نمودار تابع یک نمایش بصری از رفتار یک تابع در یک صفحه مختصات است. نمودارها به شما کمک می کنند تا جنبه های مختلف یک تابع را که نمی توان از طریق خود تابع تعیین کرد، درک کنید. شما می توانید نمودارهای بسیاری از توابع بسازید و به هر یک از آنها فرمول خاصی داده می شود. نمودار هر تابع با استفاده از یک الگوریتم خاص ساخته می شود (اگر فرآیند دقیق نمودارسازی یک تابع خاص را فراموش کرده باشید).
مراحل
ترسیم یک تابع خطی
- اگر شیب منفی باشد، تابع در حال کاهش است.
-
از نقطه ای که خط مستقیم محور Y را قطع می کند، با استفاده از فواصل عمودی و افقی، نقطه دوم را رسم کنید. برنامه تابع خطیمی توان از دو نقطه ساخت. در مثال ما، نقطه تقاطع با محور Y دارای مختصات (0.5) است. از این نقطه، 2 فاصله به بالا و سپس 1 فاصله به سمت راست حرکت دهید. علامت گذاری یک نقطه؛ مختصات (1،7) خواهد داشت. حالا می توانید یک خط مستقیم بکشید.
با استفاده از یک خط کش، یک خط مستقیم از بین دو نقطه بکشید.برای جلوگیری از اشتباه، نقطه سوم را پیدا کنید، اما در بیشتر موارد نمودار را می توان با استفاده از دو نقطه رسم کرد. بنابراین، شما یک تابع خطی ترسیم کرده اید.
ترسیم نقاط در صفحه مختصات
-
یک تابع را تعریف کنید.تابع با f(x) نشان داده می شود. تمام مقادیر ممکن متغیر "y" دامنه تابع و تمام مقادیر ممکن متغیر "x" دامنه تابع نامیده می شوند. برای مثال، تابع y = x+2، یعنی f(x) = x+2 را در نظر بگیرید.
دو خط عمود بر هم متقاطع رسم کنید.خط افقی محور X و خط عمودی محور Y است.
محورهای مختصات را برچسب بزنید.هر محور را به قطعات مساوی تقسیم کرده و شماره گذاری کنید. نقطه تقاطع محورها 0 است. برای محور X: اعداد مثبت به سمت راست (از 0) و اعداد منفی به سمت چپ رسم می شوند. برای محور Y: اعداد مثبت در بالا (از 0) و اعداد منفی در پایین رسم می شوند.
مقادیر "y" را از مقادیر "x" بیابید.در مثال ما، f(x) = x+2. مقادیر x خاص را در این فرمول جایگزین کنید تا مقادیر y مربوطه را محاسبه کنید. اگر تابع مختلط داده شد، آن را با جدا کردن "y" در یک طرف معادله ساده کنید.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
نقاط را روی صفحه مختصات رسم کنید.برای هر جفت مختصات، موارد زیر را انجام دهید: مقدار مربوطه را در محور X پیدا کنید و یک خط عمودی (نقطه دار) بکشید. مقدار مربوطه را در محور Y پیدا کنید و یک خط افقی (خط چین) رسم کنید. نقطه تقاطع دو خط نقطه چین را علامت بزنید. بنابراین، شما یک نقطه بر روی نمودار رسم کرده اید.
خطوط نقطه چین را پاک کنید.این کار را پس از رسم تمام نقاط نمودار در صفحه مختصات انجام دهید. توجه: نمودار تابع f(x) = x خط مستقیمی است که از مرکز مختصات [نقطه با مختصات (0,0)] می گذرد. نمودار f(x) = x + 2 خطی موازی با خط f(x) = x است، اما دو واحد به سمت بالا جابجا می شود و بنابراین از نقطه ای با مختصات (0،2) می گذرد (زیرا ثابت آن 2 است) .
نمودار کردن یک تابع پیچیده
صفرهای تابع را پیدا کنید.صفرهای یک تابع مقادیر متغیر x هستند که در آن y = 0 است، یعنی اینها نقاطی هستند که نمودار محور X را قطع می کند. به خاطر داشته باشید که همه توابع صفر ندارند، اما آنها اولین هستند. مرحله در فرآیند ترسیم نمودار هر تابع. برای پیدا کردن صفرهای یک تابع، آن را با صفر برابر کنید. مثلا:
مجانب افقی را پیدا کرده و علامت گذاری کنید.مجانبی خطی است که نمودار یک تابع به آن نزدیک می شود اما هرگز آن را قطع نمی کند (یعنی در این ناحیه تابع تعریف نمی شود، مثلاً هنگام تقسیم بر 0). مجانب را با خط نقطه مشخص کنید. اگر متغیر "x" در مخرج کسری باشد (برای مثال، y = 1 4 - x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) مخرج را صفر کنید و "x" را پیدا کنید. در مقادیر بدست آمده از متغیر "x" تابع تعریف نشده است (در مثال ما خطوط نقطه چین را از طریق x = 2 و x = -2 بکشید)، زیرا نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. اما مجانبی نه تنها در مواردی وجود دارد که تابع شامل است بیان کسری. بنابراین، استفاده از عقل سلیم توصیه می شود:
-
خطی بودن تابع را تعیین کنید.تابع خطی با فرمولی از فرم داده می شود F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)یا y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(به عنوان مثال، )، و نمودار آن یک خط مستقیم است. بنابراین، فرمول شامل یک متغیر و یک ثابت (ثابت) بدون هیچ توان، نشانه ریشه یا موارد مشابه است. اگر تابعی از نوع مشابه داده شود، رسم نموداری از چنین تابعی بسیار ساده است. در اینجا نمونه های دیگری از توابع خطی آورده شده است:
برای علامت گذاری نقطه ای در محور Y از یک ثابت استفاده کنید.ثابت (b) مختصات "y" نقطه ای است که نمودار محور Y را قطع می کند، یعنی نقطه ای است که مختصات "x" آن برابر با 0 است. بنابراین، اگر x = 0 به فرمول جایگزین شود. ، سپس y = b (ثابت). در مثال ما y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)ثابت برابر با 5 است، یعنی نقطه تقاطع با محور Y دارای مختصات (0.5) است. این نقطه را روی آن قرار دهید هواپیمای مختصات.
پیدا کردن شیبسر راست.برابر است با ضریب متغیر. در مثال ما y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)با متغیر "x" ضریب 2 وجود دارد. بنابراین، ضریب شیب برابر با 2 است. ضریب شیب زاویه شیب خط مستقیم به محور X را تعیین می کند، یعنی هر چه ضریب شیب بیشتر باشد، تابع سریعتر افزایش یا کاهش می یابد.
شیب را به صورت کسری بنویسید.ضریب زاویه ای برابر است با مماس زاویه شیب، یعنی نسبت فاصله عمودی (بین دو نقطه در یک خط مستقیم) به فاصله افقی (بین همان نقاط). در مثال ما، شیب 2 است، بنابراین می توانیم بگوییم که فاصله عمودی 2 و فاصله افقی 1 است. این را به صورت کسری بنویسید: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
1. تابع خطی کسری و نمودار آن
تابعی به شکل y = P(x) / Q(x)، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله ای هستند، تابع گویا کسری نامیده می شود.
احتمالاً از قبل با مفهوم اعداد گویا آشنا هستید. به همین ترتیب توابع منطقی توابعی هستند که می توان آنها را به عنوان ضریب دو چند جمله ای نشان داد.
اگر یک تابع گویا کسری ضریب دو تابع خطی باشد - چند جمله ای درجه اول، یعنی. عملکرد فرم
y = (ax + b) / (cx + d)، سپس خطی کسری نامیده می شود.
توجه داشته باشید که در تابع y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (در غیر این صورت تابع خطی می شود y = ax/d + b/d) و a/c ≠ b/d (در غیر این صورت تابع تابع ثابت است). تابع کسری خطی برای همه اعداد واقعی به جز x = -d/c تعریف شده است. نمودارهای توابع خطی کسری از نظر شکل با نمودار y = 1/x که می دانید تفاوتی ندارند. منحنی که نمودار تابع y = 1/x است نامیده می شود هایپربولی. با افزایش نامحدود x قدر مطلقتابع y = 1/x به طور نامحدود در مقدار مطلق کاهش می یابد و هر دو شاخه نمودار به محور x نزدیک می شوند: سمت راست از بالا و سمت چپ از پایین. خطوطی که شاخه های یک رویکرد هذلولی به آنها نامیده می شود مجانبی.
مثال 1.
y = (2x + 1) / (x - 3).
راه حل.
بیایید کل قسمت را انتخاب کنیم: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: جابجایی 3 واحدی به سمت راست، کشیده شدن در امتداد محور Oy 7 بار و جابجایی 2. بخش های واحد به سمت بالا
هر کسری y = (ax + b) / (cx + d) را می توان به روشی مشابه نوشت و "قسمت صحیح" را برجسته کرد. در نتیجه، نمودارهای تمام توابع خطی کسری هذلولی هستند که به طرق مختلف در امتداد محورهای مختصات جابجا شده و در امتداد محور Oy کشیده شده‌اند.
برای ساختن یک نمودار از هر دلخواه تابع خطی کسریتغییر کسری که این تابع را تعریف می کند اصلاً ضروری نیست. از آنجایی که می دانیم که نمودار یک هذلولی است، کافی است خطوط مستقیمی را که شاخه های آن به آن نزدیک می شوند پیدا کنیم - مجانب هذلولی x = -d/c و y = a/c.
مثال 2.
مجانب نمودار تابع y = (3x + 5)/(2x + 2) را بیابید.
راه حل.
تابع در x = -1 تعریف نشده است. این بدان معنی است که خط مستقیم x = -1 به عنوان مجانبی عمودی عمل می کند. برای یافتن مجانب افقی، بیایید دریابیم که وقتی آرگومان x در مقدار مطلق افزایش می یابد، مقادیر تابع y(x) به چه چیزی نزدیک می شود.
برای این کار، صورت و مخرج کسر را بر x تقسیم کنید:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
به عنوان x → ∞ کسر به 3/2 تمایل خواهد داشت. این بدان معنی است که مجانب افقی خط مستقیم y = 3/2 است.
مثال 3.
تابع y = (2x + 1)/(x + 1) را رسم کنید.
راه حل.
بیایید "قسمت کامل" کسری را انتخاب کنیم:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 - 1 / (x + 1).
اکنون به راحتی می توان دریافت که نمودار این تابع از نمودار تابع y = 1/x با تبدیل های زیر به دست می آید: تغییر 1 واحد به چپ، نمایش متقارن نسبت به Ox و جابجایی با 2 واحد در امتداد محور Oy به سمت بالا تقسیم می شود.
دامنه D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
محدوده مقادیر E(y) = (-∞؛ 2)ᴗ(2; +∞).
نقاط تقاطع با محورها: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2؛ 0). تابع در هر بازه دامنه تعریف افزایش می یابد.
پاسخ: شکل 1.
2. تابع گویا کسری
یک تابع گویا کسری به شکل y = P(x) / Q(x) را در نظر بگیرید، که در آن P(x) و Q(x) چند جمله‌ای با درجه بالاتر از اول هستند.
نمونه هایی از این توابع منطقی:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) یا y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
اگر تابع y = P(x) / Q(x) نشان دهنده ضریب دو چندجمله ای با درجه بالاتر از اولین باشد، نمودار آن معمولاً پیچیده تر است و گاهی اوقات ساختن دقیق آن دشوار است. ، با تمام جزئیات با این حال، اغلب استفاده از تکنیک های مشابه با تکنیک هایی که قبلاً در بالا معرفی کردیم، کافی است.
بگذارید کسر یک کسر مناسب باشد (n< m). Известно, что любую несократимую کسر گویامی توان تصور کرد و علاوه بر آن تنها راه، به صورت مجموع عدد محدود کسرهای ابتداییکه شکل آن با تجزیه مخرج کسری Q(x) به حاصل ضرب عوامل واقعی مشخص می شود:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
بدیهی است که نمودار یک تابع گویا کسری را می توان به عنوان مجموع نمودارهای کسرهای ابتدایی به دست آورد.
رسم نمودارهای توابع گویا کسری
بیایید چندین روش برای ساختن نمودارهای یک تابع گویا کسری در نظر بگیریم.
مثال 4.
نموداری از تابع y = 1/x 2 رسم کنید.
راه حل.
ما از نمودار تابع y = x 2 برای ساختن نمودار y = 1/x 2 استفاده می کنیم و از تکنیک "تقسیم" نمودارها استفاده می کنیم.
دامنه D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
محدوده مقادیر E(y) = (0؛ +∞).
هیچ نقطه تقاطعی با محورها وجود ندارد. عملکرد یکنواخت است. برای همه x از بازه (-∞؛ 0) افزایش می یابد، برای x از 0 به +∞ کاهش می یابد.
پاسخ: شکل 2.
مثال 5.
تابع y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) را رسم کنید.
راه حل.
دامنه D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = -(x - 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
در اینجا از تکنیک فاکتورسازی، کاهش و کاهش به یک تابع خطی استفاده کردیم.
پاسخ: شکل 3.
مثال 6.
تابع y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) را رسم کنید.
راه حل.
دامنه تعریف D(y) = R است. از آنجایی که تابع زوج است، نمودار متقارن نسبت به مختصات است. قبل از ساختن یک نمودار، بیایید دوباره عبارت را تغییر دهیم و کل قسمت را برجسته کنیم:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
توجه داشته باشید که جداسازی قسمت صحیح در فرمول یک تابع گویا کسری یکی از اصلی‌ترین موارد هنگام ساخت نمودار است.
اگر x → ±∞، آنگاه y → 1، یعنی. خط مستقیم y = 1 مجانبی افقی است.
پاسخ: شکل 4.
مثال 7.
بیایید تابع y = x/(x 2 + 1) را در نظر بگیریم و سعی کنیم به دقت بزرگترین مقدار آن را پیدا کنیم. بیشترین نقطه اوجنیمه سمت راست نمودار برای ساخت دقیق این نمودار، دانش امروزی کافی نیست. بدیهی است که منحنی ما نمی تواند بسیار بالا "بالا" شود، زیرا مخرج به سرعت شروع به "سبقت گرفتن" از صورت می کند. بیایید ببینیم آیا مقدار تابع می تواند برابر با 1 باشد. برای این کار باید معادله x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 را حل کنیم. این معادله ندارد. ریشه های واقعی. این بدان معناست که فرض ما نادرست است. برای یافتن بیشترین پراهمیتتابع، باید دریابید که معادله A = x/(x 2 + 1) در کدام بزرگ ترین A راه حل خواهد داشت. اجازه دهید معادله اصلی را با معادله درجه دوم جایگزین کنیم: Аx 2 – x + А = 0. این معادله زمانی جواب دارد که 1 – 4A 2 ≥ 0 باشد. بالاترین ارزش A = 1/2. 
پاسخ: شکل 5، حداکثر y(x) = ½.
هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه توابع را نمودار کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.
تابع y=x^2 را تابع درجه دوم می نامند. برنامه تابع درجه دومسهمی است فرم کلیسهمی در شکل زیر نشان داده شده است.
تابع درجه دوم
شکل 1. نمای کلی سهمی
همانطور که از نمودار مشخص است، نسبت به محور Oy متقارن است. محور Oy را محور تقارن سهمی می نامند. این بدان معناست که اگر یک خط مستقیم روی نمودار به موازات محور Ox بالای این محور بکشید. سپس سهمی را در دو نقطه قطع خواهد کرد. فاصله این نقاط تا محور Oy یکسان خواهد بود.
محور تقارن نمودار سهمی را به دو قسمت تقسیم می کند. این قسمت ها را شاخه های سهمی می نامند. و نقطه سهمی که روی محور تقارن قرار دارد راس سهمی نامیده می شود. یعنی محور تقارن از راس سهمی عبور می کند. مختصات این نقطه (0;0) می باشد.
ویژگی های اساسی یک تابع درجه دوم
1. در x=0، y=0، و y>0 در x0
2. تابع درجه دوم در راس خود به حداقل مقدار خود می رسد. Ymin در x=0; همچنین باید توجه داشت که تابع دارای حداکثر مقدار نیست.
3. تابع در بازه (-∞;0] کاهش می یابد و در بازه افزایش می یابد با حل معادله \(x"\left(t \right) = 0,\) نقاط ثابت تابع \(x\ را تعیین می کنیم. left(t \right):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\؛ (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] برای \ (t = 1\) تابع \ (x\left(t \right)\) به حداکثر برابر با \ و در نقطه \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) می رسد. حداقل برابر با \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] مشتق \(y"\left(t \right):\) \ را در نظر بگیرید [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] نقاط ثابت تابع \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\فلش راست 3) را پیدا کنید (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ؛ (\ فلش راست (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3).) \] در اینجا، به طور مشابه، تابع \(y\left(t \right)\) در نقطه \(t = -2:\) \ و حداقل در نقطه \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \راست) ) = ((\ چپ ((\frac(2)(3)) \راست)^3) + 2(\ چپ((\frac(2)(3)) \راست)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3 ) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3)) = ( - \frac((40))((27)).) \] نمودارهای توابع \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) به صورت شماتیک در شکل \(15a.\) نشان داده شده است.
شکل 15 الف |
شکل 15b |
Fig.15c |
توجه داشته باشید که از آنجایی که \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] سپس منحنی \(y\left(x \right)\) هیچ عمودی ندارد، بدون مجانب افقی علاوه بر این، از آنجایی که \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) = ( \lim\limits_(t \ تا \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t)) ) = (\lim\limits_(t \ تا \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)((((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1،) \] \[ (b = \lim\limits_(t \ تا \pm \infty) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (آبی)(t^3)) + \color(قرمز)(2(t^2)) - \color(سبز)(4t) - \cancel(\color(آبی)(t^3)) - \ color (قرمز)(t^2) + \color(سبز)(t)) \راست) ) = (\lim\limits_(t \pm \pm \infty ) \left((\color(قرمز)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] سپس منحنی \(y\left(x \right)\) نیز مجانبی مورب ندارد.
بیایید نقاط تلاقی نمودار \(y\left(x \right)\) را با محورهای مختصات تعیین کنیم. تقاطع با محور x در نقاط زیر رخ می دهد: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\ فلش راست D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \راست) = 20,)\;\; (\ فلش راست (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\پیکان راست D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \راست) = 5,)\;\; (\ فلش راست (t_(2،3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\اندازه عادی.) \)
در بازه دوم \(\left(( - 2, - 1) \right)\) متغیر \(x\) از \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) به \ افزایش می‌یابد. (x \left(( - 1) \right) = 1,\) و متغیر \(y\) از \(y\left(( - 2) \right) = 8\) به \(y\left کاهش می یابد (( - 1) \right) = 5.\) در اینجا ما بخشی از یک منحنی کاهشی داریم \(y\left(x \right).\) این منحنی محور ارتین را در نقطه \(\left((0.3) قطع می کند. + 2\sqrt 5 ) \راست).\)
در بازه سوم \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) هر دو متغیر کاهش می یابند. مقدار \(x\) از \(x\left(( - 1) \right) = 1\) به \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right تغییر می کند ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) بر این اساس، مقدار \(y\) از \(y\left(( - 1) \right) = 5\) به کاهش می یابد \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \راست) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) منحنی \(y\left(x \right)\ ) مبدا مختصات را قطع می کند.
در فاصله چهارم \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) متغیر \(x\) از \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) به \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) و متغیر \(y\) از \(y\left((( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \راست) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) تا \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) در این بخش، منحنی \(y\left(x \right)\) محور ارتین را قطع می کند. نقطه \(\چپ( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \راست).\)
در نهایت، در آخرین بازه \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) هر دو تابع \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) افزایش می یابد. منحنی \(y\left(x\right)\) محور x را در نقطه \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \تقریباً 2.18.\) قطع می کند.
برای روشن شدن شکل منحنی \(y\left(x\right)\)، اجازه دهید حداکثر و حداقل نقاط را محاسبه کنیم. مشتق \(y"\left(x \right)\) به صورت \[ (y"\left(x \right) = (y"_x)) = (\frac(((y"_t))) بیان می شود. ( ((x"_t))) = (\frac(((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \راست))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \راست))^\prime )))) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ راست)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \راست)))) = (\frac(( \ چپ((t + 2) \راست)\چپ((t - \frac(2)(3)) \راست)))(\left((t + 1) \راست)\چپ((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] تغییر در علامت مشتق \(y"\left(x \right)\) در شکل \(15c.\) نشان داده شده است. مشاهده می شود که در نقطه \(t = - 2,\) i.e. در مرز بازه های \(I\) -th و \(II\) -th منحنی دارای حداکثر است و در \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (در اندازه مرز \(IV\) th و \(V\)th بازه) حداقل وجود دارد. هنگام عبور از نقطه \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\)، مشتق نیز علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، اما در این ناحیه منحنی \(y\left(x \right) \) یک تابع منحصر به فرد نیست. بنابراین، نقطه اشاره شده یک افراط نیست.
تحدب این منحنی را نیز بررسی می کنیم. مشتق دوم\(y""\left(x \right)\) به شکل زیر است: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac(((((\left( ( (y"_x)) \راست))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \راست))^\prime )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ راست ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \راست)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \راست))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \راست)))(((\ چپ((3(t^2) + 2t - 1) \راست))^3))) = \ frac((\cancel(\color(آبی)(18(t^3))) + \color(قرمز)(24(t^2)) + \color(سبز)(2t) - \color(سوراخی) ( 4) - \cancel(\color(آبی)(18(t^3))) - \color(قرمز)(30(t^2)) + \color(سبز)(16t) + \color(سوراخی) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \راست))^3))) = \frac(( - \color(قرمز)(6(t^2 ) ) + \color(سبز)(18t) + \color(رنگ قهوه ای)(4)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \راست))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \راست)))(((\left((t + 1) \راست))^3)((\left((3t - 1) \راست))^3))). \] در نتیجه، مشتق دوم هنگام عبور از نقاط زیر علامت خود را به عکس تغییر می دهد (شکل\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \راست ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \راست) \تقریبا 0.24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \راست) \تقریبا 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \راست) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \راست) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \راست) \تقریبا 40.1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \تقریبا 40.8.) \] بنابراین، نقاط نشان داده شده نشان دهنده نقاط عطف منحنی \(y\left( x \راست).\)
نمودار شماتیک منحنی \(y\left(x\right)\) در بالا در شکل \(15b.\) نشان داده شده است.
