قبل از مطالعه سوالات مربوط به این شکل هندسی و ویژگی های آن، باید برخی از اصطلاحات را درک کنید. وقتی شخصی در مورد یک هرم می شنود، ساختمان های عظیمی را در مصر تصور می کند. این همان چیزی است که ساده ترین آنها به نظر می رسد. اما آنها اتفاق می افتد انواع متفاوتو اشکال، یعنی فرمول محاسبه برای اشکال هندسی متفاوت خواهد بود.

هرم - شکل هندسی ، نشان دهنده و نشان دهنده چند چهره است. در اصل، این همان چند وجهی است که در پایه آن یک چند ضلعی قرار دارد و در طرفین مثلث هایی وجود دارد که در یک نقطه به هم متصل می شوند - راس. شکل در دو نوع اصلی ارائه می شود:

• درست؛
• کوتاه شده

در حالت اول، پایه یک چند ضلعی منظم است. در اینجا تمام سطوح جانبی برابر هستندبین خود و خود چهره، چشم یک کمال گرا را خشنود می کند.

در مورد دوم، دو پایه وجود دارد - یکی بزرگ در پایین و دیگری کوچک بین بالا، که شکل اصلی را تکرار می کند. به عبارت دیگر، هرم بریده، چند وجهی است که سطح مقطع آن به موازات قاعده شکل گرفته است.

اصطلاحات و نمادها

شرایط کلیدی:

• مثلث منتظم (متساوی الاضلاع).- شکلی با سه زاویه و ضلع مساوی. در این حالت تمام زوایا 60 درجه هستند. شکل ساده ترین چند وجهی منظم است. اگر این شکل در پایه قرار داشته باشد، چنین چند وجهی مثلثی منظم نامیده می شود. اگر قاعده مربع باشد، هرم را هرم چهار گوش منتظم می نامند.
• راس- بالاترین نقطه ای که لبه ها به هم می رسند. ارتفاع راس توسط یک خط مستقیم که از راس تا قاعده هرم امتداد دارد تشکیل می شود.
• حاشیه، غیرمتمرکز- یکی از صفحات چند ضلعی. این می تواند به شکل مثلث در مورد هرم مثلثی یا به شکل ذوزنقه باشد. هرم کوتاه شده.
• بخش- شکل صافی که در نتیجه تشریح شکل گرفته است. نباید با یک بخش اشتباه گرفته شود، زیرا یک بخش همچنین آنچه را که در پشت بخش قرار دارد نشان می دهد.
• آپوتم- قسمتی که از بالای هرم به سمت قاعده آن کشیده شده است. همچنین ارتفاع صورت است که نقطه ارتفاع دوم در آن قرار دارد. این تعریففقط برای یک چند وجهی معمولی معتبر است. به عنوان مثال، اگر این یک هرم کوتاه نباشد، صورت یک مثلث خواهد بود. در این صورت ارتفاع این مثلث تبدیل به ابهت می شود.

فرمول های مساحت

سطح جانبی هرم را پیدا کنیدهر نوع را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر شکل متقارن نباشد و چند ضلعی باشد با طرف های مختلف، در این صورت محاسبه سطح کل از مجموع تمام سطوح آسان تر است. به عبارت دیگر، باید مساحت هر صورت را محاسبه کرده و با هم جمع کنید.

بسته به اینکه چه پارامترهایی شناخته شده است، ممکن است به فرمول هایی برای محاسبه مربع، ذوزنقه، چهارضلعی دلخواه و غیره نیاز باشد. خود فرمول ها در موارد مختلفتفاوت هایی نیز خواهد داشت.

در مورد یک فیگور معمولی، یافتن منطقه بسیار ساده تر است. تنها دانستن چند پارامتر کلیدی کافی است. در بیشتر موارد، محاسبات به طور خاص برای چنین ارقامی مورد نیاز است. بنابراین فرمول های مربوطه در زیر ارائه خواهد شد. در غیر این صورت، شما باید همه چیز را در چندین صفحه بنویسید، که فقط شما را گیج و سردرگم می کند.

فرمول اساسی برای محاسبهسطح جانبی هرم منظم به شکل زیر خواهد بود:

S=½ Pa (P محیط قاعده است و آپوتم است)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. چند وجهی دارای یک پایه با قطعات A1، A2، A3، A4، A5 است و همه آنها برابر با 10 سانتی متر هستند، بگذارید آپوتم برابر با 5 سانتی متر باشد، ابتدا باید محیط را پیدا کنید. از آنجایی که هر پنج وجه پایه یکسان هستند، می توانید آن را به این صورت پیدا کنید: P = 5 * 10 = 50 سانتی متر سپس فرمول اصلی را اعمال می کنیم: S = ½ * 50 * 5 = 125 سانتی متر مربع.

سطح جانبی صحیح است هرم مثلثی ساده ترین محاسبه فرمول به صورت زیر است:

S =½* ab *3، جایی که a حرف اول است، b صورت پایه است. ضریب سه در اینجا به معنای تعداد وجوه پایه است و قسمت اول مساحت سطح جانبی است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. شکلی با آپوتم 5 سانتی متر و لبه پایه 8 سانتی متر را در نظر می گیریم: S = 1/2*5*8*3=60 سانتی متر مربع را محاسبه می کنیم.

سطح جانبی یک هرم کوتاهمحاسبه آن کمی دشوارتر است. فرمول به این صورت است: S = 1/2*(p_01+ p_02)*a، که در آن p_01 و p_02 محیط پایه ها هستند، و آپوتم است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. فرض کنید برای یک شکل چهارگوش، ابعاد اضلاع پایه ها 3 و 6 سانتی متر است و آپوتم 4 سانتی متر است.

در اینجا ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید: р_01 =3*4=12 سانتی متر; р_02=6*4=24 سانتی‌متر باقی می‌ماند که مقادیر را در فرمول اصلی قرار دهیم و به دست می‌آییم: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 سانتی‌متر مربع.

بنابراین، می توانید سطح جانبی یک هرم منظم با هر پیچیدگی را پیدا کنید. شما باید مراقب باشید و گیج نشویداین محاسبات با مساحت کل کل چند وجهی است. و اگر هنوز نیاز به انجام این کار دارید، کافی است مساحت بزرگترین پایه چند وجهی را محاسبه کنید و آن را به مساحت سطح جانبی چند وجهی اضافه کنید.

ویدئو

این ویدیو به شما کمک می کند تا اطلاعاتی را در مورد نحوه یافتن سطح جانبی هرم های مختلف ادغام کنید.

پاسخ سوال خود را دریافت نکردید؟ موضوعی را به نویسندگان پیشنهاد دهید.

دانش آموزان مدت ها قبل از مطالعه هندسه با مفهوم هرم مواجه می شوند. تقصیر عجایب مشهور مصری جهان است. بنابراین، هنگام شروع مطالعه این چند وجهی شگفت انگیز، اکثر دانش آموزان به وضوح آن را تصور می کنند. تمام جاذبه های ذکر شده در بالا شکل صحیحی دارند. چه اتفاقی افتاده است هرم منظمو اینکه چه خواصی دارد بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

در تماس با

تعریف

تعاریف بسیار زیادی از هرم وجود دارد. از زمان های قدیم بسیار محبوب بوده است.

به عنوان مثال، اقلیدس آن را به عنوان یک شکل بدنی متشکل از صفحاتی که از یک شروع می‌شوند، در نقطه‌ای معین همگرا می‌دانند.

هرون فرمول دقیق تری ارائه کرد. او اصرار داشت که این رقمی است که دارای پایگاه و هواپیما در به شکل مثلث, همگرایی در یک نقطه

بر اساس تفسیر مدرن، هرم به عنوان یک چند وجهی فضایی، متشکل از یک K-gon و k شکل های مثلثی مسطح، دارای یک نقطه مشترک نشان داده می شود.

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم، از چه عناصری تشکیل شده است:

• k-gon اساس شکل در نظر گرفته می شود.
• اشکال 3 ضلعی به عنوان لبه های قسمت جانبی بیرون زده است.
• قسمت بالایی که عناصر جانبی از آن سرچشمه می گیرند راس نامیده می شود.
• تمام بخش هایی که یک راس را به هم متصل می کنند، لبه نامیده می شوند.
• اگر یک خط مستقیم از راس به صفحه شکل با زاویه 90 درجه پایین بیاید، قسمت آن که در فضای داخلی قرار دارد ارتفاع هرم است.
• در هر عنصر جانبی، یک عمود به نام آپوتم، می تواند به سمت چند وجهی ما کشیده شود.

تعداد یال ها با استفاده از فرمول 2*k محاسبه می شود که k تعداد اضلاع k-gon است. چند وجهی مانند هرم را می توان با استفاده از عبارت k+1 تعیین کرد.

مهم!هرم منظم شکلی استریومتریک است که صفحه پایه آن k-gon با اضلاع مساوی است.

خواص اساسی

هرم درست خواص زیادی دارد،که مختص اوست بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. اساس یک شکل از شکل صحیح است.
2. لبه های هرم که عناصر جانبی را محدود می کنند دارای مقادیر عددی مساوی هستند.
3. عناصر جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.
4. قاعده ارتفاع شکل در مرکز چند ضلعی قرار می گیرد، در حالی که به طور همزمان نقطه مرکزی محاط و محاط است.
5. تمام دنده های جانبی با یک زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.
6. تمام سطوح جانبی نسبت به پایه زاویه شیب یکسانی دارند.

با تشکر از همه خواص ذکر شده، انجام محاسبات عناصر بسیار ساده تر است. بر اساس خواص فوق به آن توجه می کنیم دو نشانه:

1. در صورتی که چند ضلعی در یک دایره قرار گیرد، وجه های جانبی دارای زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.
2. هنگام توصیف یک دایره در اطراف یک چند ضلعی، تمام لبه های هرم که از راس سرچشمه می گیرد دارای طول مساویو زوایای برابر با پایه.

اساس یک مربع است

هرم چهار گوش منظم - چندوجهی که قاعده آن مربع است.

دارای چهار وجه جانبی است که از نظر ظاهری متساوی الساقین هستند.

یک مربع بر روی یک صفحه به تصویر کشیده شده است، اما بر اساس تمام ویژگی های یک چهارضلعی منظم است.

به عنوان مثال، اگر می خواهید ضلع مربع را با قطر آن وصل کنید، از آن استفاده کنید فرمول زیر: مورب برابر است با حاصلضرب ضلع مربع و جذر دو.

این بر اساس یک مثلث منظم است

هرم مثلثی منتظم چند وجهی است که قاعده آن 3 ضلعی منظم است.

اگر پایه یک مثلث منظم باشد و لبه های کناری با لبه های پایه برابر باشد، چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

تمام وجوه یک چهار وجهی 3 ضلعی متساوی الاضلاع هستند. در این مورد، شما باید نکاتی را بدانید و هنگام محاسبه زمان را روی آنها تلف نکنید:

• زاویه شیب دنده ها به هر پایه 60 درجه است.
• اندازه تمام چهره های داخلی نیز 60 درجه است.
• هر صورت می تواند به عنوان یک پایه عمل کند.
• ، در داخل شکل ترسیم شده است، این عناصر برابر هستند.

بخش های چند وجهی

در هر چند وجهی وجود دارد چندین نوع بخشتخت. اغلب در دوره مدرسههندسه ها با دو کار می کنند:

• محوری؛
• به موازات اساس

یک مقطع محوری با تقاطع یک چند وجهی با صفحه ای که از راس، لبه های جانبی و محور می گذرد به دست می آید. در این حالت، محور ارتفاعی است که از راس گرفته شده است. صفحه برش توسط خطوط تقاطع با تمام وجوه محدود می شود و در نتیجه یک مثلث ایجاد می شود.

توجه!که در هرم صحیحبخش محوری یک مثلث متساوی الساقین است.

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، نتیجه گزینه دوم است. در این حالت یک شکل مقطعی مشابه پایه داریم.

به عنوان مثال، اگر یک مربع در پایه وجود داشته باشد، بخش موازی با پایه نیز یک مربع خواهد بود، فقط با ابعاد کوچکتر.

هنگام حل مسائل تحت این شرایط، آنها از علائم و ویژگی های تشابه شکل ها استفاده می کنند. بر اساس قضیه تالس. ابتدا لازم است ضریب تشابه را تعیین کنیم.

اگر هواپیما به موازات پایه کشیده شود و قطع شود قسمت بالاچند وجهی، سپس یک هرم منقطع منظم در قسمت پایین به دست می آید. سپس گفته می شود که پایه های یک چندوجهی کوتاه چندضلعی های مشابه هستند. در این حالت، وجوه جانبی ذوزنقه ای متساوی الساقین هستند. قسمت محوری نیز متساوی الساقین است.

برای تعیین ارتفاع یک چند وجهی کوتاه، لازم است ارتفاع را در داخل رسم کنید بخش محوری، یعنی در ذوزنقه.

مناطق سطحی

مسائل هندسی اصلی که باید در یک درس هندسه مدرسه حل شوند عبارتند از پیدا کردن مساحت و حجم هرم

دو نوع مقادیر سطح وجود دارد:

• مساحت عناصر جانبی؛
• مساحت کل سطح

از خود نام مشخص است که ما در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. سطح جانبی فقط شامل عناصر جانبی است. از این نتیجه می شود که برای پیدا کردن آن، فقط باید مناطق صفحات جانبی، یعنی مناطق متساوی الساقین 3 ضلعی را با هم جمع کنید. بیایید سعی کنیم فرمول مساحت عناصر جانبی را استخراج کنیم:

1. مساحت یک متساوی الساقین 3 ضلعی Str=1/2(aL) است، جایی که a ضلع قاعده است، L نقطه پایانی است.
2. تعداد صفحات جانبی به نوع k-gon در پایه بستگی دارد. به عنوان مثال، یک هرم چهار گوش منتظم دارای چهار صفحه جانبی است. بنابراین لازم است مساحت های چهار شکل Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L را جمع کنیم. این عبارت به این صورت ساده شده است زیرا مقدار 4a = Rosn است که Rosn محیط پایه است. و عبارت 1/2*Rosn نیم محیط آن است.
3. بنابراین، نتیجه می گیریم که مساحت عناصر جانبی یک هرم منظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم: Sside = Rosn * L.

مربع سطح کاملهرم از مجموع مساحت صفحات جانبی و قاعده تشکیل شده است: Sp.p. = Sside + Sbas.

در مورد مساحت پایه، در اینجا فرمول با توجه به نوع چند ضلعی استفاده می شود.

حجم یک هرم منظمبرابر حاصلضرب مساحت صفحه پایه و ارتفاع تقسیم بر سه: V=1/3*Sbas*H که H ارتفاع چندوجهی است.

هرم منظم در هندسه چیست؟

ویژگی های یک هرم چهار گوش منتظم

معمول مسائل هندسیدر هواپیما و داخل فضای سه بعدیمشکلات تعیین مساحت سطوح اشکال مختلف است. در این مقاله فرمول سطح جانبی هرم چهار گوش منظم را ارائه می دهیم.

هرم چیست؟

اجازه دهید ما را سخت تعریف هندسیاهرام. فرض کنید یک چند ضلعی با n ضلع و n زاویه داریم. بیایید یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنیم که در صفحه n-ضلعی مشخص شده نباشد و آن را به هر رأس چند ضلعی متصل کنیم. شکلی با حجم معین بدست می آوریم که به آن هرم n-gonal می گویند. برای مثال، بیایید در شکل زیر نشان دهیم که یک هرم پنج ضلعی چگونه است.

دو عنصر مهم هر هرم قاعده (n-gon) و راس آن است. این عناصر توسط n مثلث به یکدیگر متصل می شوند که در مورد کلیبا هم برابر نیستند عمود نزولی از بالا به قاعده ارتفاع شکل نامیده می شود. اگر پایه را در مرکز هندسی قطع کند (منطبق بر مرکز جرم چندضلعی)، آنگاه چنین هرمی را خط مستقیم می نامند. اگر علاوه بر این شرط، قاعده یک چند ضلعی منتظم باشد، کل هرم منظم نامیده می شود. تصویر زیر نشان می دهد که هرم های منظم با پایه های مثلثی، چهار گوش، پنج ضلعی و شش ضلعی چگونه به نظر می رسند.

سطح هرم

قبل از پرداختن به مساحت سطح جانبی یک هرم چهار گوش منظم، باید با جزئیات بیشتری در مورد مفهوم خود سطح صحبت کنیم.

همانطور که در بالا ذکر شد و در شکل ها نشان داده شده است، هر هرمی توسط مجموعه ای از چهره ها یا اضلاع تشکیل می شود. یک ضلع قاعده و n ضلع مثلث است. سطح کل شکل مجموع مساحت هر یک از اضلاع آن است.

مطالعه یک سطح با استفاده از مثال توسعه یک شکل راحت است. توسعه یک هرم چهار گوش منظم در شکل های زیر نشان داده شده است.

می بینیم که سطح آن برابر است با مجموع چهار مساحت مثلث متساوی الساقین یکسان و مساحت یک مربع.

مساحت کل همه مثلث هایی که اضلاع یک شکل را تشکیل می دهند معمولاً مساحت سطح جانبی نامیده می شود. در ادامه نحوه محاسبه آن را برای یک هرم چهار گوش معمولی نشان خواهیم داد.

سطح جانبی یک هرم منظم چهار گوش

برای محاسبه مساحت سطح جانبی شکل نشان داده شده، دوباره به توسعه فوق می پردازیم. بیایید فرض کنیم که ضلع قاعده مربع را می دانیم. بیایید آن را با علامت a نشان دهیم. می توان دید که هر یک از چهار مثلث یکسان دارای پایه ای به طول a هستند. برای محاسبه مساحت کل آنها، باید این مقدار را برای یک مثلث بدانید. از درس هندسه می دانیم که مساحت S t یک مثلث برابر است با حاصل ضرب قاعده و ارتفاع که باید به نصف تقسیم شود. به این معنا که:

جایی که h b - ارتفاع مثلث متساوی الساقین، به پایه a کشیده شده است. برای یک هرم، این ارتفاع یک عیب است. اکنون باقی مانده است که عبارت حاصل را در 4 ضرب کنیم تا مساحت S b سطح جانبی هرم مورد نظر را بدست آوریم:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

این فرمول شامل دو پارامتر است: آپوتم و سمت پایه. اگر دومی در اکثر شرایط مشکل شناخته شود، آنگاه اولی باید با دانستن مقادیر دیگر محاسبه شود. در اینجا فرمول های محاسبه آپوتم h b برای دو حالت آمده است:

• هنگامی که طول دنده جانبی مشخص است.
• زمانی که ارتفاع هرم مشخص است.

اگر طول یال جانبی (ضلع مثلث متساوی الساقین) را با نماد L نشان دهیم، آنگاه آپوتم h b با فرمول مشخص می شود:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

این عبارت نتیجه اعمال قضیه فیثاغورث به مثلث سطح جانبی است.

اگر ارتفاع h هرم مشخص باشد، می توان h b را به صورت زیر محاسبه کرد:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

همچنین اگر به داخل هرم نگاه کنیم به دست آوردن این عبارت دشوار نیست راست گوشه، توسط پاهای h و a/2 و هیپوتانوس h b تشکیل شده است.

بیایید نحوه اعمال این فرمول ها را با حل دو مسئله جالب نشان دهیم.

مشکل با سطح شناخته شده

مشخص است که مساحت سطح جانبی چهار گوش 108 سانتی متر مربع است. در صورتی که ارتفاع هرم 7 سانتی متر باشد باید طول آپوتم h b آن را محاسبه کرد.

اجازه دهید فرمول مساحت S b سطح جانبی را بر حسب ارتفاع بنویسیم. ما داریم:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

در اینجا ما به سادگی فرمول آپوتم مناسب را با عبارت S b جایگزین کردیم. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

برای یافتن مقدار a، متغیرها را تغییر می دهیم:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

حالا جایگزین کنیم ارزش های شناخته شدهو تصمیم بگیرید معادله درجه دوم:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

ما فقط ریشه مثبت این معادله را یادداشت کرده ایم. سپس اضلاع قاعده هرم برابر با:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 سانتی متر.

برای بدست آوردن طول آپوتم کافیست از فرمول استفاده کنید:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 سانتی متر.

سطح جانبی هرم خئوپس

اجازه دهید مقدار مساحت سطح جانبی را برای بزرگترین تعیین کنیم هرم مصر. مشخص است که در پایه آن مربعی به طول ضلع 230.363 متر قرار دارد. ارتفاع سازه در ابتدا 146.5 متر بود. این اعداد را با فرمول مربوط به S b جایگزین کنید، به دست می آوریم:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 ≈ 85860 m2.

مقدار یافت شده کمی بزرگتر از مساحت 17 زمین فوتبال است.

سطح هرم. در این مقاله به مشکلات اهرام معمولی خواهیم پرداخت. یادآوری می کنم که هرم منتظم هرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است، بالای هرم به مرکز این چند ضلعی برآمده است.

وجه جانبی چنین هرمی یک مثلث متساوی الساقین است.ارتفاع این مثلث که از رأس یک هرم منتظم کشیده شده است، آپوتم نامیده می شود، SF - آپوتم:

در نوع مشکل ارائه شده در زیر، باید سطح کل هرم یا مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید. این وبلاگ قبلاً چندین مشکل در مورد اهرام معمولی را مورد بحث قرار داده است، جایی که سؤال در مورد یافتن عناصر (ارتفاع، لبه پایه، لبه کناری) بود.

که در تکالیف آزمون دولتی واحدبه عنوان یک قاعده، اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم در نظر گرفته می شود. من هیچ مشکلی با هرم های پنج ضلعی و هفت ضلعی منظم ندیده ام.

فرمول مساحت کل سطح ساده است - باید مجموع مساحت پایه هرم و مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید:

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

اضلاع قاعده هرم چهار گوش منتظم 72 و لبه های کناری 164 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

مساحت سطح هرم برابر است با مجموع مساحت سطح جانبی و قاعده:

*سطح جانبی از چهار مثلث با مساحت مساوی تشکیل شده است. قاعده هرم مربع است.

می توانیم مساحت ضلع هرم را با استفاده از موارد زیر محاسبه کنیم:

بنابراین، سطح هرم عبارت است از:

جواب: 28224

اضلاع قاعده یک هرم شش ضلعی منتظم برابر با 22، لبه های جانبی برابر با 61 است. مساحت سطح جانبی این هرم را پیدا کنید.

قاعده هرم شش ضلعی منتظم یک شش ضلعی منتظم است.

سطح جانبی این هرم از شش ناحیه مثلث مساوی با ضلع های 61،61 و 22 تشکیل شده است:

بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هرون پیدا کنیم:

بنابراین، سطح جانبی عبارت است از:

جواب: 3240

*در مشکلات ارائه شده در بالا، مساحت وجه جانبی را می توان با استفاده از فرمول مثلث دیگری پیدا کرد، اما برای این کار باید ابهام را محاسبه کنید.

27155. مساحت یک هرم چهار گوش منتظم را پیدا کنید که اضلاع قاعده آن 6 و ارتفاع آن 4 است.

برای یافتن سطح هرم باید مساحت قاعده و مساحت سطح جانبی را بدانیم:

مساحت پایه 36 است زیرا مربعی با ضلع 6 است.

سطح جانبی از چهار وجه تشکیل شده است که عبارتند از مثلث های مساوی. برای پیدا کردن مساحت چنین مثلثی، باید قاعده و ارتفاع آن (آپوتم) را بدانید:

*مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع کشیده شده به این پایه.

پایه معلوم است، برابر با شش است. بیایید ارتفاع را پیدا کنیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (که با رنگ زرد مشخص شده است):

یک پا برابر است با 4، زیرا این ارتفاع هرم است، دیگری برابر با 3 است، زیرا برابر با نیمی از لبه پایه است. ما می توانیم فرضیه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

بنابراین، سطح کل هرم عبارت است از:

جواب: 96

27069. اضلاع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم برابر با 10، لبه های کناری برابر با 13 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

27070. اضلاع قاعده هرم شش ضلعی منتظم برابر با 10، لبه های جانبی برابر با 13 است. مساحت سطح جانبی این هرم را بیابید.

همچنین فرمول هایی برای مساحت سطح جانبی یک هرم معمولی وجود دارد. در یک هرم منظم، قاعده یک برآمدگی متعامد از سطح جانبی است، بنابراین:

پ- محیط پایه، ل- شعار هرم

*این فرمول بر اساس فرمول مساحت یک مثلث است.

اگر می خواهید در مورد نحوه استخراج این فرمول ها بیشتر بدانید، آن را از دست ندهید، انتشار مقالات را دنبال کنید.همین. موفق باشی!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی هرم را در نظر بگیریم.

بگذارید یک هرم با پایه ABCDE و F بالا داده شود. AB =BC =CD =DE =EA =3 سانتی متر آپوتم a = 5 سانتی متر مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید ناحیه جانبی هرم را پیدا کنید:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منتظم از قاعده ای تشکیل شده است که در آن یک مثلث منظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه قاعده b = 2 سانتی متر داده می شود. مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. در این صورت خواهد بود:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم: