آنها درجات یکسانی دارند، اما نماهای درجات یکسان نیستند، 2² * 2³، سپس نتیجه یک پایه درجه با همان پایه یکسان از شرایط حاصل ضرب درجات خواهد بود، که به توانی برابر افزایش می یابد. به مجموع نماهای همه درجات ضرب شده.

22 * 2³ = 22⁺³ = 25 = 32

اگر عبارات حاصل ضرب توان ها دارای پایه های توان های متفاوتی باشند و توان ها یکسان باشند، مثلاً 2³ * 5³، آنگاه حاصل حاصل ضرب پایه های این توان ها به توانی برابر با همین توان خواهد بود. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

اگر توان‌های ضرب شده با یکدیگر برابر باشند، مثلاً 5³ * 5³، نتیجه یک توان با پایه‌ای برابر با پایه‌های یکسان توان‌ها خواهد بود که به توانی برابر توان توان‌ها ضرب می‌شود. تعداد این قدرت های یکسان

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 56 = 15625

یا مثال دیگری با همین نتیجه:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 56 = 15625

منابع:

• درجه با توان طبیعی چیست؟
• محصول قدرت ها

عملیات ریاضی با توان را فقط زمانی می توان انجام داد که پایه های توان ها یکسان باشند و علامت های ضرب یا تقسیم بین آنها وجود داشته باشد. پایه یک توان عددی است که به توان افزایش می یابد.

دستورالعمل ها

اگر اعداد بر یکدیگر بخش پذیر باشند (cm 1)، آنگاه y (در این مثال، عدد 3 است) به عنوان یک توان ظاهر می شود که از تفریق توان ها تشکیل می شود. علاوه بر این، این عمل به طور مستقیم انجام می شود: دومی از شاخص اول کم می شود. مثال 1. اجازه دهید: (a)b را معرفی کنیم، جایی که در پرانتز - a پایه است، براکت های بیرونی - در - توان. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. اگر پاسخ عددی را به توان منفی تولید کند، چنین عددی به کسر مشترک، که در صورت آن یکی و در مخرج قاعده با توان بدست آمده از اختلاف، فقط به صورت مثبت (با علامت مثبت) وجود دارد. مثال 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. تقسیم قدرت ها را می توان به شکل دیگری از طریق علامت کسری نوشت و نه آنطور که در این مرحله از طریق علامت ":" نشان داده شده است. این اصل راه حل را تغییر نمی دهد، همه چیز دقیقاً به همین صورت انجام می شود، فقط ورودی با علامت کسری افقی (یا مایل) به جای علامت 3 انجام می شود. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

هنگام ضرب پایه های یکسان که دارای درجه هستند، درجات جمع می شوند. مثال 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. اگر توان ها دارای نشانه های مختلف، سپس جمع آنها مطابق با قوانین ریاضی انجام می شود. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. .

اگر مبانی توانها متفاوت باشد، به احتمال زیاد می توان آنها را با تبدیل ریاضی به یک شکل آورد. مثال 6. فرض کنید باید مقدار عبارت (4)2: (2)3 را پیدا کنیم. با دانستن اینکه عدد چهار را می توان به صورت دو مربع نشان داد، این مثال به صورت زیر حل می شود: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. در مرحله بعد، هنگام افزایش یک عدد به توان. از قبل دارای مدرک، شاخص های درجه در یکدیگر ضرب می شوند: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

مشاوره مفید

به یاد داشته باشید، اگر پایه داده شده متفاوت از پایه دوم به نظر می رسد، به دنبال یک راه حل ریاضی باشید. اعداد مختلف فقط داده نمی شود. مگر اینکه حروفچین در کتاب درسی اشتباه تایپی کرده باشد.

فرمت قدرت نوشتن یک عدد شکل کوتاه شده نوشتن عمل ضرب یک پایه در خودش است. با عددی که در این فرم ارائه شده است، می‌توانید عملیات مشابه با هر اعداد دیگر را انجام دهید، از جمله بالا بردن آنها به توان. به عنوان مثال، شما می توانید مربع یک عدد را به یک توان دلخواه برسانید و به دست آوردن نتیجه در سطح فعلی توسعه فناوری هیچ مشکلی ایجاد نخواهد کرد.

شما نیاز خواهید داشت

• دسترسی به اینترنت یا ماشین حساب ویندوز.

دستورالعمل ها

برای بالا بردن یک مربع به توان، استفاده کنید قانون کلیارتقاء به قدرتی که قبلاً داشته است توان نما. با این عمل، شاخص ها چند برابر می شوند، اما پایه ثابت می ماند. اگر پایه به عنوان x تعیین شده است و شاخص های اصلی و اضافی به صورت a و b تعیین شده اند، این قانون را در نمای کلیمی توانید این کار را انجام دهید: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام توان ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب کنیم؟

در جبر، در دو حالت می توانید حاصل ضرب قوا را بیابید:

1) اگر درجات دارای پایه های یکسان باشند.

2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه باید یکسان باقی بماند و توان ها باید اضافه شوند:

هنگام ضرب درجات با شاخص های یکسان، شاخص کلی را می توان از پرانتز خارج کرد:

بیایید نحوه ضرب توان ها را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم.

واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب توان ها، آنها را در نظر می گیرند:

هنگام ضرب، هر تعداد توان می تواند وجود داشته باشد. لازم به یادآوری است که لازم نیست علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:

در عبارات، قدرت اول انجام می شود.

اگر نیاز دارید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن ضرب را انجام دهید:

www.algebraclass.ru

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم، با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب، ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو عدد از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر است با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر با مجموعیا تفاوت مربع های آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد، با تفریق از سود تقسیمی، یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشته باشیم، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.

2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به مخرج مشترک.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

خواص مدرک

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان های گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک مدرک با شاخص طبیعی چندین دارد خواص مهم، که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با قدرت ساده کنید.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عددی است. اعداد صحیح.

این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.

بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در دارایی مشخص شدهما فقط در مورد ضرب قدرت با پایه های یکسان صحبت می کردیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

محاسبه.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت

هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

(a n b n) = (a b) n

یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.

مثال. محاسبه.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. محاسبه.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید بر روی توان هایی با پایه های مختلف انجام شود شاخص های مختلف. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

نمونه ای از افزایش اعشار به توان.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

خواص 5
توان یک ضریب (کسری)

برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

(a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر کدام هستند اعداد گویا, b ≠ 0, n - هر عدد طبیعی.

مثال. عبارت را به عنوان ضریب توان ارائه کنید.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد با جزئیات بیشتر به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

قدرت ها و ریشه ها

عملیات با قدرت و ریشه. مدرک با منفی ,

صفر و کسری نشانگر در مورد عباراتی که معنی ندارند.

عملیات با درجه.

1. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها اضافه می شود:

صبح · a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کسر می شوند .

3. درجه حاصلضرب دو یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل.

4. درجه یک نسبت (کسری) برابر است با نسبت درجات تقسیم (حساب) و مقسوم علیه (مخرج):

(الف/ب) n = a n / b n .

5. هنگام افزایش توان به توان، توان آنها ضرب می شود:

تمامی فرمول های فوق در هر دو جهت از چپ به راست و بالعکس خوانده و اجرا می شوند.

مثال (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

عملیات با ریشه در تمام فرمول های زیر علامت به معنی است ریشه حسابی(بیان رادیکال مثبت است).

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه نگرش برابر با نسبتریشه های تقسیم و تقسیم کننده:

3. هنگام بالا بردن یک ریشه به یک قدرت کافی است که به این قدرت برسانید عدد رادیکال:

4. اگر درجه ریشه را m برابر کنید و همزمان عدد رادیکال را به توان mth برسانید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

5. اگر درجه ریشه را m برابر کاهش دهید و همزمان ریشه m ام عدد رادیکال را استخراج کنید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

گسترش مفهوم درجه. تا کنون درجاتی را فقط با شارحهای طبیعی در نظر گرفته ایم. اما عملیات با قدرت و ریشه نیز می تواند منجر شود منفی, صفرو کسریشاخص ها. همه این نماها نیاز به تعریف بیشتری دارند.

درجه ای با ضریب منفی. توان یک عدد معین با یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق توان منفی تعریف می شود:

حالا فرمول صبح : a n = m - nرا می توان نه تنها برای متر، بیشتر از n، بلکه با متر، کمتر از n .

مثال آ 4: آ 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

اگر فرمول را بخواهیم صبح : a n = صبح — nوقتی منصفانه بود m = n، به تعریف درجه صفر نیاز داریم.

مدرک با شاخص صفر. توان هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. برای اینکه یک عدد واقعی a را به توان m / n برسانید، باید ریشه n ام توان m این عدد a را استخراج کنید:

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.

جایی که آ ≠ 0 , وجود ندارد.

در واقع اگر فرض کنیم که ایکسعدد معینی است، پس مطابق با تعریف عملیات تقسیم داریم: آ = 0· ایکس، یعنی آ= 0، که با شرط تناقض دارد: آ ≠ 0

— هر عددی

در واقع اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با فلان عدد باشد ایکس، سپس با توجه به تعریف عملیات تقسیم داریم: 0 = 0 · ایکس. اما این برابری زمانی رخ می دهد که هر عدد x، چیزی بود که باید ثابت می شد.

0 0 — هر عددی

راه حل بیایید سه مورد اصلی را در نظر بگیریم:

1) ایکس = 0 – این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

2) چه زمانی ایکس> 0 دریافت می کنیم: x/x= 1، یعنی 1 = 1 که به این معنی است

چی ایکس- هر تعداد؛ اما با در نظر گرفتن اینکه در

در مورد ما ایکس> 0، پاسخ این است ایکس > 0 ;

قوانین ضرب توان با پایه های مختلف

درجه با شاخص منطقی،

تابع قدرت IV

§ 69. ضرب و تقسیم قوا با پایه های یکسان

قضیه 1.برای ضرب توان ها با پایه های یکسان کافی است نماها را جمع کنید و پایه را ثابت بگذارید.

اثباتبا تعریف مدرک

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

ما به حاصل ضرب دو قدرت نگاه کردیم. در واقع، خاصیت اثبات شده برای هر تعداد قدرت با پایه های یکسان صادق است.

قضیه 2.برای تقسیم قدرت ها با مبانی یکسان، وقتی شاخص سود از شاخص تقسیم کننده بزرگتر است، کافی است شاخص تقسیم کننده را از شاخص سود کم کنید و پایه را ثابت بگذارید. در t > p

(آ =/= 0)

اثباتبه یاد بیاورید که ضریب تقسیم یک عدد بر عدد دیگر عددی است که وقتی در مقسوم علیه ضرب شود، سود حاصل می شود. بنابراین، فرمول کجا را ثابت کنید آ =/= 0، مانند اثبات فرمول است

اگر t > p ، سپس شماره t - p طبیعی خواهد بود؛ بنابراین، توسط قضیه 1

قضیه 2 ثابت شده است.

لازم به ذکر است که فرمول

ما فقط با این فرض ثابت کرده ایم که t > p . بنابراین، از آنچه ثابت شده است، هنوز نمی توان به عنوان مثال، به نتایج زیر دست یافت:

علاوه بر این، ما هنوز درجاتی را با توان منفی در نظر نگرفته ایم و هنوز نمی دانیم چه معنایی می توان به عبارت 3 داد. - 2 .

قضیه 3. برای بالا بردن درجه به توان کافی است که نماها را ضرب کنیم و پایه درجه را ثابت نگه داریم.، به این معنا که

اثباتبا استفاده از تعریف درجه و قضیه 1 این بخش به دست می آید:

Q.E.D.

به عنوان مثال، (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (شفاهی) تعیین کنید ایکس از معادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 ایکس ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 ایکس ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 ایکس ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 ایکس .

519. (شماره تنظیم) ساده کنید:

520. (شماره تنظیم) ساده کنید:

521. این عبارات را به صورت درجه با همان مبناها ارائه دهید:

1) 32 و 64; 3) 8 5 و 16 3; 5) 4 100 و 32 50;

2) -1000 و 100; 4) -27 و -243; 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.

ویژگی های پایه درجات

"خواص درجات"یک پرس و جو نسبتاً محبوب در موتورهای جستجو است که علاقه زیادی به ویژگی های مدرک نشان می دهد. ما تمام خصوصیات یک درجه را برای شما جمع آوری کرده ایم (خواص درجه با توان طبیعی، خواص درجه با شاخص منطقی، ویژگی های یک درجه با توان عدد صحیح) در یک مکان. می توانید نسخه کوتاهی از برگه تقلب را دانلود کنید "خواص درجات"با فرمت pdf تا در صورت لزوم بتوانید به راحتی آنها را به خاطر بسپارید یا با آنها آشنا شوید خواص درجهمستقیما در سایت در جزئیات ویژگی های قدرت ها با مثالدر زیر مورد بحث قرار گرفته است.

دانلود برگه تقلب "ویژگی های درجه" (فرمتpdf)

خواص درجات (به طور خلاصه)

آ 0=1 اگر آ≠0

آ 1=آ

(−آ)n=یک، اگر n- زوج

(−آ)n=−یک، اگر n- فرد

(آ⋅ب)n=یک⋅bn

(ab)n=عنبن

آ−n=1یک

(ab)−n=(ba)n

یک⋅صبح=یک+متر

آنام=یک−متر

(یک)متر=یک⋅متر

خصوصیات درجات (با مثال)

دارایی درجه 1هر عددی غیر از صفر به توان صفر برابر با یک است. آ 0=1 اگر آ≠0 مثلا: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

دارایی درجه 2هر عددی به توان اول برابر است با خود عدد. آ 1=آ مثلا: 231=23, (−9,3)1=−9,3

دارایی درجه 3هر عددی به توان زوج مثبت است. یک=یک، اگر n- زوج (قابل تقسیم بر 2) عدد صحیح (- آ)n=یک، اگر n- زوج (قابل تقسیم بر 2) عدد صحیح مثلا: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

دارایی درجه 4هر عددی به توان فرد علامت خود را حفظ می کند. یک=یک، اگر n- فرد (بر 2 بخش پذیر نیست) عدد صحیح (- آ)n=−یک، اگر n- عدد صحیح فرد (بر 2 بخش پذیر نیست). مثلا: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

دارایی درجه 5حاصل ضرب اعداد مطرح شده اوهبه یک توان، می تواند به عنوان حاصل ضرب اعداد مطرح شده نشان داده شود س V این مدرک تحصیلی (و بالعکس). ( آ⋅ب)n=یک⋅bn، که در آن آ, ب, n مثلا: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

دارایی درجه 6ضریب (تقسیم) اعداد مطرح شده اوهبه یک توان، می تواند به عنوان ضریب اعداد مطرح شده نشان داده شود س V این مدرک تحصیلی (و بالعکس). ( ab)n=عنبن، که در آن آ, ب, n- هر عدد معتبر (نه لزوما عدد صحیح). مثلا: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

دارایی درجه 7هر عددی به توان منفی برابر است با عدد متقابل آن نسبت به آن توان. (مقابل عددی است که عدد داده شده باید در آن ضرب شود تا یک عدد بدست آید.) آ−n=1یک، که در آن آو n- هر عدد معتبر (نه لزوما عدد صحیح). مثلا: 7−2=172=149

دارایی درجه 8هر کسری به توان منفی برابر است با کسر متقابل به آن توان. ( ab)−n=(ba)n، که در آن آ, ب, n- هر عدد معتبر (نه لزوما عدد صحیح). مثلا: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

دارایی درجه 9هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند. یک⋅صبح=یک+متر، که در آن آ, n, متر- هر عدد معتبر (نه لزوما عدد صحیح). مثلا: 23⋅25=23+5=28، توجه داشته باشید که این ویژگی درجه برای مقادیر منفی درجات 3−2⋅36=3−2+6=34، 47⋅4−3=47+ حفظ می‌شود. −3)= 47−3=44

دارایی درجه 10هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، توان ها کم می شوند، اما پایه ثابت می ماند. آنام=یک−متر، که در آن آ, n, متر- هر عدد معتبر (نه لزوما عدد صحیح). مثلا:(1,4)2(1,4)3=1.42+3=1.45، توجه داشته باشید که چگونه این ویژگی توان برای توانهای منفی اعمال می شود3−236=3−2−6=3−8، 474− 3=47−(−3) )=47+3=410

دارایی درجه 11هنگام بالا بردن توان به توان، توان ها چند برابر می شوند. ( یک)متر=یک⋅متربه عنوان مثال: (23)2=23⋅2=26=64

جدول قدرت تا 10

تعداد کمی از افراد موفق به به خاطر سپردن کل جدول درجه ها می شوند، و چه کسی به آن نیاز دارد وقتی که پیدا کردن آن بسیار آسان است؟ جدول قدرت ما هم شامل جداول محبوب مربع ها و مکعب ها (از 1 تا 10) و هم جدول های قدرت های دیگر است که کمتر رایج هستند. ستون های جدول توان ها پایه های درجه (تعدادی که باید به توان افزایش یابد)، سطرها نشان دهنده توان ها (قدرتی که عدد باید به آن افزایش یابد) و در محل تقاطع ستون مورد نظر و سطر مورد نظر حاصل افزایش عدد مورد نظر به توان معین است. چندین نوع مشکل وجود دارد که می توان با استفاده از میزهای قدرت حل کرد. وظیفه فوری محاسبه است n توان یک عدد مشکل معکوس، که می تواند با استفاده از جدول توان ها نیز حل شود، ممکن است به این صورت باشد: «عدد باید به چه توانی افزایش یابد؟ آ برای دریافت شماره ب ؟ یا «چه عددی به توان n یک عدد می دهد ب ?".

جدول قدرت تا 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

نحوه استفاده از جدول درجه

بیایید به چند نمونه از استفاده از میز قدرت نگاه کنیم.

مثال 1. از افزایش عدد 6 به توان 8 چه عددی حاصل می شود؟در جدول درجات به دنبال ستون 6 هستیم n، از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، عدد 6 به توان بالا می رود. سپس در جدول توان ها به دنبال خط 8 می گردیم، زیرا عدد داده شده باید به توان 8 برسد. در تقاطع به پاسخ نگاه می کنیم: 1679616.

مثال 2. عدد 9 را باید به چه توانی رساند تا به عدد 729 برسد؟در جدول درجات به دنبال ستون 9 هستیم nو آن را تا عدد 729 پایین می آوریم (خط سوم جدول درجات ما). شماره خط مدرک مورد نیاز است، یعنی پاسخ: 3.

مثال 3. چه عددی را باید به توان ۷ رساند تا ۲۱۸۷ بدست آید؟در جدول درجات به دنبال خط 7 می گردیم سپس در امتداد آن به سمت راست به عدد 2187 می رویم. از عدد پیدا شده بالا می رویم و متوجه می شویم که عنوان این ستون 3 است. nیعنی پاسخ این است: 3.

مثال 4. عدد 2 را باید به چه توانی رساند تا عدد 63 بدست آید؟در جدول درجات ستون 2 را پیدا می کنیم nو ما آن را پایین می آوریم تا زمانی که 63 را ملاقات کنیم ... اما این اتفاق نمی افتد. ما هرگز عدد 63 را در این ستون یا در هیچ ستون دیگری از جدول قدرت ها نخواهیم دید، به این معنی که هیچ عدد صحیحی از 1 تا 10 عدد 63 را نمی دهد وقتی که از 1 تا 10 به توان عدد صحیح افزایش می یابد. بنابراین، هیچ عددی وجود ندارد. پاسخ .

چرا مدرک لازم است؟

کجا به آنها نیاز خواهید داشت؟

چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای دانستن همه چیز در مورد درجه، این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش درجات شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی نزدیکتر می کند.

و برای پذیرش در دانشگاه رویاهای خود!

بیا بریم... (بریم!)

سطح اول

توان یک عملیات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را به زبان انسانی به زبان انسانی توضیح خواهم داد مثال های ساده. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و یکی دیگر زیباتر:

ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - بالا بردن عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.

تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ خیلی سؤال خوبی بود. حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1

بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.

یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر یک متر در یک متر کاشی دارید، به قطعات نیاز خواهید داشت. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().

آیا متوجه شده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد است، بالا بردن آنها به توان بسیار آسان تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و بالعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: تعداد مربع های روی صفحه شطرنج را با استفاده از مربع عدد بشمارید... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج یک مربع با ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. شما سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، به هر حال، با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است، و سعی کنید محاسبه کنید که چند مکعب اندازه گیری یک متر در متر خواهد بود. در استخر شما قرار بگیرد

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، آنچه را که یک بار با انگشت خود می شمردید، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .

تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک رقابت دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیون، دو عدد بیشتر درآمد دارید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم... تا دچار سردرگمی نشوید

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما روشن و به راحتی قابل یادآوری است...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

توان یک عدد با توان طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که در شمارش در فهرست اشیاء به کار می روند: یک، دو، سه... وقتی اجسام را می شماریم، نمی گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شدند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما دریافتند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ خلاصه بی پایان اعشاری. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.

خلاصه:

اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

1. هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
2. مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
3. مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به معنای ضرب کردن عدد در خودش است:
.

خواص درجات

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست؟ و ?

الف مقدماتی:

در کل چند ضریب وجود دارد؟

خیلی ساده است: ما ضرایب را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه چند برابر است.

اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی: که باید ثابت شود.

مثال: بیان را ساده کنید.

راه حل:

مثال:بیان را ساده کنید.

راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد!
بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول قدرت ها!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

2. همین توان یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.

اما مبنای چه چیزی باید باشد؟

در اختیارات شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج.

بیایید فکر کنیم که کدام نشانه ها ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ? با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در آن ضرب کنیم کار می کند.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

توانستی مدیریت کنی؟

در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!

6 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال

کلما اعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت " ") و عدد را می نامیم.

عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.

حال بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.

هر عددی به توان صفر برابر با یک است:

مثل همیشه از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

بیایید مدرکی را با پایه در نظر بگیریم. برای مثال در نظر بگیرید و در آن ضرب کنید:

بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان چیزی را به دست آوردیم که بود - . در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

بیایید این قانون را تکرار کنیم:

هر عددی به توان صفر برابر با یک است.

اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد است (به عنوان پایه).

از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر خواهید شد، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی به توان صفر باید برابر باشد. پس چقدر از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.

بیایید ادامه دهیم. اعداد صحیح علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم یک توان منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل این کار را انجام دهیم: یک عدد عادی را در همان عدد به توان منفی ضرب کنیم:

از اینجا به راحتی می توان آنچه را که به دنبال آن هستید بیان کرد:

حال اجازه دهید قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش دهیم:

بنابراین، بیایید یک قانون تنظیم کنیم:

عددی با توان منفی، متقابل همان عدد با توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(از آنجایی که نمی توانید بر اساس تقسیم کنید).

بیایید خلاصه کنیم:

وظایف برای راه حل مستقل:

خوب، طبق معمول، نمونه هایی برای راه حل های مستقل:

تجزیه و تحلیل مسائل برای حل مستقل:

می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در آزمون یکپارچه دولتی باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل های آنها را تجزیه و تحلیل کنید و یاد خواهید گرفت که در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.

حالا بیایید در نظر بگیریم اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟

پاسخ: هر چیزی که می تواند به عنوان یک کسری نشان داده شود، که در آن و اعداد صحیح هستند، و.

تا بفهمی چیه "درجه کسری"، کسری را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط به آن را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟

این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.

یادآوری می‌کنم: ریشه توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.

یعنی ریشه توان th عمل معکوس افزایش به توان است: .

معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاصقابل گسترش است: .

اکنون صورت را اضافه می کنیم: چیست؟ با استفاده از قانون قدرت به قدرت می توان پاسخ را آسان کرد:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ از این گذشته ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

این قانون را به خاطر بسپارید: هر عددی که به آن افزایش یابد حتی مدرک- عدد مثبت است یعنی از اعداد منفی نمی توان حتی ریشه را استخراج کرد!

این بدان معنی است که نمی توان چنین اعدادی را افزایش داد توان کسریبا مخرج زوج، یعنی بیان معنی ندارد.

در مورد بیان چطور؟

اما اینجا یک مشکل پیش می آید.

یک عدد را می توان به عنوان کسرهای دیگر تقلیل پذیر، به عنوان مثال، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما اگر اندیکاتور را طور دیگری بنویسیم، دوباره دچار مشکل می شویم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر می گیریم تنها توان پایه مثبت با توان کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

نماهای گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:

5 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

خب، حالا سخت ترین قسمت فرا می رسد. حالا ما آن را کشف خواهیم کرد درجه با توان غیر منطقی.

تمام قواعد و خصوصیات درجات در اینجا دقیقاً مانند درجه ای با توان گویا است، به استثنای

از این گذشته، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک «تصویر»، «قیاس» یا توصیف خاصی با عبارات آشناتر ایجاد می‌کنیم.

برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود.

...عدد به توان صفر- این همان طور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی آنها هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" معین است. ، یعنی یک عدد؛

...درجه عدد صحیح منفی- انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.

جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر حل چنین مثال هایی را یاد بگیرید :))

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قاعده افزایش قدرت به یک قدرت شروع کنیم که قبلاً برای ما معمول است:

سطح پیشرفته

تعیین مدرک تحصیلی

درجه عبارتی از شکل: , که در آن:

• — پایه مدرک؛
• - توان

درجه با شاخص طبیعی (n = 1، 2، 3،...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:

درجه با توان عدد صحیح (0، 1±، 2±،...)

اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:

ساخت و ساز به درجه صفر:

عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.

اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:

(از آنجایی که نمی توانید بر اساس تقسیم کنید).

بار دیگر در مورد صفر: عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

قدرت با توان منطقی

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجات

برای آسان‌تر کردن حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی‌ها از کجا آمده‌اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

الف مقدماتی:

بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف، توان یک عدد با توان است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : .

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول قدرت!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید این کار را به صورت زیر تنظیم کنیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید: !

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی.

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که چگونه باید باشد فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ در اختیارات طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .

در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج. بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ?

با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در (() ضرب کنیم به - .

و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی علامت تغییر می کند. می توانیم موارد زیر را فرموله کنیم قوانین ساده:

1. زوجدرجه، - شماره مثبت.
2. عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
3. عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
4. صفر به هر توانی برابر با صفر است.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر آن را به خاطر بسپاریم، مشخص می شود که یعنی پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را بر یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:

قبل از اینکه به قانون آخر نگاه کنیم، چند مثال را حل می کنیم.

عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

خب حالا آخرین قانون:

چگونه آن را ثابت خواهیم کرد؟ البته طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و آن را ساده کنیم:

خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. در کل چند حرف وجود دارد؟ بار توسط ضرب - این شما را به یاد چه چیزی می اندازد؟ این چیزی بیش از تعریف یک عملیات نیست ضرب: اونجا فقط ضریب وجود داشت. یعنی این، طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:

مثال:

درجه با توان غیرمنطقی

علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، ما درجه را با یک توان غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک «تصویر»، «قیاس» یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می‌کنیم. برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به توان صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط مشخص است. «عدد خالی»، یعنی یک عدد؛ یک درجه با توان منفی عدد صحیح - انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

تصور یک درجه با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). این یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کردند.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.

پس اگر یک توان غیرمنطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم!

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

خلاصه بخش و فرمول های اساسی

درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

قدرت با توان منطقی

درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجات

ویژگی های درجه.

• عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
• عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
• عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
• صفر برابر هر توانی است.
• هر عددی به توان صفر برابر است.

حالا شما کلمه را دارید ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ در زیر در نظرات بنویسید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از ویژگی های درجه به ما بگویید.

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید.

و در امتحانات موفق باشید!

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای اتمام موفقیت آمیزآزمون یکپارچه دولتی، برای پذیرش در کالج با بودجه و از همه مهمتر، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که دریافت کردند یک آموزش خوب، بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که در برابر آنها چیزهای بیشتری وجود دارد امکانات بیشترو زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید یک کتاب درسی - 899 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.

پیمایش صفحه.

خواص درجات با توان طبیعی

با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:

1. ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن.
2. خاصیت توان های بهره با پایه های یکسان a m:a n =a m−n ;
3. ویژگی توان محصول (a·b) n =a n ·b n، پسوند آن;
4. خاصیت ضریب به درجه طبیعی (a:b) n =a n:b n ;
5. افزایش درجه به توان (a m) n =a m·n، تعمیم آن ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. مقایسه درجه با صفر:
   • اگر a>0، آنگاه یک n>0 برای هر عدد طبیعی n.
   • اگر a = 0، آنگاه a n = 0.
   • اگر یک<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
8. اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0 0 نابرابری a m >a n درست است.

بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. برای مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بررسی کنیم.

از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.

بیایید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل m ·a n را می توان به صورت ضربی نوشت. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.

اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. انجام توان، داریم 2 2 · 2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32و 2 5 = 2·2·2·2·2=32، چون مقادیر مساوی به دست می آید، تساوی 2 2 · 2 3 = 2 5 صحیح است و خاصیت اصلی درجه را تأیید می کند.

ویژگی اساسی یک درجه را می توان بر اساس ویژگی های ضرب به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1، n 2، ...، n k برابری زیر صادق است: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

مثلا، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.

قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در فرمول بندی بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m اتفاق می افتد).

اثبات ویژگی اصلی کسری به ما اجازه می دهد تا تساوی را بنویسیم a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. از تساوی حاصل a m−n ·a n =a m و نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است. این ویژگی قدرت های ضریب با پایه های یکسان را ثابت می کند.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های مشابه π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.

حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: توان طبیعی n حاصل ضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توان های a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .

در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم . بر اساس خواص ضرب، آخرین حاصل ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد ، که برابر با a n · b n است.

در اینجا یک مثال است: .

این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصل ضرب k عامل به صورت نوشته می شود (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .

اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.

اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nو از تساوی (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب a n تقسیم بر b n است.

بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.

به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: .

اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است . برای وضوح بیشتر، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.

ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.

حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و .

کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

بیایید به پایه های منفی درجه برویم.

بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می‌دهیم که m یک عدد طبیعی است. سپس . برای هر یک از حاصل‌های شکل a·a برابر است با حاصل ضرب مدول اعداد a و a، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .

در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه . همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در باقیمانده یک عدد منفی a منجر به یک عدد منفی می شود. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

بیایید به ویژگی مقایسه توان ها با توان های طبیعی یکسان بپردازیم که فرمول زیر را دارد: از دو توان با توان های طبیعی یکسان، n کمتر از توانی است که پایه آن کوچکتر است و بزرگتر قدرتی است که پایه آن بزرگتر است. . بیایید ثابت کنیم.

نابرابری a n ویژگی های نابرابری هایک نابرابری قابل اثبات از شکل a n نیز صادق است (2.2) 7 و .

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده توان ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. بیایید آن را فرموله کنیم. از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، توانی که توان آن بزرگتر است بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 0 به دلیل شرط اولیه m>n، به این معنی که در 0

باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.

ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.

ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.

بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر درست است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b−n ;
7. اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، در 0 1 نابرابری a m >a n برقرار است.

وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این ویژگی ها برای انجام این کار دشوار نیست، کافی است از تعاریف درجات با توان های طبیعی و صحیح و همچنین ویژگی های عملیات با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهید که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس تساوی (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p) ·q، (a p) −q =a p·(−q) و (a -p) -q =a (-p)·(-q). بیایید آن را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.

اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی . با خاصیت ضریب به توان داریم . از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.

در ماقبل آخر ویژگی های ثبت شده، ارزش آن را دارد که به اثبات نابرابری a −n >b −n بپردازیم که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است معتبر است. . از آنجایی که به شرط الف 0 . حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.

آخرین خاصیت توان ها با توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی.

خواص قوا با شارح عقلی

ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. برای مثال:

اثبات خواص درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری و بر اساس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح است. بیایید مدرک ارائه کنیم.

با تعریف توانی با توان کسری و سپس . ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت یک درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و شاخص مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود:

برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند:

بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد شرایط m<0 и m>0 بر این اساس. برای m>0 و a

به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از جایی که، یعنی، و a p >b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q . ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به مخرج مشترک تقلیل دهیم، حتی اگر کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت خواهد داشت که از آن ناشی می شود. سپس با خاصیت مقایسه توان ها با مبانی یکسان و توان های طبیعی در 0 1 – نابرابری a m 1 > a m 2 . این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و . و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0 0 – نابرابری a p >a q .

ویژگی های قدرت ها با شارح های غیر منطقی

از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p b p ;
7. برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q .

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).