مکانیک نظری مرکز ثقل. روش های تعیین مختصات مرکز ثقل. "محاسبه سازه برای مقاومت"

– محاسبه مرکز ثقل یک شکل با مرز صاف. بسیاری از خوانندگان به طور مستقیم درک می کنند که مرکز ثقل چیست، اما، با این وجود، توصیه می کنم مطالب را از یکی از درس ها تکرار کنید. هندسه تحلیلی، جایی که من متوجه شدم مشکل در مورد مرکز ثقل مثلثو آن را به شکلی در دسترس رمزگشایی کرد معنای فیزیکیاین اصطلاح

در مستقل و تکالیف تستیبرای راه حل، به عنوان یک قاعده، ساده ترین مورد پیشنهاد می شود - یک محدوده مسطح همگنشکل، یعنی یک رقم ثابت چگالی فیزیکی– شیشه، چوب، قلع، اسباب بازی های چدنی، دوران سخت کودکی و غیره. علاوه بر این، به طور پیش فرض، ما فقط در مورد چنین ارقامی صحبت خواهیم کرد =)

قانون اول و ساده ترین مثال : اگر یک شکل صاف داشته باشد مرکز تقارن، سپس مرکز ثقل این شکل است. به عنوان مثال، مرکز یک صفحه همگن گرد. در زندگی روزمره منطقی و قابل درک است - جرم چنین رقمی نسبت به مرکز "به طور عادلانه در همه جهات توزیع شده است". من نمی خواهم آن را برگردانم.

با این حال، در واقعیت های خشن، بعید است که آنها برای شما شیرینی پرتاب کنند شکلات تخته ای بیضوی، بنابراین باید خود را با ابزارهای جدی آشپزخانه مسلح کنید:

مختصات مرکز ثقل یک شکل محدود همگن مسطح با استفاده از آن محاسبه می شود فرمول های زیر :

, یا:

، مساحت منطقه کجاست (شکل)؛ یا خیلی خلاصه:

، جایی که

ما معمولاً انتگرال را انتگرال "X" و انتگرال را انتگرال "Y" می نامیم.

یادداشت راهنما : برای تخت محدود ناهمگونارقامی که چگالی آنها توسط تابع مشخص می شود، فرمول ها پیچیده تر هستند:
، جایی که - جرم شکل؛در مورد چگالی یکنواخت، آنها به فرمول های بالا ساده شده اند.

در واقع، همه چیزهای جدید با فرمول ها به پایان می رسد، بقیه مهارت شماست حل انتگرال های دوگانهبه هر حال، اکنون فرصتی عالی برای تمرین و بهبود تکنیک است. و همانطور که می دانید هیچ محدودیتی برای کمال وجود ندارد =)

بیایید بخشی نیروبخش از سهمی ها را وارد کنیم:

مثال 1

مختصات مرکز ثقل یک شکل مسطح همگن که با خطوط محدود شده است را بیابید.

راه حل: خطوط در اینجا ابتدایی هستند: محور x را تعریف می کند و معادله یک سهمی است که می تواند به راحتی و به سرعت با استفاده از آن ساخته شود. تبدیل هندسی نمودارها:

– سهمی، 2 واحد به چپ و 1 واحد به پایین منتقل شد.

من تمام نقاشی را یکباره با نقطه تمام شده مرکز ثقل شکل کامل می کنم:

قانون دو: اگر رقم داشته باشد محور تقارن، سپس مرکز ثقل این شکل لزوماً روی این محور قرار دارد.

در مورد ما، شکل با توجه به متقارن است سر راستیعنی در واقع ما از قبل مختصات "x" نقطه "em" را می دانیم.

همچنین توجه داشته باشید که مرکز ثقل به صورت عمودی به محور x نزدیک‌تر می‌شود، زیرا شکل در آنجا حجیم‌تر است.

بله، شاید همه هنوز به طور کامل متوجه نشده باشند که مرکز ثقل چیست: لطفاً انگشت اشاره خود را بالا ببرید و به طور ذهنی "کف" سایه دار را با یک نقطه روی آن قرار دهید. از نظر تئوری، این رقم نباید سقوط کند.

مختصات مرکز ثقل شکل را با استفاده از فرمول ها پیدا می کنیم ، جایی که .

ترتیب پیمایش منطقه (شکل) در اینجا واضح است:

توجه!تصمیم گیری در مورد سودمندترین سفارش پیمایش یک بار- و از آن استفاده کنید برای همهانتگرال ها!

1) ابتدا مساحت شکل را محاسبه کنید. به دلیل سادگی نسبی انتگرال، راه حل را می توان به صورت فشرده نوشت؛ نکته اصلی این است که در محاسبات اشتباه نگیرید:

ما به نقاشی نگاه می کنیم و مساحت را توسط سلول ها تخمین می زنیم. معلوم شد در مورد قضیه است.

2) مختصات X مرکز ثقل قبلاً پیدا شده است. روش گرافیکی"، بنابراین می توانید به تقارن رجوع کنید و به نقطه بعدی بروید. با این حال، من هنوز انجام این کار را توصیه نمی کنم - احتمال زیادی وجود دارد که راه حل با عبارت "استفاده از فرمول" رد شود.

لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا فقط با محاسبات ذهنی می توانید به نتیجه برسید - گاهی اوقات اصلاً لازم نیست کسرها را به کاهش دهید. مخرج مشترکیا ماشین حساب را عذاب می دهد.

بدین ترتیب:
، که برای به دست آوردن آن لازم بود.

3)مرتبط مرکز ثقل را بیابید. اجازه دهید انتگرال "بازی" را محاسبه کنیم:

اما اینجا بدون ماشین حساب سخت خواهد بود. در هر صورت، من نظر خواهم داد که در نتیجه ضرب چند جمله ای ها، 9 جمله به دست می آید که برخی از آنها مشابه هستند. من اصطلاحات مشابه را شفاهی دادم (همانطور که معمولا در موارد مشابه انجام می شود)و بلافاصله کل مبلغ را یادداشت کرد.

در نتیجه:
، که بسیار بسیار شبیه به حقیقت است.

بر مرحله نهایییک نقطه روی نقاشی علامت بزنید طبق شرط، نیازی به ترسیم چیزی نبود، اما در اکثر کارها خواه ناخواه مجبور به ترسیم فیگور هستیم. اما یک مثبت مطلق وجود دارد - تأیید بصری و کاملاً مؤثر نتیجه.

پاسخ:

دو مثال زیر برای شما قابل حل است.

مثال 2

مختصات مرکز ثقل یک شکل مسطح همگن که با خطوط محدود شده است را بیابید

به هر حال، اگر تصور کنید که سهمی چگونه قرار دارد و نقاطی را که محور را قطع می کند، می بینید، در اینجا واقعاً می توانید بدون نقاشی انجام دهید.

و پیچیده تر:

مثال 3

مرکز ثقل یک شکل مسطح همگن که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید

اگر در ساختن نمودارها مشکل دارید، مطالعه کنید (تکرار کنید) درس در مورد سهمی هاو/یا مثال شماره 11 مقاله انتگرال دوگانه برای آدمک ها.

نمونه راه حل در پایان درس.

علاوه بر این، ده ها یا دو نمونه مشابه را می توان در آرشیو مربوطه در صفحه یافت راه حل های آماده برای ریاضیات بالاتر.

خوب، نمی توانم از طرفداران ریاضیات عالی که اغلب از من می خواهند مسائل دشوار را تجزیه و تحلیل کنم، خوشحال نمی شوم:

مثال 4

مرکز ثقل یک شکل مسطح همگن که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید. شکل و مرکز ثقل آن را روی نقاشی بکشید.

راه حل: شرایط این کار قبلاً به طور قطعی نیاز به تکمیل نقشه دارد. اما الزام چندان رسمی نیست! - حتی فردی با سطح آموزش متوسط می تواند این رقم را در ذهن خود تصور کند:

یک خط مستقیم یک دایره را به 2 قسمت و یک بند اضافی برش می دهد (سانتی متر. نابرابری های خطی) نشان می دهد که ما در مورد یک قطعه کوچک سایه دار صحبت می کنیم.

این شکل نسبت به یک خط مستقیم متقارن است (با یک خط نقطه چین نشان داده شده است)، بنابراین مرکز ثقل باید روی این خط قرار گیرد. و بدیهی است که مختصات آن برابر است مدول. یک دستورالعمل عالی که عملا امکان پاسخ اشتباه را از بین می برد!

اکنون خبر بد =) یک انتگرال ناخوشایند از ریشه در افق ظاهر می شود که در مثال شماره 4 درس به تفصیل آن را بررسی کردیم. روش های کارآمد برای حل انتگرال. و چه کسی می داند چه چیز دیگری در آنجا کشیده خواهد شد. به نظر می رسد که با توجه به حضور دایرهسودآور است، اما همه چیز به این سادگی نیست. معادله خط مستقیم به فرم تبدیل می شود و انتگرال ها نیز قند نیستند (اگرچه طرفداران انتگرال های مثلثاتیقدردانی خواهد کرد). در این زمینه، دقت بیشتر است مختصات کارتزیناوه

ترتیب پیمایش شکل:

1) مساحت شکل را محاسبه کنید:

گرفتن انتگرال اول منطقی تر است با درج علامت دیفرانسیل:

و در انتگرال دوم جایگزین استاندارد را انجام می دهیم:

بیایید محدودیت های جدید ادغام را محاسبه کنیم:

2) بیایید پیدا کنیم.

در اینجا در انتگرال دوم دوباره استفاده شد روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل. این بهینه ها را تمرین و اتخاذ کنید (به نظر من)تکنیک های حل انتگرال استاندارد

پس از محاسبات سخت و زمان بر، دوباره توجه خود را به نقاشی معطوف می کنیم (آن نکات را به خاطر بسپار ما هنوز نمی دانیم! ) و ما از ارزش یافت شده رضایت اخلاقی عمیقی دریافت می کنیم.

3) بر اساس تجزیه و تحلیلی که قبلا انجام شد، باید مطمئن شد که .

عالی:

بیایید یک نقطه ترسیم کنیم روی نقاشی مطابق با عبارت شرط، آن را به عنوان نهایی یادداشت می کنیم پاسخ:

یک کار مشابه برای شما که خودتان آن را حل کنید:

مثال 5

مرکز ثقل یک شکل مسطح همگن که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید. طراحی را اجرا کنید.

این مشکل جالب است زیرا حاوی یک شکل با اندازه نسبتاً کوچک است، و اگر در جایی اشتباه کنید، احتمال زیادی وجود دارد که به هیچ وجه وارد آن منطقه نشوید. که مطمئناً از نظر کنترل تصمیم خوب است.

نمونه طرح در پایان درس.

گاهی منطقی است انتقال به مختصات قطبی در انتگرال دوگانه. بستگی به رقم دارد. من یک مثال موفق را جستجو و جستجو کردم، اما نتوانستم آن را پیدا کنم، بنابراین راه حل را در اولین مشکل آزمایشی درس بالا نشان خواهم داد:

یادآوری می کنم که در آن مثال به سراغ آن رفتیم مختصات قطبی، به ترتیب پیمایش منطقه پی برد و مساحت آن را محاسبه کرد

بیایید مرکز ثقل این شکل را پیدا کنیم. طرح یکسان است: . مقدار مستقیماً از نقاشی مشاهده می شود و مختصات "x" باید کمی نزدیکتر به محور مختصات منتقل شود ، زیرا قسمت عظیم تر نیم دایره در آنجا قرار دارد.

در انتگرال ها از فرمول های انتقال استاندارد استفاده می کنیم:

به احتمال زیاد، آنها اشتباه نکرده اند.

سخنرانی 4. مرکز ثقل.

این سخنرانی به موضوعات زیر می پردازد

1. مرکز ثقل جامد.

2. مختصات مراکز ثقل اجسام ناهمگن.

3. مختصات مراکز ثقل اجسام همگن.

4. روش های تعیین مختصات مراکز ثقل.

5. مراکز ثقل برخی اجسام همگن.

بررسی این موضوعات در آینده برای مطالعه دینامیک حرکت اجسام با در نظر گرفتن اصطکاک لغزشی و غلتشی، دینامیک حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی، گشتاورهای جنبشی، برای حل مسائل در رشته "استحکام مواد".

آوردن نیروهای موازی

پس از اینکه ما به فکر آوردن یک سیستم مسطح و یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها به مرکز بودیم، دوباره به بررسی مورد خاص سیستم نیروهای موازی باز می گردیم.

آوردن دو نیروی موازی.

در جریان در نظر گرفتن چنین سیستمی از نیروها، سه مورد کاهش زیر ممکن است.

1. سیستم دو نیروی خطی. اجازه دهید سیستمی از دو نیروی موازی را در نظر بگیریم که در یک جهت هدایت می شوند پو س، در نقاط اعمال می شود آو که در. فرض می کنیم که نیروها بر این قطعه عمود هستند (شکل 1، آ).

با، متعلق به بخش ABو ارضای شرط:

AC/NE = س/پ.(1)

بردار اصلی سیستم آر سی = پ + ساز نظر مدول برابر با مجموع این نیروها است: آر سی = پ + س.

بادر نظر گرفتن (1) برابر با صفر است:مسی = پ ∙ AC- س∙ CB = 0.

بنابراین، در نتیجه انتخاب بازیگران دریافتیم: آر سی ≠ 0, مسی= 0. این بدان معنی است که بردار اصلی معادل برآیند عبور از مرکز کاهش است، یعنی:

برآیند نیروهای خطی از نظر مدول برابر با مجموع آنها است و خط عمل آن، بخش اتصال نقاط اعمال آنها را به نسبت معکوس با مدول این نیروها به صورت داخلی تقسیم می کند.

توجه داشته باشید که موقعیت نقطه باتغییر نخواهد کرد اگر نیروها آرو سیک زاویه بچرخانیدα. نقطه با، که دارای این خاصیت است نامیده می شود مرکز نیروهای موازی.

2. سیستم دو ضد خطیو نیروهایی که از نظر قدر مساوی نیستند. باشد که قدرت پو س، در نقاط اعمال می شود آو که درموازی، در جهت مخالف و نابرابر در قدر (شکل 1، ب).

اجازه دهید یک نقطه را به عنوان مرکز کاهش انتخاب کنیم با، که همچنان رابطه (1) را برآورده می کند و در همان خط، اما خارج از بخش قرار دارد AB.

بردار اصلی این سیستم آر سی = پ + سمدول اکنون برابر با تفاوت بین مدول بردارها خواهد بود: آر سی = س - پ.

نکته اصلی در مورد مرکز باهنوز صفر است:مسی = پ ∙ AC- س∙ NE= 0، بنابراین

نتیجه ضد خطیو نیروهایی که از نظر قدر مساوی نیستند، برابر با اختلاف آنها هستند که به سمت نیروی بزرگتر هدایت می شوند و خط عمل آن، بخش اتصال نقاط اعمال آنها را به نسبت معکوس با مدول های خارجی این نیروها تقسیم می کند.

عکس. 1

3. سیستم دو ضد خطیو نیروها از نظر قدر مساوی هستند. بیایید مورد قبلی کاهش را به عنوان مورد اولیه در نظر بگیریم. بیایید نیرو را درست کنیم آر، و قدرت ساجازه دهید مدول را به سمت نیرو هدایت کنیم آر.

سپس در س → آر در فرمول (1) رابطه AC/NE → 1. این بدان معنی است که AC → NE، یعنی فاصله AC →∞ .

در این حالت، ماژول بردار اصلی آر سی → 0، و مدول ممان اصلی به موقعیت مرکز کاهش بستگی ندارد و برابر با مقدار اصلی باقی می ماند:

مسی = پ ∙ AC- س∙ NE = پ ∙ ( AC- NE) =پ ∙ آب.

بنابراین، در حد ما سیستمی از نیروها را به دست آورده ایم که برای آن آر سی = 0, مسی≠ 0، و مرکز کاهش تا بی نهایت حذف می شود، که نمی تواند با نتیجه جایگزین شود. تشخیص چند نیرو در این سیستم کار سختی نیست، بنابراین یک جفت نیرو نتیجه ای ندارد.

مرکز سیستم نیروهای موازی.

سیستم را در نظر بگیرید nاستحکام - قدرت P i، در نقاط اعمال می شودیک آی (x i , y من , z i) و به موازات محورOv با ارث ل(شکل 2).

اگر پیشاپیش مورد سیستمی معادل یک جفت نیرو را حذف کنیم، بر اساس پاراگراف قبلی، اثبات وجود نتیجه آن دشوار نیست.آر.

بیایید مختصات مرکز را تعیین کنیمسی(ایکس ج, y ج, z ج) نیروهای موازی، یعنی مختصات نقطه اعمال برآیند این سیستم.

برای این منظور از قضیه Varignon استفاده می کنیم که بر اساس آن:

M0 (آر) = Σ M0(P i).

شکل 2

بردار ممان یک نیرو را می توان به عنوان یک ضرب بردار نشان داد، بنابراین:

م 0 (آر) = r c× آر = Σ م0i(P i) = Σ ( r i× P i ).

با توجه به اینکه آر = Rv ∙ ل، آ P i = Pvi ∙ ل و با استفاده از خواص محصول برداری، ما گرفتیم:

r c × Rv ∙ ل = Σ ( r i × Pvi ∙ ل),

r c ∙ آر v× ل = Σ ( r i ∙ Pvi × ل) = Σ ( r i ∙ Pvi ) × ل,

یا:

[ r c R v - Σ ( r i Pvi )] × ل= 0.

آخرین عبارت فقط در صورتی معتبر است که عبارت داخل کروشه برابر با صفر باشد. بنابراین، حذف شاخصvو با در نظر گرفتن اینکه حاصلآر = Σ P i ، از اینجا دریافت می کنیم:

r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).

با طرح آخرین برابری بردار روی محور مختصات، مقدار مورد نیاز را بدست می آوریم بیان مختصات مرکز نیروهای موازی:

x c = (Σ P i x i)/(Σ P i );

y c = (Σ P i y من )/(Σ P i );(2)

z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).

مرکز ثقل اجسام.

مختصات مراکز ثقل جسم همگن.

وزن بدن سفت و سخت را در نظر بگیرید پو حجم Vدر سیستم مختصات Oxyz، محورها کجا هستند ایکسو yمتصل به سطح زمین و محور zاوج را هدف گرفته است.

اگر بدن را با حجم به قطعات ابتدایی بشکنیم∆ V من ، سپس نیروی جاذبه بر هر قسمت از آن اثر خواهد گذاشت∆ P i، به سمت مرکز زمین هدایت می شود. فرض کنید ابعاد بدن به طور قابل توجهی کوچکتر از ابعاد زمین باشد، در این صورت سیستم نیروهای اعمال شده به قسمت های ابتدایی بدن را می توان همگرا، بلکه موازی در نظر گرفت (شکل 3) و همه نتیجه گیری ها فصل قبل برای آن قابل اجرا است.

شکل 3

تعریف . مرکز ثقل جسم جامد مرکز نیروهای ثقل موازی اجزای اصلی این جسم است.

بگذارید آن را به خاطر بیاوریم وزن مخصوصیک قسمت ابتدایی بدن را نسبت وزن آن می گویند∆ P iبه حجم ∆ V من : γ من = ∆ P i/ ∆ V من . برای یک جسم همگن این مقدار ثابت است:γ من = γ = پ/ V.

جایگزینی ∆ به (2) P i = γ من ∙∆ V من بجای P iبا در نظر گرفتن آخرین نکته و کاهش صورت و مخرج توسطg، ما گرفتیم عبارت مختصات مرکز ثقل یک جسم همگن:

x c = (Σ ∆ V i∙ x i)/(Σ ∆ V i);

y c = (Σ ∆ V i∙ y من )/(Σ ∆ V i);(3)

z c = (Σ ∆ V i∙ z i )/(Σ ∆ V i).

چندین قضیه در تعیین مرکز ثقل مفید هستند.

1) اگر جسم همگن دارای صفحه تقارن باشد، مرکز ثقل آن در این صفحه است.

اگر تبرها ایکسو درواقع در این صفحه تقارن، سپس برای هر نقطه با مختصات. و مختصات مطابق با (3)، برابر با صفر خواهد بود، زیرا در مجموعهمه اعضای با علائم متضاد به صورت جفت از بین می روند. این بدان معنی است که مرکز ثقل واقع شده استدر صفحه تقارن

2) اگر جسم همگن دارای محور تقارن باشد، مرکز ثقل جسم روی این محور قرار دارد.

در واقع، در این مورد، اگر محورzدر امتداد محور تقارن، برای هر نقطه با مختصات رسم کنیدشما می توانید یک نقطه با مختصات پیدا کنیدو مختصات و محاسبه شده با استفاده از فرمول (3)، برابر با صفر خواهد بود.

قضیه سوم به روشی مشابه اثبات می شود.

3) اگر جسم همگن دارای مرکز تقارن باشد، مرکز ثقل جسم در این نقطه است.

و چند نظر دیگر.

اولین. اگر بتوان بدن را به قسمت هایی تقسیم کرد که وزن و موقعیت مرکز ثقل آن مشخص است، دیگر نیازی به در نظر گرفتن هر نقطه نیست و در فرمول (3) P i – به عنوان وزن قطعه مربوطه تعیین می شود و- به عنوان مختصات مرکز ثقل آن.

دومین. اگر بدن همگن باشد، وزن یک قسمت از آن است، جایی که - وزن مخصوص ماده ای که بدنه از آن ساخته شده است و V i - حجم این قسمت از بدن. و فرمول (3) شکل راحت تری خواهد داشت. مثلا،

و به طور مشابه، کجا - حجم کل بدن

یادداشت سوم. اجازه دهید بدن به شکل یک صفحه نازک با یک مساحت باشد افو ضخامت تی، در هواپیما دراز کشیده است اکسی. تعویض در (3)∆ V من =تی ∙ ∆F من , مختصات مرکز ثقل یک صفحه همگن را بدست می آوریم:

x c = (Σ ∆ F i∙ x i) / (Σ ∆ F i);

y c = (Σ ∆ F i∙ y من ) / (Σ ∆ F i).

z c = (Σ ∆ F i∙ z من ) / (Σ ∆ F i).

جایی که - مختصات مرکز ثقل صفحات جداگانه؛- مساحت کل بدن

یادداشت چهارم. برای بدنی به شکل یک میله منحنی نازک به طول Lبا سطح مقطع آحجم ابتدایی∆ V من = آ ∙∆ L من ، از همین رو مختصات مرکز ثقل یک میله منحنی نازکبرابر خواهد بود:

x c = (Σ ∆ L i∙ x i)/(Σ ∆ L i);

y c = (Σ ∆ L i∙ y من )/(Σ ∆ L i);(4)

z c = (Σ ∆ L i∙ z i )/(Σ ∆ L i).

جایی که - مختصات مرکز ثقلمنبخش -ام؛ .

توجه داشته باشید که طبق تعریف، مرکز ثقل یک نقطه هندسی است. همچنین می تواند خارج از مرزهای یک جسم معین قرار بگیرد (مثلاً برای یک حلقه).

توجه داشته باشید.

در این بخش از دوره ما بین جاذبه، گرانش و وزن بدن تفاوتی قائل نمی شویم. در حقیقت، گرانش تفاوت بین نیروی گرانشی زمین و نیروی گریز از مرکز ناشی از چرخش آن است.

مختصات مراکز ثقل اجسام ناهمگن.

مختصات مرکز ثقل جامد ناهمگن(شکل 4) در سیستم مرجع انتخاب شده به شرح زیر تعیین می شود:

شکل 4

جایی که - وزن در واحد حجم یک جسم (وزن مخصوص)

- وزن کل بدن

سطح غیر یکنواخت(شکل 5)، سپس مختصات مرکز ثقل در سیستم مرجع انتخاب شده به شرح زیر تعیین می شود:

شکل 5

جایی که - وزن در واحد سطح بدن،

- وزن کل بدن

اگر جامد باشد خط غیر یکنواخت(شکل 6)، سپس مختصات مرکز ثقل در سیستم مرجع انتخاب شده به شرح زیر تعیین می شود:

شکل 6

جایی که - وزن به ازای طول بدن،

وزن کل بدن.

روش های تعیین مختصات مرکز ثقل.

بر اساس فرمول های کلی به دست آمده در بالا، می توان روش های خاصی را نشان داد تعیین مختصات مراکز ثقل اجسام.

1. تقارن.اگر جسم همگن دارای صفحه، محور یا مرکز تقارن باشد (شکل 7)، مرکز ثقل آن به ترتیب در صفحه تقارن، محور تقارن یا در مرکز تقارن قرار دارد.

شکل 7

2. تقسیم شدن.بدن می شکند شماره نهاییقطعات (شکل 8) که برای هر یک از آنها موقعیت مرکز ثقل و ناحیه مشخص است.

شکل 8

S =S 1 +S 2.

3.روش ناحیه منفییک مورد خاص از روش پارتیشن بندی (شکل 9). اگر مراکز ثقل بدن بدون بریدگی و قسمت بریدگی مشخص باشد، برای اجسامی که دارای بریدگی هستند اعمال می شود. بدنه ای به شکل صفحه با بریدگی با ترکیبی از یک صفحه جامد (بدون برش) با یک مساحت نشان داده می شود. S 1 و مساحت قسمت برش خورده S2.

شکل 9

S = S 1 - S 2.

4.روش گروه بندیمکمل خوبی برای دو روش آخر است. پس از تقسیم یک شکل به عناصر تشکیل دهنده آن، ترکیب مجدد برخی از آنها راحت است تا سپس با در نظر گرفتن تقارن این گروه، راه حل ساده شود.

مراکز ثقل برخی اجسام همگن.

1) مرکز ثقل یک قوس دایره ای.قوس را در نظر بگیرید ABشعاعآر با زاویه مرکزی. به دلیل تقارن، مرکز ثقل این کمان روی محور قرار داردگاو نر(شکل 10).

شکل 10

بیایید مختصات را پیدا کنیمطبق فرمول . برای انجام این کار، روی قوس را انتخاب کنید ABعنصر MM ’ طول، که موقعیت آن توسط زاویه تعیین می شود. هماهنگ كردن ایکسعنصر MM'اراده. جایگزینی این مقادیر ایکسود ل و با توجه به اینکه انتگرال باید در تمام طول کمان گسترش یابد، به دست می آوریم:

که در آن L طول قوس AB برابر با .

از اینجا در نهایت متوجه می شویم که مرکز ثقل یک کمان دایره ای بر محور تقارن آن در فاصله ای از مرکز قرار دارد.ای برابر

زاویه کجاست با رادیان اندازه گیری می شود.

2) مرکز ثقل ناحیه مثلث. مثلثی را در هواپیما در نظر بگیرید اکسیکه مختصات رئوس آن مشخص است: یک آی (x i,y من ), (من= 1،2،3). شکستن مثلث به نوارهای باریک موازی با ضلع آ 1 آ 2، به این نتیجه می رسیم که مرکز ثقل مثلث باید متعلق به میانه باشد آ 3 م 3 (شکل 11).

شکل 11

شکستن یک مثلث به نوارهای موازی با ضلع آ 2 آ 3، ما می توانیم بررسی کنیم که باید روی میانه قرار داشته باشد آ 1 م 1 . بدین ترتیب، مرکز ثقل مثلث در نقطه تلاقی وسط آن قرار دارد، که همانطور که مشخص است از هر میانه یک قسمت سوم را با شمارش از سمت مربوطه جدا می کند.

به ویژه، برای میانه آ 1 م 1 را با در نظر گرفتن مختصات نقطه بدست می آوریم م 1 - این میانگین حسابی مختصات رئوس است آ 2 و آ 3 :

x c = ایکس 1 + (2/3) ∙ (ایکسم 1 - ایکس 1 ) = ایکس 1 + (2/3) ∙ [(ایکس 2 + ایکس 3 )/2 - ایکس 1 ] = (ایکس 1 + ایکس 2 + ایکس 3 )/3.

بنابراین، مختصات مرکز ثقل مثلث، میانگین حسابی مختصات رئوس آن است:

ایکس ج =(1/3) Σ x i ; y ج =(1/3) Σ y من .

3) مرکز ثقل ناحیه یک بخش دایره ای.بخشی از دایره را با شعاع در نظر بگیرید آربا زاویه مرکزی 2α ، به طور متقارن حول محور قرار دارد گاو نر (شکل 12).

بدیهی است که y ج = 0، و فاصله از مرکز دایره ای که این بخش از آن بریده می شود تا مرکز ثقل آن را می توان با فرمول تعیین کرد:

شکل 12

ساده ترین راه برای محاسبه این انتگرال، تقسیم دامنه ادغام به بخش های ابتدایی با زاویه است. دφ . با دقت تا بینهایت کوچک مرتبه اول، چنین بخش را می توان با مثلثی با پایه برابر با آر × دφ و ارتفاع آر. مساحت چنین مثلثی dF =(1/2)آر 2 ∙ دφ و مرکز ثقل آن در فاصله 3/2 قرار دارد آراز راس، بنابراین در (5) قرار می دهیم ایکس = (2/3)آر∙ cosφ. تعویض در (5) اف= α آر 2، دریافت می کنیم:

با استفاده از آخرین فرمول، به طور خاص، فاصله تا مرکز ثقل را محاسبه می کنیم نیم دایره.

با جایگزینی α = π /2 به (2)، به دست می آوریم: ایکس ج = (4 آر)/(3π) ≅ 0.4 آر .

مثال 1.اجازه دهید مرکز ثقل جسم همگن نشان داده شده در شکل 1 را تعیین کنیم. 13.

شکل 13

راه حل.بدن همگن است که از دو قسمت با شکل متقارن تشکیل شده است. مختصات مراکز ثقل آنها:

حجم آنها:

بنابراین مختصات مرکز ثقل بدن

مثال 2. اجازه دهید مرکز ثقل صفحه ای که با زاویه قائم خم شده است را پیدا کنیم. ابعاد در نقشه آمده است (شکل 14).

شکل 14

راه حل. مختصات مراکز ثقل:

مناطق:

از همین رو:

مثال 3. روی یک ورق مربع برش سوراخ مربعی سانتی متر سانتی متر (شکل 15). بیایید مرکز ثقل ورق را پیدا کنیم.مثال 4. موقعیت مرکز ثقل صفحه را که در شکل نشان داده شده است بیابید. 16. ابعاد بر حسب سانتی متر آورده شده است.

شکل 16

راه حل. بیایید بشقاب را به شکل تقسیم کنیم (شکل 17)، مراکزکه شدت آن مشخص است.

مساحت این ارقام و مختصات مراکز ثقل آنها:

1) یک مستطیل با اضلاع 30 و 40 سانتی متر،اس 1 =30 ∙ 40=1200 سانتی متر 2 ; x 1= 15 سانتی متر؛ در 1 = 20 سانتی متر

2) راست گوشهبا پایه 50 سانتی متر و ارتفاع 40 سانتی متر؛اس 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40 = 1000 سانتی متر 2 ; ایکس 2 =30+50/3=46.7 سانتی متر; y 2 =40/3 = 13.3 سانتی متر؛

3) دایره شعاع نیم دایره r = 20 سانتی متر؛اس 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 = 628 سانتی متر 2 ; ایکس 3 =4 آر /3 π = 8.5 سانتی متر؛ در

راه حل. به یاد بیاورید که در فیزیک چگالی یک جسمρ و وزن مخصوص آنgبا رابطه مرتبط هستند:γ = ρ g ، جایی کهg - شتاب سقوط آزاد. برای یافتن جرم چنین جسم همگنی، باید چگالی را در حجم آن ضرب کنید.

شکل 19

منظور از چگالی خطی یا خطی این است که برای تعیین جرم میله خرپایی باید چگالی خطی را در طول این میله ضرب کرد.

برای حل مشکل می توانید از روش پارتیشن بندی استفاده کنید. با نمایش یک خرپا به صورت مجموع 6 میله مجزا، به دست می آوریم:

جایی کهL i طولمن میله خرپا، وx i , y من - مختصات مرکز ثقل آن

راه حل این مشکل را می توان با گروه بندی 5 میله آخر خرپا ساده کرد. به راحتی می توان دید که شکلی با مرکز تقارن در وسط میله چهارم، جایی که مرکز ثقل این گروه از میله ها قرار دارد، تشکیل می دهند.

بنابراین، یک خرپا معین را می توان تنها با ترکیبی از دو گروه از میله ها نشان داد.

گروه اول شامل اولین میله، برای آن استL 1 = 4 متر،ایکس 1 = 0 متر،y 1 = 2 متر گروه دوم میله ها شامل پنج میله، برای آن استL 2 = 20 متر،ایکس 2 = 3 متر،y 2 = 2 متر

مختصات مرکز ثقل خرپا با استفاده از فرمول پیدا می شود:

ایکس ج = (L 1 ∙ ایکس 1 + L 2 ∙ ایکس 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 متر؛

y ج = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 متر.

توجه داشته باشید که مرکز با روی خط مستقیم اتصال قرار دارد با 1 و با 2 و بخش را تقسیم می کند با 1 با 2 در مورد: با 1 با/اس اس 2 = (ایکس ج - ایکس 1 )/(ایکس 2 - ایکس ج ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.

سوالات خودآزمایی

- به چه چیزی مرکز نیروهای موازی می گویند؟

- مختصات مرکز نیروهای موازی چگونه تعیین می شود؟

- چگونه می توان مرکز نیروهای موازی که حاصل آن صفر است را تعیین کرد؟

- مرکز نیروهای موازی چه ویژگی هایی دارد؟

- برای محاسبه مختصات مرکز نیروهای موازی از چه فرمول هایی استفاده می شود؟

- مرکز ثقل جسم چه نام دارد؟

- چرا می توان نیروهای گرانشی زمین را که بر روی نقطه ای از جسم اعمال می کنند به عنوان سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت؟

- فرمول تعیین موقعیت مرکز ثقل اجسام ناهمگن و همگن، فرمول تعیین موقعیت مرکز ثقل مقاطع مسطح را بنویسید؟

- فرمول تعیین موقعیت مرکز ثقل ساده را بنویسید شکل های هندسی: مستطیل، مثلث، ذوزنقه و نیم دایره؟

- ممان ساکن مساحت را چه می گویند؟

- جسمی که مرکز ثقل آن در خارج از بدن قرار دارد را مثال بزنید.

- از خواص تقارن در تعیین مراکز ثقل اجسام چگونه استفاده می شود؟

- ماهیت روش اوزان منفی چیست؟

- مرکز ثقل یک کمان دایره ای در کجا قرار دارد؟

- برای یافتن مرکز ثقل مثلث از چه ساختار گرافیکی می توان استفاده کرد؟

- فرمولی که مرکز ثقل یک بخش دایره ای را تعیین می کند را بنویسید.

- با استفاده از فرمول هایی که مراکز ثقل مثلث و بخش دایره ای را تعیین می کنند، فرمول مشابهی را برای یک قطعه دایره ای استخراج کنید.

- برای محاسبه مختصات مراکز ثقل اجسام همگن، اشکال مسطح و خطوط از چه فرمول هایی استفاده می شود؟

- ممان ایستایی مساحت شکل صفحه نسبت به محور را چه می گویند، چگونه محاسبه می شود و چه ابعادی دارد؟

- در صورتی که موقعیت مرکز ثقل یک ناحیه مشخص باشد، چگونه موقعیت مرکز ثقل یک ناحیه را مشخص کنیم؟

- برای تعیین موقعیت مرکز ثقل از چه قضایای کمکی استفاده می شود؟

هدف کار – مرکز ثقل یک شکل پیچیده را به صورت تحلیلی و تجربی تعیین کنید.

پیش زمینه نظری. اجسام مادی شامل ذرات بنیادی، که موقعیت آنها در فضا با مختصات آنها تعیین می شود. نیروهای جاذبه هر ذره به زمین را می توان سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت که حاصل این نیروها را نیروی گرانش جسم یا وزن جسم می نامند. مرکز ثقل جسم، نقطه اعمال گرانش است.

مرکز ثقل است نقطه هندسی، که می تواند در خارج از بدن قرار گیرد (به عنوان مثال، یک دیسک با یک سوراخ، یک توپ توخالی و غیره). بزرگ اهمیت عملیتعریفی از مرکز ثقل صفحات نازک همگن دارد. ضخامت آنها را معمولاً می توان نادیده گرفت و مرکز ثقل را می توان در یک صفحه فرض کرد. اگر هواپیمای مختصات xOy با صفحه شکل تراز می شود، سپس موقعیت مرکز ثقل توسط دو مختصات تعیین می شود:

مساحت قسمتی از شکل کجاست، ()

- مختصات مرکز ثقل قسمت های شکل، میلی متر (سانتی متر).

بخش یک شکل	A، میلی متر 2	X c، میلی متر	Yc، میلی متر
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R 2a
در 2α = π πR 2/2

روال کار.

یک شکل پیچیده، متشکل از 3-4 شکل ساده (مستطیل، مثلث، دایره و غیره) را در مقیاس 1:1 بکشید و ابعاد آن را نشان دهید.

محورهای مختصات را طوری ترسیم کنید که کل شکل را بپوشانند، شکل پیچیده را به قطعات ساده تقسیم کنید، مساحت و مختصات مرکز ثقل هر شکل ساده را نسبت به سیستم مختصات انتخاب شده تعیین کنید.

مختصات مرکز ثقل کل شکل را به صورت تحلیلی محاسبه کنید. این شکل را از مقوای نازک یا تخته سه لا برش دهید. دو سوراخ دریل کنید، لبه های سوراخ ها باید صاف و قطر سوراخ ها کمی بزرگتر از قطر سوزن برای آویزان کردن شکل باشد.

ابتدا شکل را در یک نقطه (سوراخ) آویزان کنید، یک خط با مداد بکشید که با خط شاقول منطبق است. همین کار را هنگام آویزان کردن شکل در نقطه دیگر تکرار کنید. مرکز ثقل شکل، که به صورت تجربی پیدا شد، باید منطبق باشد.

مختصات مرکز ثقل یک صفحه همگن نازک را به صورت تحلیلی تعیین کنید. آزمایشی بررسی کنید

الگوریتم حل

1. روش تحلیلی.

الف) نقاشی را در مقیاس 1:1 بکشید.

ب) یک شکل پیچیده را به شکل های ساده تقسیم کنید

ج) محورهای مختصات را انتخاب کرده و رسم کنید (اگر شکل متقارن است، در امتداد محور تقارن، در غیر این صورت در امتداد خطوط شکل)

د) مساحت شکل های ساده و کل شکل را محاسبه کنید

ه) موقعیت مرکز ثقل هر شکل ساده را در نقشه مشخص کنید

و) مختصات مرکز ثقل هر شکل را محاسبه کنید

(محور x و y)

ز) مختصات مرکز ثقل کل شکل را با استفاده از فرمول محاسبه کنید

ح) موقعیت مرکز ثقل را در رسم C علامت بزنید (

2. تعیین تجربی.

صحت راه حل مسئله را می توان به صورت تجربی تأیید کرد. این شکل را از مقوای نازک یا تخته سه لا برش دهید. سه سوراخ دریل کنید، لبه‌های سوراخ‌ها باید صاف و قطر سوراخ‌ها کمی بیشتر از قطر سوزن برای آویزان کردن شکل باشد.

ابتدا شکل را در یک نقطه (سوراخ) آویزان کنید، یک خط با مداد بکشید که با خط شاقول منطبق است. همین کار را هنگام آویزان کردن شکل در نقاط دیگر تکرار کنید. مقدار مختصات مرکز ثقل شکل که هنگام آویزان کردن شکل در دو نقطه پیدا می شود: . مرکز ثقل شکل، که به صورت تجربی پیدا شد، باید منطبق باشد.

3. نتیجه گیری در مورد موقعیت مرکز ثقل در هنگام تعیین تحلیلی و تجربی.

ورزش

مرکز ثقل یک مقطع مسطح را به صورت تحلیلی و تجربی تعیین کنید.

نمونه اجرا

وظیفه

مختصات مرکز ثقل یک صفحه نازک همگن را تعیین کنید.

I روش تحلیلی

1. نقاشی به مقیاس کشیده شده است (ابعاد معمولاً بر حسب میلی متر داده می شود)

2. یک شکل پیچیده را به شکل های ساده تقسیم می کنیم.

1- مستطیل

2- مثلث (مستطیل)

3- مساحت نیم دایره (وجود ندارد، علامت منهای).

موقعیت مرکز ثقل اشکال ساده نقاط را پیدا می کنیم و

3. محورهای مختصات را به راحتی ترسیم کنید و مبدا مختصات را علامت بزنید.

4. مساحت شکل های ساده و مساحت کل شکل را محاسبه کنید. [اندازه بر حسب سانتی متر]

(3. نه، علامت -).

مساحت کل شکل

5. مختصات نقطه مرکزی را بیابید. ، و در نقاشی.

6. مختصات نقاط C 1 و C 2 و C 3 را محاسبه کنید

7. مختصات نقطه ج را محاسبه کنید

8. یک نقطه روی نقاشی علامت بزنید

II با تجربه

مختصات مرکز ثقل به صورت تجربی.

کنترل سوالات

1. آیا می توان نیروی گرانش جسم را سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت؟

2. آیا می توان مرکز ثقل کل بدن را قرار داد؟

3. جوهر تعیین تجربی مرکز ثقل یک شکل صاف چیست؟

4-مرکز ثقل یک شکل پیچیده متشکل از چند شکل ساده چگونه تعیین می شود؟

5. هنگام تعیین مرکز ثقل کل شکل، چگونه باید یک شکل با شکل پیچیده را به صورت منطقی به اشکال ساده تقسیم کرد؟

6. مساحت سوراخ ها در فرمول تعیین مرکز ثقل چه علامتی دارد؟

7-مرکز ثقل مثلث در محل تلاقی کدام خطوط قرار دارد؟

8. اگر شکستن یک شکل به تعداد کمی از اشکال ساده دشوار است، کدام روش برای تعیین مرکز ثقل می تواند سریع ترین پاسخ را ارائه دهد؟

کار عملی №6

"حل مشکلات پیچیده"

هدف کار: قادر به حل مسائل پیچیده (سینماتیک، دینامیک)

پیش زمینه نظری: سرعت یک اندازه گیری سینماتیکی حرکت یک نقطه است که سرعت تغییر در موقعیت آن را مشخص می کند. سرعت یک نقطه بردار مشخص کننده سرعت و جهت حرکت یک نقطه به داخل است این لحظهزمان. هنگام تعیین حرکت یک نقطه توسط معادلات، پیش بینی های سرعت بر روی محورهای مختصات دکارتی برابر است با:

مدول سرعت یک نقطه با فرمول تعیین می شود

جهت سرعت توسط کسینوس های جهت تعیین می شود:

مشخصه سرعت تغییر سرعت شتاب الف است. شتاب یک نقطه برابر است با مشتق زمانی بردار سرعت:

هنگام تعیین حرکت یک نقطه، معادلات طرح شتاب بر روی محورهای مختصات برابر است با:

ماژول شتاب:

ماژول شتاب کامل

ماژول شتاب مماسی با فرمول تعیین می شود

مدول شتاب طبیعی با فرمول تعیین می شود

شعاع انحنای مسیر در یک نقطه مشخص کجاست.

جهت شتاب توسط کسینوس های جهت تعیین می شود

معادله حرکت چرخشی یک جسم صلب حول یک محور ثابت شکل دارد

سرعت زاویه ای بدن:

گاهی اوقات سرعت زاویه ای با تعداد دور در دقیقه مشخص می شود و با حرف مشخص می شود. وابستگی بین و شکل دارد

شتاب زاویه ای بدن:

نیرویی که برابر با حاصلضرب جرم یک نقطه معین در شتاب آن و جهت در جهت مستقیماً مخالف شتاب نقطه باشد، نیروی اینرسی نامیده می شود.

توان کاری است که توسط یک نیرو در واحد زمان انجام می شود.

معادله دینامیک پایه برای حرکت چرخشی

- ممان اینرسی جسم نسبت به محور چرخش، مجموع حاصلضرب جرم نقاط مادی به مجذور فواصل آنها تا این محور است.

ورزش

جسمی به جرم m، با کمک کابلی که روی درام به قطر d پیچیده شده است، در امتداد صفحه شیبدار با زاویه شیب α به سمت بالا یا پایین حرکت می کند. معادله حرکت بدن S=f(t)، معادله چرخش درام، که در آن S بر حسب متر است. φ - بر حسب رادیان؛ t - در چند ثانیه P و ω به ترتیب قدرت و سرعت زاویه ای روی شفت درام در لحظه پایان شتاب یا شروع ترمز هستند. زمان t 1 - زمان شتاب (از استراحت تا سرعت معین) یا ترمز (از سرعت معین تا توقف). ضریب اصطکاک لغزشی بین بدنه و صفحه -f است. از تلفات اصطکاک روی درام و همچنین جرم درام غفلت کنید. هنگام حل مسائل، g=10 m/s 2 را در نظر بگیرید

شماره var	α، درجه	قانون حرکت	مثلا حرکت	متر، کیلوگرم	t 1, s	د، م	P، kW	راد/ثانیه	f	Def. مقادیر
		S=0.8t 2	پایین	-	-	0,20	4,0		0,20	m, t 1
		φ=4t 2	پایین		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1.5t-t 2	بالا	-	-	-	4,5		0,20	m، d
		ω=15t-15t 2	بالا	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0.5t 2	پایین		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1.5t 2	پایین	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0.9t 2	پایین		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	پایین		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1.25t 2	بالا		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	بالا		-	0,20	-	-	0,14	P، ω

نمونه اجرا

مشکل 1(تصویر 1).

راه حل 1.حرکت مستقیم (شکل 1، الف). نقطه ای که در نقطه ای از زمان به طور یکنواخت حرکت می کند قانون حرکت جدیدی دریافت می کند و پس از مدت زمان معینی متوقف می شود. تمام خصوصیات سینماتیکی حرکت نقطه را برای دو مورد تعیین کنید. الف) حرکت در مسیر مستقیم؛ ب) حرکت در امتداد یک مسیر منحنی با شعاع انحنای ثابت r=100cm

شکل 1 (الف).

قانون تغییر سرعت نقطه

سرعت اولیه نقطه را از شرط زیر بدست می آوریم:

ما زمان ترمز را برای توقف از شرایط زیر پیدا می کنیم:

در , از اینجا .

قانون حرکت یک نقطه در یک دوره حرکت یکنواخت

مسافت طی شده توسط نقطه در طول مسیر در طول دوره ترمز است

قانون تغییر در شتاب مماسی یک نقطه

از این رو نتیجه می شود که در طول دوره ترمز، نقطه به همان اندازه آهسته حرکت می کند، زیرا شتاب مماسی منفی و از نظر مقدار ثابت است.

شتاب معمولینقاط روی یک مسیر حرکتی مستطیلی برابر با صفر است، یعنی. .

راه حل 2.حرکت منحنی (شکل 1، ب).

شکل 1 (ب)

در این مورد، در مقایسه با مورد حرکت مستقیمتمام ویژگی های سینماتیکی بدون تغییر باقی می مانند، به استثنای شتاب معمولی.

قانون تغییر در شتاب معمولی یک نقطه

شتاب طبیعی یک نقطه در لحظه اولیه ترمز

شماره‌گذاری موقعیت‌های نقطه روی مسیر مورد قبول در نقشه: 1 - موقعیت فعلینقاط در حرکت یکنواخت قبل از شروع ترمز. 2 - موقعیت نقطه در لحظه ترمز. 3 - موقعیت فعلی نقطه در طول دوره ترمز. 4- موقعیت نهایی نقطه

وظیفه 2.

بار (شکل 2، الف) با استفاده از وینچ درام بلند می شود. قطر درام d=0.3m و قانون چرخش آن برابر است.

شتاب طبل تا سرعت زاویه ای ادامه داشت. تمام مشخصات سینماتیکی حرکت درام و بار را تعیین کنید.

راه حل. قانون تغییر در سرعت زاویه ای درام. سرعت زاویه ای اولیه را از شرط زیر بدست می آوریم: بنابراین، شتاب از حالت استراحت آغاز شد. زمان شتاب را از شرط: . زاویه چرخش درام در طول دوره شتاب.

قانون تغییر در شتاب زاویه ای درام، نتیجه می شود که در طول دوره شتاب، درام با شتاب یکنواخت می چرخد.

مشخصات سینماتیکی بار برابر با مشخصات مربوط به هر نقطه از طناب کششی است و بنابراین نقطه A روی لبه درام قرار دارد (شکل 2، ب). همانطور که مشخص است، ویژگی های خطی یک نقطه از یک جسم دوار از طریق ویژگی های زاویه ای آن تعیین می شود.

مسافت طی شده توسط بار در طول دوره شتاب، . سرعت بار در پایان شتاب.

تسریع در حمل بار.

قانون جابجایی بار.

فاصله، سرعت و شتاب بار را می توان به طور متفاوتی از طریق قانون حرکت بار تعیین کرد:

وظیفه 3.بار که به طور یکنواخت در امتداد یک صفحه حمایتی شیبدار به سمت بالا حرکت می کند، در نقطه ای از زمان مطابق با قانون جدید حرکت ترمز دریافت می کند. ، که در آن s بر حسب متر و t بر حسب ثانیه است. جرم بار m = 100 کیلوگرم، ضریب اصطکاک لغزشی بین بار و صفحه f = 0.25. نیروی F و قدرت روی طناب کششی را برای دو لحظه تعیین کنید: الف) حرکت یکنواخت قبل از شروع ترمز.

ب) لحظه اولیه ترمز. هنگام محاسبه g=10 m/ را در نظر بگیرید.

راه حل.ما ویژگی های سینماتیکی حرکت بار را تعیین می کنیم.

قانون تغییر در سرعت بار

سرعت اولیه بار (در t=0)

شتاب بار

از آنجایی که شتاب منفی است، حرکت کند است.

1. حرکت یکنواخت بار.

برای تعیین نیروی محرکه F، تعادل بار را در نظر می گیریم که توسط یک سیستم نیروهای همگرا بر روی آن اعمال می شود: نیروی وارد بر کابل F، نیروی گرانشی بار G=mg، واکنش طبیعیسطح حمایت کننده N و نیروی اصطکاک که به سمت حرکت بدن هدایت می شود. طبق قانون اصطکاک، . همانطور که در نقشه نشان داده شده است جهت محورهای مختصات را انتخاب می کنیم و دو معادله تعادل برای بار ترسیم می کنیم:

قدرت کابل قبل از شروع ترمز با فرمول معروف تعیین می شود

m/s کجاست.

2. حرکت آهسته بار.

همانطور که مشخص است، با ناهموار حرکت رو به جلوبدن، سیستم نیروهای وارد بر آن در جهت حرکت متعادل نیست. با توجه به اصل دالامبر (روش جنبشی استاتیکی)، در این حالت می‌توان جسم را در حالت تعادل شرطی در نظر گرفت، اگر به تمام نیروهای وارد بر آن نیروی اینرسی اضافه کنیم که بردار آن مخالف بردار شتاب است. بردار شتاب در مورد ما مخالف بردار سرعت است، زیرا بار به آرامی حرکت می کند. ما دو معادله تعادل برای بار ایجاد می کنیم:

کابل را در شروع ترمز روشن کنید

کنترل سوالات

1. نحوه تعیین مقدار عددیو جهت سرعت نقطه در لحظه؟

2. اجزای نرمال و مماسی شتاب کل چیست؟

3. چگونه از بیان سرعت زاویه ای در min -1 به بیان آن در راد بر ثانیه حرکت کنیم؟

4. وزن بدن چیست؟ واحد اندازه گیری جرم را نام ببرید

5. در چه حرکتی نقطه مادیآیا نیروی اینرسی بوجود می آید؟ مقدار عددی آن چقدر است و جهت آن چیست؟

6. اصل ایالت دالامبر

7. آیا نیروی اینرسی در حین حرکت منحنی خطی یکنواخت یک نقطه مادی ایجاد می شود؟

8. گشتاور چیست؟

9. رابطه بین گشتاور و سرعت زاویه ای برای یک توان ارسالی معین چگونه بیان می شود؟

10. معادله دینامیک پایه برای حرکت چرخشی.

کار عملی شماره 7

"محاسبه سازه برای مقاومت"

هدف کار: تعیین مقاومت، ابعاد مقطع و بار مجاز

پیش زمینه نظری.

با دانستن ضرایب نیرو و ویژگی های هندسی مقطع در هنگام تغییر شکل کششی (تراکمی)، می توان با استفاده از فرمول ها تنش را تعیین کرد. و برای درک اینکه آیا قطعه ما (شفت، دنده و غیره) بار خارجی را تحمل می کند یا خیر. لازم است این مقدار را با ولتاژ مجاز مقایسه کنید.

بنابراین، معادله قدرت استاتیکی

بر اساس آن، 3 نوع مشکل حل می شود:

1) تست قدرت

2) تعیین ابعاد مقطع

3) تعیین بار مجاز

بنابراین، معادله سفتی استاتیکی

بر اساس آن 3 نوع مشکل نیز حل می شود

معادله استحکام کششی (فشاری) استاتیکی

1) نوع اول - تست قدرت

یعنی سمت چپ را حل می کنیم و آن را با تنش مجاز مقایسه می کنیم.

2) نوع دوم - تعیین ابعاد مقطع

از سمت راست سطح مقطع

دایره بخش

از این رو قطر d

بخش مستطیل

مربع مقطع

A = a² (mm²)

بخش نیم دایره

بخش ها: کانال، I-beam، زاویه و غیره.

مقادیر مساحت - از جدول، طبق GOST پذیرفته شده است

3) نوع سوم، تعیین بار مجاز است.

به سمت کوچکتر، عدد صحیح گرفته شده است

ورزش

وظیفه

الف) بررسی قدرت (محاسبه تست)

برای یک تیر مشخص، نموداری از نیروهای طولی بسازید و مقاومت در هر دو بخش را بررسی کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3) قبول کنید

گزینه شماره
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

ب) انتخاب بخش (محاسبه طراحی)

برای یک تیر معین، نموداری از نیروهای طولی بسازید و ابعاد مقطع را در هر دو مقطع تعیین کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3) قبول کنید

گزینه شماره
	1,9	2,5

	2,8	1,9
	3,2

ب) تعیین نیروی طولی مجاز

برای یک تیر معین، مقادیر مجاز بارها را تعیین کنید،

نموداری از نیروهای طولی بسازید. برای مواد چوبی (استیل St3) قبول کنید. هنگام حل مشکل، فرض کنید که نوع بارگذاری در هر دو بخش تیر یکسان است.

گزینه شماره
	-	-
			-	-
	-	-

نمونه ای از تکمیل یک کار

مشکل 1(تصویر 1).

استحکام ستونی که از پروفیل های I با اندازه معین ساخته شده است را بررسی کنید. برای مصالح ستون (فولاد St3)، تنش های کششی مجاز را بپذیرید و در حین فشرده سازی . در صورت اضافه بار یا کم باری قابل توجه، اندازه های I-beam را انتخاب کنید که استحکام ستون بهینه را تضمین می کند.

راه حل.

یک تیر معین دارای دو بخش 1، 2 است. مرزهای مقاطع، مقاطعی هستند که در آنها نیروهای خارجی. از آنجایی که نیروهای بارگیری تیر در امتداد محور طولی مرکزی آن قرار دارند، تنها یک عامل نیروی داخلی در مقاطع ایجاد می شود - نیروی طولی، به عنوان مثال. کشش (فشردگی) تیر وجود دارد.

برای تعیین نیروی طولی از روش مقطع استفاده می کنیم. با ترسیم ذهنی یک مقطع در داخل هر بخش، قسمت ثابت پایین تیر را دور می اندازیم و آن را برای بررسی می گذاریم. قسمت بالا. در بخش 1 نیروی طولی ثابت و برابر است

علامت منفی نشان می دهد که پرتو در هر دو قسمت فشرده شده است.

ما نموداری از نیروهای طولی می سازیم. با کشیدن خط پایه (صفر) نمودار به موازات محور تیر، مقادیر به دست آمده را عمود بر آن در مقیاس دلخواه رسم می کنیم. همانطور که می بینید، نمودار با خطوط مستقیم موازی با پایه مشخص شد.

ما استحکام چوب را بررسی می کنیم، یعنی. تنش طراحی را تعیین می کنیم (برای هر بخش به طور جداگانه) و آن را با حد مجاز مقایسه می کنیم. برای این کار از شرط مقاومت فشاری استفاده می کنیم

که در آن مساحت یک مشخصه هندسی مقاومت مقطع است. از جدول فولاد نورد می گیریم:

برای I-beam
برای I-beam

تست قدرت:

مقادیر نیروهای طولی به صورت قدر مطلق گرفته می شود.

استحکام تیر تضمین شده است، با این حال، بار قابل توجهی (بیش از 25٪) وجود دارد که به دلیل مصرف بیش از حد مواد غیر قابل قبول است.

با توجه به شرایط مقاومت، ابعاد جدید تیر I برای هر بخش از تیر را تعیین می کنیم:
از این رو منطقه مورد نیاز است

با توجه به جدول GOST، ما I-beam شماره 16 را انتخاب می کنیم که برای آن;

از این رو منطقه مورد نیاز است

با توجه به جدول GOST، I-beam شماره 24 را انتخاب می کنیم که برای آن ;

با اندازه‌های I-beam انتخاب شده، زیر بار نیز رخ می‌دهد، اما ناچیز است (کمتر از 5٪).

وظیفه شماره 2.

برای یک تیر با ابعاد مقطع داده شده، مقادیر بار مجاز را تعیین کنید. برای مواد چوبی (فولاد St3)، تنش های کششی مجاز را بپذیرید و در حین فشرده سازی .

راه حل.

تیر داده شده دارای دو بخش 1، 2 است. کشش (فشردگی) تیر وجود دارد.

با استفاده از روش مقاطع، نیروی طولی را تعیین می کنیم، آن را از طریق نیروهای مورد نیاز بیان می کنیم و. با انجام یک بخش در هر بخش، قسمت چپ تیر را دور می اندازیم و آن را برای بررسی می گذاریم سمت راست. در بخش 1 نیروی طولی ثابت و برابر است

در قسمت 2 نیروی طولی نیز ثابت و برابر است

علامت مثبت نشان می دهد که تیر در هر دو قسمت کشیده شده است.

ما نموداری از نیروهای طولی می سازیم. نمودار با خطوط مستقیم موازی با پایه مشخص شده است.

از شرط استحکام کششی، مقادیر بار مجاز را تعیین می کنیم و قبلاً مساحت مقاطع داده شده را محاسبه کرده ایم:

کنترل سوالات

1. چه عوامل نیروی داخلی در مقطع یک تیر در هنگام کشش و فشار ایجاد می شود؟

2. شرایط مقاومت کششی و فشاری را بنویسید.

3. علائم نیروی طولی و تنش معمولی چگونه تخصیص داده می شود؟

4. اگر سطح مقطع 4 برابر شود ولتاژ چگونه تغییر می کند؟

5. آیا شرایط مقاومت برای محاسبات کششی و فشاری متفاوت است؟

6. ولتاژ در چه واحدهایی اندازه گیری می شود؟

7. کدام یک مشخصات مکانیکیبه عنوان تنش نهایی برای مواد انعطاف پذیر و شکننده انتخاب شده است؟

8. تفاوت تنش محدود کننده و مجاز چیست؟

کار عملی شماره 8

حل مسائل برای تعیین ممان مرکزی اصلی اینرسی اشکال هندسی تخت

هدف کار: گشتاورهای اینرسی اجسام مسطح با شکل پیچیده را به صورت تحلیلی تعیین کنید

پیش زمینه نظری. مختصات مرکز ثقل بخش را می توان از طریق لحظه ایستا بیان کرد:

جایی که نسبت به محور Ox

نسبت به محور Oy

گشتاور ساکن مساحت یک شکل نسبت به محوری که در همان صفحه قرار دارد برابر است با حاصلضرب مساحت شکل و فاصله مرکز ثقل آن تا این محور. لحظه ایستا یک بعد دارد. گشتاور ساکن می تواند مثبت، منفی یا برابر با صفر (نسبت به هر محور مرکزی) باشد.

گشتاور محوری اینرسی یک مقطع عبارت است از مجموع حاصلات یا انتگرال نواحی ابتدایی که بر کل مقطع با مجذورات فواصل آنها تا یک محور معین واقع در صفحه مقطع مورد نظر گرفته شده است.

لحظه محوریاینرسی در واحد بیان می شود - . گشتاور محوری اینرسی کمیتی است که همیشه مثبت است و برابر با صفر نیست.

محورهایی که از مرکز ثقل شکل عبور می کنند، مرکزی نامیده می شوند. ممان اینرسی حول محور مرکزی را ممان اینرسی مرکزی می گویند.

ممان اینرسی حول هر محوری برابر با مرکز است

نموداری از سیستم بکشید و مرکز ثقل را روی آن علامت بزنید.اگر مرکز ثقل یافت شده خارج از سیستم جسم باشد، پاسخ نادرستی دریافت کرده اید. ممکن است فاصله ها را از نقاط مرجع مختلف اندازه گیری کرده باشید. اندازه گیری ها را تکرار کنید.

به عنوان مثال، اگر کودکان روی تاب نشسته باشند، مرکز ثقل جایی بین کودکان خواهد بود و نه در سمت راست یا چپ تاب. همچنین مرکز ثقل هرگز با نقطه ای که کودک نشسته است منطبق نخواهد بود.
این استدلال ها در فضای دو بعدی معتبر هستند. مربعی رسم کنید که شامل تمام اشیاء سیستم باشد. مرکز ثقل باید داخل این مربع باشد.

اگر نتیجه کمی گرفتید، ریاضی خود را بررسی کنید.اگر نقطه مرجع در یک انتهای سیستم باشد، یک نتیجه کوچک مرکز ثقل را نزدیک انتهای سیستم قرار می دهد. این ممکن است پاسخ صحیح باشد، اما در اکثریت قریب به اتفاق موارد این نتیجه نشان دهنده یک خطا است. وقتی لحظه ها را محاسبه کردید، وزن ها و فواصل مربوطه را ضرب کردید؟ اگر به جای ضرب، وزن ها و فواصل را اضافه کنید، نتیجه بسیار کمتری می گیرید.

اگر چندین مرکز ثقل پیدا کردید، خطا را تصحیح کنید.هر سیستم فقط یک مرکز ثقل دارد. اگر چندین مرکز ثقل پیدا کردید، به احتمال زیاد تمام لحظات را جمع نکرده اید. مرکز گرانش برابر با نسبتلحظه "کل" به وزن "کل". نیازی به تقسیم «هر» لحظه بر «هر وزن» نیست: به این ترتیب موقعیت هر جسم را پیدا خواهید کرد.

اگر پاسخ با مقداری عدد صحیح متفاوت است، نقطه مرجع را بررسی کنید.در مثال ما، پاسخ 3.4 متر است. فرض کنید شما پاسخ 0.4 m یا 1.4 m یا عدد دیگری را دریافت کرده اید که به ".4" ختم می شود. این به این دلیل است که شما انتهای سمت چپ تخته را به عنوان نقطه شروع خود انتخاب نکرده اید، بلکه نقطه ای را انتخاب کرده اید که یک مقدار کامل در سمت راست قرار دارد. در واقع، بدون توجه به اینکه کدام نقطه مرجع را انتخاب کنید، پاسخ شما صحیح است! فقط به یاد داشته باشید: نقطه مرجع همیشه در موقعیت x = 0 است. در اینجا یک مثال آورده شده است:

در مثال ما، نقطه مرجع در انتهای سمت چپ تخته بود و متوجه شدیم که مرکز ثقل 3.4 متر از این نقطه مرجع است.
اگر نقطه ای را به عنوان نقطه مرجع انتخاب کنید که از انتهای سمت چپ تخته 1 متر به سمت راست قرار دارد، پاسخ آن 2.4 متر است یعنی مرکز ثقل از نقطه مرجع جدید 2.4 متر است که ، به نوبه خود، 1 متر از انتهای سمت چپ تخته قرار دارد. بنابراین، مرکز ثقل در فاصله 2.4 + 1 = 3.4 متر از انتهای سمت چپ تخته است. معلوم شد که جواب قدیمی است!
توجه: هنگام اندازه گیری فواصل، به یاد داشته باشید که فواصل تا نقطه مرجع "چپ" منفی و از نقطه مرجع "راست" مثبت هستند.

فواصل را در خطوط مستقیم اندازه گیری کنید.فرض کنید دو کودک روی یک تاب هستند، اما یک کودک بسیار بلندتر از دیگری است، یا یک کودک به جای اینکه روی تخته بنشیند، زیر تخت آویزان است. این تفاوت را نادیده بگیرید و فواصل را در امتداد خط مستقیم تخته اندازه بگیرید. اندازه‌گیری فواصل در زاویه‌ها نتایج نزدیک اما نه کاملاً دقیق را به همراه خواهد داشت.

برای مشکل تخته اره، به یاد داشته باشید که مرکز ثقل بین انتهای راست و چپ تخته است. بعداً یاد خواهید گرفت که مرکز ثقل سیستم های دو بعدی پیچیده تر را محاسبه کنید.

نویسنده: بیایید بدنه ای با شکل دلخواه بگیریم. آیا می توان آن را روی نخ آویزان کرد تا پس از آویزان کردن، موقعیت خود را حفظ کند (یعنی شروع به چرخیدن نکند) هرجهت گیری اولیه (شکل 27.1)؟

به عبارت دیگر، آیا نقطه ای نسبت به آن وجود دارد که مجموع لحظات گرانش وارد بر قسمت های مختلف بدن برابر با صفر باشد. هرجهت گیری بدن در فضا؟

خواننده: بله، فکر می کنم. این نقطه نامیده می شود مرکز ثقل بدن

اثباتبرای سادگی، اجازه دهید بدنی را به شکل یک صفحه مسطح با شکل دلخواه، به طور دلخواه در فضا در نظر بگیریم (شکل 27.2). بیایید سیستم مختصات را در نظر بگیریم ایکس 0دربا شروع در مرکز جرم - نقطه با، سپس x C = 0, در سی = 0.

بیایید این بدن را به عنوان یک مجموعه تصور کنیم تعداد زیادیتوده های نقطه ای m iکه موقعیت هر کدام با بردار شعاع مشخص می شود.

طبق تعریف، مرکز جرم و مختصات است x C = .

از آنجایی که در سیستم مختصات ما اتخاذ کردیم x C= 0، سپس . بیایید این برابری را در ضرب کنیم gو دریافت می کنیم

همانطور که در شکل دیده میشود. 27.2، | x i| - این شانه قدرت است. و اگر x i> 0، سپس لحظه نیرو M i> 0، و اگر x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iلحظه نیرو برابر خواهد بود M i = m i gx i .سپس برابری (1) معادل برابری است، که در آن M i- لحظه گرانش این بدان معنی است که با جهت گیری دلخواه جسم، مجموع لحظات گرانشی اعمال شده بر روی جسم، نسبت به مرکز جرم آن برابر با صفر خواهد بود.

برای اینکه جسم مورد نظر ما در حالت تعادل باشد، لازم است در نقطه ای به آن اعمال شود. بازور تی = میلی گرم، به صورت عمودی به سمت بالا هدایت می شود. لحظه این نیرو نسبت به نقطه بابرابر با صفر

از آنجایی که استدلال ما به هیچ وجه به نحوه دقیق جهت گیری جسم در فضا بستگی نداشت، ثابت کردیم که مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است، چیزی که باید ثابت کنیم.

مسئله 27.1.مرکز ثقل یک میله بی وزن با طول را پیدا کنید ل، که در انتهای آن دو جرم نقطه ثابت است تی 1 و تی 2 .

تی 1 تی 2 ل	راه حل. ما به دنبال مرکز ثقل نیستیم، بلکه به دنبال مرکز جرم خواهیم بود (چون اینها یکسان هستند). محور را معرفی می کنیم ایکس(شکل 27.3). برنج. 27.3
x C =?

پاسخ: در فاصله ای از جرم تی 1 .

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: B1–B3.

بیانیه 1 . اگر یک جسم مسطح همگن دارای یک محور تقارن باشد، مرکز ثقل روی این محور است.

در واقع، برای هر جرم نقطه ای m i، در سمت راست محور تقارن قرار دارد، همان جرم نقطه ای به طور متقارن نسبت به اولی قرار دارد (شکل 27.4). در این حالت مجموع گشتاور نیروها .

از آنجایی که کل بدن را می توان به صورت تقسیم به جفت نقاط مشابه نشان داد، کل گشتاور گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی محور تقارن قرار دارد برابر با صفر است، به این معنی که مرکز ثقل جسم در این محور قرار دارد. . این منجر به یک نتیجه مهم می شود: اگر جسمی دارای چندین محور تقارن باشد، مرکز ثقل در محل تلاقی این محورها قرار دارد.(شکل 27.5).

برنج. 27.5

بیانیه 2. اگر دو جسم دارای جرم باشند تی 1 و تی 2 به یکی متصل می شوند، سپس مرکز ثقل چنین جسمی بر روی یک بخش خط مستقیم قرار می گیرد که مراکز ثقل جسم اول و دوم را به هم متصل می کند (شکل 27.6).

برنج. 27.6 برنج. 27.7

اثباتاجازه دهید بدنه مرکب را طوری قرار دهیم که قسمتی که مرکز ثقل اجسام را به هم متصل می کند عمودی باشد. سپس مجموع لحظات گرانش جسم اول نسبت به نقطه با 1 برابر با صفر است و مجموع لحظات گرانش جسم دوم نسبت به نقطه با 2 برابر با صفر است (شکل 27.7).

توجه کنید که شانهگرانش هر جرم نقطه ای تی منبا توجه به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد یکسان است با 1 با 2 و بنابراین لحظه گرانش نسبت به هر نقطه ای که روی قطعه قرار دارد با 1 با 2، همان. در نتیجه، نیروی گرانش کل بدن نسبت به هر نقطه از قطعه صفر است با 1 با 2. بنابراین، مرکز ثقل بدنه کامپوزیت روی قطعه قرار دارد با 1 با 2 .

یک نتیجه گیری عملی مهم از بیانیه 2 به دست می آید که به وضوح در قالب دستورالعمل ها تدوین شده است.

دستورالعمل ها،

چگونه می توان مرکز ثقل جسم جامد را در صورت شکستن آن پیدا کرد

به قسمت هایی که موقعیت مراکز ثقل هر کدام مشخص است

1. هر قسمت باید با جرمی که در مرکز ثقل آن قسمت قرار دارد جایگزین شود.

2. پیدا کنید مرکز جرم(و این همان مرکز ثقل است) سیستم حاصل از جرم نقطه، انتخاب یک سیستم مختصات مناسب ایکس 0در، طبق فرمول های:

در واقع، اجازه دهید بدنه کامپوزیت را طوری بچینیم که قطعه با 1 با 2 افقی بود و آن را در نقاطی روی نخ ها آویزان کنید با 1 و با 2 (شکل 27.8، آ). واضح است که بدن در تعادل خواهد بود. و اگر هر جسم را با توده های نقطه ای جایگزین کنیم، این تعادل به هم نمی خورد تی 1 و تی 2 (شکل 27.8، ب).

برنج. 27.8

متوقف کردن! خودتان تصمیم بگیرید: C3.

مسئله 27.2.در دو قله مثلث متساوی الاضلاعتوپ های جرمی قرار می گیرند تیهر یک توپ به جرم 2 در راس سوم قرار می گیرد تی(شکل 27.9، آ). ضلع مثلث آ. مرکز ثقل این سیستم را تعیین کنید.