قضیه ماکسول (قضیه ی متقابل جابجایی های واحد). انرژی کرنش بالقوه در طول خمش. قضیه ی متقابل کار و متقابل جابه جایی ها تعیین جابجایی ها به روش مور

بیان قضیه متقابل کار (قضیه بتی)، در سال 1872 توسط E. Betti اثبات شد: کار احتمالی نیروهای حالت اول بر روی جابجایی های متناظر ناشی از نیروهای حالت دوم برابر است با کار احتمالی نیروهای حالت دوم بر روی جابجایی های متناظر ناشی از نیروهای دولت اول

24. قضیه متقابل جابجایی ها (ماکسول)

بگذار باشد. قضیه متقابل جابجایی هابا در نظر گرفتن نماد پذیرفته شده برای جابجایی از یک نیروی واحد، شکل زیر را دارد: قضیه متقابل جابجایی ها توسط ماکسول اثبات شد. فرمول بندی قضیه متقابل جابجایی ها: جابجایی نقطه اعمال نیروی واحد اول ناشی از عمل نیروی دوم برابر است با جابجایی نقطه اعمال نیروی واحد دوم ناشی از عمل نیروی واحد اول.

25. قضیه ریلی در مورد واکنش متقابل.

26. قضیه گووزدف در رابطه متقابل جابجایی ها و واکنش ها.

27. تعیین جابجایی های ناشی از بار. فرمول مور

فرمول آفت

28. تعیین جابجایی های ناشی از اثرات دما و جابجایی.

اثر دما

پیش نویس

29. حکومت ورشچاگین. فرمول ضرب ذوزنقه ای، فرمول سیمپسون.

فرمول ضرب ذوزنقه ای

فرمول ضرب ذوزنقه های منحنی

31. ویژگی های سیستم های استاتیکی نامعین.

برای تعیین نیروها و واکنش ها، معادلات استاتیک کافی نیست، باید از معادلات تداوم تغییر شکل و جابجایی استفاده کرد.

نیروها و واکنش ها به نسبت سفتی عناصر منفرد بستگی دارد.

تغییرات دما و نشست نگهدارنده باعث ظاهر شدن نیروهای داخلی می شود.

در غیاب بار، حالت خود کششی امکان پذیر است.

32. تعیین درجه عدم تعیین استاتیک، اصول انتخاب سیستم پایه روش نیروها.

برای سیستم های استاتیکی نامعین W<0

تعداد اتصالات اضافی با فرمول تعیین می شود:

L = -دبلیو+ 3K,

جایی که W تعداد پارامترهای هندسی مستقلی است که موقعیت سازه را بدون در نظر گرفتن تغییر شکل سازه (تعداد درجات آزادی) تعیین می کند، K تعداد خطوط بسته است (مکان هایی که در آن وجود دارد). بدون لولا).

دبلیو= 3D – 2SH – Co

فرمول چبیشف برای تعیین درجه آزادی، که در آن D تعداد دیسک ها، Ш تعداد لولاها، Co تعداد میله های نگهدارنده است.

OSMS باید از نظر هندسی غیر قابل تغییر باشد.

باید از نظر استاتیکی قابل تعریف باشد (اتصالات غیر ضروری A را حذف کنید).

این سیستم باید به راحتی قابل محاسبه باشد.

اگر سیستم اصلی متقارن بود، در صورت امکان، OSMS به عنوان متقارن انتخاب می شود.

33. معادلات متعارف روش نیرو، معنای فیزیکی آنها.

معادلات متعارف:

معنای فیزیکی:

حرکت کل در جهت هر پیوند راه دور باید = 0 باشد

34. محاسبه ضرایب معادلات متعارف، معنای فیزیکی آنها، بررسی صحت ضرایب یافت شده.

حرکت در جهت اتصال از راه دور ناشی از یک نیرو.

حرکت در جهت اتصال از راه دور ناشی از یک بار خارجی.

برای بررسی صحت ضرایب یافت شده، باید آنها را در سیستم معادلات متعارف جایگزین کنید و X1 و X2 را پیدا کنید.

اجازه دهید دو حالت از یک سیستم الاستیک را در حالت تعادل در نظر بگیریم. در هر یک از این حالت ها، سیستم تحت مقداری بار استاتیکی قرار دارد (شکل 4a). اجازه دهید حرکات در جهت نیروهای F1 و F2 را با نشان دهیم، جایی که شاخص "i" جهت حرکت را نشان می دهد و شاخص "j" علتی است که آن را ایجاد کرده است.

اجازه دهید کار بار حالت اول (نیروی F1) روی جابجایی های حالت اول را با A11 و کار نیروی F2 را روی جابجایی های ناشی از آن توسط A22 نشان دهیم:

با استفاده از (1.9)، آثار A11 و A22 را می توان بر حسب عوامل نیروی داخلی بیان کرد:

اجازه دهید مورد بارگذاری استاتیکی همان سیستم (شکل 5، a) را در دنباله زیر در نظر بگیریم. اول، یک نیروی فزاینده استاتیکی F1 به سیستم اعمال می شود (شکل 23، b). هنگامی که روند رشد استاتیک آن کامل شد، تغییر شکل سیستم و نیروهای داخلی وارد بر آن مانند حالت اول می شود (شکل 23، a). کار انجام شده توسط نیروی F1 به شرح زیر خواهد بود:

سپس یک نیروی فزاینده استاتیکی F2 شروع به اعمال بر روی سیستم می کند (شکل 5، ب). در نتیجه، سیستم تغییر شکل های اضافی دریافت می کند و نیروهای داخلی اضافی در آن ایجاد می شود، مانند حالت دوم (شکل 5، a). در فرآیند افزایش نیروی F2 از صفر به مقدار نهایی آن، نیروی F1 در حالی که بدون تغییر باقی می ماند، با مقدار انحراف اضافی به سمت پایین حرکت می کند و بنابراین، کار اضافی انجام می دهد:

Force F2 این کار را انجام می دهد:

کل کار A با بارگذاری متوالی سیستم توسط نیروهای F1, F2 برابر است با:

از طرف دیگر، مطابق با (1.4)، کل کار را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

با معادل سازی عبارات (1.11) و (1.12) با یکدیگر، به دست می آوریم:

A12=A21 (1.14)

تساوی (1.14) قضیه متقابل کار یا قضیه بتی نامیده می شود: کار نیروهای حالت اول بر روی جابجایی ها در جهت آنها ناشی از نیروهای حالت دوم برابر است با کار نیروهای حالت دوم بر روی جابجایی در جهت آنها ناشی از نیروهای حالت اول است. با حذف محاسبات میانی، کار A12 را بر حسب ممان های خمشی، نیروهای طولی و عرضی ناشی از حالت اول و دوم بیان می کنیم:

هر انتگرال در سمت راست این برابری را می توان حاصل ضرب نیروی داخلی ناشی از نیروهای حالت اول در مقطع میله و تغییر شکل عنصر dz ناشی از نیروهای حالت دوم در نظر گرفت.

اثبات قضیه متقابل کار

بیایید دو نقطه 1 و 2 را روی تیر مشخص کنیم (شکل 15.4، a).

اجازه دهید در نقطه 1 یک نیروی ساکن اعمال کنیم. در این نقطه باعث انحراف می شود و در نقطه 2 – .

برای نشان دادن حرکات از دو شاخص استفاده می کنیم. شاخص اول به معنای محل حرکت است و دومی دلیل ایجاد این حرکت است. یعنی تقریباً مانند روی یک پاکت نامه که در آن نشان می دهیم: کجا و از چه کسی.

بنابراین، برای مثال، به معنای انحراف تیر در نقطه 2 از بار است.

پس از اینکه رشد قدرت کامل شد. اجازه دهید یک نیروی ساکن (15.4، b) به حالت تغییر شکل تیر در نقطه 2 اعمال کنیم. پرتو انحرافات اضافی را دریافت می کند: در نقطه 1 و در نقطه 2.

بیایید برای کاری که این نیروها روی جابجایی های متناظر خود انجام می دهند عبارتی ایجاد کنیم: .

در اینجا عبارت اول و سوم نشان دهنده کار الاستیک نیروها و . با توجه به قضیه کلاپیرون، آنها یک ضریب دارند. جمله دوم این ضریب را ندارد، زیرا نیرو مقدار خود را تغییر نمی دهد و روی جابجایی ناشی از نیروی دیگری کار ممکن انجام می دهد.

شروع جابجایی های احتمالی، که یک اصل کلی مکانیک است، برای تئوری سیستم های الاستیک از اهمیت بالایی برخوردار است. همانطور که در مورد آنها اعمال می شود، این اصل را می توان به صورت زیر فرموله کرد: اگر سیستم تحت تأثیر بار اعمال شده در تعادل باشد، مجموع کار نیروهای خارجی و داخلی در جابجایی های بینهایت کوچک احتمالی سیستم صفر است.

جایی که - نیروهای خارجی؛
- تحرکات احتمالی این نیروها؛
- کار نیروهای داخلی.

توجه داشته باشید که در طول فرآیند حرکت احتمالی توسط سیستم، مقدار و جهت نیروهای خارجی و داخلی بدون تغییر باقی می‌ماند. بنابراین، هنگام محاسبه کار، باید نصف و ارزش کامل حاصل ضرب نیروها و جابجایی های مربوطه را در نظر گرفت.

بیایید دو حالت از یک سیستم را در نظر بگیریم که در حالت تعادل است (شکل 2.2.9). قادر سیستم توسط یک نیروی تعمیم یافته تغییر شکل می دهد (شکل 2.2.9، a)، در یک حالت - به زور (شکل 2.2.9، ب).

کار نیروهای دولتی در مورد جنبش های دولتی و همچنین کار نیروهای دولتی در مورد جنبش های دولتی ، امکان پذیر خواهد بود.

(2.2.14)

اجازه دهید اکنون کار احتمالی نیروهای داخلی دولت را محاسبه کنیم در حرکات ناشی از بار حالت . برای انجام این کار، یک عنصر میله دلخواه با طول را در نظر بگیرید
در هر دو مورد. برای خمش مسطح، عمل قطعات دور بر روی عنصر توسط سیستمی از نیروها بیان می شود ,,
(شکل 2.2.10، الف). نیروهای داخلی دارای جهت مخالف با نیروهای خارجی هستند (نشان داده شده با خطوط چین). در شکل 2.2.10، b نیروهای خارجی را نشان می دهد ,,
، بر روی عنصر عمل می کند
قادر . اجازه دهید تغییر شکل های ناشی از این تلاش ها را تعیین کنیم.

ازدیاد طول عنصر مشخص است
ناشی از نیروها

کار نیروهای محوری داخلی در این حرکت احتمالی

. (2.2.15)

زاویه چرخش متقابل وجوه عناصر ناشی از جفت
,

کار لحظه های خمشی داخلی
در این حرکت

. (2.2.16)

به طور مشابه، ما کار نیروهای عرضی را تعیین می کنیم در حرکات ناشی از نیروها

. (2.2.17)

با جمع بندی کار به دست آمده، کار احتمالی نیروهای داخلی اعمال شده بر عنصر را به دست می آوریم
میله، در حرکات ناشی از بار کاملاً دلخواه دیگری که با یک شاخص مشخص شده است

با خلاصه کردن کار اولیه در میله، ارزش کامل کار ممکن نیروهای داخلی را به دست می آوریم:

(2.2.19)

اجازه دهید شروع جابجایی های احتمالی را اعمال کنیم، کار نیروهای داخلی و خارجی را بر روی جابجایی های احتمالی سیستم خلاصه کنیم و یک عبارت کلی برای شروع جابجایی های احتمالی برای یک سیستم میله ای الاستیک تخت به دست آوریم:

(2.2.20)

یعنی اگر سیستم الاستیک در حالت تعادل باشد، کار نیروهای خارجی و داخلی در یک حالت است. در حرکات احتمالی ناشی از بار کاملاً دلخواه دیگری که با یک شاخص مشخص شده است ، برابر با صفر است.

قضایای متقابل کار و حرکت

اجازه دهید عباراتی را برای شروع حرکات ممکن برای تیر نشان داده شده در شکل بنویسیم. 2.2.9، با پذیرش برای ایالت به عنوان حرکات ممکن ناشی از این وضعیت ، و برای دولت - حرکات ناشی از این وضعیت .

(2.2.21)

(2.2.22)

از آنجایی که عبارات کار نیروهای داخلی یکسان است، بدیهی است که

(2.2.23)

عبارت حاصل را قضیه متقابل کار (قضیه بتی) می نامند. به صورت زیر فرموله شده است: کار ممکن نیروهای دولتی خارجی (یا داخلی). در مورد جنبش های دولتی برابر با کار احتمالی نیروهای خارجی (یا داخلی) دولت است در مورد جنبش های دولتی .

اجازه دهید قضیه متقابل کار را در مورد خاص بارگذاری اعمال کنیم، زمانی که در هر دو حالت سیستم یک واحد نیروی تعمیم یافته اعمال می شود.
و
.

برنج. 2.2.11

بر اساس قضیه متقابل کار، برابری را بدست می آوریم

, (2.2.24)

که به آن قضیه متقابل جابجایی ها می گویند (قضیه ماکسول). این فرمول بندی شده است: حرکت نقطه اعمال نیروی اول در جهت خود، ناشی از عمل نیروی واحد دوم، برابر است با حرکت نقطه اعمال نیروی دوم در جهت آن، ناشی از با عمل نیروی واحد اول.

قضایای متقابل کار و جابجایی به طور قابل توجهی حل بسیاری از مسائل را در تعیین جابجایی ساده می کند.

با استفاده از قضیه متقابل کار، انحراف را تعیین می کنیم
پرتوها در وسط دهانه هنگام عمل بر روی تکیه گاه لحظه ای
(شکل 2.2.12، الف).

ما از حالت دوم پرتو استفاده می کنیم - عمل در نقطه 2 یک نیروی متمرکز . زاویه چرخش بخش مرجع
ما از شرایط ثابت کردن تیر در نقطه B تعیین می کنیم:

برنج. 2.2.12

با توجه به قضیه متقابل کار

قضیه متقابل کار. قضیه متقابل جابجایی ها

اجازه دهید یک سیستم قابل تغییر شکل خطی را در دو حالت مختلف که مربوط به دو بار متفاوت است در نظر بگیریم (شکل 5.15) برای سادگی محاسبات، اجازه دهید یک تیر دو تکیه گاه ساده را در نظر بگیریم که به صورت متوالی توسط دو نیروی متمرکز بارگذاری شده است.

شکل 15. ترتیب مستقیم و معکوس اعمال بار

معادل سازی کل کار برای ترتیب رو به جلو و معکوس اعمال بارها، به دست می آوریم

کاری که در واقع توسط یک نیرو بر روی جابجایی های ناشی از نیرو یا نیروهای دیگری انجام می شود، کار اضافی نامیده می شود.

طبق قضیه تقابل کار، کاری که نیروهای حالت اول برای جابجایی حالت دوم انجام می دهند برابر با کاری است که نیروهای حالت دوم برای حرکت دادن حالت اول انجام می دهند.

به همین ترتیب، متقابل بودن کار اضافی نیروهای داخلی نیز قابل اثبات است.

شکل 16. متقابل کار اضافی نیروهای داخلی.

با استفاده از قانون بقای انرژی می توان نشان داد که کار اضافی نیروهای خارجی از نظر قدر مطلق با کار اضافی نیروهای داخلی برابر است:

گرفتن

ما یک قضیه در رابطه متقابل جابجایی ها به دست می آوریم.

جابجایی نقطه اعمال نیروی واحد در جهت آن، ناشی از نیروی واحد دوم، برابر است با جابجایی نقطه اعمال نیروی واحد دوم در جهت دومی، ناشی از عمل نیروی واحد. نیروی واحد اول

تعیین جابجایی ها به روش موهر

به جای سیستم نیروهای F 1 و F 2، بار و حالت های کمکی را معرفی می کنیم:

شکل 17. معرفی بار و حالت های کمکی

اجازه دهید قضیه متقابل بودن کار را برای این دو حالت بنویسیم:

پس از جمع بر روی بخش های جداگانه تیر، انتگرال Mohr را به دست می آوریم

مثال 5.2.بیایید مثالی از استفاده از انتگرال Mohr برای تعیین جابجایی برای یک تیر کنسول بارگذاری شده با نیروی متمرکز در نظر بگیریم.

شکل 18. ساخت نمودار بار و کمکی برای تیر کنسول

ما از انتگرال Mohr استفاده می کنیم.

در عمل، استفاده از این روش دشوار است. این مشکل با سازماندهی یکپارچه سازی برطرف می شود؛ ادغام به راحتی بر روی رایانه پیاده سازی می شود.

روش گرافیکی- تحلیلی برای تعیین جابجایی خمشی. روش Vereshchagin

اجازه دهید دو حالت ساده‌کننده را معرفی کنیم:

تابع خطی در حد مساحت در نظر گرفته شده.

شکل 19 محاسبه گرافیکی- تحلیلی انتگرال Mohr

آخرین انتگرال نشان دهنده گشتاور استاتیک شکل ABCD در مورد محور y است. کار کنید

نشان دهنده ی ترتیب گرفته شده بر روی نمودار کمکی در زیر مرکز ثقل محموله است.

که در آن n شماره سایت است.

مثال 5.3.بیایید دوباره به پرتوی کنسول نگاه کنیم

شکل 20. استفاده از روش Vereshchagin برای یک تیر کنسول

موارد پیچیده تر:

1. ضرب ذوزنقه در ذوزنقه

برنج. 21. ضرب ذوزنقه در ذوزنقه

برای ضرب ذوزنقه در ذوزنقه، می توانید به ضرب مستطیل در ذوزنقه و مثلث در ذوزنقه ادامه دهید.

تعریف ضرب مستطیل در ذوزنقه به این معنی است که A f را روی مستطیل و M را به c روی ذوزنقه می گیریم.

قانون جایگشت فقط برای نمودارهای خطی اعمال می شود.

2. بخش سهموی

شکل 22. مساحت و موقعیت مرکز ثقل برای یک بخش سهموی

3. مثلث سهموی مقعر

شکل 23. مساحت و موقعیت مرکز ثقل برای یک مثلث سهموی مقعر

4. مثلث محدب

شکل 24. مساحت و موقعیت مرکز ثقل برای یک مثلث سهموی محدب

5. ذوزنقه سهموی محدب.

شکل 25. تقسیم نواحی و موقعیت های مراکز ثقل برای ذوزنقه سهموی محدب

مثال: 5.4.اجازه دهید یک مورد پیچیده تر از بارگذاری یک تیر کنسول را در زمانی که هر سه نوع بار خارجی عمل می کنند، در نظر بگیریم. تعیین حداکثر زاویه چرخش پرتو ضروری است

برنج. تیر کنسول تحت عمل همزمان سه بار

روش I بیایید نمودار M f را با مجموعه ای از شکل های ساده تر جایگزین کنیم.

یعنی راس سهمی خارج از پرتو است.

برای ساختن یک نمودار کمکی نیاز دارید:

1. مقداری تیر بدون بار خارجی در نظر بگیرید.

2. در یک نقطه معین، به ترتیب F=1 یا M=1 را برای تعیین انحراف یا زاویه چرخش اعمال کنید. جهت عمل بارهای خارجی دلخواه است.

3. با در نظر گرفتن یک واحد بار خارجی، واکنش ها را تعیین می کنیم و نمودارهایی می سازیم.

فرمول تعیین زاویه چرخش با استفاده از روش Vereshchagin به شکل زیر خواهد بود

ترتیب در نمودار کمکی M k در زیر مرکز ثقل نمودار محموله گرفته شده است - با در نظر گرفتن تقسیم محموله به ارقام ابتدایی

هنگام ساخت محور منحنی تیر از موارد زیر استفاده می کنیم:

1. علامت جابجایی تعمیم یافته. برای مورد در نظر گرفته شده، نقطه در جهت عقربه های ساعت می چرخد.

2. از علامت لنگر خمشی در نمودار بار استفاده می کنیم.