ما همچنان به بررسی موضوع "حل نابرابری ها با یک متغیر" می پردازیم. ما قبلاً با نابرابری های خطی و نابرابری های درجه دوم آشنا هستیم. موارد خاص هستند نابرابری های منطقی، که اکنون به بررسی آن می پردازیم. بیایید با دریابیم که چه نوع نابرابری هایی را عقلانی می نامند شروع کنیم. در ادامه به تقسیم آنها به نابرابری های عقلی کل و کسری خواهیم پرداخت. و پس از این، نحوه حل نابرابری های گویا را با یک متغیر مطالعه می کنیم، الگوریتم های مربوطه را یادداشت می کنیم و راه حل هایی را برای مثال های معمولی با توضیحات مفصل در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

نابرابری های عقلانی چیست؟

در کلاس های جبر در مدرسه، به محض شروع گفتگو در مورد حل نابرابری ها، بلافاصله با نابرابری های عقلانی مواجه می شویم. با این حال، در ابتدا آنها را به نام خود نمی نامند، زیرا در این مرحله انواع نابرابری ها چندان مورد توجه نیستند و هدف اصلی کسب مهارت های اولیه در کار با نابرابری ها است. اصطلاح "نابرابری منطقی" خود بعداً در کلاس نهم معرفی می شود، زمانی که مطالعه دقیق نابرابری های این نوع خاص آغاز می شود.

بیایید دریابیم که نابرابری های عقلانی چیست. در اینجا تعریف است:

در تعریف بیان شده چیزی در مورد تعداد متغیرها بیان نشده است، به این معنی که هر تعداد از آنها مجاز است. بسته به این، نابرابری های عقلانی با یک، دو و غیره متمایز می شوند. متغیرها به هر حال، کتاب درسی تعریف مشابهی را ارائه می دهد، اما برای نابرابری های عقلانی با یک متغیر. این قابل درک است، زیرا مدرسه بر حل نابرابری ها با یک متغیر متمرکز است (در زیر فقط در مورد حل نابرابری های منطقی با یک متغیر صحبت خواهیم کرد). نابرابری با دو متغیرکم در نظر گرفته می شوند و نابرابری با سه و تعداد زیادیتقریباً هیچ توجهی به متغیرها نمی شود.

بنابراین، یک نابرابری منطقی را می‌توان با نماد آن تشخیص داد؛ برای انجام این کار، فقط به عبارات سمت چپ و راست آن نگاه کنید و مطمئن شوید که عبارات عقلانی هستند. این ملاحظات به ما اجازه می‌دهد تا مثال‌هایی از نابرابری‌های عقلانی بیاوریم. به عنوان مثال، x>4، x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1)، نابرابری های عقلانی هستند. و نابرابری منطقی نیست، زیرا سمت چپ آن دارای یک متغیر در زیر علامت ریشه است، و بنابراین، یک عبارت منطقی نیست. نابرابری نیز عقلانی نیست، زیرا هر دو جزء آن عبارات عقلانی نیستند.

برای سهولت توضیح بیشتر، ما تقسیم نابرابری های گویا را به عدد صحیح و کسری معرفی می کنیم.

تعریف.

ما نابرابری عقلانی را می نامیم کل، اگر هر دو جزء آن عبارت های عقلی کل باشند.

تعریف.

نابرابری منطقی کسرییک نابرابری منطقی است که حداقل یک قسمت آن عبارت کسری است.

بنابراین 0.5 x≤3 (2-5 سال)، نابرابری های عدد صحیح هستند و 1:x+3>0 و - کسری منطقی.

اکنون داریم درک روشن، نابرابری های گویا چیست و می توانید با خیال راحت اصول حل نابرابری های گویا اعداد صحیح و کسری را با یک متغیر درک کنید.

حل کل نابرابری ها

بیایید برای خود یک وظیفه تعیین کنیم: فرض کنید باید یک نابرابری منطقی کامل را با یک متغیر x از شکل r(x) حل کنیم. ، ≥)، که در آن r(x) و s(x) برخی از عبارت های منطقی اعداد صحیح هستند. برای حل آن، از تبدیل های نابرابری معادل استفاده می کنیم.

اجازه دهید عبارت را از سمت راست به چپ منتقل کنیم، که ما را به نابرابری معادل شکل r(x)-s(x) می رساند.<0 (≤, >، ≥) با یک صفر در سمت راست. بدیهی است که عبارت r(x)−s(x) در سمت چپ نیز یک عدد صحیح است و مشخص است که هر . پس از تبدیل عبارت r(x)-s(x) به چند جمله‌ای مساوی h(x) (در اینجا توجه می‌کنیم که عبارات r(x)-s(x) و h(x) دارای متغیر x هستند)، به نابرابری معادل h(x) می رویم<0 (≤, >, ≥).

در ساده ترین موارد، دگرگونی های انجام شده برای به دست آوردن راه حل مورد نظر کافی است، زیرا آنها ما را از کل اصلی دور می کنند. نابرابری منطقیبه نابرابری که می دانیم چگونه آن را حل کنیم، مثلاً خطی یا درجه دوم. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

جواب کل نابرابری گویا x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم: x·(x+3)+2·x-(x+1) 2-1≤0. پس از تکمیل همه چیز در سمت چپ، به این نتیجه می رسیم نابرابری خطی 3 x−2≤0، که معادل نابرابری عدد صحیح اصلی است. راه حل مشکل نیست:
3 x≤2،
x≤2/3.

پاسخ:

x≤2/3.

مثال.

نابرابری را حل کنید (x 2 +1) 2 −3 x 2 > (x 2 −x) (x 2 +x).

راه حل.

طبق معمول با انتقال عبارت از سمت راست شروع می کنیم و سپس با استفاده از:
(x 2 +1) 2-3 x 2-(x2-x) (x2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1-3 x 2-x 4 +x 2 >0,
1>0 .

بنابراین، با انجام تبدیل‌های معادل، به نابرابری 1>0 رسیدیم که برای هر مقدار از متغیر x صادق است. این بدان معنی است که راه حل نابرابری اعداد صحیح اصلی هر عدد واقعی است.

پاسخ:

x - هر.

مثال.

نابرابری را حل کنید x+6+2 x 3-2 x (x2 +x-5)>0.

راه حل.

در سمت راست یک صفر وجود دارد، بنابراین نیازی به جابجایی چیزی از آن نیست. بیایید کل عبارت سمت چپ را به یک چند جمله ای تبدیل کنیم:
x+6+2 x 3-2 x 3-2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0.

ما یک نابرابری درجه دوم به دست آوردیم که معادل نابرابری اصلی است. ما آن را با استفاده از هر روشی که برای ما شناخته شده است حل می کنیم. بیایید نابرابری درجه دوم را به صورت گرافیکی حل کنیم.

ریشه های مثلث درجه دوم −2 x 2 +11 x+6 را پیدا کنید:

ما یک نقشه شماتیک می کنیم که روی آن صفرهای یافت شده را علامت گذاری می کنیم و در نظر می گیریم که شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند، زیرا ضریب پیشرو منفی است:

از آنجایی که ما یک نابرابری را با علامت > حل می کنیم، به فواصلی که سهمی در بالای محور x قرار دارد علاقه مندیم. این در بازه (0.5-، 6) رخ می دهد که راه حل مورد نظر است.

پاسخ:

(−0,5, 6) .

در موارد پیچیده تر، در سمت چپ نابرابری حاصل h(x)<0 (≤, >، ≥) چند جمله ای از سوم یا بیشتر خواهد بود درجه بالا. برای حل چنین نابرابری هایی، روش بازه ای مناسب است که در مرحله اول باید تمام ریشه های چند جمله ای h(x) را بیابید، که اغلب از طریق .

مثال.

راه حل کل نابرابری گویا را بیابید (x2 +2)·(x+4)<14−9·x .

راه حل.

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم، پس از آن وجود دارد:
(x2 +2)·(x+4)-14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

دستکاری های انجام شده ما را به نابرابری می رساند که معادل نابرابری اصلی است. در سمت چپ آن چند جمله ای درجه سوم وجود دارد. با استفاده از روش فاصله قابل حل است. برای انجام این کار، ابتدا باید ریشه های چند جمله ای را که روی x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 قرار دارد، پیدا کنید. بیایید دریابیم که آیا ریشه های گویا دارد که فقط می تواند در میان مقسوم علیه های جمله آزاد باشد، یعنی در بین اعداد 1±، 2±، 3±، 6±. با جایگزینی این اعداد به نوبه خود به جای متغیر x به معادله x 3 +4 x 2 +11 x−6=0، متوجه می‌شویم که ریشه‌های معادله اعداد 1، 2 و 3 هستند. این به ما امکان می دهد چند جمله ای x 3 + 4 x 2 + 11 x-6 را به عنوان یک ضرب (x-1) (x-2) (x-3) و نابرابری x 3 +4 x 2 +11 x- را نشان دهیم. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

و سپس تنها کاری که باقی می ماند این است که مراحل استاندارد روش فاصله را انجام دهید: نقاطی را با مختصات 1، 2 و 3 که این خط را به چهار بازه تقسیم می کند، روی خط اعداد علامت گذاری کنید، علائم را تعیین و قرار دهید، سایه را روی آن بکشید. فواصل با علامت منفی (از آنجایی که ما یک نابرابری را با علامت منفی حل می کنیم<) и записать ответ.

از آنجا (-∞, 1)∪(2, 3) داریم.

پاسخ:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

لازم به ذکر است که گاهی اوقات از نابرابری r(x)−s(x) نامناسب است.<0 (≤, >، ≥) به نابرابری h(x) بروید<0 (≤, >، ≥)، که در آن h(x) یک چند جمله ای با درجه بالاتر از دو است. این در مواردی صدق می کند که در آن فاکتورسازی چند جمله ای h(x) دشوارتر از نمایش عبارت r(x)-s(x) به عنوان حاصل ضرب دو جمله ای های خطی است و سه جمله ای مربعبه عنوان مثال، با قرار دادن فاکتور مشترک خارج از پرانتز. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال.

نابرابری را حل کنید (x 2-2·x-1)·(x2-19)≥2·x·(x2-2·x-1).

راه حل.

این یک نابرابری کامل است. اگر عبارت را از سمت راست به سمت چپ حرکت دهیم، سپس پرانتزها را باز کرده و عبارت های مشابه را اضافه کنیم، نابرابری را دریافت می کنیم. x 4 -4 x 3 -16 x 2 +40 x + 19≥0. حل آن بسیار دشوار است، زیرا شامل یافتن ریشه های یک چند جمله ای درجه چهارم است. به راحتی می توان تأیید کرد که ریشه های گویا ندارد (آنها می توانند اعداد 1، -1، 19 یا -19 باشند)، اما جستجو برای ریشه های دیگر آن مشکل ساز است. بنابراین این راه بن بست است.

بیایید به دنبال راه حل های ممکن دیگر باشیم. به راحتی می توان فهمید که پس از انتقال عبارت از سمت راست نابرابری عدد صحیح اصلی به سمت چپ، می توانیم عامل مشترک x 2-2 x-1 را از پرانتز خارج کنیم:
(x2-2·x-1)·(x2-19)-2·x·(x2-2·x-1)≥0,
(x 2-2·x-1)·(x2-2·x-19)≥0.

تبدیل انجام شده معادل است، بنابراین راه حل نابرابری حاصل نیز راه حلی برای نابرابری اصلی خواهد بود.

و اکنون می توانیم صفرهای عبارت واقع در سمت چپ نابرابری حاصل را پیدا کنیم، برای این کار به x 2 −2·x−1=0 و x 2 −2·x−19=0 نیاز داریم. ریشه آنها اعداد است . این به ما اجازه می دهد تا به نابرابری معادل برویم و می توانیم آن را با استفاده از روش فاصله حل کنیم:

پاسخ را مطابق نقاشی یادداشت می کنیم.

پاسخ:

برای جمع‌بندی این نکته، فقط می‌خواهم اضافه کنم که همیشه نمی‌توان تمام ریشه‌های چند جمله‌ای h(x) را پیدا کرد و در نتیجه آن را به حاصل ضرب دوجمله‌ای خطی و سه جمله‌ای مربع گسترش داد. در این موارد هیچ راهی برای حل نابرابری h(x) وجود ندارد.<0 (≤, >، ≥)، یعنی هیچ راهی برای یافتن راه حلی برای معادله گویا عدد صحیح اصلی وجود ندارد.

حل نابرابری های گویا کسری

حالا بیایید مشکل زیر را حل کنیم: فرض کنید باید یک نابرابری گویا کسری را با یک متغیر x از شکل r(x) حل کنیم. ، ≥)، که در آن r(x) و s(x) برخی از عبارات گویا هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. بیایید بلافاصله الگوریتم حل آن را ارائه دهیم و پس از آن توضیحات لازم را خواهیم داد.

الگوریتم حل نابرابری های گویا کسریبا یک متغیر r(x) , ≥):

• ابتدا باید منطقه را پیدا کنید ارزش های قابل قبول(ODZ) از متغیر x برای نابرابری اصلی.
• در مرحله بعد، باید عبارت را از سمت راست نابرابری به سمت چپ منتقل کنید و عبارت r(x)−s(x) را که در آنجا تشکیل شده است به شکل کسری p(x)/q(x) تبدیل کنید. که در آن p(x) و q(x) عبارت‌های اعداد صحیحی هستند که حاصل دوجمله‌ای خطی، سه جمله‌ای درجه دوم تجزیه ناپذیر و توان آن‌ها با یک توان طبیعی هستند.
• در مرحله بعد، باید نابرابری حاصل را با استفاده از روش فاصله حل کنیم.
• در نهایت، از راه حل به دست آمده در مرحله قبل، لازم است نقاطی را که در ODZ متغیر x برای نابرابری اصلی که در مرحله اول یافت شد، حذف کرد.

به این ترتیب راه حل مورد نظر برای نابرابری گویا کسری به دست می آید.

مرحله دوم الگوریتم نیاز به توضیح دارد. با انتقال عبارت از سمت راست نابرابری به سمت چپ، نابرابری r(x)-s(x) به دست می آید.<0 (≤, >، ≥)، که معادل اصلی است. اینجا همه چیز روشن است. اما سؤالات با تبدیل بیشتر آن به شکل p(x)/q(x) مطرح می شود.<0 (≤, >, ≥).

سوال اول این است: "آیا همیشه می توان آن را انجام داد"؟ از نظر تئوری، بله. ما می دانیم که هر چیزی ممکن است. صورت و مخرج کسر گویا دارای چند جمله ای است. و از قضیه بنیادی جبر و قضیه بزوت چنین برمی‌آید که هر چند جمله‌ای درجه n با یک متغیر را می‌توان به صورت حاصلضرب دوجمله‌ای خطی نشان داد. این امکان انجام این تحول را توضیح می دهد.

در عمل، فاکتورگیری چند جمله ای ها بسیار دشوار است و اگر درجه آنها بالاتر از چهار باشد، همیشه امکان پذیر نیست. اگر فاکتورگیری غیرممکن باشد، هیچ راهی برای یافتن راه حلی برای نابرابری اصلی وجود نخواهد داشت، اما چنین مواردی معمولاً در مدرسه اتفاق نمی‌افتد.

سوال دوم: «آیا نابرابری p(x)/q(x)<0 (≤, >، ≥) معادل نابرابری r(x)−s(x) است.<0 (≤, >، ≥)، و بنابراین به نسخه اصلی"؟ می تواند معادل یا نابرابر باشد. زمانی معادل است که ODZ برای عبارت p(x)/q(x) با ODZ برای عبارت r(x)-s(x) منطبق باشد. در این صورت آخرین مرحله الگوریتم اضافی خواهد بود. اما ODZ برای عبارت p(x)/q(x) ممکن است گسترده تر از ODZ برای عبارت r(x)-s(x) باشد. گسترش ODZ می تواند زمانی رخ دهد که کسرها کاهش می یابند، به عنوان مثال، هنگام حرکت از به . همچنین، گسترش ODZ را می توان با آوردن اصطلاحات مشابه تسهیل کرد، به عنوان مثال، هنگام حرکت از به . آخرین مرحله الگوریتم برای این مورد در نظر گرفته شده است، که در آن تصمیمات خارجی ناشی از گسترش ODZ حذف می شوند. بیایید وقتی به راه حل های مثال های زیر نگاه می کنیم این را دنبال کنیم.

ما همچنان به بررسی راه‌هایی برای حل نابرابری‌هایی می‌پردازیم که شامل یک متغیر است. ما قبلاً نابرابری های خطی و درجه دوم را که موارد خاصی از نابرابری های گویا هستند، مطالعه کرده ایم. در این مقاله توضیح خواهیم داد که چه نوع نابرابری ها عقلی در نظر گرفته می شوند و به شما خواهیم گفت که آنها به چه انواعی تقسیم می شوند (عدد صحیح و کسری). پس از آن، نحوه حل صحیح آنها، ارائه الگوریتم های لازم و تجزیه و تحلیل مسائل خاص را نشان خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مفهوم برابری های عقلانی

وقتی موضوع حل نابرابری ها را در مدرسه مطالعه می کنند، بلافاصله نابرابری های عقلانی را می گیرند. آنها مهارت های کار با این نوع بیان را به دست می آورند و تقویت می کنند. اجازه دهید تعریف این مفهوم را بیان کنیم:

تعریف 1

نابرابری گویا نابرابری با متغیرهایی است که شامل عبارات منطقی در هر دو قسمت است.

توجه داشته باشید که این تعریف به هیچ وجه روی سؤال تعداد متغیرها تأثیر نمی گذارد، به این معنی که می تواند به تعداد دلخواه از آنها وجود داشته باشد. بنابراین، نابرابری های گویا با 1، 2، 3 یا بیشتر متغیر امکان پذیر است. اغلب شما باید با عباراتی سر و کار داشته باشید که فقط یک متغیر دارند، کمتر اوقات دو متغیر، و نابرابری هایی با تعداد زیادی متغیر معمولاً در چارچوب هستند. دوره مدرسهاصلا در نظر گرفته نمی شوند.

بنابراین، ما می توانیم یک نابرابری عقلانی را با نگاه کردن به نوشته آن تشخیص دهیم. باید در سمت راست و چپ عبارات منطقی داشته باشد. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

اما در اینجا یک نابرابری به شکل 5 + x + 1 وجود دارد< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

همه نابرابری های گویا به اعداد صحیح و کسری تقسیم می شوند.

تعریف 2

کل تساوی عقلی از کل عبارات عقلی (در هر دو بخش) تشکیل شده است.

تعریف 3

برابری عقلی کسریبرابری است که شامل یک عبارت کسری در یک یا هر دو قسمت است.

برای مثال، نابرابری های شکل 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 و 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 هستند کسری عقلی و 0، 5 x ≤ 3 (2 تا 5 سال)و 1: x + 3 > 0- کل

ما تجزیه و تحلیل کردیم که نابرابری های عقلایی چیست و انواع اصلی آنها را شناسایی کردیم. ما می توانیم به بررسی راه های حل آنها برویم.

بیایید بگوییم که ما باید راه حل هایی برای یک نابرابری عقلانی کامل پیدا کنیم r(x)< s (x) ، که فقط یک متغیر x را شامل می شود. که در آن r(x)و s(x)هر عدد صحیح گویا یا عبارت را نشان می دهد و علامت نابرابری ممکن است متفاوت باشد. برای حل این مشکل، باید آن را تبدیل کنیم و یک برابری معادل به دست آوریم.

بیایید با انتقال عبارت از سمت راست به چپ شروع کنیم. موارد زیر را دریافت می کنیم:

به شکل r (x) - s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

ما آن را میدانیم r (x) - s (x)یک مقدار صحیح خواهد بود و هر عبارت عدد صحیح را می توان به چند جمله ای تبدیل کرد. بیایید متحول شویم r (x) - s (x)در h (x). این عبارت یک چند جمله ای برابر خواهد بود. با توجه به اینکه r (x) - s (x) و h (x) دارای محدوده یکسانی از مقادیر مجاز x هستند، می‌توانیم به نابرابری‌های h (x) برویم.< 0 (≤ , >، ≥)، که معادل اصلی خواهد بود.

اغلب چنین تبدیل ساده ای برای حل نابرابری کافی است، زیرا نتیجه ممکن است یک نابرابری خطی یا درجه دوم باشد که محاسبه مقدار آن آسان است. بیایید چنین مشکلاتی را تحلیل کنیم.

مثال 1

وضعیت:یک نابرابری منطقی کامل را حل کنید x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

راه حل

بیایید با حرکت عبارت از سمت راست به چپ با علامت مخالف شروع کنیم.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

اکنون که همه عملیات را با چندجمله‌ای سمت چپ تکمیل کردیم، می‌توانیم به سمت نابرابری خطی برویم. 3 x − 2 ≤ 0، معادل آنچه در شرط داده شده است. حل آن آسان است:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

پاسخ: x ≤ 2 3 .

مثال 2

وضعیت:راه حل نابرابری را پیدا کنید (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).

راه حل

عبارت را از سمت چپ به راست منتقل می کنیم و با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری، تبدیل های بعدی را انجام می دهیم.

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2 > 0 1 > 0

در نتیجه تبدیل های ما، نابرابری دریافت کردیم که برای هر مقدار x صادق خواهد بود، بنابراین، راه حل نابرابری اصلی می تواند هر عدد واقعی باشد.

پاسخ:هر عددی واقعا

مثال 3

وضعیت:نابرابری را حل کنید x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

راه حل

ما چیزی را از سمت راست منتقل نمی کنیم، زیرا 0 وجود دارد. بیایید بلافاصله با تبدیل سمت چپ به یک چند جمله ای شروع کنیم:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

ما یک نابرابری درجه دوم معادل نابرابری اصلی استخراج کرده‌ایم که با استفاده از چندین روش به راحتی قابل حل است. بیایید از یک روش گرافیکی استفاده کنیم.

بیایید با محاسبه ریشه های مربع مثلثی شروع کنیم − 2 x 2 + 11 x + 6:

D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2، x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0، 5، x 2 = 6

اکنون در نمودار تمام صفرهای لازم را علامت گذاری می کنیم. از آنجایی که ضریب پیشرو کمتر از صفر است، شاخه های سهمی روی نمودار به سمت پایین خواهند آمد.

ما به ناحیه سهمی که بالای محور x قرار دارد نیاز داریم، زیرا در نابرابری علامت > داریم. فاصله مورد نیاز است (− 0 , 5 , 6) بنابراین، این محدوده از مقادیر راه حل مورد نیاز ما خواهد بود.

پاسخ: (− 0 , 5 , 6) .

بیشتر وجود دارد موارد پیچیده، زمانی که سمت چپ یک چند جمله ای درجه سوم یا بالاتر است. برای حل چنین نابرابری، استفاده از روش فاصله توصیه می شود. ابتدا تمام ریشه های چند جمله ای را محاسبه می کنیم h(x)، که اغلب با فاکتورگیری یک چند جمله ای انجام می شود.

مثال 4

وضعیت:محاسبه (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

راه حل

بیایید مانند همیشه با انتقال عبارت به سمت چپ شروع کنیم، پس از آن باید براکت ها را گسترش دهیم و اصطلاحات مشابه را بیاوریم.

(x 2 + 2) · (x + 4) - 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

در نتیجه تبدیل ها، برابری معادل برابری اصلی به دست آوردیم که در سمت چپ آن یک چند جمله ای درجه سوم وجود دارد. بیایید از روش فاصله برای حل آن استفاده کنیم.

ابتدا ریشه های چند جمله ای را محاسبه می کنیم که برای آن باید معادله مکعب را حل کنیم x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. آیا ریشه عقلانی دارد؟ آنها فقط می توانند در میان مقسوم کننده های عبارت آزاد باشند، یعنی. در میان اعداد 1±، 2±، 3±، 6±. بیایید آنها را یکی یکی در معادله اصلی جایگزین کنیم و دریابیم که اعداد 1، 2 و 3 ریشه های آن خواهند بود.

پس چند جمله ای x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6را می توان به عنوان یک محصول توصیف کرد (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)، و نابرابری x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 را می توان به عنوان نشان داد (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . با نابرابری از این نوع، تشخیص علائم در فواصل برای ما آسان تر خواهد بود.

در مرحله بعد، مراحل باقی مانده از روش فاصله را انجام می دهیم: یک خط عددی رسم کنید و با مختصات 1، 2، 3 روی آن نقطه بگذارید. آنها خط مستقیم را به 4 بازه تقسیم می کنند که در آن باید علائم را تعیین کنند. اجازه دهید فواصل را با یک منهای سایه بزنیم، زیرا نابرابری اصلی دارای علامت است < .

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که پاسخ آماده را بنویسیم: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

پاسخ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

در برخی موارد، از نابرابری r (x) - s (x) ادامه دهید.< 0 (≤ , >، ≥) تا h (x)< 0 (≤ , >، ≥) ، جایی که h(x)- یک چند جمله ای به درجه بالاتر از 2، نامناسب. این به مواردی گسترش می‌یابد که بیان r(x)-s(x) به‌عنوان حاصلضرب دوجمله‌ای خطی و سه جمله‌ای درجه دوم آسان‌تر از فاکتورگیری h(x) در فاکتورهای منفرد است. بیایید به این مشکل نگاه کنیم.

مثال 5

وضعیت:راه حل نابرابری را پیدا کنید (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

راه حل

این نابرابری در مورد اعداد صحیح صدق می کند. اگر عبارت را از سمت راست به چپ حرکت دهیم، پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات را کاهش دهیم، به دست می آید. x 4 - 4 x 3 - 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

حل چنین نابرابری آسان نیست، زیرا شما باید به دنبال ریشه های یک چند جمله ای درجه چهارم باشید. این یک ریشه عقلی واحد ندارد (مثلاً 1، − 1، 19 یا − 19 مناسب نیستند)، و جستجوی ریشه های دیگر دشوار است. یعنی ما نمی توانیم از این روش استفاده کنیم.

اما راه حل های دیگری نیز وجود دارد. اگر عبارات را از سمت راست نابرابری اصلی به سمت چپ منتقل کنیم، می توانیم عامل مشترک را براکت کنیم. x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

ما یک نابرابری معادل اصلی به دست آورده ایم که حل آن به ما پاسخ دلخواه را می دهد. بیایید صفرهای عبارت سمت چپ را پیدا کنیم که معادلات درجه دوم را حل می کنیم x 2 − 2 x − 1 = 0و x 2 − 2 x − 19 = 0. ریشه آنها 1 ± 2، 1 ± 2 5 است. ما به مساوات x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 می رویم که با روش فاصله قابل حل است:

مطابق شکل، پاسخ به صورت - ∞، 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5، 1 + 2 ∪ 1 + 2 5، + ∞ خواهد بود.

پاسخ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

بیایید اضافه کنیم که گاهی اوقات نمی توان تمام ریشه های یک چند جمله ای را پیدا کرد h(x)بنابراین، نمی‌توانیم آن را به‌عنوان حاصل ضرب دوجمله‌ای خطی و سه جمله‌ای درجه دوم نشان دهیم. سپس یک نامساوی از شکل h (x) را حل کنید.< 0 (≤ , >، ≥) نمی توانیم، به این معنی که حل نابرابری عقلی اصلی نیز غیرممکن است.

فرض کنید باید نابرابری های گویا کسری از فرم r (x) را حل کنیم.< s (x) (≤ , >، ≥)، که در آن r (x) و s(x)عبارت های منطقی هستند، x یک متغیر است. حداقل یکی از عبارات مشخص شده کسری خواهد بود. الگوریتم حل در این مورد به صورت زیر خواهد بود:

1. محدوده مقادیر مجاز متغیر x را تعیین می کنیم.
2. عبارت را از سمت راست نابرابری به سمت چپ منتقل می کنیم و عبارت حاصل را r (x) - s (x)آن را به صورت کسری نشان دهید. علاوه بر این، کجا p(x)و q(x)عبارت‌های اعداد صحیحی خواهند بود که حاصل دوجمله‌های خطی، سه جمله‌ای درجه دوم تجزیه ناپذیر، و همچنین توان‌هایی با توان طبیعی هستند.
3. در مرحله بعد، نابرابری حاصل را با استفاده از روش فاصله حل می کنیم.
4. آخرین مرحله حذف نقاط به دست آمده در حین حل از محدوده مقادیر قابل قبول متغیر x است که در ابتدا تعریف کردیم.

این الگوریتم برای حل نابرابری های گویا کسری است. بیشتر آن واضح است؛ توضیحات جزئی فقط برای بند 2 مورد نیاز است. عبارت را از سمت راست به چپ منتقل کردیم و r (x) - s (x) را دریافت کردیم.< 0 (≤ , >، ≥)، و سپس چگونه آن را به شکل p (x) q (x) برسانیم.< 0 (≤ , > , ≥) ?

ابتدا، اجازه دهید تعیین کنیم که آیا این تبدیل همیشه می تواند انجام شود یا خیر. از لحاظ نظری، چنین امکانی همیشه وجود دارد، زیرا در کسر گویاشما می توانید هر کدام را تبدیل کنید بیان منطقی. در اینجا ما کسری داریم که چند جمله ای در صورت و مخرج دارد. اجازه دهید قضیه اساسی جبر و قضیه بزوت را به خاطر بیاوریم و تعیین کنیم که هر چند جمله ای درجه n حاوی یک متغیر می تواند به حاصل ضرب دو جمله ای های خطی تبدیل شود. بنابراین، از نظر تئوری، ما همیشه می توانیم عبارت را به این شکل تغییر دهیم.

در عمل، فاکتورگیری چند جمله ای ها اغلب بسیار دشوار است، به خصوص اگر درجه بالاتر از 4 باشد. اگر نتوانیم بسط را انجام دهیم، نمی‌توانیم این نابرابری را حل کنیم، اما معمولاً چنین مشکلاتی در دوره‌های مدرسه بررسی نمی‌شوند.

بعد باید تصمیم بگیریم که آیا نابرابری حاصل p (x) q (x)< 0 (≤ , >، ≥) معادل با r (x) - s (x)< 0 (≤ , >، ≥) و به نسخه اصلی. این احتمال وجود دارد که ممکن است نابرابر شود.

هم ارزی نابرابری زمانی تضمین می شود که محدوده مقادیر قابل قبول باشد p(x)q(x)با محدوده بیان مطابقت خواهد داشت r (x) - s (x). سپس آخرین نکته از دستورالعمل حل نابرابری های گویا کسری نیازی به پیروی ندارد.

اما محدوده مقادیر برای p(x)q(x)ممکن است عریض تر از r (x) - s (x)مثلاً با کاهش کسرها. یک مثال می تواند از x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 به x · x - 1 x + 3 بروید. یا این می تواند هنگام آوردن اصطلاحات مشابه، به عنوان مثال، در اینجا اتفاق بیفتد:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 تا 1 x + 3

برای چنین مواردی آخرین مرحله از الگوریتم اضافه شد. با اجرای آن، از شر مقادیر متغیر خارجی که به دلیل گسترش دامنه مقادیر قابل قبول به وجود می آیند خلاص خواهید شد. بیایید چند مثال بزنیم تا واضح‌تر از چه چیزی صحبت می‌کنیم.

مثال 6

وضعیت:راه حل هایی برای برابری گویا x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 پیدا کنید.

راه حل

ما طبق الگوریتم ذکر شده در بالا عمل می کنیم. ابتدا محدوده مقادیر قابل قبول را تعیین می کنیم. در این حالت، توسط سیستم نامساوی x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 تعیین می شود که حل آن مجموعه (- خواهد بود) ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

پس از آن، ما باید آن را تبدیل کنیم تا بتوانیم روش فاصله را به راحتی اعمال کنیم. اول از همه، کسرهای جبری را به کوچکترین کاهش می دهیم مخرج مشترک (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

با استفاده از فرمول مجذور مجموع عبارت را در صورت‌گر جمع می‌کنیم:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

محدوده مقادیر قابل قبول عبارت به دست آمده (- ∞ , - 1) ∪ (- 1 , 3) ​​∪ (3، + ∞) است. می بینیم که مشابه آن چیزی است که برای برابری اولیه تعریف شده است. نتیجه می گیریم که نابرابری x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 معادل اصلی است، به این معنی که نیازی به مرحله آخر الگوریتم نداریم.

ما از روش فاصله استفاده می کنیم:

ما جواب ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) را می بینیم که راه حل نابرابری گویا اصلی x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - خواهد بود. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

پاسخ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

مثال 7

وضعیت:حل x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 را محاسبه کنید.

راه حل

محدوده مقادیر قابل قبول را تعیین می کنیم. در صورت وجود این نامساوی، با تمام اعداد حقیقی به جز - 2، - 1، 0 و 1 .

عبارات را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

با در نظر گرفتن نتیجه، می نویسیم:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

برای عبارت - 1 x - 1، محدوده مقادیر معتبر مجموعه همه اعداد واقعی به جز یک است. می بینیم که دامنه مقادیر گسترش یافته است: - 2، - 1 و 0 . یعنی باید آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم.

از آنجایی که به نابرابری - 1 x - 1 > 0 رسیدیم، می‌توانیم معادل آن را 1 x - 1 بنویسیم.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

ما نقاطی را که در محدوده مقادیر قابل قبول برابری اصلی گنجانده نشده اند حذف می کنیم. ما باید از (- ∞ , 1) اعداد − 2 , − 1 و 0 . بنابراین، راه حل نابرابری گویا x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 مقادیر (− ∞ , − 2) خواهد بود. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

پاسخ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

در خاتمه، مثال دیگری از مسئله ای می آوریم که در آن پاسخ نهایی به محدوده مقادیر قابل قبول بستگی دارد.

مثال 8

وضعیت:راه حل نابرابری 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 را پیدا کنید.

راه حل

محدوده مقادیر مجاز نابرابری مشخص شده در شرایط توسط سیستم x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - تعیین می شود. 1 x - 1 ≠ 0.

این سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

این بدان معنی است که برابری اصلی 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 هیچ راه حلی ندارد، زیرا هیچ مقداری از متغیر وجود ندارد که برای آن ایجاد شود. احساس، مفهوم.

پاسخ:هیچ راه حلی وجود ندارد

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. ما به شما به وضوح در مورد چگونه برای نابرابری ها راه حل بسازیم، با مثال های واضح!

قبل از اینکه به حل نابرابری ها با استفاده از مثال نگاه کنیم، بیایید مفاهیم اساسی را درک کنیم.

اطلاعات کلی در مورد نابرابری ها

نابرابریعبارتی است که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حرفی باشند.
نابرابری های دارای دو علامت نسبت را دو، سه - سه و غیره می نامند. مثلا:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا - سختگیر نیستند.
حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق خواهد بود.
"حل نابرابری" به این معنی است که ما باید مجموعه ای از همه راه حل های آن را پیدا کنیم روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریآنها از خط اعداد استفاده می کنند که بی نهایت است. مثلا، راه حل برای نابرابری x > 3 بازه 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری سخت است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه با یک پرانتز برجسته می شود. علامت به معنای "تعلق" است.
بیایید به نحوه حل نابرابری ها با استفاده از مثال دیگری با علامت نگاه کنیم:
x 2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت مربع است و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x $.

روشی برای معرفی متغیر جدید

این روش به صورت زیر است: معادله ای به شکل $f(x)=g(x)$ بنویسید. ما آن را به صورت زیر حل می کنیم: یک متغیر جدید برای به دست آوردن یک معادله معرفی می کنیم که روش حل آن قبلاً شناخته شده است. ما متعاقباً آن را حل می کنیم و به جایگزینی برمی گردیم. از آن به حل معادله اول خواهیم رسید. سپس ریشه های یافت شده روی خط اعداد مشخص شده و یک منحنی علامت ساخته می شود. بسته به علامت نابرابری اولیه، پاسخ نوشته می شود.