اعداد مختلط امتدادی از مجموعه اعداد حقیقی هستند که معمولاً با نشان داده می شوند. هر عدد مختلط را می توان به عنوان یک مجموع رسمی نشان داد که در آن و اعداد واقعی هستند و واحد خیالی است.
نوشتن یک عدد مختلط به شکل، شکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود.
خواص اعداد مختلط تفسیر هندسی یک عدد مختلط
اعمال بر روی اعداد مختلط به شکل جبری:
بیایید قوانینی را در نظر بگیریم که بر اساس آنها عملیات حسابی روی اعداد مختلط انجام می شود.
اگر دو عدد مختلط α = a + bi و β = c + di داده شوند، آنگاه
α + β = (a + bi) + (c + دی) = (a + ج) + (b + d)i،
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (یازده)
این از تعریف عملیات جمع و تفریق دو جفت مرتب شده اعداد حقیقی به دست می آید (به فرمول (1) و (3) مراجعه کنید). قوانین جمع و تفریق اعداد مختلط را دریافت کرده ایم: برای جمع کردن دو عدد مختلط، باید اجزای واقعی آنها و بر این اساس، قسمت های خیالی آنها را جداگانه جمع کنیم. برای تفریق عدد دیگری از یک عدد مختلط، باید به ترتیب قسمت واقعی و خیالی آنها را کم کرد.
عدد – α = – a – بی را متضاد عدد α = a + bi می گویند. مجموع این دو عدد صفر است: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
برای به دست آوردن قانون ضرب اعداد مختلط، از فرمول (6) استفاده می کنیم، یعنی این واقعیت که i2 = -1 است. با در نظر گرفتن این رابطه، (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd را می‌یابیم، یعنی.
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
این فرمول با فرمول (2) مطابقت دارد که ضرب جفت های مرتب شده اعداد حقیقی را تعیین می کند.
توجه داشته باشید که مجموع و حاصل ضرب دو عدد مزدوج مختلط اعداد حقیقی هستند. در واقع، اگر α = a + bi، = a – bi، آنگاه α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2، α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a، i.e.
α + = 2a، α = a2 + b2. (13)
هنگام تقسیم دو عدد مختلط به شکل جبری، باید انتظار داشت که ضریب نیز با عددی از همان نوع بیان شود، یعنی α/β = u + vi، که در آن u، v R. اجازه دهید قانون تقسیم اعداد مختلط را استخراج کنیم. . اجازه دهید اعداد α = a + bi، β = c + di داده شوند، و β ≠ 0، یعنی c2 + d2 ≠ 0. آخرین نابرابری به این معنی است که c و d به طور همزمان ناپدید نمی شوند (این مورد حذف می شود زمانی که c = 0 باشد. d = 0). با استفاده از فرمول (12) و دوم از برابری ها (13)، متوجه می شویم:
بنابراین، ضریب دو عدد مختلط با فرمول تعیین می شود:
مطابق با فرمول (4).
با استفاده از فرمول به دست آمده برای عدد β = c + di، می توانید عدد معکوس آن β-1 = 1/β را پیدا کنید. با فرض a = 1، b = 0 در فرمول (14)، به دست می آوریم
این فرمول معکوس یک عدد مختلط معین غیر از صفر را تعیین می کند. این عدد نیز پیچیده است.
به عنوان مثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;
عملیات اعداد مختلط به صورت جبری.
55. استدلال یک عدد مختلط. شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط (مشتق).
Arg.com.numbers. - بین جهت مثبت محور X واقعی و بردار نشان دهنده عدد داده شده.
فرمول Trigon. شماره: ،
تعریف
شکل جبری یک عدد مختلط به این صورت است که عدد مختلط \(\z\) را به شکل \(\z=x+i y\) بنویسیم، جایی که \(\x\) و \(\y\) اعداد واقعی هستند. ، \(\i\ ) - واحد خیالی ارضا کننده رابطه \(\i^(2)=-1\)
عدد \(\ x \) قسمت واقعی عدد مختلط \(\ z \) نامیده می شود و با \(\ x=\operatorname(Re) z \) نشان داده می شود.
عدد \(\y\) قسمت خیالی عدد مختلط \(\z\) نامیده می شود و با \(\y=\operatorname(Im) z\) نشان داده می شود.
مثلا:
عدد مختلط \(\ z=3-2 i \) و عدد الحاقی آن \(\ \overline(z)=3+2 i \) به صورت جبری نوشته شده است.
مقدار خیالی \(\ z=5 i \) به صورت جبری نوشته شده است.
علاوه بر این، بسته به مسئله ای که حل می کنید، می توانید یک عدد مختلط را به عدد مثلثاتی یا نمایی تبدیل کنید.
عدد \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) را به صورت جبری بنویسید، قسمت های واقعی و خیالی و همچنین عدد مزدوج آن را پیدا کنید.
با استفاده از عبارت تقسیم کسرها و قانون جمع کسرها به دست می آید:
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)
بنابراین، قسمت واقعی عدد مختلط \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) عدد \(\ x=\operatorname(Re) z= است. \frac(59) (4) \) ، قسمت خیالی عدد \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \) است.
شماره مزدوج: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
اعمال اعداد مختلط در مقایسه فرم جبری
دو عدد مختلط \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) مساوی گفته می شود اگر \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) یعنی. قسمت واقعی و خیالی آنها با هم برابر است.
مشخص کنید که دو عدد مختلط \(\ z_(1)=13+y i \) و \(\ z_(2)=x+5 i \) برای کدام x و y برابر هستند.
طبق تعریف، دو عدد مختلط در صورتی مساوی هستند که اجزای واقعی و فرضی آنها برابر باشند، یعنی. \(\x=13\)، \(\y=5\).
علاوه بر این
جمع کردن اعداد مختلط \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) با جمع کردن مستقیم قسمت های واقعی و خیالی انجام می شود:
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\چپ(x_(1)+x_(2)\راست) +i\left(y_(1)+y_(2)\راست) \)
مجموع اعداد مختلط را بیابید \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
قسمت واقعی یک عدد مختلط \(\ z_(1)=-7+5 i \) عدد \(\ x_(1)=\ نام عامل(Re) z_(1)=-7 \) است، عدد خیالی قسمت عدد \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) است. قسمت واقعی و خیالی عدد مختلط \(\ z_(2)=13-4 i \) برابر است با \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) و \( \ y_(2) به ترتیب )=\ نام عامل (Im) z_(2)=-4 \) .
بنابراین مجموع اعداد مختلط عبارتند از:
\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)
درباره جمع اعداد مختلط در مقاله ای جداگانه بیشتر بخوانید: جمع اعداد مختلط.
منها کردن
تفریق اعداد مختلط \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) با تفریق مستقیم انجام می شود. بخش واقعی و خیالی:
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\راست)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)
تفاوت اعداد مختلط را پیدا کنید \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
قسمت های واقعی و خیالی اعداد مختلط \(\ z_(1)=17-35 i \, \(\ z_(2)=15+5 i \) را بیابید:
\(\ x_(1) =\ نام عامل (Re) z_(1) = 17، x_(2) =\ نام عامل (Re) z_(2) = 15 \)
\(\ y_(1)=\نام اپراتور(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\نام اپراتور(Im) z_(2)=5 \)
بنابراین تفاوت اعداد مختلط عبارتند از:
\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) ضرب
ضرب اعداد مختلط \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) و \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) با ایجاد مستقیم انجام می شود. اعداد به شکل جبری با در نظر گرفتن ویژگی واحد خیالی \(\i^(2)=-1\):
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\راست)=\)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\راست) \)
حاصل ضرب اعداد مختلط را بیابید \(\ z_(1)=1-5 i \)
مجموعه اعداد مختلط:
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)
تقسیم \(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \)
ضریب اعداد مختلط \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) با ضرب تعیین می شود صورت و مخرج به عدد مزدوج با مخرج:
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\چپ (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\راست)\چپ (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)
برای تقسیم عدد 1 بر عدد مختلط \(\z=1+2 i\).
از آنجایی که قسمت خیالی عدد واقعی 1 صفر است، عامل این است:
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
اجازه دهید اطلاعات لازم در مورد اعداد مختلط را به خاطر بیاوریم.
عدد مختلطبیان فرم است آ + دو، جایی که آ, باعداد واقعی هستند و من- باصطلاح واحد خیالینمادی که مربع آن برابر با 1 است، یعنی من 2 = -1. عدد آتماس گرفت بخش واقعی، و شماره ب - قسمت خیالیعدد مختلط z = آ + دو. اگر ب= 0، سپس در عوض آ + 0منآنها به سادگی می نویسند آ. مشاهده می شود که اعداد واقعی هستند مورد خاصاعداد مختلط.
عملیات حسابی روی اعداد مختلط مانند اعداد حقیقی است: می توان آنها را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بر یکدیگر کرد. جمع و تفریق طبق قانون ( آ + دو) ± ( ج + دی) = (آ ± ج) + (ب ± د)منو ضرب از قانون پیروی می کند ( آ + دو) · ( ج + دی) = (ac – bd) + (آگهی + قبل از میلاد مسیح)من(در اینجا از آن استفاده شده است من 2 = -1). شماره = آ – دوتماس گرفت مزدوج پیچیدهبه z = آ + دو. برابری z · = آ 2 + ب 2 به شما امکان می دهد نحوه تقسیم یک عدد مختلط را بر یک عدد مختلط دیگر (غیر صفر) درک کنید:
(مثلا، 
.)
اعداد مختلط یک نمایش هندسی راحت و بصری دارند: عدد z = آ + دورا می توان با یک بردار با مختصات ( آ; ب) در صفحه دکارتی (یا، که تقریباً همان چیزی است، یک نقطه - انتهای یک بردار با این مختصات). در این حالت، مجموع دو عدد مختلط به عنوان مجموع بردارهای متناظر (که با استفاده از قانون متوازی الاضلاع یافت می شوند) نشان داده می شود. طبق قضیه فیثاغورث، طول بردار با مختصات ( آ; ب) برابر است با . این مقدار نامیده می شود مدولعدد مختلط z = آ + دوو با | نشان داده می شود z|. زاویه ای که این بردار با جهت مثبت محور x می سازد (در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود) نامیده می شود. بحث و جدلعدد مختلط zو با Arg نشان داده می شود z. آرگومان منحصراً تعریف نشده است، بلکه فقط تا جمع مضرب 2 است π
رادیان (یا 360 درجه، اگر بر حسب درجه شمارش شود) - پس از همه، واضح است که چرخش با چنین زاویه ای به دور مبدا، بردار را تغییر نمی دهد. اما اگر بردار طول rیک زاویه تشکیل می دهد φ
با جهت مثبت محور x، پس مختصات آن برابر است با ( r cos φ
; rگناه φ
). از اینجا معلوم می شود نماد مثلثاتیعدد مختلط: z = |z| · (cos(Arg z) + منگناه (Arg z)). نوشتن اعداد مختلط به این شکل اغلب راحت است، زیرا محاسبات را بسیار ساده می کند. ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی بسیار ساده است: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + ارگ z 2) + منگناه (Arg z 1 + ارگ z 2)) (هنگام ضرب دو عدد مختلط، ماژول های آنها ضرب و آرگومان های آنها اضافه می شود). از اینجا دنبال کنید فرمول های مویور: z n = |z|n· ( n· (ارگ z)) + منگناه ( n· (ارگ z))). با استفاده از این فرمول ها، یادگیری نحوه استخراج ریشه های هر درجه ای از اعداد مختلط آسان است. ریشه درجه نهماز شماره z- این یک عدد مختلط است w، چی w n = z. واضح است که 
، و کجا کمی تواند هر مقداری را از مجموعه بگیرد (0، 1، ...، n- 1). این بدان معنی است که همیشه دقیقا وجود دارد nریشه ها nدرجه ام یک عدد مختلط (در صفحه آنها در راس منظم قرار دارند n-گون).
یک معادله درجه دوم را در نظر بگیرید.
بیایید ریشه های آن را مشخص کنیم.
هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن -1 باشد. اما اگر عملگر را با یک فرمول تعریف کنیم منبه عنوان یک واحد خیالی، سپس جواب این معادله را می توان به صورت 
. که در آن 
و 
- اعداد مختلط که -1 جزء واقعی، 2 یا در حالت دوم -2 قسمت خیالی است. قسمت خیالی نیز یک عدد واقعی است. قسمت خیالی ضرب در واحد خیالی به معنای از قبل است عدد خیالی.
به طور کلی، یک عدد مختلط شکل دارد
z = ایکس + iy ,
جایی که x، y– اعداد حقیقی – واحد خیالی. در تعدادی از علوم کاربردی، به عنوان مثال، در مهندسی برق، الکترونیک، تئوری سیگنال، واحد خیالی با نشان داده می شود. j. اعداد واقعی x = Re(z)و y =من هستم(ز)نامیده می شوند بخش های واقعی و خیالیشماره z.عبارت نامیده می شود فرم جبرینوشتن یک عدد مختلط
هر عدد واقعی یک مورد خاص از یک عدد مختلط در شکل است 
. یک عدد خیالی نیز یک مورد خاص از یک عدد مختلط است 
.
تعریف مجموعه اعداد مختلط ج
این عبارت به شرح زیر است: مجموعه با، متشکل از عناصر به گونه ای است که ایکسو yمتعلق به مجموعه اعداد واقعی است آرو یک واحد خیالی است. توجه داشته باشید که و غیره
دو عدد مختلط 
و 
مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. و .
اعداد و توابع مختلط به طور گسترده در علم و فناوری، به ویژه در مکانیک، تجزیه و تحلیل و محاسبه مدارهای جریان متناوب، الکترونیک آنالوگ، تئوری و پردازش سیگنال، تئوری استفاده می‌شوند. کنترل خودکارو سایر علوم کاربردی
- محاسبات اعداد مختلط
جمع دو عدد مختلط شامل جمع کردن و واقعی آنهاست قسمت های خیالی، یعنی
بر این اساس، تفاوت دو عدد مختلط
عدد مختلط 
تماس گرفت به طور جامع مزدوجعدد z =x+iy
اعداد مزدوج مختلط z و z * در علائم قسمت خیالی با هم تفاوت دارند. بدیهی است که
.
هر برابری بین عبارات پیچیدهمعتبر باقی می ماند اگر در این برابری در همه جا منجایگزین توسط -
من، یعنی برو به برابری اعداد مزدوج. شماره منو –
مناز نظر جبری غیر قابل تشخیص هستند، زیرا 
.
حاصل ضرب (ضرب) دو عدد مختلط را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
تقسیم دو عدد مختلط:
مثال:
- هواپیمای پیچیده
یک عدد مختلط را می توان به صورت گرافیکی در یک سیستم مختصات مستطیلی نشان داد. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی را در صفحه تعریف کنیم (x، y).
روی محور گاو نرما قطعات واقعی را قرار خواهیم داد ایکس، نامیده می شود محور واقعی (واقعی).، روی محور اوه- قسمت های خیالی yاعداد مختلط. نامیده می شود محور خیالی. در این حالت هر عدد مختلط مربوط به نقطه خاصی از صفحه است و چنین صفحه ای نامیده می شود هواپیمای پیچیده. نقطه آصفحه مختلط با بردار مطابقت خواهد داشت OA.
عدد ایکستماس گرفت اوکیساعدد مختلط، عدد y – ترتیب.
یک جفت اعداد مزدوج مختلط با نقاطی که به طور متقارن حول محور واقعی قرار دارند نشان داده می شود.
 |
اگر در هواپیما تنظیم کردیم سیستم مختصات قطبی، سپس هر عدد مختلط zتوسط مختصات قطبی تعیین می شود. که در آن مدولشماره 
شعاع قطبی نقطه و زاویه است 
- زاویه قطبی یا آرگومان عدد مختلط z.
مدول یک عدد مختلط 
همیشه غیر منفی آرگومان یک عدد مختلط به طور یکتا تعیین نمی شود. مقدار اصلی آرگومان باید شرط را برآورده کند 
. هر نقطه از صفحه مختلط نیز مطابقت دارد معنی کلیبحث و جدل. آرگومان هایی که مضرب 2π با هم تفاوت دارند برابر در نظر گرفته می شوند. آرگومان عدد صفر تعریف نشده است.
ارزش اصلی آرگومان با عبارات زیر تعیین می شود:
بدیهی است که
که در آن
, 
.
نمایش اعداد مختلط zمانند
تماس گرفت فرم مثلثاتیعدد مختلط.
مثال.
- شکل نمایی اعداد مختلط
تجزیه در سری Maclaurinبرای توابع آرگومان واقعی 
دارای فرم:
برای یک تابع نمایی با آرگومان پیچیده zتجزیه مشابه است
.
بسط سری Maclaurin برای تابع نمایی آرگومان خیالی می تواند به صورت نمایش داده شود
هویت حاصل نامیده می شود فرمول اویلر.
برای استدلال منفی، آن شکل دارد
با ترکیب این عبارات می توانید عبارات زیر را برای سینوس و کسینوس تعریف کنید
.
با استفاده از فرمول اویلر، از شکل مثلثاتی نمایش اعداد مختلط
در دسترس نشان دهنده(نمایی، قطبی) شکل یک عدد مختلط، یعنی. نمایش آن در فرم
,
جایی که 
- مختصات قطبی یک نقطه با مختصات مستطیلی ( ایکس،y).
مزدوج یک عدد مختلط به صورت نمایی به صورت زیر نوشته می شود.
برای شکل نمایی تعیین آن آسان است فرمول های زیرضرب و تقسیم اعداد مختلط
یعنی به صورت نمایی، حاصل ضرب و تقسیم اعداد مختلط ساده تر از شکل جبری است. هنگام ضرب، ماژول های فاکتورها ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند. این قانون برای هر تعدادی از عوامل اعمال می شود. به ویژه، هنگام ضرب یک عدد مختلط zبر منبردار z 90 خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد
در تقسیم، مدول صورت بر مدول مخرج تقسیم می شود و برهان مخرج از برهان صورت کسر می شود.
با استفاده از شکل نمایی اعداد مختلط، می توانیم عباراتی را برای هویت های مثلثاتی شناخته شده به دست آوریم. مثلاً از هویت
با استفاده از فرمول اویلر می توانیم بنویسیم
معادل سازی قسمت های واقعی و خیالی در این بیان، برای کسینوس و سینوس مجموع زوایا عباراتی به دست می آوریم
- توان ها، ریشه ها و لگاریتم های اعداد مختلط
افزایش یک عدد مختلط به درجه طبیعی nطبق فرمول تولید می شود
مثال. بیایید محاسبه کنیم 
.
بیایید یک عدد را تصور کنیم به صورت مثلثاتی
’
با استفاده از فرمول توان، به دست می آوریم
با قرار دادن مقدار در عبارت r= 1، ما به اصطلاح دریافت می کنیم فرمول Moivre، که با آن می توانید عباراتی را برای سینوس ها و کسینوس های چندین زاویه تعیین کنید.
ریشه n-ام قدرت یک عدد مختلط zاین دارد nمقادیر مختلف که توسط عبارت تعیین می شود
مثال. بیا پیداش کنیم
برای این کار عدد مختلط () را به صورت مثلثاتی بیان می کنیم
.
با استفاده از فرمول محاسبه ریشه یک عدد مختلط، به دست می آوریم
لگاریتم یک عدد مختلط z- این شماره است w، برای کدام . لگاریتم طبیعیعدد مختلط دارد مجموعه بی نهایتمقادیر و با استفاده از فرمول محاسبه می شود
از یک بخش واقعی (کسینوس) و خیالی (سینوس) تشکیل شده است. این ولتاژ را می توان به عنوان بردار طول نشان داد U m , فاز اولیه(زاویه) چرخش با سرعت زاویه ای ω .
علاوه بر این، اگر توابع پیچیده اضافه شوند، بخش های واقعی و خیالی آنها اضافه می شود. اگر یک تابع مختلط در یک تابع ثابت یا واقعی ضرب شود، اجزای واقعی و خیالی آن در یک عامل ضرب می شوند. تمایز / ادغام چنین تابع پیچیده ای به تمایز / ادغام بخش های واقعی و خیالی منتهی می شود.
به عنوان مثال، تمایز بیان استرس پیچیده
ضرب آن در است iω بخش واقعی تابع f(z) و 
- بخش خیالی تابع مثال ها: 
.
معنی zبا یک نقطه در صفحه مختلط z و مقدار مربوطه نشان داده می شود w- یک نقطه در صفحه پیچیده w. وقتی نمایش داده می شود w = f(z)خطوط هواپیما zتبدیل به خطوط هواپیما w، شکل های یک صفحه به شکل های دیگری تبدیل می شود، اما شکل خطوط یا شکل ها می تواند به طور قابل توجهی تغییر کند.
طرح درس.
1. لحظه سازمانی.
2. ارائه مطالب.
3. تکالیف.
4. جمع بندی درس.
در طول کلاس ها
I. لحظه سازمانی.
II. ارائه مطالب.
انگیزه.
بسط مجموعه اعداد حقیقی شامل افزودن اعداد جدید (خیالی) به اعداد حقیقی است. معرفی این اعداد به دلیل عدم امکان استخراج ریشه یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی است.
مقدمه ای بر مفهوم اعداد مختلط.
اعداد خیالی که با آنها اعداد حقیقی را تکمیل می کنیم به شکل نوشته می شوند دو، جایی که منیک واحد خیالی است و i 2 = - 1.
بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.
تعریف. عدد مختلط بیانی از فرم است a+bi، جایی که آو ب- اعداد واقعی. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:
الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iبرابر اگر و فقط اگر a 1 = a 2, b 1 =b 2.
ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
ج) ضرب اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
شکل جبری یک عدد مختلط.
نوشتن یک عدد مختلط در فرم a+biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن آ- بخش واقعی دوقسمت خیالی است و ب- عدد واقعی
عدد مختلط a+biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشند برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a = b = 0
عدد مختلط a+biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.
عدد مختلط a+biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.
دو عدد مختلط z = a + biو = a – bi، که فقط در علامت قسمت خیالی تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.
عملیات اعداد مختلط به صورت جبری.
می توانید عملیات زیر را روی اعداد مختلط به صورت جبری انجام دهید.
1) اضافه.
تعریف. مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iعدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z 1و z 2، و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z 1و z 2، به این معنا که z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
شماره z 1و z 2اصطلاحات نامیده می شوند.
جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. جابجایی: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2 درجه انجمنی بودن: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3 درجه. عدد مختلط –a –biمخالف یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi. عدد مختلط، مقابل عدد مختلط z، نشان داده شده است -z. مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر: z + (-z) = 0
مثال 1: جمع را انجام دهید (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) تفریق.
تعریف.از یک عدد مختلط کم کنید z 1عدد مختلط z 2 z،چی z + z 2 = z 1.
قضیه. تفاوت بین اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است.
مثال 2: تفریق را انجام دهید (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (2 - 2) i = 7 - 4i.
3) ضرب.
تعریف. حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 =a 1 +b 1 iو z 2 =a 2 +b 2 iعدد مختلط نامیده می شود z، با برابری تعریف می شود: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
شماره z 1و z 2عوامل نامیده می شوند.
ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2 درجه انجمنی بودن: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3 درجه. توزیع ضرب نسبت به جمع:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4 درجه z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- عدد واقعی
در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب یک مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.
در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر خواهیم گرفت: با قانون و با ضرب مجموع در مجموع.
مثال 3: ضرب را انجام دهید (2 + 3i) (5 - 7i).
1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 - 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.
روش 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) تقسیم.
تعریف. یک عدد مختلط را تقسیم کنید z 1به عدد مختلط z 2، یعنی یافتن چنین عدد مختلطی z، چی z · z 2 = z 1.
قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z 2 ≠ 0 + 0i.
در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.
اجازه دهید z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس
.
در مثال زیر با استفاده از فرمول و قانون ضرب در عدد مزدوج به مخرج تقسیم را انجام خواهیم داد.
مثال 4. ضریب را پیدا کنید 
.
5) افزایش قدرت کل مثبت.
الف) قوای واحد خیالی.
بهره گیری از برابری i 2 = -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:
i 3 = i 2 i = -i،
i 4 = i 2 i 2 = 1،
i 5 = i 4 i = i،
i 6 = i 4 i 2 = -1،
i 7 = i 5 i 2 = -i،
i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.
این نشان می دهد که درجه ارزش دارد که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت که به صورت دوره ای با افزایش شاخص تکرار می شود 4 .
بنابراین، برای افزایش تعداد منبه یک توان کلی مثبت، ما باید توان را بر تقسیم کنیم 4 و ساختن منبه توانی که توان آن برابر با باقیمانده تقسیم است.
مثال 5: محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
ب) افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح مثبت طبق قاعده افزایش یک دوجمله ای به توان مربوطه انجام می شود، زیرا این یک مورد خاص از ضرب عوامل مختلط یکسان است.
مثال 6: محاسبه کنید: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
