بر اساس عدد e: ln x = log e x.

لگاریتم طبیعی به طور گسترده در ریاضیات استفاده می شود زیرا مشتق آن ساده ترین شکل را دارد: (ln x)′ = 1/ x.

مستقر تعاریف، پایه لگاریتم طبیعی عدد است ه:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

نمودار تابع y = ln x.

نمودار لگاریتم طبیعی (توابع y = ln x) از نمودار نمایی به دست می آید تصویر آینه اینسبت به خط مستقیم y = x.

لگاریتم طبیعی برای مقادیر مثبت متغیر x تعریف می شود. در دامنه تعریف خود به طور یکنواخت افزایش می یابد.

در x → 0 حد لگاریتم طبیعی منهای بی نهایت (-∞) است.

به عنوان x → + ∞، حد لگاریتم طبیعی به اضافه بی نهایت (+ ∞) است. برای x بزرگ، لگاریتم به آرامی افزایش می یابد. هر تابع توان x a با توان مثبت a سریعتر از لگاریتم رشد می کند.

خواص لگاریتم طبیعی

دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، افراط، افزایش، کاهش

لگاریتم طبیعی تابعی است که بطور یکنواخت افزایش می یابد، بنابراین هیچ گونه افراطی ندارد. خواص اصلی لگاریتم طبیعی در جدول ارائه شده است.

مقادیر ln x

ln 1 = 0

فرمول های اصلی لگاریتم های طبیعی

فرمول های زیر از تعریف تابع معکوس:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

هر لگاریتمی را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از فرمول جایگزینی پایه بیان کرد:

اثبات این فرمول ها در بخش "لگاریتم" ارائه شده است.

تابع معکوس

معکوس لگاریتم طبیعی توان است.

اگر پس از آن

اگر پس از آن.

مشتق ln x

مشتق لگاریتم طبیعی:
.
مشتق لگاریتم طبیعی مدول x:
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

انتگرال

انتگرال با ادغام با قطعات محاسبه می شود:
.
بنابراین،

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

تابع متغیر مختلط z را در نظر بگیرید:
.
بیایید متغیر مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
با استفاده از خواص لگاریتم، داریم:
.
یا
.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. اگر قرار دهید
، جایی که n یک عدد صحیح است،
این عدد برای n های مختلف یکسان خواهد بود.

بنابراین، لگاریتم طبیعی، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

هنگامی که گسترش انجام می شود:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. ورود به سیستم آ ایکس+ ثبت نام آ y= ثبت نام آ (ایکس · y);
2. ورود به سیستم آ ایکس- ورود آ y= ثبت نام آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

[کپشن عکس]

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی داده شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:

[کپشن عکس]

به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

[کپشن عکس]

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 9 100 lg 3.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

[کپشن عکس]

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

[کپشن عکس]

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در مورد اول، شماره nنشانگر درجه ایستاده در استدلال می شود. عدد nمی تواند کاملاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. این همان چیزی است که به آن می گویند: هویت لگاریتمی اساسی.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببه چنان قدرتی برسانید که عدد ببه این توان عدد را می دهد آ? درست است: شما همین عدد را دریافت می کنید آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

[کپشن عکس]

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون دولتی واحد بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. ورود به سیستم آ آ= 1 یک واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز همین پایه برابر با یک است.
2. ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضیتوسط ارشمیدس مشتق شد، و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان Virasen جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی(یعنی هر مثبت) "b" با پایه "a" آن به عنوان توان "c" در نظر گرفته می شود که پایه "a" باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار "b" به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، اعداد را نمی توان بر صفر تقسیم کرد و همچنین استخراج ریشه غیرممکن است مدرک حتیاز اعداد منفی لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حالا بیایید تصور کنیم این بیانبه شکل لگاریتمی ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که هیچ چیز در مورد پیچیده نمی دانند می تواند استفاده شود مباحث ریاضی. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

با توجه به شکل زیر: log 2 (x-1) > 3 - آن است نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات لگاریتمی (مثلاً لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند پاسخ خاص دارند. مقادیر عددی، در حالی که هنگام حل نابرابری ها به عنوان منطقه تعریف می شوند ارزش های قابل قبولو نقاط شکست این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده نیست اعداد فردیهمانطور که در پاسخ یک معادله است و a یک سری پیوسته یا مجموعه ای از اعداد است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در نشان داد فرمول زیر: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد پيش نيازاست: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای پذیرش در دانشگاه یا قبولی امتحانات ورودیدر ریاضیات باید بدانید که چگونه چنین مسائلی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا منجر به آن شد ظاهر عمومی. موارد طولانی را ساده کنید عبارات لگاریتمیاگر از خواص آنها به درستی استفاده کنید امکان پذیر است. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای راه حل ها لگاریتم های طبیعیشما باید هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کنید. بیایید با مثال به راه حل نگاه کنیم مسائل لگاریتمیانواع متفاوت.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحان ورودیبه خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی ( آزمون دولتیبرای تمام دانش آموزان بازمانده از مدرسه). معمولاً این وظایف نه تنها در بخش A (ساده ترین بخش تستامتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و حجیم ترین وظایف). آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

مثال ها و راه حل های مشکلات از رسمی گرفته شده است گزینه های آزمون دولتی یکپارچه. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو ما نشان خواهیم داد نمونه های راه حل.

آنها خود الگوهای حل را با توجه به ویژگی های اصلی لگاریتم ها دلالت می کنند. قبل از استفاده از فرمول های لگاریتمی برای حل، اجازه دهید تمام ویژگی های زیر را به شما یادآوری کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان خواهیم داد نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتمعدد مثبت b برای پایه a (که با log a b مشخص می شود) توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا b به دست آید، با b> 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف، log a b = x، که معادل x = b است، بنابراین log a a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2، زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشاری- این یک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg نشان داده می شود.

log 10 100 = 2، زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین یک لگاریتم معمولی، یک لگاریتم، اما با پایه e (e = 2.71828 ... - یک عدد غیر منطقی). با ln مشخص می شود.

توصیه می شود فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپارید، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نامساوی به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید هر فرمول را دوباره با مثال ها بررسی کنیم.

• هویت لگاریتمی پایه
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لگاریتم محصول برابر با مجموعلگاریتم ها
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ویژگی های توان یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم

  نماگر عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

  نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• انتقال به یک پایه جدید
  log a b = log c b/log c a,

  اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

  سپس log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتم آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با نگاهی به نمونه هایی از حل لگاریتم می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!

اگر هنوز سؤالی در مورد راه حل دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: ما تصمیم گرفتیم که یک کلاس آموزشی متفاوت داشته باشیم و به عنوان یک گزینه در خارج از کشور تحصیل کنیم.