X = X میانگین X

مطلق

خطا

نسبت فامیلی

خطا

a+ ب

a+ ب

مقررات خطای اندازه گیریو خطای اندازه گیریبه جای یکدیگر استفاده می شوند.) تخمین بزرگی این انحراف برای مثال با استفاده از روش های آماری ممکن است. در عین حال، برای معنی واقعیمیانگین مقدار آماری بدست آمده از پردازش آمارینتایج یک سری اندازه گیری این مقدار به دست آمده دقیق نیست، بلکه تنها محتمل ترین آن است. بنابراین لازم است در اندازه گیری ها مشخص شود که دقت آنها چقدر است. برای انجام این کار، خطای اندازه گیری به همراه نتیجه به دست آمده نشان داده می شود. مثلا ضبط کنید T=2.8±0.1ج به این معنی است که مقدار واقعی مقدار تیدر محدوده از 2.7 ثانیهقبل از 2.9 ثانیهبرخی از احتمالات مشخص شده (به فاصله اطمینان، احتمال اطمینان، خطای استاندارد مراجعه کنید).

در سال 2006، سند جدیدی در سطح بین المللی به تصویب رسید که شرایط را برای انجام اندازه گیری ها و ایجاد قوانین جدید برای مقایسه استانداردهای دولتی تعیین می کند. مفهوم "خطا" منسوخ شد و مفهوم "عدم قطعیت اندازه گیری" به جای آن معرفی شد.

تعیین خطا

بسته به ویژگی های کمیت اندازه گیری شده، روش های مختلفی برای تعیین خطای اندازه گیری استفاده می شود.

• روش کورنفلد شامل انتخاب فاصله اطمینان از حداقل تا حداکثر نتیجه اندازه گیری و خطا به عنوان نصف اختلاف بین حداکثر و حداقل نتیجه اندازه گیری است:

• میانگین مربعات خطا:

• ریشه میانگین مربعات خطای میانگین حسابی:

طبقه بندی خطا

طبق فرم ارائه

• خطای مطلق - Δ ایکستخمینی از خطای مطلق اندازه گیری است. بزرگی این خطا به روش محاسبه آن بستگی دارد که به نوبه خود با توزیع متغیر تصادفی تعیین می شود. ایکس مترهآس . در این مورد برابری:

Δ ایکس = | ایکس تیrتوه − ایکس مترهآس | ,

جایی که ایکس تیrتوه ارزش واقعی است، و ایکس مترهآس - مقدار اندازه گیری شده باید با احتمال مشخصی نزدیک به 1 برآورده شود مقدار تصادفی ایکس مترهآس طبق قانون عادی توزیع می شود، سپس معمولاً انحراف معیار آن به عنوان خطای مطلق در نظر گرفته می شود. خطای مطلق در همان واحدهای خود کمیت اندازه گیری می شود.

• خطای مربوطه- نسبت خطای مطلق به مقداری که به عنوان صحیح پذیرفته شده است:

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است یا به صورت درصد اندازه گیری می شود.

• خطا کاهش یافته است- خطای نسبی، به عنوان نسبت خطای مطلق ابزار اندازه گیری به مقدار پذیرفته شده مرسوم یک کمیت، ثابت در کل محدوده اندازه گیری یا در بخشی از محدوده بیان می شود. با فرمول محاسبه می شود

جایی که ایکس n- مقدار نرمال کننده که به نوع مقیاس بستگی دارد ابزار اندازه گیریو با فارغ التحصیلی آن مشخص می شود:

اگر مقیاس ابزار یک طرفه باشد، یعنی. پس حد پایین اندازه گیری صفر است ایکس nبرابر با حد بالایی اندازه گیری تعیین می شود.
- اگر مقیاس ابزار دو طرفه باشد، مقدار نرمال سازی برابر با عرض محدوده اندازه گیری ابزار است.

خطای داده شده یک کمیت بدون بعد است (می توان آن را به صورت درصد اندازه گیری کرد).

با توجه به وقوع

• خطاهای ابزاری / ابزاری- خطاهایی که توسط خطاهای ابزار اندازه گیری مورد استفاده مشخص می شود و ناشی از نقص در اصل عملکرد، عدم دقت کالیبراسیون مقیاس و عدم دید دستگاه است.
• اشتباهات روش شناختی- خطاهای ناشی از ناقص بودن روش، و همچنین ساده سازی های زیربنای روش.
• خطاهای ذهنی / اپراتور / شخصی- خطاهای ناشی از میزان توجه، تمرکز، آمادگی و سایر ویژگی های اپراتور.

در فناوری، از ابزارها برای اندازه گیری فقط با دقت از پیش تعیین شده خاصی استفاده می شود - خطای اصلی که در شرایط عادی عملیاتی برای یک دستگاه خاص مجاز است.

اگر دستگاه در شرایطی غیر از حالت عادی کار کند، خطای اضافی رخ می دهد که خطای کلی دستگاه را افزایش می دهد. خطاهای اضافی عبارتند از: دما، ناشی از انحراف دما محیطاز حالت عادی، نصب، به دلیل انحراف موقعیت دستگاه از وضعیت عملکرد عادی و غیره. دمای معمولی محیط 20 درجه سانتیگراد و نرمال در نظر گرفته شده است فشار اتمسفر 01.325 کیلو پاسکال.

یک مشخصه تعمیم یافته ابزارهای اندازه گیری کلاس دقت است که توسط حداکثر خطاهای اصلی و اضافی مجاز و همچنین سایر پارامترهای مؤثر بر دقت ابزار اندازه گیری تعیین می شود. معنای پارامترها توسط استانداردهایی برای انواع خاصی از ابزار اندازه گیری تعیین شده است. کلاس دقت ابزارهای اندازه گیری ویژگی های دقیق آنها را مشخص می کند، اما نشانگر مستقیمی از دقت اندازه گیری های انجام شده با استفاده از این ابزار نیست، زیرا دقت به روش اندازه گیری و شرایط اجرای آنها نیز بستگی دارد. ابزارهای اندازه گیری که حدود خطای پایه مجاز آنها در قالب خطاهای اساسی (نسبی) مشخص شده است، به کلاس های دقت انتخاب شده از اعداد زیر اختصاص داده می شود: (1؛ 1.5؛ 2.0؛ 2.5؛ 3.0؛ 4.0؛ 5.0). ؛ 6.0)*10n، که در آن n = 1; 0; -1؛ -2 و غیره

بر اساس ماهیت تجلی

• خطای تصادفی- خطایی که از اندازه گیری به اندازه گیری متفاوت است (در بزرگی و علامت). خطاهای تصادفی می تواند با نقص ابزار (اصطکاک در دستگاه های مکانیکی و غیره)، لرزش در شرایط شهری، با نقص جسم اندازه گیری همراه باشد (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری قطر یک سیم نازک، که ممکن است کاملاً گرد نباشد. سطح مقطع در نتیجه نقص در فرآیند ساخت، با ویژگی های خود کمیت اندازه گیری شده (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری کمیت) ذرات بنیادیعبور در دقیقه از یک شمارنده گایگر).
• خطای سیستماتیک- خطایی که در طول زمان طبق قانون خاصی تغییر می کند (مورد خاص خطای ثابتی است که در طول زمان تغییر نمی کند). خطاهای سیستماتیک ممکن است با خطاهای ابزار (مقیاس نادرست، کالیبراسیون، و غیره) مرتبط باشد که توسط آزمایشگر در نظر گرفته نشده است.
• خطای پیشرونده (دریفت).- یک خطای غیر قابل پیش بینی که در طول زمان به آرامی تغییر می کند. این یک فرآیند تصادفی غیر ثابت است.
• خطای فاحش (از دست دادن)- خطای ناشی از نادیده گرفتن آزمایشگر یا خرابی تجهیزات (مثلاً اگر آزمایشگر تعداد تقسیمات روی مقیاس ابزار را اشتباه خوانده باشد، اگر یک اتصال کوتاه در مدار الکتریکی رخ داده باشد).

در عصر ما، بشر انواع و اقسام ابزار اندازه گیری را اختراع کرده و از آن استفاده می کند. اما مهم نیست که فناوری ساخت آنها چقدر عالی باشد، همه آنها خطای کمتر یا بیشتر دارند. این پارامتر، به عنوان یک قاعده، بر روی خود ابزار نشان داده شده است، و برای ارزیابی دقت مقدار تعیین شده، باید بتوانید درک کنید که اعداد نشان داده شده در علامت گذاری به چه معناست. علاوه بر این، خطاهای نسبی و مطلق ناگزیر در طی محاسبات پیچیده ریاضی ایجاد می شوند. این به طور گسترده در آمار، صنعت (کنترل کیفیت) و در تعدادی از زمینه های دیگر استفاده می شود. نحوه محاسبه این مقدار و نحوه تفسیر مقدار آن - این دقیقاً همان چیزی است که در این مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت.

خطای مطلق

اجازه دهید مقدار تقریبی یک کمیت را که مثلاً از طریق یک اندازه گیری به دست می آید، با x و مقدار دقیق آن را با x نشان دهیم. حال بیایید مقدار اختلاف بین این دو عدد را محاسبه کنیم. خطای مطلق دقیقاً همان مقداری است که در نتیجه این عملیات ساده به دست آوردیم. به زبان فرمول ها این تعریفرا می توان به این شکل نوشت: Δ x = | x - x 0 |.

خطای مربوطه

انحراف مطلق یک اشکال مهم دارد - امکان ارزیابی درجه اهمیت خطا را نمی دهد. مثلا ما در بازار 5 کیلو سیب زمینی می خریم و فروشنده بی وجدان هنگام اندازه گیری وزن اشتباه 50 گرمی را به نفع خود انجام می دهد. یعنی خطای مطلق 50 گرم بود. برای ما چنین بی توجهی یک چیز بیهوده خواهد بود و حتی به آن توجه نخواهیم کرد. تصور کنید اگر خطای مشابهی در حین تهیه دارو رخ دهد چه اتفاقی می افتد؟ در اینجا همه چیز بسیار جدی تر خواهد بود. و هنگام بارگیری واگن باری، انحرافات به احتمال زیاد بسیار بیشتر از این مقدار رخ می دهد. بنابراین، خود خطای مطلق چندان آموزنده نیست. علاوه بر آن، اغلب آنها انحراف نسبی را نیز محاسبه می کنند که برابر با نسبت خطای مطلق به مقدار دقیق عدد است. این در حال ثبت است فرمول زیر: δ = Δ x / x 0 .

ویژگی های خطا

فرض کنید دو کمیت مستقل داریم: x و y. ما باید انحراف مقدار تقریبی مجموع آنها را محاسبه کنیم. در این صورت می توان خطای مطلق را به صورت مجموع انحرافات مطلق از پیش محاسبه شده هر یک از آنها محاسبه کرد. در برخی از اندازه گیری ها، ممکن است اتفاق بیفتد که اشتباهات در تعیین مقادیر x و y یکدیگر را خنثی کنند. یا ممکن است در نتیجه اضافه شدن، انحرافات حداکثر تشدید شوند. بنابراین، هنگامی که کل خطای مطلق محاسبه می شود، بدترین سناریو باید در نظر گرفته شود. همین امر برای تفاوت بین خطاهای چند کمیت نیز صادق است. این ویژگی فقط خطای مطلق است و نمی توان آن را برای انحراف نسبی اعمال کرد، زیرا این امر به ناچار منجر به نتیجه نادرست می شود. بیایید با استفاده از مثال زیر به این وضعیت نگاه کنیم.

فرض کنید اندازه گیری های داخل سیلندر نشان داد که شعاع داخلی (R 1) 97 میلی متر و شعاع بیرونی (R 2) 100 میلی متر است. تعیین ضخامت دیواره آن ضروری است. ابتدا بیایید تفاوت را پیدا کنیم: h = R 2 - R 1 = 3 میلی متر. اگر مشکل نشان ندهد که خطای مطلق چیست، به عنوان نصف تقسیم مقیاس دستگاه اندازه گیری در نظر گرفته می شود. بنابراین، Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 میلی متر. کل خطای مطلق است: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 میلی متر. حالا بیایید انحراف نسبی همه مقادیر را محاسبه کنیم:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005،

δ(R1) = 0.5/97 ≈ 0.0052،

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

همانطور که می بینید، خطا در اندازه گیری هر دو شعاع از 5.2٪ بیشتر نمی شود و خطا در محاسبه اختلاف آنها - ضخامت دیواره سیلندر - به اندازه 33.(3)٪ بود!

خاصیت زیر بیان می کند: انحراف نسبی حاصل ضرب چند عدد تقریباً برابر با مجموع است انحرافات نسبیعوامل فردی:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

علاوه بر این، این قانون صرف نظر از تعداد مقادیر مورد ارزیابی معتبر است. سومین و آخرین ویژگی خطای نسبی این است که برآورد نسبی است kth اعداددرجه تقریباً در | k | برابر خطای نسبی عدد اصلی

فرض کنید ما یک سری از nاندازه گیری های همان کمیت ایکس. به دلیل خطاهای تصادفی، مقادیر فردی ایکس 1 ,ایکس 2 ,ایکس 3, ایکس n یکسان نیستند و میانگین حسابی برابر است جمع حسابیتمام مقادیر اندازه گیری شده تقسیم بر تعداد اندازه گیری ها:

. (P.1)

جایی که å علامت جمع است، من- شماره اندازه گیری n- تعداد اندازه گیری ها

بنابراین، - نزدیکترین مقدار به واقعی است. هیچ کس معنی واقعی را نمی داند. شما فقط می توانید فاصله D را محاسبه کنید ایکسنزدیک، که در آن مقدار واقعی را می توان با درجاتی از احتمال قرار داد آر. این فاصله نامیده می شود فاصله اطمینان. احتمالی که مقدار واقعی در آن قرار می گیرد نامیده می شود احتمال اطمینان یا ضریب اطمینان(از آنجایی که آگاهی از احتمال اطمینان به فرد اجازه می دهد تا میزان قابلیت اطمینان نتیجه به دست آمده را ارزیابی کند). هنگام محاسبه فاصله اطمینان مدرک مورد نیازقابلیت اطمینان از قبل تنظیم شده است. بر اساس نیازهای عملی تعیین می شود (برای مثال، الزامات سخت گیرانه تری بر روی قطعات موتور هواپیما نسبت به موتور قایق اعمال می شود). بدیهی است که برای به دست آوردن قابلیت اطمینان بیشتر، افزایش تعداد اندازه گیری ها و دقت آنها مورد نیاز است.

با توجه به این واقعیت که خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی تابع قوانین احتمالی، روش ها هستند آمار ریاضیو تئوری‌های احتمال محاسبه ریشه میانگین مربعات خطای مقدار میانگین حسابی را ممکن می‌سازد. Dx sl. بیایید فرمول محاسبه بدون اثبات را بنویسیم Dx cl برای تعداد کمی اندازه گیری ( n < 30).

فرمول فرمول دانشجو نامیده می شود:

، (A.2)

جایی که تی n، p - ضریب دانش آموز، بسته به تعداد اندازه گیری ها nو احتمال اطمینان آر.

ضریب دانشجو از جدول زیر بدست می آید که قبلاً بر اساس نیازهای عملی (همانطور که در بالا ذکر شد) مقادیر تعیین شده است. nو آر.

هنگام پردازش نتایج کار آزمایشگاهیکافی است 3-5 اندازه گیری انجام دهید و احتمال اطمینان را برابر با 0.68 در نظر بگیرید.

اما اتفاق می افتد که با اندازه گیری های متعدد مقادیر یکسانی به دست می آید ایکس. مثلا قطر سیم را 5 بار اندازه گرفتیم و 5 بار همان مقدار را گرفتیم. بنابراین، این به هیچ وجه به این معنی نیست که هیچ خطایی وجود ندارد. این فقط به این معنی است که خطای تصادفی هر اندازه گیری کوچکتر است دقتدستگاه d که به آن نیز گفته می شود اتاق ساز،یا وسیله، خطا خطای ابزاری دستگاه d با کلاس دقت دستگاه مشخص شده در پاسپورت آن یا درج شده در خود دستگاه تعیین می شود. و گاهی برابر با قیمت تقسیم دستگاه (قیمت تقسیمی دستگاه مقدار کوچکترین تقسیم آن است) یا نصف قیمت تقسیم (در صورتی که بتوان نصف قیمت تقسیم دستگاه را تقریباً با چشم).

از آنجایی که هر یک از مقادیر ایکس i با خطای d و سپس فاصله اطمینان کامل به دست آمد Dx، یا خطای مطلق اندازه گیری، با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

. (ص.3)

توجه داشته باشید که اگر در فرمول (A.3) یکی از کمیت ها حداقل 3 برابر بزرگتر از دیگری باشد، از مقدار کوچکتر صرف نظر می شود.

خطای مطلق به خودی خود کیفیت اندازه گیری های انجام شده را منعکس نمی کند. به عنوان مثال، تنها بر اساس اطلاعاتی که خطای مطلق 0.002 متر مربع است، نمی توان قضاوت کرد که این اندازه گیری چقدر خوب انجام شده است. ایده ای از کیفیت اندازه گیری های انجام شده توسط خطای مربوطهه، برابر با نسبتخطای مطلق به مقدار متوسط ​​مقدار اندازه گیری شده خطای نسبی نشان می دهد که نسبت خطای مطلق مقدار اندازه گیری شده چقدر است. به عنوان یک قاعده، خطای نسبی به صورت درصد بیان می شود:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. اجازه دهید قطر توپ با استفاده از یک میکرومتر اندازه گیری شود که خطای ابزار آن d = 0.01 میلی متر است. در نتیجه سه اندازه گیری، مقادیر قطر زیر به دست آمد:

د 1 = 2.42 میلی متر، د 2 = 2.44 میلی متر، د 3 = 2.48 میلی متر.

با استفاده از فرمول (A.1)، مقدار میانگین حسابی قطر توپ تعیین می شود

سپس با استفاده از جدول ضرایب Student دریافتند که برای سطح اطمینان 0.68 با سه اندازه گیری تی n، p = 1.3. سپس با استفاده از فرمول (A.2) محاسبه کنید خطای تصادفیاندازه گیری ها DD sl

از آنجایی که خطای تصادفی حاصل تنها دو برابر خطای ابزاری است، هنگام یافتن خطای اندازه گیری مطلق DDبا توجه به (الف.3)، هر دو خطای تصادفی و خطای ابزار باید در نظر گرفته شوند، یعنی.

میلی متر » ± 0.03 میلی متر.

خطا به صدم میلی متر گرد شد، زیرا دقت نتیجه نمی تواند از دقت دستگاه اندازه گیری تجاوز کند که در این مورد 0.01 میلی متر است.

بنابراین قطر سیم است

میلی متر

این ورودی نشان می دهد که مقدار واقعی قطر توپ با احتمال 68٪ در فاصله (2.42 ¸ 2.48) میلی متر است.

خطای نسبی e مقدار بدست آمده مطابق (A.4) است

%.

ابعاد نامیده می شود سر راست،اگر مقادیر مقادیر مستقیماً توسط ابزار تعیین شود (به عنوان مثال، اندازه گیری طول با یک خط کش، تعیین زمان با کرونومتر و غیره). ابعاد نامیده می شود غیر مستقیم، اگر مقدار کمیت اندازه گیری شده از طریق اندازه گیری مستقیم کمیت های دیگر که با رابطه خاص اندازه گیری شده مرتبط هستند تعیین شود.

خطاهای تصادفی در اندازه گیری های مستقیم

خطای مطلق و نسبی.بگذار اجرا شود ناندازه گیری های همان کمیت ایکسدر صورت عدم وجود خطای سیستماتیک نتایج اندازه گیری فردی به شرح زیر است: ایکس 1 ,ایکس 2 , …,ایکس ن. مقدار متوسط ​​مقدار اندازه گیری شده به عنوان بهترین انتخاب می شود:

خطای مطلقیک اندازه گیری منفرد را اختلاف شکل می گویند:

.

میانگین خطای مطلق نواحد اندازه گیری:

(2)

تماس گرفت میانگین خطای مطلق.

خطای مربوطهنسبت میانگین خطای مطلق به مقدار متوسط ​​کمیت اندازه گیری شده نامیده می شود:

. (3)

خطاهای دستگاه در اندازه گیری های مستقیم

اگر دستورالعمل خاصی وجود نداشته باشد، خطای ابزار معادل نصف مقدار تقسیم آن است (خط کش، بشر).

خطای ابزارهای مجهز به ورنیر برابر با مقدار تقسیم ورنیه است (میکرو متر - 0.01 میلی متر، کولیس - 0.1 میلی متر).

خطای مقادیر جدول برابر است با نصف واحد آخرین رقم (پنج واحد ترتیب بعدی بعد از آخرین رقم مهم).

خطای وسایل اندازه گیری الکتریکی با توجه به کلاس دقت محاسبه می شود بادر مقیاس ابزار نشان داده شده است:

مثلا:
و
,

جایی که U حداکثرو من حداکثر- حد اندازه گیری دستگاه

خطای دستگاه های دارای نمایشگر دیجیتال برابر با یکی از آخرین رقم های نمایشگر است.

پس از ارزیابی خطاهای تصادفی و ابزاری، اشتباهی که مقدار آن بیشتر است در نظر گرفته می شود.

محاسبه خطا در اندازه گیری های غیر مستقیم

اکثر اندازه گیری ها غیر مستقیم هستند. در این حالت مقدار مورد نظر X تابعی از چندین متغیر است آ،ب, ج… ، که مقادیر آن را می توان با اندازه گیری های مستقیم پیدا کرد: X = f( آ, ب, ج…).

میانگین حسابی نتیجه اندازه گیری های غیر مستقیم برابر خواهد بود با:

X = f( آ, ب, ج…).

یکی از راه های محاسبه خطا، افتراق لگاریتم طبیعی تابع X = f( آ, ب, ج...). اگر برای مثال، مقدار مورد نظر X با رابطه X = تعیین شود ، پس از لگاریتم به دست می آید: lnX = ln آ+ln ب+ln( ج+ د).

دیفرانسیل این عبارت به شکل زیر است:

.

در رابطه با محاسبه مقادیر تقریبی، می توان خطای نسبی را به شکل زیر نوشت:

 =
. (4)

خطای مطلق با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

Х = Х(5)

بنابراین، محاسبه خطاها و محاسبه نتیجه برای اندازه گیری های غیر مستقیم به ترتیب زیر انجام می شود:

1) تمام مقادیر موجود در فرمول اولیه را برای محاسبه نتیجه نهایی اندازه گیری کنید.

2) مقادیر میانگین حسابی هر مقدار اندازه گیری شده و خطاهای مطلق آنها را محاسبه کنید.

3) مقادیر میانگین تمام مقادیر اندازه گیری شده را به فرمول اصلی جایگزین کرده و مقدار میانگین مقدار مورد نظر را محاسبه کنید:

X = f( آ, ب, ج…).

4) لگاریتم فرمول اصلی X = f( آ, ب, ج...) و عبارت خطای نسبی را به صورت فرمول (4) یادداشت کنید.

5) خطای نسبی  = را محاسبه کنید .

6) خطای مطلق حاصل را با استفاده از فرمول (5) محاسبه کنید.

7) نتیجه نهایی به صورت زیر نوشته می شود:

خطاهای مطلق و نسبی ساده ترین توابع در جدول آورده شده است: