موضوع: مرور کلی درس ریاضی. آمادگی برای امتحانات

درس: خواندن نمودار توابع. حل مسئله B2

در زندگی ما، نمودارها اغلب یافت می شوند، به عنوان مثال، پیش بینی آب و هوا را در نظر بگیرید، که به شکل نموداری از تغییرات در برخی شاخص ها، به عنوان مثال، دما یا قدرت باد در طول زمان ارائه می شود. وقتی این نمودار را می‌خوانیم، دو بار فکر نمی‌کنیم، حتی اگر اولین بار باشد که نموداری را در زندگی‌مان می‌خوانیم. همچنین می توانید یک نمودار از تغییرات نرخ ارز در طول زمان و بسیاری مثال های دیگر را مثال بزنید.

بنابراین، اولین نموداری که به آن نگاه خواهیم کرد.

برنج. 1. تصویر نمودار 1

همانطور که می بینید، نمودار دارای 2 محور است. محوری که به سمت راست (افقی) است را محور می گویند . محور رو به بالا (عمودی) محور نامیده می شود .

ابتدا به محور نگاه می کنیم. در این نمودار تعداد دور موتور خودرو در دقیقه در امتداد این محور رسم شده است. می تواند مساوی و غیره باشد. در این محور نیز تقسیماتی وجود دارد که برخی از آنها با اعداد مشخص شده اند، برخی از آنها متوسط ​​هستند و نشان داده نمی شوند. به راحتی می توان حدس زد که تقسیم اول از صفر است، سوم است و غیره.

حال بیایید به محور نگاه کنیم. در این نمودار در امتداد این محور رسم شده است مقادیر عددیمقادیر نیوتن بر متر ()، مقادیر گشتاور مساوی و غیره در این حالت، قیمت تقسیم برابر است با .

حال اجازه دهید به خود تابع (به خطی که در نمودار ارائه شده است) بپردازیم. همانطور که می بینید، این خط نشان می دهد که چند نیوتن در هر متر، یعنی چه گشتاوری در یک دور موتور خاص در دقیقه خواهد بود. اگر مقدار را 1000 دور در دقیقه بگیریم. و از این نقطه در نمودار به سمت چپ می رویم، خواهیم دید که خط از نقطه 20 عبور می کند، یعنی مقدار گشتاور در 1000 دور در دقیقه برابر خواهد بود (شکل 2.2).

اگر مقدار 2000 دور در دقیقه را در نظر بگیریم، آنگاه خط قبلاً از نقطه عبور می کند (شکل 2.2).

برنج. 2. تعیین گشتاور با تعداد دور در دقیقه

حال تصور کنید که وظیفه ما یافتن بزرگترین مقدار از این نمودار است. ما بیشتر به دنبال آن هستیم نقطه اوج()، بر این اساس، کمترین مقدار گشتاور در این نمودار 0 در نظر گرفته می شود. برای یافتن بالاترین مقدار تابع از نمودار، باید بیشترین مقدار را در نظر بگیرید. پراهمیت، که تابع در امتداد محور عمودی به آن می رسد. ما به این نگاه می کنیم که کدام مقدار بالاتر است و در امتداد محور عمودی نگاه می کنیم که بیشترین عدد به دست آمده چقدر خواهد بود. اگر در مورد کوچکترین مقدار صحبت می کنیم، برعکس، پایین ترین نقطه را می گیریم و به مقدار آن در امتداد محور عمودی نگاه می کنیم.

برنج. 3. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع مطابق نمودار

بزرگترین مقدار در این مورد است و کوچکترین مقدار به ترتیب 0 است. مهم این است که اشتباه نگیریم و مقدار حداکثر را به درستی نشان دهیم، برخی حداکثر مقدار 4000 rpm را نشان می دهند، این حداکثر مقدار نیست، بلکه نقطه است. که در آن حداکثر مقدار گرفته می شود (نقطه حداکثر)، بیشترین مقدار دقیقاً است.

همچنین باید به محور عمودی، واحدهای اندازه گیری آن توجه کنید، به عنوان مثال، اگر به جای نیوتن در متر () صدها نیوتن در متر () نشان داده شد، حداکثر مقدار باید در صد ضرب شود. ، و غیره.

بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع بسیار نزدیک به مشتق تابع است.

اگر تابعی در بخش مورد نظر افزایش یابد، مشتق تابع در این بخش مثبت یا برابر با صفر در تعداد محدودی از نقاط است، اغلب به سادگی مثبت است. به همین ترتیب، اگر تابعی در قطعه مورد نظر کاهش یابد، مشتق تابع در این بخش در تعداد محدودی از نقاط منفی یا برابر با صفر است. برعکس در هر دو مورد صادق است.

مثال زیر به دلیل محدودیت محور افقی دارای مشکلاتی است. لازم است بزرگترین و کوچکترین مقدار در بخش مشخص شده را پیدا کنید.

نمودار تغییر دما را در طول زمان نشان می دهد. در محور افقی زمان و روز را می بینیم و در محور عمودی دما را می بینیم. تعیین بالاترین دمای هوا در 22 ژانویه ضروری است، یعنی باید نه کل نمودار، بلکه قسمت مربوط به 22 ژانویه را در نظر بگیریم، یعنی از ساعت 00:00 22 ژانویه تا 00:00 23 ژانویه.

برنج. 4. نمودار تغییر دما

با محدود کردن نمودار، برای ما آشکار می شود که حداکثر دما با نقطه مطابقت دارد.

نموداری از تغییرات دما در طول سه روز ارائه شده است. در محور گاو - زمان روز و روز ماه، در محور اوی - دمای هوا بر حسب درجه سانتیگراد.

ما باید نه کل برنامه، بلکه قسمت مربوط به 13 جولای را در نظر بگیریم، یعنی از 00:00 13 ژوئیه تا 00:00 14 ژوئیه.

برنج. 5. تصویر برای مثال اضافی

اگر محدودیت های توضیح داده شده در بالا را وارد نکنید، ممکن است پاسخ نادرستی دریافت کنید، اما در یک بازه زمانی مشخص، حداکثر مقدار واضح است: و در ساعت 12:00 روز 13 جولای به آن می رسد.

مثال 3: مشخص کنید در چه تاریخی پنج میلی متر باران برای اولین بار باریده است:

نمودار بارش روزانه در کازان را از 3 فوریه تا 15 فوریه 1909 نشان می دهد. روزهای ماه به صورت افقی و میزان بارندگی بر حسب میلی متر به صورت عمودی نمایش داده می شود.

برنج. 6. بارندگی روزانه

بیایید به ترتیب شروع کنیم. در 3 می بینیم که کمی بیشتر از 0 سقوط کرد اما کمتر از 1 میلی متر. بارش، 4 میلی متر بارندگی در روز 4 و غیره. عدد 5 برای اولین بار در روز یازدهم ظاهر می شود. برای راحتی کار، می‌توانید تقریباً یک خط مستقیم در مقابل پنج بکشید؛ برای اولین بار که در 11 فوریه از نمودار عبور می‌کند، این پاسخ صحیح است.

مثال 4: تعیین کنید که قیمت هر اونس طلا در چه تاریخی کمترین بوده است

نمودار قیمت طلا در پایان معاملات بورس را برای هر روز از 14 تا 7 اسفند 96 نشان می دهد. روزهای ماه به صورت افقی، عمودی نمایش داده می شوند،

بر این اساس، قیمت هر اونس طلا به دلار آمریکا است.

خطوط بین نقاط فقط برای وضوح ترسیم می شوند؛ اطلاعات فقط توسط خود نقاط حمل می شود.

برنج. 7. نمودار تغییرات قیمت طلا در بورس

مثال اضافی: تعیین کنید که تابع در کدام نقطه از بخش بیشترین مقدار را می گیرد:

مشتق یک تابع معین در نمودار آورده شده است.

برنج. 8. تصویر برای مثال اضافی

مشتق بر روی بازه تعریف می شود

همانطور که می بینید، مشتق تابع در یک قطعه معین منفی است و در نقطه مرزی سمت چپ برابر با صفر است. همانطور که می دانیم، اگر مشتق یک تابع منفی باشد، تابع در بازه مورد نظر کاهش می یابد، بنابراین، تابع ما در کل بازه مورد نظر کاهش می یابد، در این حالت، بیشترین مقدار را در سمت چپ ترین مرز می گیرد. پاسخ: دوره.

بنابراین، ما به مفهوم نمودار یک تابع نگاه کردیم، بررسی کردیم که محورهای یک نمودار چیست، چگونه مقدار یک تابع را از یک نمودار پیدا کنیم، چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار را پیدا کنیم.

1. موردکوویچ A.G. جبر و شروع تحلیل ریاضی. - M.: Mnemosyne.
2. Muravin G.K., Muravin O.V. جبر و شروع تحلیل ریاضی. - م.: باستارد.
3. کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل ریاضی. - م.: روشنگری.

1. آزمون یکپارچه دولتی ().
2. جشنواره ایده های آموزشی ().
3. مطالعه آسان است.RF ().

1. نمودار (شکل 9) میانگین دمای ماهانه هوا در یکاترینبورگ (Sverdlovsk) را برای هر ماه از سال 1973 نشان می دهد. محور افقی ماه ها و محور عمودی دما را بر حسب درجه سانتیگراد نشان می دهد. کمترین میانگین دمای ماهانه را در بازه زمانی اردیبهشت تا دسامبر 1973 به شمول نمودار از نمودار تعیین کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه سانتیگراد بگویید.

برنج. 9. نمودار دما

1. با استفاده از همان نمودار (شکل 9)، تفاوت بین بالاترین و کمترین میانگین دمای ماهانه در سال 1973 را مشخص کنید. پاسخ خود را بر حسب درجه سانتیگراد بگویید.
2. نمودار (شکل 10) فرآیند گرمایش یک موتور احتراق داخلی را در دمای محیط 15 درجه نشان می دهد. محور آبسیسا زمان را بر حسب دقیقه نشان می دهد که از راه اندازی موتور گذشته است و محور y دمای موتور را بر حسب درجه سانتیگراد نشان می دهد. زمانی که دمای موتور به 45 درجه رسید می توان بار را به موتور متصل کرد. حداقل دقیقه ای که باید قبل از اتصال بار به موتور صبر کرد چقدر است؟

برنج. 10. برنامه گرم کردن موتور

اسلاید 12

تقارن در مورد خط مستقیم y=x

نمودار این توابع در > 1 افزایش و در 0 کاهش می یابد

اسلاید 13

یکی از شکل ها نمودار تابع y=2-x را نشان می دهد. لطفا این نقاشی را مشخص کنید. برنامه تابع نمایینمودار تابع نمایی از نقطه (0، 1) می گذرد، چون پایه درجه کمتر از 1 است، این تابع باید کاهشی باشد.

اسلاید 14

یکی از شکل ها نمودار تابع y=log5 (x-4) را نشان می دهد. تعداد این برنامه را مشخص کنید. برنامه تابع لگاریتمی y=log5x از نقطه (1;0) می گذرد، سپس ifh -4 =1، سپس 0، x=1+4، x=5. (5;0) - نقطه تقاطع نمودار با محور OX. اگر x -4 = 5، y = 1، x = 5 + 4، x = 9، نمودار تابع لگاریتمی 9 5 1

اسلاید 15

تابع y=f(x) در بازه (-6;7) تعریف می شود. شکل نموداری از مشتق این تابع را نشان می دهد. تمام مماس های موازی با خط مستقیم y = 5-2x (یا منطبق با آن) به نمودار تابع رسم می شوند. تعداد نقاط نمودار تابعی که این مماس ها در آن رسم شده اند را مشخص کنید. K = tga = f'(xo) با شرط k = -2 بنابراین f'(xo) = -2 یک خط مستقیم رسم می کنیم y = -2. این نمودار را در دو نقطه قطع می کند که به معنای مماس بر تابع است. در دو نقطه ترسیم می شوند. یافتن تعداد مماس بر نمودار یک تابع از نمودار مشتق آن

اسلاید 16

تابع y=f(x) در بازه [-7;3] تعریف می شود. شکل نموداری از مشتق آن را نشان می دهد. تعداد نقاط نمودار تابع y=f(x) را که مماس های نمودار با محور x موازی یا منطبق بر آن هستند را بیابید. فاکتور شیبخطوط مستقیم موازی با آبسیسا یا منطبق با آن برابر با صفر است. بنابراین K=tg a = f `(xo)=0 محور OX این نمودار را در چهار نقطه قطع می کند. یافتن تعداد مماس بر یک تابع از نمودار مشتق آن

اسلاید 17

تابع y=f(x) در بازه (6;-6) تعریف شده است. شکل نموداری از مشتق آن را نشان می دهد. تعداد نقاط نمودار تابع y=f(x) را بیابید که مماس های نمودار با زاویه 135 نسبت به جهت مثبت محور x متمایل هستند. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 بنابراین f`(xo)=-1 یک خط مستقیم y=-1 رسم کنید. نمودار را در سه نقطه قطع می کند. ، که به معنای مماس بر تابع انجام شده در سه نقطه است. یافتن تعداد مماس بر یک تابع از نمودار مشتق آن

اسلاید 18

تابع y=f(x) در بازه [-2;6] تعریف می شود. شکل نموداری از مشتق این تابع را نشان می دهد. ابسیسا نقطه ای را که مماس بر نمودار تابع y=f(x) کوچکترین ضریب زاویه ای را دارد مشخص کنید k=tg a=f'(xo) مشتق تابع کوچکترین مقدار y=-3 را می گیرد. در نقطه x=2. بنابراین، مماس بر نمودار در نقطه x=2 کمترین شیب را دارد. یافتن شیب مماس از نمودار مشتق تابع -3 2.

اسلاید 19

تابع y=f(x) در بازه [-7;3] تعریف می شود. شکل نموداری از مشتق این تابع را نشان می دهد. آبسیسی را که مماس بر نمودار تابع y=f(x) دارای بیشترین شیب در آن است را مشخص کنید. k=tg a=f’(xo) مشتق تابع بیشترین مقدار خود را y=3 در نقطه x=-5 می گیرد. بنابراین، مماس بر نمودار بیشترین شیب را در نقطه x = -5 دارد. یافتن شیب مماس از نمودار مشتق تابع 3 -5.

اسلاید 20

شکل نموداری از تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا xo نشان می دهد. مقدار مشتق f `(x) را در نقطه xo f ’(xo) =tg a بیابید چون در شکل a یک زاویه منفرد است، tan a

اسلاید 21

یافتن حداقل (حداکثر) یک تابع از نمودار مشتق آن

در نقطه x=4، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این بدان معنی است که x = 4 حداقل نقطه تابع y = f (x) است. 4 در نقاط x = 1، مشتق علامت مثبت را تغییر می دهد. minusMeanx=1 حداکثر نقطه تابع y=f(x)) است.

اسلاید 22

کار مستقل

شکل 11) دامنه تعریف تابع را بیابید. 2) نابرابری f(x) ≥ 0 را حل کنید 3) فواصل کاهش تابع را تعیین کنید. شکل 2 – نمودار تابع مشتق y=f(x) 4) حداقل نقاط تابع را بیابید. 5) آبسیسا نقطه ای را که مماس بر نمودار تابع y=f(x) دارای بیشترین ضریب زاویه است را نشان دهید. شکل 11) محدوده مقادیر تابع را بیابید. 2) حل نامعادله f(x)≤ 0 3) بازه های افزایش تابع را تعیین کنید. شکل 2 – نمودار تابع مشتق y=f(x) 4) حداکثر نقاط تابع را بیابید. 5) آبسیسا نقطه ای را که مماس بر نمودار تابع y=f(x) کمترین شیب را دارد را مشخص کنید. 1 گزینه 2 گزینه

موضوع "خواندن نمودار تابع مشتق"

هدف از درس: شکل گیری مهارت در تعیین ویژگی های یک مشتق از نمودار یک تابع، ویژگی های یک تابع از نمودار یک مشتق، مقایسه نمودار یک تابع و نمودار مشتق آن.

مواد و تجهیزات: ارائه کامپیوتری.

طرح درس

1. زمان سازماندهی.
2. شمارش شفاهی "اشتباه را بگیر"
3. تکرار مطالب نظری با موضوع "حمایت خودتان"
4. آموزش مهارت
5. بازی "شایستگی"
6. خلاصه کردن.

در طول کلاس ها.

1. زمان سازماندهی در طول مطالعه مبحث "مطالعه توابع با استفاده از مشتقات"، مهارت‌هایی برای یافتن نقاط بحرانی یک تابع، مشتق، تعیین ویژگی‌های تابع با کمک آن و ساختن نمودار آن ایجاد شد. امروز از زاویه ای متفاوت به این موضوع نگاه خواهیم کرد: چگونگی تعیین ویژگی های خود تابع از طریق نمودار مشتق یک تابع. وظیفه ما: یادگیری نحوه پیمایش در انواع تکالیف آزمون دولتی واحد مربوط به نمودارهای توابع و مشتقات آنها.
2. شمارش شفاهی

(2x2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; ایکس / =1 ایکس

1. تکرار مطالب نظری در مورد موضوع. (یک مرد کوچک را در دفتر خود بکشید تا حال و هوای ابتدای درس را نشان دهد)

اجازه دهید برخی از ویژگی های تابع را تکرار کنیم: افزایش و کاهش، حداکثر تابع.

نشانه کافی از افزایش (کاهش) عملکرد. می‌خواند:

1. اگر مشتق یک تابع در هر نقطه از بازه X مثبت باشد، تابع در بازه X افزایش می یابد.
2. اگر مشتق یک تابع در هر نقطه از بازه X منفی باشد، آنگاه تابع در بازه X کاهش می یابد.

شرایط کافی برای یک افراطی:

بگذارید تابع y=f(x) در بازه X پیوسته باشد و یک نقطه بحرانی x 0 در داخل بازه داشته باشد. سپس اگر هنگام عبور از نقطه x 0، مشتق به صورت زیر باشد:

الف) علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، سپس x 0 حداکثر نقطه تابع است،

ب) علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس x 0- حداقل نقطه تابع،

ج) علامت تغییر نمی کند، سپس در نقطه x 0افراطی وجود ندارد

مشتق تابع خود یک تابع است. این بدان معنی است که او برنامه خود را دارد.

ایکس(ما یک بخش داریم [ آ؛ ب]) بالای محور x قرار دارد، سپس تابع در این بازه افزایش می یابد.

اگر نمودار مشتق بر روی بازه ایکسدر زیر محور x قرار دارد، سپس تابع در این بازه کاهش می یابد. علاوه بر این، گزینه های نمودار مشتق ممکن است متفاوت باشند.

بنابراین، با داشتن نموداری از مشتق یک تابع، می توانیم در مورد ویژگی های خود تابع نتیجه گیری کنیم.

1. توسعه مهارت. بیایید مشکل را در نظر بگیریم:
2. بازی "شایستگی"
3. خلاصه کردن. (یک مرد کوچک را در یک دفترچه بکشید، نشان دهنده حال و هوای پایان درس) نقش "خلاصه" (او خواهد گفت که چه فکری (نتیجه گیری، نتیجه ...) در درس به نظر او اصلی ترین بود. یک)

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

خواندن نمودار یک تابع مشتق و اینکه آیا در راه امتحان دولتی واحد هستید یا خیر

طرح درس لحظه سازمانی. محاسبه شفاهی "یک اشتباه را بگیرید" تکرار مطالب نظری در مورد موضوع، یادداشت ها "حمایت شما" توسعه مهارت بازی "صلاحیت" خلاصه.

شمارش شفاهی "اشتباه را پیدا کن" (2x2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

تکرار مطالب نظری در مورد موضوع f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 علامت کافی برای افزایش (کاهش) یک تابع: اگر مشتق یک تابع در هر نقطه از بازه X مثبت باشد، آنگاه تابع در بازه افزایش می یابد. X. اگر مشتق تابع در هر نقطه از بازه X منفی باشد، تابع در بازه X کاهش می یابد. اگر نمودار مشتق در بازه X در بالای محور x قرار گیرد، آنگاه تابع در بازه X کاهش می یابد. این فاصله اگر نمودار مشتق در بازه X در زیر محور x قرار گیرد، تابع در این بازه کاهش می یابد.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 "حمایت شخصی" افزایش کاهش افزایش افزایش

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E اگر هنگام عبور از نقطه x 0، مشتق: الف) علامت "+" را به "-" تغییر دهد، سپس x 0 حداکثر نقطه تابع است، ب) علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس x 0 نقطه حداقل تابع است، ج) علامت را تغییر نمی دهد، سپس در نقطه x 0 اکسترومی وجود ندارد. . تکرار مطالب نظری در مبحث "حمایت خودت" شرط لازم برای وجود اکستروم: اگر تابع y=f (x) در نقطه x=x0 یک انتها داشته باشد، در این مرحله مشتق یا برابر است با 0 یا وجود ندارد. حداکثر حداقل

توسعه مهارت (حل مسائل از بانک باز آزمون دولتی) فواصل افزایشی: (-5;-1)، (2;8)، (11;12) پاسخ: 6 1 f(x) f / (x) + + +

فواصل کاهش رشد مهارت: (-1;0)، (9;12) پاسخ: 3 2 f(x) f / (x) – – توسعه مهارت (حل مشکلات از بانک باز آزمون دولتی واحد)

پاسخ توسعه مهارت: -3 3 f(x) f / (x) توسعه مهارت (حل مسائل از بانک باز آزمون دولتی واحد)

پاسخ توسعه مهارت: - 3 4 f(x) f / (x) توسعه مهارت (حل مشکلات از بانک باز آزمون دولتی واحد)

توسعه مهارت 5 f(x) f / (x) توسعه مهارت (حل مشکلات از بانک باز آزمون دولتی واحد)

بازی "شایستگی" شرکت کنندگان: دو تیم - شرکت های رقیب تیم ها 3 کار برای یکدیگر در مورد موضوع درس ارائه می دهند، وظایف را مبادله می کنند، آنها را کامل می کنند و راه حل را روی تخته نشان می دهند. اگر حریف شکست بخورد، تیم سوال کننده باید خودش به آن پاسخ دهد. هر شرکت کار یک شرکت رقیب را با استفاده از یک سیستم 5 امتیازی (هر کار و هر پاسخ) ارزیابی می کند. حامیان دانش: پترووا گلنا و سمنووا کونای

جمع بندی: ترسیم یک مرد خلاصه: نکته اصلی در درس چه بود؟ چه جالب بود چه یاد می گیرید؟ معیارهای ارزیابی: 28-30 امتیاز – نمره 5 20-27 امتیاز – امتیاز 4 10-19 امتیاز – نمره 3 زیر 10 امتیاز – توصیه برای کار پر زحمت در آمادگی برای آزمون دولتی واحد

درس عمومی با موضوع:

استفاده از مشتق و نمودار آن برای خواندن خصوصیات یک تابع

نوع درس: یک درس عمومی با استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات در قالب یک ارائه.

اهداف درس:

آموزشی:

ارتقاء درک دانش آموزان از استفاده از مشتقات در کارهای عملی.

به دانش آموزان بیاموزید که به وضوح از خصوصیات توابع و مشتقات استفاده کنند.

آموزشی:

توانایی تجزیه و تحلیل یک سوال کار و نتیجه گیری را توسعه دهید.

توسعه توانایی به کارگیری دانش موجود در کارهای عملی.

آموزشی:

پرورش علاقه به موضوع؛

نیاز به این مهارت های نظری و عملی برای ادامه تحصیل.

اهداف درس:

مهارت های خاصی را در کار با نمودار یک تابع مشتق برای استفاده از آنها در هنگام قبولی در آزمون دولتی واحد ایجاد کنید.

برای آزمون آماده شوید.

طرح درس.

1. به روز رسانی دانش مرجع (BK).

2. توسعه دانش، مهارت ها و توانایی ها در مورد موضوع.

3. تست (B8 از آزمون دولتی واحد).

4. چک متقابل، دادن علامت به "همسایه".

5. جمع بندی دروس درس.

تجهیزات: کلاس کامپیوتر، تخته سیاه، نشانگر، تست (2 گزینه).

در طول کلاس ها.

لحظه سازمان.

معلم . سلام لطفا بشین

در طول مطالعه مبحث "مطالعه توابع با استفاده از مشتقات"، مهارت‌هایی برای یافتن نقاط بحرانی یک تابع، مشتق، تعیین ویژگی‌های تابع با کمک آن و ساختن نمودار آن ایجاد شد. امروز از زاویه ای متفاوت به این موضوع نگاه خواهیم کرد: چگونگی تعیین ویژگی های خود تابع از طریق نمودار مشتق یک تابع. وظیفه ما: یادگیری نحوه پیمایش در انواع وظایف مربوط به نمودار توابع و مشتقات آنها.

در آماده سازی برای آزمون دولتی واحد در ریاضیات، به KIM ها در مورد استفاده از نمودار مشتق برای مطالعه توابع مشکلاتی داده می شود. بنابراین، در این درس ما باید دانش خود را در مورد این موضوع سیستماتیک کنیم و یاد بگیریم که به سرعت پاسخ سوالات وظایف B8 را پیدا کنیم.

اسلاید شماره 1.

موضوع: استفاده از مشتق و نمودار آن برای خواندن خصوصیات توابع

اهداف درس:

توسعه دانش کاربرد مشتق، معنای هندسی آن و نمودار مشتق برای تعیین خواص توابع.

توسعه کارایی در اجرای آزمون های آزمون یکپارچه دولتی.

ایجاد ویژگی های شخصیتی مانند توجه، توانایی کار با متن، توانایی کار با نمودارهای مشتق شده

2.به روز رسانی دانش پایه (BK). اسلاید شماره 4 تا شماره 10.

سؤالات مرور اکنون روی صفحه ظاهر می شوند. وظیفه شما: به هر نکته پاسخ روشن و مختصر بدهید. صحت پاسخ شما را می توان بر روی صفحه بررسی کرد.

( ابتدا یک سوال روی صفحه ظاهر می شود، پس از پاسخ دانش آموزان، پاسخ صحیح برای تأیید ظاهر می شود.)

لیست سوالات برای AOD.

تعریف مشتق.

معنی هندسیمشتق.

رابطه بین مقادیر مشتق، شیب مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور OX.

استفاده از مشتق برای یافتن فواصل یکنواختی یک تابع.

کاربرد مشتق برای تعیین نقاط بحرانی، نقاط منتهی

6 .لازم و شرایط کافینقاط بحرانی

7 . استفاده از مشتق برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع

(دانش آموزان به هر مورد پاسخ می دهند و پاسخ های خود را با یادداشت ها و نقاشی های روی تخته همراه می کنند. در صورت پاسخ های اشتباه و ناقص، همکلاسی ها آنها را تصحیح و تکمیل می کنند. پس از پاسخ دادن دانش آموزان، پاسخ صحیح روی صفحه ظاهر می شود. بنابراین دانش آموزان می توانند بلافاصله تعیین کنند. صحت پاسخ آنها.)

3. توسعه دانش، مهارت ها و توانایی ها در مورد موضوع. اسلایدهای شماره 11 تا 15.

به دانش‌آموزان وظایفی از KIMهای آزمون دولتی واحد در ریاضیات سال‌های گذشته، از سایت‌های اینترنتی در مورد استفاده از مشتق و نمودار آن برای مطالعه ویژگی‌های توابع ارائه می‌شود. وظایف به صورت متوالی ظاهر می شوند. دانش آموزان راه حل ها را روی تخته یا با استدلال شفاهی ترسیم می کنند. سپس راه حل صحیح در اسلاید ظاهر می شود و با راه حل دانش آموزان بررسی می شود. اگر خطایی در راه حل وجود داشته باشد، توسط کل کلاس تجزیه و تحلیل می شود.

اسلاید شماره 16 و شماره 17.

در مرحله بعد ، در کلاس ، توصیه می شود یک کار کلیدی را در نظر بگیرید: با استفاده از نمودار داده شده مشتق ، دانش آموزان باید (البته با کمک معلم) سؤالات مختلفی در رابطه با ویژگی های خود تابع مطرح کنند. طبیعتاً این مسائل مطرح می شود، در صورت لزوم اصلاح می شود، خلاصه می شود، در دفتری ثبت می شود و بعد از آن مرحله حل این کارها شروع می شود. در اینجا لازم است اطمینان حاصل شود که دانش آموزان نه تنها پاسخ صحیح را می دهند، بلکه قادر به استدلال (اثبات) آن با استفاده از تعاریف، ویژگی ها و قواعد مناسب هستند.

تست (B8 از آزمون دولتی واحد). اسلاید شماره 18 تا شماره 29. اسلاید شماره 30 – کلیدهای آزمون.

معلم : بنابراین، ما دانش شما را در مورد این موضوع خلاصه کرده‌ایم: ویژگی‌های اساسی مشتق را تکرار کردیم، مسائل مربوط به نمودار مشتق را حل کردیم، جنبه‌های پیچیده و مشکل‌ساز استفاده از مشتق و نمودار مشتق را برای مطالعه ویژگی‌های مشتق تجزیه و تحلیل کردیم. کارکرد.

حالا در 2 گزینه تست می کنیم. وظایف در هر دو نسخه به طور همزمان روی صفحه ظاهر می شوند. شما سوال را مطالعه می کنید، پاسخ آن را پیدا می کنید و آن را در برگه پاسخ نامه خود یادداشت می کنید. پس از اتمام آزمون، فرم ها را مبادله کنید و با استفاده از پاسخ های آماده، کار همسایه خود را بررسی کنید. امتیاز بدهید(تا 10 امتیاز - "2" ، از 11 تا 15 امتیاز - "3" ، از 16 تا 19 امتیاز - "4" ، بیش از 19 امتیاز - "5".).

جمع بندی درس

ما رابطه بین یکنواختی یک تابع و علامت مشتق آن و شرایط کافی برای وجود یک اکستروم را بررسی کردیم. ما وظایف مختلفی را برای خواندن نمودار یک تابع مشتق بررسی کردیم که در متون یک تابع وجود دارد. آزمون دولتی. همه کارهایی که در نظر گرفته ایم خوب هستند زیرا تکمیل آنها زمان زیادی نمی برد.

در طول امتحان دولتی یکپارچه، این بسیار مهم است: به سرعت و به درستی پاسخ را یادداشت کنید.

فرم های پاسخ خود را تحویل دهید. نمره درس از قبل برای شما مشخص است و در مجله درج خواهد شد.

فکر می کنم کلاس برای آزمون آماده شده است.

مشق شبخلاق خواهد بود . اسلاید شماره 33 .

عناصر تجزیه و تحلیل ریاضی در آزمون یکپارچه دولتی Malinovskaya Galina Mikhailovna [ایمیل محافظت شده]مواد مرجع جدول مشتقات توابع اساسی.  قواعد تمایز (مشتق مجموع، حاصلضرب، ضریب دو تابع).  مشتق تابع مختلط.  معنای هندسی مشتق.  معنای فیزیکیمشتق.  ماده مرجع نقاط افراطی (حداکثر یا حداقل) یک تابع که به صورت گرافیکی مشخص شده است.  یافتن بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع پیوسته در یک بازه معین.  ضد مشتق تابع. فرمول نیوتن لایب نیتس پیدا کردن مساحت ذوزنقه منحنی.  کاربردهای فیزیکی  1.1 نقطه مادیطبق قانون به صورت مستطیل حرکت می کند 𝑥 𝑡 = − سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در زمان t=3s بیابید.  1.2 یک نقطه مادی طبق قانون 1 3 به صورت مستقیم حرکت می کند. جنبش. سرعت آن در چه نقطه ای از زمان (بر حسب ثانیه) برابر با 2 متر بر ثانیه بوده است؟ راه حل: ما به دنبال مشتق x(t) هستیم (تابع مسیر نسبت به زمان).  در مسئله 1.1 مقدار آن را جایگزین t کنید و سرعت را محاسبه کنید (پاسخ: 59).  در مسئله 1.2 مشتق یافت شده را معادل می کنیم شماره داده شدهو معادله را با توجه به متغیر t حل کنید. (جواب: 7).  کاربردهای هندسی 2.1 خط 𝑦 = 7𝑥 − 5 موازی با مماس نمودار 2 تابع 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 است. آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید. 2.2 خط مستقیم 𝑦 = 3𝑥 + 1 مماس بر نمودار دوم تابع 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 است. پیدا کردن یک. 2.3 خط مستقیم 𝑦 = -5𝑥 + 8 مماس بر نمودار دوم تابع 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 است. با توجه به اینکه ابسیسا نقطه مماس بزرگتر از 0 است، b را پیدا کنید. ج را پیدا کنید. راه حل: در مسئله 2.1 مشتق تابع را جستجو می کنیم و آن را با شیب خط مستقیم برابر می کنیم (پاسخ: 0.5).  در مسائل 2.2-2.4 سیستمی از دو معادله می سازیم. در یکی توابع و در دیگری مشتقات آنها را برابر می کنیم. در سیستمی با دو مجهول (متغیر x و پارامتر) به دنبال یک پارامتر می گردیم. (پاسخ: 2.2) a=0.125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 شکل نمودار تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ابسیسا 𝑥0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه 𝑥0 بیابید.  2.6 شکل نمودار تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا 𝑥0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه 𝑥0 بیابید.  2.7 شکل نمودار تابع y=f(x) را نشان می دهد. خط مستقیمی که از مبدا می گذرد، نمودار این تابع را در نقطه ای با ابسیسا 10 لمس می کند. مقدار مشتق تابع را در نقطه x=10 بیابید. 𝑥0 = 0 راه حل:     مقدار مشتق تابع در یک نقطه مماس زاویه میل مماس بر نمودار تابع رسم شده در این نقطه است. "بیایید نقاشی را کامل کنیم" راست گوشه و به دنبال مماس زاویه مربوطه باشید که اگر مماس زاویه حاد با جهت مثبت محور Ox تشکیل دهد، آن را مثبت می گیریم (مماس "افزایش می یابد") و اگر زاویه مات باشد (مماس کاهش می یابد) منفی می گیریم. در مسئله 2.7، باید یک مماس از نقطه مشخص شده و مبدا رسم کنید. پاسخ ها: 2.5) 0.25; 2.6) -0.25; 2.7) -0.6. خواندن یک نمودار از یک تابع یا یک نمودار از یک مشتق از یک تابع  3.1 شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (6;8) تعریف شده است. تعداد نقاط صحیحی که مشتق تابع در آنها مثبت است را تعیین کنید.  3.2 شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (5-5;) تعریف شده است. تعداد نقاط صحیحی که مشتق تابع f(x) در آنها منفی است را تعیین کنید. راه حل: علامت مشتق مربوط به رفتار تابع است.  اگر مشتق مثبت باشد، آن قسمت از نمودار تابع را انتخاب می کنیم که تابع افزایش می یابد. اگر مشتق منفی است، پس جایی که تابع کاهش می یابد. بازه مربوط به این قسمت را در محور Ox انتخاب می کنیم.  مطابق با سؤال مسئله، تعداد اعداد صحیح موجود در یک بازه معین را مجدداً محاسبه می کنیم یا مجموع آنها را پیدا می کنیم.  پاسخ ها: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (-2;12) تعریف شده است. مجموع نقاط انتهایی تابع f(x) را بیابید. اول از همه، ما به آنچه در شکل است نگاه می کنیم: نمودار یک تابع یا نمودار یک مشتق.  اگر این نمودار مشتق باشد، ما فقط به نشانه های مشتق و آبسیسا نقاط تقاطع با محور Ox علاقه مندیم.  برای وضوح، می توانید تصویری آشناتر با علائم مشتق در فواصل حاصل و رفتار تابع ترسیم کنید.  با توجه به تصویر به سوال موجود در مسئله پاسخ دهید. (جواب: 3.3) 44).   3.4 شکل نموداری از y= ) متعلق به بخش [-6;9]  3.5 شکل نمودار y=𝑓 ′ (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x)، تعریف شده در بازه (-11;11). تعداد نقاط انتهایی تابع f(x) متعلق به بخش [-10;10] راه‌حل: ما به دنبال نقاط تقاطع نمودار مشتق با محور Ox می‌گردیم و آن قسمت از محور را برجسته می‌کنیم که در شکل نشان داده شده است.  علامت مشتق را در هر یک از بازه های حاصل تعیین می کنیم (اگر نمودار مشتق زیر محور باشد، "-"، اگر در بالا، "+" باشد). علامت از «+» به «-»، حداقل از «-» به «+» تغییر کرده است. ۳.۵) ۵. در کدام نقطه از قطعه [-3;2] تابع f(x) بیشترین مقدار را به خود می گیرد.  3.7 شکل نموداری از 'y=𝑓 (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (4-8;) تعریف شده است. در کدام نقطه از قطعه [-7;-3] تابع f(x) کوچکترین مقدار را به خود می گیرد. راه حل:    اگر مشتق علامت را در پاره مورد بررسی تغییر دهد، آنگاه جواب بر این قضیه استوار است: اگر یک تابع پیوسته روی یک پاره یک نقطه منفرد روی آن داشته باشد و این یک نقطه حداکثر (حداقل) باشد، پس بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع در این بخش در این نقطه به دست می آید. اگر یک تابع پیوسته در یک بازه یکنواخت باشد، به حداقل خود می رسد و بالاترین ارزش ها روی یک بخش معین در انتهای آن. پاسخ ها: 3.6) -3; 3.7) -7.  3.8 شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (5;-5) تعریف شده است. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع با خط مستقیم y=6 موازی یا منطبق با آن باشد.  3.9 شکل نموداری از تابع y=f(x) و هشت نقطه روی محور آبسیسا را ​​نشان می‌دهد: مشتق f(x) در چند نقطه از این نقاط مثبت است؟  4.2 شکل نمودار y=𝑓 ′ (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (7;-5) تعریف شده است. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع نقاط صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.  4.5 شکل نمودار y=𝑓 ′ (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (8-4;) تعریف شده است. نقطه منتهی تابع f(x)، متعلق به بخش [-2;6] را پیدا کنید.  4.6 شکل نمودار y=𝑓 ′ (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x) که در بازه (2-10;) تعریف شده است. تعداد نقاطی را بیابید که مماس نمودار تابع f(x) موازی یا منطبق بر خط مستقیم y=-2x-11 است. راه حل: 4.6 از آنجایی که شکل نموداری از مشتق را نشان می دهد و مماس با این خط موازی است، مشتق تابع در این نقطه برابر با 2- است. در نمودار مشتق به دنبال نقاطی می گردیم که دارای 2- است و تعداد آنها را می شماریم. 5 می گیریم.  پاسخ ها: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 شکل نمودار y=𝑓 ′ (𝑥) را نشان می دهد - مشتق تابع f(x). آبسیسا نقطه ای را که مماس بر نمودار y=f(x) موازی یا منطبق بر محور آبسیسا است را بیابید. راه حل: اگر یک خط مستقیم موازی با محور Ox باشد، شیب آن صفر است.  شیب مماس صفر است، یعنی مشتق صفر است.  ما به دنبال آبسیسا نقطه تقاطع نمودار مشتق با محور Ox هستیم.  -3 می گیریم.   4.9 شکل نموداری از تابع y=𝑓 ′ (x) مشتق تابع f(x) و هشت نقطه روی محور آبسیسا را ​​نشان می دهد: 𝑥1،𝑥2،𝑥3، …، 𝑥8. مشتق تابع f(x) در چند نقطه از این نقاط افزایش می یابد؟ معنی هندسی انتگرال معین  5.1 شکل نموداری از تابع y=f(x) (دو پرتو با نقطه شروع مشترک) را نشان می دهد. با استفاده از شکل، F(8)-F(2) را محاسبه کنید، که در آن F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) است. راه حل:     مساحت ذوزنقه منحنی از طریق یک انتگرال معین محاسبه می شود. انتگرال قطعی با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس به عنوان افزایشی از ضد مشتق محاسبه می شود. در مسئله 5.1، ما مساحت ذوزنقه را با استفاده از فرمول دوره هندسه شناخته شده محاسبه می کنیم (این افزایش ضد مشتق خواهد بود). در وظایف 5. 2 و 5.3 ضد مشتق قبلاً داده شده است. لازم است مقادیر آن در انتهای بخش محاسبه شود و تفاوت محاسبه شود.  5.2 شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد. تابع 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 - یکی از 8 پاد مشتق تابع f(x) است. مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید. راه حل:     مساحت ذوزنقه منحنی از طریق یک انتگرال معین محاسبه می شود. انتگرال قطعی با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس به عنوان افزایشی از ضد مشتق محاسبه می شود. در مسئله 5.1، ما مساحت ذوزنقه را با استفاده از فرمول دوره هندسه شناخته شده محاسبه می کنیم (این افزایش ضد مشتق خواهد بود). در مسئله 5.2 ضد مشتق قبلاً داده شده است. لازم است مقادیر آن در انتهای بخش محاسبه شود و تفاوت محاسبه شود. موفق باشید در آزمون دولتی واحد ریاضی 