با توجه به کتاب درسی Sovetov و Yakovlev: "یک مدل (lat. modulus - اندازه گیری) یک شی جایگزین برای شی اصلی است که مطالعه برخی از ویژگی های اصلی را تضمین می کند." (ص 6) "به جای یک شی با شی دیگر به منظور به دست آوردن اطلاعاتی در مورد مهمترین ویژگی های شی اصلی با استفاده از یک شی مدل، مدل سازی نامیده می شود." (ص. 6) "با مدل سازی ریاضی ما فرآیند ایجاد مطابقت با یک شی واقعی معین با یک شیء ریاضی را که مدل ریاضی نامیده می شود، و مطالعه این مدل را درک خواهیم کرد که به ما امکان می دهد ویژگی های شیء را بدست آوریم. توجه شی واقعی. نوع مدل ریاضی هم به ماهیت شی واقعی و هم به وظایف مطالعه شی و هم به پایایی و دقت مورد نیاز برای حل این مسئله بستگی دارد.

در نهایت، مختصرترین تعریف یک مدل ریاضی: "معادله ای که یک ایده را بیان می کند».

طبقه بندی مدل

طبقه بندی رسمی مدل ها

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی:

و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز (از لحاظ پارامترها)، توزیع شده در دیگری و غیره.

طبقه بندی بر اساس نحوه نمایش شی

همراه با طبقه بندی رسمی، مدل ها در نحوه نمایش یک شی متفاوت هستند:

• مدل های ساختاری یا عملکردی

مدل های سازه اییک شی را به عنوان یک سیستم با ساختار و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهد. مدل های کاربردیاز چنین نمایش هایی استفاده نکنید و فقط رفتار (عملکرد) شیء درک شده از بیرون را منعکس می کند. در بیان افراطی خود، آنها را مدل های "جعبه سیاه" نیز می نامند. انواع ترکیبی از مدل ها نیز امکان پذیر است که گاهی اوقات به آنها " جعبه خاکستری».

محتوا و مدل های رسمی

تقریباً تمام نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص ساخته می‌شود، مدل محتوا. در اینجا هیچ اصطلاح ثابتی وجود ندارد و سایر نویسندگان این موضوع را ایده آل می نامند مدل مفهومی , مدل حدس و گمانیا پیش مدل. در این حالت ساخت ریاضی نهایی نامیده می شود مدل رسمییا صرفاً یک مدل ریاضی که در نتیجه رسمی شدن یک مدل معنادار معین (پیش مدل) به دست آمده است. ساخت یک مدل معنادار را می توان با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده انجام داد، مانند مکانیک، که در آن فنرهای ایده آل، بدنه های صلب، آونگ های ایده آل، رسانه های الاستیک و غیره به صورت آماده ارائه می شوند. عناصر ساختاریبرای مدلسازی معنادار با این حال، در حوزه‌هایی از دانش که تئوری‌های رسمی‌شده کاملاً تکمیل‌شده وجود ندارد (پیش‌های فیزیک، زیست‌شناسی، اقتصاد، جامعه‌شناسی، روان‌شناسی و بسیاری از زمینه‌های دیگر)، ایجاد مدل‌های معنادار به‌طور چشمگیری دشوارتر می‌شود.

طبقه بندی محتوایی مدل ها

هیچ فرضیه ای در علم یک بار برای همیشه قابل اثبات نیست. ریچارد فاینمن این را به وضوح بیان کرد:

ما همیشه این فرصت را داریم که یک نظریه را رد کنیم، اما توجه داشته باشید که هرگز نمی توانیم صحت آن را ثابت کنیم. بیایید فرض کنیم که شما یک فرضیه موفق را مطرح کرده اید، محاسبه کرده اید که به کجا منتهی می شود، و متوجه شده اید که تمام پیامدهای آن به صورت تجربی تایید شده اند. آیا این بدان معناست که نظریه شما درست است؟ نه، این به سادگی به این معنی است که شما نتوانستید آن را رد کنید.»

اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت به عنوان حقیقت پذیرفته شده و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت یک مدل از نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

نوع 2: مدل پدیدارشناختی (ما طوری رفتار می کنیم که انگار…)

یک مدل پدیدارشناختی دارای مکانیزمی برای توصیف یک پدیده است. با این حال، این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود، یا به خوبی با نظریه های موجود و دانش انباشته شده در مورد شی مطابقت ندارد. بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و جستجو برای "مکانیسم های واقعی" باید ادامه یابد. Peierls شامل مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی به عنوان نوع دوم است.

نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند و ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به وضعیت یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید می‌تواند به تدریج با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول در تضاد باشد و آنها را به دومی تبدیل کند. بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 راه یافته اند و اکنون خارج از علم هستند.

ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده‌سازی به اشکال مختلف ظاهر می‌شود. Peierls سه نوع ساده سازی در مدل سازی را شناسایی می کند.

نوع 3: تقریب (ما چیزی را بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر می گیریم)

اگر بتوان معادلاتی ساخت که سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، به این معنی نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. در میان آنها مدل های پاسخ خطی. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. یک مثال استاندارد قانون اهم است.

در اینجا نوع 8 می آید که در مدل های ریاضی سیستم های بیولوژیکی گسترده است.

نوع 8: نمایش ویژگی (نکته اصلی نشان دادن سازگاری درونی امکان است)

اینها نیز آزمایش های فکری هستندبا موجودات خیالی که نشان می دهد پدیده فرضیمنطبق با اصول اولیه و سازگار درونی. این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند.

یکی از معروف ترین این آزمایش ها هندسه لوباچفسکی است (لوباچفسکی آن را "هندسه خیالی" نامیده است). مثال دیگر تولید انبوه مدل‌های رسمی جنبشی ارتعاشات شیمیایی و بیولوژیکی، امواج خودکار و غیره است. پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن به عنوان یک مدل نوع 7 برای نشان دادن ناسازگاری در نظر گرفته شد. مکانیک کوانتومی. در یک روش کاملاً برنامه ریزی نشده، در نهایت به یک مدل نوع 8 تبدیل شد - نمایشی از امکان انتقال اطلاعات کوانتومی از راه دور.

مثال

یک سیستم مکانیکی متشکل از یک فنر ثابت در یک سر و یک جرم جرم متصل به انتهای آزاد فنر را در نظر بگیرید. فرض می کنیم که بار فقط می تواند در جهت محور فنر حرکت کند (مثلاً حرکت در امتداد میله رخ می دهد). بیایید یک مدل ریاضی از این سیستم بسازیم. ما وضعیت سیستم را با فاصله از مرکز بار تا موقعیت تعادل آن توصیف خواهیم کرد. اجازه دهید تعامل فنر و بار استفاده را شرح دهیم قانون هوک() و سپس از قانون دوم نیوتن برای بیان آن در قالب یک معادله دیفرانسیل استفاده کنید:

کجا یعنی مشتق دوم از نسبت به زمان: .

معادله به دست آمده مدل ریاضی در نظر گرفته شده را توصیف می کند سیستم فیزیکی. این مدل "نوسانگر هارمونیک" نامیده می شود.

طبق طبقه بندی رسمی، این مدل خطی، قطعی، پویا، متمرکز، پیوسته است. در روند ساخت آن، ما مفروضات زیادی (در مورد عدم وجود نیروهای خارجی، عدم وجود اصطکاک، انحرافات کوچک و غیره) که در واقعیت ممکن است برآورده نشود.

در رابطه با واقعیت، این اغلب یک مدل نوع 4 است ساده سازی("ما برخی از جزئیات را برای وضوح حذف خواهیم کرد")، زیرا برخی از ویژگی های اساسی جهانی (به عنوان مثال، اتلاف) حذف شده اند. تا حدودی تقریبی (مثلاً، در حالی که انحراف بار از حالت تعادل کم است، با اصطکاک کم، برای مدت زمان نه چندان طولانی و مشروط به شرایط خاص دیگر)، چنین مدلی یک سیستم مکانیکی واقعی را به خوبی توصیف می کند، زیرا عوامل دور ریخته شده تأثیر ناچیزی بر رفتار آن دارد. با این حال، مدل را می توان با در نظر گرفتن برخی از این عوامل اصلاح کرد. این منجر به مدل جدیدی با دامنه کاربرد گسترده تر (اگرچه باز هم محدود) خواهد شد.

با این حال، هنگام اصلاح مدل، پیچیدگی تحقیقات ریاضی آن می تواند به طور قابل توجهی افزایش یابد و مدل را عملاً بی استفاده کند. اغلب، یک مدل ساده تر امکان کاوش بهتر و عمیق تر از یک سیستم واقعی را نسبت به یک سیستم پیچیده تر (و به طور رسمی، "درست تر") می دهد.

اگر مدل نوسانگر هارمونیک را برای اجسام دور از فیزیک اعمال کنیم، وضعیت ماهوی آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید به عنوان نوع 6 طبقه بندی شود مقایسه("بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم").

مدل های سخت و نرم

نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از مدل به اصطلاح "سخت" است. در نتیجه ایده آل سازی قوی یک سیستم فیزیکی واقعی به دست می آید. برای حل مسئله کاربردی بودن آن، لازم است درک کنیم که عواملی که ما از آنها غفلت کرده ایم چقدر مهم هستند. به عبارت دیگر، بررسی مدل "نرم" که با اغتشاش کوچک "سخت" به دست می آید، ضروری است. می توان آن را برای مثال با معادله زیر به دست آورد:

در اینجا تابعی وجود دارد که می تواند نیروی اصطکاک یا وابستگی ضریب سختی فنر به میزان کشش آن را در نظر بگیرد - برخی پارامترهای کوچک. شکل صریح تابع ما در این لحظهعلاقه مند نیست اگر ثابت کنیم که رفتار مدل نرم تفاوت اساسی با رفتار مدل سخت ندارد (صرف نظر از نوع صریح عوامل مزاحم، اگر به اندازه کافی کوچک باشند)، مشکل به مطالعه مدل سخت خلاصه می شود. در غیر این صورت، اعمال نتایج حاصل از مطالعه مدل صلب نیاز به تحقیقات بیشتری دارد. به عنوان مثال، حل معادله یک نوسان ساز هارمونیک، توابعی به شکل، یعنی نوسانات با دامنه ثابت است. آیا از این نتیجه می شود که یک نوسان ساز واقعی به طور نامحدود با دامنه ثابت نوسان می کند؟ خیر، زیرا با در نظر گرفتن یک سیستم با اصطکاک خودسرانه کوچک (همیشه در یک سیستم واقعی وجود دارد)، نوسانات میرا دریافت می کنیم. رفتار سیستم از نظر کیفی تغییر کرده است.

اگر سیستمی رفتار کیفی خود را تحت اختلالات کوچک حفظ کند، گفته می شود که از نظر ساختاری پایدار است. یک نوسان ساز هارمونیک نمونه ای از یک سیستم ساختاری ناپایدار (غیر خشن) است. با این حال، این مدل می تواند برای مطالعه فرآیندها در دوره های زمانی محدود مورد استفاده قرار گیرد.

تطبیق پذیری مدل ها

مهم ترین مدل های ریاضی معمولا دارند دارایی مهم تطبیق پذیری: پدیده های واقعی اساسا متفاوت را می توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی فنر را توصیف می کند، بلکه موارد دیگر را نیز توصیف می کند. فرآیندهای نوسانیاغلب دارای ماهیت کاملاً متفاوتی است: نوسانات کوچک آونگ، نوسانات سطح مایع در یک ظرف A شکل، یا تغییر در قدرت جریان در یک مدار نوسانی. بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما بلافاصله یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. این هم شکلی قوانین است که توسط مدل های ریاضی در بخش های مختلف بیان می شود دانش علمیالهام بخش لودویگ فون برتالانفی برای ایجاد "نظریه سیستم های عمومی".

مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا باید یک نمودار اساسی از شی مدل شده ارائه دهید، آن را در چارچوب ایده آل سازی های این علم بازتولید کنید. بنابراین، یک واگن قطار به سیستمی از صفحات و بدنه های پیچیده تر از مواد مختلف تبدیل می شود، هر ماده به عنوان ایده آل سازی مکانیکی استاندارد آن (چگالی، مدول الاستیک، ویژگی های مقاومت استاندارد) مشخص می شود، پس از آن معادلات ترسیم می شوند، و در طول مسیر. برخی از جزئیات به عنوان بی اهمیت کنار گذاشته می شوند، محاسبات انجام می شود، در مقایسه با اندازه گیری ها، مدل پالایش می شود و غیره. با این حال، برای توسعه فناوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند در اجزای اصلی آن مفید است.

به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس.

وظیفه مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی انجام مطالعه مدل برای استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را تحمل می کند؟ چگونه به یک بار دینامیک (مثلاً به راهپیمایی گروهی از سربازان یا عبور قطار با سرعت های مختلف) واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر دیوار صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک مشکل مستقیم هستند. تنظیم مشکل مستقیم درست (پرسیدن سوال درست) به مهارت خاصی نیاز دارد. اگر سؤالات درست پرسیده نشود، ممکن است یک پل فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879، یک پل فلزی بر روی رودخانه تای در بریتانیای کبیر فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را محاسبه کردند که دارای ضریب ایمنی 20 برابری برای عملکرد محموله است، اما بادها را فراموش کردند. مدام در آن مکان ها می وزد. و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت.

در ساده ترین حالت (مثلاً معادله یک نوسانگر)، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله کاهش می یابد.

مشکل معکوس: بسیاری از مدل های ممکن شناخته شده است، یک مدل خاص باید بر اساس داده های اضافی در مورد شی انتخاب شود. اغلب، ساختار مدل مشخص است و برخی از پارامترهای ناشناخته باید تعیین شوند. اطلاعات تکمیلیممکن است شامل داده های تجربی اضافی یا الزامات مورد نظر باشد ( مشکل طراحی). داده های اضافی می توانند بدون توجه به روند حل مسئله معکوس به دست آیند ( مشاهده غیرفعال) یا نتیجه آزمایشی باشد که به طور ویژه در طول حل برنامه ریزی شده است ( نظارت فعال).

یکی از اولین نمونه‌های یک راه‌حل استادانه برای یک مسئله معکوس با استفاده کامل از داده‌های موجود، روشی بود که توسط I. Newton برای بازسازی نیروهای اصطکاک از نوسانات میرایی مشاهده‌شده ساخته شد.

مثال دیگر آمار ریاضی است. وظیفه این علم توسعه روش هایی برای ثبت، توصیف و تجزیه و تحلیل داده های مشاهده ای و تجربی به منظور ساخت مدل های احتمالی از پدیده های تصادفی انبوه است. آن ها مجموعه مدل های ممکن به مدل های احتمالی محدود می شود. در کارهای خاص، مجموعه مدل ها محدودتر است.

سیستم های شبیه سازی کامپیوتری

برای پشتیبانی از مدل سازی ریاضی، سیستم های ریاضی کامپیوتری توسعه یافته اند، به عنوان مثال، Maple، Mathematica، Mathcad، MATLAB، VisSim و غیره. آنها به شما امکان می دهند مدل های رسمی و بلوکی از فرآیندها و دستگاه های ساده و پیچیده ایجاد کنید و به راحتی پارامترهای مدل را در طول تغییر دهید. مدل سازی مدل های بلوکتوسط بلوک ها (اغلب گرافیکی) نشان داده می شوند که مجموعه و اتصال آنها توسط نمودار مدل مشخص شده است.

نمونه های اضافی

مدل مالتوس

نرخ رشد متناسب است اندازه فعلیجمعیت ها با معادله دیفرانسیل توصیف می شود

که در آن یک پارامتر مشخص با تفاوت بین نرخ تولد و مرگ و میر تعیین می شود. راه حل این معادله است تابع نمایی. اگر نرخ زاد و ولد از نرخ مرگ و میر بیشتر شود ()، اندازه جمعیت به طور نامحدود و بسیار سریع افزایش می یابد. واضح است که در واقعیت این امر به دلیل محدودیت منابع امکان پذیر نیست. هنگامی که به یک اندازه جمعیت بحرانی مشخص می‌رسید، مدل کافی نیست، زیرا منابع محدودی را در نظر نمی‌گیرد. اصلاح مدل مالتوس می تواند یک مدل لجستیک باشد که با معادله دیفرانسیل ورهولست توصیف می شود.

اندازه جمعیت "تعادل" کجاست، که در آن نرخ تولد دقیقاً با نرخ مرگ و میر جبران می شود. اندازه جمعیت در چنین مدلی به یک مقدار تعادل تمایل دارد و این رفتار از نظر ساختاری پایدار است.

سیستم شکارچی

فرض کنید دو نوع جانور در یک منطقه زندگی می کنند: خرگوش (گیاه خوار) و روباه (خرگوش خوار). بگذارید تعداد خرگوش ها، تعداد روباه ها. با استفاده از مدل مالتوس با اصلاحات لازم برای در نظر گرفتن خوردن خرگوش توسط روباه به سیستم زیر می رسیم که نام دارد. مدل سینی - Volterra:

این سیستم زمانی که تعداد خرگوش ها و روباه ها ثابت باشد حالت تعادل دارد. انحراف از این حالت منجر به نوساناتی در تعداد خرگوش ها و روباه ها می شود، مشابه نوسانات یک نوسان ساز هارمونیک. همانند نوسان ساز هارمونیک، این رفتار از نظر ساختاری پایدار نیست: یک تغییر کوچک در مدل (به عنوان مثال، در نظر گرفتن منابع محدود مورد نیاز خرگوش ها) می تواند منجر به تغییر کیفی در رفتار شود. به عنوان مثال، حالت تعادل ممکن است پایدار شود و نوسانات در اعداد از بین خواهند رفت. وضعیت برعکس نیز ممکن است، زمانی که هر انحراف کوچک از وضعیت تعادل منجر به عواقب فاجعه بار، تا انقراض کامل یکی از گونه ها شود. مدل Volterra-Lotka به این سؤال پاسخ نمی دهد که کدام یک از این سناریوها در حال تحقق است: در اینجا به تحقیقات بیشتری نیاز است.

یادداشت

1. "بازنمایی ریاضی واقعیت" (دایره المعارف بریتانیا)
2. نوویک I. B.، در باره مسائل فلسفیمدل سازی سایبرنتیک م.، دانش، 1964.
3. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2
4. سامارسکی A. A.، Mikhailov A. P.مدل سازی ریاضی ایده ها. مواد و روش ها. مثال ها. - چاپ دوم، برگردان - M.: Fizmatlit، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga, 2007. - 192 با ISBN 978-5-484-00953-4
6. سووستیانوف، A.G. مدل سازی فرآیندهای فناوری: کتاب درسی / A.G. سووستیانوف، P.A. سووستیانوف. - م.: صنایع سبک و غذا، 1984. - 344 ص.
7. ویکی‌واژه: مدل ریاضی
8. CliffsNotes.com. واژه نامه علوم زمین. 20 سپتامبر 2010
9. مدل کاهش و رویکردهای دانه درشت برای پدیده های چند مقیاسی، Springer، سری پیچیدگی، برلین-هایدلبرگ-نیویورک، 2006. XII+562 pp. شابک 3-540-35885-4
10. یک نظریه بسته به نوع دستگاه ریاضی - خطی یا غیرخطی - و نوع مدل‌های ریاضی خطی یا غیرخطی که از آن استفاده می‌کند، خطی یا غیرخطی در نظر گرفته می‌شود. ...بدون انکار دومی. یک فیزیکدان مدرن، اگر مجبور شود تعریف موجودیت مهمی به عنوان غیرخطی بودن را دوباره خلق کند، به احتمال زیاد به گونه‌ای دیگر عمل می‌کند و با ارجحیت به غیرخطی بودن به عنوان مهم‌تر و گسترده‌تر از دو متضاد، خطی بودن را این‌گونه تعریف می‌کند: «نه غیر خطی بودن.» دانیلوف یو. ا.، سخنرانی در مورد دینامیک غیر خطی. مقدمه ابتدایی. مجموعه "هم افزایی: از گذشته تا آینده". نسخه 2. - M.: URSS، 2006. - 208 p. شابک 5-484-00183-8
11. "سیستم های پویا مدل سازی شده اند عدد محدودمعادلات دیفرانسیل معمولی سیستم های متمرکز یا نقطه ای نامیده می شوند. آنها با استفاده از یک فضای فاز محدود بعد توصیف می شوند و با تعداد محدودی از درجات آزادی مشخص می شوند. همین سیستم در شرایط مختلفرا می توان به صورت متمرکز یا توزیع شده در نظر گرفت. مدل های ریاضی سیستم های توزیع شده معادلات دیفرانسیل جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات تاخیر معمولی هستند. تعداد درجات آزادی یک سیستم توزیع شده بی نهایت است و برای تعیین وضعیت آن به تعداد نامتناهی داده نیاز است. آنیشچنکو وی.اس.، سیستم های پویا، مجله آموزشی سوروس، 1376، شماره 11، ص. 77-84.
12. بسته به ماهیت فرآیندهای مورد مطالعه در سیستم S، همه انواع مدل‌سازی را می‌توان به قطعی و تصادفی، ایستا و پویا، گسسته، پیوسته و گسسته-پیوسته تقسیم کرد. مدل‌سازی قطعی منعکس‌کننده فرآیندهای قطعی است، یعنی فرآیندهایی که در آن‌ها فقدان تأثیرات تصادفی فرض می‌شود. مدل‌سازی تصادفی فرآیندها و رویدادهای احتمالی را به تصویر می‌کشد. ... مدل سازی استاتیک برای توصیف رفتار یک شی در هر نقطه از زمان عمل می کند و مدل سازی پویا رفتار یک شی را در طول زمان منعکس می کند. مدل سازی گسسته برای توصیف فرآیندهایی استفاده می شود که فرض می شود گسسته هستند، به ترتیب، مدل سازی پیوسته به ما امکان می دهد فرآیندهای پیوسته را در سیستم ها منعکس کنیم، و مدل سازی گسسته-پیوسته برای مواردی استفاده می شود که آنها می خواهند حضور هر دو فرآیند گسسته و پیوسته را برجسته کنند. ” Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.شابک 5-06-003860-2
13. به طور معمول، یک مدل ریاضی ساختار (دستگاه) شی مدل‌سازی شده، ویژگی‌ها و روابط اجزای این شی را که برای اهداف تحقیق ضروری هستند، منعکس می‌کند. چنین مدلی ساختاری نامیده می شود. اگر مدل فقط نحوه عملکرد شی را منعکس کند - به عنوان مثال، چگونه به تأثیرات خارجی واکنش نشان می دهد - آنگاه آن را عملکردی یا به طور مجازی یک جعبه سیاه می نامند. مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است. میشکیس A.D.شابک 978-5-484-00953-4
14. بدیهی، اما مهم‌ترین مرحله اولیه ساخت یا انتخاب یک مدل ریاضی، به دست آوردن تصویری واضح تا حد امکان از شی مورد مدل‌سازی و اصلاح مدل معنادار آن، بر اساس بحث‌های غیررسمی است. در این مرحله نباید از زمان و تلاش خود دریغ کنید، موفقیت کل مطالعه تا حد زیادی به آن بستگی دارد. بیش از یک بار اتفاق افتاده است که کار قابل توجهی صرف حل شده است مسئله ریاضی، به دلیل توجه ناکافی به این طرف قضیه، ناکارآمد یا حتی هدر رفت.» میشکیس A.D., عناصر تئوری مدل های ریاضی. - چاپ سوم، برگردان - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « شرح مدل مفهومی سیستم.در این مرحله فرعی از ساخت یک مدل سیستمی: الف) مدل مفهومی M در اصطلاحات و مفاهیم انتزاعی توصیف می شود. ب) توصیف مدل با استفاده از طرح‌های ریاضی استاندارد ارائه شده است. ج) فرضیه ها و مفروضات در نهایت پذیرفته می شوند. د) انتخاب روش برای تقریب فرآیندهای واقعی هنگام ساخت یک مدل موجه است. Sovetov B. Ya.، Yakovlev S. A.مدلسازی سیستمها: Proc. برای دانشگاه ها - ویرایش 3، تجدید نظر شده. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 2001. - 343 ص. شابک 5-06-003860-2، ص. 93.
16. Blekhman I. I.، Myshkis A. D.،

در این مقاله نمونه هایی از مدل های ریاضی را ارائه می دهیم. علاوه بر این، به مراحل ایجاد مدل ها و تحلیل برخی از مشکلات مرتبط با مدل سازی ریاضی خواهیم پرداخت.

سوال دیگری که داریم مدل های ریاضی در اقتصاد است که نمونه هایی از آن را کمی بعد به تعریف آن خواهیم پرداخت. ما پیشنهاد می کنیم گفتگوی خود را با مفهوم "مدل" آغاز کنیم، به طور خلاصه طبقه بندی آنها را در نظر بگیریم و به سؤالات اصلی خود برویم.

مفهوم "مدل"

ما اغلب کلمه "مدل" را می شنویم. چیست؟ این اصطلاح تعاریف زیادی دارد که در اینجا فقط به سه مورد از آنها اشاره می کنیم:

• یک شی خاص که برای دریافت و ذخیره اطلاعات، منعکس کننده برخی از ویژگی ها یا ویژگی ها و غیره، از اصلی این شی ایجاد می شود (این شی خاص را می توان در اشکال مختلف: ذهنی، توصیف با استفاده از علائم، و غیره).
• مدل همچنین به معنای نمایش یک موقعیت، زندگی یا مدیریت خاص است.
• یک مدل می تواند یک کپی کوچک از یک شی باشد (آنها برای موارد بیشتر ایجاد شده اند مطالعه دقیقو تجزیه و تحلیل، زیرا مدل ساختار و روابط را منعکس می کند).

بر اساس همه چیزهایی که قبلاً گفته شد، می توانیم یک نتیجه کوچک بگیریم: این مدل به شما امکان می دهد یک سیستم یا شی پیچیده را با جزئیات مطالعه کنید.

همه مدل ها را می توان با توجه به تعدادی ویژگی طبقه بندی کرد:

• بر اساس حوزه استفاده (آموزشی، تجربی، علمی و فنی، بازی، شبیه سازی)؛
• توسط دینامیک (ایستا و پویا)؛
• بر اساس شاخه دانش (فیزیکی، شیمیایی، جغرافیایی، تاریخی، جامعه شناسی، اقتصادی، ریاضی)؛
• با روش ارائه (مادی و اطلاعاتی).

مدل های اطلاعاتی نیز به نوبه خود به دو دسته نمادین و کلامی تقسیم می شوند. و نمادهای - به رایانه و غیر رایانه ای. حال بیایید به بررسی دقیق نمونه هایی از مدل ریاضی بپردازیم.

مدل ریاضی

همانطور که ممکن است حدس بزنید، یک مدل ریاضی هر ویژگی یک شی یا پدیده را با استفاده از ویژگی های خاص منعکس می کند نمادهای ریاضی. ریاضیات برای مدل سازی الگوهای دنیای اطراف به زبان خاص خود مورد نیاز است.

روش مدل‌سازی ریاضی مدت‌ها پیش، هزاران سال پیش، همراه با ظهور این علم، پدید آمد. با این حال، انگیزه توسعه این روش مدل‌سازی با ظهور رایانه‌ها (رایانه‌های الکترونیکی) داده شد.

حالا بیایید به طبقه بندی برویم. همچنین می توان آن را با توجه به برخی علائم انجام داد. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

ما پیشنهاد می‌کنیم به آخرین طبقه‌بندی بایستیم و نگاهی دقیق‌تر بیندازیم، زیرا الگوهای کلی مدل‌سازی و اهداف مدل‌های در حال ایجاد را منعکس می‌کند.

مدل های توصیفی

در این فصل، ما پیشنهاد می‌کنیم که با جزئیات بیشتر در مورد مدل‌های ریاضی توصیفی صحبت کنیم. برای اینکه همه چیز خیلی واضح باشد، یک مثال آورده می شود.

بیایید با این واقعیت شروع کنیم که این نوع را می توان توصیفی نامید. این به این دلیل است که ما به سادگی محاسبات و پیش بینی می کنیم، اما به هیچ وجه نمی توانیم بر نتیجه رویداد تأثیر بگذاریم.

یک مثال قابل توجه از یک مدل ریاضی توصیفی، محاسبه مسیر پرواز، سرعت، فاصله از زمین دنباله‌داری است که به گستره‌های ما حمله کرده است. منظومه شمسی. این مدل توصیفی است، زیرا تمام نتایج به‌دست‌آمده تنها می‌توانند ما را از هرگونه خطر هشدار دهند. متأسفانه نمی‌توانیم بر نتیجه رویداد تأثیر بگذاریم. با این حال، بر اساس محاسبات به دست آمده، می توان هر گونه اقدامی برای حفظ حیات روی زمین انجام داد.

مدل های بهینه سازی

اکنون کمی در مورد مدل‌های اقتصادی و ریاضی صحبت خواهیم کرد که نمونه‌هایی از آن‌ها می‌توانند به عنوان موقعیت‌های مختلف فعلی عمل کنند. در این مورد ما در مورددر مورد مدل هایی که به یافتن پاسخ صحیح در شرایط خاص کمک می کنند. آنها قطعاً پارامترهایی دارند. برای روشن شدن کامل، اجازه دهید به یک مثال از بخش کشاورزی نگاه کنیم.

انبار غله داریم اما دانه ها خیلی زود خراب می شوند. در این صورت باید شرایط دمایی مناسب را انتخاب کنیم و فرآیند ذخیره سازی را بهینه کنیم.

بنابراین، می‌توان مفهوم «مدل بهینه‌سازی» را تعریف کرد. در مفهوم ریاضی، سیستمی از معادلات (چه خطی و چه غیر خطی) است که حل آن به یافتن راه حل بهینه در یک موقعیت اقتصادی خاص کمک می کند. ما به نمونه ای از یک مدل ریاضی (بهینه سازی) نگاه کردیم، اما می خواهم اضافه کنم: این نوع به کلاس مشکلات شدید تعلق دارد، آنها به توصیف عملکرد سیستم اقتصادی کمک می کنند.

اجازه دهید به یک نکته ظریف دیگر توجه کنیم: مدل ها می توانند بپوشند شخصیت متفاوت(جدول زیر را ببینید).

مدل های چند معیاره

اکنون شما را دعوت می کنیم تا کمی در مورد مدل ریاضی بهینه سازی چند معیاره صحبت کنید. قبل از این، یک مثال از یک مدل ریاضی برای بهینه‌سازی یک فرآیند با توجه به هر یک از معیارها ارائه کردیم، اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، چطور؟

نمونه بارز یک کار چند معیاره، سازماندهی تغذیه مناسب، سالم و در عین حال اقتصادی برای گروه های بزرگی از مردم است. چنین وظایفی اغلب در ارتش، غذاخوری های مدارس، اردوهای تابستانی، بیمارستان ها و غیره دیده می شود.

در این کار چه معیارهایی به ما داده شده است؟

1. تغذیه باید سالم باشد.
2. هزینه های غذا باید حداقل باشد.

همانطور که می بینید، این اهداف به هیچ وجه با هم منطبق نیستند. این بدان معناست که هنگام حل یک مسئله، باید به دنبال راه حل بهینه، تعادل بین دو معیار بود.

مدل های بازی

هنگام صحبت در مورد مدل های بازی، لازم است مفهوم "تئوری بازی" را درک کنید. به بیان ساده، این مدل ها منعکس کننده مدل های ریاضی درگیری های واقعی هستند. فقط باید درک کنید که برخلاف یک درگیری واقعی، مدل ریاضی بازی قوانین خاص خود را دارد.

اکنون حداقل اطلاعاتی را از تئوری بازی ارائه خواهیم کرد که به شما کمک می کند تا بفهمید مدل بازی چیست. و بنابراین، مدل لزوما شامل مهمانی ها (دو یا بیشتر) است که معمولاً به آنها بازیکن می گویند.

همه مدل ها ویژگی های خاصی دارند.

مدل بازی می تواند جفت یا چندتایی باشد. اگر دو موضوع داشته باشیم، تعارض زوج است و اگر بیشتر باشد، چندگانه است. شما همچنین می توانید یک بازی متضاد را تشخیص دهید، به آن بازی حاصل جمع صفر نیز می گویند. این مدلی است که در آن سود یکی از شرکت کنندگان با ضرر دیگری برابر است.

مدل های شبیه سازی

در این بخش به مدل های ریاضی شبیه سازی می پردازیم. نمونه هایی از وظایف عبارتند از:

• مدل پویایی جمعیت میکروارگانیسم.
• مدل حرکت مولکولی و غیره.

در این مورد، ما در مورد مدل هایی صحبت می کنیم که تا حد امکان به فرآیندهای واقعی نزدیک هستند. به طور کلی، آنها از برخی مظاهر در طبیعت تقلید می کنند. به عنوان مثال، در مورد اول، می توانیم دینامیک تعداد مورچه ها در یک کلنی را شبیه سازی کنیم. در عین حال، می توانید سرنوشت هر فردی را مشاهده کنید. در این مورد، یک توصیف ریاضی به ندرت استفاده می شود؛ شرایط نوشتاری اغلب وجود دارد:

• بعد از پنج روز ماده تخم می گذارد.
• بعد از بیست روز مورچه می میرد و غیره.

بنابراین، آنها برای توصیف یک سیستم بزرگ استفاده می شوند. یک نتیجه گیری ریاضی پردازش داده های آماری به دست آمده است.

الزامات

دانستن این نکته بسیار مهم است که این نوع مدل نیازمندی هایی از جمله موارد ذکر شده در جدول زیر است.

تطبیق پذیری	این ویژگی به شما این امکان را می دهد که از یک مدل در هنگام توصیف گروه های مشابه از اشیاء استفاده کنید. توجه به این نکته ضروری است که مدل‌های ریاضی جهانی کاملاً مستقل از ماهیت فیزیکی شی مورد مطالعه هستند
کفایت	درک این نکته مهم است که این ویژگی به شما امکان می دهد تا فرآیندهای واقعی را تا حد امکان با دقت بازتولید کنید. در وظایف عملیاتی، این خاصیت مدلسازی ریاضی بسیار مهم است. نمونه ای از یک مدل، فرآیند بهینه سازی استفاده از سیستم گاز است. در این حالت شاخص های محاسبه شده و واقعی با هم مقایسه می شوند و در نتیجه صحت مدل تدوین شده بررسی می شود.
دقت	این الزام به معنای همزمانی مقادیری است که هنگام محاسبه مدل ریاضی و پارامترهای ورودی شی واقعی خود به دست می آوریم.
مقرون به صرفه	الزامات مقرون به صرفه بودن برای هر مدل ریاضی با هزینه های پیاده سازی مشخص می شود. اگر با مدل به صورت دستی کار می کنید، باید محاسبه کنید که حل یک مسئله با استفاده از این مدل ریاضی چقدر زمان می برد. اگر ما در مورد طراحی به کمک رایانه صحبت می کنیم، شاخص های زمان و هزینه های حافظه رایانه محاسبه می شود

مراحل مدلسازی

در مجموع، مدل سازی ریاضی معمولاً به چهار مرحله تقسیم می شود.

1. تدوین قوانین اتصال بخش های مدل.
2. مطالعه مسائل ریاضی.
3. تعیین همزمانی نتایج عملی و نظری.
4. تحلیل و نوسازی مدل.

مدل اقتصادی و ریاضی

در این بخش به طور مختصر این موضوع را برجسته می‌کنیم. نمونه‌هایی از وظایف عبارتند از:

• تشکیل یک برنامه تولید برای تولید محصولات گوشتی که حداکثر سود تولید را تضمین می کند.
• به حداکثر رساندن سود سازمان با محاسبه مقدار بهینه میز و صندلی تولید شده در یک کارخانه مبلمان و غیره.

مدل اقتصادی-ریاضی انتزاع اقتصادی را نشان می دهد که با استفاده از اصطلاحات و نمادهای ریاضی بیان می شود.

مدل ریاضی کامپیوتری

نمونه هایی از یک مدل ریاضی کامپیوتری عبارتند از:

• مشکلات هیدرولیک با استفاده از نمودارهای جریان، نمودارها، جداول و غیره؛
• مشکلات مکانیکی جامد، و غیره.

مدل کامپیوتری تصویری از یک شی یا سیستم است که به شکل زیر ارائه می شود:

• جداول;
• بلوک دیاگرام؛
• نمودارها؛
• گرافیک و غیره

علاوه بر این، این مدل ساختار و اتصالات سیستم را منعکس می کند.

ساخت یک مدل اقتصادی و ریاضی

قبلاً در مورد اینکه مدل اقتصادی-ریاضی چیست صحبت کرده ایم. نمونه ای از حل مشکل در حال حاضر در نظر گرفته خواهد شد. ما باید برنامه تولید را تجزیه و تحلیل کنیم تا ذخیره ای برای افزایش سود با تغییر در مجموعه شناسایی کنیم.

ما به طور کامل مشکل را در نظر نخواهیم گرفت، بلکه فقط یک مدل اقتصادی و ریاضی ایجاد خواهیم کرد. ملاک وظیفه ما حداکثر کردن سود است. سپس تابع به شکل: А=р1*х1+р2*х2... است که به حداکثر تمایل دارد. در این مدل p سود هر واحد و x تعداد واحدهای تولید شده است. در ادامه، بر اساس مدل ساخته شده، باید محاسبات و جمع بندی انجام شود.

نمونه ای از ساخت یک مدل ریاضی ساده

وظیفه.ماهیگیر با صید زیر برگشت:

• 8 ماهی - ساکنان دریاهای شمال؛
• 20٪ از صید را ساکنان دریاهای جنوبی تشکیل می دهند.
• حتی یک ماهی هم از رودخانه محلی پیدا نشد.

چند ماهی از فروشگاه خرید؟

بنابراین، یک مثال از ساخت یک مدل ریاضی از این مسئله به این شکل است. تعداد کل ماهی ها را با x نشان می دهیم. به دنبال این شرط، 0.2 برابر تعداد ماهی‌هایی است که در عرض‌های جغرافیایی جنوبی زندگی می‌کنند. اکنون تمام اطلاعات موجود را با هم ترکیب می کنیم و یک مدل ریاضی از مسئله بدست می آوریم: x=0.2x+8. معادله را حل می کنیم و جواب آن را می گیریم سوال اصلی: 10 تا ماهی از مغازه خرید.

سخنرانی 1.

مبانی روش‌شناسی مدل‌سازی

وضعیت فعلی مشکل مدل سازی سیستم

مفاهیم مدلسازی و شبیه سازی

مدل سازیرا می توان جایگزینی شیء مورد مطالعه (اصل) با تصویر متعارف، توضیحات یا شیء دیگری به نام آن دانست. مدلو ارائه رفتار نزدیک به اصل در چارچوب مفروضات خاص و خطاهای قابل قبول. مدل‌سازی معمولاً با هدف درک ویژگی‌های اصلی با مطالعه مدل آن انجام می‌شود و نه خود شی. البته مدلسازی زمانی توجیه می‌شود که ساده‌تر از ساختن خود نسخه اصلی باشد یا به دلایلی بهتر است اصلاً نسخه اصلی ایجاد نشود.

زیر مدلبه عنوان یک شی فیزیکی یا انتزاعی درک می شود که ویژگی های آن به معنای خاصی شبیه به ویژگی های شی مورد مطالعه است.در این مورد، الزامات مدل با مشکل حل شده و ابزار موجود تعیین می شود. تعدادی الزامات کلی برای مدل ها وجود دارد:

2) کامل بودن - ارائه تمام اطلاعات لازم به گیرنده

در مورد شیء؛

3) انعطاف پذیری - توانایی بازتولید موقعیت های مختلف در همه چیز

دامنه تغییرات در شرایط و پارامترها؛

4) پیچیدگی توسعه باید برای موجود قابل قبول باشد

زمان و نرم افزار

مدل سازیفرآیند ساخت مدل یک شی و مطالعه خواص آن با بررسی مدل است.

بنابراین، مدل سازی شامل 2 مرحله اصلی است:

1) توسعه یک مدل؛

2) مطالعه مدل و نتیجه گیری.

در عین حال، در هر مرحله وظایف مختلف حل می شود و

اساساً روش ها و ابزارهای مختلف.

در عمل از روش های مدل سازی مختلفی استفاده می شود. بسته به روش پیاده سازی، همه مدل ها را می توان به دو کلاس بزرگ تقسیم کرد: فیزیکی و ریاضی.

مدل سازی ریاضیمعمولاً به عنوان وسیله ای برای مطالعه فرآیندها یا پدیده ها با استفاده از مدل های ریاضی آنها در نظر گرفته می شود.

زیر مدل سازی فیزیکیبه مطالعه اشیاء و پدیده‌ها بر روی مدل‌های فیزیکی اشاره دارد، زمانی که فرآیند مورد مطالعه با حفظ ماهیت فیزیکی خود بازتولید می‌شود یا از پدیده فیزیکی دیگری شبیه به مورد مطالعه استفاده می‌شود. که در آن مدل های فیزیکیبه عنوان یک قاعده، آنها تجسم واقعی آن خصوصیات فیزیکی اصلی را فرض می کنند که در یک موقعیت خاص قابل توجه است. برای مثال، هنگام طراحی یک هواپیمای جدید، ماکتی ایجاد می شود که دارای همان ویژگی های آیرودینامیکی است. هنگام برنامه ریزی توسعه، معماران مدلی می سازند که آرایش فضایی عناصر آن را منعکس می کند. در این راستا مدل سازی فیزیکی نیز نامیده می شود نمونه سازی.

مدل سازی نیمه عمرمطالعه سیستم های قابل کنترل بر روی مجتمع های مدل سازی با گنجاندن تجهیزات واقعی در مدل است. همراه با تجهیزات واقعی، مدل بسته شامل شبیه‌سازهای تأثیرات و تداخل، مدل‌های ریاضی محیط خارجی و فرآیندهایی است که توصیف ریاضی به اندازه کافی دقیق برای آنها ناشناخته است. گنجاندن تجهیزات واقعی یا سیستم‌های واقعی در مدار مدل‌سازی فرآیندهای پیچیده، کاهش عدم قطعیت پیشینی و کشف فرآیندهایی را که هیچ توصیف ریاضی دقیقی برای آنها وجود ندارد، ممکن می‌سازد. با استفاده از مدل سازی نیمه طبیعی، تحقیقات با در نظر گرفتن ثابت های زمانی کوچک و خطی های ذاتی در تجهیزات واقعی انجام می شود. هنگام مطالعه مدل ها با استفاده از تجهیزات واقعی، از مفهوم استفاده می شود شبیه سازی پویا، در طول تحقیق سیستم های پیچیدهو پدیده ها - تکاملی, تقلیدو مدل سازی سایبرنتیک.

بدیهی است که سود واقعی مدل سازی تنها در صورتی به دست می آید که دو شرط وجود داشته باشد:

1) مدل نمایش صحیح (کافی) خصوصیات را ارائه می دهد

اصلی، قابل توجه از نقطه نظر عملیات مورد مطالعه؛

2) مدل به شما امکان می دهد مشکلات ذاتی ذکر شده در بالا را از بین ببرید

انجام تحقیق بر روی اشیاء واقعی

2. مفاهیم اولیه مدل سازی ریاضی

حل مسائل عملی با استفاده از روش های ریاضی به طور مداوم با فرمول بندی مسئله (توسعه یک مدل ریاضی)، انتخاب روشی برای مطالعه مدل ریاضی حاصل و تجزیه و تحلیل نتیجه ریاضی به دست آمده انجام می شود. فرمول ریاضی مسئله معمولاً در قالب تصاویر هندسی، توابع، سیستم معادلات و غیره ارائه می شود. توصیف یک شی (پدیده) را می توان با استفاده از فرم های پیوسته یا گسسته، قطعی یا تصادفی و سایر اشکال ریاضی نشان داد.

نظریه مدلسازی ریاضیشناسایی الگوهای وقوع پدیده‌های مختلف در دنیای اطراف یا عملکرد سیستم‌ها و دستگاه‌ها را با استفاده از توصیف و مدل‌سازی ریاضی آنها بدون انجام آزمایش‌های کامل تضمین می‌کند. در این مورد، از مقررات و قوانین ریاضی استفاده می شود که پدیده ها، سیستم ها یا دستگاه های شبیه سازی شده را در سطحی از ایده آل سازی آنها توصیف می کند.

مدل ریاضی (MM)یک توصیف رسمی از یک سیستم (یا عملیات) به زبان انتزاعی است، به عنوان مثال، در قالب مجموعه ای از روابط ریاضی یا یک نمودار الگوریتم، به عنوان مثال. یعنی چنین توصیف ریاضی که شبیه‌سازی عملکرد سیستم‌ها یا دستگاه‌ها را در سطحی به اندازه کافی نزدیک به رفتار واقعی آن‌ها ارائه می‌کند که در طی آزمایش کامل سیستم‌ها یا دستگاه‌ها به دست آمده است.

هر MM یک شی، پدیده یا فرآیند واقعی را با درجاتی از تقریب به واقعیت توصیف می کند. نوع MM هم به ماهیت شی واقعی و هم به اهداف مطالعه بستگی دارد.

مدل سازی ریاضیپدیده های اجتماعی، اقتصادی، زیستی و فیزیکی، اشیاء، سیستم ها و وسایل مختلف یکی از مهم ترین ابزارهای شناخت طبیعت و طراحی طیف وسیعی از سیستم ها و دستگاه ها است. نمونه های شناخته شده ای از استفاده موثر از مدل سازی در ایجاد فناوری های هسته ای، هوانوردی و سیستم های هوافضا، در پیش بینی پدیده های جوی و اقیانوسی، آب و هوا و غیره وجود دارد.

با این حال، چنین حوزه‌های جدی مدل‌سازی اغلب به ابررایانه‌ها و سال‌ها کار توسط تیم‌های بزرگ دانشمندان برای آماده‌سازی داده‌ها برای مدل‌سازی و اشکال‌زدایی آن نیاز دارند. با این حال، در این مورد، مدل سازی ریاضی سیستم ها و دستگاه های پیچیده نه تنها باعث صرفه جویی در هزینه های تحقیق و آزمایش می شود، بلکه می تواند بلایای زیست محیطی را نیز از بین ببرد - به عنوان مثال، به شما امکان می دهد آزمایش سلاح های هسته ای و گرما هسته ای را به نفع مدل سازی ریاضی آنها رها کنید. یا آزمایش سیستم های هوافضا قبل از پروازهای واقعی آن ها.بنابراین، مدل سازی ریاضی در سطح حل مسائل ساده تر، به عنوان مثال، از حوزه مکانیک، مهندسی برق، الکترونیک، مهندسی رادیو و بسیاری از حوزه های دیگر علم و فناوری در حال حاضر تبدیل شده است. برای اجرا بر روی رایانه های شخصی مدرن موجود است. و هنگام استفاده از مدل های تعمیم یافته، شبیه سازی سیستم های نسبتاً پیچیده، به عنوان مثال، سیستم ها و شبکه های مخابراتی، رادار یا سیستم های ناوبری رادیویی امکان پذیر می شود.

هدف از مدل سازی ریاضیتجزیه و تحلیل فرآیندهای واقعی (در طبیعت یا فناوری) با استفاده از روش های ریاضی است. این به نوبه خود مستلزم رسمی سازی فرآیند MM برای مطالعه است.مدل می تواند یک عبارت ریاضی حاوی متغیرهایی باشد که رفتار آنها شبیه رفتار یک سیستم واقعی است.مدل می تواند شامل عناصر تصادفی باشد که احتمالات ممکن را در نظر می گیرد. اعمال دو یا بیشتر«بازیکنان»، مانند نظریه بازی ها؛ یا ممکن است متغیرهای واقعی بخش های به هم پیوسته سیستم عامل را نشان دهد.

مدل سازی ریاضی برای مطالعه ویژگی های سیستم ها را می توان به تحلیلی، شبیه سازی و ترکیبی تقسیم کرد. به نوبه خود، MM ها به شبیه سازی و تحلیلی تقسیم می شوند.

مدلسازی تحلیلی

برای مدل سازی تحلیلیمشخصه این است که فرآیندهای عملکرد سیستم در قالب روابط عملکردی خاصی (معادلات جبری، دیفرانسیل، انتگرال) نوشته شده است. مدل تحلیلی را می توان با استفاده از روش های زیر بررسی کرد:

1) تحلیلی، زمانی که آنها برای به دست آوردن تلاش می کنند نمای کلیوابستگی های صریح برای ویژگی های سیستم؛

2) عددی، زمانی که نمی توان برای معادلات به صورت کلی راه حلی یافت و آنها برای داده های اولیه خاص حل می شوند.

3) کیفی، زمانی که در غیاب راه حل برخی از خواص آن یافت می شود.

مدل های تحلیلی را فقط می توان برای سیستم های نسبتا ساده به دست آورد. برای سیستم های پیچیده، مشکلات بزرگ ریاضی اغلب ایجاد می شود. برای اعمال روش تحلیلی، آنها به سمت ساده سازی قابل توجه مدل اصلی می روند. با این حال، تحقیق با استفاده از یک مدل ساده به دستیابی به نتایج تنها کمک می کند. مدل های تحلیلی از نظر ریاضی به درستی رابطه بین متغیرها و پارامترهای ورودی و خروجی را منعکس می کنند. اما ساختار آنها ساختار درونی جسم را منعکس نمی کند.

در طول مدلسازی تحلیلی، نتایج آن در قالب عبارات تحلیلی ارائه می شود. مثلا با اتصال R.C.- مدار به منبع ولتاژ ثابت E(آر, سیو E- اجزای این مدل)، می توانیم یک عبارت تحلیلی برای وابستگی زمانی ولتاژ ایجاد کنیم تو(تی) روی خازن سی:

این معادله دیفرانسیل خطی (DE) مدل تحلیلی این مدار خطی ساده است. راه حل تحلیلی آن، در شرایط اولیه تو(0) = 0، به معنی یک خازن تخلیه شده است سیدر شروع مدل سازی، به شما امکان می دهد وابستگی مورد نظر را پیدا کنید - در قالب یک فرمول:

تو(تی) = E(1− سابقپ(- تی/RC)). (2)

با این حال، حتی در این ساده ترین مثال، تلاش های خاصی برای حل DE (1) یا اعمال مورد نیاز است سیستم های ریاضی کامپیوتری(SCM) با محاسبات نمادین - سیستم های جبر کامپیوتری. برای این مورد کاملاً پیش پا افتاده، حل مشکل مدل سازی خطی R.C.- مدار بیان تحلیلی (2) را به شکل نسبتاً کلی می دهد - برای توصیف عملکرد مدار برای هر درجه بندی جزء مناسب است. آر, سیو E، و بار نمایی خازن را توصیف می کند سیاز طریق یک مقاومت آراز منبع ولتاژ ثابت E.

البته یافتن راه‌حل‌های تحلیلی در طول مدل‌سازی تحلیلی برای شناسایی الگوهای نظری کلی مدارها، سیستم‌ها و دستگاه‌های خطی بسیار ارزشمند است، اما با پیچیده‌تر شدن تأثیرات روی مدل و ترتیب و تعداد، پیچیدگی آن به شدت افزایش می‌یابد. معادلات حالتی که شی مدل شده را توصیف می کند افزایش می یابد. هنگام مدل سازی اشیاء درجه دوم یا سوم می توانید نتایج کم و بیش قابل مشاهده ای دریافت کنید، اما با مرتبه بالاتر، عبارات تحلیلی بیش از حد دست و پا گیر، پیچیده و درک آن دشوار می شود. به عنوان مثال، حتی یک تقویت کننده الکترونیکی ساده اغلب حاوی ده ها قطعه است. با این حال، بسیاری از SCM های مدرن، به عنوان مثال، سیستم های ریاضیات نمادین هستند Maple, Mathematicaیا محیط متلب، قادرند تا حد زیادی حل مسائل مدلسازی تحلیلی پیچیده را خودکار کنند.

یکی از انواع مدل سازی است مدل سازی عددی،که شامل به دست آوردن داده های کمی لازم در مورد رفتار سیستم ها یا دستگاه ها با هر روش عددی مناسب، مانند روش های اویلر یا رانگ-کوتا است. در عمل، مدل سازی سیستم ها و دستگاه های غیر خطی با استفاده از روشهای عددیبه نظر می رسد بسیار موثرتر از مدل سازی تحلیلی مدارها، سیستم ها یا دستگاه های خطی خصوصی است. به عنوان مثال، برای حل سیستم های DE (1) یا DE بیش از موارد دشواریک راه حل را نمی توان به صورت تحلیلی به دست آورد، اما با استفاده از داده های شبیه سازی عددی می توان داده های نسبتاً کاملی در مورد رفتار سیستم ها و دستگاه های شبیه سازی شده به دست آورد، همچنین نمودارهایی از وابستگی ها را که این رفتار را توصیف می کند، ساخت.

مدل سازی شبیه سازی

در تقلید 10و مدل سازی، الگوریتمی که مدل را پیاده سازی می کند، فرآیند عملکرد سیستم را در طول زمان بازتولید می کند. پدیده های ابتدایی که فرآیند را تشکیل می دهند شبیه سازی می شوند و ساختار منطقی و توالی رویدادها در طول زمان حفظ می شود.

مزیت اصلی مدل های شبیه سازی در مقایسه با مدل های تحلیلی، توانایی حل مسائل پیچیده تر است.

مدل‌های شبیه‌سازی، در نظر گرفتن وجود عناصر گسسته یا پیوسته، ویژگی‌های غیرخطی، تأثیرات تصادفی و غیره را آسان می‌کنند. بنابراین، این روش به طور گسترده در مرحله طراحی سیستم‌های پیچیده مورد استفاده قرار می‌گیرد. ابزار اصلی پیاده‌سازی مدل‌سازی شبیه‌سازی یک کامپیوتر است که امکان مدل‌سازی دیجیتالی سیستم‌ها و سیگنال‌ها را فراهم می‌کند.

در این راستا، اجازه دهید عبارت « مدل سازی کامپیوتری"، که به طور فزاینده ای در ادبیات استفاده می شود. بیایید این را فرض کنیم مدل سازی کامپیوتریمدلسازی ریاضی با استفاده از فناوری کامپیوتر است. بر این اساس، فناوری مدل سازی کامپیوتری شامل انجام اقدامات زیر است:

1) تعیین هدف از مدل سازی؛

2) توسعه یک مدل مفهومی.

3) رسمی کردن مدل؛

4) پیاده سازی نرم افزار مدل؛

5) آزمایش های مدل برنامه ریزی.

6) اجرای طرح آزمایشی.

7) تجزیه و تحلیل و تفسیر نتایج مدل سازی.

در مدل سازی شبیه سازی MM استفاده شده الگوریتم ("منطق") عملکرد سیستم مورد مطالعه را در طول زمان برای ترکیب های مختلف مقادیر پارامترهای سیستم و محیط خارجی بازتولید می کند.

نمونه ای از ساده ترین مدل تحلیلی معادله حرکت یکنواخت مستطیلی است. هنگام مطالعه چنین فرآیندی با استفاده از یک مدل شبیه‌سازی، مشاهده تغییرات مسیر طی شده در طول زمان باید اجرا شود.بدیهی است که در برخی موارد مدل‌سازی تحلیلی ترجیح داده می‌شود و در موارد دیگر شبیه‌سازی (یا ترکیبی از هر دو). برای انتخاب موفق، باید به دو سوال پاسخ دهید.

هدف از مدلینگ چیست؟

پدیده مدل شده را به چه طبقه ای می توان طبقه بندی کرد؟

پاسخ به هر دوی این سوالات را می توان در دو مرحله اول مدل سازی به دست آورد.

مدل‌های شبیه‌سازی نه تنها از نظر ویژگی‌ها، بلکه در ساختار نیز با شی مدل‌سازی شده مطابقت دارند. در این مورد، بین فرآیندهای به‌دست‌آمده در مدل و فرآیندهایی که در شی اتفاق می‌افتند، مطابقت واضح و مبهم وجود دارد. نقطه ضعف شبیه سازی این است که زمان زیادی طول می کشد تا مشکل حل شود تا دقت خوبی حاصل شود.

نتایج مدلسازی شبیه سازی عملکرد یک سیستم تصادفی پیاده سازی شده است متغیرهای تصادفییا فرآیندها بنابراین، برای یافتن ویژگی های سیستم، تکرارهای متعدد و پردازش داده های بعدی مورد نیاز است. اغلب در این مورد، یک نوع شبیه سازی استفاده می شود - آماری

مدل سازی(یا روش مونت کارلو)، یعنی. بازتولید عوامل تصادفی، رویدادها، کمیت ها، فرآیندها، زمینه ها در مدل ها.

بر اساس نتایج مدل‌سازی آماری، تخمین‌های معیارهای کیفیت احتمالی، عمومی و خاص، مشخص‌کننده عملکرد و کارایی سیستم مدیریت شده تعیین می‌شود. مدل سازی آماری به طور گسترده ای برای حل مسائل علمی و کاربردی در زمینه های مختلف علم و فناوری استفاده می شود. روش های مدل سازی آماری به طور گسترده در مطالعه سیستم های دینامیکی پیچیده، ارزیابی عملکرد و کارایی آنها استفاده می شود.

مرحله نهایی مدل سازی آماری بر اساس پردازش ریاضی نتایج به دست آمده است. در اینجا از روش های آمار ریاضی (برآورد پارامتری و ناپارامتریک، آزمون فرضیه) استفاده می شود. نمونه ای از برآوردگر پارامتری، میانگین نمونه یک معیار عملکرد است. در میان روش های ناپارامتریک، گسترده است روش هیستوگرام.

طرح در نظر گرفته شده بر اساس آزمون های آماری مکرر سیستم و روش های آمارگیری متغیرهای تصادفی مستقل است که این طرح همیشه در عمل طبیعی و از نظر هزینه بهینه نیست. کاهش زمان تست سیستم را می توان با استفاده از روش های ارزیابی دقیق تر به دست آورد. همانطور که از آمار ریاضی مشخص است، برآوردهای موثر بیشترین دقت را برای حجم نمونه معین دارند. روش فیلترینگ بهینه و حداکثر احتمال می دهد روش کلیدر مسائل مدل‌سازی آماری، اجرای پردازش‌های تصادفی نه تنها برای تحلیل فرآیندهای خروجی ضروری است.

کنترل ویژگی‌های تأثیرات تصادفی ورودی نیز بسیار مهم است. کنترل شامل بررسی انطباق توزیع های فرآیندهای تولید شده با توزیع های داده شده است. این مشکل اغلب به صورت فرموله شده است مشکل آزمون فرضیه.

روند کلی در مدل‌سازی کامپیوتری سیستم‌های کنترل‌شده پیچیده، تمایل به کاهش زمان مدل‌سازی و همچنین انجام تحقیقات در زمان واقعی است. نمایش الگوریتم‌های محاسباتی به صورت تکراری راحت است و امکان اجرای آنها را با نرخ دریافت اطلاعات فعلی فراهم می‌کند.

اصول یک رویکرد سیستمی در مدل سازی

اصول اساسی نظریه سیستم ها

اصول اساسی تئوری سیستم ها در طول مطالعه سیستم های پویا و عناصر عملکردی آنها پدید آمد. یک سیستم به عنوان گروهی از عناصر به هم پیوسته درک می شود که با هم برای انجام یک کار از پیش تعیین شده عمل می کنند. تجزیه و تحلیل سیستم به شما امکان می دهد تا بیشترین میزان را تعیین کنید راه های واقعیانجام وظیفه محول شده، حصول اطمینان از رضایت حداکثری از الزامات ذکر شده.

عناصری که اساس نظریه سیستم ها را تشکیل می دهند از طریق فرضیه ها ایجاد نمی شوند، بلکه به صورت تجربی کشف می شوند. برای شروع ساخت یک سیستم، داشتن ویژگی های کلی فرآیندهای تکنولوژیکی ضروری است. همین امر در مورد اصول ایجاد معیارهای فرموله شده ریاضی که یک فرآیند یا توصیف نظری آن باید برآورده شود، صادق است. مدلسازی یکی از مهمترین روشهای تحقیق و آزمایش علمی است.

هنگام ساخت مدل‌های اشیاء، از رویکرد سیستمی استفاده می‌شود که روشی برای حل مسائل پیچیده است که مبتنی بر در نظر گرفتن شی به عنوان یک سیستم فعال در یک محیط خاص است. یک رویکرد سیستماتیک شامل آشکار کردن یکپارچگی یک شی، شناسایی و مطالعه ساختار داخلی آن و همچنین ارتباط با محیط خارجی است. در این حالت، شی به عنوان بخشی از دنیای واقعی ارائه می شود که در ارتباط با مسئله ساخت مدل، جداسازی و مطالعه می شود. بعلاوه، رویکرد سیستم هازمانی که هدف طراحی اساس توجه است و شی در ارتباط با محیط در نظر گرفته می شود، شامل یک انتقال ثابت از عمومی به خاص است.

یک شی پیچیده را می توان به زیرسیستم هایی تقسیم کرد که بخش هایی از شی هستند که شرایط زیر را برآورده می کنند:

1) یک زیرسیستم از نظر عملکرد بخشی مستقل از یک شی است. با زیرسیستم های دیگر در ارتباط است، اطلاعات و انرژی را با آنها مبادله می کند.

2) برای هر زیرسیستم توابع یا خصوصیاتی که با خصوصیات کل سیستم منطبق نیستند را می توان تعریف کرد.

3) هر یک از زیر سیستم ها را می توان در معرض تقسیم بیشتر به سطح عناصر قرار داد.

در این مورد، یک عنصر به عنوان یک زیر سیستم سطح پایین درک می شود که تقسیم بیشتر آن از نقطه نظر مشکل در حال حل نامناسب است.

بنابراین، یک سیستم را می توان به عنوان نمایش یک شی در قالب مجموعه ای از زیرسیستم ها، عناصر و اتصالات به منظور ایجاد، تحقیق یا بهبود آن تعریف کرد. در این حالت، نمایش بزرگ‌شده سیستم، شامل زیرسیستم‌های اصلی و اتصالات بین آن‌ها، ساختار کلان، و افشای دقیق ساختار داخلی سیستم تا سطح عناصر، ریزساختار نامیده می‌شود.

در کنار سیستم، معمولاً یک ابرسیستم وجود دارد - سیستمی از سطح بالاتر که شامل شی مورد نظر است و عملکرد هر سیستمی فقط از طریق ابرسیستم قابل تعیین است.

لازم است مفهوم محیط به عنوان مجموعه ای از اشیاء دنیای بیرونی برجسته شود که به طور قابل توجهی بر کارایی سیستم تأثیر می گذارد، اما بخشی از سیستم و ابرسیستم آن نیست.

در ارتباط با رویکرد سیستمی به مدل های ساختمانی، از مفهوم زیرساخت استفاده می شود که ارتباط سیستم را با محیط خود (محیط) توصیف می کند، در این مورد، شناسایی، توصیف و بررسی ویژگی های یک شی که ضروری است. در چارچوب یک کار خاص، طبقه بندی شی نامیده می شود و هر مدلی از شی، توصیف طبقه بندی شده آن است.

برای یک رویکرد سیستمی، تعیین ساختار سیستم مهم است، به عنوان مثال. مجموعه ای از ارتباطات بین عناصر سیستم که منعکس کننده تعامل آنهاست. برای این کار ابتدا رویکردهای ساختاری و عملکردی مدل سازی را در نظر می گیریم.

با رویکردی ساختاری، ترکیب عناصر منتخب سیستم و ارتباطات بین آنها آشکار می شود. مجموعه عناصر و اتصالات به ما امکان قضاوت درباره ساختار سیستم را می دهد. کلی ترین توصیف یک ساختار، توصیف توپولوژیکی است. این به شما امکان می دهد تا اجزای سیستم و اتصالات آنها را با استفاده از نمودار تعیین کنید. هنگامی که توابع جداگانه در نظر گرفته می شوند، به عنوان مثال، الگوریتم هایی برای رفتار سیستم، توصیف عملکردی کمتر کلی است. در این مورد، یک رویکرد عملکردی پیاده سازی می شود که عملکردهایی را که سیستم انجام می دهد، تعریف می کند.

بر اساس رویکرد سیستمی، می توان دنباله ای از توسعه مدل را پیشنهاد کرد، زمانی که دو مرحله طراحی اصلی متمایز می شوند: طراحی کلان و طراحی میکرو.

در مرحله طراحی کلان، مدلی از محیط خارجی ساخته می‌شود، منابع و محدودیت‌ها شناسایی می‌شوند، مدل سیستم و معیارهایی برای ارزیابی کفایت انتخاب می‌شوند.

مرحله طراحی میکرو تا حد زیادی به نوع خاص مدل انتخاب شده بستگی دارد. به طور کلی، شامل ایجاد اطلاعات، سیستم های مدل سازی ریاضی، فنی و نرم افزاری است. در این مرحله مشخصات فنی اصلی مدل ایجاد شده مشخص می شود، زمان لازم برای کار با آن و هزینه منابع برای به دست آوردن کیفیت مشخص شده مدل برآورد می شود.

صرف نظر از نوع مدل، هنگام ساخت آن، باید با تعدادی از اصول یک رویکرد سیستماتیک هدایت شود:

1) پیشرفت مداوم در مراحل ایجاد یک مدل؛

2) هماهنگی اطلاعات، منابع، قابلیت اطمینان و سایر مشخصات؛

3) رابطه صحیح بین سطوح مختلف ساخت مدل.

4) یکپارچگی مراحل فردی طراحی مدل.

مدل سازی ریاضی

1. مدل سازی ریاضی چیست؟

از اواسط قرن بیستم. روش های ریاضی و رایانه به طور گسترده در زمینه های مختلف فعالیت های انسانی مورد استفاده قرار گرفتند. رشته‌های جدیدی مانند «اقتصاد ریاضی»، «شیمی ریاضی»، «زبان‌شناسی ریاضی» و غیره ظهور کرده‌اند که به مطالعه مدل‌های ریاضی اشیاء و پدیده‌های مرتبط و همچنین روش‌های مطالعه این مدل‌ها می‌پردازند.

مدل ریاضی توصیف تقریبی هر طبقه از پدیده ها یا اشیاء دنیای واقعی در زبان ریاضیات است. هدف اصلی از مدل سازی، کشف این اشیاء و پیش بینی نتایج مشاهدات آینده است. با این حال، مدل سازی همچنین روشی برای درک دنیای اطراف ما است که کنترل آن را ممکن می کند.

مدل‌سازی ریاضی و آزمایش رایانه‌ای مرتبط در مواردی که آزمایش در مقیاس کامل به دلایلی غیرممکن یا دشوار است، ضروری هستند. برای مثال، تنظیم یک آزمایش طبیعی در تاریخ برای بررسی "چه اتفاقی می افتاد اگر ..." غیرممکن است، بررسی درستی یک یا آن نظریه کیهان شناسی غیرممکن است. در اصل ممکن است، اما به سختی معقول، آزمایش شیوع یک بیماری، مانند طاعون، یا انجام انفجار هسته ایبرای مطالعه عواقب آن با این حال، همه اینها را می توان در یک کامپیوتر با ساختن مدل های ریاضی پدیده های مورد مطالعه انجام داد.

2. مراحل اصلی مدل سازی ریاضی

1) ساختمان نمونه. در این مرحله، یک شی "غیر ریاضی" مشخص می شود - یک پدیده طبیعی، طراحی، طرح اقتصادی، فرآیند تولید و غیره. در این مورد، به عنوان یک قاعده، توصیف واضح وضعیت دشوار است. ابتدا ویژگی های اصلی پدیده و ارتباطات بین آنها در سطح کیفی شناسایی می شود. سپس وابستگی های کیفی یافت شده به زبان ریاضیات فرموله می شود، یعنی یک مدل ریاضی ساخته می شود. این سخت ترین مرحله مدل سازی است.

2) حل مسئله ریاضی که مدل به آن منتهی می شود. در این مرحله به توسعه الگوریتم‌ها و روش‌های عددی برای حل مسئله در رایانه توجه زیادی می‌شود که به کمک آن‌ها می‌توان با دقت لازم و در مدت زمان قابل قبول به نتیجه رسید.

3) تفسیر پیامدهای به دست آمده از مدل ریاضی.پیامدهای حاصل از مدل در زبان ریاضی به زبان مورد قبول در این رشته تفسیر می شود.

4) بررسی کفایت مدل.در این مرحله مشخص می شود که آیا نتایج تجربی با نتایج نظری مدل با دقت خاصی مطابقت دارد یا خیر.

5) اصلاح مدل.در این مرحله یا مدل پیچیده می شود تا با واقعیت سازگارتر باشد یا برای دستیابی به راه حل عملا قابل قبول ساده سازی می شود.

3. طبقه بندی مدل ها

مدل ها را می توان بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی کرد. به عنوان مثال، با توجه به ماهیت مسائل در حال حل، مدل ها را می توان به عملکردی و ساختاری تقسیم کرد. در حالت اول، تمام کمیت های مشخص کننده یک پدیده یا شی به صورت کمی بیان می شوند. علاوه بر این، برخی از آنها به عنوان متغیرهای مستقل و برخی دیگر به عنوان تابعی از این کمیت ها در نظر گرفته می شوند. یک مدل ریاضی معمولاً سیستمی از معادلات از انواع مختلف (دیفرانسیل، جبری و غیره) است که روابط کمی بین کمیت های مورد بررسی برقرار می کند. در مورد دوم، مدل ساختار یک شی پیچیده متشکل از بخش‌های مجزا را مشخص می‌کند که بین آن‌ها ارتباطات خاصی وجود دارد. به طور معمول، این اتصالات قابل اندازه گیری نیستند. برای ساخت چنین مدل هایی، استفاده از نظریه گراف راحت است. گراف یک جسم ریاضی است که مجموعه ای از نقاط (راس) را در یک صفحه یا در فضا نشان می دهد که برخی از آنها توسط خطوط (لبه ها) به هم متصل شده اند.

بر اساس ماهیت داده ها و نتایج اولیه، مدل های پیش بینی را می توان به قطعی و احتمالی-آماری تقسیم کرد. مدل‌های نوع اول پیش‌بینی‌های قطعی و بدون ابهام را انجام می‌دهند. مدل‌های نوع دوم مبتنی بر اطلاعات آماری هستند و پیش‌بینی‌های به‌دست‌آمده با کمک آنها ماهیت احتمالی دارند.

4. نمونه هایی از مدل های ریاضی

1) مسائل مربوط به حرکت پرتابه.

مشکل مکانیکی زیر را در نظر بگیرید.

پرتابه از زمین با سرعت اولیه v 0 = 30 m/s در زاویه a = 45 درجه نسبت به سطح آن پرتاب می شود. باید مسیر حرکت و فاصله S بین نقطه شروع و پایان این مسیر را پیدا کرد.

سپس، همانطور که از یک درس فیزیک مدرسه مشخص است، حرکت یک پرتابه با فرمول ها توصیف می شود:

جایی که t زمان است، g = 10 m/s 2 شتاب گرانش است. این فرمول ها یک مدل ریاضی از مسئله را ارائه می دهند. با بیان t از طریق x از معادله اول و جایگزینی آن با دومی، معادله مسیر پرتابه را به دست می آوریم:

این منحنی (پارابولا) محور x را در دو نقطه قطع می کند: x 1 = 0 (ابتدای مسیر) و (محل سقوط پرتابه). با جایگزینی مقادیر داده شده v0 و a در فرمول های حاصل، به دست می آوریم

پاسخ: y = x – 90x 2، S = 90 m.

توجه داشته باشید که هنگام ساخت این مدل از چند فرض استفاده شده است: برای مثال فرض بر این است که زمین مسطح است و هوا و چرخش زمین بر حرکت پرتابه تأثیری ندارد.

2) مشکل در مورد مخزن با کمترین سطح.

لازم است ارتفاع h 0 و شعاع r 0 یک مخزن قلع با حجم V = 30 m 3، به شکل یک استوانه دایره ای بسته، که در آن مساحت سطح آن S حداقل است را پیدا کنید (در این مورد، حداقل مقدار قلع برای تولید آن استفاده خواهد شد).

بیایید آن را بنویسیم فرمول های زیربرای حجم و سطح یک استوانه با ارتفاع h و شعاع r:

V = p r 2 h، S = 2p r(r + h).

با بیان h از طریق r و V از فرمول اول و جایگزینی عبارت به دست آمده با فرمول دوم، دریافت می کنیم:

بنابراین، از نقطه نظر ریاضی، مشکل به تعیین مقدار r می رسد که در آن تابع S(r) به حداقل خود می رسد. بیایید آن مقادیر r 0 را که مشتق آن است، پیدا کنیم

به صفر می رسد: می‌توانید بررسی کنید که مشتق دوم تابع S(r) وقتی آرگومان r از نقطه r 0 عبور می‌کند، علامت از منفی به مثبت تغییر می‌کند. در نتیجه، در نقطه r0 تابع S(r) دارای حداقل است. مقدار مربوطه h 0 = 2r 0 است. با جایگزینی مقدار داده شده V به عبارت r 0 و h 0، شعاع مورد نظر را به دست می آوریم و ارتفاع

3) مشکل حمل و نقل

این شهر دارای دو انبار آرد و دو نانوایی است. روزانه 50 تن آرد از انبار اول و 70 تن از انبار دوم به کارخانه ها حمل می شود که 40 تن به انبار اول و 80 تن به انبار دوم می رسد.

اجازه دهید با نشان دادن آ ij هزینه حمل 1 تن آرد از انبار i به j-ام گیاه(i، j = 1،2). اجازه دهید

آ 11 = 1.2 روبل، آ 12 = 1.6 روبل، آ 21 = 0.8 مالش.، آ 22 = 1 مالش.

حمل و نقل چگونه باید برنامه ریزی شود تا هزینه آن حداقل باشد؟

بیایید به مسئله یک فرمول ریاضی بدهیم. مقدار آردی را که باید از انبار اول به کارخانه اول و دوم منتقل شود و با x 3 و x 4 - از انبار دوم به کارخانه اول و دوم را با x 1 و x 2 نشان می دهیم. سپس:

x 1 + x 2 = 50، x 3 + x 4 = 70، x 1 + x 3 = 40، x 2 + x 4 = 80. (1)

هزینه کل حمل و نقل با فرمول تعیین می شود

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

از نقطه نظر ریاضی، مشکل یافتن چهار عدد x 1، x 2، x 3 و x 4 است که همه شرایط داده شده را برآورده می‌کنند و حداقل تابع f را می‌دهند. اجازه دهید سیستم معادلات (1) را برای xi (i = 1، 2، 3، 4) با حذف مجهولات حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x 1 = x 4 - 30، x 2 = 80 - x 4، x 3 = 70 - x 4، (2)

و x 4 را نمی توان به طور یکتا تعیین کرد. از آنجایی که x i і 0 (i = 1، 2، 3، 4)، از معادلات (2) نتیجه می شود که 30J x 4 Ј 70. با جایگزین کردن عبارت x 1، x 2، x 3 در فرمول f، دریافت می کنیم

f = 148 - 0.2x 4.

به راحتی می توان فهمید که حداقل این تابع در حداکثر مقدار ممکن x 4 به دست می آید، یعنی در x 4 = 70. مقادیر متناظر سایر مجهولات با فرمول (2) تعیین می شود: x 1 = 40، x 2 = 10، x 3 = 0.

4) مشکل واپاشی رادیواکتیو.

فرض کنید N(0) تعداد اولیه اتمهای یک ماده رادیواکتیو و N(t) تعداد اتمهای تجزیه نشده در زمان t باشد. به طور تجربی ثابت شده است که سرعت تغییر در تعداد این اتم‌ها N"(t) با N(t) متناسب است، یعنی N"(t)=–l N(t)، l>0 برابر است. ثابت رادیواکتیویته یک ماده معین در دوره مدرسه آنالیز ریاضی نشان داده شده است که راه حل این است معادله دیفرانسیلشکل N(t) = N(0)e –l t دارد. زمان T که در طی آن تعداد اتم های اولیه به نصف رسیده است، نیمه عمر نامیده می شود و یکی از مشخصه های مهم رادیواکتیویته یک ماده است. برای تعیین T باید در فرمول قرار دهیم سپس به عنوان مثال، برای رادون l = 2.084 · 10 – 6، و بنابراین T = 3.15 روز.

5) مشکل فروشنده دوره گرد.

یک فروشنده دوره گرد که در شهر A 1 زندگی می کند باید از شهرهای A 2 ، A 3 و A 4 ، هر شهر دقیقاً یک بار بازدید کند و سپس به A 1 بازگردد. مشخص است که همه شهرها به صورت جفت توسط جاده ها به هم متصل می شوند و طول راه های b ij بین شهرهای A i و A j (i, j = 1, 2, 3, 4) به شرح زیر است:

b 12 = 30، b 14 = 20، b 23 = 50، b 24 = 40، b 13 = 70، b 34 = 60.

تعیین ترتیب بازدید از شهرهایی که طول مسیر مربوطه در آنها حداقل است، ضروری است.

اجازه دهید هر شهر را به عنوان یک نقطه در هواپیما به تصویر بکشیم و آن را با برچسب مربوطه Ai (i = 1، 2، 3، 4) علامت گذاری کنیم. بیایید این نقاط را با خطوط مستقیم به هم وصل کنیم: آنها نشان دهنده راه های بین شهرها هستند. برای هر "جاده" طول آن را بر حسب کیلومتر نشان می دهیم (شکل 2). نتیجه یک نمودار است - یک شی ریاضی متشکل از مجموعه خاصی از نقاط روی صفحه (به نام رئوس) و مجموعه مشخصی از خطوط که این نقاط را به هم متصل می کنند (به نام لبه ها). علاوه بر این، این نمودار دارای برچسب است، زیرا رئوس و لبه های آن دارای برچسب هایی هستند - اعداد (لبه ها) یا نمادها (رئوس). یک چرخه در یک نمودار دنباله ای از رئوس V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 است به طوری که رئوس V 1 , ..., V k متفاوت است و هر جفت رئوس V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) و جفت V 1, V k توسط یک یال به هم متصل می شوند. بنابراین، مشکل مورد بررسی یافتن چرخه‌ای در نمودار است که از هر چهار راس عبور می‌کند و مجموع وزن‌های یال برای آن حداقل است. اجازه دهید تمام چرخه های مختلف را که از چهار راس عبور می کنند و از A 1 شروع می شوند جستجو کنیم:

1) A 1، A 4، A 3، A 2، A 1;
2) A 1، A 3، A 2، A 4، A 1;
3) A 1، A 3، A 4، A 2، A 1.

اجازه دهید اکنون طول این چرخه ها (به کیلومتر) را پیدا کنیم: L 1 = 160، L 2 = 180، L 3 = 200. بنابراین، مسیر کوتاه ترین طول اولین است.

توجه داشته باشید که اگر در یک گراف n راس وجود داشته باشد و همه رئوس به صورت جفت توسط یال به هم متصل شوند (به چنین نموداری کامل می گویند) تعداد چرخه هایی که از همه رئوس عبور می کنند برابر است بنابراین در مورد ما دقیقاً سه چرخه وجود دارد.

6) مشکل یافتن ارتباط بین ساختار و خواص مواد.

بیایید به چند مورد نگاه کنیم ترکیبات شیمیایی، آلکان معمولی نامیده می شود. آنها از n اتم کربن و n + 2 اتم هیدروژن (n = 1، 2 ...) تشکیل شده اند، همانطور که در شکل 3 برای n = 3 نشان داده شده است. اجازه دهید مقادیر تجربی نقاط جوش این ترکیبات مشخص شود:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

لازم است یک رابطه تقریبی بین نقطه جوش و عدد n برای این ترکیبات پیدا شود. فرض کنیم که این وابستگی دارای شکل است

y" آ n+b،

جایی که آ، b - ثابت هایی که باید تعیین شوند. برای پیدا کردن آو b به ترتیب n = 3، 4، 5، 6 و مقادیر مربوط به نقاط جوش را در این فرمول جایگزین می کنیم. ما داریم:

– 42 » 3 آ+ b، 0 » 4 آ+ b، 28 » 5 آ+ b، 69 » 6 آ+ ب.

برای تعیین بهترین آو ب روش های مختلفی وجود دارد. بیایید از ساده ترین آنها استفاده کنیم. بیایید b را از طریق بیان کنیم آاز این معادلات:

ب» – 42 – 3 آ، ب "- 4 آ، ب » 28 - 5 آ، ب » 69 - 6 آ.

اجازه دهید میانگین حسابی این مقادیر را b مورد نظر در نظر بگیریم، یعنی b» 16 - 4.5 را قرار دهیم. آ. اجازه دهید این مقدار b را جایگزین سیستم اصلی معادلات کنیم و محاسبه کنیم آ، می گیریم برای آمقادیر زیر: آ» 37، آ» 28، آ» 28، آ 36. بیایید به عنوان مورد نیاز در نظر بگیریم آمقدار متوسط ​​این اعداد، یعنی بگذاریم آ 34. بنابراین، معادله مورد نیاز شکل دارد

y » 34n - 139.

بیایید دقت مدل را روی چهار ترکیب اصلی بررسی کنیم، که با استفاده از فرمول حاصل، نقطه جوش را محاسبه می کنیم:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

بنابراین، خطا در محاسبه این ویژگی برای این ترکیبات از 5 درجه بیشتر نمی شود. ما از معادله به دست آمده برای محاسبه نقطه جوش یک ترکیب با n = 7 استفاده می کنیم، که در مجموعه اصلی گنجانده نشده است، که برای آن n = 7 را در این معادله جایگزین می کنیم: y р (7) = 99 درجه. نتیجه کاملاً دقیق بود: مشخص است که مقدار تجربی نقطه جوش y e (7) = 98 درجه است.

7) مشکل تعیین قابلیت اطمینان مدار الکتریکی.

در اینجا نمونه ای از یک مدل احتمالی را بررسی خواهیم کرد. ابتدا، ما برخی از اطلاعات را از نظریه احتمال ارائه می کنیم - یک رشته ریاضی که الگوهای پدیده های تصادفی مشاهده شده در طول تکرار مکرر آزمایش ها را مطالعه می کند. اجازه دهید یک رویداد تصادفی A را نتیجه احتمالی آزمایشی بنامیم. رویدادهای A 1، ...، A k یک گروه کامل را تشکیل می دهند اگر یکی از آنها لزوماً در نتیجه آزمایش رخ دهد. رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوانند به طور همزمان در یک تجربه رخ دهند. اجازه دهید رویداد A m بار در طول تکرار n برابر آزمایش رخ دهد. فراوانی رویداد A عدد W = است. بدیهی است که تا زمانی که یک سری n آزمایش انجام نشود، مقدار W را نمی توان به طور دقیق پیش بینی کرد. با این حال، ماهیت رویدادهای تصادفی به گونه‌ای است که در عمل گاهی اوقات اثر زیر مشاهده می‌شود: با افزایش تعداد آزمایش‌ها، مقدار عملاً تصادفی نیست و حول یک عدد غیر تصادفی P(A) که احتمال نامیده می‌شود، تثبیت می‌شود. رویداد A. برای یک رویداد غیرممکن (که هرگز در یک آزمایش رخ نمی دهد) P(A)=0 و برای یک رویداد قابل اعتماد (که همیشه در تجربه رخ می دهد) P(A)=1. اگر رویدادهای A 1، ...، A k گروه کاملی از رویدادهای ناسازگار را تشکیل دهند، آنگاه P(A 1)+...+P(A k)=1.

به عنوان مثال، آزمایش شامل پرتاب کردن یک تاس و مشاهده تعداد نقاط پرتاب شده X است. سپس می‌توانیم رویدادهای تصادفی زیر را معرفی کنیم: A i = (X = i)، i = 1، ...، 6. یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار به همان اندازه محتمل را تشکیل می دهند، بنابراین P(A i) = (i = 1، ...، 6).

مجموع رویدادهای A و B رویداد A + B است که شامل این واقعیت است که حداقل یکی از آنها در تجربه رخ می دهد. حاصل ضرب رویدادهای A و B رویداد AB است که از وقوع همزمان این رویدادها تشکیل شده است. برای رویدادهای مستقل A و B، فرمول های زیر درست است:

P(AB) = P(A) P(B)، P(A + B) = P(A) + P(B).

8) اکنون به موارد زیر توجه می کنیم وظیفه. فرض کنید سه عنصر به صورت سری به یک مدار الکتریکی متصل هستند و مستقل از یکدیگر عمل می کنند. احتمال خرابی عناصر 1، 2 و 3 به ترتیب برابر با P1 = 0.1، P2 = 0.15، P3 = 0.2 است. اگر احتمال عدم وجود جریان در مدار بیش از 0.4 نباشد، مدار قابل اعتمادی را در نظر خواهیم گرفت. تعیین اینکه آیا یک مدار معین قابل اعتماد است یا خیر ضروری است.

از آنجایی که عناصر به صورت سری به هم متصل می شوند، در صورت خرابی حداقل یکی از عناصر، جریانی در مدار (رویداد A) وجود نخواهد داشت. بگذارید A i رویدادی باشد که عنصر i-امکار می کند (i = 1، 2، 3). سپس P(A1) = 0.9، P(A2) = 0.85، P(A3) = 0.8. بدیهی است که A 1 A 2 A 3 رویدادی است که در آن هر سه عنصر به طور همزمان کار می کنند و

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

سپس P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1، بنابراین P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

در پایان، یادآور می‌شویم که مثال‌های ارائه شده از مدل‌های ریاضی (شامل عملکردی و ساختاری، قطعی و احتمالی) ماهیت گویایی دارند و بدیهی است که انواع مدل‌های ریاضی را که در علوم طبیعی و علوم انسانی به وجود می‌آیند، تمام نمی‌کنند.

مشکلات حل شده با روش های LP از نظر محتوا بسیار متنوع است. اما مدل‌های ریاضی آن‌ها مشابه هستند و به طور مشروط در سه گروه بزرگ از مسائل ترکیب می‌شوند:

• وظایف حمل و نقل؛
• وظایف مربوط به تهیه یک طرح؛

بیایید به نمونه هایی از مشکلات اقتصادی خاص در هر نوع نگاه کنیم و به طور مفصل در مورد ساختن یک مدل برای هر مشکل صحبت کنیم.

وظیفه حمل و نقل

در دو پایگاه معاملاتی آو که در 30 ست مبلمان، 15 عدد در هر کدام وجود دارد. تمام مبلمان باید به دو فروشگاه مبلمان تحویل داده شود. باو Dو در با 10 هدست باید تحویل داده شود و D- 20. معلوم است که تحویل یک هدست از پایه آبه فروشگاه باهزینه هر فروشگاه یک واحد پولی است D- در سه واحد پولی. بر این اساس از پایگاه که دربه فروشگاه ها باو D: دو و پنج واحد پولی. یک برنامه حمل و نقل تهیه کنید تا هزینه تمام حمل و نقل حداقل باشد.
برای راحتی کار، این وظایف را در یک جدول فهرست می کنیم. در تقاطع ردیف ها و ستون ها اعدادی وجود دارد که هزینه حمل و نقل مربوطه را مشخص می کند (جدول 3.1).

جدول 3.1

بیایید یک مدل ریاضی از مسئله ایجاد کنیم.
متغیرها باید وارد شوند. در متن سؤال آمده است که باید برنامه حمل و نقل تهیه شود. اجازه دهید با نشان دادن ایکس 1 , ایکس 2 عدد هدست از پایه حمل شده است آبه فروشگاه ها باو Dبر این اساس، و از طریق در 1 , در 2 - تعداد هدست های حمل شده از پایه که دربه فروشگاه ها باو Dبه ترتیب. سپس مقدار اثاثیه که از انبار برداشته می شود آ، برابر است ( ایکس 1 + ایکس 2) و از انبار که در - (در 1 + در 2). نیاز فروشگاه بامعادل 10 هدست و آوردند ( ایکس 1 + در 1) قطعات، یعنی. ایکس 1 + در 1 = 10. به طور مشابه، برای فروشگاه Dما داریم ایکس 2 + در 2 = 20. توجه داشته باشید که نیاز فروشگاه ها دقیقا برابر با تعداد هدست های موجود در انبارها است، بنابراین ایکس 1 + در 2 = 15 و در 1 + در 2 = 15. اگر کمتر از 15 ست از انبارها برداشته باشید، فروشگاه ها اثاثیه کافی برای رفع نیازهای خود ندارند.
بنابراین متغیرها ایکس 1 , ایکس 2 , در 1 , در 2 در معنای مسئله غیر منفی هستند و سیستم محدودیت ها را برآورده می کنند:
(3.1)
تعیین شده توسط افهزینه های حمل و نقل، ما آنها را محاسبه خواهیم کرد. برای حمل و نقل یک ست مبلمان از آ V بایک پول خرج می شود واحدها برای حمل و نقل ایکس 1 ست - ایکس 1 روز واحدها به همین ترتیب، برای حمل و نقل ایکس 2 مجموعه از آ V D 3 هزینه خواهد داشت ایکس 2 روز واحدها از جانب که در V با - 2y 1 روز واحدها، از که در V D - 5y 2 روز واحدها
بنابراین،
اف = 1ایکس 1 + 3ایکس 2 + 2y 1 + 5y 2 → دقیقه (3.2)
(ما می خواهیم کل هزینه حمل و نقل را به حداقل برسانیم).
بیایید مسئله را به صورت ریاضی فرموله کنیم.
در مجموعه راه حل های سیستم محدودیت ها (3.1)، راه حلی پیدا کنید که تابع هدف را به حداقل برساند. اف(3.2)، یا طرح بهینه را بیابید ( ایکس 1 , ایکس 2, y 1 , y 2)، توسط سیستم محدودیت ها (3.1) و تابع هدف (3.2) تعیین می شود.
مشکلی که در نظر گرفته ایم را می توان به شکل کلی تری با هر تعداد تامین کننده و مصرف کننده ارائه کرد.
در مسئله ای که در نظر گرفتیم، در دسترس بودن محموله از تامین کنندگان (15 + 15) برابر با کل تقاضای مصرف کنندگان است (10 + 20). این مدل نام دارد بسته، و وظیفه مربوطه است حمل و نقل متعادلوظیفه.
در محاسبات اقتصادی، مدل های به اصطلاح باز نقش مهمی ایفا می کنند که در آنها برابری مشخص شده رعایت نمی شود. یا موجودی تامین کنندگان بیشتر از تقاضای مصرف کنندگان است یا تقاضا از در دسترس بودن کالا بیشتر است. توجه داشته باشید که سیستم محدودیت ها برای مسئله حمل و نقل نامتعادل شامل نابرابری ها به همراه معادلات خواهد بود.

سوالاتی برای خودکنترلی
1. بیان مشکل حمل و نقل. ساخت مدل ریاضی را شرح دهد.
2. مشکل حمل و نقل متعادل و نامتعادل چیست؟
3. در تابع هدف مسئله حمل و نقل چه چیزی به حساب می آید؟
4. هر نابرابری در سیستم محدودیت ها در مسئله طرح چه چیزی را منعکس می کند؟
5. هر نابرابری در سیستم قیود در مسئله مخلوط چه چیزی را منعکس می کند؟
6. معنی متغیرها در مسئله پلان و مسئله مخلوط چیست؟