قضیه فیثاغورث می گوید:

در مثلث قائم الزاویه، مجموع مربع های پاها برابر است با مجذور هیپوتانوس:

a 2 + b 2 = c 2,

• آو ب- پاها که زاویه راست تشکیل می دهند.
• با- هیپوتنوز مثلث.

فرمول های قضیه فیثاغورث

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

اثبات قضیه فیثاغورث

مربع راست گوشهبا فرمول محاسبه می شود:

S = \frac(1)(2) ab

برای محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به صورت زیر است:

• پ- نیم محیطی p=\frac(1)(2)(a+b+c)،
• r- شعاع دایره محاطی. برای یک مستطیل r=\frac(1)(2)(a+b-c).

سپس ضلع راست هر دو فرمول را برای مساحت مثلث برابر می کنیم:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \راست)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

معکوس قضیه فیثاغورث:

اگر مربع یک ضلع مثلث باشد برابر با مجموعمربع دو ضلع دیگر، سپس مثلث قائم الزاویه است. یعنی برای هر سه عدد از اعداد مثبت الف، بو ج، به طوری که

a 2 + b 2 = c 2,

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، ایجاد رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه. فیثاغورث ریاضیدان و فیلسوف فرهیخته آن را ثابت کرد.

معنای قضیهنکته این است که می توان از آن برای اثبات قضایای دیگر و حل مسائل استفاده کرد.

مواد اضافی:

قضیه فیثاغورس- یکی از قضایای اساسی هندسه اقلیدسی، برقراری رابطه

بین اضلاع مثلث قائم الزاویه

اعتقاد بر این است که توسط ریاضیدان یونانی فیثاغورث، که به نام او نامگذاری شده است، اثبات شده است.

فرمول هندسی قضیه فیثاغورث.

این قضیه در ابتدا به صورت زیر فرموله شد:

در مثلث قائم الزاویه، مساحت مربع ساخته شده روی هیپوتانوس برابر است با مجموع مساحت مربع ها،

ساخته شده بر روی پاها

فرمول جبری قضیه فیثاغورث.

در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

یعنی نشان دادن طول هیپوتنوز مثلث با ج، و طول پاها از طریق آو ب:

هر دو فرمولاسیون قضیه فیثاغورسمعادل هستند، اما فرمول دوم ابتدایی تر است، اینطور نیست

نیاز به مفهوم منطقه دارد. یعنی می توان گزاره دوم را بدون دانستن چیزی در مورد منطقه و

فقط با اندازه گیری طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه.

مکالمه قضیه فیثاغورث.

اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد،

راست گوشه.

یا به عبارت دیگر:

برای هر سه برابر اعداد مثبت آ, بو ج، به طوری که

یک مثلث قائم الزاویه با پاها وجود دارد آو بو هیپوتانوز ج.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الساقین.

قضیه فیثاغورث برای مثلث متساوی الاضلاع.

اثبات قضیه فیثاغورث.

بر این لحظه 367 اثبات این قضیه در ادبیات علمی ثبت شده است. احتمالا قضیه

فیثاغورث تنها قضیه‌ای است که چنین تعداد شواهد قابل توجهی دارد. چنین تنوعی

تنها با اهمیت اساسی قضیه برای هندسه قابل توضیح است.

البته از نظر مفهومی همه آنها را می توان به تعداد کمی کلاس تقسیم کرد. معروف ترین آنها:

اثبات روش منطقه, بدیهیو شواهد عجیب و غریب(مثلا،

با استفاده از معادلات دیفرانسیل).

1. اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از مثلث های مشابه.

اثبات فرمول جبری زیر ساده ترین برهان ساخته شده است

مستقیماً از بدیهیات به طور خاص، از مفهوم مساحت یک شکل استفاده نمی کند.

اجازه دهید ABCیک مثلث قائم الزاویه با زاویه قائم وجود دارد سی. بیایید ارتفاع را از سیو نشان دهند

پایه و اساس آن از طریق اچ.

مثلث ACHشبیه مثلث AB C در دو گوشه به همین ترتیب، مثلث CBHمشابه ABC.

با معرفی نماد:

ما گرفتیم:

,

که مربوط به -

تا شده آ 2 و ب 2، دریافت می کنیم:

یا همان چیزی است که باید ثابت شود.

2. اثبات قضیه فیثاغورث با استفاده از روش مساحت.

شواهد زیر، علیرغم سادگی ظاهریشان، اصلاً چندان ساده نیستند. همه آنها

از ویژگی های مساحت استفاده کنید که اثبات آن پیچیده تر از اثبات خود قضیه فیثاغورث است.

• اثبات از طریق متمم بودن.

بیایید چهار مستطیل مساوی ترتیب دهیم

مثلث همانطور که در شکل نشان داده شده است

سمت راست

چهار گوش با اضلاع ج- مربع،

از آنجایی که مجموع دو زاویه تند 90 درجه است و

زاویه باز - 180 درجه.

مساحت کل شکل از یک طرف برابر است،

مساحت مربع با ضلع ( a+b) و از طرفی مجموع مساحت های چهار مثلث و

Q.E.D.

3. اثبات قضیه فیثاغورث با روش بینهایت کوچک.

​

با نگاهی به نقاشی نشان داده شده در شکل و

تماشای تغییر سمتآ، ما میتوانیم

رابطه زیر را برای بی نهایت بنویسید

کم اهمیت افزایش های جانبیباو آ(با استفاده از شباهت

مثلثها):

با استفاده از روش جداسازی متغیر، متوجه می شویم:

بیشتر بیان کلیبرای تغییر هیپوتونوس در صورت افزایش هر دو پا:

یکپارچه سازی معادله داده شدهو با استفاده از شرایط اولیه بدست می آوریم:

بنابراین به پاسخ مورد نظر می رسیم:

همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، وابستگی درجه دوم در فرمول نهایی به دلیل خطی ظاهر می شود

تناسب بین اضلاع مثلث و افزایش ها، در حالی که مجموع مربوط به مستقل است

کمک از افزایش پاهای مختلف.

اگر فرض کنیم که یکی از پاها افزایشی نداشته باشد، می توان اثبات ساده تری به دست آورد

(در این مورد پا ب). سپس برای ثابت ادغام بدست می آوریم:

اهداف درس:

آموزش عمومی:

• بررسی دانش نظریدانش آموزان (ویژگی های مثلث قائم الزاویه، قضیه فیثاغورث)، توانایی استفاده از آنها در حل مسائل؛
• ایجاد کرده است وضعیت مشکل ساز، دانش آموزان را به "کشف" قضیه معکوس فیثاغورث هدایت می کند.

در حال توسعه:

• توسعه مهارت ها برای به کارگیری دانش نظری در عمل؛
• توسعه توانایی تدوین نتیجه گیری از مشاهدات؛
• توسعه حافظه، توجه، مشاهده:
• توسعه انگیزه یادگیری از طریق رضایت عاطفی از اکتشافات، از طریق معرفی عناصر تاریخچه توسعه مفاهیم ریاضی.

آموزشی:

• پرورش علاقه پایدار به موضوع از طریق مطالعه فعالیت های زندگی فیثاغورث.
• تقویت کمک متقابل و ارزیابی عینی دانش همکلاسی ها از طریق آزمون متقابل.

قالب درس: کلاس درس.

طرح درس:

• زمان سازماندهی.
• بررسی تکالیف به روز رسانی دانش.
• حل مسائل عملی با استفاده از قضیه فیثاغورث.
• موضوع جدید.
• تثبیت اولیه دانش.
• مشق شب.
• خلاصه درس.
• کار مستقل (با استفاده از کارت های فردی با حدس زدن کلمات قصار فیثاغورث).

در طول کلاس ها.

زمان سازماندهی

بررسی تکالیف به روز رسانی دانش.

معلم:چه وظیفه ای در خانه انجام دادید؟

دانش آموزان:با استفاده از دو ضلع داده شده یک مثلث قائم الزاویه، ضلع سوم را پیدا کنید و پاسخ ها را به شکل جدول ارائه دهید. خواص لوزی و مستطیل را تکرار کنید. آنچه شرط نامیده می شود و نتیجه قضیه چیست را تکرار کنید. گزارشی از زندگی و کار فیثاغورث تهیه کنید. یک طناب با 12 گره روی آن بیاورید.

معلم:پاسخ تکالیف خود را با استفاده از جدول بررسی کنید

(داده ها با رنگ مشکی مشخص شده اند، پاسخ ها به رنگ قرمز هستند).

معلم: بیانیه ها روی تابلو نوشته می شود. اگر با آنها موافق هستید، روی تکه‌های کاغذ در کنار شماره سؤال مربوطه «+» و اگر موافق نیستید، «–» را قرار دهید.

اظهارات از قبل روی تابلو نوشته شده است.

1. هیپوتونوز از ساق پا بلندتر است.
2. مجموع زوایای تند مثلث قائم الزاویه 180 0 است.
3. مساحت یک مثلث قائم الزاویه با پاها آو Vبا فرمول محاسبه می شود S=ab/2.
4. قضیه فیثاغورث برای همه مثلث های متساوی الساقین صادق است.
5. در یک مثلث قائم الزاویه، ساق مقابل زاویه 30 0 برابر با نیمی از هیپوتانوس است.
6. مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتانوس است.
7. مربع ساق برابر است با اختلاف مربع های هیپوتنوز و پای دوم.
8. یک ضلع مثلث برابر است با مجموع دو ضلع دیگر.

کار با استفاده از تأیید متقابل بررسی می شود. اظهاراتی که باعث اختلاف نظر شده است مورد بحث قرار می گیرد.

کلید سوالات نظری

دانش آموزان با استفاده از سیستم زیر به یکدیگر نمره می دهند:

8 پاسخ صحیح "5"؛
6-7 پاسخ صحیح "4"؛
4-5 پاسخ صحیح "3"؛
کمتر از 4 پاسخ صحیح "2".

معلم:در درس گذشته در مورد چه چیزی صحبت کردیم؟

دانشجو:درباره فیثاغورث و قضیه او.

معلم:قضیه فیثاغورث را بیان کنید. (چند دانش آموز فرمول را می خوانند، در این زمان 2-3 دانش آموز آن را روی تخته سیاه، 6 دانش آموز در اولین میز روی تکه های کاغذ ثابت می کنند).

روی کارت های روی تخته مغناطیسی نوشته شده است فرمول های ریاضی. مواردی را انتخاب کنید که معنای قضیه فیثاغورث را منعکس می کنند، جایی که آ و V - پاها، با - هیپوتنوئوس.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = از 2 - در 2
4) با 2 = a 2 - در 2	5) در 2 = c 2 – a 2	6) a 2 = c 2 + c 2

در حالی که دانش آموزانی که قضیه را در تخته سیاه و میدانی اثبات می کنند آماده نیستند، حرف به کسانی داده می شود که گزارش هایی از زندگی و کار فیثاغورث تهیه کرده اند.

دانش‌آموزانی که در مزرعه کار می‌کنند، تکه‌های کاغذ را به دست می‌دهند و به شواهد کسانی که در هیئت کار می‌کردند گوش می‌دهند.

حل مسائل عملی با استفاده از قضیه فیثاغورث.

معلم:من مسائل عملی را با استفاده از قضیه مورد مطالعه به شما پیشنهاد می کنم. ابتدا از جنگل، پس از طوفان، سپس در یک منطقه حومه شهر بازدید خواهیم کرد.

مشکل 1. پس از طوفان، صنوبر شکست. ارتفاع قسمت باقیمانده 2/4 متر فاصله پایه تا قله افتاده 6/5 متر ارتفاع صنوبر قبل از طوفان را بیابید.

مشکل 2. ارتفاع خانه 4.4 متر عرض چمن اطراف خانه 1.4 متر است نردبان چقدر باید ساخته شود تا با چمن تداخل نداشته باشد و به سقف خانه برسد؟

موضوع جدید.

معلم:(صدای موسیقی)چشمانت را ببند، برای چند دقیقه در تاریخ غوطه ور می شویم. ما در کنار شما هستیم مصر باستان. اینجا در کارخانه های کشتی سازی مصری ها خود را می سازند کشتی های معروف. اما نقشه برداران مناطقی از زمین را اندازه گیری می کنند که مرزهای آن پس از سیل نیل از بین رفته است. سازندگان اهرام بزرگی می سازند که هنوز هم ما را با شکوه خود شگفت زده می کنند. در تمام این فعالیت ها، مصری ها نیاز به استفاده از زوایای درست داشتند. آنها می دانستند که چگونه آنها را با استفاده از یک طناب با 12 گره در فواصل مساوی از یکدیگر بسازند. سعی کنید مانند مصریان باستان فکر کنید و با طناب های خود مثلث های قائم الزاویه بسازید. (برای حل این مشکل، بچه ها در گروه های 4 نفره کار می کنند. بعد از مدتی، شخصی ساخت یک مثلث را روی یک تبلت نزدیک تخته نشان می دهد).

اضلاع مثلث به دست آمده 3، 4 و 5 است. اگر یک گره دیگر بین این گره ها ببندید، اضلاع آن 6، 8 و 10 می شود. اگر هر کدام دو تا باشد - 9، 12 و 15. همه این مثلث ها هستند. راست زاويه چون

5 2 = 3 2 + 4 2، 10 2 = 6 2 + 8 2، 15 2 = 9 2 + 12 2 و غیره.

یک مثلث برای قائم الزاویه بودن باید چه ویژگی داشته باشد؟ (دانش آموزان سعی می کنند خودشان قضیه فیثاغورث معکوس را فرموله کنند؛ بالاخره یک نفر موفق می شود).

این قضیه چه تفاوتی با قضیه فیثاغورث دارد؟

دانشجو:شرایط و نتیجه گیری جای خود را عوض کرده است.

معلم:در خانه تکرار کردید که به این قضایا گفته می شود. خب حالا با چی ملاقات کردیم؟

دانشجو: با قضیه معکوس فیثاغورث.

معلم: بیایید موضوع درس را در دفتر خود یادداشت کنیم. کتاب های درسی خود را به صفحه 127 باز کنید، این عبارت را دوباره بخوانید، آن را در دفتر خود یادداشت کنید و اثبات را تجزیه و تحلیل کنید.

(بعد از چند دقیقه کار مستقل با کتاب درسی، در صورت تمایل، یک نفر پشت تخته سیاه قضیه را اثبات می کند).

1. نام مثلثی با ضلع های 3 و 4 و 5 چیست؟ چرا؟
2. به چه مثلث هایی مثلث فیثاغورثی می گویند؟
3. در تکالیف خود با چه مثلث هایی کار کردید؟ در مورد مشکلات درخت کاج و نردبان چطور؟

تثبیت اولیه دانش

.

این قضیه به حل مسائلی کمک می کند که در آنها باید بفهمید مثلث ها قائم الزاویه هستند یا خیر.

وظایف:

1) دریابید که آیا مثلثی که اضلاع آن مساوی است قائم الزاویه است یا خیر:

الف) 12،37 و 35؛ ب) 21، 29 و 24.

2) ارتفاع مثلث با ضلع های 6، 8 و 10 سانتی متر را محاسبه کنید.

مشق شب

.

صفحه 127: قضیه فیثاغورث معکوس. شماره 498(a,b,c) شماره 497.

خلاصه درس.

چه چیز جدیدی در درس یاد گرفتید؟

قضیه فیثاغورث معکوس چگونه در مصر مورد استفاده قرار گرفت؟

برای حل چه مشکلاتی استفاده می شود؟

با چه مثلث هایی برخورد کردید؟

چه چیزی را بیشتر به خاطر دارید و دوست دارید؟

کار مستقل (که با استفاده از کارت های فردی انجام می شود).

معلم:در خانه شما خواص لوزی و مستطیل را تکرار کردید. آنها را فهرست کنید (مکالمه ای با کلاس وجود دارد). در آخرین درس در مورد اینکه فیثاغورث چگونه شخصیتی همه کاره بود صحبت کردیم. او در رشته های پزشکی، موسیقی و نجوم تحصیل کرد و ورزشکار نیز بود و در آن شرکت می کرد بازی های المپیک. فیثاغورث نیز فیلسوف بود. بسیاری از جملات قصار او هنوز هم برای ما مطرح است. حالا شما اجرا خواهید کرد کار مستقل. برای هر کار، چندین گزینه پاسخ داده شده است که در کنار آنها قطعاتی از قصار فیثاغورث نوشته شده است. وظیفه شما این است که تمام وظایف را حل کنید، از قطعات دریافتی یک بیانیه بنویسید و آن را یادداشت کنید.

موضوع: قضیه، برعکس قضیهفیثاغورث.

اهداف درس: 1) قضیه را برعکس قضیه فیثاغورث در نظر بگیرید. کاربرد آن در فرآیند حل مسئله؛ تثبیت قضیه فیثاغورث و بهبود مهارت های حل مسئله برای کاربرد آن؛

2) تفکر منطقی، جستجوی خلاق را توسعه دهید، علاقه شناختی;

3) پرورش نگرش مسئولانه نسبت به یادگیری و فرهنگ گفتار ریاضی در دانش آموزان.

نوع درس درسی برای یادگیری دانش جدید.

در طول کلاس ها

І. زمان سازماندهی

ІІ. به روز رسانی دانش

درس برای منخواهد شدمن می خواستمبا رباعی شروع کنید

آری راه معرفت هموار نیست

اما ما از دوران مدرسه می دانیم،

اسرار بیشتر از پاسخ وجود دارد،

و هیچ محدودیتی برای جستجو وجود ندارد!

بنابراین، در آخرین درس، قضیه فیثاغورث را یاد گرفتید. سوالات:

قضیه فیثاغورث برای کدام شکل صادق است؟

به کدام مثلث قائم الزاویه می گویند؟

قضیه فیثاغورث را بیان کنید.

چگونه می توان قضیه فیثاغورث را برای هر مثلث نوشت؟

به کدام مثلث ها مساوی می گویند؟

معیارهای تساوی مثلث ها را فرموله کنید؟

حالا بیایید کمی کار مستقل انجام دهیم:

حل مسائل با استفاده از نقشه ها

№1

(1 ب.) پیدا کنید: AB.

№2

(1 ب.) یافتن: VS.

№3

( 2 ب.)پیدا کنید: AC

№4

(1 امتیاز)پیدا کنید: AC

№5 ارائه شده توسط: ABCDلوزی

(2 ب.) AB = 13 سانتی متر

AC = 10 سانتی متر

پیدا کنیدD

خودآزمایی شماره 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. در حال مطالعه جدید مواد

مصریان باستان زوایای قائمه بر روی زمین می ساختند: طناب را به 12 گره تقسیم می کردند قسمت های مساوی، انتهای آن را گره زد و پس از آن طناب را روی زمین کشید تا مثلثی با اضلاع 3، 4 و 5 تقسیم شود. زاویه مثلثی که در مقابل ضلع با 5 تقسیم قرار داشت، قائم بود.

آیا می توانید صحت این قضاوت را توضیح دهید؟

در نتیجه جستجو برای پاسخ به سؤال، دانش آموزان باید بفهمند که از دیدگاه ریاضی این سؤال مطرح می شود: آیا مثلث قائم الزاویه خواهد بود؟

ما یک مشکل را مطرح می کنیم: چگونه بدون انجام اندازه گیری تعیین کنیم که آیا یک مثلث با اضلاع داده شده مستطیل خواهد بود یا خیر. حل این مشکل هدف درس است.

موضوع درس را یادداشت کنید.

قضیه. اگر مجموع مربع های دو ضلع مثلث برابر با مربع ضلع سوم باشد، آن مثلث قائم الزاویه است.

قضیه را مستقلاً ثابت کنید (با استفاده از کتاب درسی طرح اثباتی بسازید).

از این قضیه به دست می آید که مثلثی با اضلاع 3، 4، 5 قائم الزاویه (مصری) است.

به طور کلی، اعدادی که برابری برای آنها برقرار است ، سه قلوهای فیثاغورثی نامیده می شوند. و مثلث هایی که طول ضلع آنها با سه گانه فیثاغورثی (6، 8، 10) بیان می شود، مثلث های فیثاغورثی هستند.

تحکیم.

زیرا ، پس مثلثی با ضلع های 12، 13، 5 قائم الزاویه نیست.

زیرا ، سپس مثلثی با اضلاع 1، 5، 6 قائم الزاویه است.

№ 430 (a, b, c)

( - نیست)

قابل توجه است که ویژگی مشخص شده در قضیه فیثاغورث ویژگی مشخصه یک مثلث قائم الزاویه است. این از قضیه معکوس به قضیه فیثاغورث نتیجه می گیرد.

قضیه: اگر مربع یک ضلع مثلث برابر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر باشد، آن مثلث قائم الزاویه است.

فرمول هرون

اجازه دهید فرمولی استخراج کنیم که صفحه یک مثلث را بر حسب طول اضلاع آن بیان می کند. این فرمول با نام هرون اسکندریه مرتبط است - ریاضیدان و مکانیک یونان باستان که احتمالاً در قرن اول پس از میلاد می زیسته است. هرون توجه زیادی کرد کاربردهای عملیهندسه.

قضیه. مساحت S مثلثی که اضلاع آن برابر با a,b,c است با فرمول S= محاسبه می شود که p نیم محیط مثلث است.

اثبات

داده می شود: ?ABC، AB= c، BC= a، AC= b زوایای A و B حاد هستند. CH - ارتفاع.

ثابت كردن:

اثبات:

مثلث ABC را در نظر بگیرید که در آن AB=c، BC=a، AC=b. هر مثلث حداقل دو زاویه تند دارد. بگذارید A و B باشند گوشه های تیزمثلث ABC سپس پایه H ارتفاع CH مثلث در ضلع AB قرار دارد. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: CH = h، AH=y، HB=x. توسط قضیه فیثاغورث a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2، از آنجا

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2، یا (y - x) (y + x) = b 2 - a 2، و از آنجایی که y + x = c، پس y-x = (b2 - a2).

با جمع دو برابری آخر، به دست می‌آییم:

2y = +c، از آنجا

y=، و بنابراین، h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

بنابراین، h = .