یکپارچه سازی توسط قطعات نمونه هایی از راه حل ها

دوباره سلام. امروز در درس یاد خواهیم گرفت که چگونه با قطعات ادغام کنیم. روش ادغام توسط قطعات یکی از سنگ بنای حساب انتگرال است. در طول آزمون ها یا امتحانات، تقریباً همیشه از دانش آموزان خواسته می شود که انواع انتگرال های زیر را حل کنند: ساده ترین انتگرال. (به مقاله مراجعه کنید)یا یک انتگرال با جایگزینی یک متغیر (به مقاله مراجعه کنید)یا انتگرال فقط روشن است ادغام به روش قطعات.

مثل همیشه، شما باید در دسترس داشته باشید: جدول انتگرال هاو جدول مشتقات. اگر هنوز آنها را ندارید، لطفاً از اتاق ذخیره سازی وب سایت من دیدن کنید: فرمول ها و جداول ریاضی. من از تکرار خسته نمی شوم - بهتر است همه چیز را چاپ کنید. من سعی خواهم کرد تمام مطالب را به طور مداوم، ساده و واضح ارائه کنم؛ هیچ مشکل خاصی در یکپارچه کردن قطعات وجود ندارد.

روش یکپارچه سازی توسط قطعات چه مشکلی را حل می کند؟ روش ادغام با قطعات یک مشکل بسیار مهم را حل می کند؛ این به شما امکان می دهد برخی از توابع را که در جدول نیستند یکپارچه کنید. کار کردنتوابع، و در برخی موارد - حتی ضریب. همانطور که به یاد داریم، هیچ فرمول مناسبی وجود ندارد: . اما این یکی هست: - فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات به صورت شخصی. می دانم، می دانم، شما تنها هستید - ما در طول درس با او کار خواهیم کرد (اکنون راحت تر است).

و بلافاصله لیست به استودیو. انتگرال انواع زیر توسط قطعات گرفته می شود:

1) , , – لگاریتم، لگاریتم ضرب در چند جمله ای.

2) ,یک تابع نمایی است که در چند جمله ای ضرب می شود. این شامل انتگرال هایی مانند - یک تابع نمایی ضرب در یک چند جمله ای است، اما در عمل این 97 درصد است، در زیر انتگرال یک حرف زیبا "e" وجود دارد. ... مقاله تا حدودی غنایی به نظر می رسد، اوه بله ... بهار آمد.

3) , ، توابع مثلثاتی هستند که در چند جمله ای ضرب می شوند.

4) ، - توابع مثلثاتی معکوس ("قوس")، "قوس" ضرب در چند جمله ای.

همچنین، برخی از کسرها به صورت جزئی گرفته شده اند؛ نمونه های مربوطه را نیز به تفصیل بررسی خواهیم کرد.

انتگرال لگاریتم ها

مثال 1

کلاسیک. هر از گاهی این انتگرال را می توان در جداول یافت، اما استفاده از پاسخ آماده توصیه نمی شود، زیرا معلم کمبود ویتامین بهار دارد و به شدت فحش می دهد. از آنجا که انتگرال مورد بررسی به هیچ وجه جدولی نیست - آن را به صورت قطعات گرفته شده است. ما تصمیم گرفتیم:

راه حل را برای توضیحات میانی قطع می کنیم.

ما از فرمول ادغام با قطعات استفاده می کنیم:

فرمول از چپ به راست اعمال می شود

به سمت چپ نگاه می کنیم: . بدیهی است که در مثال ما (و در همه موارد دیگری که در نظر خواهیم گرفت)، چیزی باید به عنوان و چیزی به عنوان تعیین شود.

در انتگرال های نوع مورد بررسی، لگاریتم همیشه نشان داده می شود.

از نظر فنی، طراحی راه حل به صورت زیر اجرا می شود؛ ما در ستون می نویسیم:

یعنی ما لگاریتم را با و با - نشان دادیم قسمت باقی ماندهبیان یکپارچه

مرحله بعدی: دیفرانسیل را پیدا کنید:

دیفرانسیل تقریباً مشابه مشتق است؛ ما قبلاً در درس های قبلی درباره چگونگی پیدا کردن آن صحبت کرده ایم.

حالا تابع را پیدا می کنیم. برای یافتن تابعی که باید ادغام کنید سمت راستبرابری کمتر:

حالا راه حل خود را باز می کنیم و سمت راست فرمول را می سازیم: .
به هر حال، در اینجا نمونه ای از راه حل نهایی با چند نکته آورده شده است:

تنها نکته در کار این است که من بلافاصله و را عوض کردم، زیرا مرسوم است که فاکتور را قبل از لگاریتم بنویسیم.

همانطور که می بینید، اعمال فرمول ادغام با قطعات اساساً راه حل ما را به دو انتگرال ساده کاهش می دهد.

لطفا توجه داشته باشید که در برخی موارد درست بعد ازبا استفاده از فرمول، یک ساده سازی لزوماً تحت انتگرال باقی مانده انجام می شود - در مثال مورد بررسی، ما انتگرال را به "x" کاهش دادیم.

بیایید بررسی کنیم. برای انجام این کار، باید مشتق پاسخ را بگیرید:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، یعنی انتگرال به درستی حل شده است.

در طول آزمایش، از قانون تمایز محصول استفاده کردیم: . و این تصادفی نیست.

فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات و فرمول - این دو قانون متقابل معکوس هستند.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

انتگرال حاصل ضرب لگاریتم و چند جمله ای است.
بیا تصمیم بگیریم

من یک بار دیگر روش اعمال قانون را به طور مفصل شرح خواهم داد؛ در آینده مثال هایی به طور خلاصه ارائه می شود و اگر در حل آن به تنهایی مشکل دارید، باید به دو مثال اول درس برگردید. .

همانطور که قبلا ذکر شد، لازم است لگاریتم را نشان دهیم (این واقعیت که یک توان است مهم نیست). با نشان می دهیم قسمت باقی ماندهبیان یکپارچه

در ستون می نویسیم:

ابتدا دیفرانسیل را پیدا می کنیم:

در اینجا از قانون برای متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده می کنیم . تصادفی نیست که در همان درس اول موضوع انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل هامن روی این واقعیت تمرکز کردم که برای تسلط بر انتگرال ها، لازم است مشتقات را "در دستان خود قرار دهید". شما باید بیش از یک بار با مشتقات سر و کار داشته باشید.

حالا تابع را پیدا می کنیم، برای این کار ادغام می کنیم سمت راستبرابری کمتر:

برای ادغام از ساده ترین فرمول جدولی استفاده کردیم

اکنون همه چیز برای اعمال فرمول آماده است . با یک ستاره باز کنید و راه حل را مطابق با سمت راست "بسازید":

در زیر انتگرال ما دوباره یک چند جمله ای برای لگاریتم داریم! بنابراین، راه حل دوباره قطع می شود و قانون یکپارچگی توسط قطعات برای بار دوم اعمال می شود. فراموش نکنید که در موقعیت های مشابه همیشه لگاریتم نشان داده می شود.

خوب است اگر تا به حال می دانستید چگونه ساده ترین انتگرال ها و مشتقات را به صورت شفاهی پیدا کنید.

(1) در مورد علائم گیج نشوید! خیلی اوقات منفی در اینجا گم می شود، همچنین توجه داشته باشید که منهای به آن اشاره دارد به همهبراکت ، و این براکت ها باید به درستی بزرگ شوند.

(2) براکت ها را باز کنید. ما آخرین انتگرال را ساده می کنیم.

(3) آخرین انتگرال را می گیریم.

(4) "شانه کردن" پاسخ.

نیاز به اعمال قانون ادغام توسط قطعات دو بار (یا حتی سه بار) به ندرت پیش نمی آید.

و حالا چند مثال برای راه حل خودتان:

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این مثال با تغییر متغیر (یا جایگزین کردن آن با علامت دیفرانسیل) حل می شود! چرا که نه - می توانید سعی کنید آن را به صورت چند قسمتی مصرف کنید، چیز خنده دار خواهد بود.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

اما این انتگرال توسط قطعات (کسری موعود) یکپارچه می شود.

اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان حل کنید، راه حل ها و پاسخ ها در پایان درس.

به نظر می رسد در مثال های 3 و 4 انتگرال ها شبیه به هم هستند، اما روش های حل متفاوت است! این مشکل اصلی در تسلط بر انتگرال است - اگر روش اشتباهی را برای حل یک انتگرال انتخاب کنید، می توانید ساعت ها با آن سرهم بندی کنید، مانند یک پازل واقعی. بنابراین، هر چه انتگرال های مختلف را بیشتر حل کنید، بهتر، آزمون و امتحان آسان تر خواهد بود. علاوه بر این، در سال دوم معادلات دیفرانسیل وجود خواهد داشت و بدون تجربه در حل انتگرال و مشتق، هیچ کاری نمی توان انجام داد.

از نظر لگاریتمی، این احتمالاً بیش از اندازه کافی است. علاوه بر این، می توانم به یاد داشته باشم که دانشجویان مهندسی از لگاریتم برای نامیدن سینه های زن = استفاده می کنند. به هر حال، دانستن نمودارهای توابع اصلی اصلی مفید است: سینوس، کسینوس، متقاطع، توان، چند جمله ای درجه سوم، چهارم و غیره. نه، البته، یک کاندوم در جهان
من آن را طولانی نمی کنم، اما اکنون چیزهای زیادی از بخش به یاد خواهید آورد نمودارها و توابع =).

انتگرال های یک نمایی ضرب در چند جمله ای

قانون کلی:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

با استفاده از یک الگوریتم آشنا، ما با قطعات ادغام می کنیم:

اگر با انتگرال مشکل دارید، باید به مقاله برگردید روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

تنها کاری که می توانید انجام دهید این است که پاسخ را تغییر دهید:

اما اگر تکنیک محاسبه شما خیلی خوب نیست، سودآورترین گزینه این است که آن را به عنوان پاسخ بگذارید یا حتی

یعنی زمانی که آخرین انتگرال گرفته شود، مثال حل شده در نظر گرفته می شود. این یک اشتباه نخواهد بود، این موضوع دیگری است که ممکن است معلم از شما بخواهد که پاسخ را ساده کنید.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. این انتگرال دو بار توسط قطعات یکپارچه شده است. باید به نشانه ها توجه ویژه ای شود - گیج شدن در آنها آسان است، همچنین به یاد می آوریم که این یک عملکرد پیچیده است.

دیگر چیزی برای گفتن در مورد غرفه دار وجود ندارد. فقط می توانم اضافه کنم که نمایی و لگاریتم طبیعی متقابل توابع معکوس هستند، این من در موضوع نمودارهای سرگرم کننده ریاضیات عالی هستم =) توقف، توقف، نگران نباشید، مدرس هوشیار است.

انتگرال توابع مثلثاتی ضرب در چند جمله ای

قانون کلی: for همیشه یک چند جمله ای را نشان می دهد

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

هوم... و چیزی برای اظهار نظر وجود ندارد.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال دیگر با کسری. همانطور که در دو مثال قبلی، for یک چند جمله ای را نشان می دهد.

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

اگر در یافتن انتگرال مشکل یا سوء تفاهم دارید، حضور در درس را توصیه می کنم انتگرال توابع مثلثاتی.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

نکته: قبل از استفاده از روش ادغام با قطعات، باید فرمول مثلثاتی را اعمال کنید که حاصل ضرب دو تابع مثلثاتی را به یک تابع تبدیل می کند. این فرمول همچنین می تواند هنگام اعمال روش یکپارچه سازی توسط قطعات، هر کدام که برای شما راحت تر است، استفاده شود.

این احتمالاً همه در این پاراگراف است. بنا به دلایلی خطی از سرود فیزیک و ریاضی به یاد آوردم "و نمودار سینوسی در امتداد محور آبسیسا موج به موج می رود"….

انتگرال توابع مثلثاتی معکوس.
انتگرال توابع مثلثاتی معکوس ضرب در یک چند جمله ای

قانون کلی: همیشه تابع مثلثاتی معکوس را نشان می دهد.

به شما یادآوری می کنم که توابع مثلثاتی معکوس شامل آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت و آرکوتانژانت هستند. به خاطر اختصار سابقه، آنها را "طاق" می نامم

بیایید توابع $u=u(x)$ و $v=v(x)$ را در نظر بگیریم که مشتقات پیوسته دارند. با توجه به خصوصیات دیفرانسیل ها، برابری زیر برقرار است:

$d(u v)=u d v+v d u$

با ادغام سمت چپ و راست آخرین برابری، به دست می آوریم:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$

برابری حاصل را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

$\int u d v=u v-\int v d u$

این فرمول نامیده می شود ادغام با فرمول قطعات. با کمک آن، انتگرال $\int u d v$ را می توان به یافتن انتگرال $\int v d u$ کاهش داد، که می تواند ساده تر باشد.

اظهار نظر

در برخی موارد، فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات باید به طور مکرر اعمال شود.

توصیه می شود فرمول ادغام با قطعات را برای انتگرال هایی به شکل زیر اعمال کنید:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

در اینجا $P_(n)(x)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است، $k$ مقداری ثابت است. در این حالت، چند جمله ای به عنوان تابع $u$ و بقیه عوامل به صورت $d v$ در نظر گرفته می شوند. برای انتگرال هایی از این نوع، فرمول ادغام بر اساس قطعات $n$ بار اعمال می شود.

نمونه هایی از حل انتگرال با استفاده از این روش

مثال

ورزش.انتگرال $\int(x+1) e^(2 x) d x$ را پیدا کنید

راه حل.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

پاسخ.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

مثال

ورزش.انتگرال $\int x^(2) \cos x d x$ را پیدا کنید

راه حل.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\چپ(x^(2)-1\راست) \sin x+2 x \cos x+C$

پاسخ.$\int x^(2) \cos x d x=\ چپ (x^(2)-1\راست) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x)\ln x d x$

در اینجا فرض می کنیم که $d v=P_(n)(x) d x$، و $u$ عوامل باقی مانده هستند.

مثال

ورزش.انتگرال $\int \ln x d x$ را پیدا کنید

راه حل.در انتگرال اصلی، توابع $u$ و $v$ را ایزوله می کنیم، سپس ادغام را بر اساس قطعات انجام می دهیم.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

پاسخ.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

مثال

ورزش.انتگرال $\int \arcsin x d x$ را پیدا کنید

راه حل.در انتگرال اصلی، توابع $u$ و $v$ را ایزوله می کنیم، سپس ادغام را بر اساس قطعات انجام می دهیم. برای حل این انتگرال، این عمل باید 2 بار تکرار شود.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

پاسخ.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

در این حالت، تابع نمایی یا مثلثاتی به صورت $u$ در نظر گرفته می شود. تنها شرط این است که هنگام اعمال بیشتر ادغام توسط فرمول قطعات، همان تابع به عنوان تابع $u$ در نظر گرفته شود، یعنی به ترتیب یک تابع نمایی یا یک تابع مثلثاتی.

مثال

ورزش.انتگرال $\int e^(2 x+1) \sin x d x$ را پیدا کنید

راه حل.در انتگرال اصلی، توابع $u$ و $v$ را ایزوله می کنیم، سپس ادغام را بر اساس قطعات انجام می دهیم.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$

روشی برای ادغام انتگرال نامعین توسط قطعات ارائه شده است. نمونه هایی از انتگرال های محاسبه شده با این روش آورده شده است. نمونه هایی از راه حل ها مورد بحث قرار می گیرد.

محتوا

همچنین ببینید: روش های محاسبه انتگرال های نامعین
جدول انتگرال های نامعین
توابع ابتدایی پایه و خواص آنها

فرمول ادغام بر اساس قطعات به صورت زیر است:
.

روش یکپارچه سازی توسط قطعات شامل اعمال این فرمول است. در کاربرد عملی، شایان ذکر است که u و v توابعی از متغیر ادغام هستند. اجازه دهید متغیر انتگرال به عنوان x تعیین شود (نماد بعد از علامت دیفرانسیل d در انتهای نماد انتگرال). سپس u و v توابع x هستند: u(x) و v(x).
سپس
, .
و فرمول ادغام توسط قطعات به شکل زیر است:
.

یعنی تابع انتگرال باید از حاصل ضرب دو تابع تشکیل شده باشد:
,
که یکی از آنها را u نشان می دهیم: g(x) = u، و برای دیگری باید انتگرال محاسبه شود (به طور دقیق تر، ضد مشتق باید پیدا شود):
، سپس dv = f(x) dx.

در برخی موارد f(x) = 1 . یعنی در انتگرال
,
می توانیم g(x) = u، x = v را قرار دهیم.

خلاصه

بنابراین، در این روش، فرمول ادغام با قطعات را باید به خاطر بسپارید و به دو صورت اعمال کنید:
;
.

انتگرال ها با ادغام توسط قطعات محاسبه می شوند

انتگرال های حاوی لگاریتم و توابع مثلثاتی معکوس (هذلولی).

انتگرال های حاوی لگاریتم و توابع مثلثاتی یا هذلولی معکوس اغلب توسط قطعات یکپارچه می شوند. در این حالت، قسمتی که شامل لگاریتم یا توابع مثلثاتی معکوس (هذلولی) است با u و قسمت باقیمانده با dv نشان داده می شود.

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها وجود دارد که با روش انتگرال گیری توسط قطعات محاسبه می شوند:
, , , , , , .

انتگرال های حاوی حاصل ضرب چند جمله ای و sin x، cos x یا e x

با استفاده از فرمول ادغام با قطعات، انتگرال های فرم پیدا می شوند:
, , ,
که در آن P(x) یک چند جمله ای در x است. هنگام ادغام، چند جمله ای P(x) با u و e ax dx نشان داده می شود. cos ax dxیا گناه تبر dx- از طریق dv

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
, , .

نمونه هایی از محاسبه انتگرال با استفاده از روش یکپارچه سازی توسط قطعات

نمونه هایی از انتگرال های حاوی لگاریتم و توابع مثلثاتی معکوس

مثال

انتگرال را محاسبه کنید:

راه حل دقیق

در اینجا انتگرال حاوی یک لگاریتم است. انجام تعویض
u = ln x,
dv = x 2 dx.
سپس
,
.

ما انتگرال باقی مانده را محاسبه می کنیم:
.
سپس
.
در پایان محاسبات، باید ثابت C را اضافه کرد، زیرا انتگرال نامعین مجموعه ای از تمام پاد مشتق ها است. همچنین می تواند در محاسبات میانی اضافه شود، اما این فقط محاسبات را به هم می زند.

راه حل کوتاه تر

می توانید راه حل را در یک نسخه کوتاه تر ارائه دهید. برای این کار نیازی به تعویض با u و v نیست، بلکه می توانید فاکتورها را گروه بندی کنید و فرمول ادغام بر اساس قطعات را در فرم دوم اعمال کنید.

.

نمونه های دیگر

نمونه هایی از انتگرال های حاوی حاصل ضرب یک چند جمله ای و sin x، cos x یا ex

مثال

انتگرال را محاسبه کنید:
.

اجازه دهید توان را در زیر علامت دیفرانسیل معرفی کنیم:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

بیایید با قطعات ادغام کنیم.
.
ما همچنین از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده می کنیم.
.
.
.
بالاخره داریم.

فرض کنید U(x) و V(x) توابع قابل تمایز باشند. سپس d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x) . بنابراین U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x) . با محاسبه انتگرال هر دو طرف آخرین تساوی با در نظر گرفتن ∫ d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C، رابطه را بدست می آوریم.

فرمول ادغام با قطعات نامیده می شود. به این معنا درک می شود که مجموعه ضد مشتقات در سمت چپ با مجموعه ضد مشتقات به دست آمده از سمت راست منطبق است.

استفاده از روش یکپارچه سازی توسط قطعات

با توجه به ویژگی‌های یافتن کمیت‌های خاص، فرمول ادغام توسط قطعات اغلب در مسائل زیر استفاده می‌شود:

1. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته. فرمول برای یافتن انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته شامل دو عامل است: تابع چند جمله ای x و چگالی توزیع f(x).
2. بسط سری فوریه هنگام تجزیه، لازم است ضرایبی را تعیین کنیم که با ادغام حاصلضرب تابع f(x) و تابع مثلثاتی cos(x) یا sin(x) به دست می آیند.

تجزیه های معمولی بر اساس قطعات

هنگام استفاده از فرمول ادغام بر اساس قطعات، باید U و dV را با موفقیت انتخاب کنید تا انتگرال به دست آمده در سمت راست فرمول راحت تر پیدا شود. اجازه دهید U=e x، dV=xdx را در مثال اول قرار دهیم. سپس dU=e x dx و بعید است که انتگرال ∫ x 2 e x dx ساده تر از انتگرال اصلی در نظر گرفته شود.
گاهی اوقات لازم است که فرمول یکپارچه سازی قطعات را چندین بار اعمال کنیم، به عنوان مثال، هنگام محاسبه انتگرال ∫ x 2 sin(x)dx.

انتگرال های ∫ e ax cos(bx)dx و ∫ e ax sin(bx)dx نامیده می شوند. چرخه ایو با استفاده از فرمول ادغام با قطعات دو بار محاسبه می شوند.

مثال شماره 1. ∫ xe x dx را محاسبه کنید.
بیایید U=x، dV=e x dx را قرار دهیم. سپس dU=dx، V=e x. بنابراین ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .

مثال شماره 2. ∫ xcos(x)dx را محاسبه کنید.
U=x، dV=cos(x)dx را فرض می کنیم. سپس dU=dx، V=sin(x) و ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

مثال شماره 3. 🔻 (3x+4)cos(x)dx
راه حل:

پاسخ: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C

ما همیشه نمی توانیم توابع ضد مشتق را محاسبه کنیم، اما مشکل تمایز را می توان برای هر تابعی حل کرد. به همین دلیل است که هیچ روش ادغام واحدی وجود ندارد که بتوان از آن برای هر نوع محاسبه استفاده کرد.

در این مطلب نمونه هایی از حل مسائل مربوط به یافتن انتگرال نامعین را بررسی می کنیم و خواهیم دید که هر روش برای چه نوع انتگرال هایی مناسب است.

روش ادغام مستقیم

روش اصلی برای محاسبه تابع ضد مشتق، ادغام مستقیم است. این عمل بر اساس ویژگی های انتگرال نامعین است و برای محاسبات به جدولی از آنتی مشتق ها نیاز داریم. روش‌های دیگر فقط می‌توانند به آوردن انتگرال اصلی به شکل جدولی کمک کنند.

مثال 1

مجموعه پاد مشتق های تابع f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 را محاسبه کنید.

راه حل

ابتدا شکل تابع را به f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 تغییر می دهیم.

می دانیم که انتگرال مجموع توابع برابر با مجموع این انتگرال ها خواهد بود که به این معنی است:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

ما ضریب عددی پشت علامت انتگرال را استخراج می کنیم:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

برای یافتن انتگرال اول باید به جدول پاد مشتق ها مراجعه کنیم. از آن مقدار ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1 را می گیریم

برای یافتن انتگرال دوم، به جدولی از پاد مشتق ها برای تابع توان ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C و همچنین قانون ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · نیاز دارید. x + b) + C.

بنابراین، ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

موارد زیر را دریافت کردیم:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

با C = C 1 + 3 2 C 2

پاسخ:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

ما مقاله جداگانه ای را به ادغام مستقیم با استفاده از جداول ضد مشتقات اختصاص دادیم. توصیه می کنیم با آن آشنا شوید.

روش تعویض

این روش یکپارچه سازی عبارت است از بیان انتگرال از طریق یک متغیر جدید که به طور خاص برای این منظور معرفی شده است. در نتیجه، باید یک شکل جدولی از انتگرال یا به سادگی یک انتگرال کمتر پیچیده به دست آوریم.

این روش زمانی که نیاز به ادغام توابع با رادیکال ها یا توابع مثلثاتی دارید بسیار مفید است.

مثال 2

انتگرال نامعین ∫ 1 x 2 x - 9 d x را ارزیابی کنید.

راه حل

بیایید یک متغیر دیگر z = 2 x - 9 اضافه کنیم. حال باید x را بر حسب z بیان کنیم:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 "d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

جدول پاد مشتق ها را می گیریم و متوجه می شویم که 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

حالا باید به متغیر x برگردیم و جواب بگیریم:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

پاسخ:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

اگر باید توابع را با غیرمنطقی بودن شکل x m (a + b x n) p ادغام کنیم، جایی که مقادیر m، n، p اعداد گویا هستند، مهم است که به درستی یک عبارت برای معرفی یک متغیر جدید فرموله کنیم. در مقاله ادغام توابع غیر منطقی در این مورد بیشتر بخوانید.

همانطور که در بالا گفتیم، روش جایگزینی برای زمانی که نیاز به ادغام یک تابع مثلثاتی دارید، راحت است. به عنوان مثال، با استفاده از یک جایگزین جهانی، می توانید یک عبارت را به یک شکل عقلانی کسری کاهش دهید.

این روش قانون ادغام ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C را توضیح می دهد.

یک متغیر دیگر z = k x + b اضافه می کنیم. موارد زیر را دریافت می کنیم:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

حالا عبارات به دست آمده را می گیریم و به انتگرال مشخص شده در شرط اضافه می کنیم:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

اگر C 1 k = C را بپذیریم و به متغیر اصلی x برگردیم، دریافت می کنیم:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

روش عضویت در علامت دیفرانسیل

این روش مبتنی بر تبدیل انتگرال به تابعی به شکل f (g (x)) d (g (x)) است. پس از این، با معرفی یک متغیر جدید z = g (x) یک جایگزین انجام می دهیم، یک پاد مشتق برای آن پیدا می کنیم و به متغیر اصلی برمی گردیم.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

برای حل سریعتر مسائل با استفاده از این روش، جدولی از مشتقات را به شکل دیفرانسیل و جدولی از ضد مشتقات را در دسترس نگه دارید تا بیانی را که انتگرال باید به آن کاهش یابد، پیدا کنید.

اجازه دهید مسئله ای را تحلیل کنیم که در آن باید مجموعه ضد مشتقات تابع کوتانژانت را محاسبه کنیم.

مثال 3

انتگرال نامعین ∫ c t g x d x را محاسبه کنید.

راه حل

بیایید با استفاده از فرمول های مثلثاتی پایه، عبارت اصلی را تحت انتگرال تبدیل کنیم.

c t g x d x = cos s d x sin x

ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و می بینیم که صورت را می توان تحت علامت دیفرانسیل cos x d x = d (sin x) قرار داد که به این معنی است:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x، i.e. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

فرض کنید sin x = z، در این مورد ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. با توجه به جدول ضد مشتقات، ∫ d z z = ln z + C . حالا بیایید به متغیر اصلی برگردیم ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

کل راه حل را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت:

∫ س t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = گناه x = ln گناه x + C

پاسخ: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

روش عضویت در علامت دیفرانسیل اغلب در عمل مورد استفاده قرار می گیرد، بنابراین به شما توصیه می کنیم مقاله جداگانه ای را که به آن اختصاص داده شده است بخوانید.

روش ادغام توسط قطعات

این روش مبتنی بر تبدیل انتگرال به یک حاصل ضرب به شکل f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)) است، پس از آن فرمول ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x). این یک روش حل بسیار راحت و رایج است. گاهی اوقات یکپارچگی جزئی در یک مسئله باید چندین بار اعمال شود. قبل از حصول نتیجه مطلوب

اجازه دهید مسئله ای را تجزیه و تحلیل کنیم که در آن باید مجموعه ضد مشتقات آرکتانژانت را محاسبه کنیم.

مثال 4

انتگرال نامعین ∫ a r c t g (2 x) d x را محاسبه کنید.

راه حل

فرض کنید u (x) = a r c t g (2 x)، d (v (x)) = d x، در این مورد:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) "d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

وقتی مقدار تابع v (x) را محاسبه می کنیم، نباید یک ثابت دلخواه C را اضافه کنیم.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

ما انتگرال حاصل را با استفاده از روش جمع کردن علامت دیفرانسیل محاسبه می کنیم.

از آنجایی که ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2، سپس 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

پاسخ:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

مشکل اصلی در استفاده از این روش نیاز به انتخاب این است که کدام قسمت را به عنوان دیفرانسیل و کدام قسمت را به عنوان تابع u (x) انتخاب کنیم. مقاله روش یکپارچه سازی توسط قطعات توصیه هایی در مورد این موضوع ارائه می دهد که باید با آنها آشنا شوید.

اگر نیاز به یافتن مجموعه ضدمشتق های یک تابع گویا کسری داشته باشیم، ابتدا باید انتگرال را به صورت مجموع کسرهای ساده نشان دهیم و سپس کسرهای حاصل را ادغام کنیم. برای اطلاعات بیشتر به مقاله ادغام کسرهای ساده مراجعه کنید.

اگر یک عبارت قدرتی از شکل sin 7 x · d x یا d x (x 2 + a 2) 8 را ادغام کنیم، آنگاه از فرمول های تکراری که می توانند به تدریج توان را کاهش دهند، بهره مند خواهیم شد. آنها با استفاده از ادغام مکرر متوالی توسط قطعات مشتق می شوند. خواندن مقاله “ادغام با استفاده از فرمول های تکراری را توصیه می کنیم.

بیایید خلاصه کنیم. برای حل مشکلات، دانستن روش ادغام مستقیم بسیار مهم است. روش‌های دیگر (جایگزینی، جایگزینی، ادغام با قطعات) نیز به شما امکان می‌دهند انتگرال را ساده کرده و به شکل جدولی در آورید.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید