وابستگی متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد تابع نامیده می شود. برای تعیین از علامت y=f(x) استفاده کنید. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است.

نگاهی دقیق تر به ویژگی برابری بیندازید.

یک تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند:

2. مقدار تابع در نقطه x، متعلق به دامنه تعریف تابع، باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x باید برابری زیر از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = f(-x).

برنامه حتی عملکرد

اگر نموداری از یک تابع زوج را رسم کنید، نسبت به محور Oy متقارن خواهد بود.

برای مثال تابع y=x^2 زوج است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=3 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. بنابراین f(x) = f(-x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نمودار تابع y=x^2 آمده است.

شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است.

نمودار یک تابع فرد

تابع y=f(x) اگر دو شرط زیر را داشته باشد فرد نامیده می شود:

1. دامنه تعریف یک تابع معین باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تعریف تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تعریف تعلق داشته باشد. از تابع داده شده

2. برای هر نقطه x، برابری زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = -f(x).

نمودار یک تابع فرد با توجه به نقطه O - مبدأ مختصات متقارن است. برای مثال، تابع y=x^3 فرد است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=2 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. بنابراین f(x) = -f(x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نمودار تابع y=x^3 آمده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y=x^3 نسبت به مبدا متقارن است.

یک تابع زوج (فرد) اگر برای هر و برابری نامیده می شود

.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است
.

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

مثال 6.2. زوج یا فرد بودن یک تابع را بررسی کنید

1)
; 2)
; 3)
.

راه حل.

1) تابع زمانی تعریف می شود
. پیدا خواهیم کرد
.

آن ها
. یعنی این تابع یکنواخت است.

2) تابع زمانی تعریف می شود

آن ها
. بنابراین، این تابع فرد است.

3) تابع برای تعریف شده است، یعنی. برای

,
. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد. بیایید آن را تابعی از فرم کلی بنامیم.

3. مطالعه تابع برای یکنواختی.

تابع
در صورتی که در این بازه هر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع مطابقت داشته باشد، در یک بازه معین افزایش (کاهش) نامیده می شود.

به توابع افزایش (کاهش) در یک بازه زمانی معین، یکنواخت می گویند.

اگر تابع
قابل تفکیک در بازه
و مشتق مثبت (منفی) دارد
، سپس تابع
در این فاصله افزایش (کاهش) می یابد.

مثال 6.3. فواصل یکنواختی توابع را بیابید

1)
; 3)
.

راه حل.

1) این تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. بیایید مشتق را پیدا کنیم.

مشتق برابر با صفر است اگر
و
. دامنه تعریف، محور اعداد است که بر نقطه تقسیم می شود
,
در فواصل زمانی اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، تابع در این بازه کاهش می یابد.

در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، بنابراین، تابع در این بازه افزایش می یابد.

2) این تابع اگر تعریف می شود
یا

.

علامت سه جمله درجه دوم را در هر بازه تعیین می کنیم.

بنابراین، دامنه تعریف تابع

بیایید مشتق را پیدا کنیم
,
، اگر
، یعنی
، ولی
. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم
.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، بنابراین، تابع در بازه کاهش می یابد
. در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، تابع در طول بازه افزایش می یابد
.

4. مطالعه تابع در امتداد.

نقطه
حداکثر (حداقل) نقطه تابع نامیده می شود
، اگر چنین همسایگی نقطه وجود داشته باشد این برای همه است
از این محله نابرابری وجود دارد

.

نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی می نامند.

اگر تابع
در نقطه یک اکستروم دارد، پس مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است یا وجود ندارد (شرط لازم برای وجود اکستروم).

نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا وجود ندارد بحرانی نامیده می شوند.

5. شرایط کافیوجود یک افراط

قانون 1. اگر در حین انتقال (از چپ به راست) از نقطه بحرانی مشتق
علامت "+" را به "-" و سپس در نقطه تغییر می دهد تابع
دارای حداکثر؛ اگر از "-" به "+"، سپس حداقل. اگر
علامت تغییر نمی کند، پس افراطی وجود ندارد.

قانون 2. اجازه دهید در نقطه
اولین مشتق از یک تابع
برابر با صفر
و مشتق دوم وجود دارد و با صفر متفاوت است. اگر
، آن - حداکثر امتیاز، اگر
، آن - حداقل نقطه تابع

مثال 6.4. توابع حداکثر و حداقل را کاوش کنید:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

راه حل.

1) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم
و معادله را حل کنید
، یعنی
.از اینجا
- نقاط بحرانی.

اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم،
.

هنگام عبور از نقاط
و
مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین، طبق قانون 1
- حداقل امتیاز

هنگام عبور از یک نقطه
مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین
- حداکثر امتیاز

,
.

2) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید مشتق را پیدا کنیم
.

با حل معادله
، پیدا خواهیم کرد
و
- نقاط بحرانی. اگر مخرج
، یعنی
، پس مشتق وجود ندارد. بنابراین،
- نقطه حساس سوم اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم.

بنابراین، تابع در نقطه حداقل دارد
، حداکثر در امتیاز
و
.

3) یک تابع تعریف شده و پیوسته است اگر
، یعنی در
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم

.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

همسایگی نقاط
به حوزه تعریف تعلق ندارند، بنابراین افراطی نیستند. بنابراین، اجازه دهید نکات مهم را بررسی کنیم
و
.

4) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید از قانون 2 استفاده کنیم. مشتق را پیدا کنید
.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم
و علامت آن را در نقاط مشخص کنید

در نقاط
تابع دارای حداقل است.

در نقاط
تابع دارای حداکثر است.

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. فضاپیمایک رسانه الکترونیکی با نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در سفر به مریخ تحویل خواهد داد.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده جاسازی هستید فرمول های ریاضیبه صفحات وب سایت شما

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. در این مناسبت وجود دارد مقاله جالب، که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به بررسی بیشتر خواهیم پرداخت نمونه های پیچیدهفراکتال های سه بعدی

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل یا بدن هندسی نشان داد (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط)، که جزئیات آن شکلی مشابه خود شکل اصلی دارند. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد معمولی شکل هندسی(نه یک فراکتال)، وقتی بزرگنمایی کنیم، جزئیات بیشتری را خواهیم دید فرم سادهاز خود شکل اصلی به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبرو، بنیانگذار علم فراکتال ها، در مقاله خود فراکتال ها و هنر به نام علم می نویسد: «فرکتال ها عبارتند از شکل های هندسیکه از نظر جزییات و شکل کلی به همان اندازه پیچیده هستند. یعنی اگر بخشی از یک فراکتال به اندازه کل بزرگ شود، به صورت کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با کمی تغییر شکل.

. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گراف استفاده کنید. هر تعداد از مقادیر عددی را برای متغیر مستقل x (\displaystyle x) انتخاب کنید و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته y (\displaystyle y) را محاسبه کنید. مختصات یافت شده نقاط را رسم کنید هواپیمای مختصاتو سپس این نقاط را وصل کنید تا تابع را نمودار کنید.

• موارد مثبت را در تابع جایگزین کنید مقادیر عددی x (\displaystyle x) و مقادیر عددی منفی مربوطه. به عنوان مثال، با توجه به یک تابع f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . مقادیر زیر x (\displaystyle x) را در آن جایگزین کنید:

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور Y متقارن است یا خیر. منظور ما از تقارن تصویر آینه ای نمودار حول محور y است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور Y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با قسمت نمودار سمت چپ محور Y (مقادیر منفی متغیر مستقل) یکسان باشد. ) نمودار نسبت به محور Y متقارن است.اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد، تابع زوج است.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر. مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدأ به این معنی است که مقدار مثبت y (\displaystyle y) (برای مقدار مثبت x (\displaystyle x)) با مقدار منفی (\displaystyle y) (\displaystyle y) (برای مقدار منفی) مطابقت دارد. از x (\displaystyle x))، و بالعکس. توابع فرد دارای تقارن با مبدا هستند.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر. آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی هم نسبت به محور ارتین و هم نسبت به مبدا تصویر آینه ای وجود ندارد. به عنوان مثال، با توجه به تابع .

• چندین مثبت و متناظر را در تابع جایگزین کنید مقادیر منفی x (\displaystyle x):
• با توجه به نتایج به دست آمده، هیچ تقارنی وجود ندارد. مقادیر y (\displaystyle y) برای مقادیر مخالف x (\displaystyle x) یکسان نیستند و مخالف هم نیستند. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد.
• لطفاً توجه داشته باشید که تابع f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) را می توان به صورت زیر نوشت: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . وقتی به این شکل نوشته می شود، تابع حتی به دلیل وجود یک توان زوج ظاهر می شود. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد، نمی توان نوع تابع را به سرعت تعیین کرد. در این صورت باید براکت ها را باز کنید و توان های به دست آمده را تجزیه و تحلیل کنید.

که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.

تعریف 1.

تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد.

تعریف 2.

تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد.

ثابت کنید که y = x 4 یک تابع زوج است.

راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند.

ثابت کنید که y = x 3 ~ یک تابع فرد است.

راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند.

من و شما قبلاً بیش از یک بار متقاعد شده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نوعی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n نباشد. عدد زوج، پس تابع y = x" فرد است؛ اگر n عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است.

همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، در اینجا، بنابراین، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x).

بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد.

مطالعه این سوال که آیا عملکرد داده شدهزوج یا فرد معمولاً مطالعه یک تابع برای برابری نامیده می شود.

در تعاریف 1 و 2 ما در مورددر مورد مقادیر تابع در نقاط x و -x. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که )