ما به اساسی ترین آنها نگاه کردیم توابع مثلثاتی(فریب نخورید، علاوه بر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت، تعداد زیادی توابع دیگر نیز وجود دارد، اما در ادامه بیشتر در مورد آنها توضیح خواهیم داد)، اما در حال حاضر اجازه دهید به برخی از ویژگی های اساسی توابع که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته اند نگاهی بیندازیم.

توابع مثلثاتی آرگومان عددی

هر عدد واقعی t گرفته شود، می توان آن را با یک عدد sin(t) تعریف شده منحصر به فرد مرتبط کرد. درست است، قانون تطبیق بسیار پیچیده است و شامل موارد زیر است.

برای پیدا کردن مقدار sin(t) از عدد t به موارد زیر نیاز دارید:

1. دایره عددی را روی صفحه مختصات قرار دهید تا مرکز دایره با مبدأ مختصات منطبق باشد و نقطه شروع A دایره در نقطه (1; 0) قرار گیرد.
2. یک نقطه از دایره مربوط به عدد t را پیدا کنید.
3. ترتیب این نقطه را پیدا کنید.
4. این دستور همان sin(t) مطلوب است.

در واقع، ما در مورد تابع s = sin(t) صحبت می کنیم که t هر عدد واقعی است. ما می توانیم مقداری از این تابع را محاسبه کنیم (به عنوان مثال sin(0) = 0، \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)و غیره)، برخی از خواص آن را می دانیم.

به همین ترتیب، می‌توانیم در نظر بگیریم که قبلاً ایده‌هایی درباره سه تابع دیگر دریافت کرده‌ایم: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) همه این توابع را توابع مثلثاتی آرگومان عددی t می‌نامند. .

رابطه بین توابع مثلثاتی

همانطور که امیدوارم بتوانید حدس بزنید، همه توابع مثلثاتی به هم مرتبط هستند و حتی بدون دانستن معنای یکی، می توان آن را از طریق دیگری پیدا کرد.

به عنوان مثال، مهمترین فرمول در تمام مثلثات است هویت مثلثاتی اولیه:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

همانطور که می بینید، با دانستن مقدار سینوس، می توانید مقدار کسینوس را پیدا کنید و همچنین بالعکس. همچنین فرمول های بسیار رایجی که سینوس و کسینوس را با مماس و کوتانژانت متصل می کند:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

از دو فرمول آخر می توان هویت مثلثاتی دیگری بدست آورد که این بار مماس و کوتانژانت را به هم متصل می کند:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

حال بیایید ببینیم این فرمول ها در عمل چگونه کار می کنند.

مثال 1. عبارت را ساده کنید: a) \(1+ \tan^2 \; t \)، b) \(1+ \cot^2 \; t \)

الف) اول از همه، بیایید مماس را با حفظ مربع بنویسیم:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

حالا بیایید همه چیز را تحت یک مخرج مشترک قرار دهیم و دریافت می کنیم:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

و در نهایت، همانطور که می بینیم، شمارنده را می توان با هویت مثلثاتی اصلی به یک کاهش داد، در نتیجه به دست می آید: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

ب) با کوتانژانت همه اعمال مشابه را انجام می دهیم، فقط مخرج دیگر کسینوس نخواهد بود، بلکه سینوس خواهد بود و پاسخ به این صورت خواهد بود:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

پس از تکمیل این کار، ما دو فرمول بسیار مهم دیگر را استخراج کردیم که عملکردهای ما را به هم متصل می کند، که همچنین باید مانند پشت دست خود بدانیم:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

شما باید تمام فرمول های ارائه شده توسط قلب را بدانید، در غیر این صورت مطالعه بیشتر مثلثات بدون آنها به سادگی غیرممکن است. در آینده فرمول های بیشتری وجود خواهد داشت و تعداد آنها زیاد خواهد بود و من به شما اطمینان می دهم که قطعاً همه آنها را برای مدت طولانی به یاد خواهید آورد یا شاید آنها را به خاطر نخواهید آورد، اما همه باید این شش چیز را بدانند!

تعریف 1:تابع عددی که با فرمول y=sin x داده می شود سینوس نامیده می شود.

این منحنی نامیده می شود - موج سینوسی.

ویژگی های تابع y=sin x

2. محدوده مقدار تابع: E(y)=[-1; 1]

3. تابع برابری:

y=sin x – فرد،.

4. تناوب: sin(x+2πn)=sin x که n یک عدد صحیح است.

این تابع پس از یک دوره مشخص همان مقادیر را به خود می گیرد. این ویژگی یک تابع نامیده می شود فرکانس.بازه دوره تابع است.

برای تابع y=sin x دوره 2π است.

تابع y=sin x تناوبی است، با دوره Т=2πn، n یک عدد صحیح است.

کوچکترین دوره مثبت T=2π است.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت: sin(x+2πn)=sin x، که در آن n یک عدد صحیح است.

تعریف 2:تابع عددی داده شده با فرمول y=cosx کسینوس نامیده می شود.

ویژگی های تابع y=cos x

1. دامنه تابع: D(y)=R

2. ناحیه مقدار تابع: E(y)=[-1;1]

3. تابع برابری:

y=cos x – زوج.

4. تناوب: cos(x+2πn)=cos x که n یک عدد صحیح است.

تابع y=cos x تناوبی با دوره T=2π است.

تعریف 3:تابع عددی داده شده با فرمول y=tan x مماس نامیده می شود.

ویژگی های تابع y=tg x

1. دامنه تابع: D(y) - همه اعداد واقعی به جز π/2+πk، k – عدد صحیح. زیرا در این نقاط مماس تعریف نشده است.

3. تابع برابری:

y=tg x – فرد.

4. تناوب: tg(x+πk)=tg x، که k یک عدد صحیح است.

تابع y=tg x تناوبی با دوره π است.

تعریف 4:تابع عددی که با فرمول y=ctg x داده می شود، کوتانژانت نامیده می شود.

ویژگی های تابع y=ctg x

1. دامنه تعریف تابع: D(y) - همه اعداد حقیقی به جز πk، k یک عدد صحیح است. زیرا در این نقاط کوتانژانت تعریف نشده است.

2. محدوده تابع: E(y)=R.

درس ویدیویی "توابع مثلثاتی یک آرگومان عددی" مواد بصری را برای ارائه وضوح در هنگام توضیح موضوع در کلاس ارائه می دهد. در طول نمایش، اصل تشکیل مقدار توابع مثلثاتی از یک عدد در نظر گرفته می شود، تعدادی مثال شرح داده شده است که نحوه محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی را از یک عدد آموزش می دهد. با کمک این راهنما، توسعه مهارت در حل مسائل مربوطه و به خاطر سپردن مطالب آسان تر است. استفاده از کتابچه راهنما اثربخشی درس را افزایش می دهد و به دستیابی سریع به اهداف یادگیری کمک می کند.

در ابتدای درس عنوان موضوع نشان داده شده است. سپس وظیفه یافتن کسینوس مربوط به آرگومان عددی است. خاطرنشان می شود که این مشکل را می توان به سادگی حل کرد و این را می توان به وضوح نشان داد. صفحه نمایش یک دایره واحد را نشان می دهد که مرکز آن در مبدا است. خاطرنشان می شود که نقطه تلاقی دایره با نیم محور مثبت محور آبسیسا در نقطه A(1;0) قرار دارد. مثالی از نقطه M داده شده است که نشان دهنده آرگومان t=π/3 است. این نقطه روی دایره واحد مشخص شده است و یک عمود بر محور آبسیسا از آن پایین می آید. آبسیسا یافت شده نقطه، کسینوس cos t است. در این صورت ابسیسا نقطه x=1/2 خواهد بود. بنابراین cos t=1/2.

با جمع بندی حقایق در نظر گرفته شده، اشاره می شود که منطقی است در مورد تابع s=cos t صحبت کنیم. خاطرنشان می شود که دانش آموزان قبلاً در مورد این عملکرد اطلاعات دارند. برخی از مقادیر کسینوس محاسبه می شوند: cos 0=1، cos π/2=0، cos π/3=1/2. همچنین توابع s=sin t، s=tg t، s=ctg t به این تابع مرتبط هستند. خاطرنشان می شود که آنها یک نام مشترک برای همه دارند - توابع مثلثاتی.

روابط مهمی که در حل مسائل با توابع مثلثاتی استفاده می شود نشان داده شده است: هویت اصلی sin 2 t+ cos 2 t=1، بیان مماس و کتانژانت از طریق سینوس و کسینوس tg t=sin t/cos t، که در آن t≠π/ 2+πk برای kϵZ، ctg t= cos t/sin t، که در آن t≠πk برای kϵZ، و همچنین نسبت مماس به کتانژانت tg t·ctg t=1 که در آن t≠πk/2 برای kϵZ.

در مرحله بعد، ما پیشنهاد می‌کنیم که اثبات رابطه 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t را با t≠π/2+πk برای kεZ در نظر بگیریم. برای اثبات هویت، لازم است tg 2 t را به صورت نسبت سینوس و کسینوس نشان دهیم و سپس عبارت های سمت چپ را به مخرج مشترک 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos بیاوریم. 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. با استفاده از هویت مثلثاتی پایه، 1 را در صورتگر به دست می آوریم، یعنی عبارت نهایی 1/ cos 2 t. Q.E.D.

هویت 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t به روشی مشابه برای t≠πk برای kϵZ ثابت شده است. همانطور که در اثبات قبلی، کتانژانت با نسبت کسینوس و سینوس جایگزین می‌شود و هر دو عبارت سمت چپ به مخرج مشترک 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= کاهش می‌یابد. sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. پس از اعمال هویت مثلثاتی اولیه به صورت‌گر، 1/ sin 2 t به دست می‌آید. این عبارتی است که ما به دنبال آن هستیم.

حل نمونه هایی که دانش کسب شده در آنها به کار گرفته شده است در نظر گرفته شده است. در اولین کار باید مقادیر هزینه، tgt، ctgt را پیدا کنید، اگر سینوس عدد sint=4/5 مشخص باشد و t متعلق به بازه π/2 باشد.< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

در مرحله بعد، ما راه حل یک مسئله مشابه را در نظر می گیریم که در آن مماس tgt = -8/15 شناخته شده است، و آرگومان به مقادیر 3π/2 محدود می شود.

برای یافتن مقدار سینوس از تعریف مماس tgt= sint/cost استفاده می کنیم. از آن ما sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17 را پیدا می کنیم. با دانستن اینکه کوتانژانت تابع معکوس مماس است، ctgt=1/(-8/15)=-15/8 را پیدا می کنیم.

درس ویدیویی "توابع مثلثاتی یک استدلال عددی" برای افزایش اثربخشی درس ریاضی در مدرسه استفاده می شود. در طول آموزش از راه دور، این ماده می تواند به عنوان یک کمک بصری برای توسعه مهارت در حل مسائلی که شامل توابع مثلثاتی یک عدد است، استفاده شود. برای کسب این مهارت ها، ممکن است به دانش آموز توصیه شود که به طور مستقل مطالب بصری را بررسی کند.

رمزگشایی متن:

موضوع درس "توابع مثلثاتی یک آرگومان عددی" است.

هر عدد واقعی t را می توان با یک عدد cos t تعریف شده منحصر به فرد مرتبط کرد. برای انجام این کار باید موارد زیر را انجام دهید:

1) دایره عددی را روی صفحه مختصات قرار دهید تا مرکز دایره با مبدأ مختصات منطبق باشد و نقطه شروع A دایره در نقطه (1;0) قرار گیرد.

2) نقطه ای از دایره را پیدا کنید که با عدد t مطابقت دارد.

3) آبسیسه این نقطه را پیدا کنید. این هزینه تی است.

بنابراین، ما در مورد تابع s = cos t صحبت خواهیم کرد (es برابر است با کسینوس te)، که در آن t هر عدد واقعی است. ما قبلاً ایده ای از این عملکرد داشتیم:

• یاد گرفتیم مقداری را محاسبه کنیم، مثلا cos 0=1، cos=0، cos= و غیره برابر با یک نیمه و غیره).
• و از آنجایی که مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به هم مرتبط هستند، ما در مورد سه تابع دیگر ایده گرفتیم: s = sint. s= tgt; s= ctgt. (es برابر است با sine te، es برابر است با مماس te، es برابر است با cotangent te)

همه این توابع را توابع مثلثاتی آرگومان عددی t می نامند.

از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت برخی از روابط به دست می آید:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (سینوس مربع te به اضافه کسینوس مربع te برابر با یک)

2) tgt = برای t ≠ + πk، kεZ (مماس te برابر است با نسبت سینوس te به کسینوس ته با te برابر نیست با پی دو به اضافه پی کا، ka متعلق به zt است)

3) ctgt = برای t ≠ πk، kεZ (کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te زمانی که te برابر با pi کا نیست، ka متعلق به zet است).

4) tgt ∙ ctgt = 1 برای t ≠ , kϵZ (محصول مماس te توسط cotangent te برابر است با یک زمانی که te برابر با اوج ka نباشد، تقسیم بر دو، ka متعلق به zet است)

اجازه دهید دو فرمول مهم دیگر را ثابت کنیم:

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1. هزینه، tgt، ctgt را اگر sint = و پیدا کنید< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

راه حل. از رابطه اول متوجه می‌شویم که مجذور کسینوس te برابر با یک منهای سینوس مربع te است: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

این بدان معنی است که cos 2 t = 1 -() 2 = (کسینوس te برابر با نه بیست و پنجم است)، یعنی هزینه = (کسینوس te برابر با سه پنجم است) یا هزینه = - (کسینوس te برابر است با منهای سه پنجم). با شرط، آرگومان t متعلق به ربع دوم است و در آن cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

این به این معنی است که کسینوس te برابر است با منهای سه پنجم، هزینه = - .

بیایید مماس te را محاسبه کنیم:

tgt = = ׃ (-)= - ;( مماس te برابر است با نسبت سینوس ته به کسینوس ته و بنابراین چهار پنجم به منفی سه پنجم و برابر با منهای چهار سوم است)

بر این اساس، ما محاسبه می کنیم (کتانژانت عدد te. چون کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te،) ctgt = = - .

(کتانژانت te برابر با منهای سه چهارم است).

پاسخ: هزینه = - , tgt= - ; ctgt = - . (پاسخ را در حین حل پر می کنیم)

مثال 2. مشخص است که tgt = - و< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

راه حل. بیایید از این رابطه استفاده کنیم و مقدار را با این فرمول جایگزین کنیم تا به دست آوریم:

1 + (-) 2 = (یک در هر کسینوس مربع te برابر است با مجموع یک و مربع منهای هشت پانزدهم). از اینجا ما cos 2 t = را پیدا می کنیم

(کسینوس مربع te برابر با دویست و بیست و پنج و دویست و هشتاد و نهم است). این یعنی هزینه = (کسینوس te پانزدهم هفدهم است) یا

هزینه = با شرط، آرگومان t متعلق به سه ماهه چهارم است، جایی که cost>0 است. بنابراین هزینه = .(cosenus te پانزدهم هفدهم است)

بیایید ارزش آرگومان sine te را پیدا کنیم. از آنجایی که از رابطه (رابطه tgt = برای t≠ + πk، kϵZ را نشان دهید) سین te برابر است با حاصلضرب مماس te با کسینوس te، پس جایگزین کردن مقدار آرگومان te.. مماس te برابر با منهای هشت پانزدهم است. .. با شرط، و کسینوس te برابر است با حل زودتر، دریافت می کنیم

sint = tgt ∙ هزینه = (-) ∙ = -، (سینه te برابر با منهای هشت هفدهم است)

ctgt = = - . (از آنجایی که کتانژانت te متقابل مماس است، یعنی هم‌تانژانت te برابر با منهای پانزدهم هجدهم است)

تعریف. توابع مثلثاتی یک آرگومان عددی همان توابع مثلثاتی از زاویه ای برابر با رادیان هستند.

اجازه دهید این تعریف را با مثال های خاص توضیح دهیم.

مثال 1. بیایید مقدار را محاسبه کنیم. در اینجا منظور ما یک عدد غیر منطقی انتزاعی است. طبق تعریف. بنابراین، .

مثال 2. بیایید مقدار را محاسبه کنیم. در اینجا منظور ما از 1.5 یک عدد انتزاعی است. همانطور که تعریف شد (به پیوست II مراجعه کنید).

مثال 3. مقداری را که در بالا بدست می آوریم محاسبه کنید (به پیوست II مراجعه کنید).

بنابراین، در آینده، با استدلال توابع مثلثاتی، بسته به مسئله ای که حل می کنیم، یک زاویه (قوس) یا فقط یک عدد را درک خواهیم کرد. و در برخی موارد آرگومان می تواند کمیتی باشد که بُعد دیگری دارد مثلاً زمان و غیره که با زاویه نامیدن آرگومان (قوس) می توان عددی را که با آن بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، منظور کرد.