روش فاصله. نابرابری های درجه دوم روش فاصله ای اشتباهات معمولی دانش آموزان در حل معادلات درجه دوم

بخش ها: ریاضیات

کلاس: 9

یک نتیجه یادگیری اجباری توانایی حل نابرابری های فرم است:

ax 2 + bx+ c ><0

بر اساس یک نمودار شماتیک تابع درجه دوم.

اغلب دانش آموزان هنگام حل نابرابری های درجه دوم با ضریب اول منفی اشتباه می کنند. در چنین مواردی، کتاب درسی پیشنهاد می‌کند که نابرابری را با یک معادل با ضریب مثبت در x 2 جایگزین کنید (مثال شماره 3). ، آنها باید یک سهمی با شاخه های رو به بالا بکشند. می توان جور دیگری بحث کرد.

فرض کنید باید نابرابری را حل کنیم:

–x 2 + 2x –5<0

ابتدا بیایید دریابیم که آیا نمودار تابع y=-x 2 +2x-5 محور OX را قطع می کند یا خیر. برای انجام این کار، بیایید معادله را حل کنیم:

معادله ریشه ندارد، بنابراین نمودار تابع y=-x 2 +2x-5 کاملاً زیر محور X و نابرابری -x 2 +2x-5 قرار دارد.<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

توانایی حل در شماره 111 و شماره 119 توسعه یافته است. ضروری است که نابرابری های زیر x 2 +5>0, -x 2 -3≤0 را در نظر بگیرید. 3x 2 > 0 و غیره

البته هنگام حل چنین نابرابری ها می توانید از سهمی استفاده کنید. با این حال، دانش آموزان قوی باید بلافاصله بدون توسل به نقاشی پاسخ دهند. در این مورد، نیاز به توضیحات لازم است، به عنوان مثال: x 2 ≥0 و x 2 +7>0 برای هر مقدار x. بسته به سطح آمادگی کلاس، می توانید خود را به این اعداد محدود کنید یا از شماره 120 شماره 121 استفاده کنید. در آنها باید تبدیل های ساده یکسان انجام دهید، بنابراین در اینجا مطالب پوشش داده شده تکرار می شود. این اتاق ها برای دانش آموزان قوی طراحی شده اند. اگر نتیجه خوبی حاصل شد و حل نابرابری های درجه دوم مشکلی ایجاد نکرد، می توانید از دانش آموزان بخواهید که سیستمی از نابرابری ها را حل کنند که در آن یک یا هر دو نابرابری درجه دوم هستند (تمرین 193، 194).

جالب است که نه تنها نابرابری های درجه دوم را حل کنیم، بلکه در کجاهای دیگر می توان این راه حل را به کار برد: برای یافتن دامنه تعریف تابع مطالعه یک معادله درجه دوم با پارامترها (تمرین 122-124). برای پیشرفته ترین دانش آموزان، شما می تواند نابرابری های درجه دوم را با پارامترهای شکل در نظر بگیرد:

Axe 2 +Bx+C>0 (≥0)

تبر 2 + Bx + C<0 (≤0)

در جایی که A،B،C بسته به پارامترها عباراتی هستند، A≠0،x ناشناخته هستند.

نابرابری Ax 2 +Bx+C>0

بر اساس طرح های زیر مطالعه می شود:

1) اگر A=0 باشد، نابرابری خطی Bx+C>0 را داریم

2) اگر A≠0 و ممیز D>0 باشد، می توانیم مثلث مربع را فاکتور کنیم و نابرابری را بدست آوریم.

A(x-x1) (x-x2)> 0

x 1 و x 2 ریشه های معادله Ax 2 +Bx+C=0 هستند

3) اگر A≠0 و D<0 то если A>0 راه حل مجموعه اعداد واقعی R خواهد بود. در A<0 решений нет.

نابرابری های باقی مانده را می توان به طور مشابه مطالعه کرد.

می تواند برای حل نابرابری های درجه دوم استفاده شود، از این رو خاصیت سه جمله ای درجه دوم است.

1) اگر A> 0 و D<0 то Ax2+Bx+C>0- برای همه x.

2) اگر A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

هنگام حل یک نابرابری درجه دوم، استفاده از یک نمایش شماتیک از نمودار تابع y=Ax2+Bx+C راحت تر است.

مثال: برای تمام مقادیر پارامتر، نابرابری را حل کنید

X 2 +2(b+1)x+b 2 >0

D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2

1) د<0 т.е. 2b+1<0

ضریب مقابل x 2 1>0 است، سپس نابرابری برای همه x برآورده می شود، یعنی. X є R

2) D=0 => 2b+1=0

سپس x 2 +x+¼>0

x є(-∞;-½) U (-½;∞)

3) D>0 =>2b+1>0

ریشه های یک مثلث مربع عبارتند از:

X 1 =-b-1-√2b+1

X 2 =-b-1+√2b+1

نابرابری شکل می گیرد

(x-x 1) (x-x 2)> 0

با استفاده از روش interval بدست می آوریم

x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)

برای حل مستقل، نابرابری زیر را بیاورید

در نتیجه حل نابرابری ها، دانش آموز باید بفهمد که برای حل نابرابری های درجه دو، پیشنهاد می شود جزئیات بیش از حد در روش ساخت نمودار را از یافتن مختصات رئوس سهمی صرف نظر کند، با رعایت مقیاس، و می توان خود را به ترسیم طرحی از نمودار یک تابع درجه دوم محدود کرد.

در سطح ارشد، حل نابرابری های درجه دوم عملا یک کار مستقل نیست، بلکه به عنوان جزئی از حل معادله یا نابرابری دیگر (لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی) عمل می کند. بنابراین لازم است به دانش آموزان نحوه حل روان نابرابری های درجه دوم را آموزش دهیم. می توانید به سه قضیه وام گرفته شده از کتاب درسی توسط A.A. کیسلوا.

قضیه 1. فرض کنید یک تبر مثلثی مربع 2 +bx+c داده شود، که در آن a>0، دارای 2 ریشه واقعی متفاوت است (D>0).

سپس: 1) برای همه مقادیر متغیر x کوچکتر از ریشه کوچکتر و بزرگتر از ریشه بزرگتر، مثلث مربع مثبت است.

2) برای مقادیر x بین ریشه های مربع، مثلث منفی است.

قضیه 2. اجازه دهید یک تبر مثلثی مربع 2 +bx+c داده شود، که در آن a>0 دارای 2 ریشه واقعی یکسان است (D=0) سپس برای تمام مقادیر x متفاوت از ریشه های سه جمله مربع، مثلث مربع مثبت است. .

قضیه 3. فرض کنید یک تبر مثلثی مربع 2 +bx+c در جایی که a>0 ندارد داده شود ریشه های واقعی(D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

به عنوان مثال: نابرابری باید حل شود:

D=1+288=289>0

راه حل این است

X≤-4/3 و x≥3/2

پاسخ (-∞؛ -4/3] U 7. (-∞؛ 2) U (3؛ ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞؛ -4) U (-4؛ ∞)

پاسخ ها در سمت عقب قرار می گیرند و پس از گذشت زمان تعیین شده قابل مشاهده هستند. انجام این کار در ابتدای درس با سیگنال معلم راحت تر است. (توجه، آماده شوید، شروع می کنیم). دستور "توقف" کار را قطع می کند.

ساعات کار بسته به سطح آمادگی کلاس تعیین می شود. افزایش سرعت نشانگر کار دانش آموز است.

توانایی حل نابرابری های درجه دوم نیز برای دانش آموزان هنگام شرکت در آزمون یکپارچه دولتی مفید خواهد بود. در مسائل گروه B، وظایف مربوط به توانایی حل نابرابری های درجه دوم به طور فزاینده ای مواجه می شوند.

مثلا:

یک سنگ به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود. تا زمانی که سنگ سقوط کند، ارتفاعی که در آن قرار دارد با فرمول توصیف می شود

(h - ارتفاع بر حسب متر، t - زمان بر حسب ثانیه سپری شده از لحظه پرتاب).

دریابید که این سنگ در ارتفاع حداقل 9 متری چند ثانیه بوده است.

برای حل آن لازم است یک نابرابری ایجاد کنیم:

5t 2 +18t-9≥0

پاسخ: 2.4 ثانیه

با شروع به دادن مثال هایی از آزمون دولتی واحد در حال حاضر در کلاس نهم در مرحله مطالعه مطالب، ما در حال آماده شدن برای امتحان هستیم؛ حل نابرابری های درجه دوم حاوی یک پارامتر حل مسائل از گروه C را امکان پذیر می کند.

رویکرد غیر رسمی به مطالعه موضوع در پایه نهم تسلط بر مطالب درس "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" را در موضوعاتی مانند "کاربرد مشتق" "حل نامساوی ها به روش فواصل" آسان تر می کند. ” حل نابرابری های لگاریتمی و نمایی ” ” حل نابرابری های غیر منطقی ” .

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است "نابرابری درجه دوم"؟سوالی نیست!) اگر می گیرید هرمعادله درجه دوم و علامت را در آن جایگزین کنید "=" (برابر) با هر علامت نابرابری ( > ≥ < ≤ ≠ ، یک نابرابری درجه دوم بدست می آوریم. مثلا:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

خوب فهمیدی...)

بی جهت نیست که معادلات و نابرابری ها را در اینجا به هم مرتبط کردم. نکته این است که اولین قدم در حل است هرنابرابری درجه دوم - معادله ای که این نابرابری از آن ساخته شده است را حل کنید.به همین دلیل، عدم توانایی در حل معادلات درجه دوم به طور خودکار منجر به شکست کامل در نابرابری ها می شود. آیا اشاره واضح است؟) اگر چیزی وجود دارد، به نحوه حل معادلات درجه دوم نگاه کنید. همه چیز در آنجا با جزئیات شرح داده شده است. و در این درس به نابرابری ها می پردازیم.

نابرابری آماده برای حل به شکل زیر است: ترک کرد - سه جمله ای درجه دوم تبر 2 +bx+c، در سمت راست - صفر.علامت نابرابری می تواند مطلقاً هر چیزی باشد. دو مثال اول در اینجا آمده است از قبل آماده تصمیم گیری هستند.مثال سوم هنوز باید آماده شود.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

برای اینکه بفهمیم چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم، باید بدانیم تابع درجه دوم چیست و چه ویژگی هایی دارد.

احتمالاً از خود پرسیده اید که چرا اصلاً تابع درجه دوم نیاز است؟ نمودار آن (پارابولا) را کجا می توانیم اعمال کنیم؟ بله، شما فقط باید به اطراف نگاه کنید، و هر روز متوجه خواهید شد زندگی روزمرهشما با او روبرو می شوید آیا دقت کرده اید که توپ پرتاب شده در تربیت بدنی چگونه پرواز می کند؟ "در امتداد قوس"؟ صحیح ترین پاسخ «پارابولا» خواهد بود! و جت در چه مسیری در فواره حرکت می کند؟ بله، همچنین در یک سهمی! گلوله یا گلوله چگونه پرواز می کند؟ درست است، همچنین در یک سهمی! بنابراین، با دانستن ویژگی های تابع درجه دوم، می توان بسیاری از مسائل عملی را حل کرد. به عنوان مثال، برای اطمینان از بیشترین فاصله، یک توپ باید در چه زاویه ای پرتاب شود؟ یا اگر پرتابه را با زاویه خاصی پرتاب کنید به کجا ختم می شود؟ و غیره.

تابع درجه دوم

بنابراین، بیایید آن را بفهمیم.

به عنوان مثال، . در اینجا برابر چیست و؟ خوب البته!

چه می شود اگر، یعنی کمتر از صفر؟ خوب، البته، ما "غمگین" هستیم، یعنی شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند! بیایید به نمودار نگاه کنیم.

این شکل نمودار تابع را نشان می دهد. از آنجایی که، یعنی کمتر از صفر، شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند. علاوه بر این، احتمالاً قبلاً متوجه شده اید که شاخه های این سهمی محور را قطع می کنند، یعنی معادله 2 ریشه دارد و تابع هم مقادیر مثبت و هم منفی را می گیرد!

در همان ابتدا که تعریف تابع درجه دوم را دادیم، گفته شد که و برخی از اعداد هستند. آیا می توانند برابر با صفر باشند؟ خوب، البته آنها می توانند! من حتی یک راز بزرگتر را فاش خواهم کرد (که اصلاً راز نیست، اما قابل ذکر است): هیچ محدودیتی برای این اعداد (و) وجود ندارد!

خوب، بیایید ببینیم اگر و برابر با صفر باشند، چه اتفاقی برای نمودارها می افتد.

همانطور که می بینید نمودارهای توابع (و) در نظر گرفته شده به گونه ای جابه جا شده اند که رئوس آنها اکنون در نقطه ای با مختصات یعنی در محل تلاقی محورها قرار دارند و این هیچ تاثیری در جهت شاخه ها ندارد. . بنابراین، می توان نتیجه گرفت که آنها مسئول "حرکت" نمودار سهمی در امتداد سیستم مختصات هستند.

نمودار یک تابع، محور را در یک نقطه لمس می کند. یعنی معادله یک ریشه دارد. بنابراین، تابع مقادیر بزرگتر یا مساوی صفر را می گیرد.

با نمودار تابع از همین منطق پیروی می کنیم. محور x را در نقطه ای لمس می کند. یعنی معادله یک ریشه دارد. بنابراین، تابع مقادیر کمتر یا مساوی صفر را می گیرد، یعنی.

بنابراین، برای تعیین علامت یک عبارت، اولین کاری که باید انجام دهید این است که ریشه های معادله را پیدا کنید. این برای ما بسیار مفید خواهد بود.

نابرابری درجه دوم

نابرابری درجه دومیک نابرابری است که از یک تابع درجه دوم تشکیل شده است. بنابراین، تمام نابرابری های درجه دوم به چهار نوع زیر کاهش می یابد:

هنگام حل چنین نابرابری ها، ما به توانایی تعیین اینکه یک تابع درجه دوم بزرگتر، کوچکتر یا مساوی صفر است نیاز داریم. به این معنا که:

اگر یک نابرابری از شکل داشته باشیم، در واقع کار به تعیین فاصله عددی مقادیری می‌شود که سهمی بالای محور قرار دارد.
اگر یک نابرابری از شکل داشته باشیم، در واقع کار به تعیین فاصله عددی مقادیر x می رسد که سهمی زیر محور قرار دارد.

اگر نابرابری‌ها دقیق نباشند، ریشه‌ها (مختصات تقاطع سهمی با محور) در بازه عددی مورد نظر قرار می‌گیرند؛ در مورد نابرابری‌های شدید، آنها حذف می‌شوند.

همه اینها کاملاً رسمی است، اما ناامید یا نترسید! حالا بیایید به مثال ها نگاه کنیم و همه چیز سر جای خودش قرار می گیرد.

هنگام حل نابرابری های درجه دوم، به الگوریتم داده شده پایبند خواهیم بود و موفقیت اجتناب ناپذیر در انتظار ما است!

الگوریتم	مثال:
1) بیایید معادله درجه دوم مربوط به نابرابری را بنویسیم (به سادگی علامت نابرابری را به علامت مساوی "=" تغییر دهید).
2) بیایید ریشه های این معادله را پیدا کنیم.
3) ریشه ها را روی محور علامت بزنید و جهت شاخه های سهمی را به صورت شماتیک نشان دهید ("بالا" یا "پایین")
4) بیایید علائم را روی محور مربوط به علامت تابع درجه دوم قرار دهیم: جایی که سهمی بالای محور است، " "، و جایی که در زیر - " " قرار دارد.
5) بازه(های) مربوط به " " یا "" را بسته به علامت نابرابری بنویسید. اگر نابرابری سختگیرانه نباشد، ریشه ها در فاصله گنجانده می شوند و اگر سختگیرانه باشد، نیستند.

فهمیدم؟ سپس ادامه دهید و آن را ایمن کنید!

خوب کار کرد؟ اگر مشکلی دارید، به دنبال راه حل باشید.

راه حل:

بیایید فواصل مربوط به علامت " " را بنویسیم، زیرا علامت نابرابری " " است. نابرابری دقیق نیست، بنابراین ریشه ها در فواصل قرار می گیرند:

بیایید معادله درجه دوم مربوطه را بنویسیم:

بیایید ریشه های این معادله درجه دوم را پیدا کنیم:

اجازه دهید ریشه های به دست آمده را به صورت شماتیک روی محور علامت گذاری کنیم و علائم را مرتب کنیم:

بیایید فواصل مربوط به علامت " " را بنویسیم، زیرا علامت نابرابری " " است. نابرابری سخت است، بنابراین ریشه ها در فواصل درج نمی شوند:

بیایید معادله درجه دوم مربوطه را بنویسیم:

بیایید ریشه های این معادله درجه دوم را پیدا کنیم:

این معادله یک ریشه دارد

اجازه دهید ریشه های به دست آمده را به صورت شماتیک روی محور علامت گذاری کنیم و علائم را مرتب کنیم:

بیایید فواصل مربوط به علامت " " را بنویسیم، زیرا علامت نابرابری " " است. برای هر کدام، تابع مقادیر غیر منفی می گیرد. از آنجایی که نابرابری سختگیرانه نیست، پاسخ خواهد بود.

بیایید معادله درجه دوم مربوطه را بنویسیم:

بیایید ریشه های این معادله درجه دوم را پیدا کنیم:

بیایید نمودار یک سهمی را به صورت شماتیک رسم کنیم و علائم را مرتب کنیم:

بیایید فواصل مربوط به علامت " " را بنویسیم، زیرا علامت نابرابری " " است. برای هر کدام، تابع مقادیر مثبت می گیرد، بنابراین، راه حل نابرابری بازه خواهد بود:

نابرابری های مربعی. سطح متوسط

تابع درجه دوم.

قبل از صحبت در مورد موضوع "نابرابری های درجه دوم"، بیایید به یاد بیاوریم که تابع درجه دوم چیست و نمودار آن چیست.

تابع درجه دوم تابعی از فرم است،

به عبارت دیگر، این چند جمله ای درجه دوم.

نمودار یک تابع درجه دوم یک سهمی است (به یاد داشته باشید که چیست؟). شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند اگر "الف) تابع فقط مقادیر مثبت را برای همه بگیرد و در دومی () - فقط مقادیر منفی:

در موردی که معادله () دقیقاً یک ریشه داشته باشد (مثلاً اگر ممیز صفر باشد)، به این معنی است که نمودار محور را لمس می کند:

سپس مانند حالت قبلی، for تابعی است که برای همه غیر منفی و for غیر مثبت است.

بنابراین، اخیراً یاد گرفتیم که چگونه تعیین کنیم که یک تابع درجه دوم بزرگتر از صفر و کجا کمتر است:

اگر نابرابری درجه دوم سخت نباشد، ریشه ها در بازه عددی گنجانده می شوند و اگر سخت باشد، نیستند.

اگر فقط یک ریشه وجود داشته باشد، اشکالی ندارد، همان علامت در همه جا وجود خواهد داشت. اگر ریشه وجود نداشته باشد، همه چیز فقط به ضریب بستگی دارد: اگر، پس کل عبارت بزرگتر از 0 است و بالعکس.

مثال ها (خودتان تصمیم بگیرید):

پاسخ ها:

هیچ ریشه ای وجود ندارد، بنابراین کل عبارت سمت چپ علامت ضریب پیشرو را می گیرد: برای همه. این بدان معناست که هیچ راه حلی برای نابرابری وجود ندارد.

اگر تابع درجه دوم سمت چپ "ناقص" باشد، پیدا کردن ریشه ها آسان تر است:

نابرابری های مربعی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

تابع درجه دومتابعی از شکل است:

نمودار تابع درجه دوم سهمی است. اگر شاخه های آن به سمت بالا و اگر:

اگر می خواهید یک بازه عددی پیدا کنید که در آن ثلث درجه دوم بزرگتر از صفر باشد، این بازه عددی است که سهمی بالای محور قرار دارد.
اگر می‌خواهید بازه‌ای عددی پیدا کنید که در آن ثلث درجه دوم کمتر از صفر باشد، این بازه عددی است که سهمی زیر محور قرار دارد.

انواع نابرابری های درجه دوم:

تمام نابرابری های درجه دوم به چهار نوع زیر کاهش می یابد:

الگوریتم حل:

الگوریتم	مثال:
1) معادله درجه دوم مربوط به نابرابری را بنویسیم (به سادگی علامت نابرابری را به علامت مساوی "" تغییر دهید).
2) بیایید ریشه های این معادله را پیدا کنیم.
3) ریشه ها را روی محور علامت بزنید و جهت شاخه های سهمی را به صورت شماتیک نشان دهید ("بالا" یا "پایین")
4) بیایید علائمی را روی محور مربوط به علامت تابع درجه دوم قرار دهیم: جایی که سهمی بالای محور است، " "" را قرار می دهیم و در زیر - " ".
5) بازه (های) مربوط به " " یا "" را بسته به علامت نابرابری بنویسید. اگر نابرابری سختگیرانه نباشد، ریشه ها در فاصله گنجانده می شوند و اگر سختگیرانه باشد، نیستند.

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای اتمام موفقیت آمیزآزمون یکپارچه دولتی، برای پذیرش در کالج با بودجه و از همه مهمتر، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که دریافت کردند یک آموزش خوب، بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که در برابر آنها چیزهای بیشتری وجود دارد امکانات بیشترو زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید یک کتاب درسی - 899 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

قبل از اینکه بفهمی، نحوه حل نابرابری درجه دوم، بیایید ببینیم چه نوع نابرابری درجه دوم نامیده می شود.

یاد آوردن!

نابرابری نامیده می شود مربع، اگر بالاترین (بزرگترین) درجه مجهول "x" برابر با دو باشد.

بیایید تشخیص نوع نابرابری را با استفاده از مثال ها تمرین کنیم.

نحوه حل نابرابری درجه دوم

در درس های قبلی نحوه حل نابرابری های خطی را بررسی کردیم. اما برخلاف نابرابری های خطیمربع ها به روشی کاملا متفاوت حل می شوند.

مهم!

حل یک نابرابری درجه دوم به روش خطی غیرممکن است!

برای حل نابرابری درجه دوم از روش خاصی استفاده می شود که به آن می گویند روش فاصله.

روش فاصله چیست

روش فاصلهیک روش ویژه برای حل نابرابری های درجه دوم است. در زیر نحوه استفاده از این روش و دلیل نامگذاری آن را توضیح خواهیم داد.

یاد آوردن!

برای حل یک نابرابری درجه دوم با استفاده از روش بازه:

ما درک می کنیم که درک قوانین توصیف شده در بالا فقط در تئوری دشوار است، بنابراین ما بلافاصله نمونه ای از حل یک نابرابری درجه دوم را با استفاده از الگوریتم بالا در نظر خواهیم گرفت.

ما باید یک نابرابری درجه دوم را حل کنیم.

اکنون، همانطور که گفته شد، بیایید "قوس" را در فواصل بین نقاط علامت گذاری شده ترسیم کنیم.

اجازه دهید علائم را در داخل فواصل قرار دهیم. متناوب از راست به چپ، با شروع با "+"، علائم را علامت گذاری می کنیم.

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که اجرا کنیم، یعنی فواصل مورد نیاز را انتخاب کرده و به عنوان پاسخ یادداشت کنیم. به نابرابری خود برگردیم.

از آنجایی که در نابرابری ما x 2 + x − 12 "، به این معنی که ما به فواصل منفی نیاز داریم. بیایید تمام قسمت های منفی روی خط اعداد را سایه بزنیم و آنها را به عنوان پاسخ یادداشت کنیم.

تنها یک بازه منفی وجود دارد که بین اعداد "-3" و "4" قرار دارد، بنابراین آن را در پاسخ به عنوان یک نامساوی مضاعف می نویسیم.
"-3".

اجازه دهید پاسخ حاصل از نابرابری درجه دوم را بنویسیم.

پاسخ: -3

به هر حال، دقیقاً به این دلیل است که هنگام حل یک نابرابری درجه دوم، فواصل بین اعداد را در نظر می گیریم که روش بازه نام خود را گرفت.

پس از دریافت پاسخ، منطقی است که آن را بررسی کنید تا از صحت تصمیم مطمئن شوید.

بیایید هر عددی را انتخاب کنیم که در ناحیه سایه‌دار پاسخ دریافتی باشد. −3" و آن را به جای "x" در نابرابری اصلی جایگزین کنید. اگر یک نابرابری صحیح به دست آوریم، پس پاسخ نابرابری درجه دوم را به درستی یافته ایم.

به عنوان مثال، عدد "0" را از فاصله زمانی در نظر بگیرید. بیایید آن را با نابرابری اصلی "x 2 + x - 12" جایگزین کنیم.

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (درست)

وقتی عددی را از ناحیه حل جایگزین می کنیم، نابرابری صحیح را به دست آوردیم، یعنی پاسخ درست پیدا شده است.

ضبط مختصر محلول با استفاده از روش فاصله

شکل اختصاری راه حل نابرابری درجه دوم " x 2 + x − 12" با روش بازه ای به این صورت خواهد بود:

X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0

x 1 =

1+ 7

x 2 =

1 − 7

x 1 =

x 2 =

x 1 =

1+ 1

x 2 =

1 − 1

x 1 =

x 2 =

x 1 =

x 2 = 0

پاسخ: x ≤ 0 ; x ≥

مثالی را در نظر بگیرید که در نابرابری درجه دوم یک ضریب منفی در مقابل "x 2" وجود دارد.

2. دالینگر V.A. اشتباهات رایجدر ریاضیات در امتحان ورودیو نحوه پیشگیری از آنها - Omsk: انتشارات Omsk IUU، 1991.

3. دالینگر V.A. همه چیز برای اطمینان از موفقیت در امتحانات نهایی و کنکور ریاضی. مسئله 5. معادلات نمایی، لگاریتمی، نابرابری ها و سیستم های آنها: آموزش. - اومسک: انتشارات دانشگاه دولتی آموزشی اومسک، 1996.

4. دالینگر V.A. آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی: خطاهای معمولی، علل آنها و راه های پیشگیری از آنها: کتاب درسی. - Omsk: "ناشر-Plygraphist"، 2002.

5. دالینگر V.A., Zubkov A.N. راهنمای قبولی در آزمون ریاضی: تحلیل اشتباهات متقاضیان در ریاضی و راه های پیشگیری از آن. - اومسک: انتشارات دانشگاه دولتی آموزشی اومسک، 1991.

6. Kutasov A.D. معادلات نمایی و لگاریتمی، نابرابری ها، سیستم ها: راهنمای آموزشی و روش شناختی N7. - انتشارات دانشگاه آزاد روسیه، 1992.

اشتباهات دانش آموزان هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها بسیار متنوع است: از قالب بندی نادرست راه حل تا خطاهای منطقی. این و سایر خطاها در این مقاله مورد بحث قرار خواهند گرفت.

1. معمولی ترین اشتباه این است که دانش آموزان هنگام حل معادلات و نابرابری ها بدون توضیح اضافی، از تبدیل هایی استفاده می کنند که هم ارزی را نقض می کند که منجر به از بین رفتن ریشه ها و ظاهر اسب های خارجی می شود.

بیایید نگاهی بیندازیم به نمونه های خاصاشتباهات از این دست، اما ابتدا توجه خواننده را به این فکر جلب می کنیم: از به دست آوردن ریشه های اضافی نترسید، آنها را می توان با بررسی دور انداخت، از از دست دادن ریشه ها بترسید.

الف) معادله را حل کنید:

log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x).

دانش آموزان اغلب این معادله را به صورت زیر حل می کنند.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x)، log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3، log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 ، (5 - x)(-1 - x) = 33، x2 - 4x - 32 = 0،

x1 = -4; x2 = 8.

دانش آموزان اغلب هر دو عدد را بدون استدلال بیشتر به عنوان پاسخ می نویسند. اما همانطور که یک بررسی نشان می دهد، عدد x = 8 ریشه معادله اصلی نیست، زیرا در x = 8 سمت چپ و راست معادله بی معنی می شود. بررسی نشان می دهد که عدد x = -4 ریشه معادله داده شده است.

ب) معادله را حل کنید

دامنه تعریف معادله اصلی توسط سیستم مشخص می شود

برای حل معادله داده شده، اجازه دهید به لگاریتم به پایه x برویم، دریافت می کنیم

می بینیم که سمت چپ و راست این آخرین معادله در x = 1 تعریف نشده است، اما این عدد ریشه معادله اصلی است (شما می توانید این را با جایگزینی مستقیم تأیید کنید). بنابراین، انتقال رسمی به یک پایه جدید منجر به از دست دادن ریشه شد. برای جلوگیری از از دست دادن ریشه x = 1، باید مشخص کنید که پایه جدید باید یک عدد مثبت غیر از یک باشد و حالت x = 1 را جداگانه در نظر بگیرید.

2. یک گروه کامل از خطاها یا بهتر بگوییم کاستی ها شامل این واقعیت است که دانش آموزان به یافتن دامنه تعریف معادلات توجه کافی ندارند، اگرچه در برخی موارد دقیقاً این است که کلید حل است. بیایید به یک مثال در این زمینه نگاه کنیم.

معادله را حل کنید

بیایید دامنه تعریف این معادله را پیدا کنیم که سیستم نامساوی را برای آن حل می کنیم:

از آنجایی که x = 0 داریم. اجازه دهید با جایگزینی مستقیم بررسی کنیم که آیا عدد x = 0 ریشه معادله اصلی است یا خیر.

پاسخ: x = 0.

3. یک اشتباه معمولی دانش آموزان این است که دانش لازم از تعاریف مفاهیم، فرمول ها، گزاره های قضایا و الگوریتم ها را ندارند. اجازه دهید با مثال زیر این موضوع را تایید کنیم.

معادله را حل کنید

در اینجا یک راه حل اشتباه برای این معادله وجود دارد:

بررسی نشان می دهد که x = -2 ریشه معادله اصلی نیست.

نتیجه این است که معادله داده شدهریشه ندارد

با این حال، اینطور نیست. با جایگزینی x = -4 در معادله داده شده، می توانیم ریشه بودن آن را تأیید کنیم.

بیایید تحلیل کنیم که چرا از دست دادن ریشه رخ داده است.

در معادله اصلی، عبارات x و x + 3 می توانند هر دو منفی یا هر دو در یک زمان مثبت باشند، اما هنگام حرکت به معادله، این عبارات یکسان فقط می توانند مثبت باشند. در نتیجه، ناحیه تعریف باریک شد که منجر به از بین رفتن ریشه ها شد.

برای جلوگیری از از دست دادن ریشه، می توانیم به صورت زیر عمل کنیم: در معادله اصلی از لگاریتم مجموع به لگاریتم حاصلضرب حرکت می کنیم. در این مورد، ظهور ریشه های خارجی امکان پذیر است، اما می توانید با جایگزینی از شر آنها خلاص شوید.

4. بسیاری از اشتباهات در حل معادلات و نابرابری ها نتیجه این واقعیت است که دانش آموزان اغلب سعی می کنند مسائل را بر اساس یک الگو، یعنی به روش معمول حل کنند. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

حل نابرابری

تلاش برای حل این نابرابری با استفاده از روش های الگوریتمی آشنا منجر به پاسخ نمی شود. راه حل در اینجا باید شامل تخمین مقادیر هر عبارت در سمت چپ نابرابری در دامنه تعریف نابرابری باشد.

اجازه دهید دامنه تعریف نابرابری را پیدا کنیم:

برای همه x از بازه (9;10] عبارت دارای مقادیر مثبت (مقادیر تابع نماییهمیشه مثبت).

برای تمام x از بازه (9;10]، عبارت x - 9 دارای مقادیر مثبت است، و عبارت lg(x - 9) دارای مقادیر منفی یا صفر است، سپس عبارت (- (x - 9) lg(x - 9) مثبت یا مساوی صفر است.

در نهایت x∈ داریم (9;10). توجه داشته باشید که برای چنین مقادیری از متغیر، هر جمله در سمت چپ نابرابری مثبت است (جمله دوم می تواند برابر با صفر باشد)، یعنی مجموع آنها همیشه است. بزرگتر از صفر است.بنابراین راه حل نابرابری اصلی شکاف است (9;10).

5. یکی از خطاها مربوط به حل گرافیکی معادلات است.

معادله را حل کنید

تجربه ما نشان می‌دهد که دانش‌آموزان، با حل این معادله به صورت گرافیکی (توجه داشته باشید که با روش‌های ابتدایی دیگر قابل حل نیست)، تنها یک ریشه دریافت می‌کنند (این ابسیسا نقطه‌ای است که روی خط y = x قرار دارد)، زیرا نمودارهای توابع

اینها نمودارهایی از توابع معکوس متقابل هستند.

در واقع معادله اصلی سه ریشه دارد: یکی از آنها ابسیسا نقطه قرار گرفته روی نیمساز اولین زاویه مختصات y = x، ریشه دیگر و ریشه سوم است، می توانید صحت آنچه گفته شد را بررسی کنید. با جایگزینی مستقیم اعداد در معادله داده شده.

توجه داشته باشید که معادلات شکل logax = تبر در 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

این مثال به خوبی نتیجه گیری زیر را نشان می دهد: راه حل گرافیکیمعادله f(x) = g(x) "بی عیب" است اگر هر دو تابع متفاوت باشند - یکنواخت (یکی از آنها در حال افزایش است و دیگری در حال کاهش) و از نظر ریاضی در مورد توابع یکنواخت به اندازه کافی صحیح نباشد (هر دو یا به طور همزمان کاهش یا افزایش همزمان).

6. تعدادی از اشتباهات معمولی با این واقعیت مرتبط است که دانش آموزان معادلات و نابرابری ها را به طور کامل بر اساس رویکرد عملکردی حل نمی کنند. بیایید خطاهای معمولی از این نوع را نشان دهیم.

الف) معادله xx = x را حل کنید.

تابع سمت چپ معادله نمایی است و اگر چنین است، پس محدودیت های زیر باید بر اساس درجه اعمال شوند: x > 0، x ≠ 1. اجازه دهید لگاریتم هر دو طرف معادله داده شده را در نظر بگیریم:

از آنجایی که x = 1 داریم.

لگاریتم سازی منجر به باریک شدن دامنه تعریف معادله اصلی نشد. اما با این وجود، ما دو ریشه معادله را از دست داده ایم. با مشاهده فوری متوجه می شویم که x = 1 و x = -1 ریشه های معادله اصلی هستند.

ب) معادله را حل کنید

مانند حالت قبل، یک تابع نمایی داریم که به معنای x > 0، x ≠ 1 است.

برای حل معادله اصلی، لگاریتم هر دو طرف را به هر پایه ای می گیریم، مثلاً به پایه 10:

با توجه به اینکه حاصل ضرب دو عامل برابر با صفر است که حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد و دیگری منطقی باشد، ترکیبی از دو سیستم داریم:

سیستم اول هیچ راه حلی ندارد. از سیستم دوم x = 1 بدست می آوریم. با در نظر گرفتن محدودیت های اعمال شده قبلی، عدد x = 1 نباید ریشه معادله اصلی باشد، اگرچه با جایگزینی مستقیم متقاعد شده ایم که اینطور نیست.

7. بیایید به برخی از خطاهای مرتبط با مفهوم نگاه کنیم تابع پیچیدهنوع . بیایید با استفاده از این مثال خطا را نشان دهیم.

نوع یکنواختی تابع را تعیین کنید.

تمرین ما نشان می دهد که اکثریت قریب به اتفاق دانش آموزان یکنواختی را در این مورد فقط با پایه لگاریتم تعیین می کنند و از 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

نه! این تابع در حال افزایش است.

به طور معمول، برای تابعی از فرم می توانیم بنویسیم:

افزایش (کاهش) = نزولی;

افزایش (افزایش) = زیاد شدن;

کم شدن (کاهش) = زیاد شدن;

کاهش (افزایش) = کم شدن;

8. معادله را حل کنید

این کار برگرفته از قسمت سوم آزمون یکپارچه دولتی است که با امتیاز ( حداکثر امتیاز - 4).

ما راه حلی ارائه می دهیم که حاوی خطا است، به این معنی که حداکثر امتیاز را دریافت نخواهد کرد.

لگاریتم ها را به پایه 3 کاهش می دهیم. معادله شکل می گیرد

با تقویت، به دست می آوریم

x1 = 1، x2 = 3.

بیایید بررسی کنیم تا ریشه های خارجی را شناسایی کنیم.

, 1 = 1,

این بدان معناست که x = 1 ریشه معادله اصلی است.

این بدان معناست که x = 3 ریشه معادله اصلی نیست.

اجازه دهید توضیح دهیم که چرا این راه حل حاوی خطا است. ماهیت خطا این است که رکورد حاوی دو خطای فاحش است. اشتباه اول: ضبط اصلا معنی ندارد. خطای دوم: این درست نیست که حاصل ضرب دو عامل که یکی از آنها صفر است، لزوماً صفر باشد. اگر و فقط اگر یک عامل 0 باشد صفر خواهد بود و عامل دوم منطقی است. اما در اینجا عامل دوم بی معنی است.

9. بیایید به خطایی که قبلاً در مورد آن توضیح داده شد بازگردیم، اما در عین حال استدلال جدیدی ارائه خواهیم کرد.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، به معادله بروید. هر ریشه معادله اول یک ریشه معادله دوم است. برعکس، به طور کلی، درست نیست، بنابراین، با حرکت از معادله ای به معادله دیگر، در پایان باید ریشه های دومی را با جایگزینی در معادله اصلی بررسی کرد. به جای بررسی ریشه ها، بهتر است معادله را با یک سیستم معادل جایگزین کنید

اگر هنگام تصمیم گیری معادله لگاریتمیاصطلاحات

جایی که n - عدد زوج، طبق فرمول های , , , تبدیل می شوند، پس از آنجایی که در بسیاری از موارد دامنه تعریف معادله را محدود می کند، از بین رفتن برخی از ریشه های آن امکان پذیر است. بنابراین، استفاده از این فرمول ها به شکل زیر توصیه می شود:

n یک عدد زوج است.

برعکس، اگر هنگام حل یک معادله لگاریتمی، عبارات , , که در آن n یک عدد زوج است به ترتیب به عبارت تبدیل شوند

سپس دامنه تعریف معادله ممکن است گسترش یابد، به همین دلیل ممکن است ریشه های خارجی به دست آید. با در نظر گرفتن این موضوع، در چنین شرایطی باید هم ارزی تبدیل ها را بررسی کرد و در صورت گسترش دامنه تعریف معادله، ریشه های حاصل را بررسی کرد.

10. هنگام تصمیم گیری نابرابری های لگاریتمیبا کمک جایگزینی، همیشه ابتدا یک نابرابری جدید را نسبت به یک متغیر جدید حل می کنیم و فقط در حل آن به سراغ متغیر قدیمی می رویم.

دانش آموزان اغلب به اشتباه زودتر، در مرحله یافتن ریشه ها، انتقال معکوس را انجام می دهند عملکرد منطقی، در سمت چپ نابرابری به دست می آید. این کار نباید انجام شود.

11. یک مثال از خطای دیگر مربوط به حل نابرابری ها را بیاوریم.

نابرابری را حل کنید