فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل فهمیدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم کدام یک وجود دارند فرمول های ریشهچه هستند خواص ریشهو با این همه چه می توان کرد.

فرمول های ریشه ها، خواص ریشه ها و قوانین کار با ریشه ها- این در اصل همان چیزی است. فرمول هایی برای ریشه های مربعبه طرز شگفت انگیزی کم که قطعا من را خوشحال می کند! یا بهتر است بگوییم، می توانید فرمول های مختلف زیادی بنویسید، اما برای کار عملی و مطمئن با ریشه، تنها سه فرمول کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری از افراد در سه فرمول ریشه گیج می شوند، بله...

بیایید با ساده ترین مورد شروع کنیم. او اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس خواص ریشه ها، به ویژه، بر اساس برابری هستند، که برای هر یک صادق است نه عدد منفیب

در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.

شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.

در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.

بیا شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟

جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی یک پس زمینه خاکستری قرار دارد، با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در محل تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.

به عنوان مثال، اجازه دهید نحوه استفاده از جدول مکعب برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها می یابیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، .

واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که ریشه ها را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کنید. در این موارد باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. بیایید این نکته را روشن کنیم.

ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. شماره b مانند هر کدام عدد طبیعیرا می توان به عنوان حاصلضرب همه عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m نمایش داد و عدد رادیکال a در این حالت به صورت (p 1 · p 2 نمایش داده می شود. · … · p m) n. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند.

توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.

بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.

مثال.

جذر 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.

اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.

تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:

یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، .

با استفاده از خواص درجات و خواص ریشه، می توان محلول را کمی متفاوت فرموله کرد: .

پاسخ:

برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، .

پاسخ:

مثال.

آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را در ضرایب اول قرار دهیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.

ما 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل را نمی توان به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد، زیرا توان ضریب اول 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

زمان آن رسیده است که بفهمیم چگونه ریشه را از آن استخراج کنیم عدد کسری. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.

مثال.

جذر آن چیست؟ کسر مشترک 25/169 .

راه حل.

با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس . این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.

پاسخ:

ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.

راه حل.

بیایید اصل را تصور کنیم اعشاریبه عنوان کسر مشترک: 474.552=474552/1000. سپس . باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس و . تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است .

پاسخ:

.

ریشه گرفتن یک عدد منفی

شایان ذکر است که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، . این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: . اکنون شماره های درهمآن را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: . ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: . باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: .

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

که در مورد کلیدر زیر ریشه یک عدد وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در عین حال نیاز به دانستن معنی وجود دارد ریشه داده شده، حداقل تا یک علامت خاص. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.

اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.

برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را بگیرید و آنها را مربع کنید تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.

تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر بیت ها را شرح دهیم.

ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال تجاوز کند، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی یافت شده در نظر گرفته می شود و اگر این اتفاق نیفتد، انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود. پس مقدار این رقم 9 است.

اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است:

بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم برابر با 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید:

به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.

بیایید ارزش آن را تعیین کنیم.

از 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها.

بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین.

از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم، مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد.

در این مرحله، مقدار ریشه به صدم مشخص می شود: .

در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

عبارت رادیکال عبارتی جبری است که زیر علامت ریشه (مربع، مکعب یا مرتبه بالاتر) قرار دارد. گاهی اوقات معانی عبارات مختلف می‌تواند یکسان باشد، برای مثال، 1/(√2 - 1) = √2 + 1. ساده‌سازی عبارت رادیکال برای رساندن آن به شکل متعارف نمادگذاری در نظر گرفته شده است. اگر دو عبارتی که به شکل متعارف نوشته شده اند هنوز متفاوت باشند، مقادیر آنها برابر نیست. در ریاضیات، اعتقاد بر این است که شکل متعارف نوشتن عبارات رادیکال (و همچنین عبارات با ریشه) با قوانین زیر مطابقت دارد:

• در صورت امکان از شر کسری زیر علامت ریشه خلاص شوید
• از شر عبارات با توان کسری خلاص شوید
• در صورت امکان از شر ریشه های مخرج خلاص شوید
• از شر عملیات ضرب ریشه به ریشه خلاص شوید
• در زیر علامت ریشه، شما باید فقط آن عباراتی را بگذارید که استخراج یک ریشه صحیح از آنها غیرممکن است

این قوانین را می توان برای وظایف تست اعمال کرد. به عنوان مثال، اگر مشکلی را حل کردید، اما نتیجه با هیچ یک از پاسخ های داده شده مطابقت نداشت، نتیجه را به صورت متعارف بنویسید. به خاطر داشته باشید که پاسخ تکالیف تستی به صورت متعارف ارائه می شود، بنابراین اگر نتیجه را به همان شکل بنویسید، به راحتی می توانید پاسخ صحیح را تعیین کنید. اگر مشکلی به «ساده‌سازی پاسخ» یا «ساده‌سازی عبارات رادیکال» نیاز دارد، باید نتیجه را به شکل متعارف بنویسید. علاوه بر این، شکل متعارف حل معادلات را آسان‌تر می‌کند، اگرچه اگر برای مدتی نماد متعارف را فراموش کنید، حل برخی از معادلات آسان‌تر است.

مراحل

خلاص شدن از شر مربع های پر و مکعب های پر

خلاص شدن از یک عبارت با توان کسری

عبارت را با یک توان کسری به یک عبارت رادیکال تبدیل کنید. یا، در صورت لزوم، عبارت رادیکال را به یک عبارت کسری تبدیل کنید، اما هرگز چنین عباراتی را در یک معادله مخلوط نکنید، مثلاً مانند این: √5 + 5^(3/2). فرض کنید تصمیم دارید با ریشه ها کار کنید. جذر n را √n و جذر مکعب n را مکعب√n نشان می دهیم.

خلاص شدن از کسرهای زیر علامت ریشه

با توجه به شکل متعارف علامت گذاری، ریشه یک کسری باید به صورت تقسیمی از ریشه های اعداد صحیح نشان داده شود.

به بیان رادیکال نگاه کنید.اگر کسری است به مرحله بعد بروید.

با توجه به هویت زیر، ریشه کسر را با نسبت دو ریشه جایگزین کنید:√(a/b) = √a/√b.

• اگر مخرج منفی است یا شامل متغیری است که ممکن است منفی باشد از این هویت استفاده نکنید. در این حالت ابتدا کسر را ساده کنید.

1. مربع های کامل را ساده کنید (در صورت وجود).به عنوان مثال، √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

حذف عملیات تکثیر ریشه

خلاص شدن از عواملی که مربع های کامل هستند

چیدمان تعداد رادیکال به عواملفاکتورها اعدادی هستند که با ضرب، عدد اصلی را ایجاد می کنند. به عنوان مثال، 5 و 4 دو عامل عدد 20 هستند. اگر یک ریشه صحیح از یک عدد رادیکال نمی توان استخراج کرد، عدد را به عوامل احتمالی آن تبدیل کنید و یک مربع کامل از بین آنها پیدا کنید.

• برای مثال، تمام عوامل 45 را بنویسید: 1، 3، 5، 9، 15، 45. 9 ضریب 45 (9 x 5 = 45) و مربع کامل (9 = 3^2) است.

1. ضریب را که یک مربع کامل است، فراتر از علامت ریشه بگیرید. 9 یک مربع کامل است زیرا 3 x 3 = 9. از شر 9 زیر علامت ریشه خلاص شوید و قبل از علامت ریشه یک 3 بنویسید. در زیر علامت ریشه 5 خواهد بود. اگر عدد 3 را زیر علامت ریشه قرار دهید، در خودش و در عدد 5 ضرب می شود، یعنی 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. بنابراین، 3 √ 5 شکل ساده شده نماد √45 است.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. مربع کامل را در عبارت رادیکال با متغیر پیدا کنید.به یاد داشته باشید: √(a^2) = |a|. چنین عبارتی را می توان به "a" ساده کرد، اما تنها در صورتی که متغیر مقادیر مثبت را بگیرد. √(a^3) را می توان به √a * √(a^2) تجزیه کرد، زیرا وقتی متغیرهای یکسان ضرب می شوند، توان آنها جمع می شود (a * a^2 = a^3).

   • بنابراین، در عبارت a^3، مربع کامل a^2 است.

3. متغیری که مربع کامل خارج از علامت ریشه است را بیرون بیاورید.از شر a^2 زیر علامت ریشه خلاص شوید و قبل از علامت ریشه یک "a" بنویسید. بنابراین، √(a^3) = a√a.

   اصطلاحات مشابه بیاورید و هر گونه عبارات منطقی را ساده کنید.

رهایی از ریشه در مخرج (عقلانی کردن مخرج)

مطابق شکل متعارف مخرج، در صورت امکان، باید فقط اعداد صحیح (یا یک چند جمله ای در صورت وجود متغیر) را شامل شود.

• اگر مخرج یک تک اسم رادیکال است، مانند [عدد]/√5، صورت و مخرج را در آن ریشه ضرب کنید: )/5.
  • برای ریشه مکعبی یا ریشه بزرگتر، صورت و مخرج را در ریشه با رادیکال به توان مناسب ضرب کنید تا مخرج را منطقی کنید. اگر مثلاً مخرج مکعب √5 باشد، صورت و مخرج را در مکعب √(5^2) ضرب کنید.
• اگر مخرج مجموع یا تفاضل ریشه های مربع است، مانند √2 + √6، صورت و مخرج را در مزدوج، یعنی عبارت با علامت مخالف بین عبارت های آن ضرب کنید. به عنوان مثال: [شماره]/(√2 + √6) = ([شماره] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). سپس از فرمول تفاضل مربعات ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) برای منطقی کردن مخرج استفاده کنید: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
  • فرمول تفاوت مربع ها را می توان برای عبارتی به شکل 5 + √3 نیز اعمال کرد زیرا هر عدد صحیح، جذر یک عدد صحیح دیگر است. به عنوان مثال: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
  • این روش را می توان برای مجموع ریشه های مربع مانند √5 - √6 + √7 اعمال کرد. اگر این عبارت را به شکل (√5 - √6) + √7 گروه بندی کنید و آن را در (√5 - √6) - √7 ضرب کنید، از ریشه خلاص نمی شوید، بلکه یک عبارت از فرم به دست می آورید. a + b * √30، که در آن "a" و "b" تک جملاتی بدون ریشه هستند. سپس عبارت حاصل را می توان در مزدوج آن ضرب کرد: (a + b * √30)(a - b * √30) تا از شر ریشه ها خلاص شود. یعنی اگر بتوان از یک عبارت مزدوج یک بار برای خلاص شدن از شر تعداد معینی از ریشه ها استفاده کرد، آنگاه می توان آن را به تعداد دفعات لازم برای خلاص شدن از شر همه ریشه ها استفاده کرد.
  • این روش همچنین برای ریشه های قدرت های بالاتر مانند عبارت "ریشه چهارم از 3 به علاوه ریشه هفتم از 9" کاربرد دارد. در این حالت، صورت و مخرج را در عبارت مزدوج مخرج ضرب کنید. اما در اینجا عبارت مزدوج در مقایسه با مواردی که در بالا توضیح داده شد کمی متفاوت خواهد بود. این مورد را می توانید در کتاب های درسی جبر بخوانید.

1. بعد از اینکه ریشه های مخرج را حذف کردید، صورت را ساده کنید.شمارنده حاصل ضرب عبارت اصلی و عبارت مزدوج است.

هنگام حل برخی از مسائل ریاضی، باید با آن عمل کنید ریشه های مربع. بنابراین، دانستن قوانین عملیات با ریشه های مربع و یادگیری نحوه تبدیل عبارات حاوی آنها بسیار مهم است. هدف مطالعه قوانین عملیات با ریشه مربع و روش های تبدیل عبارات با ریشه مربع است.

می دانیم که برخی از اعداد گویا به صورت کسرهای اعشاری متناوب بی نهایت بیان می شوند، مانند عدد 1/1998=0.000500500500... اما هیچ چیز مانع از تصور عددی نمی شود که بسط اعشاری آن هیچ نقطه ای را نشان نمی دهد. چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند.

تاریخچه اعداد غیر منطقی به کشف شگفت انگیز فیثاغورثی ها در قرن ششم باز می گردد. قبل از میلاد مسیح ه. همه چیز با یک سوال به ظاهر ساده شروع شد: چه عددی طول قطر مربع با ضلع 1 را بیان می کند؟

مورب مربع را به 2 مثلث قائم الزاویه یکسان تقسیم می کند که در هر یک از آنها به عنوان یک هیپوتانوس عمل می کند. بنابراین، همانطور که از قضیه فیثاغورث به دست می آید، طول قطر یک مربع برابر است با

. بلافاصله این وسوسه ایجاد می شود که یک ریزماشین حساب را بیرون بیاورید و کلید ریشه مربع را فشار دهید. در اسکوربورد 1.4142135 را خواهیم دید. یک ماشین حساب پیشرفته تر که محاسبات را با دقت بالا انجام می دهد 1.414213562373 را نشان می دهد. و با کمک یک کامپیوتر قدرتمند مدرن می توانید با دقت صدها، هزاران، میلیون ها رقم اعشار محاسبه کنید. اما حتی قدرتمندترین رایانه، مهم نیست که چقدر کار می کند، هرگز نمی تواند تمام ارقام اعشاری را محاسبه کند یا نقطه ای را در آنها تشخیص دهد.

و اگرچه فیثاغورث و شاگردانش کامپیوتر نداشتند، اما آنها بودند که این واقعیت را ثابت کردند. فیثاغورثی ها ثابت کردند که مورب یک مربع و ضلع آن معیار مشترکی ندارند (یعنی قطعه ای که به تعداد صحیح بار هم در مورب و هم در ضلع رسم می شود). بنابراین، نسبت طول آنها عدد است

- نمی توان به عنوان نسبت برخی از اعداد صحیح m و n بیان کرد. و از آنجایی که چنین است، اضافه می کنیم، بسط اعشاری یک عدد هیچ الگوی منظمی را نشان نمی دهد.

پس از کشف فیثاغورثی ها

چگونه آن عدد را ثابت کنیم

غیر منطقی؟ فرض کنید یک عدد گویا m/n= وجود دارد. ما کسر m/n را غیر قابل تقلیل در نظر می گیریم، زیرا کسر تقلیل پذیر همیشه می تواند به یک کسر تقلیل ناپذیر کاهش یابد. با بالا بردن هر دو طرف برابری، دریافت می کنیم. از اینجا نتیجه می گیریم که m یک عدد زوج است، یعنی m = 2K. بنابراین و بنابراین، یا . اما پس از آن دریافتیم که n یک عدد زوج است، اما این نمی تواند باشد، زیرا کسر m/n تقلیل ناپذیر است. یک تناقض به وجود می آید.

باید نتیجه بگیریم که فرض ما نادرست است و عدد گویا m/n برابر است با

وجود ندارد.

1. جذر یک عدد

دانستن زمان تی ، می توانید مسیر سقوط آزاد را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

بیایید مشکل معکوس را حل کنیم.

وظیفه . چند ثانیه طول می کشد تا یک سنگ از ارتفاع 122.5 متری سقوط کند؟

برای یافتن پاسخ باید معادله را حل کنید

از آن در می یابیم که اکنون باقی مانده است که یک عدد مثبت t را پیدا کنیم به طوری که مربع آن 25 باشد. این عدد 5 است، زیرا سنگ برای 5 ثانیه سقوط می کند.

همچنین هنگام حل مسائل دیگر، مثلاً هنگام یافتن طول ضلع مربع برحسب مساحت، باید به دنبال عدد مثبت با مربع آن باشید. اجازه دهید تعریف زیر را معرفی کنیم.

تعریف . عدد غیرمنفی که مربع آن برابر با عدد غیر منفی a باشد، جذر a نامیده می شود.این عدد مخفف است

بدین ترتیب

مثال . زیرا

شما نمی توانید از اعداد منفی ریشه مربع بگیرید، زیرا مجذور هر عددی یا مثبت است یا برابر با صفر. مثلاً عبارت

ارزش عددی ندارد علامت رادیکال (از لاتین "ریشه" - ریشه) و عدد نامیده می شود آ- عدد رادیکال به عنوان مثال، در نماد، عدد رادیکال 25 است. از آنجایی که این به این معنی است که جذر عدد نوشته شده توسط یک و 2nصفر، برابر است با عدد نوشته شده توسط یک و nصفر: = 10…0

2n صفر n صفر

به همین ترتیب ثابت می شود که

2n صفر n صفر

مثلا،

2. محاسبه ریشه های مربع

ما می دانیم که هیچ عدد گویا وجود ندارد که مربع آن 2 باشد

نمی تواند یک عدد گویا باشد. این یک عدد غیر منطقی است، یعنی. به صورت کسری اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شود و اولین اعشار این کسری 1.414 است... برای یافتن رقم اعشار بعدی باید عدد 1.414 را بگیرید. ایکس، جایی که ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 را به ترتیب مربع این اعداد را بگیرد و چنین مقداری را بیابد. ایکس،که در آن مربع کوچکتر از 2 است، اما مربع بعدی بزرگتر از 2 است. این مقدار است x=2.بعد، همین کار را با اعدادی مانند 1.4142 تکرار می کنیم ایکس. با ادامه این روند، ارقام کسر اعشاری نامتناهی را یکی پس از دیگری به دست می آوریم.

وجود جذر هر عدد حقیقی مثبت به روشی مشابه ثابت می شود. البته، مربع کردن متوالی یک کار بسیار پر زحمت است، و بنابراین راه هایی برای یافتن سریع ارقام اعشاری ریشه مربع وجود دارد. با استفاده از یک ریزمحاسبه می توانید مقدار را پیدا کنید

با هشت عدد صحیح برای این کار کافیست عدد مورد نظر را در ریز حساب وارد کنید a>0و کلید را فشار دهید - 8 رقم از مقدار روی صفحه نمایش داده می شود. در برخی موارد باید از خواص ریشه مربع استفاده کرد که در زیر به آن اشاره می کنیم.

اگر دقت ارائه شده توسط ریزمحاسبه ناکافی است، می توانید از روشی برای پالایش مقدار ریشه داده شده توسط قضیه زیر استفاده کنید.

قضیه. اگر a یک عدد مثبت است و یک مقدار تقریبی برای مازاد است، پس

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.