مدل سازی ریاضی

1. مدل سازی ریاضی چیست؟

از اواسط قرن بیستم. روش های ریاضی و رایانه به طور گسترده در زمینه های مختلف فعالیت های انسانی مورد استفاده قرار گرفتند. رشته‌های جدیدی مانند «اقتصاد ریاضی»، «شیمی ریاضی»، «زبان‌شناسی ریاضی» و غیره ظهور کرده‌اند که به مطالعه مدل‌های ریاضی اشیاء و پدیده‌های مرتبط و همچنین روش‌های مطالعه این مدل‌ها می‌پردازند.

مدل ریاضی- این توصیف تقریبی از هر طبقه از پدیده ها یا اشیاء دنیای واقعی به زبان ریاضیات است. هدف اصلی از مدل سازی، کشف این اشیاء و پیش بینی نتایج مشاهدات آینده است. با این حال، مدل سازی همچنین روشی برای درک دنیای اطراف ما است که کنترل آن را ممکن می کند.

مدل‌سازی ریاضی و آزمایش رایانه‌ای مرتبط در مواردی که آزمایش در مقیاس کامل به دلایلی غیرممکن یا دشوار است، ضروری هستند. برای مثال، تنظیم یک آزمایش طبیعی در تاریخ برای بررسی "چه اتفاقی می افتاد اگر ..." غیرممکن است، بررسی درستی یک یا آن نظریه کیهان شناسی غیرممکن است. در اصل ممکن است، اما به سختی معقول، آزمایش شیوع یک بیماری، مانند طاعون، یا انجام انفجار هسته ایبرای مطالعه عواقب آن با این حال، همه اینها را می توان در یک کامپیوتر با ساختن مدل های ریاضی پدیده های مورد مطالعه انجام داد.

2. مراحل اصلی مدل سازی ریاضی

1) ساختمان نمونه. در این مرحله، یک شیء "غیر ریاضی" مشخص می شود - یک پدیده طبیعی، طراحی، طرح اقتصادی، فرآیند تولید و غیره. در این مورد، به عنوان یک قاعده، توصیف واضح وضعیت دشوار است. ابتدا ویژگی های اصلی پدیده و ارتباطات بین آنها در سطح کیفی شناسایی می شود. سپس وابستگی های کیفی یافت شده به زبان ریاضیات فرموله می شود، یعنی یک مدل ریاضی ساخته می شود. این سخت ترین مرحله مدل سازی است.

2) راه حل مسئله ریاضی، که مدل به آن منتهی می شود. در این مرحله توجه زیادی به توسعه الگوریتم ها می شود و روشهای عددیحل یک مشکل در رایانه که به کمک آن می توان نتیجه را با دقت لازم و در مدت زمان قابل قبول بدست آورد.

3) تفسیر پیامدهای به دست آمده از مدل ریاضی.پیامدهای حاصل از مدل در زبان ریاضی به زبان مورد قبول در این رشته تفسیر می شود.

4) بررسی کفایت مدل.در این مرحله مشخص می شود که آیا نتایج تجربی با نتایج نظری مدل با دقت خاصی مطابقت دارد یا خیر.

5) اصلاح مدل.در این مرحله یا مدل پیچیده می شود تا با واقعیت سازگارتر باشد یا برای دستیابی به راه حل عملا قابل قبول ساده سازی می شود.

3. طبقه بندی مدل ها

مدل ها را می توان بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی کرد. به عنوان مثال، با توجه به ماهیت مسائل در حال حل، مدل ها را می توان به عملکردی و ساختاری تقسیم کرد. در حالت اول، تمام کمیت های مشخص کننده یک پدیده یا شی به صورت کمی بیان می شوند. علاوه بر این، برخی از آنها به عنوان متغیرهای مستقل و برخی دیگر به عنوان تابعی از این کمیت ها در نظر گرفته می شوند. یک مدل ریاضی معمولاً سیستمی از معادلات از انواع مختلف (دیفرانسیل، جبری و غیره) است که روابط کمی بین کمیت های مورد بررسی برقرار می کند. در مورد دوم، مدل ساختار یک شی پیچیده متشکل از بخش‌های مجزا را مشخص می‌کند که بین آن‌ها ارتباطات خاصی وجود دارد. به طور معمول، این اتصالات قابل اندازه گیری نیستند. برای ساخت چنین مدل هایی، استفاده از نظریه گراف راحت است. گراف یک جسم ریاضی است که مجموعه ای از نقاط (راس) را در یک صفحه یا در فضا نشان می دهد که برخی از آنها توسط خطوط (لبه ها) به هم متصل شده اند.

بر اساس ماهیت داده ها و نتایج اولیه، مدل های پیش بینی را می توان به قطعی و احتمالی-آماری تقسیم کرد. مدل‌های نوع اول پیش‌بینی‌های قطعی و بدون ابهام را انجام می‌دهند. مدل‌های نوع دوم مبتنی بر اطلاعات آماری هستند و پیش‌بینی‌های به‌دست‌آمده با کمک آنها ماهیت احتمالی دارند.

4. نمونه هایی از مدل های ریاضی

1) مسائل مربوط به حرکت پرتابه.

مشکل مکانیکی زیر را در نظر بگیرید.

پرتابه از زمین با سرعت اولیه v 0 = 30 m/s در زاویه a = 45 درجه نسبت به سطح آن پرتاب می شود. باید مسیر حرکت و فاصله S بین نقطه شروع و پایان این مسیر را پیدا کرد.

سپس، همانطور که از یک درس فیزیک مدرسه مشخص است، حرکت یک پرتابه با فرمول ها توصیف می شود:

جایی که t زمان است، g = 10 m/s 2 شتاب گرانش است. این فرمول ها یک مدل ریاضی از مسئله را ارائه می دهند. با بیان t از طریق x از معادله اول و جایگزینی آن با دومی، معادله مسیر پرتابه را به دست می آوریم:

این منحنی (پارابولا) محور x را در دو نقطه قطع می کند: x 1 = 0 (ابتدای مسیر) و (محل سقوط پرتابه). با جایگزینی مقادیر داده شده v0 و a در فرمول های حاصل، به دست می آوریم

پاسخ: y = x – 90x 2، S = 90 m.

توجه داشته باشید که هنگام ساخت این مدل از چند فرض استفاده شده است: برای مثال فرض بر این است که زمین مسطح است و هوا و چرخش زمین بر حرکت پرتابه تأثیری ندارد.

2) مشکل در مورد مخزن با کمترین سطح.

لازم است ارتفاع h 0 و شعاع r 0 یک مخزن قلع با حجم V = 30 m 3، به شکل یک استوانه دایره ای بسته، که در آن مساحت سطح آن S حداقل است را پیدا کنید (در این مورد، حداقل مقدار قلع برای تولید آن استفاده خواهد شد).

بیایید آن را بنویسیم فرمول های زیربرای حجم و سطح یک استوانه با ارتفاع h و شعاع r:

V = p r 2 h، S = 2p r(r + h).

با بیان h از طریق r و V از فرمول اول و جایگزینی عبارت به دست آمده با فرمول دوم، دریافت می کنیم:

بنابراین، از نقطه نظر ریاضی، مشکل به تعیین مقدار r می رسد که در آن تابع S(r) به حداقل خود می رسد. بیایید آن مقادیر r 0 را که مشتق آن است، پیدا کنیم

به صفر می رسد: می‌توانید بررسی کنید که مشتق دوم تابع S(r) وقتی آرگومان r از نقطه r 0 عبور می‌کند، علامت از منفی به مثبت تغییر می‌کند. در نتیجه، در نقطه r0 تابع S(r) دارای حداقل است. مقدار مربوطه h 0 = 2r 0 است. با جایگزینی مقدار داده شده V به عبارت r 0 و h 0، شعاع مورد نظر را به دست می آوریم و ارتفاع

3) مشکل حمل و نقل

این شهر دارای دو انبار آرد و دو نانوایی است. روزانه 50 تن آرد از انبار اول و 70 تن از انبار دوم به کارخانه ها حمل می شود که 40 تن به انبار اول و 80 تن به انبار دوم می رسد.

اجازه دهید با نشان دادن آ ij هزینه حمل 1 تن آرد از انبار i به j-ام گیاه(i، j = 1،2). اجازه دهید

آ 11 = 1.2 روبل، آ 12 = 1.6 روبل، آ 21 = 0.8 مالش.، آ 22 = 1 مالش.

حمل و نقل چگونه باید برنامه ریزی شود تا هزینه آن حداقل باشد؟

بیایید به آن تکلیف بدهیم فرم ریاضیجلا دادن مقدار آردی را که باید از انبار اول به کارخانه اول و دوم منتقل شود و با x 3 و x 4 - از انبار دوم به کارخانه اول و دوم را با x 1 و x 2 نشان می دهیم. سپس:

x 1 + x 2 = 50، x 3 + x 4 = 70، x 1 + x 3 = 40، x 2 + x 4 = 80. (1)

هزینه کل حمل و نقل با فرمول تعیین می شود

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

از نقطه نظر ریاضی، مشکل یافتن چهار عدد x 1، x 2، x 3 و x 4 است که همه شرایط داده شده را برآورده می‌کنند و حداقل تابع f را می‌دهند. اجازه دهید سیستم معادلات (1) را برای xi (i = 1، 2، 3، 4) با حذف مجهولات حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 1 = x 4 - 30، x 2 = 80 - x 4، x 3 = 70 - x 4، (2)

و x 4 را نمی توان به طور یکتا تعیین کرد. از آنجایی که x i і 0 (i = 1، 2، 3، 4)، از معادلات (2) نتیجه می شود که 30J x 4 Ј 70. با جایگزین کردن عبارت x 1، x 2، x 3 در فرمول f، دریافت می کنیم

f = 148 - 0.2x 4.

به راحتی می توان فهمید که حداقل این تابع در حداکثر مقدار ممکن x 4 به دست می آید، یعنی در x 4 = 70. مقادیر متناظر سایر مجهولات با فرمول (2) تعیین می شود: x 1 = 40، x 2 = 10، x 3 = 0.

4) مشکل واپاشی رادیواکتیو.

فرض کنید N(0) تعداد اولیه اتمهای یک ماده رادیواکتیو و N(t) تعداد اتمهای تجزیه نشده در زمان t باشد. به طور تجربی ثابت شده است که سرعت تغییر در تعداد این اتم‌ها N"(t) با N(t) متناسب است، یعنی N"(t)=–l N(t)، l>0 برابر است. ثابت رادیواکتیویته یک ماده معین در درس تحلیل ریاضی مدرسه نشان داده شده است که راه حل این معادله دیفرانسیل به شکل N(t) = N(0)e –l t است. زمان T که در طی آن تعداد اتم های اولیه به نصف رسیده است، نیمه عمر نامیده می شود و یکی از مشخصه های مهم رادیواکتیویته یک ماده است. برای تعیین T باید در فرمول قرار دهیم سپس به عنوان مثال، برای رادون l = 2.084 · 10 – 6، و بنابراین T = 3.15 روز.

5) مشکل فروشنده دوره گرد.

یک فروشنده دوره گرد که در شهر A 1 زندگی می کند باید از شهرهای A 2 ، A 3 و A 4 ، هر شهر دقیقاً یک بار بازدید کند و سپس به A 1 بازگردد. مشخص است که همه شهرها به صورت جفت توسط جاده ها به هم متصل می شوند و طول راه های b ij بین شهرهای A i و A j (i, j = 1, 2, 3, 4) به شرح زیر است:

b 12 = 30، b 14 = 20، b 23 = 50، b 24 = 40، b 13 = 70، b 34 = 60.

تعیین ترتیب بازدید از شهرهایی که طول مسیر مربوطه در آنها حداقل است، ضروری است.

اجازه دهید هر شهر را به عنوان یک نقطه در هواپیما به تصویر بکشیم و آن را با برچسب مربوطه Ai (i = 1، 2، 3، 4) علامت گذاری کنیم. بیایید این نقاط را با خطوط مستقیم به هم وصل کنیم: آنها نشان دهنده راه های بین شهرها هستند. برای هر "جاده" طول آن را بر حسب کیلومتر نشان می دهیم (شکل 2). نتیجه یک نمودار است - یک شی ریاضی متشکل از مجموعه خاصی از نقاط روی صفحه (به نام رئوس) و مجموعه مشخصی از خطوط که این نقاط را به هم متصل می کنند (به نام لبه ها). علاوه بر این، این نمودار دارای برچسب است، زیرا رئوس و لبه های آن دارای برچسب هایی هستند - اعداد (لبه ها) یا نمادها (رئوس). یک چرخه در یک نمودار دنباله ای از رئوس V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 است به طوری که رئوس V 1 , ..., V k متفاوت است و هر جفت رئوس V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) و جفت V 1, V k توسط یک یال به هم متصل می شوند. بنابراین، مشکل مورد بررسی یافتن چرخه‌ای در نمودار است که از هر چهار راس عبور می‌کند و مجموع وزن‌های یال برای آن حداقل است. اجازه دهید تمام چرخه های مختلف را که از چهار راس عبور می کنند و از A 1 شروع می شوند جستجو کنیم:

1) A 1، A 4، A 3، A 2، A 1;
2) A 1، A 3، A 2، A 4، A 1;
3) A 1، A 3، A 4، A 2، A 1.

اجازه دهید اکنون طول این چرخه ها (به کیلومتر) را پیدا کنیم: L 1 = 160، L 2 = 180، L 3 = 200. بنابراین، مسیر کوتاه ترین طول اولین است.

توجه داشته باشید که اگر در یک گراف n راس وجود داشته باشد و همه رئوس به صورت جفت توسط یال به هم متصل شوند (به چنین نموداری کامل می گویند) تعداد چرخه هایی که از همه رئوس عبور می کنند برابر است بنابراین در مورد ما دقیقاً سه چرخه وجود دارد.

6) مشکل یافتن ارتباط بین ساختار و خواص مواد.

بیایید به چند مورد نگاه کنیم ترکیبات شیمیایی، آلکان معمولی نامیده می شود. آنها از n اتم کربن و n + 2 اتم هیدروژن (n = 1، 2 ...) تشکیل شده اند، همانطور که در شکل 3 برای n = 3 نشان داده شده است. اجازه دهید مقادیر تجربی نقاط جوش این ترکیبات مشخص شود:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

لازم است یک رابطه تقریبی بین نقطه جوش و عدد n برای این ترکیبات پیدا شود. فرض کنیم که این وابستگی دارای شکل است

y" آ n+b،

جایی که آ، b - ثابت هایی که باید تعیین شوند. برای پیدا کردن آو b به ترتیب n = 3، 4، 5، 6 و مقادیر مربوط به نقاط جوش را در این فرمول جایگزین می کنیم. ما داریم:

– 42 » 3 آ+ b، 0 » 4 آ+ b، 28 » 5 آ+ b، 69 » 6 آ+ ب.

برای تعیین بهترین آو ب روش های مختلفی وجود دارد. بیایید از ساده ترین آنها استفاده کنیم. بیایید ب را از طریق بیان کنیم آاز این معادلات:

ب» – 42 – 3 آ، ب "- 4 آ، ب » 28 - 5 آ، ب » 69 - 6 آ.

اجازه دهید میانگین حسابی این مقادیر را b مورد نظر در نظر بگیریم، یعنی b» 16 - 4.5 را قرار دهیم. آ. اجازه دهید این مقدار b را جایگزین سیستم اصلی معادلات کنیم و محاسبه کنیم آ، می گیریم برای آمقادیر زیر: آ» 37، آ» 28، آ» 28، آ 36. بیایید به عنوان مورد نیاز در نظر بگیریم آمقدار متوسط ​​این اعداد، یعنی بگذاریم آ 34. بنابراین، معادله مورد نیاز شکل دارد

y » 34n - 139.

بیایید دقت مدل را در چهار ترکیب اصلی بررسی کنیم، که با استفاده از فرمول حاصل، نقاط جوش را محاسبه می کنیم:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

بنابراین، خطا در محاسبه این ویژگی برای این ترکیبات از 5 درجه بیشتر نمی شود. ما از معادله به دست آمده برای محاسبه نقطه جوش یک ترکیب با n = 7 استفاده می کنیم که در مجموعه اصلی گنجانده نشده است، که برای آن n = 7 را در این معادله جایگزین می کنیم: y р (7) = 99 درجه. نتیجه کاملاً دقیق بود: مشخص است که مقدار تجربی نقطه جوش y e (7) = 98 درجه است.

7) مشکل تعیین قابلیت اطمینان مدار الکتریکی.

در اینجا نمونه ای از یک مدل احتمالی را بررسی خواهیم کرد. ابتدا، ما برخی از اطلاعات را از نظریه احتمال ارائه می کنیم - یک رشته ریاضی که الگوهای پدیده های تصادفی مشاهده شده در طول تکرار مکرر آزمایش ها را مطالعه می کند. اجازه دهید یک رویداد تصادفی A را نتیجه احتمالی آزمایشی بنامیم. رویدادهای A 1، ...، A k یک گروه کامل را تشکیل می دهند اگر یکی از آنها لزوماً در نتیجه آزمایش رخ دهد. رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوانند به طور همزمان در یک تجربه رخ دهند. اجازه دهید رویداد A m بار در طول تکرار n برابر آزمایش رخ دهد. فراوانی رویداد A عدد W = است. بدیهی است که تا زمانی که یک سری n آزمایش انجام نشود، مقدار W را نمی توان به طور دقیق پیش بینی کرد. با این حال، ماهیت رویدادهای تصادفی به گونه‌ای است که در عمل گاهی اوقات تأثیر زیر مشاهده می‌شود: با افزایش تعداد آزمایش‌ها، مقدار عملاً تصادفی نیست و حول یک عدد غیر تصادفی P(A) که احتمال نامیده می‌شود تثبیت می‌شود. رویداد A. برای یک رویداد غیرممکن (که هرگز در آزمایش رخ نمی دهد) P(A)=0 و برای یک رویداد قابل اعتماد (که همیشه در تجربه رخ می دهد) P(A)=1. اگر رویدادهای A 1، ...، A k گروه کاملی از رویدادهای ناسازگار را تشکیل دهند، آنگاه P(A 1)+...+P(A k)=1.

به عنوان مثال، آزمایش شامل پرتاب تاس و مشاهده تعداد نقاط پرتاب شده X است. سپس می‌توانیم رویدادهای تصادفی زیر را معرفی کنیم: A i = (X = i)، i = 1، ...، 6. یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار به همان اندازه محتمل را تشکیل می دهند، بنابراین P(A i) = (i = 1، ...، 6).

مجموع رویدادهای A و B رویداد A + B است که شامل این واقعیت است که حداقل یکی از آنها در تجربه رخ می دهد. حاصل ضرب رویدادهای A و B رویداد AB است که از وقوع همزمان این رویدادها تشکیل شده است. برای رویدادهای مستقل A و B، فرمول های زیر درست است:

P(AB) = P(A) P(B)، P(A + B) = P(A) + P(B).

8) اکنون به موارد زیر توجه می کنیم وظیفه. فرض کنید سه عنصر به صورت سری به یک مدار الکتریکی متصل هستند و مستقل از یکدیگر عمل می کنند. احتمال خرابی عناصر 1، 2 و 3 به ترتیب برابر با P1 = 0.1، P2 = 0.15، P3 = 0.2 است. اگر احتمال عدم وجود جریان در مدار بیش از 0.4 نباشد، مدار قابل اعتمادی را در نظر خواهیم گرفت. تعیین اینکه آیا یک مدار معین قابل اعتماد است یا خیر ضروری است.

از آنجایی که عناصر به صورت سری به هم متصل می شوند، در صورت خرابی حداقل یکی از عناصر، جریانی در مدار (رویداد A) وجود نخواهد داشت. بگذارید A i رویدادی باشد که عنصر i-امکار می کند (i = 1، 2، 3). سپس P(A1) = 0.9، P(A2) = 0.85، P(A3) = 0.8. بدیهی است که A 1 A 2 A 3 رویدادی است که در آن هر سه عنصر به طور همزمان کار می کنند و

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

سپس P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1، بنابراین P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

در پایان، یادآور می‌شویم که مثال‌های ارائه شده از مدل‌های ریاضی (شامل عملکردی و ساختاری، قطعی و احتمالی) ماهیت گویایی دارند و بدیهی است که انواع مدل‌های ریاضی را که در علوم طبیعی و علوم انسانی به وجود می‌آیند، تمام نمی‌کنند.

سخنرانی 1.

مبانی روش‌شناسی مدل‌سازی

وضعیت فعلی مشکل مدل سازی سیستم

مفاهیم مدلسازی و شبیه سازی

مدل سازیرا می توان جایگزینی شیء مورد مطالعه (اصل) با تصویر متعارف، توضیحات یا شیء دیگری به نام آن دانست. مدلو ارائه رفتار نزدیک به اصل در چارچوب مفروضات خاص و خطاهای قابل قبول. مدل‌سازی معمولاً با هدف درک ویژگی‌های اصلی با مطالعه مدل آن انجام می‌شود و نه خود شی. البته مدلسازی زمانی توجیه می‌شود که ساده‌تر از ساختن خود نسخه اصلی باشد یا به دلایلی بهتر است اصلاً نسخه اصلی ایجاد نشود.

زیر مدلبه عنوان یک شی فیزیکی یا انتزاعی درک می شود که ویژگی های آن به معنای خاصی شبیه به ویژگی های شی مورد مطالعه است.در این مورد، الزامات مدل با مشکل حل شده و ابزار موجود تعیین می شود. تعدادی الزامات کلی برای مدل ها وجود دارد:

2) کامل بودن - ارائه تمام اطلاعات لازم به گیرنده

در مورد شیء؛

3) انعطاف پذیری - توانایی بازتولید موقعیت های مختلف در همه چیز

دامنه تغییرات در شرایط و پارامترها؛

4) پیچیدگی توسعه باید برای موجود قابل قبول باشد

زمان و نرم افزار

مدل سازیفرآیند ساخت مدل یک شی و مطالعه خواص آن با بررسی مدل است.

بنابراین، مدل سازی شامل 2 مرحله اصلی است:

1) توسعه یک مدل؛

2) مطالعه مدل و نتیجه گیری.

در عین حال، در هر مرحله وظایف مختلف حل می شود و

اساساً روش ها و ابزارهای مختلف.

در عمل از روش های مدل سازی مختلفی استفاده می شود. بسته به روش پیاده سازی، همه مدل ها را می توان به دو کلاس بزرگ تقسیم کرد: فیزیکی و ریاضی.

مدل سازی ریاضیمعمولاً به عنوان وسیله ای برای مطالعه فرآیندها یا پدیده ها با استفاده از مدل های ریاضی آنها در نظر گرفته می شود.

زیر مدل سازی فیزیکیبه مطالعه اشیاء و پدیده‌ها بر روی مدل‌های فیزیکی اشاره دارد، زمانی که فرآیند مورد مطالعه با حفظ ماهیت فیزیکی خود بازتولید می‌شود یا از پدیده فیزیکی دیگری شبیه به مورد مطالعه استفاده می‌شود. که در آن مدل های فیزیکیبه عنوان یک قاعده، آنها تجسم واقعی آن خصوصیات فیزیکی اصلی را فرض می کنند که در یک موقعیت خاص قابل توجه است. برای مثال، هنگام طراحی یک هواپیمای جدید، ماکتی ایجاد می شود که دارای همان ویژگی های آیرودینامیکی است. هنگام برنامه ریزی توسعه، معماران مدلی می سازند که آرایش فضایی عناصر آن را منعکس می کند. در این راستا مدل سازی فیزیکی نیز نامیده می شود نمونه سازی.

مدل سازی نیمه عمرمطالعه سیستم های قابل کنترل بر روی مجتمع های مدل سازی با گنجاندن تجهیزات واقعی در مدل است. همراه با تجهیزات واقعی، مدل بسته شامل شبیه‌سازهای تأثیرات و تداخل، مدل‌های ریاضی محیط خارجی و فرآیندهایی است که توصیف ریاضی به اندازه کافی دقیق برای آنها ناشناخته است. گنجاندن تجهیزات واقعی یا سیستم‌های واقعی در مدار مدل‌سازی فرآیندهای پیچیده، کاهش عدم قطعیت پیشینی و کشف فرآیندهایی را که هیچ توصیف ریاضی دقیقی برای آنها وجود ندارد، ممکن می‌سازد. با استفاده از مدل سازی نیمه طبیعی، تحقیقات با در نظر گرفتن ثابت های زمانی کوچک و خطی های ذاتی در تجهیزات واقعی انجام می شود. هنگام مطالعه مدل ها با استفاده از تجهیزات واقعی، از مفهوم استفاده می شود شبیه سازی پویا، در طول تحقیق سیستم های پیچیدهو پدیده ها - تکاملی, تقلیدو مدل سازی سایبرنتیک.

بدیهی است که سود واقعی مدل سازی تنها در صورتی به دست می آید که دو شرط وجود داشته باشد:

1) مدل نمایش صحیح (کافی) خصوصیات را ارائه می دهد

اصلی، قابل توجه از نقطه نظر عملیات مورد مطالعه؛

2) مدل به شما امکان می دهد مشکلات ذاتی ذکر شده در بالا را از بین ببرید

انجام تحقیق بر روی اشیاء واقعی

2. مفاهیم اولیه مدل سازی ریاضی

حل مسائل عملی با استفاده از روش های ریاضی به طور مداوم با فرمول بندی مسئله (توسعه یک مدل ریاضی)، انتخاب روشی برای مطالعه مدل ریاضی حاصل و تجزیه و تحلیل نتیجه ریاضی به دست آمده انجام می شود. فرمول ریاضی مسئله معمولاً در قالب تصاویر هندسی، توابع، سیستم معادلات و غیره ارائه می شود. توصیف یک شی (پدیده) را می توان با استفاده از فرم های پیوسته یا گسسته، قطعی یا تصادفی و سایر اشکال ریاضی نشان داد.

نظریه مدلسازی ریاضیشناسایی الگوهای وقوع پدیده‌های مختلف در دنیای اطراف یا عملکرد سیستم‌ها و دستگاه‌ها را با استفاده از توصیف و مدل‌سازی ریاضی آنها بدون انجام آزمایش‌های کامل تضمین می‌کند. در این مورد، از مقررات و قوانین ریاضی استفاده می شود که پدیده ها، سیستم ها یا دستگاه های شبیه سازی شده را در سطحی از ایده آل سازی آنها توصیف می کند.

مدل ریاضی (MM)یک توصیف رسمی از یک سیستم (یا عملیات) به زبان انتزاعی است، به عنوان مثال، در قالب مجموعه ای از روابط ریاضی یا یک نمودار الگوریتم، به عنوان مثال. یعنی چنین توصیف ریاضی که شبیه‌سازی عملکرد سیستم‌ها یا دستگاه‌ها را در سطحی به اندازه کافی نزدیک به رفتار واقعی آن‌ها ارائه می‌کند که در طی آزمایش کامل سیستم‌ها یا دستگاه‌ها به دست آمده است.

هر MM یک شی، پدیده یا فرآیند واقعی را با درجاتی از تقریب به واقعیت توصیف می کند. نوع MM به طبیعت بستگی دارد شی واقعیو از اهداف تحقیق.

مدل سازی ریاضیپدیده های اجتماعی، اقتصادی، زیستی و فیزیکی، اشیاء، سیستم ها و وسایل مختلف یکی از مهم ترین ابزارهای شناخت طبیعت و طراحی طیف وسیعی از سیستم ها و دستگاه ها است. نمونه های شناخته شده ای از استفاده موثر از مدل سازی در ایجاد فناوری های هسته ای، هوانوردی و سیستم های هوافضا، در پیش بینی پدیده های جوی و اقیانوسی، آب و هوا و غیره وجود دارد.

با این حال، چنین حوزه‌های جدی مدل‌سازی اغلب به ابررایانه‌ها و سال‌ها کار توسط تیم‌های بزرگ دانشمندان برای آماده‌سازی داده‌ها برای مدل‌سازی و اشکال‌زدایی آن نیاز دارند. با این حال، در این مورد، مدل سازی ریاضی سیستم ها و دستگاه های پیچیده نه تنها باعث صرفه جویی در هزینه های تحقیق و آزمایش می شود، بلکه می تواند بلایای زیست محیطی را نیز از بین ببرد - به عنوان مثال، به شما امکان می دهد آزمایش سلاح های هسته ای و گرما هسته ای را به نفع مدل سازی ریاضی آنها رها کنید. یا آزمایش سیستم های هوافضا قبل از پروازهای واقعی آن ها.بنابراین، مدل سازی ریاضی در سطح حل مسائل ساده تر، به عنوان مثال، از حوزه مکانیک، مهندسی برق، الکترونیک، مهندسی رادیو و بسیاری از حوزه های دیگر علم و فناوری در حال حاضر تبدیل شده است. برای اجرا بر روی رایانه های شخصی مدرن موجود است. و هنگام استفاده از مدل های تعمیم یافته، شبیه سازی سیستم های نسبتاً پیچیده، به عنوان مثال، سیستم ها و شبکه های مخابراتی، رادار یا سیستم های ناوبری رادیویی امکان پذیر می شود.

هدف از مدل سازی ریاضیتجزیه و تحلیل فرآیندهای واقعی (در طبیعت یا فناوری) با استفاده از روش های ریاضی است. به نوبه خود، این امر مستلزم رسمی‌سازی فرآیند MM است که باید مطالعه شود. مدل می‌تواند یک عبارت ریاضی حاوی متغیرهایی باشد که رفتار آنها شبیه رفتار یک سیستم واقعی است. مدل می‌تواند شامل عناصر تصادفی باشد که احتمالات را در نظر می‌گیرد. اقدامات احتمالی دو یا بیشتر«بازیکنان»، مانند نظریه بازی ها؛ یا ممکن است متغیرهای واقعی بخش های به هم پیوسته سیستم عامل را نشان دهد.

مدل سازی ریاضی برای مطالعه ویژگی های سیستم ها را می توان به تحلیلی، شبیه سازی و ترکیبی تقسیم کرد. به نوبه خود، MM ها به شبیه سازی و تحلیلی تقسیم می شوند.

مدلسازی تحلیلی

برای مدل سازی تحلیلیمشخصه این است که فرآیندهای عملکرد سیستم در قالب روابط عملکردی خاصی (معادلات جبری، دیفرانسیل، انتگرال) نوشته شده است. مدل تحلیلی را می توان با استفاده از روش های زیر بررسی کرد:

1) تحلیلی، زمانی که آنها در تلاش برای به دست آوردن، به شکل کلی، وابستگی های صریح برای ویژگی های سیستم ها هستند.

2) عددی، زمانی که نمی توان برای معادلات به صورت کلی راه حلی یافت و آنها برای داده های اولیه خاص حل می شوند.

3) کیفی، زمانی که در غیاب راه حل برخی از خواص آن یافت می شود.

مدل های تحلیلی را فقط می توان برای سیستم های نسبتا ساده به دست آورد. برای سیستم های پیچیده، مشکلات بزرگ ریاضی اغلب ایجاد می شود. برای اعمال روش تحلیلی، آنها به سمت ساده سازی قابل توجه مدل اصلی می روند. با این حال، تحقیق با استفاده از یک مدل ساده به دستیابی به نتایج تنها کمک می کند. مدل های تحلیلی از نظر ریاضی به درستی رابطه بین متغیرها و پارامترهای ورودی و خروجی را منعکس می کنند. اما ساختار آنها ساختار درونی جسم را منعکس نمی کند.

در طول مدلسازی تحلیلی، نتایج آن در قالب عبارات تحلیلی ارائه می شود. مثلا با اتصال R.C.- مدار به منبع ولتاژ ثابت E(آر, سیو E- اجزای این مدل)، می توانیم یک عبارت تحلیلی برای وابستگی زمانی ولتاژ ایجاد کنیم تو(تی) روی خازن سی:

این معادله دیفرانسیل خطی (DE) مدل تحلیلی این مدار خطی ساده است. راه حل تحلیلی آن، در شرایط اولیه تو(0) = 0، به معنی یک خازن تخلیه شده است سیدر شروع مدل سازی، به شما امکان می دهد وابستگی مورد نظر را پیدا کنید - در قالب یک فرمول:

تو(تی) = E(1− سابقپ(- تی/RC)). (2)

با این حال، حتی در این ساده ترین مثال، تلاش های خاصی برای حل DE (1) یا اعمال مورد نیاز است سیستم های ریاضی کامپیوتری(SCM) با محاسبات نمادین - سیستم های جبر کامپیوتری. برای این مورد کاملاً پیش پا افتاده، حل مشکل مدل سازی خطی R.C.- مدار بیان تحلیلی (2) را به شکل نسبتاً کلی می دهد - برای توصیف عملکرد مدار برای هر درجه بندی جزء مناسب است. آر, سیو E، و بار نمایی خازن را توصیف می کند سیاز طریق یک مقاومت آراز منبع ولتاژ ثابت E.

البته یافتن راه‌حل‌های تحلیلی در طول مدل‌سازی تحلیلی برای شناسایی الگوهای نظری کلی مدارها، سیستم‌ها و دستگاه‌های خطی بسیار ارزشمند است، اما با پیچیده‌تر شدن تأثیرات روی مدل و ترتیب و تعداد، پیچیدگی آن به شدت افزایش می‌یابد. معادلات حالتی که شی مدل شده را توصیف می کند افزایش می یابد. هنگام مدل سازی اشیاء درجه دوم یا سوم می توانید نتایج کم و بیش قابل مشاهده ای دریافت کنید، اما با مرتبه بالاتر، عبارات تحلیلی بیش از حد دست و پا گیر، پیچیده و درک آن دشوار می شود. به عنوان مثال، حتی یک تقویت کننده الکترونیکی ساده اغلب حاوی ده ها قطعه است. با این حال، بسیاری از SCM های مدرن، به عنوان مثال، سیستم های ریاضیات نمادین هستند Maple, Mathematicaیا محیط متلب، قادرند تا حد زیادی حل مسائل مدلسازی تحلیلی پیچیده را خودکار کنند.

یکی از انواع مدل سازی است مدل سازی عددی،که شامل به دست آوردن داده های کمی لازم در مورد رفتار سیستم ها یا دستگاه ها با هر روش عددی مناسب، مانند روش های اویلر یا رانگ-کوتا است. در عمل، مدل‌سازی سیستم‌ها و دستگاه‌های غیرخطی با استفاده از روش‌های عددی بسیار مؤثرتر از مدل‌سازی تحلیلی مدارها، سیستم‌ها یا دستگاه‌های خطی خصوصی است. به عنوان مثال، برای حل سیستم های DE (1) یا DE بیش از موارد دشواریک راه حل را نمی توان به صورت تحلیلی به دست آورد، اما با استفاده از داده های شبیه سازی عددی می توان داده های نسبتاً کاملی در مورد رفتار سیستم ها و دستگاه های شبیه سازی شده به دست آورد، همچنین نمودارهایی از وابستگی ها را که این رفتار را توصیف می کند، ساخت.

مدل سازی شبیه سازی

در تقلید 10و مدل سازی، الگوریتمی که مدل را پیاده سازی می کند، فرآیند عملکرد سیستم را در طول زمان بازتولید می کند. پدیده های ابتدایی که فرآیند را تشکیل می دهند شبیه سازی می شوند و ساختار منطقی و توالی رویدادها در طول زمان حفظ می شود.

مزیت اصلی مدل های شبیه سازی در مقایسه با مدل های تحلیلی، توانایی حل مسائل پیچیده تر است.

مدل‌های شبیه‌سازی، در نظر گرفتن وجود عناصر گسسته یا پیوسته، ویژگی‌های غیرخطی، تأثیرات تصادفی و غیره را آسان می‌کنند. بنابراین، این روش به طور گسترده در مرحله طراحی سیستم‌های پیچیده مورد استفاده قرار می‌گیرد. ابزار اصلی پیاده‌سازی مدل‌سازی شبیه‌سازی یک کامپیوتر است که امکان مدل‌سازی دیجیتالی سیستم‌ها و سیگنال‌ها را فراهم می‌کند.

در این راستا، اجازه دهید عبارت « مدل سازی کامپیوتری"، که به طور فزاینده ای در ادبیات استفاده می شود. بیایید این را فرض کنیم مدل سازی کامپیوتریمدلسازی ریاضی با استفاده از فناوری کامپیوتر است. بر این اساس، فناوری مدل سازی کامپیوتری شامل انجام اقدامات زیر است:

1) تعیین هدف از مدل سازی؛

2) توسعه یک مدل مفهومی.

3) رسمی کردن مدل؛

4) پیاده سازی نرم افزار مدل؛

5) آزمایش های مدل برنامه ریزی.

6) اجرای طرح آزمایشی.

7) تجزیه و تحلیل و تفسیر نتایج مدل سازی.

در مدل سازی شبیه سازی MM استفاده شده الگوریتم ("منطق") عملکرد سیستم مورد مطالعه را در طول زمان برای ترکیب های مختلف مقادیر پارامترهای سیستم و محیط خارجی بازتولید می کند.

نمونه ای از ساده ترین مدل تحلیلی معادله حرکت یکنواخت مستطیلی است. هنگام مطالعه چنین فرآیندی با استفاده از یک مدل شبیه‌سازی، مشاهده تغییرات مسیر طی شده در طول زمان باید اجرا شود.بدیهی است که در برخی موارد مدل‌سازی تحلیلی ترجیح داده می‌شود و در موارد دیگر شبیه‌سازی (یا ترکیبی از هر دو). برای انتخاب موفق، باید به دو سوال پاسخ دهید.

هدف از مدلینگ چیست؟

پدیده مدل شده را به چه طبقه ای می توان طبقه بندی کرد؟

پاسخ به هر دوی این سوالات را می توان در دو مرحله اول مدل سازی به دست آورد.

مدل‌های شبیه‌سازی نه تنها از نظر ویژگی‌ها، بلکه در ساختار نیز با شی مدل‌سازی شده مطابقت دارند. در این حالت، بین فرآیندهای به‌دست‌آمده در مدل و فرآیندهایی که در شی اتفاق می‌افتند، یک تناظر واضح و مبهم وجود دارد. نقطه ضعف شبیه سازی این است که زمان زیادی طول می کشد تا مشکل حل شود تا دقت خوبی حاصل شود.

نتایج مدل سازی شبیه سازی عملکرد یک سیستم تصادفی، تحقق متغیرها یا فرآیندهای تصادفی است. بنابراین، برای یافتن ویژگی های سیستم، تکرارهای متعدد و پردازش داده های بعدی مورد نیاز است. اغلب در این مورد، یک نوع شبیه سازی استفاده می شود - آماری

مدل سازی(یا روش مونت کارلو)، یعنی. بازتولید عوامل تصادفی، رویدادها، کمیت ها، فرآیندها، زمینه ها در مدل ها.

بر اساس نتایج مدل‌سازی آماری، تخمین‌های معیارهای کیفیت احتمالی، عمومی و خاص، مشخص‌کننده عملکرد و کارایی سیستم مدیریت شده تعیین می‌شود. مدل سازی آماری به طور گسترده ای برای حل مسائل علمی و کاربردی در زمینه های مختلف علم و فناوری استفاده می شود. روش های مدل سازی آماری به طور گسترده در مطالعه سیستم های دینامیکی پیچیده، ارزیابی عملکرد و کارایی آنها استفاده می شود.

مرحله نهایی مدل سازی آماری بر اساس پردازش ریاضی نتایج به دست آمده است. در اینجا از روش های آمار ریاضی (برآورد پارامتری و ناپارامتریک، آزمون فرضیه) استفاده می شود. نمونه ای از برآوردگر پارامتری، میانگین نمونه یک معیار عملکرد است. در میان روش های ناپارامتریک، گسترده است روش هیستوگرام.

طرح در نظر گرفته شده بر اساس آزمون های آماری مکرر سیستم و روش های آمارگیری متغیرهای تصادفی مستقل است که این طرح همیشه در عمل طبیعی و از نظر هزینه بهینه نیست. کاهش زمان تست سیستم را می توان با استفاده از روش های ارزیابی دقیق تر به دست آورد. همانطور که از آمار ریاضی مشخص است، برآوردهای موثر بیشترین دقت را برای حجم نمونه معین دارند. روش فیلترینگ بهینه و حداکثر احتمال می دهد روش کلیدر مسائل مدل‌سازی آماری، اجرای پردازش‌های تصادفی نه تنها برای تحلیل فرآیندهای خروجی ضروری است.

کنترل ویژگی‌های تأثیرات تصادفی ورودی نیز بسیار مهم است. کنترل شامل بررسی انطباق توزیع های فرآیندهای تولید شده با توزیع های داده شده است. این مشکل اغلب به صورت فرموله شده است مشکل آزمون فرضیه.

روند کلی در مدل‌سازی کامپیوتری سیستم‌های کنترل‌شده پیچیده، تمایل به کاهش زمان مدل‌سازی و همچنین انجام تحقیقات در زمان واقعی است. نمایش الگوریتم‌های محاسباتی به صورت تکراری راحت است و امکان اجرای آنها را با نرخ دریافت اطلاعات فعلی فراهم می‌کند.

اصول یک رویکرد سیستمی در مدل سازی

اصول اساسی نظریه سیستم ها

اصول اساسی تئوری سیستم ها در طول مطالعه سیستم های پویا و عناصر عملکردی آنها پدید آمد. یک سیستم به عنوان گروهی از عناصر به هم پیوسته درک می شود که با هم برای انجام یک کار از پیش تعیین شده عمل می کنند. تجزیه و تحلیل سیستم به شما امکان می دهد تا بیشترین میزان را تعیین کنید راه های واقعیانجام وظیفه محول شده، حصول اطمینان از رضایت حداکثری از الزامات ذکر شده.

عناصری که اساس نظریه سیستم ها را تشکیل می دهند از طریق فرضیه ها ایجاد نمی شوند، بلکه به صورت تجربی کشف می شوند. برای شروع ساخت یک سیستم، داشتن ویژگی های کلی فرآیندهای تکنولوژیکی ضروری است. همین امر در مورد اصول ایجاد معیارهای فرموله شده ریاضی که یک فرآیند یا توصیف نظری آن باید برآورده شود، صادق است. مدلسازی یکی از مهمترین روشهای تحقیق و آزمایش علمی است.

هنگام ساخت مدل‌های اشیاء، از رویکرد سیستمی استفاده می‌شود که روشی برای حل مسائل پیچیده است که مبتنی بر در نظر گرفتن شی به عنوان یک سیستم فعال در یک محیط خاص است. یک رویکرد سیستماتیک شامل آشکار کردن یکپارچگی یک شی، شناسایی و مطالعه ساختار داخلی آن و همچنین ارتباط با محیط خارجی است. در این حالت، شی به عنوان بخشی از دنیای واقعی ارائه می شود که در ارتباط با مسئله ساخت مدل، جداسازی و مطالعه می شود. بعلاوه، رویکرد سیستم هازمانی که هدف طراحی اساس توجه است و شی در ارتباط با محیط در نظر گرفته می شود، شامل یک انتقال ثابت از عمومی به خاص است.

یک شی پیچیده را می توان به زیرسیستم هایی تقسیم کرد که بخش هایی از شی هستند که شرایط زیر را برآورده می کنند:

1) یک زیرسیستم از نظر عملکرد بخشی مستقل از یک شی است. با زیرسیستم های دیگر در ارتباط است، اطلاعات و انرژی را با آنها مبادله می کند.

2) برای هر زیرسیستم توابع یا خصوصیاتی که با خصوصیات کل سیستم منطبق نیستند را می توان تعریف کرد.

3) هر یک از زیر سیستم ها را می توان در معرض تقسیم بیشتر به سطح عناصر قرار داد.

در این مورد، یک عنصر به عنوان یک زیر سیستم سطح پایین درک می شود که تقسیم بیشتر آن از نقطه نظر مشکل در حال حل نامناسب است.

بنابراین، یک سیستم را می توان به عنوان نمایش یک شی در قالب مجموعه ای از زیرسیستم ها، عناصر و اتصالات به منظور ایجاد، تحقیق یا بهبود آن تعریف کرد. در این حالت، نمایش بزرگ‌شده سیستم، شامل زیرسیستم‌های اصلی و اتصالات بین آن‌ها، ساختار کلان، و افشای دقیق ساختار داخلی سیستم تا سطح عناصر، ریزساختار نامیده می‌شود.

در کنار سیستم، معمولاً یک ابرسیستم وجود دارد - سیستمی از سطح بالاتر که شامل شی مورد نظر است و عملکرد هر سیستمی فقط از طریق ابرسیستم قابل تعیین است.

لازم است مفهوم محیط به عنوان مجموعه ای از اشیاء دنیای بیرونی برجسته شود که به طور قابل توجهی بر کارایی سیستم تأثیر می گذارد، اما بخشی از سیستم و ابرسیستم آن نیست.

در ارتباط با رویکرد سیستمی به مدل های ساختمانی، از مفهوم زیرساخت استفاده می شود که ارتباط سیستم را با محیط خود (محیط) توصیف می کند، در این مورد، شناسایی، توصیف و بررسی ویژگی های یک شی که ضروری است. در چارچوب یک کار خاص، طبقه بندی شی نامیده می شود و هر مدلی از شی، توصیف طبقه بندی شده آن است.

برای یک رویکرد سیستمی، تعیین ساختار سیستم مهم است، به عنوان مثال. مجموعه ای از ارتباطات بین عناصر سیستم که منعکس کننده تعامل آنهاست. برای این کار ابتدا رویکردهای ساختاری و عملکردی مدل سازی را در نظر می گیریم.

با رویکردی ساختاری، ترکیب عناصر منتخب سیستم و ارتباطات بین آنها آشکار می شود. مجموعه عناصر و اتصالات به ما امکان قضاوت درباره ساختار سیستم را می دهد. کلی ترین توصیف یک ساختار، توصیف توپولوژیکی است. این به شما امکان می دهد تا اجزای سیستم و اتصالات آنها را با استفاده از نمودار تعیین کنید. هنگامی که توابع جداگانه در نظر گرفته می شوند، به عنوان مثال، الگوریتم هایی برای رفتار سیستم، توصیف عملکردی کمتر کلی است. در این مورد، یک رویکرد عملکردی پیاده سازی می شود که عملکردهایی را که سیستم انجام می دهد، تعریف می کند.

بر اساس رویکرد سیستمی، می توان دنباله ای از توسعه مدل را پیشنهاد کرد، زمانی که دو مرحله طراحی اصلی متمایز می شوند: طراحی کلان و طراحی میکرو.

در مرحله طراحی کلان، مدلی از محیط خارجی ساخته می‌شود، منابع و محدودیت‌ها شناسایی می‌شوند، مدل سیستم و معیارهایی برای ارزیابی کفایت انتخاب می‌شوند.

مرحله طراحی میکرو تا حد زیادی به نوع خاص مدل انتخاب شده بستگی دارد. به طور کلی، شامل ایجاد اطلاعات، سیستم های مدل سازی ریاضی، فنی و نرم افزاری است. در این مرحله مشخصات فنی اصلی مدل ایجاد شده مشخص می شود، زمان لازم برای کار با آن و هزینه منابع برای به دست آوردن کیفیت مشخص شده مدل برآورد می شود.

صرف نظر از نوع مدل، هنگام ساخت آن، باید با تعدادی از اصول یک رویکرد سیستماتیک هدایت شود:

1) پیشرفت مداوم در مراحل ایجاد یک مدل؛

2) هماهنگی اطلاعات، منابع، قابلیت اطمینان و سایر مشخصات؛

3) رابطه صحیح بین سطوح مختلف ساخت مدل.

4) یکپارچگی مراحل فردی طراحی مدل.

دستورالعمل ها

روش مدلسازی آماری (آزمایش آماری) به روش مونت کارلو بسیار معروف است. این روش یک مورد خاص از مدل‌سازی ریاضی است و مبتنی بر ایجاد مدل‌های احتمالی از پدیده‌های تصادفی است. اساس هر تصادفی یک متغیر تصادفی یا یک فرآیند تصادفی است. در این مورد، یک فرآیند تصادفی از دیدگاه احتمالی به عنوان یک متغیر تصادفی n بعدی توصیف می شود. کاملا احتمالی متغیر تصادفیچگالی احتمال آن را می دهد. دانش این قانون توزیع به فرد اجازه می دهد تا مدل های دیجیتالی از فرآیندهای تصادفی را در رایانه به دست آورد، نه آزمایش های کامل با آنها. همه اینها فقط به صورت گسسته و در زمان گسسته امکان پذیر است که باید هنگام ایجاد مدل های استاتیک در نظر گرفته شود.

در مدلسازی ایستا، باید از در نظر گرفتن یک پدیده خاص دور شد و تنها بر ویژگی های احتمالی آن تمرکز کرد. این امکان استفاده از پدیده های ساده را برای مدل سازی فراهم می کند که شاخص های احتمالی مشابه پدیده مدل سازی شده دارند. به عنوان مثال، هر رویدادی که با احتمال 0.5 رخ می دهد را می توان با پرتاب یک سکه متقارن شبیه سازی کرد. هر مرحله جداگانه از مدل سازی آماری قرعه کشی نامیده می شود. بنابراین، برای تعیین برآورد انتظارات ریاضی، N ترسیم متغیر تصادفی (SV) X مورد نیاز خواهد بود.

ابزار اصلی شبیه سازی کامپیوتری، حسگرهای اعداد تصادفی یکنواخت در بازه (0، 1) است. بنابراین در محیط پاسکال با استفاده از دستور Random چنین عدد تصادفی فراخوانی می شود. ماشین حساب ها یک دکمه RND برای این مورد دارند. همچنین جداول چنین اعداد تصادفی (حداکثر 1000000) وجود دارد. مقدار یکنواخت در (0، 1) SV Z با z نشان داده می شود.

تکنیکی را برای مدلسازی یک متغیر تصادفی دلخواه با استفاده از تبدیل غیرخطی تابع توزیع در نظر بگیرید. این روش خطاهای روش شناختی ندارد. اجازه دهید قانون توزیع SV X پیوسته با چگالی احتمال W(x) داده شود. اینجاست که شما شروع به آماده سازی و اجرای مدل سازی می کنید.

تابع توزیع X - F(x) را پیدا کنید. F(x)=∫(-∞،x)W(s)ds. Z=z را بگیرید و معادله z=F(x) را برای x حل کنید (این همیشه ممکن است زیرا Z و F(x) هر دو دارای مقادیری از صفر تا یک هستند. جواب x=F^(-1) را بنویسید. )( z). این الگوریتم مدلسازی است. F^(-1) معکوس F است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به طور مداوم مقادیر xi مدل دیجیتال X* CD X را با استفاده از این الگوریتم بدست آوریم.

مثال. SV با چگالی احتمال W(x)=λexp(-λx)، x≥0 (توزیع نمایی) مشخص می شود. مدل دیجیتالی را پیدا کنید. راه حل.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx)، x=(-1/λ)∙ln(1-z). از آنجایی که هر دو z و 1-z مقادیری از بازه (0، 1) دارند و یکنواخت هستند، پس (1-z) را می توان با z جایگزین کرد. 3. روش مدل سازی SV نمایی طبق فرمول x=(-1/λ)∙lnz انجام می شود. به طور دقیق تر، xi=(-1/λ)ln(zi).

مدل ریاضی چیست؟

مفهوم یک مدل ریاضی.

مدل ریاضی یک مفهوم بسیار ساده است. و بسیار مهم است. این مدل های ریاضی هستند که ریاضیات و زندگی واقعی را به هم متصل می کنند.

صحبت كردن به زبان ساده, مدل ریاضی توصیفی ریاضی از هر موقعیتی است.همین. این مدل می تواند ابتدایی باشد، یا می تواند فوق العاده پیچیده باشد. هر شرایطی که باشد، مدل آن چنین است.)

در هر (تکرار می کنم - در هر!) در موردی که باید چیزی را بشمارید و محاسبه کنید - ما درگیر مدل سازی ریاضی هستیم. حتی اگر به آن مشکوک نباشیم.)

P = 2 CB + 3 CM

این ورودی یک مدل ریاضی از هزینه های خرید ما خواهد بود. در این مدل رنگ بسته بندی، تاریخ انقضا، ادب صندوق دار و ... در نظر گرفته نشده است. به همین دلیل است که او مدل،خرید واقعی نیست اما هزینه ها، یعنی آنچه ما نیاز داریم- حتما متوجه می شویم. البته اگه مدل درست باشه

تصور اینکه یک مدل ریاضی چیست مفید است، اما کافی نیست. مهمترین چیز این است که بتوانید این مدل ها را بسازید.

ترسیم (ساخت) مدل ریاضی مسئله.

ایجاد یک مدل ریاضی به معنای تبدیل شرایط مسئله به شکل ریاضی است. آن ها تبدیل کلمات به معادله، فرمول، نابرابری و غیره. علاوه بر این، آن را طوری تبدیل کنید که این ریاضیات کاملاً با متن منبع مطابقت داشته باشد. در غیر این صورت، ما با یک مدل ریاضی از یک مسئله دیگر که برای ما ناشناخته است، مواجه خواهیم شد.)

به طور خاص، شما نیاز دارید

تعداد بی پایانی از وظایف در جهان وجود دارد. بنابراین، ارائه واضح دستورالعمل های گام به گامدر ترسیم یک مدل ریاضی هروظایف غیر ممکن است

اما سه نکته اصلی وجود دارد که باید به آنها توجه کنید.

1. هر مشکلی حاوی متن است، به اندازه کافی عجیب.) این متن، به عنوان یک قاعده، شامل اطلاعات صریح و بازاعداد، مقادیر و غیره

2. هر مشکلی دارد اطلاعات پنهاناین متنی است که دانش اضافی را در ذهن شما فرض می کند. بدون آنها راهی وجود ندارد. علاوه بر این، اطلاعات ریاضی اغلب در پشت پنهان است به زبان سادهو ... از توجه گذشته است.

3. هر وظیفه ای باید داده شود ارتباط داده ها با یکدیگراین ارتباط می تواند در متن ساده ارائه شود (چیزی برابر با چیزی است)، یا می تواند در پشت کلمات ساده پنهان شود. اما حقایق ساده و واضح اغلب نادیده گرفته می شوند. و مدل به هیچ وجه کامپایل نشده است.

فوراً می گویم: برای اعمال این سه نکته، باید چندین بار مسئله را (و با دقت!) بخوانید. چیز معمولی

و اکنون - نمونه هایی.

بیایید با یک مشکل ساده شروع کنیم:

پتروویچ از ماهیگیری بازگشت و با افتخار صید خود را به خانواده تقدیم کرد. با بررسی دقیق تر، مشخص شد که 8 ماهی از آن آمده اند دریاهای شمال، 20٪ از همه ماهی ها از جنوب هستند و حتی یک مورد نیز از رودخانه محلی که پتروویچ در آن ماهیگیری می کرد نیست. پتروویچ چند ماهی از فروشگاه Seafood خرید؟

همه این کلمات باید به نوعی معادله تبدیل شوند. برای انجام این کار نیاز دارید، تکرار می کنم، یک ارتباط ریاضی بین تمام داده های مسئله ایجاد کنید.

از کجا شروع کنیم؟ ابتدا بیایید تمام داده ها را از کار استخراج کنیم. بیایید به ترتیب شروع کنیم:

به نکته اول توجه کنیم.

کدام یک اینجاست؟ صریحاطلاعات ریاضی؟ 8 ماهی و 20 درصد. زیاد نیست، اما ما به مقدار زیادی نیاز نداریم.)

اجازه دهید به نکته دوم توجه کنیم.

به دنبال پنهان شده استاطلاعات اینجاست. این کلمات هستند: "20٪ از تمام ماهی ها"در اینجا شما باید بفهمید که چند درصد هستند و چگونه محاسبه می شوند. در غیر این صورت مشکل حل نمی شود. این دقیقاً همان اطلاعات اضافی است که باید در ذهن شما باشد.

نیز وجود دارد ریاضیاطلاعاتی که کاملا نامرئی هستند. این سوال وظیفه: "چند ماهی خریدم..."این هم یک عدد است. و بدون آن هیچ مدلی شکل نمی گیرد. بنابراین بیایید این عدد را با حرف نشان دهیم "ایکس".ما هنوز نمی دانیم که x برابر است، اما این تعیین برای ما بسیار مفید خواهد بود. جزئیات بیشتر در مورد اینکه چه چیزی را برای X بگیریم و چگونه با آن رفتار کنیم در درس چگونه مسائل ریاضی را حل کنیم نوشته شده است؟ بیایید فوراً آن را بنویسیم:

x قطعه - تعداد کل ماهی.

در مشکل ما ماهی های جنوب به صورت درصد آورده شده است. ما باید آنها را به قطعات تبدیل کنیم. برای چی؟ سپس در چه هرمشکل مدل باید ترسیم شود در همان نوع مقادیرقطعات - بنابراین همه چیز تکه تکه است. اگر مثلاً ساعت ها و دقیقه ها به آنها داده شود، همه چیز را به یک چیز ترجمه می کنیم - یا فقط ساعت ها یا فقط دقیقه ها. مهم نیست چی باشه مهم است که همه مقادیر از یک نوع بودند.

بیایید به افشای اطلاعات برگردیم. هر که نداند علاقه چیست، هرگز آن را فاش نمی کند، بله... اما هر که بداند فوراً می گوید که علاقه اینجا از طرف است. تعداد کلماهی داده می شود. و ما این عدد را نمی دانیم. هیچ چیز کار نخواهد کرد!

بیهوده نیست که تعداد کل ماهی ها را (تکه تکه شده) می نویسیم. "ایکس"تعیین شده است. شمارش ماهی های جنوب امکان پذیر نخواهد بود، اما می توانیم آنها را یادداشت کنیم؟ مثل این:

0.2 قطعه - تعداد ماهی از دریاهای جنوب.

اکنون تمام اطلاعات وظیفه را دانلود کرده ایم. هم آشکار و هم پنهان.

اجازه دهید به نکته سوم توجه کنیم.

به دنبال ارتباط ریاضیبین داده های وظیفه این ارتباط آنقدر ساده است که خیلی ها متوجه آن نمی شوند... اغلب این اتفاق می افتد. در اینجا مفید است که به سادگی داده های جمع آوری شده را در یک انبوه بنویسید و ببینید چه چیزی چیست.

ما چه داریم؟ بخور 8 عددماهی شمال، 0.2 x قطعه- ماهی جنوب و x ماهی- مبلغ کل آیا می توان این داده ها را به نحوی به یکدیگر پیوند داد؟ بله آسان! تعداد کل ماهی ها برابر استمجموع جنوب و شمال! خب، چه کسی فکرش را می‌کرد...) پس آن را یادداشت می‌کنیم:

x = 8 + 0.2x

این معادله است مدل ریاضی مسئله ما

لطفا توجه داشته باشید که در این مشکل از ما خواسته نمی شود چیزی را تا کنیم!این خود ما بودیم که از سر خودمان خارج شدیم که متوجه شدیم از مجموع ماهی های جنوب و شمال، تعداد کل به ما می رسد. موضوع آنقدر واضح است که به آن توجهی نمی شود. اما بدون این شواهد نمی توان یک مدل ریاضی ایجاد کرد. مثل این.

اکنون می توانید از قدرت کامل ریاضیات برای حل این معادله استفاده کنید). دقیقاً به همین دلیل است که مدل ریاضی تدوین شده است. این معادله خطی را حل می کنیم و جواب می گیریم.

پاسخ: x=10

بیایید یک مدل ریاضی از یک مسئله دیگر ایجاد کنیم:

آنها از پتروویچ پرسیدند: "آیا پول زیادی داری؟" پتروویچ شروع به گریه کرد و پاسخ داد: "بله، فقط کمی. اگر نیمی از تمام پول را خرج کنم و نیمی از بقیه را، آنوقت فقط یک کیسه پول برایم باقی می ماند..." پتروویچ چقدر پول دارد. ?

دوباره نقطه به نقطه کار می کنیم.

1. ما به دنبال اطلاعات صریح هستیم. شما فوراً آن را پیدا نخواهید کرد! اطلاعات صریح است یکیکیف پول. چند نیمه دیگر نیز وجود دارد... خب، در نکته دوم به بررسی آن خواهیم پرداخت.

2. ما به دنبال اطلاعات پنهان هستیم. اینها نیمه هستند. چی؟ خیلی واضح نیست ما در حال جستجوی بیشتر هستیم. یه سوال دیگه هم هست: پتروویچ چقدر پول دارد؟اجازه دهید مقدار پول را با حرف نشان دهیم "ایکس":

ایکس- همه پول ها

و دوباره مشکل را خواندیم. از قبل می دانستم که پتروویچ ایکسپول این جایی است که نیمه کار خواهد کرد! می نویسیم:

0.5 x- نیمی از پول

باقیمانده نیز نصف خواهد شد، یعنی. 0.5 x.و نیمی از نیم را می توان اینگونه نوشت:

0.5 0.5 x = 0.25x- نیمی از باقیمانده

اکنون تمام اطلاعات پنهان آشکار و ثبت شده است.

3. ما به دنبال ارتباط بین داده های ثبت شده هستیم. در اینجا می توانید به سادگی رنج پتروویچ را بخوانید و آن را به صورت ریاضی بنویسید:

اگر نصف پول را خرج کنم...

بیایید این روند را ثبت کنیم. همه پول ها - ایکس.نیم - 0.5 x. خرج کردن، برداشتن است. این عبارت به یک ضبط تبدیل می شود:

x - 0.5 x

بله نصف بقیه ...

نیمی دیگر از باقی مانده را کم می کنیم:

x - 0.5 x - 0.25x

آنوقت فقط یک کیسه پول برایم باقی خواهد ماند...

و اینجا برابری پیدا کردیم! بعد از همه تفریق ها، یک کیسه پول باقی می ماند:

x - 0.5 x - 0.25 x = 1

اینم یه مدل ریاضی! این دوباره یک معادله خطی است، آن را حل می کنیم، به دست می آوریم:

سوال قابل تامل چهار چیست؟ روبل، دلار، یوان؟ و در مدل ریاضی ما پول در چه واحدهایی نوشته شده است؟ در کیسه ها!یعنی چهار کیسهپول از پتروویچ هم خوبه.)

البته وظایف ابتدایی هستند. این به طور خاص برای درک ماهیت طراحی یک مدل ریاضی است. برخی از کارها ممکن است حاوی داده های بسیار بیشتری باشند که گم شدن در آنها آسان است. این اغلب در به اصطلاح اتفاق می افتد. وظایف شایستگی نحوه استخراج محتوای ریاضی از انبوهی از کلمات و اعداد با مثال نشان داده شده است

یک یادداشت دیگر در مشکلات مدرسه کلاسیک (لوله هایی که یک استخر را پر می کنند، قایق هایی که در جایی شناور هستند و غیره)، همه داده ها، به عنوان یک قاعده، بسیار با دقت انتخاب می شوند. دو قانون وجود دارد:
- اطلاعات کافی در مشکل برای حل آن وجود دارد،
- هیچ اطلاعات غیر ضروری در یک مشکل وجود ندارد.

این یک اشاره است. اگر مقداری در مدل ریاضی بدون استفاده باقی مانده است، به این فکر کنید که آیا خطایی وجود دارد یا خیر. اگر داده های کافی وجود نداشته باشد، به احتمال زیاد، همه اطلاعات پنهان شناسایی و ثبت نشده اند.

در وظایف مربوط به شایستگی و سایر وظایف زندگی، این قوانین به شدت رعایت نمی شود. هیچ سرنخی. اما چنین مشکلاتی نیز قابل حل است. البته اگر روی کلاسیک تمرین کنید.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

با توجه به کتاب درسی Sovetov و Yakovlev: "مدل (مدول لاتین - اندازه گیری) یک شی جایگزین برای شی اصلی است که مطالعه برخی از ویژگی های اصلی را تضمین می کند." (ص 6) "به جای یک شی با شی دیگر به منظور به دست آوردن اطلاعاتی در مورد مهمترین ویژگی های شی اصلی با استفاده از یک شی مدل، مدل سازی نامیده می شود." (ص 6) «با مدل‌سازی ریاضی، فرآیند برقراری مطابقت با یک شیء واقعی معین با یک شیء ریاضی خاص، به نام مدل ریاضی، و مطالعه این مدل را درک می‌کنیم که به ما امکان می‌دهد ویژگی‌های واقعی را به دست آوریم. شی مورد بررسی نوع مدل ریاضی هم به ماهیت شی واقعی و هم به وظایف مطالعه شی و هم به پایایی و دقت مورد نیاز برای حل این مسئله بستگی دارد.

در نهایت، مختصرترین تعریف یک مدل ریاضی: "معادله ای که یک ایده را بیان می کند».

طبقه بندی مدل

طبقه بندی رسمی مدل ها

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی:

و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز (از لحاظ پارامترها)، توزیع شده در دیگری و غیره.

طبقه بندی بر اساس نحوه نمایش شی

همراه با طبقه بندی رسمی، مدل ها در نحوه نمایش یک شی متفاوت هستند:

• مدل های ساختاری یا عملکردی

مدل های سازه اییک شی را به عنوان یک سیستم با ساختار و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهد. مدل های کاربردیاز چنین نمایش هایی استفاده نکنید و فقط رفتار (عملکرد) شیء درک شده از بیرون را منعکس می کند. در بیان افراطی خود، آنها را مدل های "جعبه سیاه" نیز می نامند. انواع ترکیبی از مدل ها نیز امکان پذیر است که گاهی اوقات به آنها " جعبه خاکستری».

محتوا و مدل های رسمی

تقریباً تمام نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص ساخته می‌شود، مدل محتوا. در اینجا هیچ اصطلاح ثابتی وجود ندارد و سایر نویسندگان این موضوع را ایده آل می نامند مدل مفهومی , مدل حدس و گمانیا پیش مدل. در این حالت ساخت ریاضی نهایی نامیده می شود مدل رسمییا صرفاً یک مدل ریاضی که در نتیجه رسمی شدن یک مدل معنادار معین (پیش مدل) به دست آمده است. ساخت یک مدل معنادار را می توان با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده انجام داد، مانند مکانیک، که در آن فنرهای ایده آل مواد جامد، آونگ های ایده آل، رسانه های الاستیک و غیره را به صورت آماده ارائه می کنند عناصر ساختاریبرای مدلسازی معنادار با این حال، در حوزه‌هایی از دانش که تئوری‌های رسمی‌شده کاملاً تکمیل‌شده وجود ندارد (پیش‌های فیزیک، زیست‌شناسی، اقتصاد، جامعه‌شناسی، روان‌شناسی و بسیاری از زمینه‌های دیگر)، ایجاد مدل‌های معنادار به‌طور چشمگیری دشوارتر می‌شود.

طبقه بندی محتوایی مدل ها

هیچ فرضیه ای در علم یک بار برای همیشه قابل اثبات نیست. ریچارد فاینمن این را به وضوح بیان کرد:

ما همیشه این فرصت را داریم که یک نظریه را رد کنیم، اما توجه داشته باشید که هرگز نمی توانیم صحت آن را ثابت کنیم. بیایید فرض کنیم که شما یک فرضیه موفق را مطرح کرده اید، محاسبه کرده اید که به کجا منتهی می شود، و متوجه شده اید که تمام پیامدهای آن به صورت تجربی تایید شده اند. آیا این بدان معناست که نظریه شما درست است؟ نه، این به سادگی به این معنی است که شما نتوانستید آن را رد کنید.»

اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت به عنوان حقیقت پذیرفته شده و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت یک مدل از نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

نوع 2: مدل پدیدارشناختی (ما طوری رفتار می کنیم که انگار…)

یک مدل پدیدارشناختی دارای مکانیزمی برای توصیف یک پدیده است. با این حال، این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود، یا به خوبی با نظریه های موجود و دانش انباشته شده در مورد شی مطابقت ندارد. بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و جستجو برای "مکانیسم های واقعی" باید ادامه یابد. Peierls شامل مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی به عنوان نوع دوم است.

نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند و ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به وضعیت یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید می‌تواند به تدریج با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول در تضاد باشد و آنها را به دومی تبدیل کند. بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 راه یافته اند و اکنون خارج از علم هستند.

ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده‌سازی به اشکال مختلف ظاهر می‌شود. Peierls سه نوع ساده سازی در مدل سازی را شناسایی می کند.

نوع 3: تقریب (ما چیزی را بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر می گیریم)

اگر بتوان معادلاتی ساخت که سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، به این معنی نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. در میان آنها مدل های پاسخ خطی. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. یک مثال استاندارد قانون اهم است.

در اینجا نوع 8 می آید که در مدل های ریاضی سیستم های بیولوژیکی گسترده است.

نوع 8: نمایش ویژگی (نکته اصلی نشان دادن سازگاری درونی امکان است)

اینها نیز آزمایش های فکری هستندبا موجودات خیالی که نشان می دهد پدیده فرضیمنطبق با اصول اولیه و سازگار درونی. این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند.

یکی از معروف ترین این آزمایش ها هندسه لوباچفسکی است (لوباچفسکی آن را "هندسه خیالی" نامیده است). مثال دیگر تولید انبوه مدل‌های رسمی جنبشی ارتعاشات شیمیایی و بیولوژیکی، امواج خودکار و غیره است. پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن به عنوان یک مدل نوع 7 برای نشان دادن ناسازگاری در نظر گرفته شد. مکانیک کوانتومی. در یک روش کاملاً برنامه ریزی نشده، در نهایت به یک مدل نوع 8 تبدیل شد - نمایشی از امکان انتقال اطلاعات کوانتومی از راه دور.

مثال

در نظر بگیریم سیستم مکانیکی، متشکل از یک فنر ثابت در یک سر و توده ای از جرم متصل به انتهای آزاد فنر. فرض می کنیم که بار فقط می تواند در جهت محور فنر حرکت کند (مثلاً حرکت در امتداد میله رخ می دهد). بیایید یک مدل ریاضی از این سیستم بسازیم. ما وضعیت سیستم را با فاصله از مرکز بار تا موقعیت تعادل آن توصیف خواهیم کرد. اجازه دهید تعامل فنر و بار استفاده را شرح دهیم قانون هوک() و سپس از قانون دوم نیوتن برای بیان آن در قالب یک معادله دیفرانسیل استفاده کنید:

کجا یعنی مشتق دوم از نسبت به زمان: .

معادله به دست آمده مدل ریاضی در نظر گرفته شده را توصیف می کند سیستم فیزیکی. این مدل "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود.

طبق طبقه بندی رسمی، این مدل خطی، قطعی، پویا، متمرکز، پیوسته است. در روند ساخت آن، ما مفروضات زیادی (در مورد عدم وجود نیروهای خارجی، عدم وجود اصطکاک، انحرافات کوچک و غیره) که در واقعیت ممکن است برآورده نشود.

در رابطه با واقعیت، این اغلب یک مدل نوع 4 است ساده سازی("ما برخی از جزئیات را برای وضوح حذف خواهیم کرد")، زیرا برخی از ویژگی های اساسی جهانی (به عنوان مثال، اتلاف) حذف شده اند. تا حدودی تقریبی (مثلاً، در حالی که انحراف بار از حالت تعادل کم است، با اصطکاک کم، برای مدت زمان نه چندان طولانی و مشروط به شرایط خاص دیگر)، چنین مدلی یک سیستم مکانیکی واقعی را به خوبی توصیف می کند، زیرا عوامل دور ریخته شده تأثیر ناچیزی بر رفتار آن دارد. با این حال، مدل را می توان با در نظر گرفتن برخی از این عوامل اصلاح کرد. این منجر به مدل جدیدی با دامنه کاربرد گسترده تر (اگرچه باز هم محدود) خواهد شد.

با این حال، هنگام اصلاح مدل، پیچیدگی تحقیقات ریاضی آن می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد و مدل را عملاً بی استفاده کند. اغلب، یک مدل ساده تر امکان کاوش بهتر و عمیق تر از یک سیستم واقعی را نسبت به یک سیستم پیچیده تر (و به طور رسمی، "درست تر") می دهد.

اگر مدل نوسانگر هارمونیک را برای اجسام دور از فیزیک اعمال کنیم، وضعیت ماهوی آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید به عنوان نوع 6 طبقه بندی شود مقایسه("بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم").

مدل های سخت و نرم

نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از مدل به اصطلاح "سخت" است. در نتیجه ایده آل سازی قوی یک سیستم فیزیکی واقعی به دست می آید. برای حل مسئله کاربردی بودن آن، لازم است درک کنیم که عواملی که ما از آنها غفلت کرده ایم چقدر مهم هستند. به عبارت دیگر، بررسی مدل "نرم" که با اغتشاش کوچک "سخت" به دست می آید، ضروری است. می توان آن را برای مثال با معادله زیر به دست آورد:

در اینجا تابعی وجود دارد که می تواند نیروی اصطکاک یا وابستگی ضریب سختی فنر به میزان کشش آن را در نظر بگیرد - برخی پارامترهای کوچک. شکل صریح تابع ما در این لحظهعلاقه مند نیست اگر ثابت کنیم که رفتار مدل نرم تفاوت اساسی با رفتار مدل سخت ندارد (صرف نظر از نوع صریح عوامل مزاحم، اگر به اندازه کافی کوچک باشند)، مشکل به مطالعه مدل سخت خلاصه می شود. در غیر این صورت، اعمال نتایج حاصل از مطالعه مدل صلب نیاز به تحقیقات بیشتری دارد. به عنوان مثال، حل معادله یک نوسان ساز هارمونیک، توابعی به شکل، یعنی نوسانات با دامنه ثابت است. آیا از این نتیجه می شود که یک نوسان ساز واقعی به طور نامحدود با دامنه ثابت نوسان می کند؟ خیر، زیرا با در نظر گرفتن یک سیستم با اصطکاک خودسرانه کوچک (همیشه در یک سیستم واقعی وجود دارد)، نوسانات میرا دریافت می کنیم. رفتار سیستم از نظر کیفی تغییر کرده است.

اگر سیستمی رفتار کیفی خود را تحت اختلالات کوچک حفظ کند، گفته می شود که از نظر ساختاری پایدار است. یک نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از یک سیستم ساختاری ناپایدار (غیر خشن) است. با این حال، این مدل می تواند برای مطالعه فرآیندها در دوره های زمانی محدود مورد استفاده قرار گیرد.

تطبیق پذیری مدل ها

مهم ترین مدل های ریاضی معمولا دارند دارایی مهم تطبیق پذیری: پدیده های واقعی اساسا متفاوت را می توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی فنر را توصیف می کند، بلکه موارد دیگر را نیز توصیف می کند. فرآیندهای نوسانیاغلب دارای ماهیت کاملاً متفاوتی است: نوسانات کوچک آونگ، نوسانات سطح مایع در یک ظرف A شکل، یا تغییر در قدرت جریان در یک مدار نوسانی. بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما بلافاصله یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. این هم شکلی قوانین است که توسط مدل های ریاضی در بخش های مختلف بیان می شود دانش علمیالهام بخش لودویگ فون برتالانفی برای ایجاد "نظریه سیستم های عمومی".

مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا باید یک نمودار اساسی از شی مدل شده ارائه دهید، آن را در چارچوب ایده آل سازی های این علم بازتولید کنید. بنابراین، یک واگن قطار به سیستمی از صفحات و بدنه های پیچیده تر از مواد مختلف تبدیل می شود، هر ماده به عنوان ایده آل سازی مکانیکی استاندارد آن (چگالی، مدول الاستیک، ویژگی های مقاومت استاندارد) مشخص می شود، پس از آن معادلات ترسیم می شوند، و در طول مسیر. برخی از جزئیات به عنوان بی اهمیت کنار گذاشته می شوند، محاسبات انجام می شود، در مقایسه با اندازه گیری ها، مدل پالایش می شود و غیره. با این حال، برای توسعه فناوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند در اجزای اصلی آن مفید است.

به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس.

وظیفه مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی انجام مطالعه مدل برای استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را تحمل می کند؟ چگونه به یک بار دینامیک (مثلاً به راهپیمایی گروهی از سربازان یا عبور قطار با سرعت های مختلف) واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر دیوار صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک مشکل مستقیم هستند. تنظیم مشکل مستقیم درست (پرسیدن سوال درست) به مهارت خاصی نیاز دارد. اگر سؤالات درست پرسیده نشود، ممکن است یک پل فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879، یک پل فلزی بر روی رودخانه تای در بریتانیای کبیر فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را محاسبه کردند که دارای ضریب ایمنی 20 برابری برای عملکرد محموله است، اما بادها را فراموش کردند. مدام در آن مکان ها می وزد. و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت.

در ساده ترین حالت (مثلاً معادله یک نوسانگر)، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله کاهش می یابد.

مشکل معکوس: بسیاری از مدل های ممکن شناخته شده است، یک مدل خاص باید بر اساس داده های اضافی در مورد شی انتخاب شود. اغلب، ساختار مدل مشخص است و برخی از پارامترهای ناشناخته باید تعیین شوند. اطلاعات تکمیلیممکن است شامل داده های تجربی اضافی یا الزامات مورد نظر باشد ( مشکل طراحی). داده های اضافی می توانند بدون توجه به روند حل مسئله معکوس به دست آیند ( مشاهده غیرفعال) یا نتیجه آزمایشی باشد که به طور ویژه در طول حل برنامه ریزی شده است ( نظارت فعال).

یکی از اولین نمونه‌های یک راه‌حل استادانه برای یک مسئله معکوس با استفاده کامل از داده‌های موجود، روشی بود که توسط I. Newton برای بازسازی نیروهای اصطکاک از نوسانات میرایی مشاهده‌شده ساخته شد.

مثال دیگر آمار ریاضی است. وظیفه این علم توسعه روش هایی برای ثبت، توصیف و تجزیه و تحلیل داده های مشاهده ای و تجربی به منظور ساخت مدل های احتمالی از پدیده های تصادفی انبوه است. آن ها مجموعه مدل های ممکن به مدل های احتمالی محدود می شود. در کارهای خاص، مجموعه مدل ها محدودتر است.

سیستم های شبیه سازی کامپیوتری

برای پشتیبانی از مدل سازی ریاضی، سیستم های ریاضی کامپیوتری توسعه یافته اند، به عنوان مثال، Maple، Mathematica، Mathcad، MATLAB، VisSim و غیره. آنها به شما امکان می دهند مدل های رسمی و بلوکی از فرآیندها و دستگاه های ساده و پیچیده ایجاد کنید و به راحتی پارامترهای مدل را در طول تغییر دهید. مدل سازی مدل های بلوکتوسط بلوک ها (اغلب گرافیکی) نشان داده می شوند که مجموعه و اتصال آنها توسط نمودار مدل مشخص شده است.

نمونه های اضافی

مدل مالتوس

نرخ رشد متناسب است اندازه فعلیجمعیت ها با معادله دیفرانسیل توصیف می شود

که در آن یک پارامتر مشخص با تفاوت بین نرخ تولد و مرگ و میر تعیین می شود. راه حل این معادله است تابع نمایی. اگر نرخ زاد و ولد از نرخ مرگ و میر بیشتر شود ()، اندازه جمعیت به طور نامحدود و بسیار سریع افزایش می یابد. واضح است که در واقعیت این امر به دلیل محدودیت منابع امکان پذیر نیست. هنگامی که به یک اندازه جمعیت بحرانی مشخص می‌رسید، مدل کافی نیست، زیرا منابع محدودی را در نظر نمی‌گیرد. اصلاح مدل مالتوس می تواند یک مدل لجستیک باشد که با معادله دیفرانسیل ورهولست توصیف می شود.

اندازه جمعیت "تعادل" کجاست، که در آن نرخ تولد دقیقاً با نرخ مرگ و میر جبران می شود. اندازه جمعیت در چنین مدلی به یک مقدار تعادل تمایل دارد و این رفتار از نظر ساختاری پایدار است.

سیستم شکارچی

فرض کنید دو نوع جانور در یک منطقه زندگی می کنند: خرگوش (گیاه خوار) و روباه (خرگوش خوار). بگذارید تعداد خرگوش ها، تعداد روباه ها. با استفاده از مدل مالتوس با اصلاحات لازم برای در نظر گرفتن خوردن خرگوش توسط روباه به سیستم زیر می رسیم که نام دارد. مدل سینی - Volterra:

این سیستم زمانی که تعداد خرگوش ها و روباه ها ثابت باشد حالت تعادل دارد. انحراف از این حالت منجر به نوساناتی در تعداد خرگوش ها و روباه ها می شود، مشابه نوسانات یک نوسان ساز هارمونیک. همانند نوسان ساز هارمونیک، این رفتار از نظر ساختاری پایدار نیست: یک تغییر کوچک در مدل (به عنوان مثال، در نظر گرفتن منابع محدود مورد نیاز خرگوش ها) می تواند منجر به تغییر کیفی در رفتار شود. به عنوان مثال، حالت تعادل ممکن است پایدار شود و نوسانات در اعداد از بین خواهند رفت. وضعیت برعکس نیز ممکن است، زمانی که هر انحراف کوچک از وضعیت تعادل منجر به عواقب فاجعه بار، تا انقراض کامل یکی از گونه ها شود. مدل Volterra-Lotka به این سؤال پاسخ نمی دهد که کدام یک از این سناریوها در حال تحقق است: در اینجا به تحقیقات بیشتری نیاز است.

یادداشت

1. "بازنمایی ریاضی واقعیت" (دایره المعارف بریتانیا)
2. نوویک I. B.، در باره مسائل فلسفیمدل سازی سایبرنتیک م.، دانش، 1964.
3. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2
4. سامارسکی A. A.، Mikhailov A. P.مدل سازی ریاضی ایده ها. مواد و روش ها. مثال ها. - چاپ دوم، برگردان - M.: Fizmatlit، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga, 2007. - 192 با ISBN 978-5-484-00953-4
6. سووستیانوف، A.G. مدل سازی فرآیندهای فناوری: کتاب درسی / A.G. سووستیانوف، P.A. سووستیانوف. - م.: صنایع سبک و غذا، 1984. - 344 ص.
7. ویکی‌واژه: مدل ریاضی
8. CliffsNotes.com. واژه نامه علوم زمین. 20 سپتامبر 2010
9. مدل کاهش و رویکردهای دانه درشت برای پدیده های چند مقیاسی، Springer، سری پیچیدگی، برلین-هایدلبرگ-نیویورک، 2006. XII+562 pp. شابک 3-540-35885-4
10. یک نظریه بسته به نوع دستگاه ریاضی - خطی یا غیرخطی - و نوع مدل‌های ریاضی خطی یا غیرخطی که از آن استفاده می‌کند، خطی یا غیرخطی در نظر گرفته می‌شود. ...بدون انکار دومی. یک فیزیکدان مدرن، اگر مجبور شود تعریف موجودیت مهمی مانند غیرخطی بودن را دوباره ایجاد کند، به احتمال زیاد به گونه‌ای دیگر عمل می‌کند، و با ارجحیت به غیرخطی بودن به عنوان مهم‌تر و گسترده‌تر از دو متضاد، خطی بودن را این‌گونه تعریف می‌کند: «نه غیر خطی بودن.» دانیلوف یو. ا.، سخنرانی در مورد دینامیک غیر خطی. مقدمه ابتدایی. مجموعه "هم افزایی: از گذشته تا آینده". نسخه 2. - M.: URSS، 2006. - 208 p. شابک 5-484-00183-8
11. "سیستم های پویا مدل سازی شده اند عدد محدودمعادلات دیفرانسیل معمولی سیستم های متمرکز یا نقطه ای نامیده می شوند. آنها با استفاده از یک فضای فاز محدود بعد توصیف می شوند و با تعداد محدودی از درجات آزادی مشخص می شوند. همین سیستم در شرایط مختلفرا می توان به صورت متمرکز یا توزیع شده در نظر گرفت. مدل های ریاضی سیستم های توزیع شده هستند معادلات دیفرانسیلمشتقات جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات معمولیبا استدلال تاخیری تعداد درجات آزادی یک سیستم توزیع شده بی نهایت است و برای تعیین وضعیت آن به تعداد نامتناهی داده نیاز است. آنیشچنکو وی.اس.، سیستم های پویا، مجله آموزشی سوروس، 1376، شماره 11، ص. 77-84.
12. بسته به ماهیت فرآیندهای مورد مطالعه در سیستم S، همه انواع مدل‌سازی را می‌توان به قطعی و تصادفی، ایستا و پویا، گسسته، پیوسته و گسسته-پیوسته تقسیم کرد. مدل‌سازی قطعی منعکس‌کننده فرآیندهای قطعی است، یعنی فرآیندهایی که در آن‌ها فقدان تأثیرات تصادفی فرض می‌شود. مدل‌سازی تصادفی فرآیندها و رویدادهای احتمالی را به تصویر می‌کشد. ... مدل سازی استاتیک برای توصیف رفتار یک شی در هر نقطه از زمان عمل می کند و مدل سازی پویا رفتار یک شی را در طول زمان منعکس می کند. مدل سازی گسسته برای توصیف فرآیندهایی استفاده می شود که فرض می شود گسسته هستند، به ترتیب، مدل سازی پیوسته به ما امکان می دهد فرآیندهای پیوسته را در سیستم ها منعکس کنیم، و مدل سازی گسسته-پیوسته برای مواردی استفاده می شود که آنها می خواهند حضور هر دو فرآیند گسسته و پیوسته را برجسته کنند. ” Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.شابک 5-06-003860-2
13. به طور معمول، یک مدل ریاضی ساختار (دستگاه) شی مدل‌سازی شده، ویژگی‌ها و روابط اجزای این شی را که برای اهداف تحقیق ضروری هستند، منعکس می‌کند. چنین مدلی ساختاری نامیده می شود. اگر مدل فقط نحوه عملکرد شی را منعکس کند - به عنوان مثال، چگونه به تأثیرات خارجی واکنش نشان می دهد - آنگاه آن را عملکردی یا به طور مجازی یک جعبه سیاه می نامند. مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است. میشکیس A.D.شابک 978-5-484-00953-4
14. بدیهی، اما مهم‌ترین مرحله اولیه ساخت یا انتخاب یک مدل ریاضی، به دست آوردن تصویری واضح تا حد امکان از شی مورد مدل‌سازی و اصلاح مدل معنادار آن، بر اساس بحث‌های غیررسمی است. در این مرحله نباید از زمان و تلاش خود دریغ کنید، موفقیت کل مطالعه تا حد زیادی به آن بستگی دارد. بیش از یک بار اتفاق افتاده است که کار قابل توجهی که برای حل یک مسئله ریاضی صرف شده است، به دلیل توجه ناکافی به این سمت موضوع، بی‌اثر بوده یا حتی هدر رفته است.» میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « شرح مدل مفهومی سیستم.در این مرحله فرعی از ساخت یک مدل سیستمی: الف) مدل مفهومی M در اصطلاحات و مفاهیم انتزاعی توصیف می شود. ب) توصیف مدل با استفاده از طرح‌های ریاضی استاندارد ارائه شده است. ج) فرضیه ها و مفروضات در نهایت پذیرفته می شوند. د) انتخاب روش برای تقریب فرآیندهای واقعی هنگام ساخت یک مدل موجه است. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2، ص. 93.
16. Blekhman I. I.، Myshkis A. D.،