لگاریتم ها

تاریخچه لگاریتم ها

این نام توسط Napier معرفی شد و از کلمات یونانی logoz و ariumoz گرفته شده است - به معنای واقعی کلمه به معنای "تعداد روابط" است. لگاریتم توسط ناپیر اختراع شد. ناپیر لگاریتم را حداکثر تا سال 1594 اختراع کرد. لگاریتم با پایه آمعرفی شده توسط معلم ریاضی Speidel. کلمه پایه از نظریه قدرت ها وام گرفته شده و توسط اویلر به نظریه لگاریتم منتقل شده است. فعل "به لگاریتم" در قرن 19 در Coppe ظاهر شد. کوشی اولین کسی بود که پیشنهاد معرفی علائم مختلف برای اعشار و لگاریتم های طبیعی. نمادهای نزدیک به نمادهای مدرن توسط ریاضیدان آلمانی پرینگشیم در سال 1893 معرفی شدند. این او بود که لگاریتم را نشان داد عدد طبیعیاز طریق لوگاریتم. تعریف لگاریتم به عنوان توان یک پایه معین را می توان در والیس (1665)، برنولی (1694) یافت.

تعریف لگاریتم

لگاریتمعدد b>0 به پایه a>0، a ≠ 1، توانی نامیده می شود که برای بدست آوردن عدد b باید عدد a را به آن افزایش داد.

لگاریتم یک عدد b به پایه a نشان داده می شود: log a b

هویت لگاریتمی پایه

این برابری به سادگی شکل دیگری از تعریف لگاریتم است. اغلب نامیده می شود هویت لگاریتمی پایه

مثال

1. 3=log 2 8، چون 2³=8

2. ½=log 3 √3، زیرا 3 = √3

3. 3 لگ 3 1/5 = 1/5

4. 2=log √5 5، زیرا (√5)²=5

طبیعی و لگاریتم های اعشاری

طبیعیبه لگاریتمی گفته می شود که پایه آن برابر با e است. نشان داده شده با ln b، i.e.

اعشاریلگاریتمی نامیده می شود که پایه آن 10 است. با lg b نشان داده می شود، i.e.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

بگذارید: a > 0، a ≠ 1. سپس:

1. ثبت یک x*y=logax+logay (x>0، y>0)

2. ثبت یک y/x=logax-logay (x>0، y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. ثبت یک p x=1/p*logax (x>0)

مثال

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;

2) log 5 375– log 5 3 = log 5 375/3=log 5 125= 3;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3 = ½.

اشکال انتقال از لگاریتم در یک پایه به لگاریتم در پایه دیگر

1.log a b=log c b/log c a

2.log a b=1/log b a

معادلات لگاریتمی

1) معادلات حاوی یک متغیر در زیر علامت لگاریتمی (log) لگاریتمی نامیده می شوند. ساده ترین مثال از یک معادله لگاریتمی معادله ای به شکل log a x=b است که در آن a>0 و a=1 است.

2) حل معادله لگاریتمی به شکل: log a f(x)=log a g(x) (1) بر اساس این واقعیت است که معادل معادله ای به شکل f(x) = g(x) است. (2) با شرایط اضافی f(x)>0 و g(x)>0.

3) هنگام انتقال از معادله (1) به معادله (2)، ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شوند، بنابراین شناسایی آنها مستلزم تأیید است.

4) هنگام حل معادلات لگاریتمی، اغلب از روش جایگزینی استفاده می شود.

نتیجه

لگاریتمعددی که می تواند برای ساده کردن بسیاری از عملیات پیچیده حسابی استفاده شود. استفاده از لگاریتم به جای اعداد در محاسبات به شما امکان می دهد ضرب را با عملیات ساده تر جمع، تقسیم با تفریق، توان با ضرب و استخراج ریشه با تقسیم جایگزین کنید.

تنها راه اجرا سفرهای طولانیناوبری وجود داشت که همیشه با انجام حجم زیادی از محاسبات ناوبری همراه است. اکنون تصور فرآیند محاسبات طاقت فرسا هنگام ضرب و تقسیم اعداد پنج رقمی "با دست" دشوار است. متکلم، به دلیل ماهیت فعالیت اصلی خود، انجام محاسبات مثلثاتی در اوقات فراغت خود، به این نتیجه رسید که روش پر زحمت ضرب را با جمع ساده جایگزین کند. او خودش گفت که هدفش «رهایی از سختی و کسالت محاسباتی است که بسیاری را از مطالعه ریاضیات منصرف می‌کند». تلاش ها با موفقیت به پایان رسید - یک دستگاه ریاضی به نام سیستم لگاریتم ایجاد شد.

بنابراین لگاریتم چیست؟ اساس محاسبات لگاریتمی یک نمایش متفاوت از عدد است: به جای سیستم موقعیتی معمول، همانطور که ما عادت کرده ایم، عدد A به شکل نمایش داده می شود. بیان قدرت، جایی که مقدار دلخواه N که پایه توان نامیده می شود، به توانی n افزایش می یابد که حاصل آن عدد A است. بنابراین، n لگاریتم عدد A به پایه N است. انتخاب پایه لگاریتم ها نام سیستم را تعیین می کند. برای محاسبات ساده از سیستم اعشاری لگاریتم استفاده می شود و در علم و فناوری از سیستم لگاریتم طبیعی استفاده می شود که در آن پایه عدد غیر منطقی e = 2.718 است. عبارتی که لگاریتم عدد A را تعریف می کند در زبان ریاضی به صورت زیر نوشته می شود:

n=log(N)A، که در آن N ریشه است.

لگاریتم های اعشاری و طبیعی شکل مختصر مختص به خود را دارند - به ترتیب lgA و lnA.

در یک سیستم محاسباتی که از لگاریتم استفاده می‌کند، عنصر اصلی تبدیل یک عدد به شکل توانی با استفاده از جدول لگاریتم به پایه‌ای، برای مثال 10 است. این دستکاری هیچ مشکلی ایجاد نمی‌کند. در مرحله بعد از خاصیت اعداد توانی استفاده می کنیم که با ضرب توان آنها جمع می شود. در عمل، این بدان معنی است که ضرب اعداد با نمایش لگاریتمی با جمع توان آنها جایگزین می شود. بنابراین، سؤال "لگاریتم چیست"، اگر به "چرا به آن نیاز داریم" ادامه یابد، پاسخ ساده ای دارد - برای ساده کردن روش ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی - در نهایت، جمع ستون بسیار ساده تر است. از ضرب ستون هر کسی که آن را باور ندارد باید دو عدد هشت رقمی را جمع و ضرب کند.

اولین جداول لگاریتم (بر اساس c) توسط جان ناپیر در سال 1614 منتشر شد و نسخه کاملاً بدون خطا شامل جداول لگاریتم اعشاری در سال 1857 ظاهر شد و به جداول بریمیکر معروف است. استفاده از لگاریتم با پایه در شکل به این دلیل است که عدد e بسیار ساده است که از سری تیلور استفاده کنید کاربرد گستردهدر انتگرال و

ماهیت این سیستم محاسباتی در پاسخ به سؤال "لگاریتم چیست" وجود دارد و از هویت لگاریتمی اصلی نتیجه می گیرد: N (پایه لگاریتم) n برابر با لگاریتم عدد A(logA) برابر است با این عدد A. در این مورد، A>0، یعنی . لگاریتم فقط برای اعداد مثبت تعریف می شود و پایه لگاریتم همیشه بزرگتر از 0 است و مساوی 1 نیست. بر اساس موارد فوق، خواص لگاریتم طبیعی را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

1. دامنه تعریف لگاریتم طبیعی کل محور عددی از 0 تا بی نهایت است.
2. ln x = 0 - نتیجه رابطه معروف - هر عددی به توان صفر برابر با 1 است.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - مهمترین ویژگی برای دستکاری های محاسباتی، لگاریتم حاصلضرب دو عدد رامن و مجموع لگاریتم های هر یک از آنها است.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - لگاریتم ضریب دو عدد برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد.
5. ln (X)n =n*ln X.
6. لگاریتم طبیعی یک تابع محدب قابل تمایز و رو به بالا با ln' X = 1 / X است.
7. log (N)A =K* ln A - لگاریتم به هر پایه مثبتی که از عدد e متفاوت باشد با پایه طبیعی فقط با ضریب متفاوت است.

اکنون هر دانش آموز می داند لگاریتم چیست، اما به لطف پیشرفت در زمینه کاربردی فناوری رایانهمشکلات محاسباتی مربوط به گذشته است. با این حال، لگاریتم ها، قبلاً به عنوان یک ابزار ریاضی، هنگام حل معادلات با مجهولات در توان، در عباراتی برای یافتن زمان استفاده می شوند.

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص معادلات با لگاریتم.

این مطلقا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب. اکنون، تنها در 10 تا 20 دقیقه شما:

1. متوجه خواهید شد لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل را یاد بگیرید معادلات نمایی. حتی اگر چیزی در مورد آنها نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب و نحوه افزایش یک عدد به توان را بدانید...

احساس میکنم شک داری...خب باشه، ساعت رو مشخص کن! برو!

ابتدا این معادله را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون، در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه لگاریتم x توانی است که برای بدست آوردن x باید a را به آن افزایش داد.

علامت گذاری: log a x = b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b چیزی است که لگاریتم در واقع برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان موفقیت، log 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه معین را لگاریتم سازی می گویند. بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
گزارش 2 2 = 1	گزارش 2 4 = 2	گزارش 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بازه قرار می گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). بسیاری از مردم در ابتدا اشتباه می گیرند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های آزار دهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم یک قدرت است، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه لگاریتم ها را بشمارید. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف مدرک به دست می آید شاخص منطقی، که تعریف لگاریتم به آن می رسد.
2. پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود منطقه ارزش های قابل قبول (ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط در حال بررسی هستیم عبارات عددی، جایی که نیازی به دانستن CVD لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان مشکلات در نظر گرفته شده است. اما وقتی می روند معادلات لگاریتمیو نابرابری، الزامات DHS اجباری خواهد شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حال بیایید به طرح کلی محاسبه لگاریتم نگاه کنیم. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. الزامی که پایه باشد بیش از یکی، بسیار مرتبط است: احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. همینطور اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با استفاده از مثال‌های خاص چگونه کار می‌کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. جواب گرفتیم: 2.

وظیفه. محاسبه لگاریتم:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. جواب گرفتیم: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. جواب گرفتیم: 0.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده است - فقط آن را در فاکتورهای اصلی قرار دهید. و اگر چنین عواملی را نتوان به توانهایی با توانهای یکسان جمع کرد، آنگاه عدد اصلی یک توان دقیق نیست.

وظیفه. دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - دوباره قدرت دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیق خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را به آن افزایش داد. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این یک لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. این در مورد استدر مورد لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی x لگاریتم به پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. من فقط ارقام اول را ارائه می کنم:
e = 2.718281828459...

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویاغیر منطقی البته به جز یکی: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

در قرن شانزدهم، ناوبری به سرعت توسعه یافت. بنابراین، مشاهدات از اجرام آسمانی. برای ساده کردن محاسبات نجومی، در اواخر قرن 16 و اوایل قرن 17، محاسبات لگاریتمی.

ارزش روش لگاریتمی در کاهش ضرب و تقسیم اعداد به جمع و تفریق نهفته است. اقدامات کم کارتر به خصوص اگر مجبور باشید با اعداد چند رقمی کار کنید.

روش بورگی

اولین جداول لگاریتمی توسط ریاضیدان سوئیسی جوست بورگی در سال 1590 گردآوری شد. ماهیت روش او به شرح زیر بود.

برای ضرب به عنوان مثال 10000 در 1000 کافی است تعداد صفرهای ضریب و ضریب را بشمارید و آنها را جمع کنید (4 + 3) و حاصل ضرب را 10000000 بنویسید (7 صفر). ضرایب، توان های صحیح عدد 10 هستند. هنگام ضرب، توان های توان ها جمع می شوند. تقسیم بندی نیز انجام می شود. با تفریق توان جایگزین می شود.

بنابراین، همه اعداد را نمی توان تقسیم و ضرب کرد. اما اگر عددی نزدیک به 1 را به عنوان مبنا در نظر بگیرید تعداد آنها بیشتر خواهد بود.مثلاً 1.000001.

این همان کاری است که جوست بورگی، ریاضیدان چهارصد سال پیش انجام داد. درست است، او کار خود "جدول حساب و هندسی، همراه با دستورالعمل های کامل ..." را تنها در سال 1620 منتشر کرد.

یوست بورگی در 28 فوریه 1552 در لیختن اشتاین به دنیا آمد. از سال 1579 تا 1604 او به عنوان منجم دربار برای لندگرو هسن کاسل، ویلهلم چهارم خدمت کرد. بعدها با امپراتور رودولف دوم در پراگ. یک سال قبل از مرگش، در سال 1631، در کاسل. بورگی همچنین به عنوان مخترع اولین ساعت آونگی شناخته می شود.

میزهای ناپیر

در سال 1614، جداول جان ناپیر ظاهر شد. این دانشمند نیز عددی نزدیک به یک را به عنوان پایه در نظر گرفته است. اما کمتر از یک بود.

بارون اسکاتلندی جان ناپیر (1550-1617) در زادگاه خود تحصیل کرد. عاشق سفر بود. از آلمان، فرانسه و اسپانیا دیدن کرد. در سن 21 سالگی به ملک خانوادگی نزدیک ادینبورگ بازگشت و تا زمان مرگش در آنجا زندگی کرد. او در رشته الهیات و ریاضیات تحصیل کرد. او دومی را از آثار اقلیدس، ارشمیدس و کوپرنیک مطالعه کرد.

لگاریتم های اعشاری

ناپیر و بریگ انگلیسی به فکر تهیه جدولی از لگاریتم های اعشاری بودند. آنها کار را بر روی محاسبه مجدد جداول Napier که قبلاً جمع آوری شده بودند، شروع کردند. پس از مرگ ناپیر، بریگ آن را ادامه داد. او این اثر را در سال 1624 منتشر کرد. بنابراین به اعشار برگی نیز می گویند.

تدوین جداول لگاریتمی نیازمند سالها کار فشرده دانشمندان بود. اما بهره وری هزاران ماشین حسابی که از جداول تهیه شده استفاده می کردند چندین برابر افزایش یافت.