یکی از ویژگی های اصلی در جبر و در تمام ریاضیات، درجه است. البته در قرن بیست و یکم تمام محاسبات را می توان با ماشین حساب آنلاین انجام داد، اما برای رشد مغز بهتر است خودتان یاد بگیرید که چگونه این کار را انجام دهید.

در این مقاله به مهم ترین مسائل مربوط به این تعریف می پردازیم. یعنی، بیایید بفهمیم که به طور کلی چیست و وظایف اصلی آن چیست، چه ویژگی هایی در ریاضیات وجود دارد.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که محاسبه به نظر می رسد و فرمول های اساسی چیست. بیایید به انواع اصلی کمیت ها و تفاوت آنها با سایر عملکردها نگاه کنیم.

اجازه دهید نحوه حل مسائل مختلف را با استفاده از این کمیت درک کنیم. ما با مثال هایی نشان خواهیم داد که چگونه به توان صفر، غیر منطقی، منفی و غیره برسیم.

ماشین حساب توان آنلاین

توان یک عدد چیست؟

منظور از عبارت "یک عدد را به توان" برسانید چیست؟

توان n یک عدد حاصل ضرب فاکتورهای قدر a n مرتبه متوالی است.

از نظر ریاضی به این صورت است:

a n = a * a * a * …a n .

مثلا:

• 2 3 = 2 در درجه سوم. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 به پله. دو = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 تا گام. چهار = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 در 5 مرحله. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000؛
• 10 4 = 10 در 4 مرحله. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

در زیر جدول مربع ها و مکعب ها از 1 تا 10 آمده است.

جدول درجات از 1 تا 10

در زیر نتایج ساخت و ساز آورده شده است اعداد طبیعیبه قدرت های مثبت - "از 1 تا 100".

چ-لو	خیابان دوم	مرحله 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

خواص درجات

ویژگی چنین تابع ریاضی چیست؟ بیایید به خواص اساسی نگاه کنیم.

دانشمندان موارد زیر را ایجاد کرده اند علائم مشخصه همه درجات:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a ب) m =(a) (b*m) .

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. از طرف دیگر، 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

به طور مشابه: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. در غیر این صورت 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. اگر متفاوت باشد چه؟ 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

همانطور که می بینید، قوانین کار می کنند.

اما چه در مورد با جمع و تفریق? ساده است. ابتدا توان و سپس جمع و تفریق انجام می شود.

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. لطفاً توجه داشته باشید: اگر ابتدا آن را کم کنید، این قانون برقرار نخواهد بود: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

اما در این مورد، ابتدا باید جمع را محاسبه کنید، زیرا اقداماتی در پرانتز وجود دارد: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

نحوه تولید محاسبات در بیشتر موارد دشوار ? ترتیبش هم همینه:

• اگر براکت وجود دارد، باید با آنها شروع کنید.
• سپس قدرت.
• سپس عملیات ضرب و تقسیم را انجام دهید.
• پس از جمع، تفریق.

خواص خاصی وجود دارد که مشخصه همه درجات نیست:

1. ریشه n ام یک عدد a به درجه m به صورت: a m / n نوشته می شود.
2. هنگام افزایش کسری به توان: هم صورت و هم مخرج آن مشمول این روش هستند.
3. هنگام ساخت یک اثر اعداد مختلفبه یک توان، عبارت با حاصلضرب این اعداد به توان داده شده مطابقت دارد. یعنی: (a * b) n = a n * b n .
4. وقتی یک عدد را به توان منفی می‌دهید، باید 1 را بر یک عدد در همان قرن تقسیم کنید، اما با علامت "+".
5. اگر مخرج کسری به توان منفی باشد، این عبارت برابر حاصلضرب صورت و مخرج به توان مثبت خواهد بود.
6. هر عددی به توان 0 = 1 و به توان. 1 = به خودت

این قوانین در برخی موارد حائز اهمیت هستند، در ادامه آنها را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

درجه با توان منفی

با درجه منهای چه باید کرد، یعنی وقتی شاخص منفی است؟

بر اساس خواص 4 و 5(نگاه کنید به نکته بالا)، معلوم می شود:

A (- n) = 1 / A n، 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

و بالعکس:

1 / A (- n) = A n، 1 / ​​2 (-3) = 2 3 = 8.

اگر کسری باشد چه؟

(A / B) (- n) = (B / A) n، (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

درجه با شاخص طبیعی

به عنوان درجه ای با توان های برابر با اعداد صحیح درک می شود.

چیز هایی برای به یاد آوردن:

A 0 = 1، 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... و غیره.

A 1 = A، 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... و غیره

علاوه بر این، اگر (-a) 2 n +2، n=0، 1، 2 ... آنگاه نتیجه با علامت "+" خواهد بود. اگر یک عدد منفی به توان فرد افزایش یابد، برعکس.

خواص عمومی، و تمام ویژگی های خاص که در بالا توضیح داده شد، نیز مشخصه آنها است.

درجه کسری

این نوع را می توان به عنوان یک طرح نوشت: A m / n. به صورت: ریشه n ام عدد A به توان m را بخوانید.

شما می توانید هر کاری را که می خواهید با یک نشانگر کسری انجام دهید: آن را کاهش دهید، آن را به قطعات تقسیم کنید، آن را به قدرت دیگری ببرید و غیره.

درجه با توان غیرمنطقی

فرض کنید α یک عدد غیر منطقی و A ˃ 0 باشد.

برای درک ماهیت یک مدرک با چنین شاخصی، بیایید به موارد مختلف ممکن نگاه کنیم:

• A = 1. نتیجه برابر با 1 خواهد بود. از آنجایی که یک اصل موضوعی وجود دارد - 1 در همه توان ها برابر با یک است.

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 - اعداد گویا;

• 0˂А˂1.

در این مورد، برعکس است: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 در شرایط مشابه در پاراگراف دوم.

به عنوان مثال، توان عدد π است.منطقی است.

r 1 - در این مورد برابر با 3 است.

r 2 - برابر با 4 خواهد بود.

سپس، برای A = 1، 1 π = 1.

A = 2، سپس 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4، 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2، سپس (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

چنین درجه هایی با تمام عملیات ریاضی و ویژگی های خاص که در بالا توضیح داده شد مشخص می شوند.

نتیجه

بیایید خلاصه کنیم - این مقادیر برای چه چیزی مورد نیاز است، مزایای چنین توابعی چیست؟ البته، اول از همه، آنها زندگی ریاضیدانان و برنامه نویسان را هنگام حل مثال ها ساده می کنند، زیرا به آنها اجازه می دهند محاسبات را به حداقل برسانند، الگوریتم ها را کوتاه کنند، داده ها را سیستماتیک کنند و موارد دیگر.

کجای دیگر این دانش می تواند مفید باشد؟ در هر تخصص کاری: پزشکی، فارماکولوژی، دندانپزشکی، ساخت و ساز، فناوری، مهندسی، طراحی و غیره.

مقالات علوم و ریاضیات

خواص قوا با مبانی یکسان

سه تا هستند خواص درجهبا همان مبانی و شاخص های طبیعی. این

• کار کنید مجموع
• خصوصیدو توان با پایه های یکسان برابر است با عبارتی که پایه یکسان و توان آن است تفاوتشاخص های عوامل اصلی
• افزایش یک عدد به توانبرابر است با عبارتی که در آن پایه همان عدد و توان آن است کار کردندو درجه

مراقب باش! قوانین مربوط به جمع و تفریقدرجه با همان پایه ها وجود ندارد.

اجازه دهید این قواعد خواص را در قالب فرمول بنویسیم:

• صبح ؟ a n = m+n
• صبح ؟ a n = m–n
• (a m) n = mn

حالا بیایید به آنها نگاه کنیم نمونه های خاصو بیایید برای اثبات آن تلاش کنیم.

5 2؟ 5 3 = 5 5 - در اینجا ما قانون را اعمال کردیم. حالا بیایید تصور کنیم اگر قوانین را نمی دانستیم چگونه این مثال را حل می کنیم:

5 2؟ 5 3 = 5 5؟ 5؟ 5؟ 5 = 5 5 - مربع پنج برابر پنج ضرب در پنج است و مکعب حاصل ضرب سه پنج است. نتیجه حاصل ضرب پنج پنج است، اما این چیزی غیر از پنج به توان پنجم است: 5 5 .

3 9؟ 3 5 = 3 9-5 = 3 4. بیایید تقسیم را به صورت کسری بنویسیم:

می توان آن را کوتاه کرد:

در نتیجه دریافت می کنیم:

بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، توان آنها باید کم شود.

با این حال، هنگام تقسیم، مقسوم علیه نمی تواند برابر با صفر باشد (زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). علاوه بر این، از آنجایی که درجه ها را فقط با توان های طبیعی در نظر می گیریم، نمی توانیم در نتیجه تفریق توان ها، عددی کمتر از 1 به دست آوریم. بنابراین، فرمول a m? a n = a m–n محدودیت اعمال می شود: a ? 0 و m > n.

بریم سراغ خاصیت سوم:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

بیایید آن را به شکل گسترده بنویسیم:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

شما می توانید با استدلال منطقی به این نتیجه برسید. باید دو را در چهار برابر ضرب کنید. اما در هر مربع دو دو وجود دارد، یعنی در مجموع هشت دوتایی خواهد بود.

Scienceland.info

قوانین جمع و تفریق

1. تغییر مکان عبارات، مجموع را تغییر نمی دهد (ویژگی جابجایی جمع)

13+25=38 را می توان به صورت: 25+13=38 نوشت

2. نتیجه جمع تغییر نخواهد کرد اگر عبارات مجاور با مجموع آنها (ویژگی انجمنی جمع) جایگزین شوند.

10+13+3+5=31 را می توان به صورت زیر نوشت: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 و غیره

3. جمع واحدها به یک، ده ها به ده ها و غیره می رسد.

34+11=45 (3 ده به اضافه 1 ده دیگر؛ 4 واحد به اضافه 1 واحد).

4. واحدها از واحدها، ده ها از ده ها و غیره کم می شوند.

53-12=41 (3 واحد منهای 2 واحد؛ 5 ده منهای 1 ده)

توجه: 10 تا یک را ده می کنند. این را باید هنگام تفریق به خاطر بسپارید، زیرا اگر تعداد واحدهای فرعی بیشتر از مینیوند باشد، می‌توانیم یک ده را از مینیوند «قرض» کنیم.

41-12 = 29 (برای تفریق 1 از 2، ابتدا باید یکی از ده ها را "قرض" کنیم، 11-2 = 9 به دست می آوریم؛ به یاد داشته باشید که یکی که کاهش می یابد، 1 ده کمتر دارد، بنابراین، 3 ده باقی می ماند و از آن 1 ده کم می شود پاسخ 29).

5. اگر یکی از آنها را از مجموع دو جمله کم کنید، جمله دوم به دست می آید.

این بدان معنی است که جمع را می توان با استفاده از تفریق بررسی کرد.

برای بررسی، یکی از عبارت ها را از جمع کم کنید: 49-7=42 یا 49-42=7

اگر در نتیجه تفریق یکی از شرایط را دریافت نکردید، در جمع شما خطایی رخ داده است.

6. اگر subtrahend را به تفاوت اضافه کنید، نتیجه را دریافت می کنید.

این بدان معنی است که تفریق را می توان با جمع بررسی کرد.

برای بررسی، subtrahend را به تفاوت اضافه کنید: 19+50=69.

اگر در نتیجه روشی که در بالا توضیح داده شد، تفریق را دریافت نکردید، خطا در تفریق شما رخ داده است.

جمع و تفریق اعداد گویا

این درس جمع و تفریق اعداد گویا را پوشش می دهد. موضوع به عنوان پیچیده طبقه بندی می شود. در اینجا لازم است از کل زرادخانه دانش قبلاً به دست آمده استفاده شود.

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح در مورد اعداد گویا نیز صدق می کند. به یاد بیاورید که اعداد گویا اعدادی هستند که می توان آنها را به صورت کسری نشان داد آ -این عدد کسر است، بمخرج کسر است. علاوه بر این بنباید صفر باشد

در این درس، ما به طور فزاینده ای کسرها و اعداد مختلط را با یک عبارت رایج فراخوانی می کنیم - اعداد گویا.

پیمایش درس:

مثال 1.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم. ما در نظر می گیریم که به علاوه داده شده در عبارت یک علامت عملیات است و برای کسری صدق نمی کند. این کسری علامت مثبت مخصوص به خود را دارد که به دلیل اینکه نوشته نشده است نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

این جمع اعداد گویا با است نشانه های مختلف. برای اضافه کردن اعداد گویا با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و پیشوند پاسخ به دست آمده را با علامتی که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید. و برای اینکه بفهمید کدام مدول بزرگتر و کدام کوچکتر است، باید بتوانید مدول های این کسرها را قبل از محاسبه آنها مقایسه کنید:

مدول یک عدد گویا بیشتر از مدول یک عدد گویا است. بنابراین، از . جواب گرفتیم. سپس با کاهش 2 این کسر به جواب نهایی رسیدیم.

در صورت تمایل، برخی از اقدامات اولیه، مانند محصور کردن اعداد در پرانتز و اضافه کردن ماژول ها، قابل چشم پوشی هستند. این مثال را می توان به اختصار نوشت:

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم. ما در نظر می گیریم که منهای داده شده در عبارت نشانه ای از عملیات است و برای کسری صدق نمی کند.

کسر در این مورد یک عدد گویا مثبت با علامت مثبت است که نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

جمع را جایگزین تفریق کنیم. به شما یادآوری می کنیم که برای انجام این کار باید عدد مقابل را به مینیوند سابترهند اضافه کنید:

جمع اعداد گویا منفی را به دست آوردیم. برای اضافه کردن اعداد گویا منفی، باید ماژول های آن ها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده یک منهای قرار دهید:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

در این عبارت کسرها مخرج های مختلفی دارند. برای آسان‌تر کردن کارمان، بیایید این کسرها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهیم. ما در این مورد به تفصیل نمی پردازیم. اگر مشکل دارید، حتما به درس عمل با کسرها برگردید و آن را تکرار کنید.

پس از تقلیل کسرها به مخرج مشترک، عبارت به شکل زیر در می آید:

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و جلوی جواب به دست آمده علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

ما مجموع سه ترم را گرفتیم. ابتدا مقدار عبارت را پیدا می کنیم، سپس به پاسخ حاصل اضافه می کنیم

اقدام اول:

اقدام دوم:

بنابراین، مقدار عبارت برابر است با.

راه حل این مثال را می توان به اختصار نوشت

مثال 5. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید هر عدد را همراه با علائم آن در داخل پرانتز قرار دهیم. برای این شماره های درهمما به طور موقت آن را برگردانیم

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در بیان اصلی، به جای بیایید واحد حاصل را بنویسیم:

بیایید عبارت حاصل را جمع کنیم. برای این کار پرانتز را حذف کرده و واحد و کسر را با هم بنویسید

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

مثال 6.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید عدد مختلط را به کسری نامناسب تبدیل کنیم. بیایید بقیه را به همین شکل بازنویسی کنیم:

بیایید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را به دست آوردیم. بیایید ماژول های این اعداد را جمع کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده یک منهای قرار دهیم:

بنابراین، مقدار عبارت است.

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

مثال 7.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید عدد مختلط را به صورت منبسط بنویسیم. بیایید بقیه را همانطور که هست بازنویسی کنیم:

هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز می بندیم

در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین می کنیم:

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی به جای نوشتن عدد حاصل؟7

عبارت یک شکل بسط یافته از نوشتن یک عدد مختلط است. شما می توانید بلافاصله پاسخ را با نوشتن اعداد؟7 و کسر با هم بنویسید (پنهان کردن منهای این کسر)

بنابراین ارزش عبارت است

راه حل این مثال را می توان بسیار کوتاهتر نوشت. اگر از برخی جزئیات بگذریم، می توان آن را به صورت زیر نوشت:

مثال 8.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این عبارت به دو صورت قابل محاسبه است. بیایید به هر یک از آنها نگاه کنیم.

راه اولقسمت های عدد صحیح و کسری عبارت به طور جداگانه ارزیابی می شوند.

ابتدا بیایید اعداد مختلط را به صورت بسط داده بنویسیم:

بیایید هر عدد را همراه با علائم آن در داخل پرانتز قرار دهیم:

در صورت امکان، تفریق را با جمع جایگزین می کنیم:

ما مجموع چند عبارت را دریافت کردیم. طبق قانون ترکیبی جمع، اگر یک عبارت شامل چند عبارت باشد، مجموع آن به ترتیب اعمال بستگی ندارد. این به ما این امکان را می دهد که قسمت های عدد صحیح و کسری را جداگانه گروه بندی کنیم:

بیایید اجزای عدد صحیح را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی به جای نوشتن عدد حاصل؟3

بیایید اجزای کسری را محاسبه کنیم:

در عبارت اصلی، به جای نوشتن عدد مختلط حاصل

برای ارزیابی عبارت به دست آمده، باید به طور موقت عدد مختلط را گسترش دهید، سپس دور هر عدد پرانتز قرار دهید و جمع را جایگزین تفریق کنید. این کار باید بسیار با دقت انجام شود تا علائم اصطلاحات اشتباه نشود.

پس از تبدیل عبارت، یک عبارت جدید به دست آوردیم که محاسبه آن آسان است. یک عبارت مشابه در مثال 7 بود. بیاد بیاوریم که ما اجزای صحیح را جداگانه اضافه کردیم و قسمت کسری را به همین صورت رها کردیم:

بنابراین ارزش عبارت است

راه حل این مثال را می توان به اختصار نوشت

راه حل کوتاه از مراحل قرار دادن اعداد در پرانتز، جایگزینی تفریق با جمع، و افزودن ماژول ها صرف نظر می کند. اگر در مدرسه یا دیگر درس می خوانید موسسه تحصیلی، سپس از شما خواسته می شود که این مراحل ابتدایی را برای صرفه جویی در زمان و مکان نادیده بگیرید. راه حل کوتاه بالا را می توان حتی کوتاه تر نوشت. شبیه این خواهد شد:

بنابراین، هنگامی که در مدرسه یا مؤسسه آموزشی دیگری هستید، برای این واقعیت آماده باشید که برخی از اقدامات باید در ذهن شما انجام شود.

راه دومعبارات اعداد مختلط به کسرهای نامناسب تبدیل می شوند و مانند کسرهای معمولی محاسبه می شوند.

اجازه دهید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

حالا بیایید اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را به دست آوردیم. بیایید ماژول‌های آن‌ها را جمع کنیم و جلوی پاسخ به‌دست‌آمده یک منهای قرار دهیم:

همان پاسخ دفعه قبل را دریافت کردیم.

راه حل دقیق برای روش دوم به شرح زیر است:

مثال 9.عبارات بیان را پیدا کنید

راه اولقسمت کل و کسری را جداگانه اضافه می کنیم.

این بار سعی می کنیم از برخی اقدامات اولیه مانند نوشتن یک عبارت به شکل گسترده، محصور کردن اعداد در پرانتز، جایگزینی تفریق با جمع، و افزودن ماژول ها صرف نظر کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که قطعات کسری به یک مخرج مشترک کاهش یافته است.

راه دومبیایید اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و آنها را مانند کسرهای معمولی محاسبه کنیم.

مثال 10.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

عبارت به دست آمده حاوی اعداد منفی نیست که دلیل اصلی خطا هستند. و از آنجایی که اعداد منفی وجود ندارد، می‌توانیم مثبت جلوی زیر خط را حذف کنیم و پرانتز را نیز حذف کنیم. سپس ساده ترین عبارتی را می گیریم که محاسبه آن آسان است:

در این مثال، قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه محاسبه شده است.

مثال 11.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. اجازه دهید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنیم و جلوی عدد حاصل علامتی که ماژول آن بزرگتر است قرار دهیم:

مثال 12.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عبارت از چندین پارامتر تشکیل شده است. با توجه به ترتیب اقدامات، ابتدا باید اقدامات داخل براکت را انجام دهید.

ابتدا عبارت را محاسبه می کنیم سپس پاسخ های به دست آمده را اضافه می کنیم.

اقدام اول:

اقدام دوم:

اقدام سوم:

پاسخ:ارزش بیانی برابر است

مثال 13.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

با جمع اعداد گویا با علائم مختلف به دست می آید. بیایید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنیم و جلوی پاسخ علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهیم. اما ما با اعداد مختلط سروکار داریم. برای اینکه بفهمید کدام مدول بزرگتر و کدام کوچکتر است، باید مدول های این اعداد مختلط را با هم مقایسه کنید. و برای مقایسه مدول اعداد مختلط باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کرده و مانند کسرهای معمولی با هم مقایسه کنید.

شکل زیر تمامی مراحل مقایسه مدول های اعداد مختلط را نشان می دهد

پس از فهمیدن اینکه کدام ماژول بزرگتر و کدام کوچکتر است، می توانیم به محاسبه مثال خود ادامه دهیم:

بنابراین، معنای بیان برابر است

بیایید به جمع و تفریق کسرهای اعشاری نگاه کنیم که آنها نیز متعلق به اعداد گویا هستند و می توانند مثبت و منفی باشند.

مثال 14.مقدار عبارت را بیابید؟3.2 + 4.3

بیایید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم. ما در نظر می گیریم که مثبت داده شده در عبارت یک علامت عملیات است و برای کسر اعشاری 4.3 اعمال نمی شود. این کسر اعشاری علامت بعلاوه مخصوص به خود را دارد که به دلیل اینکه نوشته نشده است نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. برای اضافه کردن اعداد گویا با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و پیشوند پاسخ حاصل را با علامتی که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید. و برای اینکه بفهمید کدام ماژول بزرگتر و کدام کوچکتر است، باید بتوانید ماژول های این کسرهای اعشاری را قبل از محاسبه آنها مقایسه کنید:

مدول عدد 4.3 از مدول عدد ?3.2 بزرگتر است، بنابراین 3.2 را از 4.3 کم کردیم. ما پاسخ 1.1 را دریافت کردیم. پاسخ مثبت است، زیرا پاسخ باید دارای علامت ماژول بزرگتر باشد، یعنی ماژول |+4,3|.

بنابراین، مقدار عبارت?3.2 + (4.3) 1.1 است

مثال 15.مقدار عبارت 3.5 + (?8.3) را بیابید.

این جمع اعداد گویا با علائم مختلف است. مانند مثال قبل، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و جلوی پاسخ علامتی که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید.

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

بنابراین، مقدار عبارت 3.5 + (?8.3) برابر با 4.8 است

این مثال را می توان به اختصار نوشت:

مثال 16.مقدار عبارت?7,2 + (?3,11) را بیابید

این جمع اعداد گویا منفی است. برای اضافه کردن اعداد گویا منفی، باید ماژول های آن ها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده یک منهای قرار دهید. می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید تا عبارت را درهم نریزید:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

بنابراین، مقدار عبارت?7.2 + (?3.11) برابر است با?10.31

این مثال را می توان به اختصار نوشت:

مثال 17.مقدار عبارت?0.48 + (?2.7) را بیابید.

این جمع اعداد گویا منفی است. بیایید ماژول های آنها را جمع کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده علامت منفی بگذاریم. می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید تا عبارت درهم نریزد:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

مثال 18.مقدار عبارت?4,9 ? 5.9

بیایید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم. ما در نظر می گیریم که منهای داده شده در عبارت نشانه ای از عملیات است و برای کسر اعشاری 5.9 اعمال نمی شود. این کسر اعشاری علامت بعلاوه مخصوص به خود را دارد که به دلیل اینکه نوشته نشده است نامرئی است. اما برای وضوح آن را یادداشت می کنیم:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را به دست آوردیم. ماژول های آنها را جمع کنید و جلوی پاسخ به دست آمده یک منهای قرار دهید. می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید تا عبارت را درهم نریزید:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

بنابراین، مقدار عبارت ?4.9 ? 5.9 برابر است؟ 10.8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

مثال 19.مقدار عبارت 7 را پیدا کنید؟ 9.3

بیایید هر عدد را همراه با علائم آن در داخل پرانتز قرار دهیم

جمع را جایگزین تفریق کنیم

جمع اعداد گویا را با علائم مختلف به دست آوردیم. بیایید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنیم و جلوی پاسخ علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهیم. می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید تا عبارت را درهم نریزید:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

بنابراین، مقدار عبارت 7 ? 9.3 برابر است؟ 2.3

راه حل دقیق این مثال به صورت زیر نوشته شده است:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

یک راه حل کوتاه به این صورت است:

مثال 20.مقدار عبارت?0.25 ? (?1،2)

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

جمع اعداد گویا را با علائم مختلف به دست آوردیم. اجازه دهید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنیم و جلوی پاسخ علامتی که ماژول آن بزرگتر است قرار دهیم:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

راه حل دقیق این مثال به صورت زیر نوشته شده است:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

یک راه حل کوتاه به این صورت است:

مثال 21.مقدار عبارت?3.5 + (4.1 ? 7.1) را بیابید.

اول از همه، اعمال داخل پرانتز را انجام می دهیم، سپس پاسخ به دست آمده را با عدد?3.5 اضافه می کنیم. ما از ورودی با ماژول ها صرف نظر می کنیم تا عبارات را به هم نریزیم.

اقدام اول:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

اقدام دوم:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

پاسخ:مقدار عبارت?3.5 + (4.1 ? 7.1) برابر با?6.5 است.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

مثال 22.مقدار عبارت (3.5 ? 2.9) را بیابید؟ (3.7 ? 9.1)

اعمال را در براکت انجام می دهیم، سپس از عددی که در نتیجه اجرای براکت اول به دست آمد، عددی را که در نتیجه اجرای براکت دوم به دست آمد، کم کنیم. ما از ورودی با ماژول ها صرف نظر می کنیم تا عبارات را به هم نریزیم.

اقدام اول:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

اقدام دوم:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

عمل سوم

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

پاسخ:مقدار عبارت (3.5 ? 2.9) ? (3.7 ? 9.1) برابر با 6 است.

یک راه حل کوتاه برای این مثال را می توان به صورت زیر نوشت:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

مثال 23.مقدار عبارت?3.8 + 17.15 ? 6.2؟ 6.15

اجازه دهید هر عدد گویا را همراه با علائم آن در پرانتز قرار دهیم

در صورت امکان تفریق را با جمع جایگزین کنید

این عبارت از چند اصطلاح تشکیل شده است. طبق قانون ترکیبی جمع، اگر یک عبارت از چند عبارت تشکیل شده باشد، مجموع آن به ترتیب اعمال بستگی ندارد. این بدان معنی است که شرایط را می توان به هر ترتیبی اضافه کرد.

بیایید چرخ را دوباره اختراع نکنیم، بلکه تمام اصطلاحات را از چپ به راست به ترتیب ظاهر شدنشان جمع کنیم:

اقدام اول:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

اقدام دوم:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

اقدام سوم:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

پاسخ:مقدار عبارت?3.8 + 17.15 ? 6.2؟ 6.15 برابر است با 1.

یک راه حل کوتاه برای این مثال را می توان به صورت زیر نوشت:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

راه حل های کوتاه مشکلات و سردرگمی کمتری ایجاد می کنند، بنابراین توصیه می شود به آنها عادت کنید.

مثال 24.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید کسر اعشاری؟1.8 را به عدد مختلط تبدیل کنیم. بقیه را همانطور که هست بازنویسی می کنیم. اگر در تبدیل کسر اعشاری به عدد مختلط مشکل دارید، حتما درس را تکرار کنید اعداد اعشاری.

مثال 25.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

جمع را جایگزین تفریق کنیم. در همان زمان، کسری اعشاری (?4،4) را به کسری نامناسب تبدیل می کنیم.

هیچ عدد منفی در عبارت حاصل وجود ندارد. و از آنجایی که اعداد منفی وجود ندارد، می‌توانیم مثبت جلوی عدد دوم را حذف کرده و پرانتز را حذف کنیم. سپس یک عبارت ساده برای جمع می گیریم که به راحتی قابل حل است

مثال 26.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید عدد مختلط را به کسر نامناسب و کسر اعشاری?0.85 را به کسری مشترک تبدیل کنیم. عبارت زیر را دریافت می کنیم:

جمع اعداد گویا منفی را به دست آوردیم. بیایید ماژول های آنها را جمع کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده علامت منفی بگذاریم. می‌توانید ورودی را با ماژول‌ها نادیده بگیرید تا عبارت را درهم نریزید:

مثال 27.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید هر دو کسر را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم. برای تبدیل اعداد اعشاری 2.05 به کسر نامناسب، می توانید ابتدا آن را به یک عدد مختلط و سپس به کسری نامناسب تبدیل کنید:

پس از تبدیل هر دو کسر به کسر نامناسب، عبارت زیر را دریافت می کنیم:

جمع اعداد گویا را با علائم مختلف به دست آوردیم. اجازه دهید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهیم:

مثال 28.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

جمع را جایگزین تفریق کنیم. در همان زمان، کسری اعشاری را به کسری مشترک تبدیل می کنیم

مثال 29.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید کسرهای اعشاری؟0.25 و?1.25 را به کسرهای رایج، بقیه را همانطور که هست می گذاریم. عبارت زیر را دریافت می کنیم:

ابتدا می توانید در صورت امکان، جمع را جایگزین تفریق کنید و اعداد گویا را یکی پس از دیگری اضافه کنید. گزینه دوم وجود دارد: ابتدا اعداد گویا و را اضافه کنید و سپس عدد گویا را از عدد حاصل کم کنید. ما از این گزینه استفاده خواهیم کرد.

اقدام اول:

اقدام دوم:

پاسخ:ارزش بیانی برابر با؟2.

مثال 30.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

بیایید کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم. بقیه را همین طور که هست بگذاریم

ما مجموع چند عبارت را دریافت کردیم. اگر مجموع از چند عبارت تشکیل شده باشد، می توان عبارت را به هر ترتیبی ارزیابی کرد. این از قانون انجمنی جمع ناشی می شود.

بنابراین، ما می توانیم راحت ترین گزینه را برای خود سازماندهی کنیم. اول از همه، می توانید اولین و آخرین عبارت، یعنی اعداد گویا و . این اعداد مخرج های مشابه، به این معنی که این ما را از نیاز به آوردن آنها به او رها می کند.

اقدام اول:

عدد حاصل را می توان به جمله دوم یعنی یک عدد گویا اضافه کرد. اعداد گویا در قسمت های کسری خود مخرج های یکسانی دارند که باز هم برای ما یک مزیت است

اقدام دوم:

خوب، بیایید عدد بدست آمده را با جمله آخر، یعنی عدد گویا، جمع کنیم. به راحتی، هنگام محاسبه این عبارت، هفت ها ناپدید می شوند، یعنی مجموع آنها برابر با صفر خواهد بود، زیرا مجموع اعداد مقابل صفر است.

اقدام سوم:

پاسخ:ارزش عبارت است

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید VKontakte و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

جمع و تفریق اعداد صحیح

در این درس خواهیم آموخت جمع و تفریق اعداد صحیحو همچنین قوانین جمع و تفریق آنها.

به یاد بیاورید که اعداد صحیح همه اعداد مثبت و منفی و همچنین عدد 0 هستند. به عنوان مثال، اعداد زیر اعداد صحیح هستند:

اعداد مثبت را به راحتی می توان جمع و تفریق کرد، ضرب و تقسیم کرد. متأسفانه در مورد اعداد منفی که بسیاری از مبتدیان را با منفی هایشان در مقابل هر عدد گیج می کنند، نمی توان همین را گفت. همانطور که تمرین نشان می دهد، اشتباهات ناشی از اعداد منفی بیشتر دانش آموزان را ناامید می کند.

نمونه هایی از جمع و تفریق اعداد صحیح

اولین چیزی که باید یاد بگیرید جمع و تفریق اعداد صحیح با استفاده از یک خط مختصات است. کشیدن خط مختصات اصلا ضروری نیست. کافی است آن را در افکار خود تصور کنید و ببینید اعداد منفی در کجا قرار دارند و اعداد مثبت کجا.

بیایید ساده ترین عبارت را در نظر بگیریم: 1 + 3. مقدار این عبارت 4 است:

این مثال را می توان با استفاده از یک خط مختصات درک کرد. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید سه مرحله به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه، ما خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 4 در آن قرار دارد. در شکل می توانید ببینید که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت مثبت در عبارت 1 + 3 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 2.بیایید مقدار عبارت 1 را پیدا کنیم؟ 3.

ارزش این عبارت است؟2

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل درک است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید به سه مرحله سمت چپ بروید. در نتیجه، خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی؟2 در آن قرار دارد. در تصویر می توانید ببینید که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت منفی در عبارت 1؟ 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

به طور کلی، باید به خاطر داشته باشید که اگر اضافه انجام شود، باید در جهت افزایش به سمت راست حرکت کنید. اگر تفریق انجام شود، باید در جهت کاهش به سمت چپ حرکت کنید.

مثال 3.مقدار عبارت را بیابید؟2 + 4

مقدار این عبارت 2 است

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل درک است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی؟2 قرار دارد، باید چهار قدم به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد مثبت 2 قرار دارد.

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی?2 در آن قرار دارد، چهار پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد مثبت 2 قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت ?2 + 4 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 4.مقدار عبارت را بیابید؟1 ? 3

مقدار این عبارت است؟4

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل حل است. برای این کار، از نقطه ای که عدد منفی؟1 قرار دارد، باید به سه مرحله سمت چپ بروید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی در آن قرار دارد؟4

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی؟1 در آن قرار دارد، سه پله به سمت چپ حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد منفی؟4 قرار دارد.

علامت منفی در عبارت?1 ? 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

مثال 5.مقدار عبارت را بیابید؟2 + 2

مقدار این عبارت 0 است

این مثال را می توان با استفاده از یک خط مختصات حل کرد. برای این کار، از نقطه ای که عدد منفی؟2 قرار دارد، باید به دو مرحله سمت راست بروید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 0 در آن قرار دارد

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی?2 در آن قرار دارد، دو پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد 0 قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت ?2 + 2 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح

برای محاسبه این یا آن عبارت، لازم نیست هر بار یک خط مختصات تصور کنید، چه رسد به ترسیم آن. استفاده از قوانین آماده راحت تر است.

هنگام اعمال قوانین، باید به علامت عملیات و علائم اعدادی که باید اضافه یا کم شوند توجه کنید. این مشخص می کند که کدام قانون اعمال شود.

مثال 1.مقدار عبارت را بیابید؟2 + 5

در اینجا یک عدد مثبت به عدد منفی اضافه می شود. به عبارت دیگر اعداد با علائم مختلف اضافه می شوند. ?2 یک عدد منفی و 5 عدد مثبت است. برای چنین مواردی، قانون زیر ارائه شده است:

بنابراین، بیایید ببینیم کدام ماژول بزرگتر است:

مدول عدد 5 از مدول عدد بیشتر است؟2. این قانون مستلزم کم کردن یک کوچکتر از ماژول بزرگتر است. بنابراین باید 2 را از 5 کم کنیم و قبل از پاسخ به دست آمده علامتی را که مدول آن بیشتر است قرار دهیم.

عدد 5 مدول بزرگ تری دارد پس علامت این عدد در جواب خواهد بود. یعنی پاسخ مثبت خواهد بود:

معمولاً کوتاهتر نوشته می شود؟ 2 + 5 = 3

مثال 2.مقدار عبارت 3 + (?2) را بیابید

در اینجا نیز مانند مثال قبل، اعدادی با علائم مختلف اضافه می شوند. 3 یک عدد مثبت و ?2 منفی است. لطفاً توجه داشته باشید که عدد؟2 در داخل پرانتز قرار گرفته است تا عبارت واضح تر و زیباتر شود. درک این عبارت بسیار ساده تر از عبارت 3+?2 است.

بنابراین، اجازه دهید قانون جمع کردن اعداد با علائم مختلف را اعمال کنیم. مانند مثال قبل، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و قبل از پاسخ علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

مدول عدد 3 از مدول عدد?2 بزرگتر است پس 2 را از 3 کم کردیم و قبل از پاسخ به دست آمده علامت مدول را که بزرگتر است قرار می دهیم. عدد 3 مدول بزرگ تری دارد به همین دلیل علامت این عدد در جواب آمده است. یعنی جواب مثبت است.

معمولاً کوتاهتر 3 + (?2) = 1 نوشته می شود

مثال 3.مقدار عبارت 3 را پیدا کنید؟ 7

در این عبارت عدد بزرگتر از عدد کوچکتر کم می شود. برای چنین موردی، قانون زیر ارائه شده است:

برای کم کردن یک عدد بزرگتر از یک عدد کوچکتر، باید بیشترکوچکتر را تفریق کرده و جلوی جواب به دست آمده یک منهای قرار دهید.

این تعبیر گیرایی جزئی دارد. به یاد داشته باشیم که علامت مساوی (=) زمانی بین مقادیر و عبارات قرار می گیرد که با یکدیگر برابر باشند.

ارزش عبارت 3؟ 7 چگونه متوجه شدیم که برابر است؟4. این بدان معنی است که هر تبدیلی که در این عبارت انجام خواهیم داد باید برابر باشد؟4

اما می بینیم که در مرحله دوم عبارت 7 وجود دارد؟ 3 که برابر با?4 نیست.

برای اصلاح این وضعیت عبارت 7 ? 3 باید در پرانتز قرار گیرد و علامت منفی باید در جلوی این براکت قرار گیرد:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

در این صورت برابری در هر مرحله رعایت خواهد شد:

پس از ارزیابی عبارت، پرانتزها را می توان حذف کرد، کاری که ما انجام دادیم.

بنابراین برای دقیق تر بودن راه حل باید به شکل زیر باشد:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

این قانون را می توان با استفاده از متغیرها نوشت. شبیه این خواهد شد:

آ؟ ب =؟ (ب؟ الف)

تعداد زیادی پرانتز و علائم عملیات می تواند حل یک مسئله به ظاهر ساده را پیچیده کند، بنابراین بهتر است یاد بگیرید که چگونه چنین مثال هایی را به طور خلاصه بنویسید، مثلاً 3؟ 7 =؟ 4.

در واقع، جمع و تفریق اعداد صحیح به چیزی جز جمع نمی رسد. این یعنی چی؟ این بدان معنی است که اگر شما نیاز به تفریق اعداد دارید، این عمل را می توان با جمع جایگزین کرد.

پس بیایید با قانون جدید آشنا شویم:

تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای اضافه کردن عددی است که مخالف عددی است که در حال تفریق است.

برای مثال ساده ترین عبارت 5 را در نظر بگیرید؟ 3. در مراحل اولیه مطالعه ریاضی، به سادگی علامت مساوی قرار داده و پاسخ را یادداشت می کنیم:

اما اکنون در مطالعه خود در حال پیشرفت هستیم، بنابراین باید خود را با قوانین جدید وفق دهیم. قانون جدید می گوید که تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای اضافه کردن عددی است که مخالف عددی است که در حال تفریق است.

بیایید سعی کنیم این قانون را با استفاده از مثال عبارت 5?3 درک کنیم. مینیوند در این عبارت 5 و فرعی 3 است. قانون می گوید برای تفریق 3 از 5، باید عددی را به 5 اضافه کنید که مخالف 3 باشد. مقابل 3 عدد است؟3 . بیایید یک عبارت جدید بنویسیم:

و ما قبلاً می دانیم که چگونه معانی چنین عباراتی را پیدا کنیم. این جمع اعداد با علائم مختلف است که در بالا به آن پرداختیم. برای اضافه کردن اعداد با علامت های مختلف، باید عدد کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و قبل از پاسخ، علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

مدول عدد 5 از مدول عدد بیشتر است؟3. بنابراین 3 را از 5 کم کردیم و 2 گرفتیم. عدد 5 مدول بزرگتری دارد پس علامت این عدد را در پاسخ قرار می دهیم. یعنی جواب مثبت است.

در ابتدا، همه نمی توانند به سرعت جمع را جایگزین تفریق کنند. این به این دلیل است که اعداد مثبت بدون علامت مثبت نوشته می شوند.

مثلاً در عبارت 3؟ علامت 1 منهای نشان دهنده تفریق یک علامت عملیاتی است و به یک اشاره نمی کند. واحد در این مورد یک عدد مثبت است و علامت مثبت خاص خود را دارد، اما ما آن را نمی بینیم، زیرا به طور سنتی یک مثبت قبل از اعداد مثبت نوشته نمی شود.

و برای وضوح این بیانرا می توان به صورت زیر نوشت:

برای راحتی، اعداد با علائم خاص خود را در پرانتز قرار می دهند. در این مورد، جایگزینی تفریق با جمع بسیار آسان تر است. عدد تفریق شده در این حالت عدد (+1) و عدد مقابل آن (?1) است. عمل تفریق را با جمع جایگزین می کنیم و به جای عدد فرعی (+1) عدد مقابل (?1) را می نویسیم.

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این حرکات اضافی چه فایده ای دارد اگر بتوانید از روش خوب قدیمی برای قرار دادن علامت مساوی استفاده کنید و بلافاصله پاسخ 2 را یادداشت کنید. در واقع، این قانون بیش از یک بار به ما کمک می کند.

بیایید مثال قبلی 3 را حل کنیم؟ 7، با استفاده از قانون تفریق. ابتدا، بیایید عبارت را به شکل عادی برسانیم و به هر عدد علائم خاص خود را اختصاص دهیم. سه علامت مثبت دارد زیرا عددی مثبت است. علامت منفی که نشان دهنده تفریق است برای هفت صدق نمی کند. هفت دارای علامت مثبت است زیرا یک عدد مثبت نیز هست:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

محاسبه بیشتر دشوار نیست:

مثال 7.مقدار عبارت را بیابید؟4 ? 5

باز هم یک عمل تفریق داریم. این عملیات باید با افزودن جایگزین شود. به مینیوند (?4) عدد مقابل زیر خط (+5) را اضافه می کنیم. عدد مقابل برای زیر خط (+5) عدد (?5) است.

ما به شرایطی رسیده ایم که باید اعداد منفی را اضافه کنیم. برای چنین مواردی، قانون زیر ارائه شده است:

برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده، یک منهای قرار دهید.

بنابراین، بیایید طبق قانون، ماژول های اعداد را با هم جمع کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده یک منهای قرار دهیم:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

ورودی با ماژول ها باید در براکت ها محصور شود و علامت منفی باید قبل از این براکت ها قرار داده شود. به این ترتیب یک منهای ارائه می دهیم که باید قبل از پاسخ ظاهر شود:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

مثال 8.مقدار عبارت را بیابید؟3 ? 5؟ 7؟ 9

بیایید بیان را به شکل واضحی برسانیم. در اینجا، همه اعداد به جز عدد?3 مثبت هستند، بنابراین آنها دارای علائم مثبت خواهند بود:

اجازه دهید عملیات تفریق را با عملیات جمع جایگزین کنیم. همه منفی ها (به جز منفی که جلوی سه است) به مثبت و همه اعداد مثبت به عکس تغییر می کنند:

حالا بیایید قانون جمع اعداد منفی را اعمال کنیم. برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده، یک منهای قرار دهید:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

مثال 9.مقدار عبارت را بیابید؟10 + 6? 15 + 11؟ 7

بیایید عبارت را به یک شکل واضح بیاوریم:

در اینجا دو عمل وجود دارد: جمع و تفریق. جمع را همان طور که هست رها می کنیم و جمع را جایگزین تفریق می کنیم:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

با رعایت ترتیب اقدامات، هر عمل را به نوبت و بر اساس قوانینی که قبلاً آموخته ایم انجام می دهیم. ورودی های دارای ماژول را می توان نادیده گرفت:

اقدام اول:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

اقدام دوم:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

اقدام سوم:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

اقدام چهارم:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

بنابراین، مقدار عبارت?10 + 6? 15 + 11؟ 7 برابر است؟ 15

توجه داشته باشید. به هیچ وجه لازم نیست که عبارت را با قرار دادن اعداد در پرانتز به شکلی قابل فهم درآورید. هنگامی که عادت به اعداد منفی رخ می دهد، این مرحله را می توان نادیده گرفت زیرا وقت گیر است و ممکن است گیج کننده باشد.

بنابراین، برای جمع و تفریق اعداد صحیح، باید قوانین زیر را به خاطر بسپارید:

برای اضافه کردن اعداد با علائم مختلف، باید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و قبل از پاسخ به دست آمده علامتی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید.

برای تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید و جلوی جواب حاصل علامت منفی قرار دهید.

تفریق یک عدد از عدد دیگر به این معناست که به عددی که در حال تفریق است، عدد مخالف عددی که کم می شود، کاهش می یابد.

برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده علامت منفی بگذارید.

• هاکی بدون قوانین VKontakte این بازی در سپتامبر 2012 منتشر شد و تاکنون تقریباً 700000 کاربر به دست آورده است. دو حالت بازی و امکانات زیادی برای تیم سازی وجود دارد. جریان یک مسابقه در هاکی بدون قوانین VKontakte یادآور بازی های اولیه سری NHL از Electronic Arts است. 3 بازیکن در […]
• قوانین پوکر اوماها هولدم Omaha Hi-Lo و پنج کارتی Omaha Omaha Hold'em یک تغییر جزئی در تگزاس هولدم است. اگر در این محبوب ترین شکل پوکر تازه کار هستید، قوانین تگزاس هولدم را در اینجا مطالعه کنید. دانش آنها برای درک قوانین اوماها ضروری است. همه […]
• حل مسائل ژنتیکی با استفاده از قوانین 1 و 2 مندل سخنرانی 8 جولیا کیاهرنوا 1. - ارائه ارائه 3 سال پیش توسط Alina Artemyeva منتشر شد ارائه مشابه ارائه با موضوع: "حل مسائل ژنتیکی با استفاده از قوانین اول و دوم مندل" سخنرانی 8 Julia […]
• 5-7 قواعد جبر به دنباله عددی که هر عضو آن با شروع از دومی برابر با قبلی است و برای یک دنباله معین به همان عدد d اضافه می شود، پیشروی حسابی می گویند. عدد d را تفاضل می گویند پیشرفت حسابی. در پیشرفت حسابی، یعنی در […]
• ما نرخ مالیات حمل و نقل را برای وانت ها و سایر اتومبیل های غیر معمول با رده "B" تعیین می کنیم. اطلاعات لازم را از عنوان دریافت می کنیم بلافاصله خواهیم گفت که داده های نشان داده شده در خط 4 "رده خودرو (A, B, C, D, تریلر) ” از گذرنامه وسیله نقلیه(PTS)، نیازی به در نظر گرفتن ندارد. پس از همه، دسته "B" به این معنی نیست […]
• رتبه بندی شرکت های بیمه OSAGO OSAGO به بیمه اجباری اشاره دارد؛ این نه تنها در روسیه، بلکه در سایر کشورهای همسایه نیز فعالیت می کند. این بیمه نامه ها توسط بسیاری از شرکت های بیمه صادر می شود که مجوز مناسب برای انجام این گونه فعالیت ها را دریافت کرده اند. با این حال، […]
• اقامت در هتل Ufa مینی هتل در Ufa 5 پنج اتاق مهمانان پایتخت را به یک هتل دنج و راحت که در مرکز Ufa در خیابان Komsomolskaya 159/1 واقع شده است دعوت می کنیم. در مجاورت هتل مجموعه سینمایی Iskra IMAX، سیرک، رستوران-کلوب A کافه، رستوران Beer Berry، مرکز خرید وجود دارد.
• شرایط استفاده حال سادهزمان در زبان انگلیسی زمان حال ساده یک زمان دستوری است که یکی از ساده‌ترین زمان‌ها برای درک در نظر گرفته می‌شود، زیرا زمان حال ساده در همه زبان‌ها وجود دارد. که در زبان های اسلاویبله قربان. اگر در حال خواندن این مقاله هستید، به این معنی است که شما تنها [...]

چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام قدرت ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب کنیم؟

در جبر، شما می توانید حاصل ضرب قوا را در دو حالت بیابید:

1) اگر درجات دارای پایه های یکسان باشند.

2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه باید یکسان باقی بماند و توان ها باید اضافه شوند:

هنگام ضرب درجات با شاخص های یکسان، شاخص کلی را می توان از پرانتز خارج کرد:

بیایید نحوه ضرب توان ها را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم.

واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب توان ها، آنها را در نظر می گیرند:

هنگام ضرب، هر تعداد توان می تواند وجود داشته باشد. لازم به یادآوری است که لازم نیست علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:

در عبارات، قدرت اول انجام می شود.

اگر نیاز دارید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن ضرب را انجام دهید:

www.algebraclass.ru

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر با مجموعیا تفاوت مربع های آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3 -2 می شود.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.

2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 = 1، دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

خواص مدرک

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. مدرک با شاخص های منطقیو خواص آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک مدرک با شاخص طبیعی چندین دارد خواص مهم، که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با قدرت ساده کنید.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.

بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در دارایی مشخص شدهما فقط در مورد ضرب قدرت با پایه های یکسان صحبت می کردیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

محاسبه.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت

هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

(a n · b n) = (a · b) n

یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.

مثال. محاسبه.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. محاسبه.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

در بیشتر نمونه های پیچیدهممکن است مواردی وجود داشته باشد که باید ضرب و تقسیم بر روی توان هایی با پایه های مختلف و شاخص های مختلف. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

نمونه ای از افزایش اعشار به توان.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

خواص 5
توان یک ضریب (کسری)

برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

(a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b ≠ 0، n - هر عدد طبیعی.

مثال. عبارت را به عنوان ضریب توان ارائه کنید.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

قدرت ها و ریشه ها

عملیات با قدرت و ریشه. مدرک با منفی ,

صفر و کسری نشانگر در مورد عباراتی که معنی ندارند.

عملیات با درجه.

1. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها اضافه می شود:

صبح · a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کسر می شوند .

3. درجه حاصلضرب دو یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل.

4. درجه یک نسبت (کسری) برابر است با نسبت درجات تقسیم (حساب) و مقسوم علیه (مخرج):

(الف/ب) n = a n / b n .

5. هنگام افزایش توان به توان، توان آنها ضرب می شود:

تمامی فرمول های فوق در هر دو جهت از چپ به راست و بالعکس خوانده و اجرا می شوند.

مثال (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

عملیات با ریشه در تمام فرمول های زیر نماد به معنی است ریشه حسابی(بیان رادیکال مثبت است).

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه نگرش برابر با نسبتریشه های تقسیم و تقسیم کننده:

3. هنگام بالا بردن یک ریشه به یک قدرت، کافی است به این قدرت برسانید عدد رادیکال:

4. اگر درجه ریشه را m برابر کنید و همزمان عدد رادیکال را به توان mth برسانید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

5. اگر درجه ریشه را m برابر کاهش دهید و همزمان ریشه m ام عدد رادیکال را استخراج کنید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

گسترش مفهوم درجه. تا کنون درجاتی را فقط با شارحهای طبیعی در نظر گرفته ایم. اما عملیات با قدرت و ریشه نیز می تواند منجر شود منفی, صفرو کسریشاخص ها. همه این نماها نیاز به تعریف بیشتری دارند.

درجه ای با ضریب منفی. توان یک عدد معین با یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق توان منفی تعریف می شود:

حالا فرمول صبح : a n = m - nرا می توان نه تنها برای متر، بیشتر از n، بلکه با متر، کمتر از n .

مثال آ 4: آ 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

اگر فرمول را بخواهیم صبح : a n = صبح — nوقتی منصفانه بود m = n، به تعریف درجه صفر نیاز داریم.

مدرک با شاخص صفر. توان هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. برای اینکه یک عدد واقعی a را به توان m / n برسانید، باید ریشه n ام توان m این عدد a را استخراج کنید:

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.

جایی که آ ≠ 0 , وجود ندارد.

در واقع اگر فرض کنیم که ایکسعدد معینی است، پس مطابق با تعریف عملیات تقسیم داریم: آ = 0· ایکس، یعنی آ= 0، که با شرط تناقض دارد: آ ≠ 0

— هر عددی

در واقع اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با فلان عدد باشد ایکس، سپس با توجه به تعریف عملیات تقسیم داریم: 0 = 0 · ایکس. اما این برابری زمانی رخ می دهد که هر عدد x، چیزی بود که باید ثابت می شد.

0 0 — هر عددی

راه حل بیایید سه مورد اصلی را در نظر بگیریم:

1) ایکس = 0 – این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

2) چه زمانی ایکس> 0 دریافت می کنیم: x/x= 1، یعنی 1 = 1 که به این معنی است

چی ایکس- هر تعداد؛ اما با در نظر گرفتن اینکه در

در مورد ما ایکس> 0، پاسخ این است ایکس > 0 ;

قوانین ضرب توان با پایه های مختلف

درجه با شاخص منطقی،

تابع قدرت IV

§ 69. ضرب و تقسیم قوا با پایه های یکسان

قضیه 1.برای ضرب توان ها با پایه های یکسان کافی است نماها را جمع کنید و پایه را ثابت بگذارید.

اثباتبا تعریف مدرک

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

ما به حاصل ضرب دو قدرت نگاه کردیم. در واقع، خاصیت اثبات شده برای هر تعداد قدرت با پایه های یکسان صادق است.

قضیه 2.برای تقسیم قدرت ها با مبانی یکسان، وقتی شاخص سود از شاخص تقسیم کننده بزرگتر است، کافی است شاخص تقسیم کننده را از شاخص سود کم کنید و پایه را ثابت بگذارید. در t > p

(آ =/= 0)

اثباتبه یاد بیاورید که ضریب تقسیم یک عدد بر عدد دیگر عددی است که وقتی در مقسوم علیه ضرب شود، سود حاصل می شود. بنابراین، فرمول کجا را ثابت کنید آ =/= 0، مانند اثبات فرمول است

اگر t > p ، سپس شماره t - p طبیعی خواهد بود؛ بنابراین، توسط قضیه 1

قضیه 2 ثابت شده است.

لازم به ذکر است که فرمول

ما فقط با این فرض ثابت کرده ایم که t > p . بنابراین، از آنچه ثابت شده است، هنوز نمی توان به عنوان مثال، به نتایج زیر دست یافت:

علاوه بر این، ما هنوز درجاتی را با توان منفی در نظر نگرفته ایم و هنوز نمی دانیم چه معنایی می توان به عبارت 3 داد. - 2 .

قضیه 3. برای بالا بردن درجه به توان کافی است که نماها را ضرب کنیم و پایه درجه را ثابت نگه داریم.، به این معنا که

اثباتبا استفاده از تعریف درجه و قضیه 1 این بخش به دست می آید:

Q.E.D.

به عنوان مثال، (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (شفاهی) تعیین کنید ایکس از معادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 ایکس ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 ایکس ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 ایکس ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 ایکس .

519. (شماره تنظیم) ساده کنید:

520. (شماره تنظیم) ساده کنید:

521. این عبارات را به صورت درجه با همان مبناها ارائه دهید:

1) 32 و 64; 3) 8 5 و 16 3; 5) 4 100 و 32 50;

2) -1000 و 100; 4) -27 و -243; 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

توانی با توان طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که به ما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با توان ها ساده کنیم.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

یاد آوردن!

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.

• بیان را ساده کنید.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

مهم!

لطفاً توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده ما فقط در مورد ضرب توان با آن صحبت می کردیم بر همین اساس . در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

یاد آوردن!

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

• مثال. بیان را ساده کنید.
  4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5
• مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  مهم!

  لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

  شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. اگر حساب کنید این قابل درک است (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ، و 4 1 = 4

  مراقب باش!

  ملک شماره 3
  بالا بردن درجه به یک قدرت

  یاد آوردن!

  هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

  (a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

  
  

  خواص 4
  قدرت محصول

  یاد آوردن!

  هنگام بالا بردن یک محصول به یک توان، هر یک از عوامل به یک توان بالا می رود. سپس نتایج بدست آمده ضرب می شوند.

  (a ب) n = a n b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند. "n" هر عدد طبیعی است.

  • مثال 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • مثال 2.
    (-x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  مهم!

  توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

  (a n · b n) = (a · b) n

  یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.

  • مثال. محاسبه.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
  • مثال. محاسبه.
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

  مثلا، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  نمونه ای از افزایش اعشار به توان.

  4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

  خواص 5
  توان یک ضریب (کسری)

  یاد آوردن!

  برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

  (a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b ≠ 0، n هر عدد طبیعی است.

  • مثال. عبارت را به عنوان ضریب توان ارائه کنید.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

در مقاله قبلی توضیح دادیم که تک نام ها چیست. در این مطلب به نحوه حل مثال ها و مسائلی که در آنها استفاده شده است خواهیم پرداخت. در اینجا اعمالی مانند تفریق، جمع، ضرب، تقسیم جملات و رساندن آنها به توانی با توان طبیعی را در نظر خواهیم گرفت. ما نشان خواهیم داد که چگونه چنین عملیاتی تعریف می شود، قوانین اساسی برای اجرای آنها و چه نتیجه ای باید باشد. تمام مفاهیم نظری، طبق معمول، با مثال هایی از مسائل با شرح راه حل ها نشان داده خواهد شد.

کار با نماد استاندارد تک اسم ها راحت تر است، بنابراین ما تمام عباراتی را که در مقاله استفاده می شود به شکل استاندارد ارائه می دهیم. اگر آنها در ابتدا به طور متفاوتی مشخص شده بودند، توصیه می شود ابتدا آنها را به یک فرم عمومی پذیرفته شده بیاورید.

قوانین جمع و تفریق تک جفت ها

ساده ترین عملیاتی که می توان با تک اسم ها انجام داد، تفریق و جمع است. که در مورد کلینتیجه این اقدامات یک چند جمله ای خواهد بود (تک جمله در برخی موارد خاص امکان پذیر است).

وقتی تک‌جملات را جمع یا تفریق می‌کنیم، ابتدا مجموع و تفاوت مربوطه را به شکلی که عموماً پذیرفته شده است می‌نویسیم و سپس عبارت حاصل را ساده می‌کنیم. در صورت وجود عبارات مشابه، لازم است به آنها استناد شود و پرانتزها باید باز شوند. با یک مثال توضیح می دهیم.

مثال 1

وضعیت:جمع جملات - 3 x و 2، 72 x 3 y 5 z را انجام دهید.

راه حل

بیایید مجموع عبارات اصلی را بنویسیم. بیایید پرانتز اضافه کنیم و بین آنها علامت مثبت قرار دهیم. موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

(- 3 x) + (2، 72 x 3 و 5 z)

هنگامی که بسط پرانتز را انجام می دهیم، - 3 x + 2، 72 x 3 y 5 z را دریافت می کنیم. این یک چند جمله ای است که به شکل استاندارد نوشته شده است که حاصل جمع این تک جمله ها خواهد بود.

پاسخ:(- 3 x) + (2.72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2.72 x 3 y 5 z.

اگر سه، چهار یا چند ترم داشته باشیم، این عمل را دقیقاً به همین صورت انجام می دهیم.

مثال 2

وضعیت:به داخل بکشید به ترتیب درستاقدامات مشخص شده با چند جمله ای ها

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

راه حل

بیایید با باز کردن پرانتزها شروع کنیم.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

می بینیم که عبارت حاصل را می توان با افزودن عبارت های مشابه ساده کرد:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

ما یک چند جمله ای داریم که نتیجه این عمل خواهد بود.

پاسخ: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

در اصل می‌توانیم دو تک‌جمله را با محدودیت‌هایی جمع و کم کنیم تا در نهایت به یک تک‌جمله بپردازیم. برای انجام این کار، شما باید برخی از شرایط را در مورد اضافات و مونومی های تفریق شده داشته باشید. نحوه انجام این کار را در مقاله ای جداگانه به شما خواهیم گفت.

قوانین ضرب تک جفت ها

عمل ضرب هیچ محدودیتی برای عوامل ایجاد نمی کند. تک جملاتی که ضرب می شوند نباید با هیچ کدام مطابقت داشته باشند شرایط اضافی، به طوری که نتیجه یک تک نام است.

برای انجام ضرب تک‌جملات، باید مراحل زیر را دنبال کنید:

1. قطعه را به درستی یادداشت کنید.
2. پرانتز را در عبارت به دست آمده باز کنید.
3. در صورت امکان، عوامل با متغیرهای یکسان و فاکتورهای عددی را جداگانه گروه بندی کنید.
4. عملیات لازم را با اعداد انجام دهید و خاصیت ضرب توان ها را با پایه های یکسان بر عوامل باقیمانده اعمال کنید.

بیایید ببینیم که چگونه این کار در عمل انجام می شود.

مثال 3

وضعیت:تک جملات را در 2 x 4 y z و - 7 16 t 2 x 2 z 11 ضرب کنید.

راه حل

بیایید با آهنگسازی کار شروع کنیم.

براکت های داخل آن را باز می کنیم و موارد زیر را می گیریم:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که اعداد داخل پرانتز اول را ضرب کرده و خاصیت توان ها را برای دومی اعمال کنیم. در نتیجه موارد زیر را بدست می آوریم:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

پاسخ: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

اگر شرط ما شامل سه یا چند چند جمله ای باشد، آنها را دقیقاً با همان الگوریتم ضرب می کنیم. در مطلبی جداگانه موضوع ضرب تک اسم ها را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

قوانینی برای افزایش یک واحد به یک قدرت

می دانیم که توانی با توان طبیعی حاصل تعداد معینی از عوامل یکسان است. تعداد آنها با عدد موجود در نشانگر نشان داده می شود. بر اساس این تعریف، افزایش یک مونومی به توان برابر است با ضرب تعداد مشخص شده تک جملات یکسان. بیایید ببینیم چگونه انجام می شود.

مثال 4

وضعیت:یک جمله − 2 · a · b 4 را به توان 3 برسانید.

راه حل

ما می توانیم توان را با ضرب 3 تک جمله ای جایگزین کنیم − 2 · a · b 4 . بیایید آن را یادداشت کنیم و پاسخ مورد نظر را دریافت کنیم:

(- 2 · a · b 4) 3 = (- 2 · a · b 4) · (- 2 · a · b 4) · (- 2 · a · b 4) = = ((- 2) · (- 2) · (- 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = - 8 · a 3 · b 12

پاسخ:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

اما اگر مدرک دارای شاخص بزرگی باشد چه؟ بنویس تعداد زیادی ازضرب کننده ها ناخوشایند هستند. سپس برای حل چنین مشکلی باید ویژگی های یک درجه یعنی خاصیت درجه محصول و خاصیت درجه را در درجه اعمال کنیم.

بیایید مشکلی را که در بالا ارائه کردیم با استفاده از روش ذکر شده حل کنیم.

مثال 5

وضعیت:− 2 · a · b 4 را به توان سوم برسانید.

راه حل

با دانستن ویژگی power-to-degree، می‌توانیم به یک عبارت به شکل زیر برویم:

(− 2 · a · b 4) 3 = (- 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

پس از این، ما قدرت - 2 را بالا می بریم و ویژگی قدرت ها را به قدرت ها اعمال می کنیم:

(- 2) 3 · (الف) 3 · (ب 4) 3 = - 8 · a 3 · b 4 · 3 = - 8 · a 3 · b 12.

پاسخ:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

ما همچنین مقاله جداگانه ای را به افزایش یک انحصار به یک قدرت اختصاص دادیم.

قوانین تقسیم تک جفت ها

آخرین اکشن با تک اسم ها که در آن تحلیل خواهیم کرد این مواد, – تقسیم یک جملات به یک تک جمله. در نتیجه باید کسری گویا (جبری) به دست آوریم (در برخی موارد امکان به دست آوردن یک تک جمله وجود دارد). بیایید فوراً روشن کنیم که تقسیم بر مونومی صفر تعریف نشده است، زیرا تقسیم بر 0 تعریف نشده است.

برای انجام تقسیم باید تک اسم های مشخص شده را به صورت کسری بنویسیم و در صورت امکان آن را کاهش دهیم.

مثال 6

وضعیت:تک جمله − 9 · x 4 · y 3 · z 7 را بر − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 تقسیم کنید.

راه حل

بیایید با نوشتن تک اسم ها به صورت کسری شروع کنیم.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

این کسر را می توان کاهش داد. پس از انجام این عمل به این موارد می رسیم:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

پاسخ:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

شرایطی که در نتیجه تقسیم تک جملات، یک مونومی بدست می آوریم، در مقاله ای جداگانه آورده شده است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید