گاهی اوقات در معادلات برخی از ضرایب با مقادیر عددی خاصی داده نمی شوند، بلکه با حروف نشان داده می شوند.

مثال: ax+b=c.

در این معادله ایکس- ناشناخته، الف، ب، ج- ضرایبی که می توانند متفاوت باشند مقادیر عددی. ضرایب مشخص شده به این ترتیب نامیده می شوند مولفه های.

یک معادله با پارامترها معادلات زیادی را (برای همه مقادیر پارامتر ممکن) تعریف می کند.

مثال: -5 ایکس+10=– 1;

ایکس+4y= 0;

–102–1000y=; و غیره.

اینها همه معادلاتی هستند که توسط معادله با پارامترها مشخص می شوند ax+b=c.

حل معادله با پارامترها یعنی:

1. مشخص کنید که معادله در چه مقادیری از پارامترها ریشه دارد و در چه تعداد است. معانی مختلفمولفه های.

2. تمام عبارات ریشه ها را پیدا کنید و برای هر یک از آنها مقادیر پارامتری را که این عبارت ریشه معادله را تعیین می کند، نشان دهید.

اجازه دهید به معادله داده شده با پارامترها بپردازیم ax+b=cو ما آن را حل خواهیم کرد.

اگر آ¹0، سپس https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">؛

در a=0و b=c، x- هر عدد واقعی؛

در a=0و ب¹ جمعادله ریشه ندارد

در فرآیند حل این معادله، مقدار پارامتر را جدا کردیم a=0، که در آن یک تغییر کیفی در معادله رخ می دهد، ما این مقدار از پارامتر را "کنترل" می نامیم. بسته به معادله ای که داریم، مقادیر "کنترل" پارامتر متفاوت است. بیایید به انواع مختلف معادلات نگاه کنیم و نحوه یافتن مقادیر "کنترل" پارامتر را نشان دهیم.

I. معادلات خطی با پارامتر و معادلات قابل تقلیل به معادلات خطی

در چنین معادلاتی، مقادیر "کنترل" پارامترها، به عنوان یک قاعده، مقادیری هستند که ضرایب را صفر می کنند. ایکس.

مثال 1. : 2آ(آ–2)x=a– 2

1. مقادیر "کنترل" مقادیری هستند که شرایط را برآورده می کنند:

2آ(آ–2)=0

بیایید این معادله را برای متغیر حل کنیم آ.

2a= 0 یا آ–2= 0، از کجا a= 0, a= 2.

2. بیایید معادله اولیه مقادیر "کنترل" پارامتر را حل کنیم.

در a= 0 ما 0× داریم x=– 2، اما این مورد برای هیچ ارزش واقعی نیست ایکس، یعنی در این حالت معادله ریشه ندارد.

در a= 2 ما 0× داریم x= 0، این برای هر مقداری صادق است ایکس، یعنی ریشه معادله هر عدد واقعی است ایکس.

3. بیایید معادله اصلی را در مورد وقتی حل کنیم آ¹ 0 و آ¹ 2 سپس 2 آ(آ–2)¹ 0 و هر دو طرف معادله را می توان بر 2 تقسیم کرد آ(آ-2)، دریافت می کنیم:

زیرا آ¹ 2، سپس کسر را می توان با ( آ-2)، سپس ما داریم.

پاسخ:در a= 0، بدون ریشه؛

در a= 2، ریشه - هر عدد واقعی.

در آ¹ 0, آ¹ 2, .

می توان الگوریتمی را برای حل این نوع معادله تصور کرد.

1. مقادیر "کنترل" پارامتر را تعیین کنید.

2. معادله را حل کنید ایکس، در مقادیر پارامتر کنترل.

3. معادله را حل کنید ایکس، در مقادیر متفاوت از مقادیر "کنترل".

4- پاسخ را به شکل زیر بنویسید:

پاسخ: 1) برای مقادیر پارامتر...، معادله ریشه دارد...;

2) برای مقادیر پارامتر...، معادله ریشه دارد...;

3) برای مقادیر پارامتر ...، معادله ریشه ندارد.

مثال 2. حل معادله با پارامتر

(آ 2–2آ+1)x=a 2+2آ- 3

1. مقادیر کنترلی پارامتر را پیدا کنید

آ 2–2آ+1=0 Û ( آ–1)2=0 Û آ=1

2. معادله را حل کنید a= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ ایکس- هر عدد واقعی

3. معادله را حل کنید آ¹ 1

آ 2–2آ+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

زیرا آ¹ 1، کسر را می توان کاهش داد

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

مثال 3. حل معادله با پارامتر

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. پاسخ: 1) چه زمانی a= 2، بدون ریشه.

2) چه زمانی آ¹ 0,آ¹ 2, ;

3) چه زمانی a=معادله 0 معنی ندارد.

مثال 4. حل معادله با پارامتر

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

زیرا ایکس¹ 0 و آ¹ – 2، معادله معادل معادله است

(آ+3)x= 2آ–1

بیایید مقادیر کنترلی پارامتر را پیدا کنیم

آ+3= 0 Þ الف=– 3.

2. معادله را حل کنید الف=– 3.

0× x=– 7

در هر ایکسبرابری وجود ندارد

3. معادله را حل کنید آ¹ – 3, a+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

بنابراین، برای اینکه معادله معنا پیدا کند https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

2) چه زمانی آ¹ – 2, آ¹ – 3, , .

II. معادلات درجه دوم با پارامتر و معادلات قابل تقلیل به درجه دوم

در چنین معادلاتی معمولاً مقادیر پارامتری که ضریب صفر را صفر می کند به عنوان "کنترل" در نظر گرفته می شود. ایکس 2، زیرا در این حالت معادله خطی می شود، همچنین مقدار پارامتر، که باعث می شود ممیز معادله ناپدید شود، زیرا عدد به مقدار تفکیک کننده بستگی دارد. ریشه های واقعیمعادله درجه دوم.

مثال 5. حل معادله با پارامتر

(آ–1)ایکس 2+2(2آ+1)ایکس+(4آ+3)= 0

1. اجازه دهید مقادیر پارامتری را که ضریب را صفر می کنند، پیدا کنیم ایکس

آ- 1=0 Û a= 1

2. معادله را حل کنید a= 1

0× ایکس 2+2 (2×1+1) ایکس+4×1+3=0 Û 6 ایکس+7=0 Û .

3. اجازه دهید مقادیر پارامتری را که باعث ناپدید شدن ممیز معادله می شود، پیدا کنیم

D=(2(2آ+1))2–4(آ–1)(4آ+3)=(4آ+1)2–(4آ–4)(4آ+3)=4(5آ+4)

4(5آ+4)=0 Û .

4. بیایید معادله را حل کنیم، در این صورت معادله یک ریشه واقعی خواهد داشت

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9ایکس 2+6ایکس+1=0 Û (3 ایکس+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. در این مورد D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. معادله را حل کنید آشماره 1 https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. پاسخ: 1) با https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) چه زمانی a= 1, ;

3) برای، هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

4) در و آشماره 1 https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. از آنجایی که آدر مخرج کسری است، پس معادله تنها زمانی معنا پیدا می کند که آ#0. مخرج نیز شامل عبارات است a2x– 2آو 2- اوه، که باید غیر صفر نیز باشد

a2x– 2آ¹0 Û آ(اوه-2)¹0 Û آ¹0, اوه–2¹0 Û آ¹0, ;

2–اوه¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. معادله را حل کنید آ¹0، https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–آ)ایکس 2+2ایکس+1+آ=0 ...................(*)

3. اجازه دهید مقادیر پارامتری را که ضریب را صفر می کنند، پیدا کنیم ایکس 2

1–آ=0 Û آ=1

4. حل معادله (*) برای آ=1

0× ایکس 2+2ایکس+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

بیایید فوراً بررسی کنیم تا ببینیم مطابقت دارد یا خیر ایکساز https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">، به این معنی که وقتی آ=1, x=– 1.

هدف:

• حل سیستم ها را تکرار کنید معادلات خطیبا دو متغیر
• سیستم معادلات خطی را با پارامترها تعریف کنید
• به شما یاد می دهد که چگونه سیستم های معادلات خطی را با پارامترها حل کنید.

در طول کلاس ها

1. زمان سازماندهی
2. تکرار
3. توضیح موضوع جدید
4. تحکیم
5. خلاصه درس
6. مشق شب

2. تکرار:

I. معادله خطی با یک متغیر:

1. یک معادله خطی با یک متغیر تعریف کنید

[معادله ای به شکل ax=b که x یک متغیر است، a و b برخی از اعداد هستند، معادله خطی با یک متغیر نامیده می شود]

2. یک معادله خطی چند ریشه می تواند داشته باشد؟

[- اگر a=0، b0، معادله هیچ جوابی ندارد، x

اگر a=0، b=0، آنگاه x R

اگر a0، معادله یک راه حل منحصر به فرد دارد، x =

3. ببینید معادله چند ریشه دارد (طبق گزینه ها)

II. معادله خطی با 2 متغیر و سیستم معادلات خطی با 2 متغیر.

1. یک معادله خطی را در دو متغیر تعریف کنید. مثال زدن.

[معادله خطی با دو متغیر معادله ای به شکل ax + by = c است که x و y متغیر هستند، a، b و c برخی از اعداد هستند. برای مثال x-y=5]

2- حل معادله با دو متغیر به چه چیزی گفته می شود؟

[راه حل یک معادله با دو متغیر، یک جفت مقدار متغیر است که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند.]

3. آیا جفت مقادیر متغیرهای x = 7، y = 3 راه حلی برای معادله 2x + y = 17 است؟

4- نمودار یک معادله در دو متغیر چه نامیده می شود؟

[گراف یک معادله با دو متغیر، مجموعه تمام نقاط صفحه مختصات است که مختصات آنها راه حل این معادله است.]

5. نمودار معادله را دریابید:

[بیایید متغیر y را از طریق x بیان کنیم: y=-1.5x+3

فرمول y=-1.5x+3 یک تابع خطی است که نمودار آن یک خط مستقیم است. از آنجایی که معادلات 3x+2y=6 و y=-1.5x+3 معادل هستند، این خط نیز نموداری از معادله 3x+2y=6 است]

6. نمودار معادله ax+bу=c با متغیرهای x و y چیست که a0 یا b0 است؟

[نمودار یک معادله خطی با دو متغیر که حداقل یکی از ضرایب متغیرها صفر نباشد، خط مستقیم است.]

7. حل سیستم معادلات با دو متغیر به چه چیزی گفته می شود؟

[یک راه حل برای یک سیستم معادلات با دو متغیر، یک جفت مقدار از متغیر است که هر معادله سیستم را به یک برابری واقعی تبدیل می کند]

8. حل یک سیستم معادلات به چه معناست؟

[حل یک سیستم معادلات به معنای یافتن تمام راه‌حل‌های آن یا اثبات عدم وجود راه‌حل است.]

9. دریابید که آیا چنین سیستمی همیشه راه حل دارد یا خیر، و اگر چنین است، چند راه حل دارد (به صورت گرافیکی).

10. یک سیستم دو معادله خطی با دو متغیر چند راه حل می تواند داشته باشد؟

[تنها راه حل این است که خطوط را قطع کنند. اگر خطوط موازی باشند هیچ راه حلی ندارد. اگر خطوط بر هم منطبق باشند بی نهایت زیاد]

11. معمولاً چه معادله ای خط مستقیم را تعریف می کند؟

12. بین ضرایب زاویه و عبارات آزاد ارتباط برقرار کنید:

گزینه I: y=-x+2 y= -x-3، k 1 = k 2، b 1 b 2، بدون راه حل.

گزینه دوم: y=-x+8 y=2x-1، k 1 k 2، یک محلول؛

گزینه سوم: y=-x-1 y=-x-1، k 1 = k 2، b 1 = b 2، بسیاری از راه حل ها.

نتیجه:

1. اگر دامنه هاخطوطی که نمودار این توابع هستند متفاوت هستند، سپس این خطوط قطع می شوند و سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.
2. اگر ضرایب زاویه ای خطوط یکسان باشد و نقاط تقاطع با محور y متفاوت باشد، خطوط موازی هستند و سیستم هیچ راه حلی ندارد.
3. اگر ضرایب زاویه ای و نقاط تقاطع با محور y یکسان باشند، خطوط بر هم منطبق هستند و سیستم بی نهایت راه حل دارد.

روی تابلو جدولی وجود دارد که معلم و دانش آموزان به تدریج آن را پر می کنند.

III. توضیح یک موضوع جدید

تعریف: مشاهده سیستم

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x + B 2 y = C 2

که در آن A 1، A 2، B 1، B 2، C 1 C 2 عباراتی بسته به پارامترها هستند و x و y مجهول هستند، سیستم دو خطی نامیده می شود. معادلات جبریبا دو پارامتر ناشناخته

موارد زیر ممکن است:

1) اگر، پس سیستم راه حل منحصر به فردی دارد

2) اگر، پس سیستم هیچ راه حلی ندارد

3) اگر، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد.

IV. تحکیم

مثال 1.

سیستم در چه مقادیری از پارامتر a عمل می کند

• 2x - 3y = 7
• ah - 6y = 14

الف) دارد مجموعه بی نهایتتصمیمات؛

ب) راه حل منحصر به فردی دارد

پاسخ:

الف) اگر a=4 باشد، سیستم دارای بی نهایت جواب است.

ب) اگر الف4، پس تنها یک راه حل وجود دارد.

مثال 2.

سیستم معادلات را حل کنید

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

راه حل: الف) یعنی. برای m1 سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

ب) یعنی برای m=1 (2=m+1) و n1 سیستم اصلی هیچ راه حلی ندارد

ج) برای m=1 و n=1 سیستم بی نهایت جواب دارد.

پاسخ: الف) اگر m=1 و n1 باشد، هیچ راه حلی وجود ندارد

ب) m=1 و n=1، سپس جواب یک مجموعه نامتناهی است

• y - هر
• x=n-2y

ج) اگر m1 و n هر کدام باشند، پس

مثال 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

راه حل: از معادله II x = 1-аy را پیدا می کنیم و معادله I را جایگزین معادله می کنیم.

а(1-au)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

موارد احتمالی:

1) a=0. سپس معادله به نظر می رسد 0*y=3 [y]

بنابراین برای a=0 سیستم هیچ راه حلی ندارد

2) a=-3. سپس 0*y=0.

بنابراین، y. در این حالت x=1-ау=1+3у

3) a0 و a-3. سپس y=-، x=1-a(-=1+1=2

پاسخ:

1) اگر a=0، پس (x; y)

2) اگر a=-3، آنگاه x=1+3y، y

3) اگر الف0 و a?-3، سپس x=2، y=-

اجازه دهید روش دوم حل سیستم (1) را در نظر بگیریم.

بیایید سیستم (1) را با استفاده از روش جمع جبری حل کنیم: اول، معادله اول سیستم را در B 2، دومی را در B 1 ضرب می کنیم و این معادلات را ترم به ترم اضافه می کنیم، بنابراین متغیر y حذف می شود:

زیرا A 1 B 2 -A 2 B 1 0، سپس x =

حالا بیایید متغیر x را حذف کنیم. برای انجام این کار، معادله اول سیستم (1) را در A 2 و دومی را در A 1 ضرب کنید و هر دو معادله را ترم به ترم اضافه کنید:

• A 1 A 2 x + A 2 B 1 y = A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

زیرا A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

برای سهولت حل سیستم (1)، نماد زیر را معرفی می کنیم:

- تعیین کننده اصلی

اکنون جواب سیستم (1) را می توان با استفاده از دترمینان نوشت:

فرمول های داده شده فرمول های کرامر نامیده می شوند.

اگر سیستم (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد: x=; y=

اگر، یا، سیستم (1) هیچ راه حلی ندارد

اگر , , , , سیستم (1) بی نهایت جواب دارد.

در این مورد، سیستم نیاز به بررسی بیشتر دارد. در این مورد، به عنوان یک قاعده، به یک معادله خطی کاهش می یابد. در این مورد، اغلب راحت است که سیستم را به روش زیر مطالعه کنیم: با حل معادله، مقادیر خاصی از پارامترها را پیدا می کنیم یا یکی از پارامترها را بر حسب بقیه بیان می کنیم و این مقادیر پارامتر را جایگزین می کنیم. سیستم. سپس سیستمی با ضرایب عددی مشخص یا با تعداد پارامترهای کمتر بدست می آوریم که باید مطالعه شود.

اگر ضرایب A 1 , A 2 , B 1 , B 2 سیستم به چندین پارامتر بستگی دارد، مطالعه سیستم با استفاده از تعیین کننده های سیستم راحت است.

مثال 4.

برای تمام مقادیر پارامتر a، سیستم معادلات را حل کنید

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

راه حل: بیایید تعیین کننده سیستم را پیدا کنیم:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

به وظایف با پارامترمی تواند برای مثال شامل جستجوی راه حل های خطی و معادلات درجه دوم V نمای کلی، مطالعه معادله تعداد ریشه های موجود بسته به مقدار پارامتر.

بدون ارائه تعاریف دقیق، معادلات زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید:

y = kx، که در آن x، y متغیر هستند، k یک پارامتر است.

y = kx + b، که در آن x، y متغیر هستند، k و b پارامترها هستند.

ax 2 + bx + c = 0، که در آن x متغیرها هستند، a، b و c یک پارامتر هستند.

حل یک معادله (نابرابری، سیستم) با یک پارامتر، به عنوان یک قاعده، به معنای حل یک مجموعه بی نهایت از معادلات (نابرابری ها، سیستم ها) است.

وظایف با یک پارامتر را می توان به دو نوع تقسیم کرد:

آ)شرط می گوید: معادله را حل کنید (نابرابری، سیستم) - این بدان معنی است که برای تمام مقادیر پارامتر، همه راه حل ها را پیدا کنید. اگر حداقل یک مورد بررسی نشده باقی بماند، چنین راه حلی را نمی توان رضایت بخش تلقی کرد.

ب)لازم است مقادیر احتمالی پارامتری که در آن معادله (نابرابری، سیستم) دارای ویژگی های خاصی است، نشان داده شود. به عنوان مثال، یک راه حل دارد، راه حل ندارد، راه حل دارد، متعلق به فاصلهو غیره در چنین وظایفی، لازم است به وضوح مشخص شود که شرط مورد نیاز در چه مقدار پارامتری برآورده شده است.

پارامتر، به عنوان یک عدد ثابت ناشناخته، دارای نوعی دوگانگی خاص است. اول از همه، باید در نظر گرفت که محبوبیت فرضی نشان می دهد که پارامتر باید به عنوان یک عدد درک شود. ثانیاً، آزادی دستکاری پارامتر به دلیل مبهم بودن آن محدود شده است. به عنوان مثال، عملیات تقسیم بر یک عبارت که حاوی یک پارامتر است یا استخراج ریشه مدرک حتیچنین بیانی نیاز به تحقیقات اولیه دارد. بنابراین، هنگام دست زدن به پارامتر، دقت لازم است.

به عنوان مثال، برای مقایسه دو عدد -6a و 3a، باید سه مورد را در نظر بگیرید:

1) -6a بزرگتر از 3a خواهد بود اگر a یک عدد منفی باشد.

2) -6a = 3a در صورتی که a = 0;

3) -6a کمتر از 3a خواهد بود اگر a عدد مثبت 0 باشد.

راه حل پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید معادله kx = b داده شود. این معادله یک فرم کوتاه برای تعداد بی نهایت معادله با یک متغیر است.

هنگام حل چنین معادلاتی ممکن است موارد زیر وجود داشته باشد:

1. فرض کنید k هر عدد حقیقی باشد که برابر با صفر نباشد و b هر عددی از R باشد، سپس x = b/k.

2. فرض کنید k = 0 و b ≠ 0، معادله اصلی به شکل 0 x = b خواهد بود. بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد.

3. اجازه دهید k و b اعدادی برابر با صفر باشند، آنگاه تساوی 0 x = 0 را داریم. جواب آن هر عدد واقعی است.

الگوریتمی برای حل این نوع معادله:

1. مقادیر "کنترل" پارامتر را تعیین کنید.

2. معادله اصلی x را برای مقادیر پارامتری که در پاراگراف اول تعیین شد حل کنید.

3. معادله اصلی x را برای مقادیر پارامترهای متفاوت از موارد انتخاب شده در پاراگراف اول حل کنید.

4. می توانید پاسخ را به شکل زیر بنویسید:

1) برای ... (مقادیر پارامتر)، معادله دارای ریشه های ... است.

2) برای ... (مقادیر پارامتر)، هیچ ریشه ای در معادله وجود ندارد.

مثال 1.

معادله را با پارامتر |6 – x| حل کنید = a.

راه حل.

به راحتی می توان دید که یک ≥ 0 در اینجا.

طبق قانون ماژول 6 – x = ±a، x را بیان می کنیم:

پاسخ: x = 6 ± a، که در آن a ≥ 0 است.

مثال 2.

معادله a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 را با توجه به متغیر x حل کنید.

راه حل.

بیایید پرانتزها را باز کنیم: aх – а + 2х – 2 = 0

بیایید معادله را به شکل استاندارد بنویسیم: x(a + 2) = a + 2.

اگر عبارت a + 2 صفر نباشد، یعنی اگر a ≠ -2 باشد، جواب x = (a + 2) / (a ​​+ 2) را داریم، یعنی. x = 1.

اگر a + 2 برابر با صفر باشد، یعنی. a = -2، سپس برابری صحیح 0 x = 0 را داریم، بنابراین x هر عدد واقعی است.

پاسخ: x = 1 برای ≠ -2 و x € R برای a = -2.

مثال 3.

معادله x/a + 1 = a + x را با توجه به متغیر x حل کنید.

راه حل.

اگر a = 0 باشد، معادله را به شکل a + x = a 2 + ax یا (a – 1)x = -a(a – 1) تبدیل می کنیم. آخرین معادله برای a = 1 به شکل 0 x = 0 است، بنابراین x هر عددی است.

اگر a ≠ 1 باشد، آخرین معادله به شکل x = -a خواهد بود.

این راه حل را می توان در خط مختصات نشان داد (عکس. 1)

پاسخ: هیچ راه حلی برای a = 0 وجود ندارد. x - هر عدد با a = 1. x = -a برای ≠ 0 و a ≠ 1.

روش گرافیکی

بیایید راه دیگری را برای حل معادلات با یک پارامتر در نظر بگیریم - به صورت گرافیکی. این روش اغلب استفاده می شود.

مثال 4.

بسته به پارامتر a، معادله ||x| چند ریشه دارد – 2| = یک؟

راه حل.

برای راه حل ها روش گرافیکیساخت نمودارهای توابع y = ||x| – 2| و y = a (شکل 2).

نقاشی به وضوح موارد احتمالی محل خط مستقیم y = a و تعداد ریشه ها را در هر یک از آنها نشان می دهد.

پاسخ: معادله ریشه نخواهد داشت اگر a< 0; два корня будет в случае, если a >2 و a = 0; معادله در حالت a = 2 دارای سه ریشه خواهد بود. چهار ریشه - در 0< a < 2.

مثال 5.

در چه چیزی معادله 2|x| + |x – 1| = a یک ریشه دارد؟

راه حل.

اجازه دهید نمودارهای توابع y = 2|x| را به تصویر بکشیم + |x – 1| و y = a. برای y = 2|x| + |x – 1|، با گسترش ماژول ها با استفاده از روش فاصله، به دست می آوریم:

(-3x + 1، در x< 0,

y = (x + 1، برای 0 ≤ x ≤ 1،

(3x - 1، برای x > 1.

بر شکل 3به وضوح مشاهده می شود که معادله تنها زمانی یک ریشه خواهد داشت که a = 1 باشد.

پاسخ: a = 1.

مثال 6.

تعداد جواب های معادله |x + 1| را تعیین کنید + |x + 2| = a بسته به پارامتر a؟

راه حل.

نمودار تابع y = |x + 1| + |x + 2| خط شکسته خواهد بود رئوس آن در نقاط (2-; 1) و (-1; 1) قرار خواهند گرفت. (شکل 4).

پاسخ: اگر پارامتر a کمتر از یک باشد، معادله ریشه نخواهد داشت. اگر a = 1 باشد، جواب معادله یک مجموعه نامتناهی از اعداد از بخش [-2; -1]؛ اگر مقادیر پارامتر a بزرگتر از یک باشد، معادله دو ریشه خواهد داشت.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را با یک پارامتر حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

بیایید یک سیستم معادلات را با یک پارامتر حل کنیم (A. Larin، گزینه 98)

تمام مقادیر پارامتر را که برای هر کدام از آنها سیستم است، پیدا کنید

دقیقا یک راه حل دارد

بیایید نگاهی دقیق تر به سیستم بیندازیم. در معادله اول سیستم، سمت چپ است و سمت راست به پارامتر بستگی ندارد. یعنی می توانیم این معادله را معادله تابع در نظر بگیریم

و ما می توانیم این تابع را رسم کنیم.

معادله دوم سیستم

بستگی به پارامتر دارد و با برجسته کردن سمت چپ معادله مربع کامل، معادله دایره را بدست می آوریم.

بنابراین منطقی است که نمودارهای هر معادله را رسم کنیم و ببینیم این نمودارها در چه مقدار از پارامتر یک نقطه تقاطع دارند.

بیایید با معادله اول شروع کنیم. ابتدا ماژول ها را باز می کنیم. برای انجام این کار، هر عبارت زیر مدولار را با صفر برابر می کنیم تا نقاطی را که علامت تغییر می کند، پیدا کنیم.

اولین عبارت زیر مدولار علامت را در , دومی - at را تغییر می دهد.

بیایید این نقاط را روی خط مختصات رسم کنیم و علائم هر عبارت زیر مدولار را در هر بازه پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که معادله for و معنی ندارد، بنابراین این نقاط را سوراخ می کنیم.

حالا اجازه دهید ماژول ها را در هر بازه گسترش دهیم. (به یاد داشته باشید: اگر یک عبارت زیر مدولار بزرگتر یا مساوی صفر باشد، ماژول را با همان علامت گسترش می دهیم و اگر کمتر از صفر باشد، با علامت مخالف آن را گسترش می دهیم.)

هر دو عبارت زیر مدولار منفی هستند، بنابراین، هر دو ماژول را با علامت مخالف گسترش می دهیم:

یعنی زمانی که تابع اصلی دارای فرم باشد

در این بازه، عبارت زیر مدولار اول منفی و دومی مثبت است، بنابراین به دست می آوریم:

- تابع در این بازه وجود ندارد.

3. title="x>2">!}

در این بازه، هر دو عبارت زیر مدولار مثبت هستند؛ ما هر دو ماژول را با علامت یکسان گسترش می دهیم. ما گرفتیم:

یعنی با title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

بنابراین، نمودار تابع را به دست آوردیم

حال به معادله دوم نگاه می کنیم:

بیایید یک مربع کامل در سمت چپ معادله انتخاب کنیم؛ برای انجام این کار، عدد 4 را به دو طرف معادله اضافه کنید:

برای مقدار مشخصی از پارامتر، نمودار این معادله دایره ای با مرکز در نقطه ای با مختصات است که شعاع آن 5 است. معانی مختلفما یک سری دایره داریم:

دایره را از پایین به بالا حرکت می دهیم تا سمت چپ نمودار تابع اول را لمس کند. در تصویر این دایره قرمز است. مرکز این دایره نقطه است، مختصات آن (-2;-3) است. علاوه بر این، هنگام حرکت به سمت بالا، دایره دارای یک نقطه تقاطع با سمت چپ نمودار تابع است، یعنی سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

به حرکت دایره به سمت بالا ادامه می دهیم تا جایی که سمت راست نمودار اولین تابع را لمس کند. این زمانی اتفاق می افتد که مرکز دایره در نقطه ای با مختصات (-2;0) باشد - در شکل این دایره آبی است.

هنگامی که بیشتر به سمت بالا حرکت می کند، دایره هر دو قسمت چپ و راست نمودار تابع اول را قطع می کند، یعنی دایره دو نقطه تقاطع با نمودار تابع اول خواهد داشت و سیستم دو راه حل خواهد داشت. این وضعیت تا زمانی ادامه می یابد که مرکز دایره در نقطه ای با مختصات (-2؛ 5) قرار گیرد - این دایره سبز است. در این نقطه دایره سمت چپ نمودار را لمس می کند و سمت راست را قطع می کند. یعنی سیستم یک راه حل دارد.

بنابراین، سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد زمانی است(-3;0] که در آن \ متغیر هستند، \ یک پارامتر است.

\[y = kx + b،\] که در آن \ متغیر هستند، \ یک پارامتر است.

\[аx^2 + bх + с = 0،\] که در آن \ یک متغیر است، \[а، b، с\] یک پارامتر است.

حل یک معادله با یک پارامتر، به عنوان یک قاعده، به معنای حل یک مجموعه بی نهایت از معادلات است.

با این حال، با پیروی از یک الگوریتم خاص، می توانید به راحتی معادلات زیر را حل کنید:

1. مقادیر "کنترل" پارامتر را تعیین کنید.

2. معادله اصلی [\x\] را با مقادیر پارامتر تعریف شده در پاراگراف اول حل کنید.

3. معادله اصلی [\x\] را برای مقادیر پارامترهای متفاوت از موارد انتخاب شده در پاراگراف اول حل کنید.

فرض کنید معادله زیر به ما داده می شود:

\[\ اواسط 6 - x \mid = a.\]

با تجزیه و تحلیل داده های اولیه، مشخص است که \[\ge 0.\]

طبق قانون مدول \ ما \ را بیان می کنیم

پاسخ: \ کجا\

کجا می توانم یک معادله را با یک پارامتر به صورت آنلاین حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https://site حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید دستورالعمل های ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.