توان های یکسانی داشته باشید، اما توان های توان ها یکسان نیستند، 2² * 2³، سپس نتیجه پایه درجه با همان پایه یکسان از شرایط حاصل ضرب توان ها خواهد بود. توان، برابر با مجموع نماهای تمام توان های ضرب شده است.

22 * 2³ = 22⁺³ = 25 = 32

اگر عبارات حاصل ضرب توان ها دارای پایه های توان های متفاوتی باشند و توان ها یکسان باشند، مثلاً 2³ * 5³، آنگاه حاصل حاصل ضرب پایه های این توان ها به توانی برابر با همین توان خواهد بود. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

اگر توان‌های ضرب شده با یکدیگر برابر باشند، مثلاً 5³ * 5³، نتیجه یک توان با پایه‌ای برابر با پایه‌های یکسان توان‌ها خواهد بود که به توانی برابر توان توان‌ها ضرب می‌شود. تعداد این قدرت های یکسان

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 56 = 15625

یا مثال دیگری با همین نتیجه:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 56 = 15625

منابع:

• درجه با توان طبیعی چیست؟
• محصول قدرت ها

عملیات ریاضی با توان را فقط زمانی می توان انجام داد که پایه های توان ها یکسان باشند و علامت های ضرب یا تقسیم بین آنها وجود داشته باشد. پایه یک توان عددی است که به توان افزایش می یابد.

دستورالعمل ها

اگر اعداد بر یکدیگر بخش پذیر باشند (cm 1)، آنگاه y (در این مثال، عدد 3 است) به عنوان یک توان ظاهر می شود که از تفریق توان ها تشکیل می شود. علاوه بر این، این عمل به طور مستقیم انجام می شود: دومی از شاخص اول کم می شود. مثال 1. اجازه دهید: (a)b را معرفی کنیم، جایی که در پرانتز - a پایه است، براکت های بیرونی - در - توان. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. اگر جواب یک عدد به توان منفی باشد، چنین عددی به یک تبدیل می شود. کسری معمولی که صورت آن یک است و در مخرج قاعده با توان حاصل از اختلاف، فقط به صورت مثبت (با علامت مثبت) است. مثال 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. تقسیم قدرت ها را می توان به شکل دیگری از طریق علامت کسری نوشت و نه آنطور که در این مرحله از طریق علامت ":" نشان داده شده است. این اصل راه حل را تغییر نمی دهد، همه چیز دقیقاً به همین صورت انجام می شود، فقط ورودی با علامت کسری افقی (یا مایل) به جای علامت 3 انجام می شود. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

هنگام ضرب پایه های یکسان که دارای درجه هستند، درجات جمع می شوند. مثال 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. اگر توان ها دارای نشانه های مختلف، سپس جمع آنها مطابق با قوانین ریاضی انجام می شود. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. .

اگر مبانی توانها متفاوت باشد، به احتمال زیاد می توان آنها را با تبدیل ریاضی به یک شکل آورد. مثال 6. فرض کنید باید مقدار عبارت (4)2: (2)3 را پیدا کنیم. با دانستن اینکه عدد چهار را می توان به صورت دو مربع نشان داد، این مثال به صورت زیر حل می شود: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. در مرحله بعد، هنگام افزایش یک عدد به توان. از قبل دارای مدرک، شاخص های درجه در یکدیگر ضرب می شوند: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

مشاوره مفید

به یاد داشته باشید، اگر پایه داده شده متفاوت از پایه دوم به نظر می رسد، به دنبال یک راه حل ریاضی باشید. فقط اعداد مختلفداده نمی شوند. مگر اینکه حروفچین در کتاب درسی اشتباه تایپی کرده باشد.

فرمت قدرت نوشتن یک عدد شکل کوتاه شده نوشتن عمل ضرب یک پایه در خودش است. با عددی که در این فرم ارائه شده است، می‌توانید عملیات مشابه با هر اعداد دیگر را انجام دهید، از جمله بالا بردن آنها به توان. به عنوان مثال، شما می توانید مربع یک عدد را به یک توان دلخواه برسانید و به دست آوردن نتیجه در سطح فعلی توسعه فناوری هیچ مشکلی ایجاد نخواهد کرد.

شما نیاز خواهید داشت

• دسترسی به اینترنت یا ماشین حساب ویندوز.

دستورالعمل ها

برای بالا بردن یک مربع به توان، استفاده کنید قانون کلیارتقاء به قدرتی که قبلاً داشته است توان نما. با این عمل، شاخص ها چند برابر می شوند، اما پایه ثابت می ماند. اگر پایه به عنوان x تعیین شده است و شاخص های اصلی و اضافی به صورت a و b تعیین شده اند، این قانون را در نمای کلیمی توانید این کار را انجام دهید: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد جاست n-ام قدرت یک عدد آچه زمانی:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

صبح·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. توان حاصلضرب 2 یا بیشترعوامل برابر است با حاصل ضرب توان این عوامل:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

مثلا. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه نگرش برابر با نسبتتقسیم کننده و تقسیم کننده ریشه ها:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان دهم یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه ای با ضریب منفی.توان یک عدد معین با یک توان غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلقشاخص غیر مثبت:

فرمول صبح:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

مثلا. آ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول صبح:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که برابر با صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی آبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام متر-مین توان این عدد آ.

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم، با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب، ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو عدد از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر است با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر با مجموعیا تفاوت مربع های آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد، با تفریق از سود تقسیمی، یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشته باشیم، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.

2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به مخرج مشترک.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

خواص مدرک

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. مدرک با شاخص های منطقیو خواص آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک مدرک با شاخص طبیعی چندین دارد خواص مهم، که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با قدرت ساده کنید.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.

• بیان را ساده کنید.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در دارایی مشخص شدهما فقط در مورد ضرب قدرت با پایه های یکسان صحبت می کردیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

• ضریب را به صورت توان بنویسید
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• محاسبه.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت

هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد با جزئیات بیشتر به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

چگونه توان ها را ضرب کنیم

چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام توان ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب کنیم؟

در جبر، در دو حالت می توانید حاصل ضرب قوا را بیابید:

1) اگر درجات دارای پایه های یکسان باشند.

2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه باید یکسان باقی بماند و توان ها باید اضافه شوند:

هنگام ضرب درجات با شاخص های یکسان، شاخص کلی را می توان از پرانتز خارج کرد:

بیایید نحوه ضرب توان ها را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم.

واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب توان ها، آنها را در نظر می گیرند:

هنگام ضرب، هر تعداد توان می تواند وجود داشته باشد. لازم به یادآوری است که لازم نیست علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:

در عبارات، قدرت اول انجام می شود.

اگر نیاز دارید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن ضرب را انجام دهید:

ضرب توان با پایه های یکسان

این فیلم آموزشی با اشتراک در دسترس است

از قبل اشتراک دارید؟ وارد شدن

در این درس ضرب توان ها را با پایه های مشابه مطالعه می کنیم. ابتدا، اجازه دهید تعریف درجه را یادآوری کنیم و قضیه ای را در مورد اعتبار تساوی بیان کنیم . سپس مثال هایی از کاربرد آن بر روی اعداد خاص می آوریم و آن را ثابت می کنیم. ما همچنین این قضیه را برای حل مسائل مختلف اعمال خواهیم کرد.

موضوع: توان با توان طبیعی و خواص آن

درس: ضرب توان ها با پایه های یکسان (فرمول)

1. تعاریف اساسی

تعاریف اساسی:

n- توان،

— nتوان یک عدد

2. بیان قضیه 1

قضیه 1.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:

به عبارت دیگر: اگر آ- هر تعداد؛ nو کاعداد طبیعی، سپس:

بنابراین قانون 1:

3. وظایف توضیحی

نتیجه:موارد خاص صحت قضیه شماره 1 را تایید کرد. بیایید آن را ثابت کنیم مورد کلی، یعنی برای هر آو هر طبیعی nو ک.

4. اثبات قضیه 1

یک عدد داده شده است آ- هر شماره nو k –طبیعی ثابت كردن:

اثبات بر اساس تعریف مدرک است.

5. حل مثال ها با استفاده از قضیه 1

مثال 1:به آن به عنوان یک مدرک فکر کنید.

برای حل مثال های زیر از قضیه 1 استفاده می کنیم.

و)

6. تعمیم قضیه 1

تعمیم مورد استفاده در اینجا:

7. حل مثال ها با استفاده از تعمیم قضیه 1

8. حل مسائل مختلف با استفاده از قضیه 1

مثال 2:محاسبه کنید (می توانید از جدول توان های اصلی استفاده کنید).

آ) (طبق جدول)

ب)

مثال 3:آن را به صورت توان با پایه 2 بنویسید.

آ)

مثال 4:علامت عدد را مشخص کنید:

، آ -منفی است، زیرا توان 13- فرد است.

مثال 5:(·) را با توان یک عدد با پایه جایگزین کنید r:

داریم، یعنی.

9. جمع بندی

1. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و دیگران جبر 7. چاپ ششم. م.: روشنگری. 2010

1. معاون مدرسه (منبع).

1. ارائه به عنوان یک قدرت:

a B C D E)

3. با پایه 2 به صورت توان بنویسید:

4. علامت عدد را مشخص کنید:

آ)

5. (·) را با توان یک عدد با پایه جایگزین کنید r:

a) r 4 · (·) = r 15; ب) (·) · r 5 = r 6

ضرب و تقسیم توان ها با توان های یکسان

در این درس به بررسی توان های ضرب با توان های مساوی می پردازیم. ابتدا تعاریف و قضایای اساسی در مورد ضرب و تقسیم توان ها با مبانی یکسان و افزایش توان ها به توان ها را یادآوری می کنیم. سپس قضایای ضرب و تقسیم توان ها را با توان های یکسان تنظیم و اثبات می کنیم. و سپس با کمک آنها تعدادی از مشکلات معمولی را حل خواهیم کرد.

یادآوری تعاریف و قضایای اساسی

اینجا آ- مبنای مدرک،

— nتوان یک عدد

قضیه 1.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:

وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، پایه بدون تغییر باقی می ماند.

قضیه 2.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو kبه طوری که n > کبرابری درست است:

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، توان ها کم می شوند، اما پایه بدون تغییر باقی می ماند.

قضیه 3.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:

تمام قضایای ذکر شده در مورد توان های مشابه بودند دلایل، در این درس به درجه ها با همان نگاه می کنیم شاخص ها.

مثال هایی برای ضرب توان ها با توان های یکسان

به مثال های زیر توجه کنید:

عبارات تعیین مدرک را بنویسیم.

نتیجه:از مثال ها می توان دریافت که ، اما این هنوز نیاز به اثبات دارد. اجازه دهید قضیه را فرموله کنیم و آن را در حالت کلی، یعنی برای هر یک، ثابت کنیم آو بو هر طبیعی n

فرمول بندی و اثبات قضیه 4

برای هر عددی آو بو هر طبیعی nبرابری درست است:

اثباتقضیه 4 .

با تعریف مدرک:

پس ما این را ثابت کرده ایم .

برای ضرب توان با توان های یکسان کافی است که پایه ها را ضرب کرده و توان را بدون تغییر رها کنیم.

فرمول بندی و اثبات قضیه 5

اجازه دهید یک قضیه برای تقسیم قدرت ها با توان های یکسان فرموله کنیم.

برای هر تعداد آو ب() و هر طبیعی nبرابری درست است:

اثباتقضیه 5 .

بیایید تعریف مدرک را بنویسیم:

بیان قضایا در کلمات

بنابراین، ما این را ثابت کرده ایم.

برای تقسیم توان ها با توان های یکسان به یکدیگر کافی است یک پایه را بر دیگری تقسیم کنید و توان را بدون تغییر رها کنید.

حل مسائل معمولی با استفاده از قضیه 4

مثال 1:به عنوان محصول قدرت ها ارائه شود.

برای حل مثال های زیر از قضیه 4 استفاده می کنیم.

برای حل مثال زیر، فرمول ها را به یاد بیاورید:

تعمیم قضیه 4

تعمیم قضیه 4:

حل مثال ها با استفاده از قضیه تعمیم یافته 4

ادامه حل مشکلات معمولی

مثال 2:آن را به عنوان قدرت محصول بنویسید.

مثال 3:آن را به صورت توان با توان 2 بنویسید.

مثال های محاسباتی

مثال 4:به منطقی ترین روش محاسبه کنید.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. جبر 7. م.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M.، Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. و دیگران جبر 7.م.: روشنگری. 2006

2. معاون مدرسه (منبع).

1. ارائه به عنوان محصول قدرت:

آ) ؛ ب)؛ V)؛ ز)؛

2. به عنوان توان محصول بنویسید:

3. با توان 2 بنویسید:

4. به منطقی ترین روش محاسبه کنید.

درس ریاضی با موضوع ضرب و تقسیم توان ها

بخش ها:ریاضیات

هدف آموزشی:

دانش آموز یاد خواهد گرفتتمایز بین ویژگی های ضرب و تقسیم قدرت ها با توان های طبیعی؛ این ویژگی ها را در مورد پایه های مشابه اعمال کنید.

دانش آموز این فرصت را خواهد داشتقادر به انجام تبدیل درجات با پایه های مختلف و قادر به انجام تبدیل در وظایف ترکیبی باشد.

وظایف:

کار دانش آموزان را با تکرار مطالب قبلاً مطالعه شده سازماندهی کنید.

با انجام انواع مختلف تمرینات از سطح تولید مثل اطمینان حاصل کنید.

سازماندهی بررسی خودارزیابی دانش آموزان از طریق آزمون.

واحدهای فعالیت آموزشی:تعیین درجه با یک شاخص طبیعی؛ اجزای درجه؛ تعریف خصوصی؛ قانون ترکیبی ضرب

I. برگزاری نمایشی از تسلط دانش آموزان بر دانش موجود. (مرحله 1)

الف) به روز رسانی دانش:

2) تعریف درجه را با توان طبیعی تنظیم کنید.

a n =a a a a … a (n بار)

b k =b b b b a… b (k بار) پاسخ را توجیه کنید.

II. سازمان خودارزیابی میزان مهارت دانش آموز در تجربه فعلی. (گام 2)

خودآزمایی: ( کار فردیدر دو نسخه.)

A1) محصول 7 7 7 7 x x x را به صورت توان ارائه کنید:

A2) توان (-3) 3 x 2 را به عنوان یک محصول نشان دهید

A3) محاسبه کنید: -2 3 2 + 4 5 3

تعداد وظایف آزمون را مطابق با آمادگی سطح کلاس انتخاب می کنم.

من کلید آزمون را برای خودآزمایی به شما می دهم. ضوابط: پاس - بدون پاس.

III. کار آموزشی و عملی (مرحله 3) + مرحله 4. (خود دانش آموزان خصوصیات را فرموله می کنند)

محاسبه کنید: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =؟

ساده کردن: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

در حین حل مسائل 1) و 2)، دانش آموزان راه حلی را پیشنهاد می کنند و من به عنوان معلم کلاس را سازماندهی می کنم تا راهی برای ساده سازی قدرت ها هنگام ضرب با پایه های یکسان پیدا کنم.

معلم: راهی برای ساده سازی قدرت ها هنگام ضرب با پایه های یکسان بیابید.

یک ورودی در خوشه ظاهر می شود:

موضوع درس تدوین شده است. ضرب قوا.

معلم: یک قانون برای تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان ارائه کنید.

استدلال: چه عملی برای بررسی تقسیم استفاده می شود؟ a 5: a 3 = ? که a 2 a 3 = a 5

به نمودار - خوشه ای برمی گردم و به مدخل اضافه می کنم - .. هنگام تقسیم موضوع درس را کم کرده و اضافه می کنیم. ... و تقسیم درجات.

IV. اطلاع رسانی حدود دانش (حداقل و حداکثر) به دانش آموزان.

معلم: حداقل کار برای درس امروز این است که یاد بگیریم ویژگی های ضرب و تقسیم توان ها را با پایه های یکسان به کار ببریم و حداکثر کار این است که ضرب و تقسیم را با هم اعمال کنیم.

روی تابلو می نویسیم : a m a n = a m+n ; a m: a n = m-n

V. سازماندهی مطالعه مطالب جدید. (مرحله 5)

الف) طبق کتاب درسی: شماره 403 (الف، ج، هـ) تکالیف با عبارات مختلف

شماره 404 (a, d, f) کار مستقل، سپس یک چک متقابل ترتیب می دهم و کلیدها را می دهم.

ب) برابری برای چه مقدار m معتبر است؟ a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

تکلیف: مثال های مشابهی برای تقسیم بیاورید.

ج) شماره 417 (الف)، شماره 418 (الف) تله برای دانش آموزان: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. خلاصه کردن آموخته ها، انجام کار تشخیصی (که دانش آموزان و نه معلم را تشویق می کند تا این موضوع را مطالعه کنند) (مرحله 6)

کار تشخیصی

تست(کلیدها را پشت خمیر قرار دهید).

گزینه های وظیفه: ضریب x 15 را به عنوان توان نشان دهید: x 3; به عنوان یک توان، حاصلضرب (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; برای کدام m برابری a 16 a m = a 32 معتبر است؟ مقدار عبارت h 0 را پیدا کنید: h 2 در h = 0.2; مقدار عبارت (5 2 5 0) : 5 2 را محاسبه کنید.

خلاصه درس. انعکاس.کلاس را به دو گروه تقسیم می کنم.

آرگومان هایی را در گروه I بیابید: به نفع دانستن ویژگی های درجه و گروه II - آرگومان هایی که می گویند بدون ویژگی ها می توانید انجام دهید. ما به همه پاسخ ها گوش می دهیم و نتیجه می گیریم. در درس‌های بعدی، می‌توانید داده‌های آماری ارائه دهید و روبریک «این فراتر از باور است!» نامگذاری کنید.

یک فرد به طور متوسط ​​در طول زندگی خود 32 10 2 کیلوگرم خیار می خورد.

زنبور قادر به ارتکاب است پرواز بدون توقفدر 3.2 10 2 کیلومتر.

وقتی شیشه ترک می خورد، ترک با سرعتی در حدود 5 10 3 کیلومتر در ساعت پخش می شود.

یک قورباغه در طول زندگی خود بیش از 3 تن پشه می خورد. با استفاده از درجه، بر حسب کیلوگرم بنویسید.

پرکارترین ماهی اقیانوس - ماه (Mola mola) در نظر گرفته می شود که در یک تخم ریزی تا 300000000 تخم با قطر حدود 1.3 میلی متر می گذارد. این عدد را با استفاده از توان بنویسید.

VII. مشق شب.

مرجع تاریخی به چه اعدادی اعداد فرما می گویند.

ص 19. پلاک 403 پلاک 408 پلاک 417

کتاب های مورد استفاده:

کتاب درسی "جبر-7"، نویسندگان Yu.N. ماکاریچف، N.G. Mindyuk و همکاران

مطالب آموزشی برای کلاس هفتم، L.V. کوزنتسوا، L.I. زواویچ، اس.بی. سووروف.

دایره المعارف ریاضیات.

مجله «کوانت».

خواص درجات، صورت‌بندی‌ها، برهان‌ها، مثال‌ها.

بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.

پیمایش صفحه.

خواص درجات با توان طبیعی

با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:

ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

خاصیت توان های بهره با پایه های یکسان a m:a n =a m−n ;

خاصیت درجه یک محصول (a·b) n =a n ·b n، پسوند آن (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

خاصیت ضریب به درجه طبیعی (a:b) n =a n:b n ;

بالا بردن درجه به توان (a m) n =a m·n، تعمیم آن (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

مقایسه درجه با صفر:

• اگر a>0، آنگاه یک n>0 برای هر عدد طبیعی n.
• اگر a = 0، آنگاه a n = 0.
• اگر a 2·m >0 , اگر a 2·m−1 n ;
• اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه برای 0m n، و برای a>0 نابرابری a m >a n درست است.

بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. برای مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بررسی کنیم.

از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.

بیایید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل m ·a n را می توان به عنوان حاصل ضرب نوشت. . با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.

اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. با انجام توان، 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 داریم، زیرا به دست می آوریم مقادیر مساوی، سپس برابری 2 2 · 2 3 =2 5 صحیح است و ویژگی اصلی درجه را تأیید می کند.

ویژگی اساسی یک درجه را می توان بر اساس ویژگی های ضرب به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1 , n 2 , …, n k برابری a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k درست است.

به عنوان مثال، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2،1) 3+3+4+7 =(2،1) 17 .

ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.

قبل از ارائه دلیلی بر این ویژگی، اجازه دهید در مورد معنی بحث کنیم شرایط اضافیدر جمله بندی شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m-n ·a n =a (m-n) اتفاق می افتد. +n =a m از تساوی a m−n ·a n =a m و از ارتباط بین ضرب و تقسیم نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است همان پایه ها

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های مشابه π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.

حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: درجه طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد حقیقی a و b برابر است با حاصل ضرب توانهای a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .

در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم . آخرین قطعهبر اساس خواص ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد ، که برابر با a n · b n است.

در اینجا یک مثال است: .

این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصلضرب k به صورت (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n نوشته می شود.

برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .

اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.

اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n و از برابری (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب تقسیم a n بر bn.

بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.

به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: .

اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است . برای وضوح بیشتر، بیایید مثالی با اعداد خاص بیاوریم: (((5،2) 3) 2) 5 =(5،2) 3+2+5 =(5،2) 10.

باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.

ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.

حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و .

کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

بیایید به پایه های منفی درجه برویم.

بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می‌دهیم که m یک عدد طبیعی است. سپس . طبق قاعده ضرب اعداد منفی، هر یک از حاصل ضرب اعداد a·a برابر با حاصلضرب قدر مطلق اعداد a و a است، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .

در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه . همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. با توجه به این خاصیت (-5) 3 17 n n حاصلضرب سمت چپ و راست n نابرابری واقعی a است. خواص نابرابری ها، یک نابرابری قابل اثبات به شکل a n n نیز صادق است. به عنوان مثال، با توجه به این ویژگی، نابرابری های 3 7 7 و .

باقی مانده است برای اثبات آخرین از خواص ذکر شدهدرجه با شاخص های طبیعی بیایید آن را فرموله کنیم. از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، توانی که توان آن بزرگتر است بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0m n. برای انجام این کار، تفاوت a m − a n را یادداشت کرده و آن را با صفر مقایسه می کنیم. تفاوت ثبت شده، پس از خارج کردن یک n از پرانتز، به شکل a n ·(a m−n−1) خواهد بود. حاصلضرب به عنوان حاصلضرب عدد مثبت a n و منفی است عدد منفی a m−n −1 (a n به عنوان توان طبیعی یک عدد مثبت مثبت است و تفاوت a m−n−1 منفی است، زیرا m−n>0 به دلیل شرط اولیه m>n است، به این معنی که در 0m− n کمتر از یک است). بنابراین، a m −a n m n، که باید ثابت شود. به عنوان مثال، نابرابری صحیح را ارائه می دهیم.

باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.

ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.

ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.

بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر درست است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b) n =a n ·b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n =a m·n ;
• اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a n n و a −n >b −n ;
• اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، پس برای 0m n، و برای a>1 نابرابری a m >a n برقرار است.

وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این ویژگی ها برای انجام این کار دشوار نیست، کافی است از تعاریف درجات با توان های طبیعی و صحیح و همچنین ویژگی های عملیات با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار باید نشان دهیم که اگر p صفر باشد یا عدد طبیعیو q صفر یا یک عدد طبیعی است، سپس مساوات (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p)·q، (a p) -q =a p·(-q) و ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . بیایید آن را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.

اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی . با خاصیت ضریب به توان داریم . از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.

در ماقبل آخر ویژگی های ثبت شده، ارزش آن را دارد که به اثبات نابرابری a −n >b −n بپردازیم که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است معتبر است. . اجازه دهید تفاوت بین سمت چپ و راست این نابرابری را بنویسیم و تبدیل کنیم: . از آنجایی که به شرط الف n n، بنابراین، b n -a n >0. حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.

آخرین خاصیت توان ها با توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی.

خواص قوا با شارح عقلی

ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. برای مثال:

1. خاصیت حاصل ضرب قوا با پایه های یکسان برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0.
2. ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان برای a> 0؛
3. خاصیت یک محصول به توان کسری برای a>0 و b>0، و اگر و، سپس برای a≥0 و (یا) b≥0.
4. خاصیت ضریب به توان کسری برای a>0 و b>0، و اگر، آنگاه برای a≥0 و b>0.
5. خاصیت درجه به درجه برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0.
6. ویژگی مقایسه توان ها با توان های گویا برابر: برای هر عدد مثبت a و b, a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p ;
7. خاصیت مقایسه درجات با توان های گویا و به همان اندازه: برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q.

اثبات خواص توان‌ها با توان کسری بر اساس تعریف توان با توان کسری، بر اساس ویژگی‌های ریشه حسابی درجه n و بر اساس ویژگی‌های توان با توان اعداد صحیح است. بیایید مدرک ارائه کنیم.

با تعریف توانی با توان کسری و سپس . ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت یک درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و شاخص مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود:


برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند:


بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط p 0 در این حالت به ترتیب معادل شرایط m 0 خواهد بود. برای m>0 و am m . از این نابرابری، با خاصیت ریشه، داریم، و چون a و b اعداد مثبت هستند، پس بر اساس تعریف یک درجه با توان کسری، نابرابری حاصل را می‌توان به صورت a p p بازنویسی کرد.

به طور مشابه، برای m m >b m، از کجا، یعنی a p >b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q. ما همیشه می توانیم یک مخرج مشترک پیدا کنیم اعداد گویا p و q، اجازه دهید کسرهای معمولی را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت دارد که از قاعده مقایسه به دست می آید. کسرهای معمولیبا مخرج های مشابه. سپس با خاصیت مقایسه درجه با پایه ها و توان های طبیعی یکسان، برای 0m 1 m 2 و برای a>1، نابرابری a m 1 > a m 2. این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و . و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q.

ویژگی های قدرت ها با شارح های غیر منطقی

از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p ;
7. برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q.

از این می توان نتیجه گرفت که درجه با هر شاخص های واقعی p و q برای a>0 خواص یکسانی دارند.

• جبر - پایه دهم. معادلات مثلثاتی درس و ارائه با موضوع: "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی" مطالب تکمیلی کاربران گرامی، نظرات، نقدها، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمامی مواد […]
• مسابقه ای برای موقعیت "فروشنده - مشاور" افتتاح شده است: مسئولیت ها: فروش تلفن همراه و لوازم جانبی ارتباطات سیار، خدمات مشتری برای مشترکین Beeline، Tele2، MTS، اتصال طرح ها و خدمات تعرفه Beeline و Tele2، مشاوره MTS [… ]
• فرمول متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع یک چندوجهی با 6 وجه است که هر یک متوازی الاضلاع است. مکعب یک متوازی الاضلاع است که هر وجه آن یک مستطیل است. هر موازی با 3 […]
• تصویب قانونی در مورد املاک خانوادگی تصویب قانون فدرال در مورد تخصیص بلاعوض به هر شهروندی که مایل است فدراسیون روسیهیا یک خانواده از شهروندان یک قطعه زمین برای ترتیب یک املاک خانوادگی در آن شرایط زیر: 1. قطعه برای […]
• انجمن حمایت از حقوق مصرف کننده آستانه به منظور دریافت پین کد دسترسی به این سند در وب سایت ما، یک پیام کوتاه با متن zan به شماره مشترکین اپراتورهای GSM (Activ، Kcell، Beeline، NEO، Tele2) ارسال کنید. ارسال پیامک به شماره […]
• بازرسی GOSTEKHNADZOR از منطقه BRYANSK رسید پرداخت وظیفه دولتی (دانلود-12.2 kb) درخواست برای ثبت نام برای اشخاص حقیقی (دانلود-12 kb) درخواست برای ثبت نام برای اشخاص حقوقی (دانلود-11.4 kb) 1. هنگام ثبت نام خودروی جدید 1. درخواست 2. پاسپورت […]
• املای N و NN در بخش های مختلف گفتار S.G. ZELINSKAYA MATERIAL تعلیمی تمرین نظری 1. چه زمانی nn در صفت نوشته می شود؟ 2. استثناهای این قوانین را نام ببرید. 3. چگونه تشخیص دهیم صفت لفظیبا پسوند -n- از مضارع با […]
• Pivoev V.M. فلسفه و روش شناسی علم: آموزشبرای کارشناسی ارشد و دانشجویان تحصیلات تکمیلی Petrozavodsk: PetrSU Publishing House، 2013. - 320 ص. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb این کتاب درسی برای دانشجویان ارشد، کارشناسی ارشد و دانشجویان تحصیلات تکمیلی اجتماعی و […]

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم، با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب، ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو عدد از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر است با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد، با تفریق از سود تقسیمی، یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

یا:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac(a^5)(a^3)$ است. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac(yyy)(yy) = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین، $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشته باشیم، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac(5a^4)(3a^2)$ کاهش دهید پاسخ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. نماها را با $\frac(6x^6)(3x^5)$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac(2x)(1)$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

9. (h 3 - 1)/d 4 را بر (d n + 1)/h تقسیم کنید.