درس شماره 30 (جبر و تحلیل پایه پایه یازدهم)
موضوع درس: درجه ج شاخص منطقی.
هدف درس: 1 . مفهوم درجه را بسط دهید، مفهوم درجه را با توان منطقی ارائه دهید. آموزش تبدیل یک درجه با توان منطقی به ریشه و بالعکس. محاسبه توان ها با توان گویا
2. رشد حافظه و تفکر.
3. تشکیل فعالیت.
"بگذارید کسی سعی کند خط بکشد
از مدرک ریاضی، و او خواهد دید،
که بدون آنها راه دوری نخواهی رفت.» M.V. Lomonosov
در طول کلاس ها.
I. بیان موضوع و هدف درس.
II. تکرار و تثبیت مطالب تحت پوشش.
1. تجزیه و تحلیل نمونه های خانه حل نشده.
2. نظارت بر کار مستقل:
انتخاب 1.
1. معادله را حل کنید: √(2x – 1) = 3x – 12
2. حل نابرابری: √(3x – 2) ≥ 4 – x
گزینه 2.
1. معادله را حل کنید: 3 – 2x = √(7x + 32)
2. حل نابرابری: √(3x + 1) ≥ x – 1
III. یادگیری مطالب جدید.
1 . اجازه دهید بسط مفهوم اعداد را به یاد بیاوریم: N є Z є Q є R.
این به بهترین شکل توسط نمودار زیر نشان داده شده است:
طبیعی (N)
صفر
نه اعداد منفی
اعداد منفی
اعداد کسری
اعداد صحیح (Z)
غیر منطقی
منطقی (Q)
اعداد واقعی
2. که در کلاس های خردسالمفهوم توان یک عدد با توان عدد صحیح تعریف شد. الف) تعریف توان الف) با یک طبیعی، ب) با یک عدد صحیح منفی، ج) با توان صفر را به خاطر بسپارید.تاکید کنید که عبارت a n برای همه اعداد صحیح n و هر مقدار a به جز a=0 و n≤0 منطقی است.
ب) خصوصیات درجات را با توان عدد صحیح فهرست کنید.
3. کار شفاهی.
1). محاسبه: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1.
2). آن را به صورت توانی با توان منفی بنویسید:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9.
3) مقایسه با واحد: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . حال باید معنی عبارات 3 را درک کنید 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 و غیره. برای این کار باید مفهوم مدرک را به گونه ای تعمیم دهیم که همه خواص ذکر شدهدرجه. برابری را در نظر بگیرید (الف m/n ) n = a m . سپس طبق تعریف ریشه nthمنطقی است که فرض کنیم الف m/n ریشه خواهد بود درجه نهماز شماره aمتر . تعریف درجه با توان گویا ارائه شده است.
5. مثال های 1 و 2 را از کتاب درسی در نظر بگیرید.
6. اجازه دهید تعدادی از نظرات مربوط به مفهوم درجه با توان منطقی را بیان کنیم.
یادداشت 1 : برای هر a>0 و عدد گویا r عدد a r > 0
تبصره 2 : با ویژگی اصلی کسرها، عدد گویا m/n را می توان برای هر عدد طبیعی k به صورت mk/nk نوشت. سپسمقدار درجه به شکل نوشتن عدد گویا بستگی ندارد،از آنجایی که mk/nk = = nk √a mk = n √a m = m/n
نکته 3: وقتی یک اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم. (-64) را در نظر بگیرید 1/3 = 3 √-64 = -4. از طرف دیگر: 1/3 = 2/6 و سپس (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. یک تناقض می گیریم.
درس ویدیویی "نما با توان منطقی" شامل تصویری است مطالب آموزشیبرای تدریس درسی در این زمینه این درس ویدیویی حاوی اطلاعاتی در مورد مفهوم درجه با توان منطقی، ویژگی های چنین درجاتی و همچنین مثال هایی است که استفاده از مواد آموزشی را برای حل مسائل عملی توصیف می کند. هدف از این درس ویدیویی ارائه واضح و شفاف مطالب آموزشی، تسهیل توسعه و به خاطر سپردن آن توسط دانش آموزان و ایجاد توانایی حل مسائل با استفاده از مفاهیم آموخته شده است.
از مزایای اصلی درس ویدیویی، توانایی انجام بصری تبدیل و محاسبات، امکان استفاده از جلوه های انیمیشن برای بهبود کارایی یادگیری است. همراهی صوتی به توسعه گفتار ریاضی صحیح کمک می کند و همچنین جایگزینی توضیح معلم را امکان پذیر می کند و او را برای انجام کارهای فردی آزاد می کند.
درس تصویری با معرفی موضوع آغاز می شود. پیوند دادن مطالعات موضوع جدیدبا مطالبی که قبلاً مطالعه شده است، پیشنهاد می‌شود به خاطر داشته باشید که n√a در غیر این صورت با 1/n برای n طبیعی و a مثبت نشان داده می‌شود. این نمایش n-root روی صفحه نمایش داده می شود. در مرحله بعد، ما پیشنهاد می کنیم معنی عبارت a m/n را در نظر بگیریم که در آن a یک عدد مثبت و m/n یک کسری است. تعریف یک درجه با توان گویا به صورت m/n = n √a m داده شده است که در کادر برجسته شده است. توجه داشته باشید که n می تواند یک عدد طبیعی باشد و m می تواند یک عدد صحیح باشد.
پس از تعریف درجه با توان گویا، معنای آن از طریق مثال ها آشکار می شود: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. یک مثال نیز نشان داده شده است که در آن درجه نشان داده شده توسط اعشاری، به کسری مشترک تبدیل می شود تا به صورت ریشه نمایش داده شود: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثالی با توان منفی: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.
ویژگی مورد خاص هنگامی که پایه درجه صفر است به طور جداگانه نشان داده شده است. خاطرنشان می شود که این درجه فقط با یک توان کسری مثبت معنا دارد. در این مورد، مقدار آن صفر است: 0 m/n = 0.
یکی دیگر از ویژگی های یک درجه با توان گویا ذکر شده است - اینکه درجه ای با توان کسری را نمی توان با توان کسری در نظر گرفت. نمونه هایی از نشانه گذاری نادرست درجه ها آورده شده است: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.
در ادامه در درس ویدیویی، در مورد ویژگی های درجه با توان گویا بحث می کنیم. خاطرنشان می شود که ویژگی های یک درجه با توان عدد صحیح برای درجه با توان گویا نیز معتبر خواهد بود. پیشنهاد می‌شود فهرست املاکی را که در این مورد نیز معتبر هستند، یادآوری کنید:
- وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان آنها با هم جمع می شوند: a p a q =a p+q.
- تقسیم درجه ها با پایه های یکسان به یک درجه با یک پایه معین و تفاوت در توان کاهش می یابد: a p:a q =a p-q.
- اگر درجه را به توان معینی برسانیم، در نهایت به درجه ای با پایه معین و حاصل ضرب توان ها می رسیم: (a p) q =a pq.
همه این ویژگی ها برای توان هایی با توان های گویا p، q و پایه مثبت a>0 معتبر هستند. همچنین، تغییر درجه در هنگام باز کردن پرانتز درست باقی می‌ماند:
- (ab) p =a p b p - افزایش به مقداری توان با توان گویا حاصل ضرب دو عدد به حاصل ضرب اعداد کاهش می یابد که هر کدام به توان معینی افزایش می یابد.
- (a/b) p =a p /b p - افزایش کسری به توان با توان گویا به کسری تقلیل می یابد که صورت و مخرج آن به توان معین افزایش می یابد.
این آموزش تصویری حل مثال هایی را مورد بحث قرار می دهد که از ویژگی های در نظر گرفته شده توان ها با یک توان گویا استفاده می کنند. مثال اول از شما می‌خواهد که مقدار یک عبارت حاوی متغیرهای x را در توان کسری پیدا کنید: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). با وجود پیچیدگی بیان، با استفاده از ویژگی های قدرت ها می توان آن را به سادگی حل کرد. حل مسئله با ساده‌سازی عبارت آغاز می‌شود، که از قاعده افزایش توان با توان منطقی به توان و همچنین ضرب توان با پایه یکسان استفاده می‌کند. بعد از تعویض مقدار را تنظیم کنید x=8 در عبارت ساده شده x 1/3 +48، بدست آوردن مقدار - 50 آسان است.
در مثال دوم، باید کسری را کاهش دهید که صورت و مخرج آن دارای توان هایی با توان گویا هستند. با استفاده از ویژگی های درجه، از تفاوت ضریب x 1/3 را استخراج می کنیم که سپس در صورت و مخرج کاهش می یابد و با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها، صورت فاکتور می شود که کاهش های بیشتر یکسان را به دست می دهد. عوامل در صورت و مخرج نتیجه چنین تبدیل هایی کسر کوتاه x 1/4 +3 است.
به جای توضیح معلم در مورد موضوع جدید، می توان از درس تصویری "نما با توان منطقی" استفاده کرد. این راهنما همچنین حاوی اطلاعات کافی کامل برای خودخواندانشجو. این مطالب می تواند برای آموزش از راه دور نیز مفید باشد.
معلم ریاضیات: Nashkenova A.N. دبیرستان مایبالیک طرح درس با موضوع "نما با توان منطقی"
(جبر، پایه یازدهم)
اهداف درس:
گسترش و تعمیق دانش دانش آموزان در مورد قدرت اعداد؛ آشنایی دانش‌آموزان با مفهوم درجه با توان منطقی و ویژگی‌های آنها.
توسعه دانش، مهارت ها و توانایی ها برای محاسبه مقادیر عبارات با استفاده از ویژگی ها؛
به کار بر روی توسعه مهارت های تجزیه و تحلیل، مقایسه، برجسته کردن چیزهای اصلی، تعریف و توضیح مفاهیم ادامه دهید.
شکل شایستگی های ارتباطیتوانایی ارائه دلایل برای اعمال خود، پرورش استقلال و سخت کوشی.
تجهیزات: کتاب درسی، کارت های جزوه، لپ تاپ،مطالب ارائهپاورپوینت ;
نوع درس: درسی در مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید.
طرح درس:
1. سازمان. لحظه - 1 دقیقه.
2. انگیزه درس.2 دقیقه
3. به روز رسانی دانش پایه. - 5 دقیقه.
4. یادگیری مطالب جدید - 15 دقیقه.
5. دقیقه تربیت بدنی - 1 دقیقه.
6. ادغام اولیه مطالب مورد مطالعه - 10 دقیقه
7. کار مستقل. - 7 دقیقه
8. مشق شب - 2 دقیقه
9. بازتاب - 1 دقیقه.
10. خلاصه درس. - 1 دقیقه.
در طول کلاس ها
خلق و خوی عاطفی برای درس.
من آرزو دارم کار کنم، ای کاش
کار،
امروز برای شما آرزوی موفقیت دارم.
پس از همه، در آینده همه اینها برای شماست
به کار خواهد آمد.
و در آینده برای شما راحت تر خواهد بود
مطالعه(اسلاید شماره 1)
2-انگیزه درس
عملیات توان و استخراج ریشه، و همچنین چهار عملیات حسابی، در نتیجه نیاز عملی به وجود آمدند. بنابراین، همراه با مشکل محاسبه مساحت مربع، ضلعآ که مشخص است، مشکل معکوس مواجه شد: «ضلع مربع چقدر باید داشته باشد تا مساحت آن برابر باشد.V. در قرون 14 تا 15، بانک هایی در اروپای غربی ظاهر شدند که به شاهزادگان و بازرگانان پول می دادند و آنها را با نرخ های بهره بالا تامین می کردند. سفرهای طولانیو فتوحات برای تسهیل محاسبات بهره مرکب، ما جداولی را گردآوری کردیم که از آنها می‌توانید فوراً دریابید که چقدر باید از طریق آن پرداخت کنید.پ سال اگر مبلغ وام گرفته شده باشدآ توسطR % در سال مبلغ پرداختی با فرمول بیان می شود: س = a (1 + ) پ گاهی اوقات پول را نه برای چند سال کامل، بلکه به عنوان مثال برای 2 سال و 6 ماه قرض می گرفتند. اگر بعد از 2.5 سال مقدارآ مخاطب ق , سپس در 2.5 سال آینده یک سال دیگر افزایش خواهد یافتq بار و برابر خواهد شدق 2 . بعد از 5 سال:a=(1 + 5 , از همین رو q 2 = (1 + 5 و به معنای q =
(اسلاید 2) .
اینگونه بود که ایده درجه با توان کسری بوجود آمد.
3. به روز رسانی دانش پایه.
سوالات:
1. ورودی به چه معناست.آ پ
2. چیست آ ?
3. چیست پ ?
4. آ -پ =?
5. خصوصیات یک درجه با نماگر عدد صحیح را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.
6. چه اعدادی طبیعی، صحیح، گویا هستند؟ آنها را با استفاده از دایره های اویلر بکشید.(اسلاید 3)
پاسخ ها: 1. درجه با توان عدد صحیح
2. آ-پایه
3. پ- توان
4. آ -پ =
5. ویژگی های یک درجه با توان عدد صحیح:
آ متر *آ n = a (m+n) ;
آ متر : آ n = a (m-n) ( در آ نه برابر صفر );
(آ متر ) n = a (m*n) ;
(الف*ب) n = a n *ب n ;
(الف/ب) n = (الف n )/(ب n ) (در ب برابر با صفر نیست)؛
آ 1 = a;
آ 0 = 1 (با آ برابر با صفر نیست)؛
این ویژگی ها برای هر عدد a، b و هر عدد صحیح m و n معتبر خواهند بود.
6.1،2،3، ... - اعداد مثبت - مجموعه اعداد طبیعی -ن
0,-1,-2,-3,.. عدد O و اعداد منفی - مجموعه ای از اعداد صحیح -ز
س , – اعداد کسری(منفی و مثبت) - مجموعه اعداد گویا -س زن
حلقه های اویلر (اسلاید 4)
4. مطالعه مطالب جدید.
بگذار باشد. آ - یک عدد غیر منفی است و باید به عدد افزایش یابد توان کسری . آیا برابری را می دانید (آ متر ) n = a متر n (اسلاید 4) ، یعنی قانون برای افزایش قدرت به یک قدرت در برابری فوق فرض می کنیم که m = ، سپس دریافت می کنیم: (آ ) پ = a =a (اسلاید 4)
از این می توان نتیجه گرفت که اینطور استآ ریشه پ - قدرت شمارهآ ، یعنی آ = . نتیجه می شود که (آ پ ) = پ =a (اسلاید 4).
از این رو آ =(الف ) متر =(الف متر ) = متر . ( اسلاید 4 ).
بنابراین، برابری زیر برقرار است:آ = متر (اسلاید 4)
تعریف: درجه یک عدد غیر منفی آ با یک توان منطقی ، جایی که - کسری تقلیل ناپذیر، مقدار n ام ریشه یک عدد نامیده می شود آ تی .
بنابراین، طبق تعریف آ = متر (اسلاید 5)
بیایید به مثال 1 نگاه کنیم : درجه را با توان گویا به شکل ریشه n بنویسید:
1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (اسلاید 6) راه حل: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( اسلاید 7) با توان های دارای توان گویا، می توانید عملیات ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه را طبق قوانین مشابه با توان های دارای توان های عدد صحیح و توان هایی با پایه های یکسان انجام دهید:آ = a + آ = آ - (آ ) = a * (a*c) = a * V ) = آ / V جایی که p q - اعداد طبیعی، t، p اعداد صحیح هستند. (اسلاید 8) 5. دقیقه تربیت بدنینگاهت را به سمت راست بچرخان
نگاه خود را به سمت چپ بچرخانید
به سقف نگاه کرد
همه به جلو نگاه کردند.
یک بار - خم - صاف کنید،
دو ─ خم شدن - کشش،
سه تا سه ضربه دست
سه تکان سر.
پنج و شش بی سر و صدا می نشینند.
و دوباره در جاده! (اسلاید 9)
6. تلفیق اولیه مطالب مورد مطالعه:
صفحه 51، شماره 90، شماره 91 - این کار را خودتان در دفترچه خود انجام دهید،
با چک در هیئت مدیره
7. کار مستقل
انتخاب 1
(اسلاید 10)
انتخاب 1
(اسلاید 11)
اجرا کردن کار مستقلبا تایید متقابل
پاسخ ها:
انتخاب 1
(اسلاید 12)
بنابراین، امروز در درس با مفهوم درجه با توان گویا آشنا شدیم و یاد گرفتیم که آن را به صورت ریشه بنویسیم، هنگام یافتن مقادیر عبارات عددی، ویژگی های اساسی درجه ها را اعمال کنیم.8. مشق شب: شماره 92، شماره 93 اطلاعاتی درباره مشق شب
9. انعکاس
(اسلاید 13)
10. خلاصه درس:
شباهت ها و تفاوت های یک درجه با توان عدد صحیح و یک درجه با توان کسری چیست؟ (شباهت: تمام خصوصیات یک درجه با توان عدد صحیح برای درجه ای با توان گویا نیز صادق است.
تفاوت: درجه)
ویژگی های توان ها را با توان های گویا فهرست کنید
درس امروز تمام شد،
شما نمی توانید دوستانه تر باشید.
اما همه باید بدانند:
دانش، پشتکار، کار
آنها باعث پیشرفت در زندگی خواهند شد.
ممنون از درس!
(اسلاید 14)
عبارتی به شکل a (m/n)، که در آن n مقداری طبیعی، m مقداری صحیح و پایه درجه a بزرگتر از صفر است. درجه ای با توان کسری نامیده می شود.علاوه بر این، برابری زیر درست است. n√(a m) = a (m/n) .
همانطور که می دانیم اعدادی به شکل m/n که n مقداری طبیعی و m مقداری صحیح است، اعداد کسری یا گویا نامیده می شوند. از تمام موارد فوق به دست می آید که درجه برای هر توان گویا و هر پایه مثبت درجه تعریف می شود.
برای هرچی اعداد گویا p,q و هر a>0 و b>0 برابری های زیر درست است:
- 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
- 2. (a p): (b q) = a (p-q)
- 3. (a p) q = a (p*q)
- 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (a p)/(b p)
این ویژگی ها به طور گسترده در هنگام تبدیل عبارات مختلف که دارای توان با توان های کسری هستند استفاده می شود.
نمونه هایی از تبدیل عبارات حاوی توان با توان کسری
بیایید به چند مثال نگاه کنیم که نشان می دهد چگونه می توان از این ویژگی ها برای تبدیل عبارات استفاده کرد.
1. 7 (1/4) * 7 (3/4) را محاسبه کنید.
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. 9 (2/3) : 9 (1/6) را محاسبه کنید.
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. محاسبه (16 (1/3)) (9/4) .
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. 24 (2/3) را محاسبه کنید.
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. محاسبه (8/27) (1/3) .
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. عبارت ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) را ساده کنید.
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.
7. محاسبه کنید (25 (1/5))*(125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. عبارت را ساده کنید
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
- (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 +a - (1-a) = 2*a.
همانطور که می بینید، با استفاده از این ویژگی ها، می توانید به طور قابل توجهی برخی از عبارات را که دارای توان هایی با توان های کسری هستند، ساده کنید.
عبارات، تبدیل بیان
عبارات قدرت (عبارات با قدرت) و تبدیل آنها
در این مقاله در مورد تبدیل عبارات با قدرت صحبت خواهیم کرد. ابتدا، ما بر روی دگرگونی هایی تمرکز می کنیم که با عباراتی از هر نوع از جمله انجام می شوند عبارات قدرتمانند باز کردن پرانتز و آوردن اصطلاحات مشابه. و سپس تبدیل های ذاتی را به طور خاص در عبارات دارای درجه تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: کار با پایه و توان، استفاده از خواص درجه و غیره.
پیمایش صفحه.
عبارات قدرت چیست؟
اصطلاح "عبارات قدرت" عملاً در کتاب های درسی ریاضیات مدرسه ظاهر نمی شود، اما اغلب در مجموعه ای از مسائل ظاهر می شود، به ویژه مواردی که برای آماده سازی برای آزمون یکپارچه دولتی و آزمون دولتی واحد، به عنوان مثال، در نظر گرفته شده است. پس از تجزیه و تحلیل وظایفی که در آنها انجام هر عملی با عبارات قدرت ضروری است، مشخص می شود که عبارات قدرت به عنوان عباراتی حاوی قدرت در ورودی های خود درک می شوند. بنابراین، می توانید تعریف زیر را برای خود بپذیرید:
تعریف.
عبارات قدرتعباراتی هستند که دارای درجه هستند.
بدهیم نمونه هایی از عبارات قدرت. علاوه بر این، ما آنها را با توجه به چگونگی توسعه دیدگاه ها از یک درجه با توان طبیعی به یک درجه با توان واقعی ارائه خواهیم کرد.
همانطور که مشخص است، ابتدا با توان یک عدد با توان طبیعی آشنا می شود؛ در این مرحله، اولین عبارات توانی ساده از نوع 3 2، 7 5 +1، (2+1) 5، (0.1-) 4، 3 a 2 به نظر می رسد -a+a 2، x 3-1، (a 2) 3 و غیره.
کمی بعد، توان یک عدد با توان عدد صحیح مورد مطالعه قرار می گیرد که منجر به ظهور عبارات توانی با توان های صحیح منفی می شود، مانند موارد زیر: 3-2، 
, a -2 +2 b -3 +c 2 .
در دبیرستان به مدارج برمی گردند. در آنجا درجه ای با توان گویا معرفی می شود که مستلزم ظهور عبارات قدرت مربوطه است: 
, , 
و غیره در نهایت، درجاتی با توان غیر منطقی و عبارات حاوی آنها در نظر گرفته می شود: , .
موضوع به عبارات قدرت فهرست شده محدود نمی شود: متغیر بیشتر به توان نفوذ می کند و به عنوان مثال، عبارات زیر بوجود می آیند: 2 x 2 +1 یا 
. و پس از آشنایی با، عباراتی با توان ها و لگاریتم ها ظاهر می شوند، برای مثال x 2·lgx −5·x lgx.
بنابراین، ما به این سؤال پرداخته‌ایم که عبارات قدرت چه چیزی را نشان می‌دهند. در ادامه یاد خواهیم گرفت که آنها را تغییر دهیم.
انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت
با عبارات قدرت، می توانید هر یک از تبدیل هویت اصلی عبارات را انجام دهید. به عنوان مثال، می توانید براکت ها را گسترش دهید، جایگزین کنید عبارات عددیمقادیر آنها، عبارت های مشابه و غیره. طبیعتاً در این مورد لازم است رویه پذیرفته شده برای انجام اقدامات رعایت شود. بیایید مثال بزنیم.
مثال.
مقدار عبارت توان 2 3 ·(4 2 −12) را محاسبه کنید.
راه حل.
با توجه به ترتیب اجرای اکشن ها ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام دهید. در آنجا اولاً توان 4 2 را با مقدار آن 16 جایگزین می کنیم (در صورت لزوم ببینید) و ثانیاً تفاوت 16−12=4 را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
در عبارت به دست آمده، توان 2 3 را با مقدار 8 جایگزین می کنیم و پس از آن حاصل ضرب 8·4=32 را محاسبه می کنیم. این مقدار مورد نظر است.
بنابراین، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
پاسخ:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
مثال.
عبارات را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b -7 -1 +2 a 4 b -7.
راه حل.
بدیهی است که این بیانشامل عبارات مشابه 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 است و می‌توانیم به آنها بدهیم: .
پاسخ:
3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 -1.
مثال.
یک عبارت را با قدرت ها به عنوان یک محصول بیان کنید.
راه حل.
می توانید با نمایش عدد 9 به عنوان توان 3 2 و سپس استفاده از فرمول ضرب اختصاری - تفاوت مربع ها با این کار کنار بیایید: 
پاسخ:
تعدادی نیز وجود دارد تحولات هویتی، به طور خاص در عبارات قدرت ذاتی است. ما آنها را بیشتر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
کار با پایه و توان
درجاتی هستند که مبنا و/یا توان آنها فقط اعداد یا متغیرها نیستند، بلکه برخی عبارات هستند. به عنوان مثال، ورودی های (2+0.3·7) 5-3.7 و (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1) را می دهیم.
هنگام کار با چنین عباراتی، می توانید هم عبارت در پایه درجه و هم عبارت در توان را با یک عبارت یکسان در ODZ متغیرهای آن جایگزین کنید. به عبارت دیگر، طبق قوانینی که برای ما شناخته شده است، می توانیم به طور جداگانه پایه درجه و جداگانه را تبدیل کنیم. واضح است که در نتیجه این دگرگونی، عبارتی به دست می آید که برابر با عبارت اصلی است.
چنین دگرگونی هایی به ما این امکان را می دهد که عبارات را با قدرت ها ساده کنیم یا به اهداف دیگری که نیاز داریم دست یابیم. به عنوان مثال، در عبارت توان ذکر شده در بالا (2+0.3 7) 5-3.7، می توانید عملیاتی را با اعداد موجود در مبنا و توان انجام دهید که به شما امکان می دهد به توان 4.1 1.3 بروید. و پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به پایه درجه (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1)، یک عبارت ساده تر از 2·(x+) به دست می آوریم. 1) .
استفاده از ویژگی های درجه
یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با قدرت، برابری هایی است که منعکس می شوند. اجازه دهید موارد اصلی را یادآوری کنیم. برای هر اعداد مثبت a و b و اعداد حقیقی دلخواه r و s، ویژگی های توان های زیر درست است:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
توجه داشته باشید که برای نماهای طبیعی، صحیح و مثبت، محدودیت های اعداد a و b ممکن است چندان سختگیرانه نباشد. به عنوان مثال، برای اعداد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n نه تنها برای a مثبت، بلکه برای a منفی و برای a=0 نیز صادق است.
در مدرسه، تمرکز اصلی هنگام تبدیل عبارات قدرت بر توانایی انتخاب ویژگی مناسب و اعمال صحیح آن است. در این حالت، پایه های درجه ها معمولاً مثبت هستند، که اجازه می دهد از خواص درجه ها بدون محدودیت استفاده شود. همین امر در مورد تبدیل عبارات حاوی متغیرها در مبانی قدرت - ناحیه صدق می کند ارزش های قابل قبولمتغیرها معمولاً به گونه ای هستند که پایه های روی آن فقط مقادیر مثبت را می گیرند که به شما امکان می دهد آزادانه از ویژگی های درجه استفاده کنید. به طور کلی، باید دائماً از خود بپرسید که آیا می توان در این مورد از هر خاصیت درجه استفاده کرد، زیرا استفاده نادرست از خواص می تواند منجر به کاهش ارزش آموزشی و سایر مشکلات شود. این نکات به تفصیل و همراه با مثال در مقاله تبدیل عبارات با استفاده از خصوصیات درجه مورد بحث قرار گرفته است. در اینجا به بررسی چند مثال ساده بسنده می کنیم.
مثال.
عبارت a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 را به صورت توان با پایه a بیان کنید.
راه حل.
ابتدا فاکتور دوم (a 2) -3 را با استفاده از خاصیت افزایش توان به توان تبدیل می کنیم: (a 2) -3 =a 2·(-3) =a -6. عبارت قدرت اصلی به شکل 2.5 ·a -6:a -5.5 خواهد بود. بدیهی است که باقی مانده است که از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده کنیم.
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a -3.5-(-5.5) =a 2.
پاسخ:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
ویژگی های قدرت ها هنگام تبدیل عبارات قدرت هم از چپ به راست و هم از راست به چپ استفاده می شود.
مثال.
مقدار عبارت قدرت را پیدا کنید.
راه حل.
برابری (a·b) r =a r ·b r که از راست به چپ اعمال می‌شود، به ما امکان می‌دهد از عبارت اصلی به یک حاصل از شکل و بیشتر حرکت کنیم. و هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها با هم جمع می شوند: 
.
امکان تبدیل عبارت اصلی به روش دیگری وجود داشت: 
پاسخ:
.
مثال.
با توجه به عبارت قدرت a 1.5 −a 0.5 −6، یک متغیر جدید t=a 0.5 معرفی کنید.
راه حل.
درجه a 1.5 را می توان به صورت 0.5 3 نشان داد و سپس بر اساس ویژگی درجه به درجه (a r) s =a r s، از راست به چپ اعمال می شود، آن را به شکل (a 0.5) 3 تبدیل می کند. بدین ترتیب، a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. اکنون معرفی یک متغیر جدید t=a 0.5 آسان است، t 3 −t−6 را دریافت می کنیم.
پاسخ:
t 3 −t−6 .
تبدیل کسرهای حاوی توان
عبارات قدرت می توانند شامل یا نمایش کسری با توان باشند. هر یک از تبدیل‌های اساسی کسرها که ذاتی در کسری از هر نوع باشد، به طور کامل برای چنین کسرهایی قابل استفاده است. یعنی کسرهایی که دارای توان هستند را می توان کاهش داد، به مخرج جدید تقلیل داد، با صورت آنها جداگانه و با مخرج جداگانه کار کرد و غیره. برای تشریح این کلمات، راه حل هایی برای چندین مثال در نظر بگیرید.
مثال.
بیان قدرت را ساده کنید 
.
راه حل.
این عبارت قدرت یک کسری است. بیایید با صورت و مخرج آن کار کنیم. در صورت‌حساب، پرانتزها را باز می‌کنیم و عبارت به‌دست‌آمده را با استفاده از ویژگی‌های توان‌ها ساده می‌کنیم و در مخرج عبارت‌های مشابه را ارائه می‌کنیم: 
و همچنین علامت مخرج را با قرار دادن منهای جلوی کسر تغییر می دهیم: 
.
پاسخ:
.
تقلیل کسرهای حاوی توان به مخرج جدید مشابه تقلیل کسرهای گویا به مخرج جدید انجام می شود. در این صورت یک عامل اضافی نیز پیدا می شود و صورت و مخرج کسر در آن ضرب می شود. هنگام انجام این عمل، شایان ذکر است که کاهش به مخرج جدید می تواند منجر به باریک شدن VA شود. برای جلوگیری از این اتفاق، لازم است که فاکتور اضافی برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی به صفر نرسد.
مثال.
کسرها را به مخرج جدید کاهش دهید: الف) به مخرج a، ب) 
به مخرج.
راه حل.
الف) در این مورد، تشخیص اینکه کدام ضریب اضافی به دستیابی به نتیجه مطلوب کمک می کند، بسیار آسان است. این ضریب 0.3 است، زیرا 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. توجه داشته باشید که در محدوده مقادیر مجاز متغیر a (این مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت است)، توان 0.3 از بین نمی رود، بنابراین، ما حق داریم که صورت و مخرج یک داده را ضرب کنیم. کسر با این عامل اضافی: 
ب) با نگاهی دقیق تر به مخرج، متوجه خواهید شد 
و با ضرب این عبارت در مجموع مکعب ها و یعنی . و این مخرج جدیدی است که باید کسر اصلی را به آن کاهش دهیم.
به این ترتیب ما یک عامل اضافی پیدا کردیم. در محدوده مقادیر مجاز متغیرهای x و y، عبارت ناپدید نمی شود، بنابراین، می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم: 
پاسخ:
آ) 
، ب) 
.
همچنین هیچ چیز جدیدی در کاهش کسرهای حاوی توان وجود ندارد: صورت و مخرج به عنوان تعدادی عامل نشان داده می شوند و همان عوامل صورت و مخرج کاهش می یابد.
مثال.
کسر را کم کن: الف) 
، ب) .
راه حل.
الف) اولاً صورت و مخرج را می توان با اعداد 30 و 45 کاهش داد که برابر با 15 است. همچنین بدیهی است که امکان کاهش x 0.5 +1 و by نیز وجود دارد 
. این چیزی است که ما داریم: 
ب) در این حالت عوامل یکسان در صورت و مخرج بلافاصله قابل مشاهده نیستند. برای به دست آوردن آنها، باید تغییرات اولیه را انجام دهید. در این مورد، آنها عبارتند از فاکتورگیری مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع: 
پاسخ:
آ) 
ب) 
.
تبدیل کسرها به مخرج جدید و کسر کسر عمدتاً برای انجام کارها با کسرها استفاده می شود. اقدامات بر اساس قوانین شناخته شده انجام می شود. هنگام جمع (تفریق) کسرها، آنها به کاهش می یابند مخرج مشترک، پس از آن اعداد جمع می شوند (کاهش می شوند) اما مخرج ثابت می ماند. حاصل کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج ها است. تقسیم بر کسری ضرب در معکوس آن است.
مثال.
مراحل را دنبال کنید 
.
راه حل.
ابتدا کسرهای داخل پرانتز را کم می کنیم. برای این کار آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم که این است 
، پس از آن اعداد را کم می کنیم: 
حالا کسرها را ضرب می کنیم: 
بدیهی است که می توان با توان x 1/2 کاهش داد که پس از آن داریم 
.
همچنین می توانید با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، عبارت توان را در مخرج ساده کنید: 
.
پاسخ:
مثال.
بیان قدرت را ساده کنید 
.
راه حل.
بدیهی است که این کسر را می توان با (x 2.7 +1) 2 کاهش داد، این کسر را می دهد 
. واضح است که باید کار دیگری با قدرت های X انجام شود. برای انجام این کار، کسر حاصل را به یک محصول تبدیل می کنیم. این به ما این فرصت را می دهد که از ویژگی تقسیم قدرت با پایه های یکسان استفاده کنیم: 
. و در پایان فرآیند از آن حرکت می کنیم آخرین کاربه کسری.
پاسخ:
.
و این را هم اضافه کنیم که می توان و در بسیاری از موارد مطلوب است که با تغییر علامت مبدل، فاکتورهایی با توان منفی را از صورت به مخرج یا از مخرج به صورت منتقل کنیم. چنین تحولاتی اغلب اقدامات بعدی را ساده می کند. به عنوان مثال، عبارت قدرت را می توان با .
تبدیل عبارات با ریشه و قدرت
غالباً در عباراتی که به برخی تبدیل‌ها نیاز است، ریشه‌هایی با توان کسری نیز همراه با توان وجود دارد. برای تبدیل چنین عبارتی به نوع مناسب، در بیشتر موارد فقط به ریشه ها یا فقط به قدرت ها بروید. اما از آنجایی که کار با قدرت‌ها راحت‌تر است، معمولاً از ریشه‌ها به قدرت‌ها می‌روند. با این حال، توصیه می شود چنین انتقالی را زمانی انجام دهید که ODZ متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می دهد بدون نیاز به مراجعه به ماژول یا تقسیم ODZ به چندین بازه، ریشه ها را با قدرت جایگزین کنید (ما در این مورد به تفصیل در مورد بحث صحبت کردیم. انتقال مقاله از ریشه به توان و برگشت پس از آشنایی با درجه با توان گویا درجه c معرفی می شود. شاخص غیر منطقی، که به ما امکان می دهد در مورد یک مدرک با یک توان واقعی دلخواه صحبت کنیم. در این مرحله مدرسه شروع به تحصیل می کند تابع نمایی که به صورت تحلیلی با توانی به دست می آید که پایه آن یک عدد و توان آن یک متغیر است. بنابراین ما با عبارات توانی حاوی اعداد در پایه توان و در توان - عبارات با متغیر مواجه هستیم و طبیعتاً نیاز به انجام تبدیل این گونه عبارات احساس می شود.
باید گفت که تبدیل عبارات از نوع مشخص شده معمولاً باید هنگام حل انجام شود معادلات نماییو نابرابری های نمایی ، و این تبدیل ها بسیار ساده هستند. در اکثریت قریب به اتفاق موارد، آنها بر اساس ویژگی های مدرک هستند و در بیشتر موارد، با هدف معرفی یک متغیر جدید در آینده هستند. معادله به ما امکان می دهد آنها را نشان دهیم 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
اولاً، توان هایی که در نماهای آنها مجموع یک متغیر خاص (یا عبارت با متغیرها) و یک عدد است، با محصولات جایگزین می شوند. این برای اولین و آخرین عبارت عبارت در سمت چپ اعمال می شود:
5 2 x 5 1-3 5 x 7 x −14 7 2 x 7-1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
در مرحله بعد، هر دو طرف برابری با عبارت 7 2 x تقسیم می شوند، که در ODZ متغیر x برای معادله اصلی فقط مقادیر مثبت را می گیرد (این یک تکنیک استاندارد برای حل معادلات از این نوع است، ما نیستیم. اکنون در مورد آن صحبت می کنیم، بنابراین روی تغییر شکل های بعدی عبارات با قدرت تمرکز کنید: 
اکنون می‌توانیم کسرهای دارای توان را لغو کنیم، که می‌دهد 
.
در نهایت، نسبت قدرت ها با توان های یکسان با توان های روابط جایگزین می شود و در نتیجه معادله ایجاد می شود. 
، که معادل است 
. تغییرات ایجاد شده به ما امکان می دهد یک متغیر جدید را معرفی کنیم که راه حل را به اصلی کاهش می دهد معادله نماییبرای حل یک معادله درجه دوم
