تمرکز توجه:

تعریف. تابع گونه نامیده می شود تابع نمایی .

اظهار نظر. حذف از مقادیر پایه آاعداد 0; 1 و مقادیر منفی آبا شرایط زیر توضیح داده می شود:

خود بیان تحلیلی تبردر این موارد معنای خود را حفظ می کند و می تواند در حل مشکلات استفاده شود. مثلا برای بیان x yنقطه x = 1; y = 1 در محدوده مقادیر قابل قبول است.

ساخت نمودار توابع: و.

نمودار یک تابع نمایی
y =آ ایکس، a > 1	y =آ ایکس , 0< a < 1

ویژگی های تابع نمایی

ویژگی های تابع نمایی	y =آ ایکس، a > 1	y =آ ایکس , 0< a < 1
دامنه تابع
2. محدوده عملکرد
3. فواصل مقایسه با واحد	در ایکس> 0، a ایکس > 1	در ایکس > 0, 0< a ایکس < 1
	در ایکس < 0, 0< a ایکس < 1	در ایکس < 0, a ایکس > 1
4. زوج، فرد.	تابع نه زوج است و نه فرد (تابع نمای کلی).
5. یکنواختی.	یکنواخت افزایش می یابد آر	به صورت یکنواخت کاهش می یابد آر
6. افراط.	تابع نمایی اکستریم ندارد.
7. مجانبی	محور O ایکسمجانبی افقی است.
8. برای هر ارزش واقعی ایکسو y;

وقتی جدول پر می شود، وظایف به موازات پر شدن حل می شوند.

کار شماره 1. (برای یافتن دامنه تعریف یک تابع).

چه مقادیر آرگومان برای توابع معتبر است:

کار شماره 2. (برای یافتن محدوده مقادیر یک تابع).

شکل نمودار تابع را نشان می دهد. دامنه تعریف و محدوده مقادیر تابع را مشخص کنید:

کار شماره 3. (برای نشان دادن فواصل مقایسه با یک).

هر یک از توان های زیر را با یکی مقایسه کنید:

کار شماره 4. (بررسی تابع برای یکنواختی).

اعداد واقعی را با اندازه مقایسه کنید مترو nاگر:

کار شماره 5. (بررسی تابع برای یکنواختی).

در مورد مبنای نتیجه گیری کنید آ، اگر:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

یکی هواپیمای مختصاتنمودار توابع ساخته شد:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x.

نمودارهای توابع نمایی نسبت به یکدیگر برای x > 0، x = 0، x چگونه هستند< 0?

عدد یکی از مهم ترین ثابت ها در ریاضیات. طبق تعریف، آن است برابر با حد توالی با نامحدود افزایش n . تعیین هوارد شد لئونارد اویلر در سال 1736. او 23 رقم اول این عدد را به صورت اعشاری محاسبه کرد و خود این عدد به افتخار ناپیر "عدد غیر پیر" نامگذاری شد. عدد هنقش ویژه ای در تحلیل ریاضی دارد. تابع نمایی با پایه ه, توان نامیده می شود و تعیین شده است y = e x. اولین نشانه ها شماره هآسان به خاطر سپردن: دو، کاما، هفت، سال تولد لئو تولستوی - دو بار، چهل و پنج، نود، چهل و پنج.

مشق شب:

کلموگروف بند 35; شماره 445-447; 451; 453.

الگوریتم ساخت نمودار توابع حاوی یک متغیر را در زیر علامت مدول تکرار کنید.

دانش توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جداول ضرب نیست. آنها مانند پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله ما تمام توابع ابتدایی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و بدون نتیجه گیری یا اثبات ارائه می دهیم ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار یک تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط ناپیوستگی یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به مقاله تحدب یک تابع، جهت تحدب، نقاط عطف، شرایط تحدب و خمش مراجعه کنید).
• مجانب مورب و افقی؛
• نقاط منفرد توابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه nام، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول تعریف می شود که در آن C مقداری واقعی است. یک تابع ثابت هر مقدار واقعی متغیر مستقل x را با همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار C مرتبط می کند. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x و عبور از نقطه با مختصات (0,C) است. به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و را نشان خواهیم داد که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه: کل مجموعه اعداد واقعی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از مفردبا .
• یک تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر یک ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات عبور می کند.

ریشه درجه n.

بیایید تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیریم که با فرمول n - عدد طبیعی، بزرگتر از یک

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، در اینجا یک تصویر با تصاویر نمودارهای تابع است و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه زوج دارای ظاهری مشابه برای سایر مقادیر توان است.

ویژگی های تابع ریشه n برای زوج n.

ریشه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه n با یک توان ریشه فرد n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، در اینجا نمودارهای تابع هستند و با منحنی های سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

برای سایر مقادیر فرد از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع ریشه n برای فرد n.

تابع توان.

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

بیایید شکل نمودارهای یک تابع توان و خواص یک تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیریم.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این مورد، ظاهر نمودارهای توابع توان و خواص توابع به یکنواختی یا عجیب بودن توان و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای نماهای مثبت زوج، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را اولاً برای a از صفر تا یک، ثانیاً برای بزرگتر از یک، ثالثاً برای a از منهای یک به صفر، چهارم، برای کمتر از منهای یک در نظر می گیریم.

در پایان این بخش برای کامل بودن تابع توان با توان صفر را توضیح خواهیم داد.

تابع توان با توان مثبت فرد.

بیایید یک تابع توان با نما مثبت فرد، یعنی با a = 1،3،5،.... در نظر بگیریم.

در شکل زیر نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز نشان داده شده است. برای a=1 داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های یک تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

بیایید یک تابع توان با توان مثبت در نظر بگیریم، یعنی برای a = 2،4،6،....

به عنوان مثال، نمودارهایی از توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز ارائه می دهیم. برای a=2 داریم تابع درجه دوم، که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای فرد نگاه کنید مقادیر منفیتوان، یعنی برای = -1، -3، -5،... .

شکل نمودارهای توابع قدرت را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس ، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی حتی.

بیایید به تابع توان برای a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی مجموعه را حوزه های تعریف توابع توان با توان های مثبت کسری در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

تابع توان را با rational یا ir در نظر بگیرید شاخص منطقییک و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

اجازه دهید یک تابع توان با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی a و .

اجازه دهید نمودارهایی از توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه کنیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

>

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص تابع توان در .

تابع توانی با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان دامنه تعریف تابع توان را بازه می دانند. . مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و اصول تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به این دیدگاه پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های تعریف توابع توان با نماهای منفی کسری کسری را به ترتیب یک مجموعه در نظر می گیریم. توصیه می کنیم دانش آموزان نظر معلم خود را در مورد این نکته ظریف بدانند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

بیایید به تابع قدرت، kgod برویم.

برای داشتن یک ایده خوب از شکل نمودارهای توابع قدرت برای، مثال هایی از نمودار توابع ارائه می کنیم. (به ترتیب منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز).

ویژگی های تابع توان با توان a، .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیرصحیح کمتر از منهای یک.

هنگامی که a = 0، یک تابع داریم - این یک خط مستقیم است که از آن نقطه (0;1) حذف می شود (توافق شد که به عبارت 0 0 اهمیتی داده نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی اصلی است تابع نمایی.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a اشکال متفاوتی دارد. بیایید این را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی از صفر تا یک مقدار بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهایی از تابع نمایی را برای a = 1/2 – خط آبی، a = 5/6 – خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

اجازه دهید به سراغ موردی برویم که پایه تابع نمایی است بیش از یکی، به این معنا که، .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای مقادیر دیگر پایه بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

اصلی بعدی عملکرد ابتدایییک تابع لگاریتمی است، که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

نمودار یک تابع لگاریتمی بسته به مقدار پایه a شکل های مختلفی دارد.

تصمیم اکثریت مسائل ریاضیبه نوعی با تبدیل عبارات عددی، جبری یا عملکردی مرتبط است. موارد فوق به ویژه در مورد تصمیم اعمال می شود. در نسخه های آزمون دولتی واحد در ریاضیات، این نوع مسئله به ویژه شامل وظیفه C3 است. یادگیری حل وظایف C3 نه تنها برای موفقیت مهم است قبولی در آزمون دولتی یکپارچه، بلکه به این دلیل که این مهارت هنگام مطالعه یک درس ریاضی در دبیرستان مفید خواهد بود.

هنگام تکمیل وظایف C3، باید انواع مختلفی از معادلات و نابرابری ها را حل کنید. از جمله آنها می توان به ماژول های منطقی، غیر منطقی، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، شامل ماژول ها ( ارزش های مطلق) و همچنین ترکیبی. در این مقاله انواع اصلی معادلات و نابرابری های نمایی و همچنین روش های مختلف برای حل آنها مورد بحث قرار می گیرد. در مورد حل انواع دیگر معادلات و نابرابری ها در بخش "" در مقالات اختصاص داده شده به روش های حل مسائل C3 از گزینه های آزمون دولتی یکپارچهریاضیات

قبل از شروع به تجزیه و تحلیل خاص معادلات و نابرابری های نماییبه عنوان یک معلم ریاضی، من به شما پیشنهاد می کنم برخی از مطالب نظری را که به آنها نیاز داریم، بررسی کنید.

تابع نمایی

تابع نمایی چیست؟

عملکرد فرم y = تبر، جایی که آ> 0 و آ≠ 1 نامیده می شود تابع نمایی.

پایه ای ویژگی های تابع نمایی y = تبر:

نمودار یک تابع نمایی

نمودار تابع نمایی است توان:

نمودار توابع نمایی (شارها)

حل معادلات نمایی

نشان دهندهمعادلاتی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در توان های برخی توان ها یافت می شود.

برای راه حل ها معادلات نماییشما باید قضیه ساده زیر را بدانید و بتوانید از آن استفاده کنید:

قضیه 1.معادله نمایی آ f(ایکس) = آ g(ایکس) (جایی که آ > 0, آ≠ 1) معادل معادله است f(ایکس) = g(ایکس).

علاوه بر این، به خاطر سپردن فرمول ها و عملیات اصلی با درجه مفید است:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مثال 1.معادله را حل کنید:

راه حل:ما از فرمول های بالا و جایگزینی استفاده می کنیم:

سپس معادله تبدیل می شود:

ممیز از دریافتی معادله درجه دوممثبت:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

این به آن معنا است معادله داده شدهدو ریشه دارد ما آنها را پیدا می کنیم:

با حرکت به سمت تعویض معکوس، دریافت می کنیم:

معادله دوم ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی در کل دامنه تعریف کاملاً مثبت است. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

با در نظر گرفتن آنچه در قضیه 1 گفته شد، به معادله معادل می رویم: ایکس= 3. این پاسخ کار خواهد بود.

پاسخ: ایکس = 3.

مثال 2.معادله را حل کنید:

راه حل:معادله هیچ محدودیتی در محدوده مقادیر مجاز ندارد، زیرا عبارت رادیکال برای هر مقداری معنا دارد. ایکس(تابع نمایی y = 9 4 -ایکسمثبت و مساوی صفر نیست).

معادله را با تبدیل های معادل با استفاده از قوانین ضرب و تقسیم توان ها حل می کنیم:

آخرین انتقال مطابق با قضیه 1 انجام شد.

پاسخ:ایکس= 6.

مثال 3.معادله را حل کنید:

راه حل:هر دو طرف معادله اصلی را می توان بر 0.2 تقسیم کرد ایکس. این انتقال معادل خواهد بود، زیرا این عبارت برای هر مقداری بزرگتر از صفر است ایکس(تابع نمایی در حوزه تعریف خود کاملاً مثبت است). سپس معادله به شکل زیر در می آید:

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 4.معادله را حل کنید:

راه حل:ما با استفاده از قوانین تقسیم و ضرب توان ها که در ابتدای مقاله آورده شده است، معادله را به یک معادله ابتدایی با استفاده از تبدیل های معادل ساده می کنیم:

تقسیم دو طرف معادله بر 4 ایکسمانند مثال قبلی، تبدیلی معادل است، زیرا این بیانبرای هیچ مقداری برابر با صفر نیست ایکس.

پاسخ: ایکس = 0.

مثال 5.معادله را حل کنید:

راه حل:تابع y = 3ایکس، ایستاده در سمت چپ معادله، در حال افزایش است. تابع y = —ایکس 2/3- در سمت راست معادله در حال کاهش است. به این معنی که اگر نمودارهای این توابع با هم تلاقی کنند، حداکثر یک نقطه. در این مورد، به راحتی می توان حدس زد که نمودارها در نقطه تلاقی می کنند ایکس= -1. هیچ ریشه دیگری وجود نخواهد داشت.

پاسخ: ایکس = -1.

مثال 6.معادله را حل کنید:

راه حل:ما معادله را با استفاده از تبدیل‌های معادل ساده می‌کنیم و در همه جا در نظر داریم که تابع نمایی برای هر مقداری به شدت بزرگ‌تر از صفر است. ایکسو با استفاده از قواعد محاسبه حاصلضرب و ضریب توان ها در ابتدای مقاله:

پاسخ: ایکس = 2.

حل نابرابری های نمایی

نشان دهندهنابرابری هایی نامیده می شوند که در آنها متغیر مجهول فقط در نماهای برخی از توان ها وجود دارد.

برای راه حل ها نابرابری های نماییدانستن قضیه زیر الزامی است:

قضیه 2.اگر آ> 1، سپس نابرابری آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به همین معنی است: f(ایکس) > g(ایکس). اگر 0< آ < 1, то نابرابری نمایی آ f(ایکس) > آ g(ایکس) معادل نابرابری به معنای مخالف است: f(ایکس) < g(ایکس).

مثال 7.حل نابرابری:

راه حل:بیایید نابرابری اصلی را به شکل زیر ارائه کنیم:

بیایید هر دو طرف این نابرابری را بر 3 2 تقسیم کنیم ایکس، در این حالت (به دلیل مثبت بودن تابع y= 3 2ایکس) علامت نابرابری تغییر نمی کند:

بیایید از جایگزین استفاده کنیم:

سپس نابرابری به شکل زیر در می آید:

بنابراین، راه حل نابرابری بازه است:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

با توجه به مثبت بودن تابع نمایی، نابرابری سمت چپ به طور خودکار برآورده می شود. با استفاده از خاصیت شناخته شده لگاریتم، به نابرابری معادل می رویم:

از آنجایی که پایه درجه یک عدد بزرگتر از یک است، معادل (با قضیه 2) انتقال به نابرابری زیر است:

بنابراین، ما در نهایت دریافت می کنیم پاسخ:

مثال 8.حل نابرابری:

راه حل:با استفاده از خواص ضرب و تقسیم توان ها، نابرابری را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

با در نظر گرفتن این جایگزینی، نابرابری به شکل زیر در می آید:

با ضرب صورت و مخرج کسر در 7، نابرابری معادل زیر را بدست می آوریم:

بنابراین، مقادیر زیر متغیر نابرابری را برآورده می کند تی:

سپس، با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، دریافت می کنیم:

از آنجایی که پایه درجه در اینجا بزرگتر از یک است، انتقال به نابرابری معادل خواهد بود (توسط قضیه 2):

بالاخره می رسیم پاسخ:

مثال 9.حل نابرابری:

راه حل:

هر دو طرف نابرابری را با عبارت زیر تقسیم می کنیم:

همیشه بزرگتر از صفر است (به دلیل مثبت بودن تابع نمایی) بنابراین نیازی به تغییر علامت نابرابری نیست. ما گرفتیم:

t واقع در بازه:

با حرکت به سمت جایگزینی معکوس، متوجه می شویم که نابرابری اصلی به دو حالت تقسیم می شود:

نابرابری اول به دلیل مثبت بودن تابع نمایی راه حلی ندارد. بیایید مورد دوم را حل کنیم:

مثال 10.حل نابرابری:

راه حل:

شاخه های سهمی y = 2ایکس+2-ایکس 2 به سمت پایین هدایت می شوند، بنابراین از بالا با مقداری که در راس خود به آن می رسد محدود می شود:

شاخه های سهمی y = ایکس 2 -2ایکس 2+ در اندیکاتور به سمت بالا هدایت می شوند، به این معنی که از پایین با مقداری که در راس خود می رسد محدود می شود:

در همان زمان، تابع نیز از پایین محدود شده است y = 3 ایکس 2 -2ایکس+2 که در سمت راست معادله است. او به هدف خود می رسد کمترین مقداردر همان نقطه سهمی در توان، و این مقدار برابر با 3 1 = 3 است. بنابراین، نابرابری اصلی تنها زمانی می تواند صادق باشد که تابع سمت چپ و تابع سمت راست مقداری برابر با 3 بگیرند. در همان نقطه (توسط تقاطع محدوده مقادیر این توابع فقط این عدد است). این شرط در یک نقطه برآورده می شود ایکس = 1.

پاسخ: ایکس= 1.

برای اینکه یاد بگیریم تصمیم بگیریم معادلات و نابرابری های نمایی،برای حل آنها باید مدام آموزش داد. چیزهای مختلف می تواند به شما در انجام این کار دشوار کمک کند. کتابچه راهنمای روش شناختی، کتاب مسائل ریاضی ابتدایی، مجموعه مسائل رقابتی، کلاس های ریاضی در مدرسه و همچنین جلسات فردیبا مربی حرفه ای از صمیم قلب برای شما آرزوی موفقیت در آمادگی و نتایج عالی در آزمون دارم.

سرگئی والریویچ

P.S. مهمانان عزیز! لطفا درخواست حل معادلات خود را در نظرات ننویسید. متأسفانه من مطلقاً برای این کار وقت ندارم. چنین پیام حذف خواهد شد. لطفا مقاله را بخوانید. شاید در آن پاسخ به سؤالاتی پیدا کنید که به شما اجازه نمی دهد کار خود را به تنهایی حل کنید.

1. یک تابع نمایی تابعی از شکل y(x) = a x است، بسته به توان x، با مقدار ثابت پایه درجه a، که در آن a > 0، a ≠ 0، xϵR (R برابر است با مجموعه ای از اعداد واقعی).

در نظر بگیریم نمودار تابع اگر پایه شرط را برآورده نکند: a>0
الف) الف< 0
اگر یک< 0 – возможно возведение в целую степень или в درجه عقلانیبا توان فرد
a = -2

اگر a = 0 باشد، تابع y = تعریف شده و دارد مقدار ثابت 0

ج) a = 1
اگر a = 1 باشد، تابع y = تعریف می شود و مقدار ثابت آن 1 است

2. اجازه دهید نگاهی دقیق تر به تابع نمایی بیندازیم:

0

دامنه تابع (DOF)

محدوده مقادیر تابع مجاز (APV)

3. صفرهای تابع (y = 0)

4. نقاط تقاطع با محور oy (x = 0)

5. افزایش، کاهش توابع

اگر، تابع f(x) افزایش می یابد
اگر، تابع f(x) کاهش می یابد
تابع y=، در 0 تابع y = برای a> 1 به صورت یکنواخت افزایش می یابد
این از ویژگی های یکنواختی درجه c ناشی می شود شاخص واقعی.

6. زوج، تابع فرد

تابع y = نسبت به محور 0 و نسبت به مبدأ مختصات متقارن نیست، بنابراین نه زوج است و نه فرد. (عملکرد کلی)

7. تابع y = اکستریم ندارد

8. ویژگی های یک درجه با توان واقعی:

بگذارید a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

سپس برای x εR; yεR:

ویژگی های یکنواختی درجه:

اگر پس از آن
مثلا:

اگر a> 0، پس.
تابع نمایی در هر نقطه ϵ R پیوسته است.

9. موقعیت نسبی تابع

هرچه پایه a بزرگتر باشد به محورهای x و oy نزدیکتر می شود

a > 1، a = 20

اگر a0 باشد، تابع نمایی شکلی نزدیک به y = 0 می گیرد.
اگر a1 باشد، پس از محورهای ox و oy فاصله گرفته و نمودار شکلی نزدیک به تابع y = 1 به خود می گیرد.

مثال 1.
یک نمودار از y = بسازید

تابع نمایی

تابع شکل y = a ایکس در جایی که a بزرگتر از صفر باشد و a برابر یک نباشد تابع نمایی نامیده می شود. ویژگی های اصلی تابع نمایی:

1. دامنه تعریف تابع نمایی مجموعه اعداد حقیقی خواهد بود.

2. محدوده مقادیر تابع نمایی مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت خواهد بود. گاهی اوقات این مجموعه برای اختصار با R+ نشان داده می شود.

3. اگر در یک تابع نمایی، پایه a بزرگتر از یک باشد، آنگاه تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. اگر در تابع نمایی برای پایه a برآورده شود شرط بعدی 0

4. تمام خصوصیات پایه مدارک معتبر خواهد بود. ویژگی های اصلی درجه ها با برابری های زیر نشان داده می شود:

آ ایکس *آ y = a (x+y) ;

(آ ایکس )/(آ y ) = الف (x-y) ;

(الف*ب) ایکس = (الف ایکس )*(آ y );

(الف/ب) ایکس = a ایکس /ب ایکس ;

(آ ایکس ) y = a (x*y) .

این برابری ها برای تمام مقادیر واقعی x و y معتبر خواهند بود.

5. نمودار یک تابع نمایی همیشه از نقطه ای با مختصات (0;1) عبور می کند.

6. بسته به افزایش یا کاهش تابع نمایی، نمودار آن یکی از دو شکل را خواهد داشت.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی افزایشی را نشان می دهد: a>0.

شکل زیر نمودار یک تابع نمایی نزولی را نشان می دهد: 0

هم نمودار یک تابع نمایی افزایشی و هم نمودار یک تابع نمایی نزولی، با توجه به ویژگی توضیح داده شده در بند پنجم، از نقطه (0;1) عبور می کنند.

7. یک تابع نمایی دارای نقاط منتهی نیست، به عبارت دیگر دارای حداقل و حداکثر نقاط تابع نیست. اگر تابعی را در هر بخش خاصی در نظر بگیریم، آنگاه تابع در انتهای این بازه حداقل و حداکثر مقدار را به خود می گیرد.

8. تابع زوج یا فرد نیست. تابع نمایی تابعی از فرم کلی است. این را می توان از نمودارها مشاهده کرد؛ هیچ کدام از آنها نه از نظر محور Oy و نه از نظر مبدأ مختصات متقارن نیستند.

لگاریتم

لگاریتم ها همیشه مورد توجه بوده اند موضوع پیچیده V دوره مدرسهریاضیات بسیاری وجود دارد تعاریف مختلفلگاریتم، اما به دلایلی بیشتر کتاب های درسی از پیچیده ترین و ناموفق ترین آنها استفاده می کنند.

ما لگاریتم را ساده و واضح تعریف می کنیم. برای انجام این کار، بیایید یک جدول ایجاد کنیم:

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

تعریف

لگاریتمبرای پایه a آرگومان x قدرتی است که عدد باید به آن افزایش یابدآ برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ورود به سیستم a x = b
جایی که a پایه است، x آرگومان، b - در واقع لگاریتم با چه چیزی برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان موفقیت، log 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عمل یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه داده شده نامیده می شودلگاریتم . بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. به عنوان مثال، سعی کنید log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی در بازه قرار می گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می کنند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری سوء تفاهم های آزار دهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. به یاد داشته باشید: لگاریتم یک قدرت است ، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود.این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیریم چگونه لگاریتم ها را بشماریم. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، توجه می کنیم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، نتیجه می گیرد.

پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند.به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایینامیده می شوند محدوده مقادیر قابل قبول(ODZ). به نظر می رسد که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

لطفا توجه داشته باشید که بدون محدودیت در تعدادب (مقدار لگاریتمی) همپوشانی ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن VA لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان مشکلات در نظر گرفته شده است. اما زمانی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DL اجباری خواهند شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

اکنون ژنرال را در نظر بگیرید طرحی برای محاسبه لگاریتم از سه مرحله تشکیل شده است:

دلیل بیاور a و آرگومان x به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.

با توجه به یک متغیر حل کنیدمعادله b: x = a b ;

عدد حاصل b پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. شرط بزرگتر بودن پایه از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. همینطور اعداد اعشاری: اگر بلافاصله آنها را به معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح چگونه کار می کند نمونه های خاص:

لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

جواب گرفتیم: 2.

محاسبه لگاریتم:

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان سه تصور کنیم: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:

ما پاسخ را دریافت کردیم: -4.

−4

لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

جواب گرفتیم: 3.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

جواب گرفتیم: 0.

لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;

از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.

پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

ثبت 7 14

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ بسیار ساده است - فقط آن را در فاکتورهای اصلی قرار دهید. اگر بسط حداقل دو تا داشته باشد ضریب مختلف، عدد یک توان دقیق نیست.

دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - دوباره قدرت دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

8، 81 - درجه دقیق؛ 48، 35، 14 - شماره.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیقی از خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

تعریف

لگاریتم اعشاریاز آرگومان x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد باید عدد 10 را به آن افزایش دادایکس.

تعیین

ال جی ایکس

به عنوان مثال، log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این یک لگاریتم اعشاری است. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. این در مورد استدر مورد لگاریتم طبیعی

تعریف

لگاریتم طبیعیاز آرگومان x لگاریتم به پایه استه ، یعنی قدرتی که یک عدد باید به آن افزایش یابده برای دریافت شمارهایکس.

تعیین

ln x

بسیاری از مردم خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است، مقدار دقیق آن را نمی توان یافت و یادداشت کرد. من فقط ارقام اول را می آورم:
e = 2.718281828459...

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e - پایه لگاریتم طبیعی:
لوگاریتم x = log e x

بنابراین ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویاغیر منطقی البته به جز یکی: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعیتمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند معتبر هستند.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، قوانین خاص خود را دارند که به آنها ویژگی های اساسی می گویند.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها نمی توان یک مشکل جدی را حل کرد. مسئله لگاریتمی. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log x و y را ثبت کنید . سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

ورود به سیستمتبر + ثبت نامیک سال = ثبت نامآ ( ایکس · y );

ورود به سیستمتبر - ورودیک سال = ثبت نامآ ( ایکس : y ).

بنابراین، مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است.لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا همین دلایل است. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که تک تک اجزای آن شمارش نشده باشد (به درس " مراجعه کنید "). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 6 4 + log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان با توجه به قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر ODZ لگاریتم رعایت شود همه این قوانین منطقی هستند: a > 0, a ≠ 1, x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

قضیه

اجازه دهید لاگ لگاریتمی داده شودتبر . سپس برای هر عددی c به گونه ای که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به ویژه اگر قرار دهیم c = x، دریافت می کنیم:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در معمولی یافت می شوند عبارات عددی. ارزیابی اینکه چقدر راحت هستند فقط با تصمیم گیری امکان پذیر است معادلات لگاریتمیو نابرابری ها

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید خلاص شویم لگاریتم اعشاری، انتقال به پایگاه جدید:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در مورد اول، شماره n نشانگر درجه ایستاده در استدلال می شود. عدد n می تواند کاملاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. این چیزی است که به آن می گویند:هویت لگاریتمی پایه.

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه

معنی عبارت را پیدا کنید:

راه حل

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

200

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون دولتی واحد بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

log a a = 1 است واحد لگاریتمی. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایهآ از همین پایه برابر با یک است.

log a 1 = 0 است صفر لگاریتمی. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرایک 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید!