این روش برای به حداقل رساندن توابع جبر منطقی از هر تعداد متغیر قابل استفاده است.

بیایید حالت سه متغیر را در نظر بگیریم. یک تابع بولی در DNF را می توان در قالب انواع اصطلاحات ربطی که می تواند در DNF گنجانده شود نشان داد:

که در آن kO(0,1) ضرایب هستند. این روش شامل انتخاب ضرایب به گونه ای است که DNF حاصل حداقل باشد.

اگر اکنون همه مقادیر ممکن متغیرها را از 000 تا 111 تنظیم کنیم، 2 n معادله (2 3 = 8) برای تعیین ضرایب بدست می آوریم. ک:

با توجه به مجموعه هایی که تابع برای آنها مقدار صفر می گیرد، ضرایبی را که برابر با 0 هستند تعیین کنید و آنها را از معادلاتی که سمت راست آنها دارای 1 است خط بزنید. ترکیب پایین ترین رتبه ضرایب باقیمانده برابر با 0 است. بنابراین، ضرایب واحد کحداقل فرم مناسب را تعیین کنید.

مثال. یک تابع داده شده را به حداقل برسانید

اگر مقادیر شناخته شده باشند:
;
;
;
;
;
;
;
.

راه حل.

پس از خط زدن ضرایب صفر به دست می آید:

=1;

=1;

=1;

=1.

اجازه دهید ضریب را با وحدت برابر کنیم مربوط به پیوند پایین ترین رتبه و تبدیل چهار معادله آخر به 1 و در معادله اول توصیه می شود ضریب را با 1 برابر کنید. . ضرایب باقیمانده روی 0 تنظیم می شود.

پاسخ: نوع عملکرد کمینه شده.

لازم به ذکر است که روش ضرایب نامشخص زمانی موثر است که تعداد متغیرها کم باشد و از 5-6 بیشتر نباشد.

مکعب چند بعدی

بیایید یک نمایش گرافیکی از یک تابع را در قالب یک مکعب چند بعدی در نظر بگیریم. هر قله n-مکعب بعدی را می توان مطابق با اجزای تشکیل دهنده واحد قرار داد.

زیرمجموعه رئوس علامت گذاری شده یک نقشه برداری است n-مکعب بعدی تابع بولی از nمتغیرها در SDNF

برای نمایش عملکرد از nمتغیرهای ارائه شده در هر DNF، لازم است یک تناظر بین حداقل ترم ها و عناصر آن ایجاد شود n-مکعب بعدی

حداقل رتبه (n-1)ام
را می توان نتیجه چسباندن دو مینی ترم دانست nرتبه -ام، یعنی

=

بر nمکعب بعدی که مربوط به جایگزینی دو راس است که فقط در مقادیر مختصات متفاوت هستند. ایکس من، این رئوس را با یک یال به هم وصل می کند (به یک یال گفته می شود که رئوس برخورد با آن را می پوشاند).

بنابراین، مینی ترم ها ( nمرتبه -1) مربوط به لبه های یک مکعب n بعدی است.

به طور مشابه، مطابقت مینی ترم ها ( n-2) چهره های مرتبه nمکعب بعدی که هر کدام چهار راس (و چهار لبه) را می پوشاند.

عناصر nمکعب بعدی، با مشخصه اساندازه گیری نامیده می شود اس-مکعبها

بنابراین رئوس 0-مکعب، یال ها 1-مکعب، وجوه 2-مکعب و غیره هستند.

به طور خلاصه، می توان گفت که مینی ترم ( n-S) رتبه بندی در DNF برای تابع nمتغیرهای نمایش داده شده اس-یک مکعب، هر کدام اس-مکعب تمام آن مکعب هایی با ابعاد پایین تر را که فقط به رئوس آن متصل هستند را پوشش می دهد.

مثال. در شکل با توجه به نقشه برداری

در اینجا مینی ترم ها وجود دارد
و
مطابق با 1 مکعب ( اس=3-2=1) و کوتاه مدت ایکس 3 نمایش داده شده به 2 مکعب ( اس=3-1=2).

بنابراین، هر DNF به نقشه برداری می شود nمکعب بعدی در کل اس-مکعب هایی که تمام رئوس مربوط به واحدهای تشکیل دهنده را پوشش می دهند (0-مکعب).

اجزای تشکیل دهنده. برای متغیرها ایکس 1 ,ایکس 2 ,…ایکس nاصطلاح
جزء واحد نامیده می شود و
- جزء صفر ( یعنی یا ، یا ).

این جزء یک (صفر) تنها با یک مجموعه مقادیر متغیر متناظر به یک (صفر) تبدیل می شود که اگر همه متغیرها برابر یک (صفر) و نفی آنها برابر با صفر (یک) در نظر گرفته شوند به دست می آید.

به عنوان مثال: واحد تشکیل دهنده
با مجموعه (1011) مطابقت دارد و جزء صفر است
- مجموعه (1001).

از آنجایی که SD(K)NF یک تفکیک (پیوند) از اجزای یک (صفر) است، می توان استدلال کرد که تابع بولی که آن را نشان می دهد. f(ایکس 1 , ایکس 2 ,…, ایکس n) فقط برای مجموعه ای از مقادیر متغیر به یک (صفر) تبدیل می شود ایکس 1 , ایکس 2 ,…, ایکس n، مربوط به این جایگزین ها است. در مجموعه های دیگر این تابع به 0 (یک) تبدیل می شود.

گزاره مخالف نیز صادق است که بر آن استوار است راه نمایندگی هرتابع بولی که توسط جدول مشخص شده است.

برای انجام این کار، لازم است که منفصلات (پیوندهای ربط) اجزای یک (صفر)، مربوط به مجموعه ای از مقادیر متغیرهایی که تابع مقداری برابر با یک (صفر) می گیرد، بنویسید.

به عنوان مثال، یک تابع داده شده توسط یک جدول

مطابقت

عبارات به دست آمده را می توان بر اساس ویژگی های جبر منطق به شکل دیگری تبدیل کرد.

عبارت معکوس نیز درست است: اگر برخی از مجموعه اس-مکعب مجموعه تمام رئوس مربوط به مقادیر واحد تابع و سپس تفکیک مربوط به اینها را پوشش می دهد. اسمکعب های مینی ترم بیان این تابع در DNF است.

می گویند چنین مجموعه ای اس-مکعب ها (یا مینی ترم های مربوط به آنها) پوششی از تابع را تشکیل می دهند. میل به یک فرم حداقلی به طور شهودی به عنوان جستجو برای چنین پوششی، تعداد درک می شود اس- که مکعب های کمتری و ابعاد آنها وجود خواهد داشت اس- بیشتر. پوشش مربوط به فرم حداقل را حداقل پوشش می گویند.

به عنوان مثال، برای تابع در=
پوشش مربوط به شکل غیر حداقلی است:

برنج الف) در=,

پوشش برنج ب) در=
برنج ج) در=
حداقل

برنج. پوشش عملکرد در=:

الف) غیر حداقلی؛ ب) ج) حداقل

نمایش یک تابع روشن است n-به وضوح و به سادگی با n3. یک مکعب چهار بعدی را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است، نشان داد که عملکرد چهار متغیر و حداقل پوشش آن مربوط به عبارت را نشان می دهد. در=

استفاده از این روش زمانی که n>4 به چنین تشکل های پیچیده ای نیاز دارد که تمام مزایای خود را از دست می دهد.

وزارت علوم و آموزش و پرورش جمهوری بشقورتو استان

کالج معماری و مهندسی عمران SAOU SPO باشقیر

خلیولین آسخات عادلزیانوویچ،

معلم ریاضیات در باشکیرسکی

دانشکده معماری و عمران

یوفا

2014

مقدمه _________________________________________________3

فصل من. جنبه های نظری استفاده از روش ضرایب نامعین_________________________________________________4

فصل II. جستجو برای حل مسائل با چند جمله ای ها با استفاده از روش ضرایب نامشخص_________________________________7

2.1. فاکتورگیری چند جمله ای _____________________ 7

2.2. مشکلات پارامترها_________________________________ 10

2.3. حل معادلات ____________________________________________________14

2.4. معادلات تابعی________________________________19

نتیجه ________________________________________________23

فهرست ادبیات مورد استفاده ________________________________________________24

کاربرد ________________________________________________25

معرفی.

این اثر به جنبه های نظری و عملی معرفی روش ضرایب نامعین در درس ریاضی مدرسه اختصاص دارد. ارتباط این موضوع با شرایط زیر تعیین می شود.

هیچ کس استدلال نمی کند که ریاضیات به عنوان یک علم در یک مکان قرار نمی گیرد، دائما در حال تکامل است، وظایف جدیدی با پیچیدگی افزایش یافته ظاهر می شود، که اغلب باعث مشکلات خاصی می شود، زیرا این وظایف معمولاً با تحقیق همراه است. در سال های اخیر، چنین مسائلی در المپیادهای ریاضی مدرسه، ناحیه و جمهوری مطرح شده است و در نسخه های آزمون یکپارچه دولتی نیز موجود است. بنابراین، روش خاصی مورد نیاز بود که حداقل برخی از آنها را به سرعت، کارآمد و مقرون به صرفه‌تر حل کند. این اثر به وضوح محتوای روش ضرایب نامعین را ارائه می دهد که به طور گسترده در زمینه های مختلف ریاضیات از سؤالات موجود در دوره آموزش عمومی تا پیشرفته ترین بخش های آن استفاده می شود. به طور خاص، کاربرد روش ضرایب نامعین در حل مسائل با پارامترها، معادلات کسری گویا و تابعی بسیار جالب و مؤثر است. آنها به راحتی می توانند هر کسی را که به ریاضیات علاقه مند است علاقه مند کنند. هدف اصلی کار پیشنهادی و انتخاب مشکلات، فراهم کردن فرصت‌های فراوان برای تقویت و توسعه توانایی یافتن راه‌حل‌های کوتاه و غیر استاندارد است.

این اثر از دو فصل تشکیل شده است. اولی جنبه های نظری استفاده را مورد بحث قرار می دهد

روش ضرایب نامشخص و ثانیاً جنبه های عملی و روش شناختی چنین استفاده ای.

ضمیمه کار شرایطی را برای وظایف خاص برای حل مستقل فراهم می کند.

فصل من . جنبه های نظری استفادهروش ضرایب نامشخص

"انسان... به دنیا آمد تا استاد شود،

فرمانروا، پادشاه طبیعت، اما خرد،

که با آن باید حکومت کند به او داده نمی شود

از بدو تولد: با یادگیری به دست می آید.

N.I.Lobachevsky

راه‌ها و روش‌های مختلفی برای حل مسائل وجود دارد، اما یکی از راحت‌ترین، مؤثرترین، اصلی‌ترین، ظریف‌ترین و در عین حال بسیار ساده‌ترین و قابل فهم‌ترین روش‌ها برای همه، روش ضرایب نامشخص است. روش ضرایب نامشخص روشی است که در ریاضیات برای یافتن ضرایب عباراتی که شکل آنها از قبل مشخص است استفاده می شود.

قبل از بررسی کاربرد روش ضرایب نامعین برای حل انواع مسائل، تعدادی اطلاعات نظری ارائه می کنیم.

بگذارید به آنها داده شود

آ n (ایکس) = آ 0 ایکس n + آ 1 ایکس n-1 + آ 2 ایکس n-2 + ··· + آ n-1 ایکس + آ n

ب متر (ایکس ) = ب 0 ایکس متر + ب 1 ایکس متر -1 + ب 2 ایکس متر -2 + ··· + ب m-1 ایکس + ب متر ,

چند جمله ای نسبی ایکسبا هر شانسی

قضیه. دو چند جمله ای بسته به یک و همان آرگومان یکسان هستند اگر و فقط اگرn = متر و ضرایب متناظر آنها برابر استآ 0 = ب 0 , آ 1 = ب 1 , آ 2 = ب 2 ,··· , آ n -1 = ب متر -1 , آ n = ب متر و تی. د.

بدیهی است که چند جمله ای های مساوی برای همه مقادیر می گیرند ایکسهمان مقادیر برعکس، اگر مقادیر دو چند جمله ای برای همه مقادیر برابر باشد ایکس، سپس چند جمله ای ها برابر هستند، یعنی ضرایب آنها در یک درجه استایکسمطابقت دادن

بنابراین ایده استفاده از روش ضرایب نامعین در حل مسائل به شرح زیر است.

اجازه دهید بدانیم که در نتیجه برخی از تبدیل ها یک عبارت از نوع خاصی به دست می آید و فقط ضرایب در این عبارت ناشناخته است. سپس این ضرایب با حروف مشخص شده و مجهول در نظر گرفته می شوند. سپس سیستمی از معادلات برای تعیین این مجهولات ساخته می شود.

به عنوان مثال، در مورد چند جمله ای ها، این معادلات از شرایطی ساخته می شوند که ضرایب برای توان های یکسان برابر باشند. ایکسبرای دو چند جمله ای مساوی

آنچه را که در بالا گفته شد با استفاده از مثال‌های خاص زیر نشان خواهیم داد و اجازه دهید با ساده‌ترین آنها شروع کنیم.

بنابراین، برای مثال، بر اساس ملاحظات نظری، کسری

را می توان به صورت مجموع نشان داد

، جایی که آ , ب و ج - ضرایبی که باید تعیین شود برای یافتن آنها، عبارت دوم را با عبارت اول برابر می کنیم:

=

و خودمان را از مخرج رها کنیم و اصطلاحات را با همان قدرت ها در سمت چپ جمع آوری کنیم ایکس، ما گرفتیم:

(آ + ب + ج )ایکس 2 + ( ب - ج )x - a = 2ایکس 2 – 5 ایکس– 1

از آنجایی که آخرین برابری باید برای همه ارزش ها صادق باشد ایکس، سپس ضرایب در همان توانایکسراست و چپ باید یکسان باشند. بنابراین، سه معادله برای تعیین سه ضریب مجهول به دست می آید:

a+b+c = 2

ب - ج = - 5

آ= 1، از آنجا آ = 1 , ب = - 2 , ج = 3

از این رو،

=
,

صحت این برابری به راحتی قابل تأیید است.

فرض کنید شما همچنین باید یک کسری را نشان دهید

مانند آ + ب
+ ج
+ د
، جایی که آ , ب , ج و د- ضرایب ناشناخته منطقی. عبارت دوم را با عبارت اول برابر می کنیم:

آ + ب
+ ج
+ د
=
یا، با رهایی از مخرج، حذف، در صورت امکان، عوامل عقلی از زیر نشانه های ریشه و آوردن اصطلاحات مشابه در سمت چپ، به دست می آوریم:

(آ- 2 ب + 3 ج ) + (- a+b +3 د )
+ (a+c - 2 د )
+

+ (قبل از میلاد مسیح + د )
= 1 +
-
.

اما چنین برابری تنها در صورتی امکان پذیر است که عبارات عقلانی هر دو بخش و ضرایب رادیکال های یکسان برابر باشند. بنابراین چهار معادله برای یافتن ضرایب مجهول به دست می آید آ , ب , ج و د :

آ- 2b+ 3ج = 1

- a+b +3 د = 1

a+c - 2 د = - 1

ب - ج + د= 0، از آنجا آ = 0 ; ب = - ; ج = 0 ; د= یعنی
= -
+
.

فصل دوم. جستجو برای حل مسائل با چند جمله ای ها روش ضرایب نامشخص.

«هیچ چیز بهتر از این به تسلط بر یک موضوع کمک نمی کند

نحوه رفتار با او در موقعیت های مختلف"

آکادمیک B.V. Gnedenko

2. 1. فاکتورگیری چند جمله ای.

روش های فاکتورگیری چند جمله ای ها:

1) قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز؛ 2) روش گروه بندی. 3) استفاده از فرمول های ضرب پایه. 4) معرفی اصطلاحات کمکی؛ 5) تبدیل اولیه یک چند جمله ای معین با استفاده از فرمول های خاص. 6) بسط با یافتن ریشه های یک چند جمله ای معین. 7) روش وارد کردن پارامتر؛ 8) روش ضرایب نامشخص.

مسئله 1. چند جمله ای را به عوامل واقعی تبدیل کنید ایکس 4 + ایکس 2 + 1 .

راه حل. هیچ ریشه ای در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد این چند جمله ای وجود ندارد. ما نمی توانیم ریشه های چند جمله ای را با روش های ابتدایی دیگر پیدا کنیم. بنابراین نمی توان با یافتن ریشه های این چند جمله ای ابتدا بسط مورد نیاز را انجام داد. باقی مانده است که به دنبال راه حلی برای مشکل باشیم یا با معرفی اصطلاحات کمکی یا با روش ضرایب نامشخص. بدیهی است که ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = ایکس 4 + ایکس 3 + ایکس 2 - ایکس 3 - ایکس 2 - ایکس + ایکس 2 + ایکس + 1 =

= ایکس 2 (ایکس 2 + ایکس + 1) - ایکس (ایکس 2 + ایکس + 1) + ایکس 2 + ایکس + 1 =

= (ایکس 2 + ایکس + 1)(ایکس 2 - ایکس + 1).

سه جمله های درجه دوم به دست آمده ریشه ندارند و بنابراین به عوامل خطی واقعی تجزیه نمی شوند.

روش توصیف شده از نظر فنی ساده است، اما به دلیل مصنوعی بودن آن دشوار است. در واقع، دستیابی به شرایط کمکی مورد نیاز بسیار دشوار است. فقط یک حدس به ما کمک کرد تا این تجزیه را پیدا کنیم. ولی

راه های مطمئن تری برای حل چنین مشکلاتی وجود دارد.

می توان به این صورت عمل کرد: فرض کنید که چند جمله ای داده شده به محصول تجزیه می شود

(ایکس 2 + آ ایکس + ب )(ایکس 2 + ج ایکس + د )

دو مثلث مربع با ضرایب صحیح.

بنابراین، ما آن را خواهیم داشت

ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = (ایکس 2 + آ ایکس + ب )(ایکس 2 + ج ایکس + د )

تعیین ضرایب باقی مانده استآ , ب , ج و د .

با ضرب چند جمله ای های سمت راست آخرین تساوی، به دست می آید:ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = ایکس 4 +

+ (a + c ) ایکس 3 + (ب + آ ج + د ) ایکس 2 + (آگهی + قبل از میلاد مسیح ) x + bd .

اما از آنجایی که ما به سمت راست این برابری نیاز داریم تا به همان چندجمله‌ای تبدیل شود که در سمت چپ است، باید شرایط زیر را برآورده کنیم:

a + c = 0

ب + آ ج + د = 1

آگهی + قبل از میلاد مسیح = 0

bd = 1 .

نتیجه یک سیستم چهار معادله با چهار مجهول استآ , ب , ج و د . یافتن ضرایب از این سیستم آسان استآ = 1 , ب = 1 , ج = -1 و د = 1.

حالا مشکل به طور کامل حل شده است. گرفتیم:

ایکس 4 + ایکس 2 + 1 = (ایکس 2 + ایکس + 1)(ایکس 2 - ایکس + 1).

مسئله 2. چند جمله ای را به عوامل واقعی تبدیل کنید ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 .

راه حل. اجازه دهید این چند جمله ای را به شکل نمایش دهیم

ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 = (ایکس + آ )(ایکس 2 + bx + ج) ، جایی که آ , ب و با - ضرایب هنوز تعیین نشده است. از آنجایی که دو چند جمله ای به طور یکسان برابر هستند اگر و فقط اگر ضرایب توان های یکسان باشندایکس بنابراین، ضرایب را به ترتیب برابر می کنندایکس 2 , ایکس و با عبارت های آزاد، سیستمی از سه معادله با سه مجهول به دست می آوریم:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

اگر در نظر بگیریم که عدد 3 (مقسوم کننده عبارت آزاد) ریشه این معادله است، راه حل این سیستم به طور قابل توجهی ساده می شود و بنابراین،آ = - 3 ,

ب = - 3 و با = 5 .

سپس ایکس 3 – 6 ایکس 2 + 14 ایکس – 15 = (ایکس – 3)(ایکس 2 – 3 ایکس + 5).

روش اعمال ضرایب نامعین، در مقایسه با روش فوق در معرفی اصطلاحات کمکی، حاوی هیچ چیز مصنوعی نیست، اما مستلزم اعمال بسیاری از اصول نظری است و با محاسبات نسبتاً بزرگی همراه است. برای چند جمله ای های درجه بالاتر، این روش ضرایب نامشخص منجر به سیستم های دست و پا گیر معادلات می شود.

2.2. وظایف و با پارامترها

در سال‌های اخیر، نسخه‌های آزمون دولتی واحد وظایفی را با پارامترها ارائه کرده‌اند. راه حل آنها اغلب باعث مشکلات خاصی می شود. هنگام حل مسائل با پارامترها، همراه با روش های دیگر، می توانید به طور موثر از روش ضرایب نامشخص استفاده کنید. این روش است که به شما امکان می دهد راه حل آنها را تا حد زیادی ساده کنید و به سرعت پاسخ بگیرید.

وظیفه 3. تعیین کنید که در چه مقادیری از پارامتر است آمعادله 2 ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = 0 دقیقاً دو ریشه دارد.

راه حل. 1 راه. استفاده از مشتق

بیایید این معادله را در قالب دو تابع نشان دهیم

2×3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس – 3 = – آ .

f (ایکس) = 2x 3 - 3 ایکس 2 – 36 ایکس– 3 و φ( ایکس ) = – آ .

بیایید عملکرد را بررسی کنیمf (ایکس) = 2x 3 - 3 ایکس 2 – 36 ایکس - 3 با استفاده از مشتق و ساخت شماتیک نمودار آن (شکل 1.).

f( – ایکس )f (ایکس ) , f (– ایکس ) – f (ایکس ). تابع نه زوج است و نه فرد.

3. نقاط بحرانی تابع، فواصل افزایش و کاهش آن، اکسترم ها را پیدا کنیم. f / (ایکس ) = 6 ایکس 2 – 6 ایکس – 36. D (f / ) = آر بنابراین با حل معادله تمام نقاط بحرانی تابع را پیدا خواهیم کرد f / (ایکس ) = 0 .

6(ایکس 2 – ایکس– 6) = 0 ,

ایکس 2 – ایکس– 6 = 0 ,

ایکس 1 = 3 , ایکس 2 = - 2 با قضیه معکوس قضیه ویتا.

f / (ایکس ) = 6(ایکس – 3)(ایکس + 2).

+ حداکثر - دقیقه +

2 3 ایکس

f / (ایکس) > 0 برای همه ایکس< - 2 و ایکس > 3 و تابع در نقاط پیوسته استx =- 2 و ایکس = 3، بنابراین در هر یک از بازه ها افزایش می یابد (- ; - 2] و [3; ).

f / (ایکس ) < 0 در - 2 < ایکس< 3، بنابراین در بازه [-2] کاهش می یابد; 3 ].

ایکس = - 2 امتیاز حداکثر، زیرا در این مرحله علامت مشتق تغییر می کند"+" به "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 حداقل امتیاز، زیرا در این نقطه علامت مشتق تغییر می کند"-" به "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

نمودار تابع φ(ایکس ) = – آ یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات (0; – آ ). نمودارها دو نقطه مشترک دارند:آ= 41، یعنی a =– 41 و – آ= - 84، یعنی. آ = 84 .

در

41φ( ایکس)

2 3 ایکس

3 f ( ایکس ) = 2×3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس – 3

روش 2. روش ضرایب نامشخص.

از آنجایی که با توجه به شرایط مسئله، این معادله باید فقط دو ریشه داشته باشد، برابری آشکار است:

2ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = (x + ب ) 2 (2 ایکس + ج ) ,

2ایکس 3 – 3 ایکس 2 – 36 ایکس + آ – 3 = 2 ایکس 3 + (4 ب + ج ) ایکس 2 + (2 ب 2 + +2 قبل از میلاد مسیح ) ایکس + ب 2 ج ,

حالا ضرایب را در همان درجه برابر کنید ایکس، یک سیستم معادلات به دست می آوریم

4 b + c = - 3

2ب 2 + 2قبل از میلاد = - 36

ب 2 ج = آ – 3 .

از دو معادله اول سیستم پیدا می کنیمب 2 + ب – 6 = 0، از این رو ب 1 = - 3 یا ب 2 = 2. مقادیر مربوطهبا 1 و با 2 به راحتی از معادله اول سیستم پیدا می شود:با 1 = 9 یا با 2 = - 11 . در نهایت، مقدار مورد نظر پارامتر را می توان از آخرین معادله سیستم تعیین کرد:

آ = ب 2 ج + 3 , آ 1 = - 41 یا آ 2 = 84.

پاسخ: این معادله دقیقاً دو تا متفاوت دارد

ریشه در آ= - 41 و آ= 84 .

وظیفه 4. بزرگترین مقدار پارامتر را بیابیدآ ، که برای آن معادلهایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = 0

با ضرایب صحیح دارای سه ریشه مختلف است که یکی از آنها برابر با 2 است.

راه حل. 1 راه. جایگزین کردن ایکس= - 2 به سمت چپ معادله، می گیریم

8 + 20 – 2 آ + ب= 0 یعنی ب = 2 آ – 12 .

از آنجایی که عدد - 2 یک ریشه است، می توانیم عامل مشترک را حذف کنیم ایکس + 2:

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + 2 ایکس 2 + 3 ایکس 2 + اوه + (2 آ – 12) =

= ایکس 2 (ایکس + 2) + 3 ایکس (ایکس + 2) – 6 ایکس + اوه + (2 آ – 12) =

= ایکس 2 (ایکس + 2) + 3 ایکس (ایکس + 2) + (آ – 6)(ایکس +2) - 2(آ – 6)+ (2 آ - 12) =

= (ایکس + 2)(ایکس 2 + 3 ایکس + (آ – 6) ) .

با شرط، دو ریشه دیگر از معادله وجود دارد. این بدان معناست که ممیز عامل دوم مثبت است.

D =3 2 - 4 (آ – 6) = 33 – 4 آ > 0 یعنی آ < 8,25 .

به نظر می رسد که پاسخ خواهد بود a = 8 . اما وقتی عدد 8 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، به دست می آید:

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + 5 ایکس 2 + 8 ایکس + 4 = (ایکس + 2)(ایکس 2 + 3 ایکس + 2 ) =

= (ایکس + 1) (ایکس + 2) 2 ,

یعنی معادله فقط دو ریشه متفاوت دارد. اما کی a = 7 در واقع سه ریشه مختلف تولید می کند.

روش 2. روش ضرایب نامشخص.

اگر معادله ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = 0 ریشه دارد ایکس = - 2، سپس همیشه می توانید اعداد را انتخاب کنیدج و د به طوری که در مقابل همهایکس برابری درست بود

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = (ایکس + 2)(ایکس 2 + با ایکس + د ).

برای پیدا کردن اعدادج و د بیایید براکت های سمت راست را باز کنیم، اصطلاحات مشابه را اضافه کنیم و دریافت کنیم

ایکس 3 + 5 ایکس 2 + اوه + ب = ایکس 3 + (2 + با ) ایکس 2 +(2 s + د ) ایکس + 2 د

معادل سازی ضرایب در توان های مربوطه ایکسما یک سیستم داریم

2 + با = 5

2 با + د = آ

2 د = ب , جایی که c = 3 .

از این رو، ایکس 2 + 3 ایکس + د = 0 , D = 9 – 4 د > 0 یا

د < 2.25، بنابراین د (- ; 2 ].

شرایط مشکل با مقدار برآورده می شود د = 1 . مقدار نهایی مورد نظر پارامترآ = 7.

پاسخ: چه زمانی a = 7 این معادله دارای سه ریشه متفاوت است.

2.3. حل معادلات.

"به یاد داشته باشید که با حل مشکلات کوچک شما

خود را برای مقابله با مشکلات بزرگ و دشوار آماده کنید

وظایف جدید.»

آکادمیسین S.L. Sobolev

هنگام حل برخی از معادلات، می توانید و باید تدبیر و شوخ طبعی نشان دهید و از تکنیک های خاص استفاده کنید. تسلط بر انواع تکنیک های تبدیل و توانایی انجام استدلال منطقی از اهمیت زیادی در ریاضیات برخوردار است. یکی از این ترفندها جمع و تفریق تعدادی عبارت یا عددی است که به خوبی انتخاب شده است. البته خود واقعیت بیان شده برای همه شناخته شده است - مشکل اصلی دیدن در یک پیکربندی خاص آن تبدیل معادلات است که برای اعمال آن راحت و مصلحت است.

با استفاده از یک معادله جبری ساده، یک تکنیک غیر استاندارد برای حل معادلات را نشان خواهیم داد.

مسئله 5. معادله را حل کنید

=
.

راه حل. بیایید هر دو طرف این معادله را در 5 ضرب کرده و آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم

= 0 ; ایکس 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 یا
= 0

اجازه دهید معادلات حاصل را با استفاده از روش ضرایب نامشخص حل کنیم

ایکس 4 - ایکس 3 –7 ایکس – 3 = (ایکس 2 + آه + ب )(ایکس 2 + cx + د ) = 0

ایکس 4 - ایکس 3 –7 ایکس – 3 = ایکس 4 + (a + c ) ایکس 3 + (ب + آ ج + د ) ایکس 2 + (آگهی + قبل از میلاد مسیح ) x+ + bd

معادل سازی ضرایب در ایکس 3 , ایکس 2 , ایکسو شرایط رایگان، سیستم را دریافت می کنیم

a + c = -1

ب + آ ج + د = 0

آگهی + قبل از میلاد مسیح = -7

bd = -3، از جایی که پیدا می کنیم:آ = -2 ; ب = - 1 ;

با = 1 ; د = 3 .

بنابراین ایکس 4 - ایکس 3 –7ایکس– 3 = (ایکس 2 – 2 ایکس – 1)(ایکس 2 + ایکس + 3) = 0 ,

ایکس 2 – 2 ایکس- 1 = 0 یا ایکس 2 + ایکس + 3 = 0

ایکس 1,2 =
بدون ریشه

به همین ترتیب ما داریم

ایکس 4 – 12ایکس – 5 = (ایکس 2 – 2 ایکس – 1)(ایکس 2 + 2ایکس + 5) = 0 ,

جایی که ایکس 2 + 2 ایکس + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

پاسخ: ایکس 1,2 =

مسئله 6. معادله را حل کنید

= 10.

راه حل. برای حل این معادله باید اعداد را انتخاب کنیدآو ب به طوری که شمارنده های هر دو کسر یکسان باشد. بنابراین، ما این سیستم را داریم:

= 0 , ایکس 0; -1 ; -

= - 10

بنابراین وظیفه یافتن اعداد استآو ب , که برای آن برابری برقرار است

(یک + 6) ایکس 2 + آه - 5 = ایکس 2 + (5 + 2 ب ) ایکس + ب

حال با توجه به قضیه تساوی چند جمله ای ها لازم است سمت راست این تساوی به همان چند جمله ای تبدیل شود که در سمت چپ است.

به عبارت دیگر، روابط باید ارضا شود

یک + 6 = 1

آ = 5 + 2 ب

– 5 = ب ، از جایی که مقادیر را پیدا می کنیمآ = - 5 ;

ب = - 5 .

با این ارزش هاآو ب برابری آ + ب = - 10 نیز منصفانه است.

= 0 , ایکس 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(ایکس 2 – 5ایکس– 5)(ایکس 2 + 3ایکس + 1) = 0 ,

ایکس 2 – 5ایکس– 5 = 0 یا ایکس 2 + 3ایکس + 1 = 0 ,

ایکس 1,2 =
, ایکس 3,4 =

پاسخ: ایکس 1,2 =
, ایکس 3,4 =

مسئله 7. معادله را حل کنید

= 4

راه حل. این معادله پیچیده تر از معادلات قبلی است و بنابراین آن را به این صورت گروه بندی می کنیم: ایکس 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

از شرط تساوی دو چند جمله ای

اوه 2 + (یک + 6) ایکس + 12 = ایکس 2 + (ب + 11) ایکس – 3 ب ,

ما یک سیستم معادلات را برای ضرایب مجهول به دست آورده و حل می کنیمآو ب :

آ = 1

یک + 6 = ب + 11

12 = – 3 ب ، جایی که a = 1 , ب = - 4 .

چند جمله ای ها - 3 - 6ایکس + cx 2 + 8 cxو ایکس 2 + 21 + 12 د – dx فقط زمانی که به طور یکسان با یکدیگر برابر هستند

با = 1

8 با - 6 = - د

3 = 21 + 12 د , با = 1 , د = - 2 .

با ارزش هاa = 1 , ب = - 4 , با = 1 , د = - 2

برابری
= - 4 صحیح است.

در نتیجه، این معادله به شکل زیر است:

= 0 یا
= 0 یا
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

از مثال های در نظر گرفته شده مشخص می شود که چگونه استفاده ماهرانه از روش ضرایب نامشخص،

به ساده کردن حل یک معادله نسبتاً پیچیده و غیر معمول کمک می کند.

2.4. معادلات تابعی

«بالاترین هدف ریاضیات...

یافتن نظم پنهان در است

هرج و مرج که ما را احاطه کرده است"

N. Viner

معادلات تابعی یک کلاس بسیار کلی از معادلات هستند که در آنها تابع مجهول یک تابع معین است. معادله تابعی به معنای محدود کلمه معادلاتی است که در آن توابع مورد نظر با توابع شناخته شده یک یا چند متغیر با استفاده از عملیات تشکیل یک تابع پیچیده مرتبط هستند. یک معادله تابعی همچنین می تواند به عنوان بیانی از ویژگی مشخص کننده یک کلاس خاص از توابع در نظر گرفته شود

[به عنوان مثال، معادله تابعی f ( ایکس ) = f (- ایکس ) کلاس توابع زوج، معادله تابعی را مشخص می کندf (ایکس + 1) = f (ایکس ) - کلاس توابع دارای دوره 1 و غیره.].

یکی از ساده ترین معادلات تابعی معادله استf (ایکس + y ) = f (ایکس ) + f (y ). جواب های پیوسته این معادله تابعی شکل دارند

f (ایکس ) = سیایکس . اما در کلاس توابع ناپیوسته این معادله تابعی راه حل های دیگری نیز دارد. با معادله تابعی در نظر گرفته شده مرتبط هستند

f (ایکس + y ) = f (ایکس ) · f (y ), f (ایکس y ) = f (ایکس ) + f (y ), f (ایکس y ) = f (ایکس )· f (y ),

راه حل های پیوسته که به ترتیب دارای شکل هستند

ه cx ، بالوگاریتمایکس , ایکس α (ایکس > 0).

بنابراین، از این معادلات تابعی می توان برای تعریف توابع نمایی، لگاریتمی و توان استفاده کرد.

پرکاربردترین معادلات در توابع پیچیده هستند که توابع مورد نیاز توابع خارجی هستند. کاربردهای نظری و عملی

دقیقاً همین معادلات بود که ریاضیدانان برجسته را بر آن داشت تا آنها را مطالعه کنند.

مثلا، درهم ترازی

f 2 (ایکس) = f (ایکس - y)· f (ایکس + y)

N.I.Lobachevskyهنگام تعیین زاویه موازی در هندسه من استفاده می شود.

در سال های اخیر، مسائل مربوط به حل معادلات تابعی اغلب در المپیادهای ریاضی ارائه می شود. راه حل آنها به دانشی فراتر از محدوده برنامه درسی ریاضیات در مدارس متوسطه نیاز ندارد. با این حال، حل معادلات تابعی اغلب باعث مشکلات خاصی می شود.

یکی از راه های حل معادلات تابعی، روش ضرایب نامعین است. زمانی می توان از آن استفاده کرد که شکل کلی تابع مورد نظر را بتوان با شکل ظاهری معادله تعیین کرد. این، اول از همه، در مورد مواردی صدق می کند که راه حل های معادلات را باید در میان توابع گویا اعداد صحیح یا کسری جستجو کرد.

اجازه دهید ماهیت این تکنیک را با حل مسائل زیر بیان کنیم.

وظیفه 8. عملکردf (ایکس ) برای همه x واقعی تعریف شده و برای همه راضی استایکس آر وضعیت

3 f(ایکس) - 2 f(1- ایکس) = ایکس 2 .

پیدا کردنf (ایکس ).

راه حل. از آنجایی که در سمت چپ این معادله بر روی متغیر مستقل x و مقادیر تابعf فقط عملیات خطی انجام می شود و سمت راست معادله یک تابع درجه دوم است، پس طبیعی است که فرض کنیم تابع مورد نظر نیز درجه دوم است:

f (ایکس) = تبر 2 + bx + ج ، جایی کهآ, ب, ج - ضرایبی که باید تعیین شوند، یعنی ضرایب نامشخص.

با جایگزینی تابع به معادله، به هویت می رسیم:

3(تبر 2 + bx+c) – 2(آ(1 – ایکس) 2 + ب(1 – ایکس) + ج) = ایکس 2 .

تبر 2 + (5 ب + 4 آ) ایکس + (ج – 2 آ – 2 ب) = ایکس 2 .

دو چند جمله ای اگر مساوی باشند یکسان خواهند بود

ضرایب برای توان های یکسان متغیر:

آ = 1

5ب + 4آ = 0

ج– 2 آ – 2 ب = 0.

از این سیستم ضرایب را پیدا می کنیم

آ = 1 , ب = - ، ج = , همچنینراضی می کندبرابری

3 f (ایکس ) - 2 f (1- ایکس ) = ایکس 2 روی مجموعه همه اعداد واقعی در عین حال چنین وجود داردایکس 0 وظیفه 9. عملکردy =f(ایکس) برای همه x تعریف شده، پیوسته است و شرط را برآورده می کندf (f (ایکس)) – f(ایکس) = 1 + 2 ایکس . دو تابع از این قبیل را پیدا کنید.

راه حل. دو عمل بر روی تابع مورد نظر انجام می شود - عملیات ترکیب یک تابع پیچیده و

منها کردن. با توجه به اینکه سمت راست معادله یک تابع خطی است، طبیعی است که تابع مورد نظر را نیز خطی فرض کنیم:f(ایکس) = آه +ب ، جایی کهآ وب - ضرایب نامشخص جایگزینی این تابع درf (f ( (ایکس ) = - ایکس - 1 ;

f 2 (ایکس ) = 2 ایکس+ که راه حل های معادله تابعی هستندf (f (ایکس)) – f(ایکس) = 1 + 2 ایکس .

نتیجه.

در خاتمه، لازم به ذکر است که این کار مطمئناً به مطالعه بیشتر روشی بدیع و مؤثر برای حل انواع مسائل ریاضی کمک خواهد کرد، که مسائلی با دشواری فزاینده هستند و نیاز به دانش عمیق درس ریاضی مدرسه و منطق بالا دارند. هر کسی که بخواهد به طور مستقل دانش خود را در ریاضیات عمیق تر کند، این کار حاوی مطالبی برای تأمل و کارهای جالب است که حل آنها سود و رضایت را به همراه خواهد داشت.

این کار در چارچوب برنامه درسی موجود مدرسه و به شکلی که برای درک مؤثر در دسترس باشد، روش ضرایب نامشخص را تعیین می کند که به تعمیق دوره مدرسه در ریاضیات کمک می کند.

البته تمام احتمالات روش ضرایب نامعین را نمی توان در یک اثر نشان داد. در واقع این روش همچنان نیازمند مطالعه و تحقیق بیشتر است.

فهرست ادبیات استفاده شده

Glazer G.I.. تاریخچه ریاضیات در مدرسه.-M.: آموزش و پرورش، 1983.

گومونوف اس.ا. معادلات تابعی در یک دوره ریاضیات مدرسه // ریاضیات در مدرسه. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. کتابچه راهنمای ریاضیات - M.: Nauka، 1972.

Kurosh A.G معادلات جبری درجات دلخواه - M.: Nauka، 1983.

لیختارنیکوف L.M.. مقدمه ای ابتدایی بر معادلات تابعی. - سنت پترزبورگ. : لان، 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. فرهنگ لغت توضیحی اصطلاحات ریاضی.-M.: آموزش و پرورش، 1971

Modenov V.P.. کتابچه راهنمای ریاضیات. قسمت 1.-M.: دانشگاه دولتی مسکو، 1977.

Modenov V.P.. مسائل مربوط به پارامترها - M.: امتحان، 2006.

Potapov M.K.، Aleksandrov V.V.، Pasichenko P.I.. جبر و تجزیه و تحلیل توابع ابتدایی. - M.: Nauka، 1980.

Khaliullin A.A.. می توانید آن را راحت تر حل کنید // ریاضیات در مدرسه. – 2003 . - №8 .

خلیولین.

4. چند جمله ای 2 را بسط دهیدایکس 4 – 5ایکس 3 + 9ایکس 2 – 5ایکس+ 3 برای ضرایب با ضرایب صحیح.

5. به چه ارزشی آ ایکس 3 + 6ایکس 2 + اوه+ 12 در هر ایکس+ 4 ?

6. در چه مقدار از پارامترآ معادلهایکس 3 +5 ایکس 2 + + اوه + ب = 0 با ضرایب صحیح دارای دو ریشه متفاوت است که یکی از آنها 1 است ?

7. از جمله ریشه های چند جمله ای ایکس 4 + ایکس 3 – 18ایکس 2 + اوه + ب با ضرایب صحیح سه عدد صحیح برابر وجود دارد. مقدار را پیدا کنید ب .

8. بزرگترین مقدار صحیح پارامتر را پیدا کنید آ،که در آن معادله ایکس 3 – 8ایکس 2 + آه +ب = 0 با ضرایب صحیح دارای سه ریشه مختلف است که یکی از آنها برابر با 2 است.

9. در چه مقادیری آو ب تقسیم بدون باقیمانده انجام می شود ایکس 4 + 3ایکس 3 – 2ایکس 2 + اوه + ب بر ایکس 2 – 3ایکس + 2 ?

10. چند جمله ای های عاملی:

آ)ایکس 4 + 2 ایکس 2 – ایکس + 2 V)ایکس 4 – 4ایکس 3 +9ایکس 2 –8ایکس + 5 د)ایکس 4 + 12ایکس – 5

ب)ایکس 4 + 3ایکس 2 + 2ایکس + 3 ز)ایکس 4 – 3ایکس –2 ه)ایکس 4 – 7ایکس 2 + 1 .

11. حل معادلات:

آ)
= 2 = 2 f (1 – ایکس ) = ایکس 2 .

پیدا کردن f (ایکس) .

13. عملکرد در= f (ایکس) جلوی همه ایکستعریف شده، مستمر است و شرایط را برآورده می کند f ( f (ایکس)) = f (ایکس) + ایکس.دو تابع از این قبیل را پیدا کنید.

ابتدا، اجازه دهید به نظریه نگاه کنیم، سپس چند مثال را برای تقویت ماده در مورد بسط یک تابع منطقی کسری به مجموع کسرهای ساده حل می کنیم. بیایید با جزئیات نگاه کنیم روش ضرایب نامشخصو روش مقدار جزئیو همچنین ترکیب آنها.

ساده ترین کسرها اغلب نامیده می شوند کسرهای ابتدایی.

موارد زیر متمایز می شوند: انواع کسرهای ساده:

که در آن A، M، N، a، p، q اعداد هستند و ممیز مخرج در کسرهای 3) و 4) کمتر از صفر است.

آنها را به ترتیب کسری از نوع اول، دوم، سوم و چهارم می نامند.

چرا حتی کسرها را به ساده ترین شکل خود تجزیه می کنیم؟

بیایید یک قیاس ریاضی ارائه دهیم. اغلب باید نوع بیان را ساده کنید تا بتوانید برخی اقدامات را با آن انجام دهید. بنابراین، نمایش یک تابع گویا کسری به عنوان مجموع کسرهای ساده تقریباً یکسان است. برای گسترش توابع به سری های قدرت، سری Laurent و البته برای یافتن انتگرال ها استفاده می شود.

مثلاً نیاز به گرفتن دارد انتگرال یک تابع گویا کسری. پس از تجزیه انتگرال به کسرهای ساده، همه چیز به انتگرال های نسبتاً ساده تبدیل می شود

اما در مورد انتگرال ها در بخش دیگری.

مثال.

کسری را به ساده ترین شکل آن تقسیم کنید.

راه حل.

به طور کلی، نسبت چندجمله ای ها در صورتی به کسرهای ساده تجزیه می شود که درجه چندجمله ای عددی کمتر از درجه چند جمله ای در مخرج باشد. در غیر این صورت، ابتدا چند جمله ای صورت را بر چند جمله ای مخرج تقسیم کنید و تنها پس از آن بسط تابع گویا کسری صحیح را انجام دهید.

بیایید تقسیم را با یک ستون (گوشه) انجام دهیم:

بنابراین، کسر اصلی به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، ما به کسرهای ساده گسترش خواهیم داد

الگوریتم روش ضرایب نامشخص.

اولا، مخرج را فاکتور می کنیم.

در مثال ما، همه چیز ساده است - ما x را خارج از براکت قرار می دهیم.


دوما، کسری که باید بسط داده شود به صورت مجموع کسرهای ساده نشان داده می شود ضرایب نامشخص.

در اینجا ارزش آن را دارد که انواع عباراتی را که ممکن است در مخرج خود داشته باشید در نظر بگیرید.

تئوری کافی است، در عمل همه چیز واضح تر است.

زمان بازگشت به مثال است. کسر به مجموع کسرهای ساده از نوع اول و سوم با ضرایب نامشخص A، B و C تجزیه می شود.


سوم، مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص را به مخرج مشترک می آوریم و عبارات موجود در صورت را با توان های یکسان x گروه بندی می کنیم.



یعنی به برابری رسیدیم:


برای x غیر صفر، این برابری به برابری دو چند جمله ای کاهش می یابد


و دو چند جمله ای مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب توان های یکسان منطبق باشند.

چهارم، ضرایب را برای توان های یکسان x برابر می کنیم.

در این مورد، ما یک سیستم معادلات جبری خطی با ضرایب نامشخص به عنوان مجهول به دست می آوریم:


پنجمین، سیستم معادلات حاصل را به هر شکلی حل می کنیم (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید) که دوست دارید، ضرایب نامشخص را پیدا می کنیم.


در رتبه ششم، پاسخ را یادداشت کنید.

لطفا، تنبل نباشید، پاسخ خود را با آوردن بسط حاصل به مخرج مشترک بررسی کنید.

روش ضریب نامشخصیک روش جهانی برای تجزیه کسرها به کسرهای ساده تر است.

استفاده از روش مقدار جزئی بسیار راحت است اگر مخرج حاصل ضرب عوامل خطی باشد، یعنی شکلی شبیه به

برای نشان دادن مزایای این روش به مثالی نگاه می کنیم.

مثال.

کسری را بسط دهید به ساده ترین.

راه حل.

از آنجایی که درجه چند جمله ای در صورت کمتر از درجه چند جمله ای در مخرج است، لازم نیست تقسیم کنیم. بیایید به فاکتورگیری مخرج بپردازیم.

ابتدا x را از پرانتز خارج می کنیم.

ما ریشه های یک مثلث درجه دوم را پیدا می کنیم (مثلاً با استفاده از قضیه ویتا):

بنابراین، مثلث درجه دوم را می توان به صورت نوشتاری نوشت

یعنی مخرج شکل خواهد گرفت

با مخرج معین، کسر اصلی به مجموع سه کسر ساده از نوع اول با ضرایب نامشخص تجزیه می شود:

ما مجموع حاصل را به مخرج مشترک می آوریم ، اما پرانتزها را در صورتگر باز نمی کنیم و موارد مشابه را برای A ، B و C نمی دهیم (در این مرحله دقیقاً تفاوت با روش ضرایب نامشخص است):

بنابراین به برابری رسیدیم:

و اکنون، برای یافتن ضرایب نامشخص، شروع به جایگزینی "مقادیر جزئی" در برابری حاصل می کنیم، که در آن مخرج به صفر می رسد، یعنی x=0، x=2 و x=3 برای مثال ما.

در x=0 داریم:

در x=2 داریم:

در x=3 داریم:

پاسخ:

همانطور که می بینید، تفاوت بین روش ضرایب نامشخص و روش مقادیر جزئی فقط در روش یافتن مجهولات است. این روش ها را می توان برای ساده کردن محاسبات ترکیب کرد.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

یک عبارت منطقی را به صورت کسری بسط دهید به کسرهای ساده

راه حل.

از آنجایی که درجه چند جمله‌ای کسر کمتر از درجه چند جمله‌ای مخرج است و مخرج قبلاً فاکتور گرفته شده است، عبارت اصلی به صورت مجموع کسرهای ساده به شکل زیر ارائه می‌شود:

بیایید آن را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

بیایید اعداد را برابر کنیم.

بدیهی است که صفرهای مخرج مقادیر x=1، x=-1 و x=3 هستند. ما از روش مقدار جزئی استفاده می کنیم.

در x=1 داریم:

در x=-1 داریم:

در x=3 داریم:

باقی مانده است که مجهولات و

برای انجام این کار، مقادیر یافت شده را با برابری اعداد جایگزین می کنیم:

پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه با توان های یکسان x، به برابری دو چند جمله ای می رسیم:

ما ضرایب متناظر را در همان درجات برابر می کنیم و بدین ترتیب سیستمی از معادلات را برای یافتن مجهولات باقیمانده و . سیستمی متشکل از پنج معادله با دو مجهول بدست می آوریم:

از معادله اول فوراً از معادله دوم پیدا می کنیم

در نتیجه، تجزیه را به کسرهای ساده دریافت می کنیم:

توجه داشته باشید.

اگر بلافاصله تصمیم می گرفتیم روش ضرایب نامشخص را اعمال کنیم، باید یک سیستم پنج معادله جبری خطی با پنج مجهول را حل کنیم. استفاده از روش مقدار جزئی این امکان را فراهم کرد که به راحتی مقادیر سه از پنج مجهول را پیدا کنید، که راه حل بعدی را بسیار ساده کرد.

تابع گویا کسری از شکل است که صورت و مخرج آن چند جمله‌ای یا حاصل چند جمله‌ای است.

مثال 1. گام 2.

.

ضرایب نامشخص را در چندجمله‌ای ضرب می‌کنیم که در این کسر منفرد نیستند، اما در سایر کسرهای حاصل هستند:

براکت ها را باز می کنیم و عدد انتگرال اصلی را با عبارت حاصل برابر می کنیم:

در هر دو طرف تساوی، ما به دنبال عبارت هایی با توان های یکسان x می گردیم و از آنها یک سیستم معادلات می سازیم:

.

تمام x ها را لغو می کنیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:

.

بنابراین، بسط نهایی انتگرال به مجموع کسرهای ساده به صورت زیر است:

.

مثال 2. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

اکنون ما شروع به جستجوی ضرایب نامشخص می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:

اکنون باید یک سیستم معادلات ایجاد و حل کنید. برای انجام این کار، ضرایب متغیر را به درجه متناظر در صورت‌دهنده عبارت اصلی تابع و ضرایب مشابه را در عبارت به‌دست‌آمده در مرحله قبل برابر می‌کنیم:

ما سیستم حاصل را حل می کنیم:

بنابراین، از اینجا

.

مثال 3. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

ما شروع به جستجوی ضرایب نامطمئن می کنیم. برای انجام این کار، صورت‌دهنده کسر اصلی در عبارت تابع را با عدد عبارتی که پس از کاهش مجموع کسرها به یک مخرج مشترک به دست می‌آید، برابر می‌کنیم:

مانند مثال های قبلی، سیستمی از معادلات را می سازیم:

x ها را کاهش می دهیم و یک سیستم معادل از معادلات بدست می آوریم:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 4. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

قبلاً از مثال‌های قبلی می‌دانیم که چگونه می‌توان صورت کسر اصلی را با عبارتی که پس از تجزیه کسر به مجموع کسرهای ساده و رساندن این مجموع به یک مخرج مشترک به‌دست می‌آید، برابر کرد. بنابراین، فقط برای اهداف کنترل، ما سیستم معادلات حاصل را ارائه می کنیم:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

مثال 5. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

ما به طور مستقل این مجموع را به یک مخرج مشترک تقلیل می دهیم و صورت این عبارت را با عدد کسر اصلی برابر می کنیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

.

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 6. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

ما با این مقدار همان اعمال را مانند نمونه های قبلی انجام می دهیم. نتیجه باید سیستم معادلات زیر باشد:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

.

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 7. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

پس از انجام اقدامات معین با مقدار حاصل، سیستم معادلات زیر باید به دست آید:

با حل سیستم، مقادیر زیر را از ضرایب نامشخص به دست می آوریم:

ما تجزیه نهایی انتگرال را به مجموع کسرهای ساده بدست می آوریم:

.

مثال 8. گام 2.در مرحله 1، ما تجزیه زیر را از کسر اصلی به مجموع کسرهای ساده با ضرایب نامشخص در اعداد بدست آوردیم:

.

بیایید تغییراتی را در اقداماتی که قبلاً به حالت خودکار آورده شده اند، ایجاد کنیم تا یک سیستم معادلات به دست آوریم. یک تکنیک مصنوعی وجود دارد که در برخی موارد به جلوگیری از محاسبات غیر ضروری کمک می کند. با آوردن مجموع کسرها به یک مخرج مشترک، به دست می آوریم و با برابر کردن صورت این عبارت به صورت کسر اصلی، به دست می آوریم.