حساب بی نهایت کوچک و بزرگ

حساب بی نهایت کوچک- محاسبات انجام شده با کمیت های بینهایت کوچک که در آنها نتیجه مشتق شده به عنوان مجموع بی نهایت بی نهایت در نظر گرفته می شود. حساب بی نهایت کوچک است مفهوم کلیبرای حساب دیفرانسیل و انتگرال، که اساس ریاضیات عالی مدرن را تشکیل می دهند. مفهوم کمیت بینهایت کوچک با مفهوم حد مرتبط است.

بی نهایت کوچک

دنباله آ nتماس گرفت بی نهایت کوچک، اگر . به عنوان مثال، دنباله ای از اعداد بی نهایت کوچک است.

تابع فراخوانی می شود بی نهایت کوچک در مجاورت یک نقطه ایکس 0 اگر .

تابع فراخوانی می شود بی نهایت کوچک در بی نهایت، اگر یا .

همچنین بینهایت کوچک تابعی است که تفاوت بین یک تابع و حد آن است، یعنی اگر ، آن f(ایکس) − آ = α( ایکس) , .

تعداد بی نهایت زیاد

دنباله آ nتماس گرفت بی نهایت بزرگ، اگر .

تابع فراخوانی می شود بی نهایت بزرگ در مجاورت یک نقطه ایکس 0 اگر .

تابع فراخوانی می شود بی نهایت بزرگ در بی نهایت، اگر یا .

در همه موارد، نامتناهی به سمت راست برابری به داشتن یک علامت معین (اعم از "به علاوه" یا "منهای") دلالت دارد. یعنی مثلا تابع ایکسگناه ایکسبی نهایت بزرگ نیست در .

خواص بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

مقایسه کمیت های بی نهایت کوچک

چگونه مقادیر بینهایت کوچک را با هم مقایسه کنیم؟
نسبت کمیت های بی نهایت کوچک به اصطلاح عدم قطعیت را تشکیل می دهد.

تعاریف

فرض کنید مقادیر بی نهایت کوچک α( ایکس) و β( ایکس) (یا، که برای تعریف مهم نیست، دنباله های بی نهایت کوچک).

برای محاسبه چنین محدودیت هایی استفاده از قانون L'Hopital راحت است.

نمونه های مقایسه

استفاده كردن در باره-نماد، نتایج به دست آمده را می توان به شکل زیر نوشت ایکس 5 = o(ایکس 3). در این مورد، ورودی های زیر درست است: 2ایکس 2 + 6ایکس = O(ایکس) و ایکس = O(2ایکس 2 + 6ایکس).

مقادیر معادل

تعریف

اگر، آنگاه کمیت های بی نهایت کوچک α و β نامیده می شوند معادل ().
بدیهی است که کمیت های معادل یک مورد خاص از کمیت های بی نهایت کوچک از همان مرتبه کوچکی هستند.

زمانی که روابط هم ارزی زیر معتبر هستند: .

قضیه

حد ضریب (نسبت) دو کمیت بینهایت کوچک، اگر یکی از آنها (یا هر دو) با کمیت معادل جایگزین شود، تغییر نمی کند..

این قضیه هنگام یافتن حدود اهمیت عملی دارد (به مثال مراجعه کنید).

مثال استفاده

جایگزین کردن سمنn 2ایکس مقدار معادل 2 ایکس، ما گرفتیم

طرح تاریخی

مفهوم "بی نهایت کوچک" در زمان های قدیم در ارتباط با مفهوم اتم های غیرقابل تقسیم مورد بحث قرار گرفت، اما در ریاضیات کلاسیک گنجانده نشد. با ظهور "روش غیر قابل تقسیم" در قرن شانزدهم دوباره احیا شد - شکل مورد مطالعه را به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کرد.

در قرن هفدهم، جبری کردن حساب بی نهایت کوچک صورت گرفت. آنها شروع به تعریف کردند مقادیر عددی، که کمتر از هر مقدار محدود (غیر صفر) هستند و در عین حال برابر با صفر نیستند. هنر تجزیه و تحلیل عبارت بود از ترسیم رابطه ای حاوی بینهایت کوچک (دیفرانسیل) و سپس ادغام آن.

ریاضیدانان مدرسه قدیمی این مفهوم را مورد آزمایش قرار دادند بی نهایت کوچکانتقاد تند میشل رول نوشت که حساب جدید « مجموعه ای از اشتباهات مبتکرانه"؛ ولتر به طرز غم انگیزی اظهار داشت که حساب دیفرانسیل و انتگرال هنر محاسبه و اندازه گیری دقیق چیزهایی است که وجود آنها قابل اثبات نیست. حتی هویگنز اعتراف کرد که معنای تفاوت های مرتبه بالاتر را درک نمی کند.

اختلافات در آکادمی علوم پاریس در مورد توجیه تجزیه و تحلیل چنان رسوا شد که آکادمی یک بار اعضای خود را به طور کامل از صحبت در مورد این موضوع منع کرد (این عمدتاً مربوط به رول و واریگنون بود). در سال 1706 رول علناً اعتراضات خود را پس گرفت، اما بحث ادامه یافت.

در سال 1734، فیلسوف مشهور انگلیسی، اسقف جورج برکلی، جزوه ای پر شور منتشر کرد که تحت عنوان اختصاری " تحلیلگر" نام کامل آن: " تحلیلگر یا گفتمانی خطاب به ریاضیدان کافر، که می‌پرسد آیا موضوع، اصول، و نتایج تحلیل مدرن واضح‌تر از اسرار مذهبی و اصول اعتقادی استنباط می‌شود یا خیر.».

تحلیلگر حاوی انتقادی شوخ و تا حد زیادی منصفانه از حساب بی نهایت کوچک بود. برکلی روش تحلیل را ناسازگار با منطق دانست و نوشت: هر چقدر هم مفید باشد، فقط می توان آن را نوعی حدس و گمان دانست. مهارت ماهرانه، هنر یا به عبارتی ترفند، اما نه به عنوان روشی برای اثبات علمی" برکلی با نقل قول نیوتن در مورد افزایش مقادیر فعلی «در همان ابتدای پیدایش یا ناپدید شدن آنها»، به طعنه گفت: آنها نه مقادیر متناهی هستند، نه بی نهایت کوچک و نه حتی هیچ. آیا ما نمی توانیم آنها را ارواح قدرهای مرده بنامیم؟... و چگونه می توان به طور کلی در مورد رابطه بین چیزهایی که قدر ندارند صحبت کرد؟ تفاوت، نباید، زیرا به نظر من در مورد چیزی در الهیات ایراد می گیرم».

برکلی می نویسد که تصورش غیرممکن است سرعت لحظه ای، یعنی سرعت در یک لحظه و در یک نقطه معین، زیرا مفهوم حرکت شامل مفاهیم (محدود غیر صفر) مکان و زمان است.

تجزیه و تحلیل چگونه نتایج درستی ایجاد می کند؟ برکلی به این ایده رسید که این با وجود چندین خطا در نتیجه گیری های تحلیلی توضیح داده شده است و این را با مثال سهمی نشان داد. جالب است که برخی از ریاضیدانان بزرگ (مثلاً لاگرانژ) با او موافق بودند.

زمانی که دقت و ثمربخشی در ریاضیات با یکدیگر تداخل داشت، وضعیت متناقضی به وجود آمد. با وجود استفاده اقدامات غیرقانونیبا مفاهیم ضعیف تعریف شده، تعداد خطاهای مستقیم به طرز شگفت آوری کم بود - شهود به نجات آمد. و با این حال، در طول قرن 18، تجزیه و تحلیل ریاضی به سرعت، بدون هیچ گونه توجیهی، توسعه یافت. کارایی آن شگفت انگیز بود و برای خود صحبت می کرد، اما معنای دیفرانسیل هنوز مشخص نبود. افزایش بی نهایت کوچک یک تابع و بخش خطی آن به ویژه اغلب اشتباه گرفته می شد.

در طول قرن هجدهم، تلاش‌های عظیمی برای اصلاح وضعیت انجام شد و بهترین ریاضی‌دانان قرن در آن‌ها شرکت کردند، اما تنها کوشی موفق شد به‌طور قانع‌کننده پایه‌های تحلیل را بسازد. اوایل XIXقرن. او مفاهیم اساسی را به شدت تعریف کرد - حد، همگرایی، تداوم، دیفرانسیل و غیره، پس از آن بی نهایت کوچک واقعی از علم ناپدید شد. برخی از ظرافت های باقی مانده بعدا توضیح داده شد

توابع بی نهایت کوچک

تابع %%f(x)%% فراخوانی می شود بی نهایت کوچک(b.m.) با %%x \به \in \overline(\mathbb(R))%%، اگر با این تمایل آرگومان حد تابع برابر با صفر باشد.

مفهوم b.m. تابع به طور جدایی ناپذیری با دستورالعمل هایی برای تغییر آرگومانش مرتبط است. می توانیم در مورد b.m صحبت کنیم. در %%a \ به a + 0%% و در %%a \ به a - 0%% عمل می کند. معمولا b.m. توابع با حروف اول الفبای یونانی %%\alpha، \beta، \gamma، \ldots%% نشان داده می‌شوند.

مثال ها

1. تابع %%f(x) = x%% b.m است. در %%x \تا 0%%، زیرا حد آن در نقطه %%a = 0%% صفر است. با توجه به قضیه ارتباط حد دو طرفه و حد یک طرفه این تابع b.m است. هر دو با %%x \به +0%% و با %%x \تا -0%%.
2. تابع %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. در %%x \ به \infty%% (و همچنین در %%x \to +\infty%% و در %%x \to -\infty%%).

غیر صفر عدد ثابت، هر چقدر هم که در قدر مطلق کوچک باشد، b.m نیست. تابع. برای اعداد ثابت، تنها استثنا صفر است، زیرا تابع %%f(x) \equiv 0%% دارای حد صفر است.

قضیه

تابع %%f(x)%% در نقطه %%a \in \overline(\mathbb(R))%% خط عددی توسعه یافته دارد. حد نهایی، برابر با عدد %%b%%, اگر و فقط اگر این تابع برابر با مجموع این عدد %%b%% و b.m باشد. توابع %%\alpha(x)%% با %%x \به a%%، یا $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

ویژگی های توابع بی نهایت کوچک

با توجه به قوانین عبور به حد با %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m)، m \in \mathbb(N)%%، عبارات زیر را دنبال می‌کنند:

1. مجموع عدد محدود b.m. توابع %%x \تا a%% b.m است. در %%x \ تا a%%.
2. حاصلضرب هر عدد b.m. توابع %%x \تا a%% b.m است. در %%x \ تا a%%.

محصول b.m. توابع در %%x \ به a%% و یک تابع محدود شده در برخی از محله‌های سوراخ‌شده %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% نقطه a، b.m وجود دارد. در تابع %%x \تا a%%.

واضح است که حاصل ضرب تابع ثابت و b.m. در %%x \تا a%% b.m وجود دارد. عملکرد در %%x \تا a%%.

توابع بی نهایت کوچک معادل

توابع بی نهایت کوچک %%\alpha(x)، \beta(x)%% برای %%x \تا a%% نامیده می شوند معادلو %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% را بنویسید

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x)) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

قضیه جایگزینی b.m. توابع معادل

اجازه دهید %%\alpha(x)، \alpha_1(x)، \beta(x)، \beta_1(x)%% b.m باشد. توابع %%x \تا a%% و %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, سپس $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x)) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

معادل b.m. کارکرد.

بگذارید %%\alpha(x)%% b.m باشد. سپس در %%x \تا a%% عمل کنید

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

مثال

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x\to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \تا 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(آرایه) $$

توابع بی نهایت بزرگ

تابع %%f(x)%% فراخوانی می شود بی نهایت بزرگ(b.b.) با %%x \به \in \overline(\mathbb(R))%%، اگر با این گرایش آرگومان تابع یک حد بی نهایت داشته باشد.

مشابه b.m. مفهوم توابع b.b. تابع به طور جدایی ناپذیری با دستورالعمل هایی برای تغییر آرگومانش مرتبط است. می توانیم در مورد b.b صحبت کنیم. توابع %%x \به a + 0%% و %%x \به a - 0%%. اصطلاح "بی نهایت بزرگ" در مورد قدر مطلق تابع صحبت نمی کند، بلکه در مورد ماهیت تغییر آن در مجاورت نقطه مورد نظر صحبت می کند. هیچ عدد ثابتی، مهم نیست که چقدر در قدر مطلق بزرگ باشد، بی نهایت بزرگ نیست.

مثال ها

1. تابع %%f(x) = 1/x%% - b.b. در %%x \تا 0%%.
2. تابع %%f(x) = x%% - b.b. در %%x \تا \infty%%.

اگر شرایط تعریف $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty، \end(آرایه) $$

سپس در مورد آن صحبت می کنند مثبتیا منفی b.b. در تابع %%a%%.

مثال

تابع %%1/(x^2)%% - مثبت b.b. در %%x \تا 0%%.

ارتباط بین b.b. و b.m. کارکرد

اگر %%f(x)%% b.b باشد. با تابع %%x \به a%%، سپس %%1/f(x)%% - b.m.

در %%x \ تا a%%. اگر %%\alpha(x)%% - b.m. برای %%x \ به a%% یک تابع غیرصفر در برخی از محله‌های سوراخ‌شده نقطه %%a%% است، سپس %%1/\alpha(x)%% b.b است. در %%x \ تا a%%.

ویژگی های توابع بی نهایت بزرگ

اجازه دهید چندین ویژگی b.b را ارائه کنیم. کارکرد. این ویژگی ها مستقیماً از تعریف b.b. توابع و خواص توابع دارای حدود محدود و همچنین از قضیه ارتباط بین b.b. و b.m. کارکرد.

1. حاصل ضرب عدد محدود b.b. توابع %%x \تا a%% b.b است. عملکرد در %%x \تا a%%. در واقع، اگر %%f_k(x)، k = \overline(1, n)%% - b.b. عملکرد در %%x \تا a%%، سپس در برخی از محله‌های سوراخ شده نقطه %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% و توسط قضیه اتصال b.b. و b.m.توابع %%1/f_k(x)%% - b.m. عملکرد در %%x \تا a%%. معلوم شد %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) تابع 1/f_k(x)%% - b.m برای %%x \تا a%%، و %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. عملکرد در %%x \تا a%%.
2. محصول b.b. توابع برای %%x \تا a%% و تابعی که در برخی از همسایگان سوراخ شده نقطه %%a%% در مقدار مطلق بزرگتر از ثابت مثبت است b.b است. عملکرد در %%x \تا a%%. به ویژه محصول b.b. تابعی با %%x \تا a%% و تابعی که دارای حد محدود غیر صفر در نقطه %%a%% باشد b.b خواهد بود. عملکرد در %%x \تا a%%.

مجموع یک تابع محدود شده در محله سوراخ شده نقطه %%a%% و b.b. توابع با %%x \تا a%% b.b است. عملکرد در %%x \تا a%%.

برای مثال، توابع %%x - \sin x%% و %%x + \cos x%% b.b هستند. در %%x \تا \infty%%.

3. مجموع دو b.b. توابع در %%x \تا a%% عدم قطعیت وجود دارد. بسته به علامت شرایط، ماهیت تغییر در چنین مجموع می تواند بسیار متفاوت باشد.

   مثال

   اجازه دهید توابع %%f(x)= x، g(x) = 2x، h(x) = -x، v(x) = x + \sin x%% داده شوند. عملکرد در %%x \تا \infty%%. سپس:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. تابع %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. تابع %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% هیچ محدودیتی در %%x \تا \infty%% ندارد.

مطالب از ویکی پدیا - دانشنامه آزاد

بی نهایت کوچک - تابع عددییا دنباله ای که به سمت صفر میل می کند.

بی نهایت بزرگ- یک تابع یا دنباله عددی که تمایل دارد بی نهایتیک علامت خاص

حساب بی نهایت کوچک و بزرگ

حساب بی نهایت کوچک- محاسبات انجام شده با کمیت های بی نهایت کوچک که در آنها نتیجه مشتق شده بی نهایت در نظر گرفته می شود. مجموعبی نهایت کوچک حساب بی نهایت کوچک یک مفهوم کلی برای دیفرانسیلو حساب انتگرال، پایه مدرن را تشکیل می دهد ریاضیات بالاتر. مفهوم کمیت بینهایت کوچک ارتباط نزدیکی با این مفهوم دارد حد.

بی نهایت کوچک

دنباله $a\_n$تماس گرفت بی نهایت کوچک، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=0$. به عنوان مثال، دنباله ای از اعداد $a\_n=\backslash dfrac(1)(n)$- بی نهایت کوچک

تابع فراخوانی می شود بی نهایت کوچک در مجاورت یک نقطه $x\_0$، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=0$.

تابع فراخوانی می شود بی نهایت کوچک در بی نهایت، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=0$یا $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=0$.

همچنین بینهایت کوچک تابعی است که تفاوت بین یک تابع و حد آن است، یعنی اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=a$، آن $f(x)-a=\backslash alpha(x)$, $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)(f(x)-a)=0$.

ما تأکید می کنیم که یک کمیت بی نهایت کوچک باید به عنوان درک شود مقدار متغیر(عملکرد) که فقط در روند تغییر[در حال تلاش $ایکس$به $آ$(از جانب $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)f(x)=0$)] کمتر از یک عدد دلخواه ( $\backslash varepsilon$). بنابراین، برای مثال، جمله ای مانند "یک میلیونیم یک کمیت بی نهایت کوچک است" نادرست است: o عدد[مقدار مطلق] بی معنی است که بگوییم بی نهایت کوچک است.

بی نهایت بزرگ

در تمام فرمول‌های زیر، بی‌نهایتی در سمت راست برابری به داشتن یک علامت معین (به علاوه یا منهای) اشاره دارد. یعنی مثلا تابع $x\backslash sin\; x$، نامحدود در هر دو طرف، بی نهایت بزرگ نیست $x\backslash to+\backslash infty$.

دنباله $a\_n$تماس گرفت بی نهایت بزرگ، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=\backslash infty$.

تابع فراخوانی می شود بی نهایت بزرگ در مجاورت یک نقطه $x\_0$، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=\backslash infty$.

تابع فراخوانی می شود بی نهایت بزرگ در بی نهایت، اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=\backslash infty$یا $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=\backslash infty$.

مانند بینهایت کوچکها، باید توجه داشت که هیچ مقدار واحدی از یک کمیت بی نهایت بزرگ را نمی توان "بی نهایت بزرگ" نامید - یک کمیت بی نهایت بزرگ تابع، که فقط است در روند تغییرممکن است از یک عدد دلخواه بزرگتر شود.

خواص بی نهایت کوچک

• مجموع جبری تعداد محدودی از توابع بی نهایت کوچک یک تابع بی نهایت کوچک است.
• حاصل ضرب بینهایت کوچک بی نهایت است.
• حاصل ضرب یک دنباله بی نهایت کوچک و یک دنباله محدود بی نهایت کوچک است. در نتیجه حاصلضرب بینهایت کوچک و ثابت بی نهایت کوچک است.
• اگر $a\_n$یک دنباله بی نهایت کوچک است که علامت را حفظ می کند $b\_n=\backslash dfrac(1)(a\_n)$- یک دنباله بی نهایت بزرگ.

مقایسه بینهایت کوچک

تعاریف

بیایید بگوییم که ما بی نهایت کوچک برای همان $x\backslash \; به\; a$مقادیر $\backslash آلفا(x)$و $\backslash بتا(x)$(یا، که برای تعریف مهم نیست، دنباله های بی نهایت کوچک).

• اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=0$، آن $\backslash بتا$- بی نهایت کوچک مرتبه بالاتر کوچکی، چگونه $\backslash \; آلفا$. تعیین کنید $\backslash beta=o(\backslash alpha)$یا $\backslash بتا\backslash prec\backslash alpha$.
• اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=\backslash infty$، آن $\backslash بتا$- بی نهایت کوچک پایین ترین مرتبه کوچکی، چگونه $\backslash \; آلفا$. به ترتیب $\backslash alpha=o(\backslash بتا)$یا $\backslash alpha\backslash prec\backslash beta$.
• اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=c$(حد محدود است و برابر با 0 نیست)، پس $\backslash \; آلفا$و $\backslash بتا$کمیت های بی نهایت کوچک هستند یک مرتبه کوچکی. این به عنوان نشان داده شده است $\backslash آلفا\backslash asymp\backslash بتا$یا به عنوان تحقق همزمان روابط $\backslash beta=O(\backslash alpha)$و $\backslash alpha=O(\backslash بتا)$. لازم به ذکر است که در برخی منابع می توانید نامی را بیابید که در آن یکسانی سفارشات فقط در قالب یک رابطه "درباره بزرگ" نوشته شده است که استفاده رایگان از این نماد است.
• اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha^m)=c$(حد محدود است و برابر 0 نیست)، سپس مقدار بی نهایت کوچک $\backslash بتا$این دارد $متر$مرتبه کوچکینسبتا بی نهایت کوچک $\backslash \; آلفا$.

برای محاسبه چنین محدودیت هایی استفاده از آن راحت است قانون L'Hopital.

نمونه های مقایسه

• در $(x\backslash to\; 0)$اندازه $x^5$این دارد مرتبه بالاترکمی نسبتا $x^3$، زیرا $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^5)(x^3)=0$. از طرف دیگر، $x^3$دارای کمترین مرتبه کوچکی نسبت به $x^5$، زیرا $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^3)(x^5)=\backslash infty$.

استفاده كردن در باره- نمادگرایینتایج به دست آمده را می توان به شکل زیر نوشت $x^5=o(x^3)$.

• $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^2+6x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x+6)(1)=\backslash lim\backslash limits\_(x\; \backslash \; به\; 0)\; (2x+6)=6،$آن موقع است که $x\backslash \; تا\; 0$کارکرد $f(x)=2x^2+6x$و $g(x)=x$مقادیر بی نهایت کوچکی از یک مرتبه هستند.

در این مورد، ورودی های زیر درست است: $2x^2+6x\; =\; O(x)$و $x\; =\; O\; (2x^2+6x).$

• در $(x\backslash to\; 0)$بی نهایت کوچک $2x^3$دارای مرتبه سوم کوچکی نسبت به $ایکس$، زیرا $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^3)(x^3)=2$، بی نهایت کوچک $0(،)\; 7x^2$- مرتبه دوم، بی نهایت کوچک $\backslash sqrt(x)$- سفارش 0.5.

مقادیر معادل

تعریف

اگر $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=1$، سپس مقادیر بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ $\backslash \; آلفا$و $\backslash بتا$نامیده می شوند معادل(مشخص می شود $\backslash alpha\backslash thicksim\backslash beta$).

بدیهی است که کمیت های معادل یک مورد خاص از کمیت های بی نهایت کوچک (بی نهایت بزرگ) از همان مرتبه کوچکی هستند.

در $$روابط هم ارزی زیر معتبر هستند (به عنوان پیامدهای به اصطلاح محدودیت های شگفت انگیز):

• $\backslash sin\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash arcsin(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(arctg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash log\_a(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash frac(1)(\backslash ln(a))$، جایی که $a>0$;
• $\backslash ln(1+\backslash alpha\; (x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $a^(\backslash alpha(x))-1\backslash thickssim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash ln(a)$، جایی که $a>0$;
• $e^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $1-\backslash cos(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash frac(\backslash alpha^2(x))(2);$
• $(1+\backslash alpha(x))^\backslash mu-1\backslash thicksim\backslash mu\backslash cdot\backslash alpha(x),\backslash quad\backslash mu\backslash in\backslash R$، پس از عبارت استفاده کنید:

$\backslash sqrt[n](1+\backslash alpha(x))\backslash approx\backslash frac(\backslash alpha(x))(n)+1$، جایی که $\backslash alpha(x)\backslash xrightarrow()0$.

قضیه

حد ضریب (نسبت) دو کمیت بی نهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، اگر یکی از آنها (یا هر دو) با کمیت معادل جایگزین شود، تغییر نمی کند..

این قضیه هنگام یافتن حدود اهمیت عملی دارد (به مثال مراجعه کنید).

نمونه هایی از استفاده

• پیدا کردن $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x).$

جایگزین کردن $\backslash \; sin\; 2x$ارزش معادل $2\; برابر$، ما گرفتیم $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x)(x)=2.$

• پیدا کردن $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x).$

زیرا $\backslash sin(4\backslash cos\; x)\backslash thicksim(4\backslash cos\; x)$در $x\backslash to\backslash dfrac(\backslash pi)(2)$ما گرفتیم $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; \backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)\; (2))\backslash dfrac(4\backslash cos\; x)(\backslash cos\; x)=4.$

• محاسبه $\backslash sqrt(1(,)2)$.

با استفاده از فرمول : $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash تقریبا\; 1+\backslash frac(0(,)2)(2)=1(,)1$، در حالی که با استفاده از ماشین حساب(محاسبات دقیق تر)، به دست آوردیم: $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash تقریباً\; 1(,)095$بنابراین خطا 0.005 (کمتر از 1%) بود، یعنی روش به دلیل سادگی برای تخمین تقریبی مفید است. ریشه های حسابینزدیک به وحدت

داستان

ریاضیدانان مدرسه قدیمی این مفهوم را مورد آزمایش قرار دادند بی نهایت کوچکانتقاد تند میشل رولنوشت که حساب جدید " مجموعه ای از اشتباهات مبتکرانه»; ولتربه طور تند گفت که این حساب هنر محاسبه و اندازه گیری دقیق چیزهایی است که وجود آنها قابل اثبات نیست. زوج هویگنساعتراف کرد که معنی آن را درک نکرده است دیفرانسیل های مرتبه بالاتر.

دیدن ظاهر در وسط طعنه آمیز است قرن XX تجزیه و تحلیل غیر استاندارد، که ثابت کرد دیدگاه اصلی - بی نهایت کوچک واقعی - نیز سازگار است و می تواند به عنوان مبنایی برای تجزیه و تحلیل استفاده شود. با ظهور تجزیه و تحلیل غیر استاندارد، مشخص شد که چرا ریاضیدانان قرن 18، با انجام اقداماتی که از نظر نظریه کلاسیک غیرقانونی بود، با این وجود نتایج صحیحی به دست آوردند.

همچنین ببینید

نظری در مورد مقاله "بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ" بنویسید.

یادداشت

ادبیات

• // فرهنگ لغت دایره المعارف بروکهاوس و افرون: در 86 تن (82 تن و 4 اضافه). - سنت پترزبورگ. ، 1890-1907.

گزیده ای از توصیف بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ

شاهزاده آندری با تمسخر اما محبت آمیز گفت: "خب، دوست من، می ترسم شما و راهب باروت خود را هدر دهید."
- آه! دوست من. [آ! دوست من.] من فقط به خدا دعا می کنم و امیدوارم که او مرا بشنود. آندره، پس از یک دقیقه سکوت، با ترس گفت: «من یک درخواست بزرگ از شما دارم.»
- چی دوست من؟
- نه، قول بده که رد نمی کنی. هیچ کاری برای شما هزینه نخواهد داشت و هیچ چیز ناشایست شما در آن وجود نخواهد داشت. فقط تو میتوانی مرا دلداری بدهی قول بده، آندریوشا،» او گفت، دستش را در مشبک قرار داد و چیزی در آن نگه داشت، اما هنوز آن را نشان نداد، گویی آنچه در دست داشت موضوع درخواست بود و گویی قبل از دریافت وعده انجام خواسته، او نتوانست آن را از شبکه بیرون بیاورد این چیزی است.
او با ترس و التماس به برادرش نگاه کرد.
شاهزاده آندری، گویی حدس می زد که موضوع چیست، پاسخ داد: "حتی اگر هزینه زیادی برای من داشته باشد ...".
- هر چه می خواهی فکر کن! من می دانم که شما همان مون پره هستید. به آنچه می خواهی فکر کن، اما آن را برای من انجام بده. خواهشمندم انجام دهید! پدر پدرم، پدربزرگ ما، آن را در همه جنگ‌ها می‌پوشید...» او هنوز چیزی را که در دست داشت از مشبک بیرون نمی‌آورد. -پس بهم قول میدی؟
-البته قضیه چیه؟
- آندره، من تصویر را به تو برکت خواهم داد، و تو به من قول می دهی که هرگز آن را از بین نخواهی برد. آیا قول می دهی؟
شاهزاده آندری گفت: "اگر گردنش را دو پوند دراز نکند... برای خوشحالی تو..." اما در همان لحظه با توجه به حالت ناراحتی که چهره خواهرش در این شوخی به خود گرفت، توبه کرد. او افزود: "خیلی خوشحالم، واقعا خیلی خوشحالم، دوست من."
او با صدایی که از احساس می لرزید و با حرکتی موقر که در هر دو دست در مقابل او گرفته بود گفت: «برخلاف میل تو، تو را نجات خواهد داد و به تو رحم خواهد کرد و تو را به سوی خود خواهد گرداند، زیرا تنها در او حقیقت و آرامش است. برادرش یک نماد باستانی بیضی شکل از منجی با چهره ای سیاه در نقره ای بر روی یک زنجیر نقره ای با کار خوب.
او خود را به صلیب کشید، نماد را بوسید و به آندری داد.
- خواهش می کنم، آندره، برای من ...
پرتوهای نور مهربان و ترسو از چشمان درشت او می درخشید. این چشم ها تمام صورت بیمار و لاغر را روشن می کرد و آن را زیبا می کرد. برادر می خواست نماد را بگیرد، اما او مانع شد. آندری فهمید، از خود عبور کرد و نماد را بوسید. صورتش در عین حال لطیف (لمس شده بود) و تمسخر آمیز بود.
- مرسی، مون آمی. [متشکرم دوست من.]
پیشانی او را بوسید و دوباره روی مبل نشست. سکوت کردند.
"پس بهت گفتم، آندره، مثل همیشه مهربان و سخاوتمند باش." لیز را سخت قضاوت نکنید.» او شروع کرد. "او بسیار شیرین است، بسیار مهربان است، و وضعیت او اکنون بسیار دشوار است."
"به نظر می رسد که من چیزی به شما نگفتم ماشا، که باید همسرم را برای هر چیزی سرزنش کنم یا از او ناراضی باشم." چرا این همه را به من می گویی؟
پرنسس ماریا لکه های سرخ شد و ساکت شد، انگار که احساس گناه می کرد.
"من چیزی به شما نگفتم، اما آنها قبلاً به شما گفته اند." و من را غمگین می کند.
لکه های قرمز حتی شدیدتر روی پیشانی، گردن و گونه های پرنسس ماریا ظاهر شد. می خواست چیزی بگوید و نمی توانست بگوید. برادر درست حدس زد: شاهزاده خانم کوچولو بعد از شام گریه کرد، گفت که تولدی ناخوشایند را پیش بینی کرده است، از آن می ترسد و از سرنوشت خود، از پدرشوهرش و شوهرش شکایت می کند. بعد از گریه به خواب رفت. شاهزاده آندری برای خواهرش متاسف شد.
"یک چیز را بدان، ماشا، من نمی توانم خودم را برای هیچ چیزی سرزنش کنم، من همسرم را سرزنش نکرده ام و نخواهم کرد، و من خودم نمی توانم خودم را برای هیچ چیزی در رابطه با او سرزنش کنم. و بدون توجه به شرایط من همیشه همینطور خواهد بود. اما اگه میخوای حقیقت رو بدونی...میخوای بدونی خوشحالم؟ خیر آیا او خوشحال است؟ خیر چرا این هست؟ نمی دانم…
با گفتن این حرف، از جا برخاست، به سمت خواهرش رفت و در حالی که خم شد، پیشانی او را بوسید. چشمان زیبای او با درخششی هوشمندانه و مهربان و غیرعادی می درخشید، اما نه به خواهرش، بلکه به تاریکی در باز، بالای سر او نگاه کرد.
- بریم پیشش، باید خداحافظی کنیم. یا تنها برو، او را بیدار کن، و من همانجا خواهم بود. جعفری! - او به خدمتکار فریاد زد، - بیا اینجا، تمیزش کن. روی صندلی است، سمت راست است.
پرنسس ماریا بلند شد و به سمت در رفت. او ایستاد.
– آندره، سی ووس آویز. la foi، vous vous seriez adresse a Dieu، pour qu"il vous donne l"amour، que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [اگر ایمان داشتی با دعا به درگاه خدا توبه می کردی تا محبتی را که احساس نمی کنی به تو عطا کند و دعای تو مستجاب شود.]
- بله همینطوره! - گفت شاهزاده آندری. - برو ماشا، من همونجا میام.
در راه اتاق خواهرش، در گالری که یک خانه را به خانه دیگر متصل می کرد، شاهزاده آندری با مله بورین خندان، که برای سومین بار در آن روز با لبخندی مشتاقانه و ساده لوحانه در معابر خلوت با او روبرو شده بود، ملاقات کرد.
- آه! او به دلایلی سرخ شد و چشمانش را پایین انداخت.
شاهزاده آندری به شدت به او نگاه کرد. چهره شاهزاده آندری ناگهان خشم را نشان داد. چیزی به او نگفت، اما بدون اینکه به چشمانش نگاه کند به پیشانی و موهایش نگاه کرد، چنان تحقیر آمیز که زن فرانسوی سرخ شد و بدون اینکه چیزی بگوید رفت.
وقتی به اتاق خواهرش نزدیک شد، شاهزاده خانم قبلاً از خواب بیدار شده بود و صدای شاد او که یکی پس از دیگری عجله می کرد، از در باز شنیده شد. او طوری صحبت می کرد که گویی پس از یک پرهیز طولانی می خواهد زمان از دست رفته را جبران کند.
– Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees... [نه، کنتس زوبووا پیر را تصور کنید، با فرهای کاذب، با دندان های مصنوعی، مانند انگار سال ها را مسخره می کند...] Xa, xa, xa, Marieie!
شاهزاده آندری قبلاً دقیقاً همان عبارت را در مورد کنتس زوبووا و همان خنده را پنج بار در مقابل غریبه ها از همسرش شنیده بود.
بی سر و صدا وارد اتاق شد. شاهزاده خانم، چاق و چاق، گونه های گلگون، با کار در دستانش، روی صندلی راحتی می نشست و بی وقفه صحبت می کرد و خاطرات و حتی عبارات سنت پترزبورگ را مرور می کرد. شاهزاده آندری آمد، سر او را نوازش کرد و پرسید که آیا از جاده استراحت کرده است؟ او جواب داد و همان صحبت را ادامه داد.
شش تا از کالسکه ها در ورودی ایستاده بودند. بیرون یک شب تاریک پاییزی بود. کاوشگر تیرک کالسکه را ندید. مردم با فانوس در ایوان مشغول شلوغی بودند. این خانه بزرگ با نورهایی از پنجره های بزرگش می درخشید. سالن مملو از درباریان بود که می خواستند با شاهزاده جوان خداحافظی کنند. تمام اعضای خانواده در سالن ایستاده بودند: میخائیل ایوانوویچ، ام له بورین، پرنسس ماریا و شاهزاده خانم.
شاهزاده آندری به دفتر پدرش فراخوانده شد که می خواست خصوصی با او خداحافظی کند. همه منتظر بودند تا بیرون بیایند.
وقتی شاهزاده آندری وارد دفتر شد، شاهزاده پیربا عینک پیرمرد و با لباس سفیدش که جز پسرش کسی را در آن نمی پذیرفت، پشت میز نشست و نوشت. به عقب نگاه کرد.
-داری میری؟ - و دوباره شروع به نوشتن کرد.
- اومدم خداحافظی کنم.
گونه‌اش را نشان داد: «اینجا را ببوس، متشکرم، متشکرم!»
- برای چی از من تشکر می کنی؟
«به دامن زن نمی‌چسبید که دیر نشده باشد.» خدمات حرف اول را می زند. با تشکر از شما با تشکر از شما! - و به نوشتن ادامه داد، به طوری که از قلم ترق پاش می پرید. - اگر لازم است چیزی بگویید، آن را بگویید. من می توانم این دو کار را با هم انجام دهم.»
- در مورد همسرم... از اینکه میذارمش تو بغلت شرمنده ام...
-چرا دروغ میگی؟ آنچه را که نیاز دارید بگویید.
- وقتی زمان زایمان همسرت فرا رسید، به مسکو بفرست برای یک متخصص زنان و زایمان... تا او اینجا باشد.
شاهزاده پیر ایستاد و انگار نفهمید با چشمانی خشن به پسرش خیره شد.
شاهزاده آندری که ظاهراً خجالت زده بود گفت: "من می دانم که هیچ کس نمی تواند کمک کند مگر اینکه طبیعت کمک کند." - قبول دارم که از یک میلیون مورد، یکی بدبخت است، اما این او و تخیل من است. به او گفتند در خواب دید و ترسید.
شاهزاده پیر با خود گفت: «هوم... هوم...» و به نوشتن ادامه داد. - من انجامش میدهم.
او امضا را بیرون کشید، ناگهان به سرعت به سمت پسرش برگشت و خندید.
- بد است، ها؟
- چه بد پدر؟
- همسر! - شاهزاده پیر به طور خلاصه و قابل توجه گفت.
شاهزاده آندری گفت: "من نمی فهمم."
شاهزاده گفت: "کاری نیست، دوست من، همه آنها اینطور هستند، شما ازدواج نخواهید کرد." نترس؛ من به کسی نمی گویم؛ و خودت میدونی
دستش را با دست کوچولوی استخوانی‌اش گرفت، تکان داد، با چشم‌های سریع‌اش که به نظر می‌رسید درست از میان مرد می‌دید، مستقیم به صورت پسرش نگاه کرد و دوباره با خنده‌ی سردش خندید.
پسر آهی کشید و با این آه اعتراف کرد که پدرش او را درک کرده است. پیرمرد با سرعت همیشگی به تا زدن و چاپ حروف ادامه داد و موم و مهر و کاغذ را گرفت و پرت کرد.
- چیکار کنم؟ زیبا! من همه چیز را انجام خواهم داد. هنگام تایپ ناگهانی گفت: «آرامش باش.
آندری ساکت بود: از اینکه پدرش او را درک می کرد، هم خوشحال و هم ناخوشایند بود. پیرمرد برخاست و نامه را به پسرش داد.
گفت: «گوش کن، نگران همسرت نباش، کاری که می شود کرد، انجام می شود.» حالا گوش کن: نامه را به میخائیل ایلاریونوویچ بده. من می نویسم تا به شما بگویم مکان های خوباز آن استفاده کرد و برای مدت طولانی آن را به عنوان آجودان نگه نداشت: یک موقعیت بد! به او بگویید که او را به یاد دارم و دوستش دارم. بله، بنویسید که چگونه از شما پذیرایی می کند. اگر خوب هستید خدمت کنید. پسر نیکولای آندریچ بولکونسکی از روی رحمت به کسی خدمت نمی کند. خب حالا بیا اینجا
او چنان تند تند صحبت کرد که نیمی از کلمات را تمام نکرد، اما پسرش به درک او عادت کرد. پسرش را به دفتر برد، درپوش را عقب انداخت، کشو را بیرون آورد و دفترچه ای را که با دست خط بزرگ، بلند و فشرده اش پوشیده شده بود، بیرون آورد.
"من باید قبل از تو بمیرم." بدانید که یادداشت های من اینجاست تا پس از مرگم به امپراتور تحویل داده شود. حالا یک بلیط پیاده و یک نامه: این یک جایزه برای کسی است که تاریخ جنگ های سووروف را می نویسد. ارسال به آکادمی. در اینجا سخنان من است، بعد از اینکه خودتان مطالعه کردم، سود خواهید برد.
آندری به پدرش نگفت که احتمالاً برای مدت طولانی زنده خواهد ماند. فهمید که نیازی به گفتن این حرف نیست.
او گفت: "من همه کارها را انجام خواهم داد، پدر."
-خب حالا خداحافظ! او به پسرش اجازه داد دست او را ببوسد و او را در آغوش گرفت. "یک چیز را به خاطر بسپار، شاهزاده آندری: اگر تو را بکشند، به پیر من صدمه می زند..." او ناگهان ساکت شد و ناگهان با صدای بلند ادامه داد: "و اگر بفهمم تو مانند پسرش رفتار نکردی. نیکولای بولکونسکی، من شرمنده خواهم شد! - جیغ زد.
پسر با لبخند گفت: «لازم نیست این را به من بگویی، پدر.
پیرمرد ساکت شد.
شاهزاده آندری ادامه داد: "من هم می خواستم از شما بپرسم که اگر مرا می کشند و اگر پسری دارم، همانطور که دیروز به شما گفتم او را از دست خود رها نکنید تا با شما بزرگ شود ... لطفا."
-نباید به زنم بدم؟ - پیرمرد گفت و خندید.
آنها در سکوت مقابل هم ایستادند. چشمان سریع پیرمرد مستقیماً به چشمان پسرش خیره شد. چیزی در قسمت پایین صورت شاهزاده پیر می لرزید.
- خداحافظ... برو! - ناگهان گفت. - برو! - با صدای عصبانی و بلند فریاد زد و در دفتر را باز کرد.
- چیه، چی؟ - از شاهزاده خانم و شاهزاده خانم با دیدن شاهزاده آندری و برای لحظه ای شکل پیرمردی با لباس سفید ، بدون کلاه گیس و عینک پیرمردی که برای لحظه ای خم شده بود و با صدایی عصبانی فریاد می زد ، پرسید.
شاهزاده آندری آهی کشید و جوابی نداد.
او در حالی که رو به همسرش کرد، گفت: خوب.
و این "خوب" مانند یک تمسخر سرد به نظر می رسید، گویی می گفت: "حالا حقه هایت را انجام بده."
- آندره، دژا! [آندری، در حال حاضر!] - گفت شاهزاده خانم کوچولو، رنگ پریده شد و با ترس به شوهرش نگاه کرد.
او را در آغوش گرفت. جیغ زد و بیهوش روی شانه او افتاد.
با احتیاط شانه ای را که روی آن دراز کشیده بود کنار زد، به صورتش نگاه کرد و با احتیاط او را روی صندلی نشست.
آهسته به خواهرش گفت: "خداحافظ، ماری، [خداحافظ، ماشا"]، دست در دست او را بوسید و به سرعت از اتاق بیرون رفت.
شاهزاده خانم روی صندلی دراز کشیده بود، ام له بوریان شقیقه هایش را می مالید. پرنسس ماریا، با حمایت از عروسش، با چشمان زیبای اشک آلود، همچنان به دری که شاهزاده آندری از آن بیرون آمد نگاه کرد و او را تعمید داد. از دفتر می‌توانست، مثل شلیک گلوله، صداهای خشمگین مکرر پیرمردی را که بینی‌اش می‌فشارد می‌شنید. به محض رفتن شاهزاده آندری، در دفتر به سرعت باز شد و چهره خشن پیرمردی با لباس سفید به بیرون نگاه کرد.
- ترک کرد؟ خوب، خوب! - گفت و با عصبانیت به شاهزاده خانم کوچولوی بی احساس نگاه کرد، سرش را به نشانه سرزنش تکان داد و در را به هم کوبید.

در اکتبر 1805، سربازان روسی روستاها و شهرهای سلطنتی اتریش را اشغال کردند و هنگ های جدید بیشتری از روسیه آمدند و ساکنان را با بیلتینگ سنگین کردند، در قلعه براونائو مستقر شدند. آپارتمان اصلی فرمانده کل کوتوزوف در براونائو بود.
در 11 اکتبر 1805، یکی از هنگ های پیاده نظام که به تازگی به براونائو رسیده بود، در انتظار بازرسی توسط فرمانده کل بود، در نیم مایلی شهر ایستاد. با وجود زمین و موقعیت غیر روسی (باغستان‌ها، حصارهای سنگی، سقف‌های کاشی‌کاری شده، کوه‌هایی که از دور نمایان می‌شود)، با وجود اینکه مردم غیر روسی با کنجکاوی به سربازان نگاه می‌کردند، هنگ دقیقاً همان ظاهری داشت که هر هنگ روسی در آن زمان داشت. آماده شدن برای بررسی جایی در وسط روسیه.

تعاریف و خواص توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ در یک نقطه. اثبات خواص و قضایا. ارتباط بینهایت کوچک و بینهایت کوچک ویژگی های عالی.

محتوا

همچنین ببینید: دنباله های بی نهایت کوچک - تعریف و ویژگی ها
ویژگی های دنباله های بی نهایت بزرگ

تعریف توابع بینهایت کوچک و بینهایت کوچک

اجازه دهید x 0 یک نقطه متناهی یا نامتناهی است: ∞، -∞ یا +∞.

تعریف تابع بی نهایت کوچک
تابع α (ایکس)تماس گرفت بی نهایت کوچکهمانطور که x به x تمایل دارد 0 0 ، و برابر با صفر است:
.

تعریف یک تابع بی نهایت بزرگ
تابع f (ایکس)تماس گرفت بی نهایت بزرگهمانطور که x به x تمایل دارد 0 ، اگر تابع دارای حد x → x باشد 0 ، و برابر است با بی نهایت:
.

ویژگی های توابع بی نهایت کوچک

ویژگی مجموع، تفاضل و حاصلضرب توابع بینهایت کوچک

مجموع، تفاوت و محصولتعداد محدودی از توابع بی نهایت کوچک به صورت x → x 0 یک تابع بی نهایت کوچک به صورت x → x است 0 .

این ویژگی نتیجه مستقیم خصوصیات حسابی حدود یک تابع است.

قضیه حاصلضرب تابع محدود و بی نهایت کوچک

محصول یک تابع محدود شدهدر محله سوراخ شده نقطه x 0 ، به بی نهایت کوچک، به عنوان x → x 0 ، یک تابع بی نهایت کوچک به صورت x → x است 0 .

خاصیت نشان دادن یک تابع به عنوان مجموع یک تابع ثابت و یک بی نهایت کوچک

به منظور تابع f (ایکس)حد محدودی داشت، لازم و کافی است که
,
که در آن یک تابع بی نهایت کوچک به عنوان x → x است 0 .

ویژگی های توابع بی نهایت بزرگ

قضیه ای در مورد مجموع یک تابع محدود و یک بی نهایت بزرگ

مجموع یا تفاوت یک تابع محدود در محله سوراخ شده نقطه x 0 و یک تابع بی نهایت بزرگ، به عنوان x → x 0 ، بی نهایت است عملکرد عالیبه صورت x → x 0 .

قضیه تقسیم یک تابع محدود به یک تابع بی نهایت بزرگ

اگر تابع f (ایکس)بی نهایت به اندازه x → x بزرگ است 0 و تابع g (ایکس)- به برخی از محله های سوراخ شده نقطه x محدود شده است 0 ، آن
.

قضیه تقسیم تابعی که در زیر با یک بی نهایت کوچک محدود شده است

اگر یک تابع، در برخی از محله های سوراخ شده از نقطه، توسط قدر مطلقاز زیر با یک عدد مثبت محدود شده است:
,
و تابع به صورت x → x بی نهایت کوچک است 0 :
,
و یک محله سوراخ شده از نقطه ای وجود دارد که در آن، سپس
.

ویژگی نابرابری های توابع بی نهایت بزرگ

اگر تابع بی نهایت بزرگ باشد در:
,
و توابع و در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه نابرابری را برآورده می کند:
,
سپس تابع نیز بی نهایت بزرگ است در:
.

این ملک دارای دو مورد خاص می باشد.

اجازه دهید، در یک محله سوراخ شده از نقطه، توابع را برآورده کنیم و نابرابری را برآورده کنیم:
.
سپس اگر , پس و .
اگر پس و .

رابطه بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

از دو ویژگی قبلی ارتباط بین توابع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک به دست می آید.

اگر تابعی در بی نهایت بزرگ باشد، تابع در بی نهایت کوچک است.

اگر تابعی برای و بی نهایت کوچک باشد، آنگاه تابع برای بی نهایت بزرگ است.

رابطه بین یک بی نهایت کوچک و یک تابع بی نهایت بزرگ را می توان بیان کرد به صورت نمادین:
, .

اگر یک تابع بینهایت کوچک علامت مشخصی در نقطه داشته باشد، یعنی مثبت (یا منفی) در محله سوراخ شده نقطه باشد، می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:
.
به همین ترتیب، اگر یک تابع بی‌نهایت بزرگ علامت مشخصی داشته باشد، می‌نویسند:
، یا .

سپس ارتباط نمادین بین توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ را می توان با روابط زیر تکمیل کرد:
, ,
, .

فرمول های اضافی، پیوند نمادهای بی نهایت را می توانید در صفحه پیدا کنید
"نقاط در بی نهایت و خواص آنها."

اثبات خواص و قضایا

اثبات قضیه حاصلضرب یک تابع محدود و یک بی نهایت کوچک

برای اثبات این قضیه از . همچنین از خاصیت دنباله های بی نهایت کوچک استفاده می کنیم که بر اساس آن

اجازه دهید تابع در بی نهایت کوچک باشد، و اجازه دهید تابع در یک محله سوراخ شده نقطه محدود شود:
در .

از آنجایی که یک محدودیت وجود دارد، یک محله سوراخ شده از نقطه ای که تابع در آن تعریف شده است وجود دارد. تلاقی محله ها و . سپس توابع و بر روی آن تعریف شده است.

.
,
یک دنباله بی نهایت کوچک است:
.

اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که حاصل ضرب یک دنباله محدود و یک دنباله بی نهایت کوچک، یک دنباله بی نهایت کوچک است:
.
.

قضیه ثابت شده است.

اثبات خاصیت نشان دادن یک تابع به عنوان مجموع یک تابع ثابت و یک بی نهایت کوچک

ضرورت. اجازه دهید تابع در یک نقطه حد محدود داشته باشد
.
تابع را در نظر بگیرید:
.
با استفاده از خاصیت حد اختلاف توابع، داریم:
.
یعنی یک تابع بینهایت کوچک در .

کفایت. بگذار باشد. بیایید خاصیت حد مجموع توابع را اعمال کنیم:
.

ملک ثابت شده است.

اثبات قضیه مجموع یک تابع محدود و یک بی نهایت بزرگ

برای اثبات قضیه، از تعریف هاینه از حد یک تابع استفاده می کنیم

در .

از آنجایی که یک محدودیت وجود دارد، یک محله سوراخ شده از نقطه ای که تابع در آن تعریف شده است وجود دارد. تلاقی محله ها و . سپس توابع و بر روی آن تعریف شده است.

اجازه دهید یک دنباله دلخواه همگرا به وجود داشته باشد که عناصر آن به همسایگی تعلق دارند:
.
سپس دنباله ها و تعریف می شوند. علاوه بر این، دنباله محدود است:
,
یک دنباله بی نهایت بزرگ است:
.

از آنجایی که مجموع یا اختلاف یک دنباله محدود و بی نهایت بزرگ است
.
سپس با توجه به تعریف حد یک دنباله طبق هاینه،
.

قضیه ثابت شده است.

اثبات قضیه ضریب تقسیم یک تابع محدود به یک بی نهایت بزرگ

برای اثبات این موضوع از تعریف هاینه از حد یک تابع استفاده می کنیم. همچنین از خاصیت دنباله های بی نهایت بزرگ استفاده می کنیم که طبق آن یک دنباله بی نهایت کوچک است.

اجازه دهید تابع بی‌نهایت بزرگ باشد، و اجازه دهید تابع در برخی از همسایگی‌های سوراخ شده نقطه محدود شود:
در .

از آنجایی که تابع بی نهایت بزرگ است، یک محله سوراخ شده از نقطه ای که در آن تعریف شده است وجود دارد و ناپدید نمی شود:
در .
تلاقی محله ها و . سپس توابع و بر روی آن تعریف شده است.

اجازه دهید یک دنباله دلخواه همگرا به وجود داشته باشد که عناصر آن به همسایگی تعلق دارند:
.
سپس دنباله ها و تعریف می شوند. علاوه بر این، دنباله محدود است:
,
یک دنباله با عبارات غیر صفر بی نهایت بزرگ است:
, .

از آنجایی که ضریب تقسیم یک دنباله محدود بر یک بی نهایت بزرگ یک دنباله بی نهایت کوچک است، پس
.
سپس با توجه به تعریف حد یک دنباله طبق هاینه،
.

قضیه ثابت شده است.

اثبات قضیه ضریب برای تقسیم تابعی که در زیر محدود شده است به یک بینهایت کوچک

برای اثبات این ویژگی، از تعریف هاینه از حد یک تابع استفاده می کنیم. همچنین از خاصیت دنباله های بی نهایت بزرگ استفاده می کنیم که طبق آن یک دنباله بی نهایت بزرگ است.

اجازه دهید تابع برای بی نهایت کوچک باشد، و اجازه دهید تابع به مقدار مطلق از پایین با یک عدد مثبت محدود شود، در برخی از همسایگی های سوراخ شده نقطه:
در .

با شرط، یک محله سوراخ شده از نقطه ای که تابع در آن تعریف شده است وجود دارد و ناپدید نمی شود:
در .
تلاقی محله ها و . سپس توابع و بر روی آن تعریف شده است. علاوه بر این، و .

اجازه دهید یک دنباله دلخواه همگرا به وجود داشته باشد که عناصر آن به همسایگی تعلق دارند:
.
سپس دنباله ها و تعریف می شوند. علاوه بر این، دنباله به صورت زیر محدود می شود:
,
و دنباله بی نهایت کوچک با عبارات غیر صفر است:
, .

از آنجایی که ضریب تقسیم یک دنباله محدود شده به زیر به یک بی نهایت کوچک، یک دنباله بی نهایت بزرگ است، پس
.
و اجازه دهید یک محله سوراخ شده از نقطه ای که در آن وجود دارد
در .

اجازه دهید یک دنباله دلخواه را به همگرا کنیم. سپس با شروع از مقداری N، عناصر دنباله متعلق به این همسایگی خواهند بود:
در .
سپس
در .

با توجه به تعریف حد یک تابع از نظر هاینه،
.
سپس، با خاصیت نابرابری های دنباله های بی نهایت بزرگ،
.
از آنجایی که دنباله دلخواه است، با تعریف حد یک تابع طبق هاینه، به همگرا می شود،
.

ملک ثابت شده است.

منابع:
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.

همچنین ببینید: