در مرکز نقطه A.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

مماس ( قهوهای مایل به زرد α) تابع مثلثاتی بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق است راست گوشه, برابر با نسبتطول ضلع مقابل | قبل از میلاد| به طول پای مجاور |AB| .

کوتانژانت ( ctg α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول پای مقابل |پیش از میلاد| .

مماس

جایی که n- کل

در ادبیات غرب، مماس را به صورت زیر نشان می دهند:
.
;
;
.

نمودار تابع مماس، y = tan x

کوتانژانت

جایی که n- کل

در ادبیات غربی، کوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
نمادهای زیر نیز پذیرفته شده است:
;
;
.

نمودار تابع کتانژانت، y = ctg x

خواص مماس و کوتانژانت

دوره ای

توابع y = tg xو y = ctg xتناوبی با دوره π هستند.

برابری

توابع مماس و کتانژانت فرد هستند.

حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش

توابع مماس و کتانژانت در حوزه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی مماس و کوتانژانت در جدول ارائه شده است ( n- کل).

	y= tg x	y= ctg x
دامنه و تداوم
محدوده ارزش ها	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
در حال افزایش است		-
نزولی	-
افراط	-	-
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	y= 0	-

فرمول ها

عبارات با استفاده از سینوس و کسینوس

; ;
; ;
;

فرمول های مماس و کتانژانت از مجموع و تفاوت

به عنوان مثال، فرمول های باقی مانده به راحتی به دست می آیند

محصول مماس ها

فرمول مجموع و تفاضل مماس ها

این جدول مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; .

.
مشتق از مرتبه n با توجه به متغیر x تابع:
.
استخراج فرمول های مماس > > > ; برای کوتانژانت > > >

انتگرال ها

گسترش سری

برای به دست آوردن انبساط مماس در توان های x، باید چندین ترم انبساط را در یک سری توان برای توابع بگیرید. گناه xو cos xو این چند جمله ای ها را بر یکدیگر تقسیم کنید، . در این صورت معلوم می شود فرمول های زیر.

در .

در .
جایی که Bn- اعداد برنولی آنها یا از رابطه عود تعیین می شوند:
;
;
جایی که .
یا طبق فرمول لاپلاس:

توابع معکوس

توابع معکوسبه مماس و کوتانژانت به ترتیب قوس و مماس هستند.

Arctangent، arctg

، جایی که n- کل

Arccotangent، arcctg

، جایی که n- کل

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
جی کورن، کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان، 2012.

در این درس به مطالعه تانژانت و حل معادلات شکل tg x = a برای هر a ادامه خواهیم داد. در ابتدای درس معادله ای را با مقدار جدول حل می کنیم و جواب را روی نمودار و سپس روی دایره نشان می دهیم. سپس معادله tgx = aв را حل می کنیم نمای کلیو خروجی فرمول کلیپاسخ. بیایید محاسبات را روی یک نمودار و یک دایره نشان دهیم و اشکال مختلف پاسخ را در نظر بگیریم. در پایان درس، چندین مسئله را با راه حل هایی که روی نمودار و روی یک دایره نشان داده شده اند حل می کنیم.

موضوع: معادلات مثلثاتی

درس: Arctangent و حل معادله tgx=a (ادامه)

1. موضوع درس، مقدمه

در این درس به حل معادله هر واقعی خواهیم پرداخت

2. حل معادله tgx=√3

مسئله 1. معادله را حل کنید

بیایید با استفاده از نمودارهای تابع راه حل را پیدا کنیم (عکس. 1).

بیایید بازه را در نظر بگیریم در این بازه تابع یکنواخت است، به این معنی که فقط برای یک مقدار تابع به دست می آید.

پاسخ:

بیایید همان معادله را با استفاده از آن حل کنیم دایره اعداد(شکل 2).

پاسخ:

3. حل معادله tgx=a به صورت کلی

اجازه دهید معادله را به شکل کلی حل کنیم (شکل 3).

در بازه معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد

کوچکترین دوره مثبت

اجازه دهید دایره عددی را نشان دهیم (شکل 4).

4. حل مسئله

مسئله 2. معادله را حل کنید

بیایید متغیر را تغییر دهیم

مشکل 3. حل سیستم:

راه حل (شکل 5):

در یک نقطه، ارزش است بنابراین راه حل برای سیستم تنها نقطه است

پاسخ:

مسئله 4. معادله را حل کنید

بیایید با استفاده از روش تغییر متغیر حل کنیم:

مسئله 5. تعداد جواب های معادله را در بازه بیابید

بیایید با استفاده از نمودار مشکل را حل کنیم (شکل 6).

معادله در یک بازه معین سه راه حل دارد.

بیایید آن را روی یک دایره عددی نشان دهیم (شکل 7)، اگرچه به اندازه نمودار واضح نیست.

جواب: سه راه حل.

5. نتیجه گیری، نتیجه گیری

ما معادله هر واقعی را با استفاده از مفهوم قطبی حل کردیم. در درس بعدی مفهوم مماس قوس را معرفی خواهیم کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). آموزش برای موسسات آموزشی(سطح نمایه) ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N. Ya.، Ivashev-Musatov O. S.، Shvartsburd S. I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 ( آموزشبرای دانش آموزان مدارس و کلاس هایی با مطالعه عمیق ریاضیات).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L.، Moshkovich M. M.، Shvartsburd S. I. مطالعه عمیقجبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (ویرایش م. ای. اسکانوی - م.: مدرسه عالی، 1371).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. مشکلات در جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای دانش آموزان در کلاس های 10-11 موسسات آموزش عمومی - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تجزیه و تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 22.18, 22.21.

منابع وب اضافی

1. ریاضیات.

2. مشکلات پورتال اینترنتی. ru.

3. پورتال آموزشیبرای آمادگی برای امتحانات

>> Arctangent و Arccotangent. راه حل معادلات tgx= a، ctgx = a

§ 19. Arctangent و arccotangent. حل معادلات tgx = a، ctgx = a

در مثال 2 از §16 ما نتوانستیم سه معادله را حل کنیم:

ما قبلاً دو مورد از آنها را حل کرده ایم - اولی در § 17 و دومی در § 18، برای این کار مجبور شدیم مفاهیم را معرفی کنیم. کسینوس قوسیو آرکسین. معادله سوم x=2 را در نظر بگیرید.
نمودارهای توابع y=tg x و y=2 بینهایت نقاط مشترک زیادی دارند، ابسیساهای همه این نقاط شکل - آبسیسا نقطه تقاطع خط مستقیم y = 2 با شاخه اصلی مماس را دارند. (شکل 90). برای عدد x1، ریاضیدانان با نام acrtg 2 آمدند (مماس قوس دو را بخوانید). سپس تمام ریشه های معادله x=2 را می توان با فرمول x=arctg 2 + pk توصیف کرد.
agctg 2 چیست؟ این شماره است مماسکه برابر با 2 است و متعلق به بازه است
اکنون معادله tg x = -2 را در نظر می گیریم.
نمودارهای تابع دارای بی نهایت نقاط مشترک هستند، ابسیساهای همه این نقاط شکل دارند آبسیسا نقطه تلاقی خط مستقیم y = -2 با شاخه اصلی مماس. برای عدد x 2، ریاضیدانان نماد arctg(-2) را ارائه کردند. سپس تمام ریشه های معادله x = -2 را می توان با فرمول توصیف کرد

acrtg(-2) چیست؟ این عددی است که مماس آن -2 است و متعلق به بازه است. لطفاً توجه داشته باشید (شکل 90 را ببینید): x 2 = -x 2. این بدان معنی است که arctg(-2) = - arctg 2.
اجازه دهید تعریف آرکتانژانت را به شکل کلی فرموله کنیم.

تعریف 1. arсtg a (مماس قوس a) عددی از بازه ای است که مماس آن برابر با a است. بنابراین،

ما اکنون در موقعیتی هستیم که بتوانیم یک نتیجه کلی در مورد راه حل بگیریم معادلات x=a: معادله x=a راه حل دارد

ما در بالا اشاره کردیم که arctg(-2) = -arctg 2. به طور کلی، برای هر مقدار از a فرمول معتبر است

مثال 1.محاسبه:

مثال 2.حل معادلات:

الف) بیایید یک فرمول راه حل ایجاد کنیم:

در این حالت نمی‌توانیم مقدار مقطعه را محاسبه کنیم، بنابراین حل معادله را به شکل بدست آمده می‌گذاریم.
پاسخ:
مثال 3.حل نابرابری ها:
نابرابری های فرم را می توان با رعایت طرح های زیر به صورت گرافیکی حل کرد
1) یک مماس y = tan x و یک خط مستقیم y = a بسازید.
2) بازه محور x را که در آن نابرابری داده شده برآورده می شود، برای شاخه اصلی تانگیزوئید انتخاب کنید.
3) با در نظر گرفتن تناوب تابع y = tan x پاسخ را به صورت کلی بنویسید.
اجازه دهید این طرح را برای حل نابرابری های داده شده اعمال کنیم.

: الف) بیایید نمودارهایی از توابع y = tgх و y = 1 بسازیم. در شاخه اصلی مماس، آنها در نقطه قطع می شوند.

اجازه دهید فاصله محور x را انتخاب کنیم که شاخه اصلی مماس زیر خط مستقیم y = 1 قرار دارد - این فاصله است.
با در نظر گرفتن تناوب تابع y = tgх، نتیجه می گیریم که نابرابری داده شده در هر بازه ای از شکل برآورده می شود:

اتحاد همه چنین فواصل است تصمیم مشترکنابرابری داده شده
پاسخ را می توان به شکل دیگری نوشت:

ب) بیایید نمودارهایی از توابع y = tan x و y = -2 بسازیم. روی شاخه اصلی مماس (شکل 92) در نقطه x = arctg(-2) همدیگر را قطع می کنند.

اجازه دهید فاصله محور x را که شاخه اصلی مماس روی آن قرار دارد انتخاب کنیم

معادله tan x=a را در نظر بگیرید که a>0. نمودارهای توابع y=ctg x و y =a دارای بی نهایت نقاط مشترک هستند، ابسیساهای همه این نقاط به شکل: x = x 1 + pk هستند، که در آن x 1 =arccstg a آبسیسا نقطه تقاطع است. از خط مستقیم y=a با شاخه اصلی مماس (شکل .93). این به این معنی است که arcstg a عددی است که هم‌تانژانت آن برابر با a است و به بازه (0, n) تعلق دارد. در این بازه شاخه اصلی نمودار تابع y = сtg x ساخته می شود.

در شکل 93 همچنین یک تصویر گرافیکی از حل معادله c1tg = -a را ارائه می دهد. نمودارهای توابع y = сtg x و y = -а دارای بی نهایت نقاط مشترک هستند، ابسیساهای همه این نقاط به شکل x = x 2 + pk هستند، که در آن x 2 = агсстg (- а) آبسیسا از نقطه تقاطع خط y = -а با شاخه مماس خط اصلی. این به این معنی است که arcstg(-a) عددی است که تانژانت آن برابر با -a است و به بازه (O, n) تعلق دارد. در این بازه شاخه اصلی نمودار تابع Y = сtg x ساخته می شود.

تعریف 2. arccstg a (کتانژانت قوس a) عددی از بازه (0، n) است که کوتانژانت آن برابر با a است.
بنابراین،

اکنون می توانیم یک نتیجه کلی در مورد حل معادله ctg x = a بگیریم: معادله ctg x = a دارای راه حل هایی است:

لطفاً توجه داشته باشید (شکل 93 را ببینید): x 2 = n-x 1. این به آن معنا است

مثال 4.محاسبه:

الف) بیایید بگوییم

معادله сtg x=а تقریباً همیشه می تواند به شکل تبدیل شود. یک استثنا معادله сtg x =0 است. اما در این مورد با بهره گیری از این واقعیت که می توانید به آن بروید
معادله cos x=0. بنابراین، معادله ای به شکل x = a مورد توجه مستقل نیست.

A.G. موردکوویچ جبر کلاس دهم

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه دانلود

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین وظایف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، سوالات بحث تکلیف منزل سوالات بلاغیاز دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و اضافی فرهنگ لغات اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

شما میتونید سفارش بدید راه حل دقیقوظیفه ی شما!!!

تساوی حاوی مجهول زیر علامت تابع مثلثاتی(«sin x، cos x، tan x» یا «ctg x») یک معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارد مجموعه بی نهایتتصمیمات

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کوتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال ها به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: «x_1=2\pi n»، «x_2=\pi/2+ 2\pi n».

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به سمت نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول ها را اعمال کنیم زاویه دوتایی، منجر به: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

اعمال موارد فوق روش جبری، ما گرفتیم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و مدول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. "sin x=0"، "x=\pi n"، "n \in Z".
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، "n \ در Z".

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون دولتی یکپارچه وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول ها را به خاطر بسپارید. معادلات مثلثاتی- آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.