ما با هر نقطه (x 1 , x 2 , ... x n) فضای n بعدی R n یک بردار n بعدی مرتبط می کنیم ایکس=(x 1 , x 2 ,…x n) با شروع در مبدا و پایان در نقطه (x 1 , x 2 ,…x n). تعداد زیادی بردار ایکس=(x 1,x 2,...xn) در R n که مولفه های آن m نابرابری های خطی را برآورده می کند:
A 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1 n x n ≤ b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2 n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (2)
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +...+ a m n x n ≤ b m
مجموعه راه حل های سیستم نامیده می شود نابرابری های خطی.
در تعریف همه نابرابری ها با علامت ≤ نوشته می شوند. ضرب در
(-1) هر یک از نابرابری ها، می توانید علامت آن را به عکس تغییر دهید. مجموعه ای از راه حل ها برای سیستم های نابرابری های خطی با هر دو علامت ³ و ≤ تعریف شده است.
مسائل مدلسازی
موضوع تئوری مدلسازی
مدلسازی جایگزینی یک شی (اصل) با شی دیگر (مدل) و تثبیت و بررسی خواص مدل است. جایگزینی برای این منظور ساخته شده است ساده سازی،کاهش هزینه، تسریع مطالعه خواص اصلی.
که در مورد کلیشی اصلی می تواند یک سیستم طبیعی یا مصنوعی، واقعی یا خیالی باشد. پارامترهای زیادی دارد و با ویژگی های خاصی مشخص می شود. اندازه گیری کمی از ویژگی های یک سیستم توسط ویژگی های بسیاری ارائه می شود؛ سیستم ویژگی های خود را تحت تأثیر تأثیرات خارجی نشان می دهد.
بسیاری از پارامترها و مقادیر آنها منعکس کننده داخلی آن است محتوا - ساختارو اصول عملیاتی ویژگی ها اساسا او هستند نشانه های خارجیکه هنگام تعامل با دیگران مهم هستند.
مدل سازی زمانی توصیه می شود که مدل فاقد آن ویژگی های مدل اصلی باشد که مانع مطالعه آن می شود.
نظریه مدل سازی مجموعه ای به هم پیوسته از مفاد، تعاریف، روش ها و ابزارهای ایجاد مدل ها است. خود مدل‌ها موضوع تئوری مدلسازی هستند.
نظریه مدلسازی جزء اصلی است نظریه عمومیسیستم ها - سیستم شناسی، که در آن مدل های امکان پذیر به عنوان اصل اصلی فرض می شوند: یک سیستم را می توان با مجموعه محدودی از مدل ها نشان داد، که هر یک جنبه خاصی از ماهیت خود را منعکس می کند.
نقش و جایگاه مدل سازی در تحقیقات سیستمی.
دانش هر سیستم () اساساً به ایجاد مدل آن خلاصه می شود. قبل از ساخت هر دستگاه یا سازه، پروژه مدل آن توسعه می‌یابد. هر اثر هنری مدلی است که واقعیت را به تصویر می کشد.
پیشرفت در ریاضیات منجر به گسترش مدل های ریاضی از اشیاء و فرآیندهای مختلف شده است. خاطرنشان می شود که پویایی عملکرد سیستم هایی با ماهیت فیزیکی مختلف دارای وابستگی های یکسانی است که به آنها امکان شبیه سازی در رایانه شخصی را می دهد.
طبقه بندی مدل
مدل های فیزیکی طبقه بندی بر اساس درجه انتزاع مدل از مدل اصلی است. قبلاً همه مدل ها را می توان به 2 گروه - فیزیکی و انتزاعی (ریاضی) تقسیم کرد.
F.M. معمولاً به سیستمی اطلاق می‌شود که معادل یا مشابه سیستم اصلی است، اما احتمالاً ماهیت فیزیکی متفاوتی دارد. انواع F.M.:
طبیعی؛
شبه طبیعی;
در مقیاس بزرگ؛
آنالوگ؛
مدل های طبیعی- اینها سیستم های واقعی تحت مطالعه هستند (مدل ها، نمونه های اولیه). آنها کفایت کامل (مطابقت) با سیستم اصلی دارند، اما گران هستند.
مدل های شبه طبیعی- مجموعه ای از مدل های طبیعی و ریاضی. این نوع زمانی استفاده می شود که مدل بخشی از سیستم به دلیل پیچیدگی توصیف آن نمی تواند ریاضی باشد (مدل اپراتور انسانی) یا زمانی که بخشی از سیستم باید در تعامل با سایر قسمت ها مورد مطالعه قرار گیرد، اما هنوز وجود ندارند یا گنجاندن بسیار گران است (چند ضلعی های محاسباتی، ACS).
مدل مقیاس، سیستمی است که ماهیت فیزیکی مشابه نمونه اصلی دارد، اما در مقیاس با آن تفاوت دارد. مبنای روش شناختیمدل سازی مقیاس نظریه شباهت است. هنگام طراحی هواپیما، می توان از مدل های مقیاس برای تجزیه و تحلیل گزینه های راه حل های چیدمان استفاده کرد.
مدل های آنالوگسیستم‌هایی نامیده می‌شوند که ماهیت فیزیکی متفاوتی با اصلی دارند، اما فرآیندهای عملکردی شبیه به اصلی دارند. برای ایجاد یک مدل آنالوگ، یک توصیف ریاضی از سیستم مورد مطالعه مورد نیاز است. سیستم های مکانیکی، هیدرولیک، پنوماتیک و الکتریکی به عنوان مدل های آنالوگ استفاده می شوند. مدلسازی آنالوگ در هنگام مطالعه تجهیزات VT در سطح عناصر منطقی و مدارهای الکتریکیو همچنین در سطح سیستم، زمانی که عملکرد سیستم، به عنوان مثال، با معادلات دیفرانسیل یا جبری توصیف می شود.
مدل های ریاضی. مدل‌های ریاضی یک نمایش رسمی از یک سیستم با استفاده از یک زبان انتزاعی، با استفاده از روابط ریاضی است که فرآیند عملکرد سیستم را منعکس می‌کند. برای تدوین یک مدل ریاضی، می توانید از هر وسیله ریاضی استفاده کنید - جبری، دیفرانسیل، حساب انتگرال، نظریه مجموعه ها، نظریه الگوریتم ها و غیره. اساساً تمام ریاضیات برای جمع‌آوری و مطالعه مدل‌های اشیاء و فرآیندها ایجاد شده‌اند.
ابزار توصیف انتزاعی سیستم ها نیز شامل زبان ها می شود فرمول های شیمیایی، نمودارها، نقشه ها، نقشه ها، نمودارها و غیره انتخاب نوع مدل با توجه به ویژگی های سیستم مورد مطالعه و اهداف مدل سازی تعیین می شود، زیرا مطالعه مدل این امکان را به فرد می دهد که به گروه خاصی از سوالات پاسخ دهد. برای به دست آوردن اطلاعات مختلف، اطلاعات مختلف ممکن است به مدل متفاوتی نیاز داشته باشد. مدل های ریاضی را می توان به دو دسته قطعی و احتمالی، تحلیلی، عددی و شبیه سازی طبقه بندی کرد.
مدل تحلیلیاین یک توصیف رسمی از یک سیستم است که به شما امکان می دهد معادله را به طور صریح با استفاده از یک دستگاه ریاضی شناخته شده حل کنید.
مدل عددیبا یک نوع وابستگی مشخص می شود که تنها راه حل های جزئی را برای شرایط اولیه خاص و پارامترهای کمی مدل ها اجازه می دهد.
مدل شبیه سازی- این مجموعه ای از توصیفات سیستم و تأثیرات خارجی، الگوریتم هایی برای عملکرد سیستم یا قوانین تغییر وضعیت سیستم تحت تأثیر اختلالات خارجی و داخلی است. این الگوریتم ها و قوانین امکان استفاده از روش های ریاضی موجود را برای تحلیل و حل عددی، اما آنها به شما امکان می دهند روند عملکرد سیستم را شبیه سازی کنید و ویژگی های مورد نظر را محاسبه کنید. مدل‌های شبیه‌سازی را می‌توان برای کلاس بسیار وسیع‌تری از اشیا و فرآیندها نسبت به مدل‌های تحلیلی و عددی ایجاد کرد. از آنجایی که رایانه‌ها برای پیاده‌سازی مدل‌های شبیه‌سازی استفاده می‌شوند، زبان‌های الگوریتمی جهانی و خاص به عنوان ابزاری برای توصیف رسمی آنها عمل می‌کنند. آنها برای مطالعه هواپیما در سطح سیستم مناسب ترین هستند.
اجازه دهید تعدادی از مسائل را در نظر بگیریم که در آنها لازم است دامنه حل یک سیستم نابرابری های خطی را پیدا کنیم.
مثال 1:
X 1 + 3x 2 ≤ 6
x 1 - x 2 ≤ 2
مجموعه مورد نیاز از راه حل ها مربوط به منطقه سایه دار است. رئوس مجموعه راه حل سه نقطه (0،2)، (0،-2) و (3،1) است. آنها نقاط تلاقی خطوط هستند که مجموعه راه حل ها را محدود می کنند.
در این مثال، مجموعه راه حل یک مجموعه محدب چند وجهی است.
مثال 2:مجموعه راه حل های سیستم نابرابری های خطی زیر را در R² رسم کنید.
X 1 + 2x 2 ≤ 4
3x 1 + 2x 2 ≤ 6
رئوس مجموعه مورد نظر دو نقطه با مختصات (0،2) و (1/2، 9/4) است. نقطه با مختصات (0،3) یک راس نیست، زیرا نابرابری اول را برآورده نمی کند. این مجموعه از راه حل ها نامحدود است.
راه حل مثال 3:مجموعه راه حل های سیستم نابرابری های خطی زیر را در R² رسم کنید.
X 1 - x 2 ³ 1
x 1 + x 2 ≤ 1
راه حل نابرابری های اول و دوم، نقاط بخش پایینی سایه دار هستند. راه حل نابرابری سوم نقاط نیمه صفحه بالایی سایه دار است. از آنجایی که این دو ناحیه هیچ نقطه مشترکی ندارند، پس کل سیستم نابرابری ها راه حلی ندارد، یعنی راه حل Æ است.
مشکل اصلی برنامه ریزی خطی
که در نمای کلیمسئله برنامه ریزی خطی (LPP) به صورت زیر فرموله شده است.
بردار را پیدا کنید ایکس=(x 1, x 2, ... x n) در R n که تابع هدف را به حداکثر می رساند (یا کمینه می کند)
F(x)=с 1 x 1 +с 2 x 2 +... +с n x n (3)
و نابرابری های خطی m+n را برآورده می کند:
A 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n ≤ b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (4)
a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n ≤ b m
x 1 ³0، x 2 ³0، ... x n³0
در اصطلاح برنامه نویسی تابع خطی F(x) را تابع هدف مسئله می نامند. مجموعه راه حل های سیستم نابرابری های خطی (4) را مجموعه راه حل های مجاز و هر بردار می نامند. ایکساز این مجموعه راه حل عملی نامیده می شود. راه حل بهینه بردار است ایکس*، که در آن تابع هدف حداکثر (یا حداقل) مقدار خود را در مجموعه قابل قبول راه حل ها می گیرد.
روش گرافیکی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی.اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این مشکل با استفاده از روش گرافیکی (هندسی) حل می شود. برای انجام این کار، ما خود را به در نظر گرفتن سیستمی از نابرابری های خطی با دو مجهول محدود می کنیم.
اجازه دهید تابع هدف F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 داده شود. اجازه دهید از میان مجموعه ای از نقاط (x 1, x 2) از ناحیه راه حل های قابل قبول سیستم مشترک نابرابری ها (4) (شامل فقط متغیرهای x 1 و x 2) مواردی را پیدا کنیم که تابع خطی F کوچکترین (بزرگترین) مقدار است. برای هر نقطه i-امین صفحه، تابع F یک مقدار ثابت F=F i می گیرد. مجموعه تمام نقاطی که در آنها تابع F همان مقدار F i را می گیرد، یک خط مستقیم با 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 =F i = ثابت، عمود بر بردار به نام گرادیان F (درجه F) است. ). این بردار از مبدا خارج می شود و دارای مختصاتی درجه F = (c 1,c 2) است. با توجه به ویژگی بردار درجه F، اگر خط مستقیم مشخص شده به موازات خود در جهت مثبت بردار درجه F حرکت کند، مقدار تابع هدف F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 در این خط مستقیم افزایش می یابد و در جهت مخالف کاهش می یابد.
اجازه دهید خط F=const برای اولین بار در جهت مثبت بردار درجه F حرکت کند که این خط با چند ضلعی جواب های قابل قبول در راس خود روبرو می شود. سپس در این موقعیت F 1 خط F=const را خط پشتیبانی می نامند و در این خط تابع F می گیرد کوچکترین ارزش. با حرکت بیشتر در همان جهت (مثبت)، خط مستقیم F=const از راس دیگری از چند ضلعی راه حل های امکان پذیر عبور می کند و با خروج از ناحیه حل، به خط مستقیم مرجع F 2 نیز تبدیل می شود. روی آن تابع F می گیرد بالاترین ارزشدر میان تمام مقادیر پذیرفته شده در چند ضلعی راه حل های امکان پذیر. بنابراین، به حداقل رساندن و به حداکثر رساندن تابع هدف F=c 1 x 1 +c 2 x 2 + c 0 در چند ضلعی راه حل های امکان پذیر در نقاط تلاقی این چند ضلعی با خطوط مرجع F=c 1 x 1 + حاصل می شود. c 2 x 2 +c 0 = const، نرمال به درجه برداری F=(с 1 , с 2). این تقاطع خط مرجع با مجموعه راه‌حل‌های امکان‌پذیر می‌تواند در یک نقطه (راس چندضلعی) یا در مجموعه‌ای از نقاط نامتناهی باشد (اگر این مجموعه اضلاع چند ضلعی باشد).
تکلیف تکلیف اول، دوم، سوم با نام خانوادگی، نام و نام خانوادگی دانش آموز و برای کار چهارم با نام خانوادگی و نام خانوادگی انتخاب می شود.
وظیفه شماره 1
میز 1
| حرف اول | نام خانوادگی | نام | نام خانوادگی | ||||||||||||
| یک 11 | یک 12 | یک 21 | a 2 2 | یک 31 | یک 32 | یک 41 | a 4 2 | ب 1 | ب 2 | ب 3 | C0 | C1 | C2 | ||
| آ | |||||||||||||||
| ب | |||||||||||||||
| که در | |||||||||||||||
| جی | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| و | |||||||||||||||
| ز | |||||||||||||||
| و | |||||||||||||||
| به | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| م | |||||||||||||||
| ن | |||||||||||||||
| در باره | |||||||||||||||
| پ | |||||||||||||||
| آر | |||||||||||||||
| با | |||||||||||||||
| تی | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| اف | |||||||||||||||
| ایکس | |||||||||||||||
| سی | |||||||||||||||
| اچ | |||||||||||||||
| SE | |||||||||||||||
| یویا | |||||||||||||||
مثال 4:شکل خطی F=14x 1 +4x2 را تحت محدودیت ها به حداقل برسانید:
7x 1 + 2x 2 ³ 14
4 x 1 –7x 2 ≤ 14
با جایگزینی علائم نابرابری با علائم برابری دقیق، معادلاتی را برای مرزهای منطقه راه حل های امکان پذیر به دست می آوریم. با استفاده از معادلات خطوط مستقیم به دست آمده، مساحت مورد نظر را می سازیم:
7x 1 +2x 2 =14
4 x 1 – 7x 2 = 14
دامنه راه حل های قابل قبول برای سیستم نابرابری ها چند ضلعی ABCDE است.
شکل 5.
برای یافتن نقاط انتهایی، یک خط مستقیم F=14x 1 +4x2 =0 و یک بردار gradF = (14، 4) می سازیم. ما خط F=0 را به موازات خودش در جهت درجه بردار F حرکت می دهیم. این خط ابتدا با چند ضلعی ABCDE در نقاط E(2,0) و A(10/9, 28/9) برخورد می کند. تابع هدف همان مقدار حداقل F(E) = F(A) =14·2+4∙0=28-min را می گیرد، (زیرا درجه برداری F بر خط مستقیم AE عمود است). بنابراین، تابع هدف حداقل مقدار خود را در هر نقطه از قطعه AE می گیرد.
از طرح 
مسئله اصلی برنامه ریزی خطی به این ترتیب است که تعداد مولفه های مثبت آن از .
یک طرح حمایتی اگر دقیقاً دارای اجزای مثبت باشد، غیر منحط نامیده می شود. در غیر این صورت طرح منحط است.
هر متغیر سیستم معادلات خطیبا متغیرها (موضوع) در صورتی که تعیین کننده ماتریس ضرایب برای آنها با صفر متفاوت باشد، پایه نامیده می شوند. سپس متغیرهای باقیمانده غیر اولیه نامیده می شوند.
راه حل اساسی یک سیستم معادلات خطی m با متغیر، هر راه حلی است که در آن همه متغیرهای غیر پایه دارای مقادیر صفر باشند.
قضیه 1. مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر برای سیستم محدودیت های یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.
قضیه 2. اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی راه حل بهینه داشته باشد، آنگاه با نقطه گوشه مجموعه راه حل های امکان پذیر منطبق است.
نتیجه.اگر راه حل بهینه منحصر به فرد نباشد، چنین راه حل های زیادی وجود خواهد داشت (به عنوان مثال، تمام نقاط بخش اتصال نقاط گوشه مربوطه).
قضیه 3. هر راه حل اساسی قابل قبول یک مسئله برنامه ریزی خطی مربوط به یک نقطه گوشه از ناحیه مقادیر مجاز است و بالعکس.
مفهوم روش سیمپلکس.
حل مسئله برنامه ریزی خطی اصلی با استفاده از روش هندسی در مورد متغیرهای 2 و 3 به وضوح زیادی دست می یابد. برای همین مورد بیشترمتغیرها، روش هندسی غیرممکن می شود. روش به اصطلاح سیمپلکس یکی از روش های تحلیلی برای حل مسئله برنامه ریزی خطی پایه است. در این حالت، محدودیت‌های مورد استفاده در هنگام اجرای روش سیمپلکس معمولاً توسط یک سیستم معادلات خطی مشخص می‌شوند.
A 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . (5)
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +...+ a mn x n = b m
در میان راه‌حل‌های غیر منفی که ما به دنبال راه‌حل‌هایی هستیم که تابع خطی (هدفی) را به حداکثر می‌رسانند.
F=с 1 x 1 +с 2 x 2 +...+с n x n +с 0
روش سیمپلکس بر اساس قضایای زیر است:
قضیه 1.اگر ZLP یک راه حل بهینه داشته باشد، تابع هدف در یکی از نقاط گوشه چند ضلعی محدب راه حل های امکان پذیر، یک مقدار شدید می گیرد.
قضیه 2.هر راه حل پشتیبانی از ZLP مربوط به یک نقطه گوشه از چند ضلعی راه حل های امکان پذیر است و بالعکس.
بر اساس این قضایا، هنگام اجرای روش سیمپلکس، جستجوی هدفمند تمام رئوس انجام می شود به طوری که در هر رأس بعدی مقدار تابع هدف کمتر (نه بیشتر) از راس قبلی نباشد. در عین حال، برای شماره نهاییمراحل، راه حل بهینه مورد نظر به دست می آید، یا ثابت می شود که ZLP غیر قابل حل است.
برای پیاده سازی الگوریتم مشخص شده، مجموعه ای از متغیرهای مستقل خطی را در سیستم (5) max انتخاب می کنیم (متغیرهایی که تعیین کننده متشکل از ضرایب جلوی این متغیرها با 0 متفاوت است). برای قطعیت، اجازه دهید اینها متغیرهای x 1، x 2،... x r (r ≤ m) باشند. بیایید این متغیرها را بر حسب متغیرهای باقیمانده بیان کنیم
X 1 = a" 1، r +1 x r+1 + ... + a" 1 n x n + b 1 "
x 2 = a" 2، r +1 x r+1 + ... + a" 2 n x n + b 2 "(6)
. . . . . . . . . . . . . . . .
x r = a" r, r +1 x r+1 + ... + a" r n x n + b r "
علاوه بر این، فرض می کنیم که همه b 1 "³0, b 2 "³0, b r "³0. اگر شرایط محدود کننده اولیه با نابرابری ها مشخص شده باشند، می توان آنها را با معرفی متغیرهای غیر منفی جدید به شکل (5) تبدیل کرد. بنابراین، برای مثال، در نابرابری 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤ b کافی است مقداری x n + به سمت چپ نابرابری اضافه شود. 1 ³ 0 برابر با اختلاف بین سمت راست و چپ نابرابری است و برابری a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+a n x n + x n +1 = b را می گیریم اگر شرایط محدود کننده در یک مخلوط مشخص شده باشد. روش ، یعنی با نابرابری ها و معادلات ، سپس به روش نشان داده شده نیز می توان آنها را فقط به معادلات کاهش داد.
در سیستم حاصل (6)، متغیرهای (ناشناخته) x 1, x 2 ... x z پایه نامیده می شوند و کل مجموعه (x 1, x 2 ... x z) پایه نامیده می شود، متغیرهای باقیمانده عبارتند از رایگان نامیده می شود. سیستم محدودیت ها (6) را سیستمی می گویند که به یک واحد کاهش یافته است. با جایگزینی تابع هدف F به جای متغیرهای پایه، عبارات آنها از طریق متغیرهای آزاد سیستم (6) به دست می آید.
F = C 0 + C g + 1 x g + 1 + … + C n x n
حال با فرض صفر بودن همه متغیرهای آزاد، مقادیر متغیرهای اصلی را پیدا می کنیم:
x 1 =b 1 ", x 2 = b 2" , ... x r =b r "
راه حل مجاز سیستم (6) از این طریق بدست می آید
(b 1 ", b 2 ", ... b r ", 0, ... 0) پایه نامیده می شود برای این جواب پایه مقدار تابع هدف برابر F B = C 0 خواهد بود.
حل مسئله با استفاده از روش سیمپلکس به چند مرحله تقسیم می شود که شامل این واقعیت است که از یک مبنای معین B به پایه دیگر B می رویم به گونه ای که مقدار F B بر اساس جدید افزایش می یابد یا حداقل ، کاهش نمی یابد، سپس برآورده می شود F B "≥ F B. علاوه بر این، اگر همه b 1 "> 0, b 2 "> 0,…., b r ">0، آنگاه این راه حل مرجع نامیده می شود و با مقداری مطابقت دارد. نقطه گوشهمحدوده راه حل های امکان پذیر تعیین شده توسط سیستم اصلی محدودیت ها. سپس انتقال از یک راه حل پایه (مرجع) به راه حل دیگر با انتقال از یک راس از چندضلعی راه حل های امکان پذیر به راس دیگر مطابقت دارد.
وظیفه شماره 2
برای فروش سه گروه کالا، یک بنگاه تجاری دارای سه نوع مواد آلی و منابع پولی به میزان , , واحد است. در همان زمان، برای فروش 1 گروه کالا به قیمت 1000 روبل. مصرف گردش کالا در تعداد واحد، منبع نوع دوم در تعداد واحد، منبع نوع سوم در تعداد واحد از دست رفت. برای فروش 2 و 3 گروه کالا به قیمت 1 هزار روبل. گردش کالا با توجه به منبع نوع اول به مبلغ، واحد، منابع نوع دوم به مبلغ، واحد، منابع نوع سوم به مبلغ، واحد هزینه می شود. سود از سه گروه کالا برای 1000 روبل. گردش مالی به ترتیب , , (هزار روبل) است.
حجم برنامه ریزی شده و ساختار گردش تجاری را تعیین کنید تا سود شرکت تجاری به حداکثر برسد.
| حرف اول | نام خانوادگی | نام | نام خانوادگی | ||||||||||||
| آ | |||||||||||||||
| ب | |||||||||||||||
| که در | 1 0 | ||||||||||||||
| جی | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| و | |||||||||||||||
| ز | |||||||||||||||
| و | |||||||||||||||
| به | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| م | |||||||||||||||
| ن | |||||||||||||||
| در باره | |||||||||||||||
| پ | |||||||||||||||
| آر | |||||||||||||||
| با | |||||||||||||||
| تی | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| اف | |||||||||||||||
| ایکس | |||||||||||||||
| سی | |||||||||||||||
| اچ | |||||||||||||||
| او | |||||||||||||||
| یو یا |
مثال 5:تابع هدف F=-x 4 +x 5 را تحت محدودیت ها به حداکثر برسانید:
این سیستم از معادلات سازگار است، از رتبه های ماتریس سیستم
و ماتریس توسعه یافته 
منطبق هستند و برابر با 3 هستند. با بیان متغیرهای پایه (ایستاده در ستون های واحد) x 1، x 2، x 3، از طریق متغیرهای آزاد x 4 و x 5 به سیستم می رسیم
(7)
علاوه بر سیستم (7)، می‌توانیم متغیرهای پایه را از طریق متغیرهای آزاد و در تابع هدف بیان کنیم (در مثال ما، F = -x 4 + x 5 قبلاً از طریق متغیرهای آزاد x 4 و x 5 بیان شده است). حالا با فرض x 4 = 0، x 5 = 0، متغیرهای اساسی را پیدا می کنیم: x 1 = 1، x 2 =2، x 3 =3. بنابراین، اولین راه حل مبنای عملی برای سیستم معادلات (1، 2، 3، 0، 0) است. هنگامی که یک راه حل قابل قبول یافت می شود، تابع هدف F مقدار 0 دارد، یعنی F 1 = 0.
حالا بیایید سعی کنیم مقدار F 1 را افزایش دهیم. افزایش x 4 باعث کاهش F 1 می شود، زیرا قبل از x 4 در عبارت F = -x 4 + x 5 یک ضریب منفی وجود دارد و افزایش در x 5 باعث افزایش F 1 می شود. بنابراین، x 5 را افزایش می دهیم تا x 1، x 2، x 3 منفی نشوند و x 4 = 0 باقی بمانند. از رابطه دوم (7) می بینیم که x 5 را می توان به 2 افزایش داد (به طوری که x 2 0 باقی می ماند، با x 4 = 0). سپس مقدار متغیرها (5، 0، 1، 0، 2) و مقدار F 2 = 2 خواهد بود. همانطور که می بینید، مقدار F در مرحله دوم افزایش یافته است.
از آنجایی که x 2 و x 4 برابر با 0 هستند، سپس x 2 و x 4 را به عنوان مجهولات آزاد می گیریم، سپس x 5 = 2x 2 + 2x 4
و از سیستم (7) به سیستم معادل آن (8) می رویم.
(8)
علاوه بر این، F در این حالت برابر خواهد بود
F = 2x2 +x4
برای افزایش F، x 4 را افزایش می دهیم (زیرا x 2 قبل از یک ضریب منفی است) از رابطه دوم سیستم (8) مشخص می شود که به شرط اینکه x 3 غیر منفی باشد، مقدار x 4 می تواند باشد. به x 4 = 1/5 رسیده است، سپس (28/5 , 0, 0, 1/5, 12/5) F 3 =11/5 داریم.
از آنجایی که جواب x 2 = x 3 = 0 به دست آمد، x 2 و x 3 را به عنوان متغیرهای آزاد در نظر می گیریم و x 1، x 4، x 5 را از طریق x 2 و x 3 بیان می کنیم.
X 1 = 28/5 - 7/5 x 2 - 3/5 x 3
x 4 = 1/5 + 1/5 x 2 - 1/5 x 3
x 5 = 12/5 - 3/5 x 2 - 2/5 x 3
با F = 11/5 – 4/5 x 2 – 1/5 x 3
از آنجایی که ضرایب x 2 و x 3 در عبارت F منفی هستند، دیگر نمی توان مقدار F را افزایش داد. بنابراین، با قرار دادن x 2 = x 3 = 0، بزرگترین مقدار F = 11/5 را هنگام حل به دست می آوریم (28/5، 0، 0، 1/5، 12/5)
پاسخ: F max = 11/5 at ایکس* = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)
جداول سیمپلکس
از آنجایی که حل ZLP با استفاده از چنین استدلالی، همانطور که در مثال قبلی انجام شد، به وضوح برای ضبط فشرده راه حل ناخوشایند است و به اصطلاح از جداول سیمپلکس برای برنامه ریزی الگوریتم راه حل در رایانه استفاده می شود. برای انجام این کار، سیستم محدودیت ها را به صورت واحد کاهش می دهیم
x 1 + a 1، r +1 x r+1 + ... + a 1 n x n = b 1
x i + a i,r+1 x r+1 + .... + a i n x n = b i (9)
x r + a r,r+1 x r+1 + ... + a r n x n = b r
و تابع هدف F - به شکل:
F = C g + 1 x r + 1 + ... + C j x j +… + C n x n + C 0 (10)
ما برابری (10) را یک عبارت کاهش یافته (به متغیرهای آزاد) برای تابع F و ضرایب Cj - تخمین (شاخص) متغیرهای آزاد متناظر x j می نامیم.
ضرایب سیستم محدودیت های فوق (9) و همچنین متغیرهای کمکی مختلف در جدول سیمپلکس وارد می شوند (جدول 1).
میز 1
| متغیرهای اساسی | اعضای رایگان | x 1 | ... | x i | ... | x r | x g+1 | ... | x j | ... | x n | |
| x 1 | ب 1 | ... | ... | a 1، r+1 | ... | a 1j | ... | یک n | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ||
| x i | b i | ... | ... | و i,r+1 | ... | یک ij | ... | یک اینچ | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | |
| x r | b r | ... | ... | و r,r+1 | ... | یک rj | ... | arn | ||||
| F= | C 0 | ... | ... | - C g+1 | ... | -سی جی | ... | -Cn |
اولین ستون‌های r با مجهول x i، ستون‌های واحد با متغیرهای پایه x 1,…,x r هستند. n-r بعدیستون ها ستون هایی با متغیرهای آزاد x r +1 ,…,x n هستند. با فرض متغیرهای آزاد x r +1 = …=
X n = 0، متغیرهای اساسی x 1 = b 1،…، x r = b r را پیدا می کنیم. در این حالت، مقدار تابع هدف F = C 0 است.
طرح برداری یافت شده X 1 = و مقدار تابع هدف F = C 0 با برخی از راس های چندضلعی راه حل های امکان پذیر مطابقت دارد. انتقال به راس دیگر و در نتیجه به پلان برداری دیگر و مقدار دیگری از تابع هدف با محاسبه مجدد این جدول سیمپلکس انجام می شود.
معادلات و نابرابری های خطی I
§ 23 سیستم های نابرابری های خطی
سیستم نابرابری های خطی هر مجموعه ای از دو یا چند نابرابری خطی است که حاوی مقدار مجهول یکسانی باشد.
نمونه هایی از این سیستم ها شامل سیستم های زیر است:
حل یک سیستم نابرابری به معنای یافتن تمام مقادیر کمیت مجهول است که هر نابرابری از سیستم برای آن برآورده می شود.
بیایید سیستم های فوق را حل کنیم.
بیایید دو خط عددی را یکی زیر دیگری قرار دهیم (شکل 31). در بالا آن مقادیر را علامت گذاری می کنیم ایکس ، که برای آن نابرابری اول برآورده می شود ( ایکس > 1)، و در پایین آن مقادیر ایکس ، که برای آن نابرابری دوم برآورده می شود ( ایکس > 4).
با مقایسه نتایج روی خطوط اعداد، متوجه می‌شویم که هر دو نابرابری به طور همزمان برآورده می‌شوند. ایکس > 4. پاسخ دهید، ایکس > 4.
نابرابری اول -3 را به دست می دهد ایکس < -б, или ایکس > 2، و دوم - ایکس > -8 یا ایکس < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения ایکس ، که برای آن نابرابری اول سیستم برآورده می شود و در خط عددی دوم که در زیر عدد اول قرار دارد، تمام آن مقادیر ایکس ، که برای آن نابرابری دوم سیستم برآورده می شود (شکل 32).
مقایسه این دو نتیجه نشان می دهد که هر دو نابرابری به طور همزمان برای همه مقادیر برقرار خواهند بود ایکس ، از 2 تا 8 محصور شده است. مجموعه ای از این مقادیر ایکس به صورت نابرابری مضاعف نوشته می شود 2< ایکس < 8.
مثال 3. حل سیستم نابرابری ها
اولین نابرابری سیستم 5 را می دهد ایکس < 10, или ایکس < 2, второе ایکس > 4. بنابراین، هر عددی که هر دو نامعادله را به طور همزمان برآورده کند، نباید بیشتر از 2 و بیشتر از 4 باشد (شکل 33).
اما چنین اعدادی وجود ندارند. بنابراین، این سیستم نابرابری برای هیچ ارزشی صادق نیست ایکس . چنین سیستم هایی از نابرابری ها ناسازگار نامیده می شوند.
تمرینات
این سیستم های نابرابری را حل کنید (شماره 179 -184):
حل نابرابری ها (شماره 185، 186):
185. (2ایکس + 3) (2 - 2ایکس ) > 0. 186. (2 - π ) (2ایکس - 15) (ایکس + 4) > 0.
پیدا کردن مقادیر معتبرحروف موجود در داده های برابری (شماره 187، 188):
حل نابرابری ها (شماره 189، 190):
189. 1 < 2ایکس - 5 < 2. 190. -2 < 1 - اوه < 5.
191. دمای 10 لیتر آب چقدر باید باشد تا با 6 لیتر آب در دمای 15 درجه مخلوط شود تا آبی با دمای حداقل 30 درجه و بیش از 40 درجه بدست آید؟
192. یک ضلع مثلث 4 سانتی متر و مجموع دو ضلع دیگر 10 سانتی متر است اگر این ضلع ها را با اعداد صحیح بیان می کنند بیابید.
193. مشخص است که سیستم دو نابرابری خطی برای هیچ مقدار کمیت مجهول ارضا نمی شود. آیا می توانیم بگوییم که نابرابری های فردی این سیستم برای هیچ مقداری از کمیت مجهول ارضا نمی شود؟
روش گرافیکی.. 3
روش سیمپلکس.. 6
روش پایه مصنوعی ... ۸
اصل دوگانگی.. 10
فهرست ادبیات مورد استفاده ... 12
معرفی
ویژگی‌های خاصی از سیستم‌های نابرابری‌های خطی در نیمه اول قرن نوزدهم در ارتباط با مسائل خاصی از مکانیک تحلیلی در نظر گرفته شد. مطالعه سیستماتیک سیستم‌های نابرابری‌های خطی در اواخر قرن نوزدهم آغاز شد، اما صحبت در مورد نظریه نابرابری‌های خطی تنها در اواخر دهه بیستم قرن بیستم ممکن شد، زمانی که تعداد کافی نتایج مرتبط با آنها به دست آمد. قبلاً انباشته شده است.
اکنون نظریه سیستم های متناهی نابرابری های خطی را می توان به عنوان شاخه ای از جبر خطی در نظر گرفت که با نیاز اضافی به ترتیب میدان ضرایب از آن بیرون آمد.
نابرابری های خطی به ویژه هستند مهمبرای اقتصاددانان، زیرا به کمک نابرابری های خطی است که می توان فرآیندهای تولید را مدل کرد و سودآورترین برنامه ها را برای تولید، حمل و نقل، تخصیص منابع و غیره یافت.
این مقاله روش های اساسی برای حل نابرابری های خطی را که برای مسائل خاص اعمال می شود، تشریح می کند.
روش گرافیکی
روش گرافیکی شامل ساخت مجموعه ای از راه حل های قابل قبول برای PLP و یافتن نقطه مربوط به تابع هدف حداکثر/دقیقه در این مجموعه است.
به واسطه معلولیت هابرای نمایش گرافیکی بصری، این روش فقط برای سیستم های نابرابری های خطی با دو مجهول و سیستم هایی که می توان به این شکل کاهش داد استفاده می شود.
برای اینکه به وضوح نشان داده شود روش گرافیکی، بیایید مشکل زیر را حل کنیم:
- در مرحله اول، ایجاد منطقه ای از راه حل های امکان پذیر ضروری است. برای این مثال، راحت‌تر است که X2 را به‌عنوان ابسیسا و X1 را به‌عنوان مختصات انتخاب کنید و نابرابری‌ها را به شکل زیر بنویسید:
هم نمودارها و هم مساحت راه حل های ممکن در سه ماهه اول هستند. برای یافتن نقاط مرزی معادلات (1)=(2)، (1)=(3) و (2)=(3) را حل می کنیم.
همانطور که از تصویر مشاهده می شود، ABCDE چند وجهی ناحیه ای از راه حل های امکان پذیر را تشکیل می دهد.
اگر ناحیه راه‌حل‌های ممکن بسته نباشد، حداکثر (f)=+ ∞ یا min(f)= -∞.
- اکنون می‌توانیم مستقیماً حداکثر تابع f را پیدا کنیم.
با جایگزین کردن متناوب مختصات رئوس چند وجهی به تابع f و مقایسه مقادیر، متوجه می شویم که
f(C)=f(4;1)=19 – حداکثر تابع.
این رویکرد با تعداد کمی از رئوس کاملاً سودمند است. اما اگر رئوس بسیار زیادی وجود داشته باشد، این روش می تواند زمان زیادی را ببرد.
در این مورد، در نظر گرفتن یک خط تراز به شکل f=a راحت تر است. با افزایش یکنواخت عدد a از -∞ به +∞، خطوط مستقیم f=a در امتداد بردار عادی جابجا می شوند. اگر با چنین حرکتی از خط تراز، یک نقطه X وجود داشته باشد - اولین نقطه مشترک منطقه راه حل های امکان پذیر (چند وجهی ABCDE) و خط تراز، آنگاه f(X) حداقل f در مجموعه است. ABCDE. اگر X آخرین نقطه تلاقی خط تراز و مجموعه ABCDE باشد، آنگاه f(X) حداکثر در مجموعه راه حل های امکان پذیر است. اگر به صورت a→-∞، خط مستقیم f=a مجموعه راه حل های امکان پذیر را قطع کند، آنگاه min(f)= -∞. اگر این به صورت a→+∞ اتفاق بیفتد، پس
در مثال ما، خط مستقیم f=a ناحیه ABCDE را در نقطه C(4;1) قطع می کند. از آنجایی که این آخرین نقطه تقاطع است، max(f)=f(C)=f(4;1)=19.
روش سیمپلکس
مسائل برنامه ریزی خطی واقعی شامل موارد بسیار زیادی است عدد بزرگمحدودیت ها و مجهولات و بر روی کامپیوتر اجرا می شوند. روش سیمپلکس عمومی ترین الگوریتمی است که برای حل چنین مسائلی استفاده می شود. ماهیت روش این است که پس از تعداد معینی از تبدیل سیمپلکس خاص، ZLP به کاهش می یابد نوع خاص، مجاز. برای اینکه روش سیمپلکس را در عمل نشان دهیم، اجازه دهید مشکل زیر را با نظرات همراه حل کنیم:
- برای شروع حل مسئله به روش سیمپلکس، باید مسئله را در یک فرم خاص آورده و جدول سیمپلکس را پر کنید.
سیستم (4) یک محدودیت طبیعی است و در جدول نمی گنجد. معادلات (1)، (2)، (3) ناحیه حل های امکان پذیر را تشکیل می دهند. عبارت (5) تابع هدف است. شرایط رایگان در سیستم محدودیت ها و منطقه راه حل های قابل قبول باید غیر منفی باشد.
در این مثال، X3، X4، X5 مجهولات اساسی هستند. آنها باید بر حسب مجهولات آزاد بیان شوند و در تابع هدف جایگزین شوند.
اکنون می توانید شروع به پر کردن جدول سیمپلکس کنید:
| ب. | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | سی |
| X3 | 0 | -1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| X4 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 |
| f | 0 | -6 | 7 | 0 | 0 | 3 |
ستون اول این جدول مجهولات اساسی، آخرین - مقادیر مجهولات رایگان و بقیه - ضرایب مجهولات را نشان می دهد.
- برای یافتن ماکزیمم تابع f، با استفاده از تبدیل‌های گاوسی، باید مطمئن شوید که همه ضرایب مجهول‌های ردیف آخر غیرمنفی هستند (برای یافتن حداقل، مطمئن شوید که همه ضرایب کمتر یا مساوی هستند. به صفر).
| ب | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | سی |
| X3 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| X4 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| f | -6 | 7 | 0 | 0 | 0 | 3 |
برای انجام این کار، ستونی را با ضریب منفی در سطر آخر (ستون 3) انتخاب کنید و رابطه جمله/ضریب آزاد (1/1؛ 2/1) را برای عناصر مثبت این ستون بنویسید. از این نسبت ها کوچکترین را انتخاب کرده و خط مربوطه را علامت بزنید.
ما عنصر را در سلول (3;3) انتخاب کرده ایم. حال با استفاده از روش گاوسی، ضرایب دیگر را در این ستون تنظیم مجدد می کنیم، این منجر به تغییر در مبنا می شود و یک قدم به جواب بهینه نزدیک می شویم.
| ب | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | سی |
| X3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| X1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 0 | 2 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| f | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 9 |
همانطور که از جدول مشخص است، اکنون تمام ضرایب در ردیف آخر بزرگتر یا مساوی صفر هستند. این بدان معنی است که ما مقدار بهینه را پیدا کرده ایم. مجهولات آزاد برابر با صفر هستند، مقدار مجهولات اصلی و حداکثر تابع f با مقادیر مجهولات آزاد مطابقت دارد.
تعریف 1 . مجموعه ای از نقاط در فضا آر n که مختصات آن معادله را برآورده می کند آ 1 ایکس 1 + الف 2 ایکس 2 +…+ آ n ایکس n = ب، به نام ( n - 1 )-هایپرپلان بعدی در n-فضای بعدی
قضیه 1. ابر صفحه تمام فضا را به دو نیمه فضا تقسیم می کند. نیم فاصله یک مجموعه محدب است.
محل تلاقی تعداد محدودی از نیم فاصله ها مجموعه ای محدب است.
قضیه 2 . حل نابرابری خطی با nناشناخته
آ 1 ایکس 1 + الف 2 ایکس 2 +…+ آ n ایکس n ب
یکی از نیمه فضاهایی است که کل فضا توسط یک ابر صفحه به آن تقسیم شده است
آ 1 ایکس 1 + آ 2 ایکس 2 +…+آ n ایکس n= ب.
سیستمی را در نظر بگیرید مترنابرابری های خطی با nناشناخته.
راه حل هر نابرابری در سیستم یک نیم فاصله مشخص است. راه حل سیستم، تقاطع تمام نیمه فضاها خواهد بود. این مجموعه بسته و محدب خواهد بود.
حل سیستم های نابرابری های خطی
با دو متغیر
اجازه دهید یک سیستم از مترنابرابری های خطی با دو متغیر
راه حل هر نابرابری یکی از نیم صفحه هایی خواهد بود که کل صفحه با خط مستقیم مربوطه به آن تقسیم می شود. راه حل سیستم، تقاطع این نیم صفحه ها خواهد بود. این مشکل را می توان به صورت گرافیکی در هواپیما حل کرد ایکس 1 0 ایکس 2 .
37. نمایش چندوجهی محدب
تعریف 1. بسته شد محدبمجموعه محدود در آر n داشتن یک عدد محدود نقاط گوشه، محدب نامیده می شود n-چند وجهی بعدی
تعریف 2 . محدب بسته نامحدود تنظیم شده است آر n داشتن تعداد محدودی از نقاط گوشه، ناحیه چند وجهی محدب نامیده می شود.
تعریف 3 . یک دسته از آآر n در صورت وجود محدود نامیده می شود nتوپ بعدی حاوی این مجموعه
تعریف 4. یک ترکیب خطی محدب از نقاط عبارتی است که t i , .
قضیه (قضیه ای در مورد نمایش یک چندوجهی محدب).هر نقطه از یک چندوجهی محدب را می توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه آن نشان داد.
38. ناحیه راه حل های قابل قبول یک سیستم معادلات و نابرابری ها.
اجازه دهید یک سیستم از مترمعادلات خطی و نامساوی با nناشناخته.
تعریف 1 . نقطه آراگر مختصات آن معادلات و نابرابری های سیستم را برآورده کند، n راه حل ممکن سیستم نامیده می شود. به مجموعه تمام راه حل های ممکن، ناحیه راه حل های ممکن (PSA) سیستم می گویند.
تعریف 2. راه حل ممکنی که مختصات آن غیر منفی باشد، راه حل امکان پذیر سیستم نامیده می شود. مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر، دامنه راه حل عملی (ADA) سیستم نامیده می شود.
قضیه 1 . ODR یک زیر مجموعه بسته، محدب، محدود (یا نامحدود) است آر n
قضیه 2. راه حل قابل قبول سیستم یک راه حل مرجع است اگر و فقط اگر این نقطه گوشه ای از ODS باشد.
قضیه 3 (قضیه نمایش ODR).اگر ODD یک مجموعه محدود است، هر راه حل ممکنی را می توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه ODD (به شکل یک ترکیب خطی محدب) نشان داد. راه حل های حمایتیسیستم های).
قضیه 4 (قضیه وجود راه حل پشتیبانی از سیستم). اگر سیستم حداقل یک راه حل قابل قبول (ADS) داشته باشد، در بین راه حل های قابل قبول حداقل یک راه حل مرجع وجود دارد.
همچنین به حل یک مسئله برنامه ریزی خطی به صورت گرافیکی، شکل متعارف مسائل برنامه ریزی خطی مراجعه کنید
سیستم قیود برای چنین مسئله ای از نابرابری در دو متغیر تشکیل شده است:
و تابع هدف فرم دارد اف = سی 1 ایکس + سی 2 yکه باید به حداکثر برسد.
بیایید به این سوال پاسخ دهیم: چه جفتی از اعداد ( ایکس; y) آیا راه حل های سیستم نابرابری ها، یعنی هر یک از نابرابری ها را به طور همزمان برآورده می کنند؟ به عبارت دیگر، حل یک سیستم به صورت گرافیکی به چه معناست؟
ابتدا باید بفهمید که راه حل یک نابرابری خطی با دو مجهول چیست.
حل یک نابرابری خطی با دو مجهول به معنای تعیین تمام جفت مقادیر مجهول است که برای آنها نابرابری برقرار است.
به عنوان مثال، نابرابری 3 ایکس
– 5y≥ 42 جفت برآورده ( ایکس , y) : (100, 2); (3، -10)، و غیره. وظیفه یافتن همه این جفت ها است.
بیایید دو نابرابری را در نظر بگیریم: تبر
+ توسط≤ ج, تبر + توسط≥ ج. سر راست تبر + توسط = جصفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند تا مختصات نقاط یکی از آنها نابرابری را برآورده کند. تبر + توسط >ج، و نابرابری دیگر تبر + +توسط <ج.
در واقع، اجازه دهید یک نکته را با مختصات در نظر بگیریم ایکس = ایکس 0 ; سپس نقطه ای که روی یک خط قرار دارد و دارای آبسیسا است ایکس 0، دارای حکم است
برای قطعیت بگذارید آ< 0، ب>0,
ج> 0. تمام نقاط با آبسیسا ایکس 0 در بالا دراز کشیده است پ(مثلا نقطه م)، دارند y M>y 0 و تمام نقاط زیر نقطه پ، با آبسیسا ایکس 0، داشتن y N<y 0 . از آنجا که ایکس 0 یک نقطه دلخواه است، پس همیشه نقاطی در یک طرف خط وجود خواهد داشت که برای آن ها وجود دارد تبر+ توسط > ج، تشکیل یک نیم صفحه، و در طرف دیگر - نقاط برای که تبر + توسط< ج.
تصویر 1
علامت نابرابری در نیم صفحه بستگی به اعداد دارد آ, ب , ج.
این منجر به روش زیر می شود راه حل گرافیکیسیستم های نابرابری های خطی در دو متغیر. برای حل سیستم شما نیاز دارید:
- برای هر نابرابری معادله مربوط به این نامساوی را بنویسید.
- خطوط مستقیم بسازید که نمودارهای توابع مشخص شده توسط معادلات هستند.
- برای هر خط، نیم صفحه را تعیین کنید که با نامساوی به دست می آید. برای انجام این کار، یک نقطه دلخواه را که روی یک خط قرار نمی گیرد، انتخاب کنید و مختصات آن را با نابرابری جایگزین کنید. اگر نابرابری درست باشد، نیم صفحه حاوی نقطه انتخاب شده راه حل نابرابری اصلی است. اگر نابرابری نادرست باشد، نیم صفحه در طرف دیگر خط مجموعه راه حل های این نابرابری است.
- برای حل یک سیستم نابرابری، لازم است منطقه تقاطع تمام نیم صفحه هایی که راه حل هر نابرابری از سیستم هستند را پیدا کنید.
ممکن است این ناحیه خالی باشد، سپس سیستم نابرابری ها راه حلی ندارد و ناسازگار است. در غیر این صورت گفته می شود که سیستم منسجم است.
می تواند تعداد محدودی از راه حل ها وجود داشته باشد و مجموعه بی نهایت. منطقه می تواند یک چند ضلعی بسته یا نامحدود باشد.
بیایید به سه مثال مرتبط نگاه کنیم.
مثال 1. حل سیستم به صورت گرافیکی:
ایکس + y - 1 ≤ 0;
–2ایکس - 2y + 5 ≤ 0.
- معادلات x+y–1=0 و –2x–2y+5=0 مربوط به نابرابری‌ها را در نظر بگیرید.
- بیایید خطوط مستقیمی که با این معادلات به دست می‌آیند بسازیم.
شکل 2
اجازه دهید نیم صفحه های تعریف شده توسط نابرابری ها را تعریف کنیم. بیایید یک نقطه دلخواه بگیریم، اجازه دهید (0; 0). در نظر بگیریم ایکس+ y- 1 0، نقطه (0; 0) را جایگزین کنید: 0 + 0 – 1 ≤ 0. این بدان معنی است که در نیمه صفحه ای که نقطه (0; 0) قرار دارد، ایکس + y –
1 ≤ 0، یعنی نیم صفحه ای که زیر خط قرار دارد راه حلی برای نابرابری اول است. با جایگزینی این نقطه (0؛ 0) به نقطه دوم، به دست می آوریم: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0، یعنی. در نیمه صفحه ای که نقطه (0؛ 0) قرار دارد، 2- ایکس – 2y+ 5≥ 0، و از ما پرسیده شد که -2 کجاست ایکس
– 2y+ 5 ≤ 0، بنابراین، در نیم صفحه دیگر - در بالای خط مستقیم.
بیایید محل تلاقی این دو نیم صفحه را پیدا کنیم. خطوط موازی هستند، بنابراین صفحات در هیچ نقطه ای قطع نمی شوند، به این معنی که سیستم این نابرابری ها هیچ راه حلی ندارد و ناسازگار است.
مثال 2. حل های گرافیکی سیستم نابرابری ها را پیدا کنید: 
شکل 3
1. معادلات مربوط به نابرابری ها را بنویسیم و خطوط مستقیم بسازیم.
ایکس + 2y– 2 = 0
| ایکس | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – ایکس – 1 = 0
| ایکس | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. با انتخاب نقطه (0؛ 0)، علائم نابرابری را در نیم صفحه تعیین می کنیم:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0، یعنی. ایکس + 2y– 2 ≤ 0 در نیم صفحه زیر خط مستقیم؛
0 - 0 - 1 ≤ 0، یعنی. y –ایکس– 1 ≤ 0 در نیم صفحه زیر خط مستقیم؛
0 + 2 = 2 ≥ 0، یعنی. y+ 2 ≥ 0 در نیم صفحه بالای خط مستقیم.
3. محل تلاقی این سه نیم صفحه مساحتی خواهد بود که به صورت مثلث است. یافتن رئوس ناحیه به عنوان نقاط تلاقی خطوط مربوطه کار دشواری نیست
بدین ترتیب، آ(–3; –2), که در(0; 1), با(6; –2).
بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم که در آن دامنه راه حل حاصل از سیستم محدود نیست.
