توابع گناه، cos، tg و ctg همیشه با آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت و آرکوتانژانت همراه هستند. یکی نتیجه دیگری است و جفت توابع برای کار با عبارات مثلثاتی به یک اندازه مهم هستند.

بیایید به نقاشی نگاه کنیم دایره واحد، که به صورت گرافیکی مقادیر را نمایش می دهد توابع مثلثاتی.

اگر کمان های OA، arcos OC، arctg DE و arcctg MK را محاسبه کنیم، آنگاه همه آنها برابر با مقدار زاویه α خواهند بود. فرمول های زیر رابطه بین توابع مثلثاتی پایه و قوس های متناظر آنها را نشان می دهند.

برای درک بیشتر در مورد خواص آرکسین، لازم است عملکرد آن را در نظر بگیرید. برنامه شکل یک منحنی نامتقارن دارد که از مرکز مختصات می گذرد.

خواص آرکسین:

اگر نمودارها را با هم مقایسه کنیم گناهو آرکسین، دو تابع مثلثاتی می توانند الگوهای مشترکی داشته باشند.

کسینوس قوسی

آرکوس یک عدد مقدار زاویه α است که کسینوس آن برابر با a است.

منحنی y = arcos xآینه نمودار آرکسین x تنها با این تفاوت که از نقطه π/2 در محور OY می گذرد.

بیایید به تابع کسینوس قوس با جزئیات بیشتر نگاه کنیم:

1. تابع در بازه [-1; 1].
2. ODZ برای آرکوس - .
3. نمودار کاملاً در ربع اول و دوم قرار دارد و خود تابع نه زوج است و نه فرد.
4. Y = 0 در x = 1.
5. منحنی در تمام طول آن کاهش می یابد. برخی از خصوصیات کسینوس قوس با تابع کسینوس منطبق است.

برخی از خصوصیات کسینوس قوس با تابع کسینوس منطبق است.

شاید دانش آموزان مدرسه چنین مطالعه "جزئیات" "طاق" را غیر ضروری بدانند. با این حال، در غیر این صورت، برخی از معمولی اولیه تکالیف آزمون دولتی واحدممکن است دانش آموزان را دچار سردرگمی کند.

تمرین 1.توابع نشان داده شده در شکل را مشخص کنید.

پاسخ:برنج. 1 – 4، شکل 2 – 1.

در این مثال، تاکید بر چیزهای کوچک است. به طور معمول، دانش آموزان به ساخت نمودارها و ظاهر توابع بسیار بی توجه هستند. در واقع، اگر همیشه می توان با استفاده از نقاط محاسبه شده آن را ترسیم کرد، چرا نوع منحنی را به خاطر بسپارید. فراموش نکنید که در شرایط آزمایش، زمان صرف شده برای طراحی یک کار ساده برای حل کارهای پیچیده تر مورد نیاز است.

Arctangent

Arctgاعداد a مقدار زاویه α هستند به طوری که مماس آن برابر با a باشد.

اگر نمودار قطبی را در نظر بگیریم، می‌توانیم ویژگی‌های زیر را برجسته کنیم:

1. نمودار بی نهایت است و در بازه (- ∞؛ + ∞) تعریف شده است.
2. Arctangent تابع فردبنابراین، arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 در x = 0.
4. منحنی در کل منطقه تعریف افزایش می یابد.

در اینجا کوتاه است تحلیل مقایسه ای tg x و arctg x به شکل جدول.

Arccotangent

Arcctg یک عدد - مقدار α را از بازه (0؛ π) می گیرد، به طوری که همتجانس آن برابر با a است.

ویژگی های تابع کتانژانت قوس:

1. بازه تعریف تابع بی نهایت است.
2. منطقه ارزش های قابل قبول- فاصله (0؛ π).
3. F(x) نه زوج است و نه فرد.
4. در تمام طول آن، نمودار تابع کاهش می یابد.

مقایسه ctg x و arctg x بسیار ساده است.

وظیفه 2.نمودار و شکل نماد تابع را مطابقت دهید.

اگر منطقی فکر کنیم، از نمودارها مشخص است که هر دو تابع در حال افزایش هستند. بنابراین، هر دو شکل یک تابع آرکتان خاص را نشان می دهند. از خواص مماس قطبی مشخص می شود که y=0 در x = 0،

پاسخ:برنج. 1-1، شکل. 2-4.

هویت های مثلثاتی arcsin، arcos، arctg و arcctg

قبلاً، ما قبلاً رابطه بین قوس ها و عملکردهای اساسی مثلثات را شناسایی کرده ایم. این وابستگی را می توان با تعدادی فرمول بیان کرد که به فرد اجازه می دهد، به عنوان مثال، سینوس یک آرگومان را از طریق آرکسین، آرکوزین یا برعکس بیان کند. دانستن چنین هویت هایی می تواند در حل مثال های خاص مفید باشد.

همچنین روابطی برای arctg و arcctg وجود دارد:

یک جفت فرمول مفید دیگر مقدار مجموع arcsin و arcos و همچنین arcctg و arcctg از یک زاویه را تعیین می کند.

نمونه هایی از حل مسئله

وظایف مثلثاتی را می توان به چهار گروه تقسیم کرد: محاسبه مقدار عددییک عبارت خاص، یک نمودار از این تابع بسازید، دامنه تعریف یا ODZ آن را پیدا کنید و برای حل مثال، تبدیل‌های تحلیلی انجام دهید.

هنگام حل مشکل نوع اول، باید به برنامه عمل زیر پایبند باشید:

هنگام کار با نمودارهای تابع، نکته اصلی آگاهی از ویژگی های آنها و ظاهرکج برای راه حل ها معادلات مثلثاتیو نابرابری ها، جداول هویت مورد نیاز است. هر چه دانش آموز فرمول های بیشتری را به خاطر بسپارد، یافتن پاسخ تکلیف آسان تر است.

فرض کنید در آزمون یکپارچه ایالت باید پاسخ معادله ای مانند:

اگر به درستی عبارت را تبدیل کنیم و منجر به نوع مناسب، سپس حل آن بسیار ساده و سریع است. ابتدا، arcsin x را به سمت راست تساوی منتقل می کنیم.

اگر فرمول را به خاطر داشته باشید arcsin (sin α) = α، سپس می توانیم جستجوی پاسخ ها را به حل یک سیستم از دو معادله کاهش دهیم:

محدودیت در مدل x دوباره از ویژگی‌های arcsin ایجاد شد: ODZ برای x [-1; 1]. وقتی یک ≠0، بخشی از سیستم است معادله درجه دومبا ریشه های x1 = 1 و x2 = - 1/a. وقتی a = 0 باشد، x برابر با 1 خواهد بود.

درس و ارائه با موضوع: "Arcsine. جدول arcsines. Formula y=arcsin(x)"

مواد اضافی
کاربران عزیز، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه اینترنتی Integral برای درجه 10 از 1C
محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.1"
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:
1. آرکسین چیست؟
2. نماد آرکسین.
3. کمی تاریخ.
4. تعریف.

6. مثال ها.

آرکسین چیست؟

بچه ها، ما قبلاً یاد گرفتیم که چگونه معادلات کسینوس را حل کنیم، اکنون بیاموزیم که چگونه معادلات مشابه را برای سینوس حل کنیم. sin(x)= √3/2 را در نظر بگیرید. برای حل این معادله باید یک خط مستقیم y= √3/2 بسازید و ببینید در چه نقاطی قطع می شود. دایره اعداد. می توان دید که خط مستقیم دایره را در دو نقطه F و G قطع می کند. این نقاط حل معادله ما خواهند بود. بیایید F را به عنوان x1 و G را به عنوان x2 دوباره طراحی کنیم. ما قبلاً جواب این معادله را پیدا کرده ایم و به دست می آوریم: x1= π/3 + 2πk،
و x2= 2π/3 + 2πk.

تصميم گرفتن معادله داده شدهبسیار ساده است، اما چگونه می توان به عنوان مثال، معادله را حل کرد
sin(x)= 5/6. بدیهی است که این معادله نیز دو ریشه خواهد داشت، اما چه مقادیری با جواب روی دایره اعداد مطابقت دارد؟ بیایید نگاهی دقیق تر به معادله sin(x)= 5/6 بیندازیم.
جواب معادله ما دو نقطه خواهد بود: F= x1 + 2πk و G= x2 ​​+ 2πk.
که در آن x1 طول قوس AF است، x2 طول قوس AG است.
توجه: x2= π - x1، زیرا AF= AC - FC، اما FC= AG، AF= AC - AG= π - x1.
اما این نکات چیست؟

در مواجهه با وضعیت مشابه، ریاضیدانان نماد جدیدی را ارائه کردند - arcsin(x). به صورت آرکسین خوانده شود.

سپس جواب معادله ما به صورت زیر نوشته می شود: x1= arcsin(5/6)، x2= π -arcsin(5/6).

و راه حل این است نمای کلی: x= arcsin(5/6) + 2πk و x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
آرکسین زاویه (طول قوس AF، AG) سینوس است که برابر با 5/6 است.

تاریخچه کمی از آرکسین

تاریخچه پیدایش نماد ما دقیقاً مانند آرکوس است. نماد آرکسین اولین بار در آثار ریاضیدان شرفر و دانشمند مشهور فرانسوی J.L. لاگرانژ. کمی پیشتر، مفهوم آرکسین توسط D. Bernouli مورد توجه قرار گرفت، اگرچه او آن را با نمادهای مختلف نوشت.

این نمادها فقط در سراسر جهان پذیرفته شدند اواخر هجدهمقرن ها پیشوند "قوس" از لاتین "arcus" (کمان، کمان) می آید. این کاملاً با مفهوم این مفهوم سازگار است: arcsin x یک زاویه (یا شاید بتوان گفت یک کمان) است که سینوس آن برابر با x است.

تعریف آرکسین

اگر |a|≤ 1 باشد، arcsin(a) عددی از بخش [- π/2; π/2] که سینوس آن برابر با a است.

اگر |a|≤ 1 باشد، معادله sin(x)= a راه حل دارد: x= arcsin(a) + 2πk و
x= π - arcsin(a) + 2πk

بیایید بازنویسی کنیم:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

بچه ها، به دو راه حل ما با دقت نگاه کنید. نظر شما چیست: آیا می توان آنها را با استفاده از یک فرمول کلی نوشت؟ توجه داشته باشید که اگر یک علامت مثبت در جلوی آرکسین وجود داشته باشد، π در آن ضرب می شود عدد زوج 2πk و اگر علامت منهای باشد، ضریب 2k+1 فرد است.
با در نظر گرفتن این موضوع، اجازه دهید بنویسیم فرمول کلیراه حل های معادله sin(x)=a:

سه مورد وجود دارد که ترجیح داده می شود راه حل ها را به روشی ساده تر یادداشت کنید:

sin(x)=0، سپس x= πk،

sin(x)=1، سپس x= π/2 + 2πk،

sin(x)=-1، سپس x= -π/2 + 2πk.

برای هر -1 ≤ a ≤ 1 برابری برقرار است: arcsin(-a)=-arcsin(a).

بیایید جدول مقادیر کسینوس را برعکس بنویسیم و جدولی برای آرکسینوس بدست آوریم.

مثال ها

1. محاسبه: arcsin(√3/2).
راه حل: اجازه دهید arcsin(√3/2)= x، سپس sin(x)= √3/2. طبق تعریف: - π/2 ≤x≤ π/2. بیایید به مقادیر سینوس در جدول نگاه کنیم: x= π/3، زیرا sin(π/3)= √3/2 و –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
پاسخ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. محاسبه: arcsin(-1/2).
راه حل: اجازه دهید arcsin(-1/2)= x، سپس sin(x)= -1/2. طبق تعریف: - π/2 ≤x≤ π/2. بیایید به مقادیر سینوس در جدول نگاه کنیم: x= -π/6، زیرا sin(-π/6)= -1/2 و -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
پاسخ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. محاسبه کنید: arcsin(0).
راه حل: اجازه دهید arcsin(0)= x، سپس sin(x)= 0. طبق تعریف: - π/2 ≤x≤ π/2. بیایید به مقادیر سینوس در جدول نگاه کنیم: به معنای x = 0 است، زیرا sin(0)= 0 و - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. پاسخ: arcsin(0)=0.

4. معادله را حل کنید: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk و x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
بیایید به مقدار جدول نگاه کنیم: arcsin (-√2/2)= -π/4.
پاسخ: x= -π/4 + 2πk و x= 5π/4 + 2πk.

5. معادله sin(x) = 0 را حل کنید.
راه حل: بیایید از تعریف استفاده کنیم، سپس راه حل به شکل زیر نوشته می شود:
x= arcsin(0) + 2πk و x= π - arcsin(0) + 2πk. بیایید به مقدار جدول نگاه کنیم: arcsin(0)= 0.
پاسخ: x= 2πk و x= π + 2πk

6. معادله sin(x) = 3/5 را حل کنید.
راه حل: بیایید از تعریف استفاده کنیم، سپس راه حل به شکل زیر نوشته می شود:
x= arcsin(3/5) + 2πk و x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
پاسخ: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. حل نابرابری sin(x) راه حل: سینوس ممتاز یک نقطه روی دایره عددی است. یعنی: ما باید نقاطی را پیدا کنیم که مختصات آنها کمتر از 0.7 باشد. یک خط مستقیم y=0.7 رسم می کنیم. دایره عددی را در دو نقطه قطع می کند. نابرابری y سپس راه حل نابرابری خواهد بود: -π – arcsin(0.7) + 2πk

مشکلات آرکسین برای حل مستقل

1) محاسبه کنید: a) arcsin(√2/2)، b) arcsin(1/2)، ج) arcsin(1)، د) arcsin(-0.8).
2) معادله را حل کنید: الف) sin(x) = 1/2، ب) sin(x) = 1، ج) sin(x) = √3/2، د) sin(x) = 0.25،
ه) sin(x) = -1.2.
3) نابرابری را حل کنید: الف) گناه (x)> 0.6، ب) گناه (x) ≤ 1/2.

آرکتانژانت (y = arctan x) تابع معکوس مماس است (x = tg y
tg(arctg x) = x
آرکتان (tg x) = x

آرکتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع قطبی

نمودار تابع y = arctan x

نمودار مماس از نمودار مماس به دست می آید اگر محورهای ابسیسا و مختصات عوض شوند. برای از بین بردن ابهام، مجموعه مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی تانژانت نامیده می شود.

Arccotangent، arcctg

مماس قوس (y = arcctg x) تابع معکوس کوتانژانت است (x = ctg y). یک حوزه تعریف و مجموعه ای از معانی دارد.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

آرکوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع مماس معکوس

نمودار تابع y = arcctg x

گراف کوتانژانت قوسی از نمودار کوتانژانت به دست می آید در صورتی که محورهای ابسیسا و ارتین با هم عوض شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی کوتانژانت قوس نامیده می شود.

برابری

تابع متقاطع فرد است:
آرکتان (- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x

تابع مماس معکوس زوج یا فرد نیست:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع قوس و مماس قوس در محدوده تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند. (رجوع کنید به اثبات تداوم). خصوصیات اصلی آرکتانژانت و آرکوتانژانت در جدول ارائه شده است.

	y = arctan x	y = arcctg x
دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
معانی متعدد
صعودی، نزولی	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
اوج، پایین	خیر	خیر
صفر، y = 0	x = 0	خیر
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	y = 0	y = π/ 2
	-	π
		0

جدول آرکتتانژانت ها و تانژانت های قوسی

این جدول مقادیر آرکتانژانت ها و مماس های قوسی را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

ایکس	arctan x		arcctg x
	تگرگ	خوشحالم	تگرگ	خوشحالم
- ∞	- 90 درجه	-	180 درجه	π
-	- 60 درجه	-	150 درجه
- 1	- 45 درجه	-	135 درجه
-	- 30 درجه	-	120 درجه
0	0°	0	90 درجه
	30 درجه		60 درجه
1	45 درجه		45 درجه
	60 درجه		30 درجه
+ ∞	90 درجه		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

فرمول ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در

در

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

,
.

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

رجوع کنید به مشتقات قوس مماس و مشتقات قوس مماس > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
اجازه دهید . سپس مشتق مرتبه n تانژانت را می توان به یکی از روش های زیر نشان داد:
;
.
نماد یعنی قسمت خیالیعبارت زیر

به مشتقات مرتبه بالاتر مشتقات قطبی و آرکوتانژانت > > > مراجعه کنید
فرمول های مشتقات پنج مرتبه اول نیز در آنجا آورده شده است.

به طور مشابه برای مماس قوس. اجازه دهید . سپس
;
.

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم tg tو ادغام با قطعات:
;
;
;

بیایید مماس قوس را از طریق مماس قوس بیان کنیم:
.

گسترش سری پاور

وقتی |x| ≤ 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس مماس و کمانژانت به ترتیب مماس و کوتانژانت هستند.

فرمول های زیردر کل دامنه تعریف معتبر است:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

فرمول های زیر فقط بر روی مجموعه مقادیر آرکتتانژانت و قوس مماس معتبر هستند:
آرکتان (tg x) = xدر
arcctg(ctg x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

در ابتدای برنامه، دانش آموزان با ایده حل معادلات مثلثاتی آشنا شدند، با مفاهیم کسینوس قوس و سینوس قوس و نمونه هایی از راه حل ها آشنا شدند. معادلات cos t = a و sin t = a. در این فیلم آموزشی به حل معادلات tg x = a و ctg x = a خواهیم پرداخت.

برای شروع مطالعه این موضوع، معادلات tg x = 3 و tg x = - 3 را در نظر بگیرید. اگر معادله tg x = 3 را با استفاده از نمودار حل کنیم، خواهیم دید که تقاطع نمودارهای توابع y = tg x و y = 3 دارد مجموعه بی نهایتراه حل ها، که در آن x = x 1 + πk. مقدار x 1 مختصات x نقطه تقاطع نمودارهای توابع y = tan x و y = 3 است. نویسنده مفهوم قطبی را معرفی می کند: arctan 3 عددی است که tan آن برابر با 3 است و این عدد متعلق به فاصله -π/2 تا π/2 است. با استفاده از مفهوم قطبی، جواب معادله tan x = 3 را می توان به صورت x = arctan 3 + πk نوشت.

بر اساس قیاس، معادله tg x = - 3 از نمودارهای ساخته شده از توابع y = tg x و y = - 3، مشخص می شود که نقاط تلاقی نمودارها، و در نتیجه راه حل های معادلات، خواهد بود. x = x 2 + πk باشد. با استفاده از تانژانت، راه حل را می توان به صورت x = arctan (- 3) + πk نوشت. در شکل بعدی می بینیم که arctg (- 3) = - arctg 3.

تعریف کلی تانژانت قوسی به این صورت است: مماس قوس a عددی از فاصله -π/2 تا π/2 است که مماس آن برابر با a است. سپس جواب معادله tan x = a x = arctan a + πk است.

نویسنده مثال 1 را ارائه می دهد. اجازه دهید این نماد را معرفی کنیم: مماس قوس یک عدد برابر با x است، سپس tg x برابر با عدد داده شده است، که در آن x متعلق به بخش -π است. /2 تا π/2. مانند مثال های مباحث قبلی، از جدول مقادیر استفاده خواهیم کرد. با توجه به این جدول، مماس شماره داده شدهبا مقدار x = π/3 مطابقت دارد. اجازه دهید راه حل معادله را بنویسیم: مماس قوس یک عدد معین برابر با π/3 است، π/3 نیز متعلق به بازه -π/2 تا π/2 است.

مثال 2 - محاسبه آرکتانژانت عدد منفی. با استفاده از برابری arctg (- a) = - arctg a مقدار x را وارد می کنیم. مشابه مثال 2، مقدار x را می نویسیم که متعلق به بخش -π/2 تا π/2 است. از جدول مقادیر متوجه می شویم که x = π/3، بنابراین - tg x = - π/3. پاسخ معادله - π/3 است.

بیایید مثال 3 را در نظر بگیریم. معادله tg x = 1 را حل کنید. بنویسید که x = arctan 1 + πk. در جدول، مقدار tg 1 مربوط به مقدار x = π/4 است، بنابراین، arctg 1 = π/4 است. بیایید این مقدار را با فرمول اصلی x جایگزین کنیم و پاسخ x = π/4 + πk را بنویسیم.

مثال 4: محاسبه tan x = - 4.1. در این مورد x = آرکتان (- 4.1) + πk. زیرا یافتن مقدار arctg در این حالت ممکن نیست.

در مثال 5، راه حل نابرابری tg x > 1 در نظر گرفته شده است، برای حل آن، نمودارهایی از توابع y = tan x و y = 1 می سازیم. همانطور که در شکل مشاهده می شود، این نمودارها در نقاط x = قطع می شوند. π/4 + πk. زیرا در این مورد tg x > 1، در نمودار، ناحیه مماس را برجسته می کنیم، که در بالای نمودار y = 1 قرار دارد، جایی که x متعلق به فاصله π/4 تا π/2 است. پاسخ را به صورت π/4 + πk می نویسیم< x < π/2 + πk.

در ادامه به بررسی خواهیم پرداخت معادله ctg x = a. شکل نمودارهایی از توابع y = cot x، y = a، y = - a را نشان می دهد که نقاط تقاطع زیادی دارند. راه حل ها را می توان به صورت x = x 1 + πk نوشت، که در آن x 1 = arcctg a و x = x 2 + πk، که در آن x 2 = arcctg (- a). توجه داشته باشید که x 2 = π - x 1 . این به معنای برابری arcctg (- a) = π - arcctg a است. تعريف كتانژانت قوسي به شرح زير است: كتانژانت قوس a عددي از بازه 0 تا π است كه كتانژانت آن برابر با a است. جواب معادله сtg x = a به صورت زیر نوشته می شود: x = arcctg a + πk.

در پایان درس ویدیویی، نتیجه گیری مهم دیگری انجام می شود - عبارت ctg x = a را می توان به صورت tg x = 1/a نوشت، مشروط بر اینکه a برابر با صفر نباشد.

رمزگشایی متن:

بیایید حل معادلات tg x = 3 و tg x = - 3 را در نظر بگیریم. با حل معادله اول به صورت گرافیکی، می بینیم که نمودارهای توابع y = tg x و y = 3 دارای بی نهایت نقاط تقاطع هستند که ابسیساهای آنها را می نویسیم. در فرم

x = x 1 + πk، که در آن x 1 آبسیسا نقطه تقاطع خط مستقیم y = 3 با شاخه اصلی مماس (شکل 1) است که نام برای آن اختراع شده است.

آرکتان 3 (قوس مماس از سه).

چگونه arctg 3 را بفهمیم؟

این عددی است که مماس آن 3 است و این عدد متعلق به بازه (-;) است. سپس تمام ریشه های معادله tg x = 3 را می توان با فرمول x = arctan 3 + πk نوشت.

به طور مشابه، حل معادله tg x = - 3 را می توان به شکل x = x 2 + πk نوشت، که در آن x 2 آبسیسا نقطه تقاطع خط مستقیم y = - 3 با شاخه اصلی است. مماس (شکل 1)، که برای آن علامت arctg(- 3) (مماس قوس منهای سه) است. سپس تمام ریشه های معادله را می توان با فرمول نوشت: x = arctan(-3)+ πk. شکل نشان می دهد که arctg(- 3)= - arctg 3.

اجازه دهید تعریف آرکتانژانت را فرموله کنیم. مماس قوس a عددی از بازه (-;) است که مماس آن برابر با a است.

تساوی اغلب استفاده می شود: arctg(-a) = -arctg a، که برای هر a معتبر است.

با دانستن تعریف تانژانت، می‌توانیم یک نتیجه کلی در مورد جواب معادله داشته باشیم

tg x= a: معادله tg x = a یک راه حل دارد x = arctan a + πk.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1. آرکتان را محاسبه کنید.

راه حل. اجازه دهید arctg = x، سپس tgх = و xϵ (-;). جدول مقادیر را نشان دهید بنابراین، x =، زیرا tg = و ϵ (- ;).

بنابراین، آرکتان =.

مثال 2. آرکتان (-) را محاسبه کنید.

راه حل. با استفاده از برابری arctg(- a) = - arctg a، می نویسیم:

arctg(-) = - arctg . اجازه دهید - arctg = x، سپس - tgх = و xϵ (-;). بنابراین، x =، زیرا tg = و ε (-;). نمایش جدول مقادیر

این یعنی - arctg=- tgх= - .

مثال 3. معادله tgх = 1 را حل کنید.

1. فرمول حل را بنویسید: x = arctan 1 + πk.

2. مقدار متقاطع را بیابید

از آنجایی که tg = . نمایش جدول مقادیر

بنابراین arctan1= .

3. مقدار پیدا شده را در فرمول حل قرار دهید:

مثال 4. معادله tgх = - 4.1 را حل کنید (مماس x برابر است با منهای چهار نقطه یک).

راه حل. بیایید فرمول حل را بنویسیم: x = arctan (- 4.1) + πk.

نمی‌توانیم مقدار مقطعه را محاسبه کنیم، بنابراین جواب را به شکل به دست آمده به معادله واگذار می‌کنیم.

مثال 5. نابرابری tgх 1 را حل کنید.

راه حل. ما آن را به صورت گرافیکی حل خواهیم کرد.

1. بیایید یک مماس بسازیم

y = tgх و خط مستقیم y = 1 (شکل 2). آنها در نقاطی مانند x = + πk همدیگر را قطع می کنند.

2. اجازه دهید بازه ای از محور x را انتخاب کنیم که در آن شاخه اصلی مماس بالای خط مستقیم y = 1 قرار دارد، زیرا طبق شرط tgх 1. این بازه (;) است.

3. از تناوب تابع استفاده می کنیم.

خاصیت 2. y=tg x - تابع دوره ایبا دوره اصلی π.

با در نظر گرفتن تناوب تابع y = tgх، پاسخ را می نویسیم:

(;). پاسخ را می توان به صورت یک نابرابری مضاعف نوشت:

بیایید به معادله ctg x = a برویم. اجازه دهید یک تصویر گرافیکی از حل معادله مثبت و منفی a ارائه دهیم (شکل 3).

نمودارهای توابع y = ctg x و y = a و همچنین

y=ctg x و y=-a

دارای بی نهایت نقاط مشترک هستند که ابسیساهای آنها به صورت زیر است:

x = x 1 +، که در آن x 1 آبسیسا نقطه تلاقی خط مستقیم y = a با شاخه اصلی مماس و

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +، که در آن x 2 آبسیسا نقطه تلاقی خط است

y = - a با شاخه اصلی مماس و x 2 = arcсtg (- a).

توجه داشته باشید که x 2 = π - x 1. بنابراین، بیایید یک برابری مهم را بنویسیم:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

اجازه دهید این تعریف را فرموله کنیم: کوتانژانت قوس a عددی از بازه (0;π) است که کوتانژانت آن برابر با a است.

جواب معادله ctg x = a به شکل x = arcctg a + نوشته می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که معادله ctg x = a را می توان به شکل تبدیل کرد

tg x = به جز زمانی که a = 0 باشد.

آرکسین (y = arcsin x) تابع معکوس سینوس است (x = گناه آلود -1 ≤ x ≤ 1و مجموعه مقادیر -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x

آرکسین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع آرکسین

نمودار تابع y = arcsin x

گراف آرکسین از نمودار سینوسی به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی آرکسین نامیده می شود.

آرکوزین، آرکوس

کسینوس قوسی (y = arccos x) تابع معکوس کسینوس است (x = cos y). دامنه دارد -1 ≤ x ≤ 1و معانی بسیار 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x

آرکوزین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع کسینوس قوس

نمودار تابع y = arccos x

گراف کسینوس قوسی از نمودار کسینوس به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و مختصات مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف را مقدار اصلی کسینوس قوس می نامند.

برابری

تابع آرکسین فرد است:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

تابع کسینوس قوس زوج یا فرد نیست:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع آرکسین و آرکوزین در محدوده تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آرکسین و آرکوزین در جدول ارائه شده است.

	y = arcsin x	y = arccos x
دامنه و تداوم	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
محدوده ارزش ها
صعودی، نزولی	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
اوج
حداقل ها
صفر، y = 0	x = 0	x = 1
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	y = 0	y = π/ 2

جدول آرکسین ها و آرکوزین ها

این جدول مقادیر آرکسین ها و آرکوسین ها را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

ایکس	arcsin x		arccos x
	تگرگ	خوشحالم	تگرگ	خوشحالم
- 1	- 90 درجه	-	180 درجه	π
-	- 60 درجه	-	150 درجه
-	- 45 درجه	-	135 درجه
-	- 30 درجه	-	120 درجه
0	0°	0	90 درجه
	30 درجه		60 درجه
	45 درجه		45 درجه
	60 درجه		30 درجه
1	90 درجه		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

فرمول ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

;
.
به مشتقات آرکسین و مشتقات آرکوزین مراجعه کنید > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
,
که در آن چند جمله ای درجه است. با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
;
.

به مشتقات مرتبه بالاتر آرکسین و آرکوزین مراجعه کنید > > >

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم سینت. ما با توجه به اینکه -π/ با قطعات ادغام می کنیم 2 ≤ t ≤ π/2, هزینه t ≥ 0:
.

بیایید آرکوزین را از طریق آرکسین بیان کنیم:
.

گسترش سری

وقتی |x|< 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس آرکسین و آرکوزین به ترتیب سینوس و کسینوس هستند.

فرمول های زیر در کل دامنه تعریف معتبر هستند:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

فرمول های زیر فقط برای مجموعه مقادیر آرکسین و آرکوزین معتبر هستند:
arcsin(sin x) = xدر
arccos(cos x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.