دستورالعمل ها

اول از همه، شایان ذکر است که سطح جانبی هرم با چندین مثلث نشان داده می شود که بسته به داده های شناخته شده، می توان مناطق آن را با استفاده از فرمول های مختلف پیدا کرد:

S = (a*h)/2، که در آن h ارتفاع کاهش یافته به سمت a است.

S = a*b*sinβ، که در آن a، b اضلاع مثلث هستند و β زاویه بین این اضلاع است.

S = (r*(a + b + c))/2، که در آن a، b، c اضلاع مثلث هستند و r شعاع دایره محاط شده در این مثلث است.

S = (a*b*c)/4*R، که در آن R شعاع مثلثی است که دور دایره محصور شده است.

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (اگر مثلث قائم الزاویه باشد).

S = S = (a²*√3)/4 (اگر مثلث متساوی الاضلاع باشد).

در واقع، اینها تنها اساسی ترین فرمول های شناخته شده برای یافتن مساحت یک مثلث هستند.

با محاسبه مساحت تمام مثلث هایی که وجه های هرم هستند با استفاده از فرمول های بالا، می توانید شروع به محاسبه مساحت این هرم کنید. این کار بسیار ساده انجام می شود: شما باید مساحت تمام مثلث هایی را که تشکیل می شوند جمع کنید سطح جانبیاهرام. این را می توان با فرمول بیان کرد:

Sp = ΣSi، جایی که Sp مساحت سطح جانبی است، Si مساحت مثلث i ام است که بخشی از سطح جانبی آن است.

برای وضوح بیشتر، می‌توانیم یک مثال کوچک در نظر بگیریم: یک هرم منظم که وجه‌های جانبی آن توسط مثلث‌های متساوی الاضلاع تشکیل شده‌اند و در قاعده آن یک مربع قرار دارد. طول لبه این هرم 17 سانتی متر است که برای یافتن مساحت سطح جانبی این هرم لازم است.

راه حل: طول لبه این هرم مشخص است، معلوم است که وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است. بنابراین، می توان گفت که تمام اضلاع همه مثلث ها در سطح جانبی برابر با 17 سانتی متر است، بنابراین، برای محاسبه مساحت هر یک از این مثلث ها، باید از فرمول استفاده کنید:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 سانتی متر مربع

مشخص است که در قاعده هرم یک مربع قرار دارد. بنابراین، واضح است که چهار مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد. سپس مساحت سطح جانبی هرم به صورت زیر محاسبه می شود:

125.137 سانتی متر مربع * 4 = 500.548 سانتی متر مربع

پاسخ: سطح جانبی هرم 500.548 سانتی متر مربع است

ابتدا مساحت سطح جانبی هرم را محاسبه می کنیم. سطح جانبی مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. اگر با یک هرم منتظم سر و کار دارید (یعنی هرمی که یک چند ضلعی منتظم در قاعده خود دارد و راس آن به مرکز این چند ضلعی برآمده است)، برای محاسبه کل سطح جانبی کافی است محیط آن را ضرب کنید. قاعده (یعنی مجموع طول تمام ضلع های چند ضلعی که در هرم قاعده قرار دارد) بر ارتفاع وجه جانبی (در غیر این صورت آپوتم نامیده می شود) و مقدار حاصل را بر 2 تقسیم کنید: Sb = 1/2P* h، جایی که Sb مساحت سطح جانبی است، P محیط پایه، h ارتفاع وجه جانبی (آپوتم) است.

اگر یک هرم دلخواه در مقابل خود دارید، باید مساحت تمام صورت ها را جداگانه محاسبه کنید و سپس آنها را جمع کنید. از آنجایی که وجوه جانبی هرم مثلث است، از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: S=1/2b*h که b قاعده مثلث و h ارتفاع آن است. وقتی مساحت تمام وجوه محاسبه شد، تنها چیزی که باقی می ماند جمع کردن آنهاست تا مساحت سطح جانبی هرم به دست آید.

سپس باید مساحت پایه هرم را محاسبه کنید. انتخاب فرمول برای محاسبه بستگی به این دارد که کدام چند ضلعی در قاعده هرم قرار دارد: منظم (یعنی یکی با تمام ضلع های یکسان) یا نامنظم. مساحت یک چند ضلعی منظم را می توان با ضرب محیط در شعاع دایره محاطی شده در چند ضلعی و تقسیم مقدار حاصل بر 2 محاسبه کرد: Sn = 1/2P*r، جایی که Sn مساحت چند ضلعی، P محیط، و r شعاع دایره محاطی در چند ضلعی است.

هرم بریده به چند وجهی گفته می شود که توسط یک هرم و مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است. یافتن سطح جانبی هرم به هیچ وجه دشوار نیست. بسیار ساده است: مساحت برابر است با حاصلضرب نصف مجموع پایه ها. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی را در نظر بگیریم. فرض کنید به ما یک هرم منظم داده شده است. طول پایه b = 5 سانتی متر، c = 3 سانتی متر است، آپوتم a = 4 سانتی متر است، برای پیدا کردن مساحت سطح جانبی هرم، ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید. در پایه بزرگ برابر با p1=4b=4*5=20 سانتی متر خواهد بود و در پایه کوچکتر فرمول به صورت زیر خواهد بود: p2=4c=4*3=12 سانتی متر بنابراین مساحت برابر با : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 سانتی متر.

سطح هرم. در این مقاله به مشکلات اهرام معمولی خواهیم پرداخت. یادآوری می کنم که هرم منتظم هرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است، بالای هرم به مرکز این چند ضلعی برآمده است.

وجه جانبی چنین هرمی یک مثلث متساوی الساقین است.ارتفاع این مثلث که از رأس یک هرم منتظم کشیده شده است، آپوتم نامیده می شود، SF - آپوتم:

در نوع مشکل ارائه شده در زیر، باید سطح کل هرم یا مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید. این وبلاگ قبلاً چندین مشکل در مورد اهرام معمولی را مورد بحث قرار داده است، جایی که سؤال در مورد یافتن عناصر (ارتفاع، لبه پایه، لبه کناری) بود.

که در تکالیف آزمون دولتی واحدبه عنوان یک قاعده، اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم در نظر گرفته می شود. من هیچ مشکلی با هرم های پنج ضلعی و هفت ضلعی منظم ندیده ام.

فرمول مساحت کل سطح ساده است - باید مجموع مساحت پایه هرم و مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید:

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

اضلاع قاعده هرم چهار گوش منتظم 72 و لبه های کناری 164 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

مساحت سطح هرم برابر است با مجموع مساحت سطح جانبی و قاعده:

*سطح جانبی از چهار مثلث با مساحت مساوی تشکیل شده است. قاعده هرم مربع است.

می توانیم مساحت ضلع هرم را با استفاده از موارد زیر محاسبه کنیم:

بنابراین، سطح هرم عبارت است از:

جواب: 28224

اضلاع قاعده یک هرم شش ضلعی منتظم برابر با 22، لبه های جانبی برابر با 61 است. مساحت سطح جانبی این هرم را پیدا کنید.

قاعده هرم شش ضلعی منتظم یک شش ضلعی منتظم است.

سطح جانبی این هرم از شش ناحیه مثلث مساوی با ضلع های 61،61 و 22 تشکیل شده است:

بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هرون پیدا کنیم:

بنابراین، سطح جانبی عبارت است از:

جواب: 3240

*در مشکلات ارائه شده در بالا، مساحت وجه جانبی را می توان با استفاده از فرمول مثلث دیگری پیدا کرد، اما برای این کار باید ابهام را محاسبه کنید.

27155. مساحت یک هرم چهار گوش منتظم را پیدا کنید که اضلاع قاعده آن 6 و ارتفاع آن 4 است.

برای یافتن سطح هرم باید مساحت قاعده و مساحت سطح جانبی را بدانیم:

مساحت پایه 36 است زیرا مربعی با ضلع 6 است.

سطح جانبی از چهار وجه تشکیل شده است که عبارتند از مثلث های مساوی. برای پیدا کردن مساحت چنین مثلثی، باید قاعده و ارتفاع آن (آپوتم) را بدانید:

*مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع کشیده شده به این پایه.

پایه معلوم است، برابر با شش است. بیایید ارتفاع را پیدا کنیم. در نظر بگیریم راست گوشه(با رنگ زرد مشخص شده است):

یک پا برابر است با 4، زیرا این ارتفاع هرم است، دیگری برابر با 3 است، زیرا برابر با نیمی از لبه پایه است. ما می توانیم فرضیه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

بنابراین، سطح کل هرم عبارت است از:

جواب: 96

27069. اضلاع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم برابر با 10، لبه های کناری برابر با 13 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

27070. اضلاع قاعده هرم شش ضلعی منتظم برابر با 10، لبه های جانبی برابر با 13 است. مساحت سطح جانبی این هرم را بیابید.

همچنین فرمول هایی برای مساحت سطح جانبی یک هرم معمولی وجود دارد. که در هرم صحیحپایه یک برآمدگی متعامد از سطح جانبی است، بنابراین:

پ- محیط پایه، ل- شعار هرم

*این فرمول بر اساس فرمول مساحت یک مثلث است.

اگر می خواهید در مورد نحوه استخراج این فرمول ها بیشتر بدانید، آن را از دست ندهید، انتشار مقالات را دنبال کنید.همین. موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

به چه شکلی هرم می گوییم؟ اولاً این یک چند وجهی است. ثانیاً، در پایه این چند وجهی یک چندضلعی دلخواه وجود دارد و اضلاع هرم (وجه های جانبی) لزوماً شکل مثلث هایی دارند که در یک راس مشترک همگرا می شوند. اکنون، با درک این اصطلاح، بیایید دریابیم که چگونه مساحت سطح هرم را پیدا کنیم.

واضح است که سطح آن چنین است بدنه هندسیاز مجموع مساحت پایه و کل سطح جانبی آن تشکیل خواهد شد.

محاسبه مساحت قاعده هرم

انتخاب فرمول محاسبه به شکل چند ضلعی زیر هرم ما بستگی دارد. این می تواند منظم باشد، یعنی با اضلاع با طول یکسان یا نامنظم. بیایید هر دو گزینه را در نظر بگیریم.

پایه یک چند ضلعی منظم است

از جانب دوره مدرسهشناخته شده:

• مساحت مربع برابر با طول مربع ضلع آن خواهد بود.
• مربع مثلث متساوی الاضلاعبرابر مربع ضلع آن تقسیم بر 4 و ضرب در ریشه دوماز سه

اما همچنین وجود دارد فرمول کلیبرای محاسبه مساحت هر چند ضلعی منظم (Sn): باید محیط این چند ضلعی (P) را در شعاع دایره ای که در آن حک شده است ضرب کنید (r) و سپس نتیجه را بر دو تقسیم کنید: Sn= 1/2P*r.

در پایه یک چند ضلعی نامنظم است

طرحی برای یافتن مساحت آن بدین صورت است که ابتدا کل چند ضلعی را به مثلث ها تقسیم می کنیم، مساحت هر یک از آنها را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: 1/2a*h (که در آن a پایه مثلث است، h ارتفاع کاهش یافته به این پایه)، تمام نتایج را جمع کنید.

سطح جانبی هرم

حالا بیایید مساحت سطح جانبی هرم را محاسبه کنیم، یعنی. مجموع مساحت تمام اضلاع جانبی آن. همچنین 2 گزینه در اینجا وجود دارد.

1. بگذارید یک هرم دلخواه داشته باشیم، یعنی. یکی با چند ضلعی نامنظم در قاعده خود. سپس باید مساحت هر صورت را جداگانه محاسبه کنید و نتایج را اضافه کنید. از آنجایی که اضلاع یک هرم، طبق تعریف، فقط می توانند مثلث باشند، محاسبه با استفاده از فرمول فوق انجام می شود: S=1/2a*h.
2. بگذارید هرم ما درست باشد، یعنی. در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد و برآمدگی بالای هرم در مرکز آن قرار دارد. سپس برای محاسبه مساحت سطح جانبی (Sb) کافی است نصف حاصلضرب محیط چندضلعی پایه (P) و ارتفاع (h) ضلع جانبی (برای همه وجوه یکسان است) ): Sb = 1/2 P*h. محیط یک چند ضلعی با جمع کردن طول همه اضلاع آن تعیین می شود.

مساحت کل یک هرم منظم با جمع مساحت قاعده آن با مساحت کل سطح جانبی بدست می آید.

مثال ها

به عنوان مثال، بیایید سطح چند هرم را به صورت جبری محاسبه کنیم.

سطح یک هرم مثلثی شکل

در قاعده چنین هرمی یک مثلث قرار دارد. با استفاده از فرمول So=1/2a*h مساحت پایه را پیدا می کنیم. از همین فرمول برای یافتن مساحت هر وجه هرم که شکل مثلثی هم دارد استفاده می کنیم و 3 ناحیه S1، S2 و S3 به دست می آوریم. مساحت سطح جانبی هرم حاصل مجموع همه مناطق است: Sb = S1 + S2 + S3. با افزودن نواحی اضلاع و پایه، به دست می آوریم مساحت کاملسطح هرم مورد نظر: Sp= So+ Sb.

سطح یک هرم چهار گوش

مساحت سطح جانبی از مجموع 4 عبارت است: Sb = S1 + S2 + S3 + S4 که هر کدام با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه می شود. و بسته به شکل چهارضلعی - منظم یا نامنظم، باید به دنبال ناحیه پایه باشید. مساحت کل هرم مجدداً با افزودن مساحت پایه و کل سطح هرم داده شده به دست می آید.

هرم مثلثیچندوجهی است که قاعده آن مثلثی منظم است.

در چنین هرمی، لبه های پایه و لبه های اضلاع با یکدیگر برابر هستند. بر این اساس، مساحت وجوه جانبی از مجموع مساحت سه مثلث یکسان به دست می آید. با استفاده از فرمول می توانید سطح جانبی یک هرم معمولی را پیدا کنید. و می توانید محاسبه را چندین برابر سریعتر انجام دهید. برای انجام این کار، باید فرمول سطح جانبی را اعمال کنید هرم مثلثی:

جایی که p محیط قاعده است که همه اضلاع آن برابر با b است، a آپوتم است که از بالا به این پایه پایین آمده است. بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: بگذارید یک هرم منظم داده شود. ضلع مثلث در قاعده b = 4 سانتی متر است، نقطه پایانی هرم a = 7 سانتی متر است. مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، طول تمام عناصر لازم را می دانیم، محیط را پیدا خواهیم کرد. به یاد می آوریم که در یک مثلث منظم همه اضلاع برابر هستند و بنابراین، محیط با فرمول محاسبه می شود:

بیایید داده ها را جایگزین کرده و مقدار را پیدا کنیم:

اکنون، با دانستن محیط، می توانیم مساحت سطح جانبی را محاسبه کنیم:

برای اعمال فرمول مساحت یک هرم مثلثی برای محاسبه مقدار کامل، باید مساحت قاعده چند وجهی را پیدا کنید. برای این کار از فرمول استفاده کنید:

فرمول مساحت قاعده هرم مثلثی ممکن است متفاوت باشد. می توان از هر گونه محاسبه پارامتر برای یک رقم معین استفاده کرد، اما اغلب این مورد نیاز نیست. بیایید مثالی از محاسبه مساحت قاعده یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: در هرم منظم، ضلع مثلث در قاعده a = 6 سانتی متر است. مساحت قاعده را محاسبه کنید.
برای محاسبه فقط به طول ضلع مثلث منظم واقع در قاعده هرم نیاز داریم. بیایید داده ها را در فرمول جایگزین کنیم:

اغلب شما باید مساحت کل یک چند وجهی را پیدا کنید. برای انجام این کار، باید مساحت سطح جانبی و پایه را اضافه کنید.

بیایید مثالی از محاسبه مساحت یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

مشکل: بگذارید یک هرم مثلثی منظم داده شود. ضلع قاعده b = 4 سانتی متر است، آپوتم a = 6 سانتی متر است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.
ابتدا بیایید مساحت سطح جانبی را با استفاده از فرمول از قبل شناخته شده پیدا کنیم. بیایید محیط را محاسبه کنیم:

داده ها را با فرمول جایگزین کنید:
حالا بیایید مساحت پایه را پیدا کنیم:
با دانستن مساحت پایه و سطح جانبی، مساحت کل هرم را پیدا می کنیم:

هنگام محاسبه مساحت یک هرم منظم، نباید فراموش کنید که پایه یک مثلث منظم است و بسیاری از عناصر این چند وجهی با یکدیگر برابر هستند.

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی هرم را در نظر بگیریم.

بگذارید یک هرم با پایه ABCDE و F بالا داده شود. AB =BC =CD =DE =EA =3 سانتی متر آپوتم a = 5 سانتی متر مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید ناحیه جانبی هرم را پیدا کنید:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منتظم از قاعده ای تشکیل شده است که در آن یک مثلث منظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه قاعده b = 2 سانتی متر داده می شود. مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. در این صورت خواهد بود:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم: