. با این حال، در مسئله B7 توان ها و لگاریتم ها را می توان با هم ترکیب کرد تا ترکیبات کاملاً قوی ایجاد کند.

ترانسنیستر دانشگاه دولتی

آنها T.G. شوچنکو

دانشکده فیزیک و ریاضی

گروه تحلیل ریاضی

و روش های تدریس ریاضی

کار دوره

«تغییر هویت

نمایی و لگاریتمی

اصطلاحات"

کار انجام شده:

دانش آموز گروه _______

دانشکده فیزیک و ریاضی

_________________________

کار رو چک کردم:

_________________________

تیراسپول، 2003

مقدمه……………………………………………………………………………………2

فصل 1. دگرگونی های هویت و روش های تدریس در درس جبر مدرسه و شروع تحلیل……………………………………………………

§1. شکل گیری مهارت در به کارگیری انواع خاصی از تحولات………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§2. ویژگی های سازماندهی یک سیستم دانش در بررسی تحولات هویتی……………………………………………………………….

§3. برنامه ریاضی………………………………………………….11

فصل 2. تبدیلات و محاسبات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی…………………………………………………………………

§1. تعمیم مفهوم درجه…………………………………..13

§2. تابع نمایی…………………………………………………………………………………………………………………………..

§3. تابع لگاریتمی………………………………….16

فصل 3. تبدیلات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی در عمل ...................................... ................................................ 19

نتیجه……………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست مراجع……………………………………………………………………………………………………………………………………
معرفی

در این کار دورهتبدیل های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی در نظر گرفته خواهد شد، روش تدریس آنها در یک دوره جبر مدرسه و شروع تجزیه و تحلیل در نظر گرفته خواهد شد.

فصل اول این کار روش شناسی آموزش تبدیل هویت در درس ریاضی مدرسه را تشریح می کند و همچنین شامل یک برنامه ریاضی در درس "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" با مطالعه توابع نمایی و لگاریتمی است.

فصل دوم به طور مستقیم به بررسی خود توابع نمایی و لگاریتمی، ویژگی های اساسی آنها در تبدیل هویت می پردازد.

فصل سوم حل مثال‌ها و مسائل با استفاده از تبدیل‌های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی است.

مطالعه تغییر شکل های مختلف عبارات و فرمول ها بخش قابل توجهی از زمان تدریس در دوره را به خود اختصاص می دهد ریاضیات مدرسه. ساده ترین تبدیل ها بر اساس خواص عملیات حسابی، در حال حاضر تولید می شوند دبستانو در کلاس های IV-V. اما بار اصلی توسعه مهارت ها و توانایی های انجام تحولات بر عهده درس جبر مدرسه است. این هم به دلیل افزایش شدید تعداد و تنوع دگرگونی های انجام شده و هم به دلیل پیچیدگی فعالیت ها برای اثبات آنها و روشن کردن شرایط کاربرد، به دلیل شناسایی و مطالعه مفاهیم تعمیم یافته هویت، تحول یکسان، تبدیل معادل، نتیجه منطقی.

فرهنگ انجام تبدیل هویت به همان روشی که فرهنگ محاسبات بر اساس دانش کامل از ویژگی های عملیات روی اشیاء (اعداد، بردارها، چند جمله ای ها و غیره) و الگوریتم هایی برای اجرای آنها توسعه می یابد. این خود را نه تنها در توانایی اثبات صحیح تحولات نشان می دهد، بلکه در توانایی یافتن کوتاه ترین مسیر برای انتقال از عبارت تحلیلی اصلی به عبارتی که بیشتر با هدف تبدیل مطابقت دارد، در توانایی نظارت بر تغییرات در حوزه تعریف عبارات تحلیلی در زنجیره ای از تبدیل های یکسان، در سرعت و دقت انجام تبدیل ها.

امنیت فرهنگ بالامحاسبات و تبدیل هویت را نشان می دهد مشکل مهمتدریس ریاضی با این حال، این مشکل هنوز تا حل رضایت بخش فاصله دارد. گواه این موضوع آمار و ارقام مسئولان است اموزش عمومی، که در آن خطاها و روش های غیرمنطقی محاسبات و تبدیل ها توسط دانش آموزان کلاس های مختلف هنگام انجام تست ها. این توسط بررسی های ارشد تایید شده است موسسات آموزشیدر مورد کیفیت دانش و مهارت های ریاضی متقاضیان. نمی توان با نتیجه گیری مقامات آموزش دولتی و دانشگاه ها که کافی نیست موافق نبود سطح بالافرهنگ محاسبات و تحولات هویتی در دبیرستاننتیجه فرمالیسم در دانش دانشجویان، جدایی نظریه از عمل است.

تحولات و روش های تدریس یکسان

در درس مدرسه جبر و شروع تحلیل.

§1. شکل گیری مهارت های کاربردی

انواع خاصی از تحولات

سیستم تکنیک ها و قوانین برای انجام تبدیل ها، که در مرحله شروع جبر استفاده می شود، کاربردهای بسیار گسترده ای دارد: در مطالعه کل دوره ریاضیات استفاده می شود. با این حال، دقیقاً به دلیل ویژگی پایین آن، این سیستم نیازمند تبدیل‌های اضافی است که ویژگی‌های ساختاری عبارات در حال تبدیل و ویژگی‌های عملیات و توابع تازه معرفی شده را در نظر می‌گیرد. تسلط بر انواع تبدیل های مربوطه با معرفی فرمول های ضرب اختصاری آغاز می شود. سپس تبدیل های مرتبط با عملیات توان با کلاس های مختلف در نظر گرفته می شود توابع ابتدایی- نمایی، توان، لگاریتمی، مثلثاتی. هر یک از این نوع تحولات یک مرحله یادگیری را طی می کند که در آن توجه بر تسلط بر ویژگی های مشخصه آنها متمرکز است.

با انباشت مواد، می توان ویژگی های مشترک همه تبدیل های مورد بررسی را برجسته کرد و بر این اساس مفاهیم تبدیل های یکسان و معادل را معرفی کرد.

لازم به ذکر است که مفهوم دگرگونی هویت در درس جبر مدرسه نه به طور کلی، بلکه تنها در کاربرد عبارات ارائه شده است. تبدیل ها به دو دسته تقسیم می شوند: تبدیل های یکسان تبدیل عبارات هستند و تبدیل های معادل تبدیل فرمول ها هستند. در مواردی که نیاز به ساده سازی یک بخش از فرمول وجود دارد، یک عبارت در این فرمول برجسته می شود که به عنوان استدلالی برای تبدیل هویت کاربردی عمل می کند. محمول مربوطه بدون تغییر در نظر گرفته می شود.

در مورد سازماندهی یک سیستم یکپارچه از تحولات (سنتز)، هدف اصلی آن تشکیل یک سیستم انعطاف پذیر و قدرتمند است. دستگاه مناسب برای استفاده در حل های مختلف تکالیف آموزشی.

در دوره جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، یک سیستم کل نگر از تحولات، که قبلاً در ویژگی های اصلی آن شکل گرفته بود، به تدریج بهبود می یابد. انواع جدیدی از دگرگونی ها نیز به آن اضافه می شوند، اما فقط آن را غنی می کنند، قابلیت های آن را گسترش می دهند، اما ساختار آن را تغییر نمی دهند. روش مطالعه این تبدیل های جدید عملاً با روش مورد استفاده در درس جبر تفاوتی ندارد.

§2. ویژگی های سازماندهی سیستم وظیفه

هنگام مطالعه تحولات هویتی

اصل اساسی سازماندهی هر سیستمی از وظایف، ارائه آنها از ساده به پیچیده، با در نظر گرفتن نیاز دانش آموزان برای غلبه بر مشکلات امکان پذیر و ایجاد آنها است. موقعیت های مشکل ساز. این اصل اساسی نیاز به مشخصات در رابطه با ویژگی های این ماده آموزشی دارد. برای توصیف سیستم های مختلف وظایف در روش های ریاضی، از مفهوم چرخه تمرینات استفاده می شود. چرخه تمرین ها با ترکیب در یک دنباله از تمرینات از چندین جنبه مطالعه و تکنیک های ترتیب مطالب مشخص می شود. در رابطه با دگرگونی های هویت، ایده چرخه را می توان به صورت زیر ارائه کرد.

چرخه تمرین‌ها با مطالعه یک هویت مرتبط است و هویت‌های دیگری که در ارتباط طبیعی با آن هستند، حول آن دسته‌بندی می‌شوند. این چرخه، همراه با موارد اجرایی، شامل وظایفی است که مستلزم تشخیص قابلیت کاربردی بودن هویت مورد نظر است. هویت مورد مطالعه برای انجام محاسبات در حوزه های عددی مختلف استفاده می شود. ویژگی هویت در نظر گرفته شده است. به ویژه، شکل های گفتاری مرتبط با آن سازماندهی می شوند.

وظایف در هر چرخه به دو گروه تقسیم می شود. اولی شامل وظایفی است که در طی آشنایی اولیه با هویت انجام می شود. خدمت می کنند مطالب آموزشیبرای چندین درس متوالی که توسط یک موضوع متحد شده اند. گروه دوم تمرین ها هویت مورد مطالعه را با کاربردهای مختلف مرتبط می کند. این گروه یک وحدت ترکیبی را تشکیل نمی دهد - تمرینات در اینجا در موضوعات مختلف پراکنده است.

ساختار چرخه توصیف شده به مرحله توسعه مهارت ها در به کارگیری انواع خاصی از تحولات اشاره دارد. بر مرحله نهایی- در مرحله سنتز، چرخه ها اصلاح می شوند. اولاً، هر دو گروه از کارها با هم ترکیب می شوند تا یک چرخه "گسترش یافته" را تشکیل دهند و ساده ترین آنها از نظر عبارت یا پیچیدگی تکمیل کار از گروه اول حذف می شوند. انواع باقی مانده وظایف پیچیده تر می شوند. ثانیاً، ادغام چرخه‌های مربوط به هویت‌های مختلف وجود دارد که به دلیل آن نقش اقدامات برای تشخیص کاربردی بودن یک هویت خاص افزایش می‌یابد.

اجازه دهید ویژگی‌های چرخه‌های وظیفه مربوط به هویت‌ها را برای توابع ابتدایی یادداشت کنیم. این ویژگی ها به این دلیل است که اولاً هویت های متناظر در ارتباط با مطالعه مواد کاربردی مورد مطالعه قرار می گیرند و ثانیاً دیرتر از هویت های گروه اول ظاهر می شوند و با استفاده از مهارت های از قبل شکل گرفته برای انجام دگرگونی های هویت مورد مطالعه قرار می گیرند. .

هر تابع ابتدایی تازه معرفی شده به طور چشمگیری دامنه اعدادی را که می توان به صورت جداگانه تعیین و نامگذاری کرد، گسترش می دهد. بنابراین، اولین گروه از وظایف چرخه باید شامل وظایفی برای ایجاد ارتباط بین این نواحی عددی جدید و ناحیه اصلی باشد. اعداد گویا. بیایید نمونه هایی از چنین وظایفی را بیان کنیم.

مثال 1. محاسبه کنید:

در کنار هر عبارت یک هویت نشان داده شده است، در چرخه هایی که وظایف پیشنهادی ممکن است وجود داشته باشد. هدف از چنین وظایفی تسلط بر ویژگی های رکوردها، از جمله نمادهای عملیات و توابع جدید، و توسعه مهارت های گفتاری ریاضی است.

بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و ماورایی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط شامل بیشتر موارد می شود معادلات ساده، اما قبلاً در اینجا توصیه می شود که کار بر روی روش حل چنین معادلاتی انجام شود: کاهش آن با جایگزینی مجهول با معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) تابعی را پیدا کنید که برای آن معادله داده شدهقابل نمایش به شکل ;

ب) جایگزینی را انجام دهید و معادله را حل کنید.

ج) حل هر یک از معادلات، که در آن مجموعه ریشه های معادله است.

هنگام استفاده از روش توصیف شده، مرحله b) اغلب به طور ضمنی، بدون معرفی نمادی برای . علاوه بر این، دانش‌آموزان اغلب ترجیح می‌دهند، از مسیرهای مختلف منتهی به یافتن پاسخ، مسیری را انتخاب کنند که سریع‌تر و آسان‌تر به معادله جبری منتهی شود.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه اول:

راه دوم:

آ)

ب)

در اینجا می بینید که با روش اول مرحله a) دشوارتر از روش دوم است. روش اول "شروع کردن با آن دشوارتر است"، اگرچه مسیر بعدی راه حل بسیار ساده تر است. از سوی دیگر، روش دوم دارای مزایای سهولت بیشتر و دقت بیشتر در یادگیری کاهش به معادله جبری است.

برای دوره مدرسهکارهای جبری معمولی هستند که در آن انتقال به یک معادله جبری حتی ساده تر از این مثال است. بار اصلی چنین وظایفی مربوط به شناسایی مرحله c) به عنوان بخشی مستقل از فرآیند حل مرتبط با استفاده از ویژگی های تابع ابتدایی مورد مطالعه است.

مثال 3. معادله را حل کنید:

آ) ; ب) .

این معادلات به معادلات کاهش می یابد: a) یا ; ب) یا . حل این معادلات فقط نیازمند آگاهی از ساده ترین حقایق است تابع نمایی: یکنواختی آن، دامنه مقادیر. مانند مثال قبلی، معادلات a) و b) را می توان به عنوان اولین گروه از یک سری تمرینات برای حل معادلات نمایی درجه دوم طبقه بندی کرد.

بنابراین، به طبقه‌بندی وظایف در چرخه‌های مربوط به حل معادلات ماورایی می‌رسیم که شامل یک تابع نمایی است:

1) معادلاتی که به معادلات شکل تقلیل می یابند و پاسخ ساده و کلی دارند: ;

2) معادلاتی که به معادلات تقلیل می‌یابند، جایی که یک عدد صحیح است، یا، جایی که ;

3) معادلاتی که به معادلات تقلیل می یابند و نیازمند تحلیل صریح شکلی هستند که عدد در آن نوشته شده است.

وظایف برای سایر توابع ابتدایی را می توان به طور مشابه طبقه بندی کرد.

بخش قابل توجهی از هویت های مورد مطالعه در جبر و جبر و اصول دروس تجزیه و تحلیل در آنها اثبات یا حداقل تبیین شده است. این سمت از بررسی هویت ها دارد پراهمیتبرای هر دو دوره، زیرا استدلال اثباتی در آنها دقیقاً در رابطه با هویت ها با بیشترین وضوح و دقت انجام می شود. فراتر از این مطالب، شواهد معمولاً کمتر کامل هستند؛ همیشه از شواهد مورد استفاده متمایز نمی شوند.

از ویژگی‌های عملیات حسابی به عنوان پشتیبان برای اثبات هویت استفاده می‌شود.

تأثیر آموزشی محاسبات و دگرگونی های یکسان می تواند در توسعه تفکر منطقی باشد، اگر فقط دانش آموزان به طور سیستماتیک ملزم به توجیه محاسبات و دگرگونی های یکسان باشند، و در توسعه تفکر عملکردی، که به طرق مختلف به دست می آید. اهمیت محاسبات و دگرگونی های یکسان در رشد اراده، حافظه، هوش، خویشتن داری و ابتکار خلاق کاملاً آشکار است.

الزامات محاسبات روزمره و صنعتی دانش آموزان را ملزم به توسعه مهارت های قوی و خودکار در محاسبات منطقی و تغییر هویت می کند. این مهارت‌ها در فرآیند هر کار محاسباتی ایجاد می‌شوند، با این حال، تمرین‌های آموزشی ویژه در محاسبات و تبدیل‌های سریع ضروری است.

بنابراین، اگر درس شامل حل معادلات لگاریتمی با استفاده از هویت لگاریتمی پایه باشد، مفید است که در طرح درس تمرین‌های شفاهی در مورد ساده‌سازی یا محاسبه مقادیر عبارات را وارد کنید: . هدف از تمرینات همیشه به دانش آموزان ابلاغ می شود. در طول تمرین، ممکن است لازم باشد از دانش‌آموزان بخواهیم که تغییرات فردی، اقدامات یا راه‌حل یک مشکل را توجیه کنند، حتی اگر این برنامه‌ریزی نشده باشد. هرجا که بشه راه های مختلفبرای حل یک مشکل، توصیه می شود همیشه سوالاتی بپرسید: "مشکل چگونه حل شد؟"، "چه کسی مشکل را به روش دیگری حل کرد؟"

مفاهیم هویت و تبدیل هویت به صراحت در درس جبر کلاس ششم معرفی شده است. همان تعریف عبارات یکساننمی توان عملاً برای اثبات هویت دو عبارت استفاده کرد و درک کرد که ماهیت تبدیل های یکسان اعمال تعاریف و ویژگی های اعمالی است که در عبارت نشان داده شده است یا افزودن عبارتی که عیناً به آن بیان می شود. برابر 0، یا ضرب آن در عبارت، یکسان است برابر با یک. اما حتی با تسلط بر این مفاد، دانش‌آموزان اغلب نمی‌فهمند که چرا این تغییر شکل‌ها به ما اجازه می‌دهد تا اظهار کنیم که عبارات اصلی و حاصل یکسان هستند، یعنی. برای هر سیستم (مجموعه) مقادیر متغیر همان مقادیر را بگیرید.

همچنین مهم است که اطمینان حاصل شود که دانش آموزان به وضوح درک می کنند که چنین نتیجه گیری هایی از تبدیل های یکسان پیامدهای تعاریف و ویژگی های اقدامات مربوطه است.

دستگاه دگرگونی‌های هویتی که در سال‌های گذشته انباشته شده است، در کلاس ششم گسترش یافته است. این بسط با معرفی هویتی آغاز می‌شود که ویژگی حاصلضرب قدرت‌ها را با پایه‌های یکسان بیان می‌کند: , جایی که , اعداد صحیح هستند.

§3. برنامه ریاضی. در درس مدرسه "جبر و آغاز تحلیل" دانش آموزان به طور سیستماتیک توابع نمایی و لگاریتمی و خواص آنها، تبدیل های یکسان عبارات لگاریتمی و نمایی و کاربرد آنها در حل معادلات و نامساوی مربوطه را مطالعه می کنند و با مفاهیم و گزاره های اساسی آشنا می شوند. . در کلاس یازدهم، درس جبر 3 ساعت در هفته و در مجموع 102 ساعت در سال طول می کشد. این برنامه 36 ساعت طول می کشد تا توابع نمایی، لگاریتمی و توان را مطالعه کند. این برنامه شامل بررسی و مطالعه موضوعات زیر است: مفهوم مدرک با توان منطقی. حل معادلات غیر منطقی تابع نمایی، خواص و نمودار آن. تبدیلات یکسان عبارات نمایی. حل معادلات نمایی و نامساوی. لگاریتم یک عدد. ویژگی های اصلی لگاریتم ها تابع لگاریتمی، خواص و نمودار آن. حل معادلات لگاریتمی و نامساوی. مشتق تابع نمایی. شماره و لگاریتم طبیعی. مشتق تابع توان. هدف اصلی بخش تابع نمایی و لگاریتمی آشنایی دانش آموزان با توابع نمایی، لگاریتمی و توان است. به دانش آموزان آموزش حل تصاعدی و معادلات لگاریتمیو نابرابری ها مفاهیم ریشه هفتم و درجه با توان گویا تعمیم مفاهیم ریشه دوم و درجه با توان صحیح است. دانش‌آموزان باید به این نکته توجه داشته باشند که ویژگی‌های ریشه‌ها و قدرت‌ها با توان منطقی در اینجا مشابه ویژگی‌هایی است که قبلاً مطالعه شده بود. ریشه های مربعو درجه با توان های عدد صحیح. لازم است زمان کافی برای تمرین ویژگی های درجه ها و توسعه مهارت های دگرگونی هویت اختصاص داده شود. مفهوم درجه ج شاخص غیر منطقیبه صورت بصری و شهودی معرفی شده است. این ماده نقش کمکی ایفا می کند و هنگام معرفی تابع نمایی استفاده می شود. مطالعه خواص توابع نمایی، لگاریتمی و توانی مطابق با طرح کلی پذیرفته شده برای مطالعه توابع ساخته شده است. در این مورد، یک نمای کلی از ویژگی ها بسته به مقادیر پارامتر ارائه می شود. گویا و نابرابری های لگاریتمیبر اساس ویژگی های مورد مطالعه توابع حل می شوند. ویژگی مشخصهاین دوره سیستماتیک کردن و تعمیم دانش دانش آموزان ، تثبیت و توسعه مهارت های به دست آمده در دوره جبر است که هم هنگام مطالعه مطالب جدید و هم هنگام انجام تکرار تعمیم یافته انجام می شود.
فصل 2. تبدیلات و محاسبات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی

§1. تعمیم مفهوم درجه.

تعریف: ریشه ام یک عدد خالص عددی است که توان آن برابر است با .

مطابق با این تعریفریشه ام یک عدد جواب معادله است. تعداد ریشه های این معادله به و بستگی دارد. بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. همانطور که مشخص است، در بازه این تابع برای هر مقدار افزایش می یابد و همه مقادیر را از بازه می گیرد. با توجه به قضیه ریشه، معادله هر یک ریشه غیر منفی و علاوه بر این، فقط یک دارد. آن را ریشه حسابی درجه یک عدد می گویند و با ; عدد را توان رادیکال و خود عدد را عبارت رادیکال می نامند. این علامت رادیکال نیز نامیده می شود.

تعریف: ریشه حسابی توان دهم یک عدد نامیده می شود عدد غیر منفی، که درجه -ام آن برابر است با .

برای اعداد زوج تابع زوج است. نتیجه این است که اگر , پس معادله علاوه بر ریشه یک ریشه نیز دارد. اگر، پس یک ریشه وجود دارد: ; اگر، پس این معادله ریشه ندارد، زیرا مدرک حتیهر عددی غیر منفی است

برای مقادیر فرد، تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد. محدوده آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است. با اعمال قضیه ریشه، در می یابیم که معادله یک ریشه برای هر و، به ویژه، برای . این ریشه برای هر مقدار با نشان داده می شود.

برای ریشه های درجه فرد، برابری درست است. در واقع، یعنی عدد ریشه ام است. اما چنین ریشه ای برای عجیب و غریب تنها یک است. از این رو، .

نکته 1: برای هر واقعی

اجازه دهید خواص شناخته شده ریشه های حسابی درجه هفتم را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد طبیعی، عدد صحیح و هر عدد صحیح غیرمنفی و برابری ها معتبر است:

1.

2.

3.

4.

مدرک با توان منطقی.

عبارت برای همه و به جز مورد تعریف شده است. بیایید ویژگی های چنین قدرت هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد و هر عدد صحیح و برابری ها معتبر هستند:

همچنین توجه می کنیم که اگر، پس برای و برای .. و

برای دانش‌آموزانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می‌کنند، معلمان ریاضی در دبیرستان شماره 26 در یاکوتسک از فهرستی از سؤالات محتوایی (کدکننده) برای درس ریاضی مدرسه استفاده می‌کنند که تسلط بر آن هنگام قبولی در امتحان دولتی یکپارچه سال 2007 آزمایش می‌شود. درس انتخابیدر مورد آمادگی برای متحد آزمون دولتیبر اساس تکرار، نظام مندسازی و تعمیق دانش کسب شده قبلی. کلاس ها به صورت رایگان برگزار می شود...