در این مقاله به حل ناقص خواهیم پرداخت معادلات درجه دوم.

اما ابتدا بیایید تکرار کنیم که چه معادلاتی درجه دوم نامیده می شوند. معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 که x یک متغیر است و ضرایب a، b و c برخی از اعداد و a ≠ 0 نامیده می شود. مربع. همانطور که می بینیم ضریب x 2 برابر با صفر نیست و بنابراین ضرایب x یا جمله آزاد می تواند برابر با صفر باشد که در این صورت یک معادله درجه دوم ناقص بدست می آید.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:

1) اگر b = 0، c ≠ 0، سپس ax 2 + c = 0.

2) اگر b ≠ 0، c = 0، سپس ax 2 + bx = 0.

3) اگر b = 0، c = 0، سپس ax 2 = 0.

• بیایید بفهمیم که چگونه حل کنیم معادلات شکل ax 2 + c = 0.

برای حل معادله، عبارت آزاد c را به سمت راست معادله منتقل می کنیم، به دست می آوریم

تبر 2 = ‒s. از آنجایی که a ≠ 0 است، هر دو طرف معادله را بر a تقسیم می کنیم، سپس x 2 = ‒c/a.

اگر ‒с/а > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد

x = ±√(–c/a) .

اگر ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

بیایید سعی کنیم با مثال هایی بفهمیم که چگونه چنین معادلاتی را حل کنیم.

مثال 1. معادله 2 x 2 ‒ 32 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1 = - 4، x 2 = 4.

مثال 2. معادله 2 x 2 + 8 = 0 را حل کنید.

پاسخ: معادله هیچ راه حلی ندارد.

• بیایید دریابیم که چگونه آن را حل کنیم معادلات شکل ax 2 + bx = 0.

برای حل معادله ax 2 + bx = 0، آن را فاکتورگیری می کنیم، یعنی x را از پرانتز خارج می کنیم، x(ax + b) = 0 به دست می آید. اگر حداقل یکی از عوامل مساوی باشد حاصلضرب برابر با صفر است. به صفر سپس یا x = 0، یا ax + b = 0. با حل معادله ax + b = 0، ما ax = - b، که از آن x = - b/a. معادله ای به شکل ax 2 + bx = 0 همیشه دو ریشه x 1 = 0 و x 2 = ‒ b/a دارد. حل معادلات از این نوع را در نمودار ببینید.

بیایید دانش خود را با یک مثال خاص تثبیت کنیم.

مثال 3. معادله 3x 2 ‒ 12x = 0 را حل کنید.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 یا 3x – 12 = 0

پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 4.

• معادلات نوع سوم تبر 2 = 0خیلی ساده حل می شوند

اگر ax 2 = 0، آنگاه x 2 = 0. معادله دارای دو ریشه مساوی x 1 = 0، x 2 = 0 است.

برای وضوح، بیایید به نمودار نگاه کنیم.

اجازه دهید هنگام حل مثال 4 مطمئن شویم که معادلات از این نوع را می توان خیلی ساده حل کرد.

مثال 4.معادله 7×2 = 0 را حل کنید.

پاسخ: x 1، 2 = 0.

همیشه بلافاصله مشخص نیست که چه نوع معادله درجه دوم ناقصی را باید حل کنیم. مثال زیر را در نظر بگیرید.

مثال 5.معادله را حل کنید

بیایید هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنیم، یعنی در 30

بیایید آن را کاهش دهیم

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

بیایید پرانتزها را باز کنیم

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.

بیایید مشابه بدهیم

بیایید 99 را از سمت چپ معادله به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به عکس تغییر دهیم

پاسخ: بدون ریشه.

ما به چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کردیم. امیدوارم اکنون با چنین کارهایی مشکلی نداشته باشید. در تعیین نوع معادله درجه دوم ناقص دقت کنید، آنگاه موفق خواهید شد.

اگر سوالی در مورد این موضوع دارید، در درس های من ثبت نام کنید، ما با هم مشکلات پیش آمده را حل خواهیم کرد.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

فیلم آموزشی 2: حل معادلات درجه دوم

سخنرانی: معادلات درجه دوم

معادله

معادله- این نوعی برابری است که در عبارات آن متغیری وجود دارد.

معادله را حل کنید- به معنای یافتن یک عدد به جای متغیری است که آن را به برابری صحیح برساند.

یک معادله ممکن است یک راه حل، چندین یا اصلاً هیچ جوابی نداشته باشد.

برای حل هر معادله ای باید تا حد امکان به شکل زیر ساده شود:

خطی: a*x = b;

مربع: a*x 2 + b*x + c = 0.

یعنی هر معادله ای باید قبل از حل به فرم استاندارد تبدیل شود.

هر معادله ای را می توان به دو روش حل کرد: تحلیلی و گرافیکی.

در نمودار، حل معادله نقاطی در نظر گرفته می شود که نمودار محور OX را قطع می کند.

معادلات درجه دوم

یک معادله را می توان درجه دوم نامید اگر در صورت ساده سازی به شکل زیر باشد:

a*x 2 + b*x + c = 0.

که در آن الف، ب، جضرایبی از معادله هستند که با صفر تفاوت دارند. آ "ایکس"- ریشه معادله اعتقاد بر این است که یک معادله درجه دوم دو ریشه دارد یا ممکن است اصلاً راه حلی نداشته باشد. ریشه های حاصل ممکن است یکسان باشند.

"آ"- ضریب قبل از جذر.

"ب"- در درجه اول در برابر مجهول ایستاده است.

"با"عبارت آزاد معادله است.

اگر مثلاً معادله ای به شکل زیر داشته باشیم:

2x 2 -5x+3=0

در آن، "2" ضریب عبارت اصلی معادله، "-5" ضریب دوم و "3" عبارت آزاد است.

حل معادله درجه دوم

روش های بسیار متنوعی برای حل یک معادله درجه دوم وجود دارد. با این حال، در دوره مدرسهدر ریاضیات، حل با استفاده از قضیه ویتا و همچنین با استفاده از تفکیک مورد مطالعه قرار می گیرد.

راه حل افتراقی:

هنگام حل با استفاده از این روش، لازم است تفکیک را با استفاده از فرمول محاسبه کنید:

اگر در طول محاسبات متوجه شدید که تفکیک کننده کمتر از صفر است، به این معنی است معادله داده شدههیچ راه حلی ندارد

اگر ممیز صفر باشد، معادله دو راه حل یکسان دارد. در این حالت، چند جمله ای را می توان با استفاده از فرمول ضرب اختصاری به مربع مجموع یا تفاوت جمع کرد. سپس آن را مانند حل کنید معادله خطی. یا از فرمول استفاده کنید:

اگر تفکیک کننده بزرگتر از صفر باشد، باید از روش زیر استفاده کنید:

قضیه ویتا

اگر معادله داده شود، برای عبارت اصلی یک ضریب وجود دارد برابر با یک، سپس می توانید استفاده کنید قضیه ویتا.

بنابراین بیایید معادله را چنین فرض کنیم:

ریشه های معادله به صورت زیر است:

معادله درجه دوم ناقص

چندین گزینه برای به دست آوردن یک معادله درجه دوم ناقص وجود دارد که شکل آن به وجود ضرایب بستگی دارد.

1. اگر ضریب دوم و سوم صفر باشد (b = 0، c = 0)، سپس معادله درجه دوم به صورت زیر خواهد بود:

این معادله یک راه حل منحصر به فرد خواهد داشت. برابری تنها در صورتی صادق خواهد بود که جواب معادله صفر باشد.

که در جامعه مدرنتوانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده در عمل در پیشرفت های علمی و فنی استفاده می شود. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از چنین محاسباتی، مسیر حرکت طیف گسترده ای از اجسام، از جمله اجرام فضایی، تعیین می شود. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. آنها ممکن است در سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید و در موقعیت های بسیار رایج دیگر مورد نیاز باشند.

بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

درجه یک معادله با حداکثر مقدار درجه متغیری که عبارت حاوی آن است تعیین می شود. اگر برابر 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.

اگر به زبان فرمول ها صحبت کنیم، عبارات نشان داده شده، صرف نظر از اینکه چگونه به نظر می رسند، همیشه می توانند زمانی که سمت چپ عبارت از سه عبارت تشکیل شده است، به شکلی درآیند. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریب آن)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریب آن) و c (یک جزء آزاد، یعنی یک عدد معمولی). همه اینها در سمت راست برابر با 0 است. در صورتی که چنین چند جمله ای فاقد یکی از جمله های تشکیل دهنده خود باشد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.

اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x=0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از عبارت زیر می شود: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x=0 یا 8x - 3 = 0

در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را تحت تأثیر گرانش توصیف کنند که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات گرفته شده شروع به حرکت کردند. در اینجا نماد ریاضی به شکل زیر است: y = v 0 t + gt 2/2. با جایگزین کردن مقادیر لازم، برابر کردن سمت راست با 0 و یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شدن از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما بعداً در این مورد صحبت خواهیم کرد.

فاکتورگیری یک بیان

قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد بیشتری ممکن می سازد موارد دشوار. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.

X 2 - 33x + 200 = 0

این سه جمله ای درجه دومکامل است. ابتدا، بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به عوامل با متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).

در نتیجه مشخص می شود که این معادله دارای سه ریشه است: -3; -1؛ 3.

ریشه دوم

مورد دیگر معادله ناقص مرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به سمت راست منتقل می شود و پس از آن جذر از دو طرف تساوی استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این حالت معمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.

محاسبه مساحت زمین

نیاز به این نوع محاسبات در زمان های قدیم ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در آن زمان های دور تا حد زیادی با نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین تعیین می شد.

همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.

بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.

برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. عرض مساحت را با x نشان می دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.

حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، نمی تواند به همین صورت انجام شود. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصلضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.

ممیز

اول از همه، اجازه دهید تغییرات لازم را انجام دهیم، سپس ظاهر بیان داده شدهبه این صورت خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این به این معنی است که ما یک عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c=-612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. در اینجا محاسبات لازم مطابق این طرح انجام می شود: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه تعداد گزینه های ممکن را نیز تعیین می کند. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.

این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است، از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).

مثال ها و وظایف

ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، به دست می آوریم و آن را با صفر برابر می کنیم.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.

2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.

بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های فوق و تفکیک کننده راحت است، زمانی که ریشه دوم از مقدار دومی گرفته شود. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.

الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.

حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.

3x 2 + 21x - 54 = 0

برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:

x 2 + 7x - 18 = 0

بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.

نمودار سهمی و معادله

مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.

هر سهمی یک راس دارد، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، آنها تا بی نهایت بالا می روند و زمانی که a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات آبسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.

تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا

مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 تنها در صورتی امکان پذیر است که 0 مقادیر منفی بگیرد. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. مخالفش هم درست است. یعنی اگر به‌دست آوردن نمایش تصویری یک تابع درجه دوم آسان نیست، می‌توانید سمت راست عبارت را برابر با 0 کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.

از تاریخ

با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.

همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.

شاید حتی زودتر از دانشمندان بابل، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثارشان استفاده شد.

این موضوع ممکن است در ابتدا به دلیل فرمول های نه چندان ساده بسیار پیچیده به نظر برسد. نه تنها معادلات درجه دوم خود نمادهای طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز پیدا می شوند. در مجموع سه فرمول جدید به دست می آید. به خاطر سپردن خیلی آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها توسط خودشان به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی یک معادله درجه دوم

در اینجا ما ضبط صریح آنها را پیشنهاد می کنیم، زمانی که بزرگترین درجه ابتدا نوشته می شود، و سپس به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط متناقض هستند. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه بدید ما بعضی نشانه ها را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نمادها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به نماد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول شماره یک تعیین شود.

وقتی معادله ای داده می شود، مشخص نیست که پاسخ چند ریشه خواهد داشت. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

• راه حل دو ریشه خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد خواهد بود.
• معادله اصلاً ریشه نخواهد داشت.

و تا زمانی که تصمیم نهایی نشود، درک اینکه کدام گزینه در یک مورد خاص ظاهر می شود دشوار است.

انواع ضبط معادلات درجه دوم

ممکن است ورودی های مختلفی در وظایف وجود داشته باشد. آنها همیشه شبیه فرمول معادله درجه دوم عمومی نیستند. گاهی اوقات برخی از اصطلاحات را از دست می دهد. آنچه در بالا نوشته شد معادله کامل است. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز دیگری دریافت می کنید. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود، فقط ناقص.

علاوه بر این، فقط اصطلاحات با ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این حالت فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمول شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد؛ علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو باشد و دومی - سه.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را بدانید. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، مهم نیست که فرمول معادله درجه دوم چیست. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که عدد چهار خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعدادی با علائم مختلف بدست آورید. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. اگر عدد منفی باشد، هیچ ریشه ای از معادله درجه دوم وجود نخواهد داشت. اگر برابر با صفر باشد، تنها یک پاسخ وجود خواهد داشت.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل را حل کنیم؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید یک ممیز پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول برای متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید فرمول زیر را اعمال کنید.

از آنجایی که دارای علامت "±" است، دو مقدار وجود خواهد داشت. بیان زیر علامت ریشه دومتبعیض کننده است بنابراین، فرمول را می توان متفاوت بازنویسی کرد.

فرمول شماره پنج از همان رکورد مشخص است که اگر ممیز برابر با صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و آنهایی که قبلاً برای ممیز و مجهول نوشته شده است نیازی نخواهند داشت.

ابتدا به معادله ناقص شماره دو نگاه می کنیم. در این برابری باید کمیت مجهول را از پرانتز خارج کرد و معادله خطی را حل کرد که در پرانتز باقی می ماند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا یک ضریب متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با حرکت عدد از سمت چپ تساوی به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مجهول تقسیم کنید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه مربع را استخراج کنید و به یاد داشته باشید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در زیر چند مرحله وجود دارد که به شما کمک می‌کند یاد بگیرید چگونه انواع برابری‌هایی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می‌شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات ناشی از بی توجهی جلوگیری کند. این کاستی ها می تواند باعث نمرات ضعیف در هنگام مطالعه مبحث گسترده «معادلات درجه دوم (پایه هشتم)» شود. پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک مهارت پایدار ظاهر خواهد شد.

• ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بیشترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر یک منفی قبل از ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی که معادلات درجه دوم را مطالعه می کند، پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت آن را به مخالف تغییر می دهند.

• توصیه می شود به همین ترتیب از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها باطل شوند.

مثال ها

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

معادله اول: x 2 − 7x = 0. ناقص است، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شد حل می شود.

پس از بیرون آوردن آن از پرانتز، معلوم می شود: x (x - 7) = 0.

ریشه اول مقدار x 1 = 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 = 0. به راحتی می توان دریافت که x 2 = 7.

معادله دوم: 5x 2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

بعد از حرکت 30 به سمت راست معادله: 5x 2 = 30. حالا باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √6.

معادله سوم: 15 − 2x − x 2 = 0. از این پس، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می‌شود: − x 2 − 2x + 15 = 0. اکنون زمان استفاده از نکته مفید دوم است و همه چیز را در ضرب می‌کنیم. منهای یک . به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 = 0. با استفاده از فرمول چهارم، باید تمایز را محاسبه کنید: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. این یک عدد مثبت است. از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید با استفاده از فرمول پنجم محاسبه شوند. معلوم می شود که x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 = 3، x 2 = - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x = 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 = 0. ممیز آن برابر است با این مقدار: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ این کار به صورت زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x = -12/ (2 * 1) = -6.

معادله ششم (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) نیاز به تبدیل‌هایی دارد که شامل این واقعیت است که باید عبارت‌های مشابهی را بیاورید، ابتدا پرانتزها را باز کنید. به جای اولین عبارت عبارت زیر وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این ورودی ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش عبارت های مشابه، معادله به شکل x 2 خواهد بود. - x = 0. ناقص شده است. چیزی شبیه به این قبلاً کمی بالاتر مورد بحث قرار گرفته است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم " حل معادلات" ما قبلا با معادلات خطی آشنا شده ایم و به سراغ آشنایی با آن می رویم معادلات درجه دوم.

ابتدا به این خواهیم پرداخت که معادله درجه دوم چیست، چگونه به صورت کلی نوشته می شود و تعاریف مرتبط را ارائه می دهیم. پس از این، از مثال هایی برای بررسی دقیق چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص استفاده می کنیم. در ادامه به حل معادلات کامل می‌پردازیم، فرمول ریشه را به دست می‌آوریم، با ممیز یک معادله درجه دوم آشنا می‌شویم و راه‌حل‌هایی را برای مثال‌های معمولی در نظر می‌گیریم. در نهایت، بیایید ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را ردیابی کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط، گفتگو در مورد معادلات درجه دوم را آغاز کنیم. پس از این می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: کاهش یافته و کاهش نیافته و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است a x 2 +b x+c=0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد و a غیر صفر است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به دلیل این واقعیت است که معادله درجه دوم است معادله جبریدرجه دوم

تعریف بیان شده به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 +6 x+1=0، 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 و ضریب a را اولین یا بالاترین یا ضریب x 2 می گویند، b ضریب دوم یا ضریب x و c عبارت آزاد است. .

به عنوان مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x −3=0 در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم برابر با −2، و جمله آزاد برابر با −3 است. لطفاً توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و/یا c منفی هستند، همانطور که در مثالی که ارائه شد، شکل کوتاه معادله درجه دوم 5 x 2 −2 x−3=0 است، نه 5 x 2 +(-2 ) ·x+(-3)=0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و/یا b برابر با 1 یا -1 هستند، معمولاً به صراحت در معادله درجه دوم وجود ندارند، که به دلیل ویژگی‌های نوشتن چنین است. به عنوان مثال، در معادله درجه دوم y 2 −y+3=0 ضریب پیشرو یک است و ضریب y برابر با 1- است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بسته به مقدار ضریب پیشرو، معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. در غیر این صورت معادله درجه دوم است دست نخورده.

طبق این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3·x+1=0، x 2 −x−2/3=0 و غیره. – داده شده، در هر یک از آنها اولین ضریب برابر با یک است. A 5 x 2 −x−1=0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم کاهش نیافته، با تقسیم هر دو طرف بر ضریب پیشرو، می توانید به ضریب کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته که از این طریق به دست می‌آید، همان ریشه‌های معادله درجه دوم کاهش‌یافته اولیه را دارد یا مانند آن، ریشه ندارد.

اجازه دهید به مثالی نگاه کنیم که چگونه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته انجام می‌شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 +12 x−7=0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

فقط باید دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 تقسیم کنیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 که یکسان است، (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0، و سپس (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، از کجا . به این ترتیب معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست آوردیم که معادل معادل اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف یک معادله درجه دوم شامل شرط a≠0 است. این شرط لازم است تا معادله a x 2 + b x + c = 0 درجه دوم باشد، زیرا وقتی a = 0 باشد در واقع به یک معادله خطی به شکل b x + c = 0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند برابر با صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 نامیده می شود ناقص، اگر حداقل یکی از ضرایب b، c برابر با صفر باشد.

در نوبتش

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب با صفر متفاوت هستند.

چنین اسامی تصادفی نبود. این از بحث های بعدی روشن خواهد شد.

اگر ضریب b صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +0·x+c=0 است و معادل معادله a·x 2 +c=0 است. اگر c=0، یعنی معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +b·x+0=0 باشد، می توان آن را به صورت a·x 2 +b·x=0 بازنویسی کرد. و با b=0 و c=0 معادله درجه دوم a·x 2 =0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0.2=0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0، 5 x 2 +3=0 ، −x 2 −5 x=0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبل چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

• a·x 2 =0، ضرایب b=0 و c=0 با آن مطابقت دارد.
• a x 2 +c=0 وقتی b=0 ;
• و a·x 2 +b·x=0 وقتی c=0.

اجازه دهید به ترتیب چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع را بررسی کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آن ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلات به شکل a x 2 = 0. معادله a·x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت بر یک عدد غیر صفر a از اصل به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است، زیرا 0 2 = 0 است. این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد، که با این واقعیت توضیح داده می شود که برای هر عدد غیر صفر p، نابرابری p 2 > 0 برقرار است، به این معنی که برای p≠0 تساوی p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 = 0 دارای یک ریشه واحد x=0 است.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم ناقص -4 x 2 = 0 را می‌دهیم. معادل معادله x 2 = 0 است، تنها ریشه آن x=0 است، بنابراین، معادله اصلی دارای یک ریشه واحد صفر است.

یک راه حل کوتاه در این مورد را می توان به صورت زیر نوشت:
-4 x 2 = 0،
x 2 = 0،
x=0.

a x 2 + c=0

حال بیایید ببینیم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که در آنها ضریب b صفر و c≠0 است، یعنی معادلاتی به شکل a x 2 +c=0. می دانیم که با حرکت یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، یک معادله معادل به دست می آید. بنابراین، می‌توانیم تبدیل‌های معادل زیر را از معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 انجام دهیم:

• c را به سمت راست حرکت دهید، که معادله a x 2 =−c را به دست می‌دهد،
• و هر دو طرف را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال، اگر a=1 و c=2، سپس ) یا مثبت (به عنوان مثال، اگر a=−2 و c=6 باشد، سپس ) صفر نیست، زیرا با شرط c≠0. بیایید موارد را جداگانه بررسی کنیم.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی , پس برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این صورت، اگر ما به یاد داشته باشیم، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود؛ این عدد است، زیرا به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع، . این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با تناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

اجازه دهید ریشه های معادله را که به صورت x 1 و −x 1 اعلام شده است نشان دهیم. فرض کنید که معادله یک ریشه x 2 بیشتر دارد که با ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 متفاوت است. مشخص است که جایگزین کردن ریشه های آن به یک معادله به جای x، معادله را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما این امکان را می‌دهند که تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی صحیح را انجام دهیم، بنابراین با تفریق قسمت‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 −x 2 2 = 0 به دست می‌آید. ویژگی‌های عملیات با اعداد به ما اجازه می‌دهد تساوی حاصل را به صورت (x 1 −x 2)·(x1 +x2)=0 بازنویسی کنیم. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. بنابراین، از تساوی حاصل چنین می شود که x 1 −x 2 = 0 و/یا x 1 +x 2 = 0، که یکسان است، x 2 =x 1 و/یا x 2 =−x 1. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه ای جز و ندارد.

اجازه دهید اطلاعات این پاراگراف را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر،
• دو ریشه دارد و اگر .

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a·x 2 +c=0 را در نظر می گیریم.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 +7=0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9 x 2 =−7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله حاصل بر 9، به . از آنجایی که سمت راست دارای یک عدد منفی است، این معادله ریشه ندارد، بنابراین، معادله درجه دوم ناقص اولیه 9 x 2 +7 = 0 ریشه ندارد.

بیایید یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنیم -x 2 +9=0. نه را به سمت راست منتقل می کنیم: −x 2 =−9. حالا هر دو طرف را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 =9 به دست می آید. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم که یا . سپس پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 +9=0 دارای دو ریشه x=3 یا x=−3 است.

a x 2 +b x=0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c=0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص به شکل a x 2 + b x = 0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی. بدیهی است که می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است ضریب مشترک x را از پرانتز خارج کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل به شکل x·(a·x+b)=0 حرکت کنیم. و این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله x=0 و a·x+b=0 است که دومی خطی است و ریشه x=−b/a دارد.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 +b·x=0 دارای دو ریشه x=0 و x=−b/a است.

برای ادغام مطالب، راه حل را به یک مثال خاص تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

با خارج کردن x از پرانتز معادله بدست می آید. معادل دو معادله x=0 و . معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و تقسیم را انجام می دهیم شماره های درهمبر کسر مشترک، ما پیدا می کنیم . بنابراین، ریشه های معادله اصلی x=0 و .

پس از کسب تمرین لازم، جواب این گونه معادلات را می توان به اختصار نوشت:

پاسخ:

x=0، .

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای حل معادلات درجه دوم یک فرمول ریشه وجود دارد. بیایید آن را بنویسیم فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم: ، جایی که D=b 2-4 a c- باصطلاح تمایز یک معادله درجه دوم. مدخل در اصل به این معنی است که .

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه از آن در یافتن ریشه معادلات درجه دوم استفاده می شود مفید است. بیایید این را بفهمیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

• می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر یک عدد غیرصفر a تقسیم کنیم که معادله درجه دوم زیر به دست می‌آید.
• اکنون بیایید برجسته کنیم مربع کامل در سمت چپ آن: . پس از این، معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله امکان انتقال دو عبارت آخر به سمت راست با علامت مقابل وجود دارد.
• و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل کنیم: .

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 است.

ما قبلاً در پاراگراف های قبلی که بررسی کردیم معادلات مشابه را حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

• اگر ، پس معادله ندارد راه حل های معتبر;
• اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، که تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
• اگر، آنگاه یا، که همان یا است، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و بنابراین معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود، زیرا مخرج 4·a 2 همیشه مثبت است، یعنی با علامت عبارت b2-4·a·c. این عبارت b 2-4 a c نامیده شد تمایز یک معادله درجه دومو توسط نامه تعیین شده است D. از اینجا ماهیت ممیز مشخص می شود - بر اساس ارزش و علامت آن نتیجه می گیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چند است - یک یا دو.

بیایید به معادله برگردیم و آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: . و نتیجه گیری می کنیم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет ریشه های واقعی;
• اگر D=0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
• در نهایت اگر D>0 باشد، معادله دارای دو ریشه یا است که می توان آن را به شکل یا بازنویسی کرد و پس از بسط و کاهش کسرها به مخرج مشترکدریافت می کنیم .

بنابراین ما فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم را به دست آوردیم، آنها شبیه به .

با کمک آنها، با یک ممیز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که متمایز برابر با صفر است، هر دو فرمول مقدار یکسانی از ریشه را به دست می دهند که مربوط به یک راه حل منحصر به فرد برای معادله درجه دوم است. و با تفکیک منفی، هنگام استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر معادله مواجه می شویم. عدد منفی، که ما را فراتر می برد و برنامه آموزشی مدرسه. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها را می‌توان با استفاده از همان فرمول‌های ریشه‌ای که ما به دست آوردیم پیدا کرد.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل معادلات درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه برای محاسبه مقادیر آنها استفاده کنید. اما این بیشتر به یافتن ریشه های پیچیده مربوط می شود.

با این حال، در یک دوره جبر مدرسه معمولاً اینطور است ما در موردنه در مورد پیچیده، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم. در این مورد، توصیه می شود قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا تفکیک کننده را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت می توان نتیجه گرفت که معادله ریشه واقعی ندارد). و فقط پس از آن مقادیر ریشه ها را محاسبه کنید.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد الگوریتم حل معادله درجه دوم. برای حل معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 باید:

• با استفاده از فرمول متمایز D=b 2 −4·a·c، مقدار آن را محاسبه کنید.
• نتیجه بگیرید که یک معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
• تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید اگر D=0;
• اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط به این نکته توجه می کنیم که اگر تفکیک کننده برابر با صفر باشد، می توانید از فرمول نیز استفاده کنید؛ همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به مثال هایی از استفاده از الگوریتم برای حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

بیایید راه حل های سه معادله درجه دوم با ممیز مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیریم. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 +2·x−6=0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت، ضرایب زیر را از معادله درجه دوم داریم: a=1، b=2 و c=−6. طبق الگوریتم، ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید؛ برای انجام این کار، a، b و c نشان داده شده را به فرمول تفکیک جایگزین می کنیم. D=b 2-4·a·c=2 2-4·1·(-6)=4+24=28. از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، معادله درجه دوم دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنیم، دریافت می کنیم، در اینجا می توانید عبارات حاصل را با انجام این کار ساده کنید حرکت ضریب فراتر از علامت ریشهبه دنبال کاهش کسر:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4 x 2 +28 x−49=0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D=28 2-4·(-4)·(-49)=784-784=0. بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که ما آن را به صورت، یعنی

پاسخ:

x=3.5.

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم را با ممیز منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5·y 2 +6·y+2=0 را حل کنید.

راه حل.

ضرایب معادله درجه دوم عبارتند از: a=5، b=6 و c=2. ما این مقادیر را با فرمول متمایز جایگزین می کنیم D=b 2-4·a·c=6 2-4·5·2=36-40=-4. ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به نشان دادن ریشه های پیچیده دارید، فرمول شناخته شده را برای ریشه های یک معادله درجه دوم اعمال می کنیم و اقدامات با اعداد مختلط :

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده عبارتند از: .

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم که اگر ممیز یک معادله درجه دوم منفی باشد، در مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخی را می نویسند که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی شود.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D=b2-4·a·c به شما امکان می دهد فرمولی با فرم فشرده تر به دست آورید، به شما امکان می دهد معادلات درجه دوم را با ضریب زوج برای x (یا به سادگی با یک) حل کنید. ضریب به شکل 2·n، برای مثال، یا 14· ln5=2·7·ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 2 n x+c=0 حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که می شناسیم پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه می کنیم D=(2 n) 2-4 a c=4 n 2-4 a c=4 (n 2-a c)، و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

اجازه دهید عبارت n 2 −a c را با D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D نشان داده می شود) سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم مورد بررسی با ضریب دوم 2 n شکل خواهد گرفت. ، جایی که D 1 = n 2 -a·c.

به راحتی می توان دید که D=4·D 1 یا D 1 =D/4. به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2·n، شما نیاز دارید

• محاسبه D 1 = n 2 −a·c ;
• اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0، سپس تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1 > 0 باشد، با استفاده از فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

بیایید حل مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیریم.

مثال.

معادله درجه دوم 5 x 2 −6 x −32=0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2·(-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 +2 (-3) x−32=0، در اینجا a=5، n=−3 و c=−32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم را محاسبه کنید. متمایز کننده: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2-5·(-32)=9+160=169. از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مناسب پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این مورد باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ها، پرسیدن این سوال ضرری ندارد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات، حل معادله درجه دوم 11 x 2 −4 x−6=0 آسان تر از 1100 x 2 −400 x−600=0 خواهد بود.

به طور معمول، ساده کردن شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو طرف در یک عدد مشخص به دست می آید. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل می‌توان معادله 1100 x 2 −400 x −600=0 را با تقسیم هر دو طرف بر 100 ساده کرد.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو طرف معادله را بر تقسیم می کنیم ارزش های مطلقضرایب آن برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x+48=0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. با تقسیم دو طرف معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x+8=0 می رسیم.

و ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم معمولا برای خلاص شدن از شر آن انجام می شود شانس کسری. در این حالت ضرب با مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM(6, 3, 1)=6 ضرب شوند، آنگاه به شکل ساده‌تر x 2 +4·x−18=0 خواهد بود.

در نتیجه گیری از این نکته، توجه می کنیم که آنها تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت ها از منهای بالاترین ضریب یک معادله درجه دوم خلاص می شوند که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در -1 است. به عنوان مثال، معمولاً یکی از معادله درجه دوم -2 x 2 -3 x+7=0 به حل 2 x 2 +3 x−7=0 حرکت می‌کند.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از طریق ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول های قضیه ویتا به شکل و . به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x + 22 = 0، بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن برابر با 7/3 است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با 22 است. /3.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. برای مثال می توانید مجموع مجذورات یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید: .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.