نمودار تابع y=sin x. توابع y = sin x، y = cos x، y = mf(x)، y = f(kx)، y = tg x، y = ctg x نمودار تابع y sinx

درس ویدیویی "تابع y = sinx، خواص ee و نمودار" مطالب بصری را در مورد این موضوع و همچنین نظراتی در مورد آن ارائه می دهد. در طول نمایش، نوع تابع، ویژگی‌های آن بررسی می‌شود و رفتار در بخش‌های مختلف به تفصیل شرح داده می‌شود. هواپیمای مختصات، ویژگی های نمودار، یک مثال شرح داده شده است راه حل گرافیکی معادلات مثلثاتیحاوی سینوس با کمک یک درس ویدیویی، برای معلم آسان تر است که درک دانش آموز از این عملکرد را فرموله کند و به آنها آموزش دهد که مسائل را به صورت گرافیکی حل کنند.

درس ویدیویی از ابزارهایی برای تسهیل حفظ و درک استفاده می کند اطلاعات آموزشی. در ارائه نمودارها و در تشریح حل مسائل از افکت های انیمیشنی استفاده می شود که به درک رفتار تابع و ارائه پیشرفت حل به صورت متوالی کمک می کند. همچنین، بیان مطالب با نظرات مهمی که جایگزین توضیحات معلم می شود، تکمیل می شود. بدین ترتیب، این موادهمچنین می تواند به عنوان کمک بصری استفاده شود. و به عنوان بخشی مستقل از درس به جای توضیح معلم در مورد موضوع جدید.

نمایش با معرفی موضوع درس شروع می شود. تابع سینوس ارائه شده است که شرح آن در کادری برای به خاطر سپردن برجسته شده است - s=sint که در آن آرگومان t می تواند هر عدد واقعی باشد. شرح خصوصیات این تابع با دامنه تعریف شروع می شود. توجه داشته باشید که دامنه تعریف تابع کل محور عددی اعداد حقیقی است، یعنی D(f)=(- ∞;+∞). خاصیت دوم عجیب بودن تابع سینوس است. به دانش آموزان یادآوری می شود که این ملک در کلاس نهم مطالعه شده است، زمانی که ذکر شد که برای تابع فردبرابری f(-x)=-f(x) برقرار است. برای سینوس، تأیید عجیب بودن تابع در دایره واحد نشان داده می شود که به چهارم تقسیم می شود. با دانستن اینکه تابع در ربع های مختلف صفحه مختصات چه علامتی می گیرد، خاطرنشان می شود که برای آرگومان هایی با علائم مخالف، با استفاده از مثال نقاط L(t) و N(-t)، شرط عجیب و غریب برای سینوس برآورده می شود. بنابراین s=sint یک تابع فرد است. این بدان معنی است که نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

سومین ویژگی سینوس فواصل بین توابع افزایش و کاهش را نشان می دهد. اشاره می کند که این تابع در بخش افزایش می یابد و در بخش [π/2;π] کاهش می یابد. ویژگی در شکل نشان داده شده است که نشان می دهد دایره واحدو هنگام حرکت از نقطه A در خلاف جهت عقربه های ساعت، مقدار افزایش می یابد، یعنی مقدار تابع به π/2 افزایش می یابد. هنگام حرکت از نقطه B به C، یعنی زمانی که زاویه از π/2 به π تغییر می کند، مقدار ارتین کاهش می یابد. در ربع سوم دایره، هنگام حرکت از نقطه C به نقطه D، مقدار از 0 به -1 کاهش می یابد، یعنی مقدار سینوس کاهش می یابد. در سه ماهه آخر، هنگام حرکت از نقطه D به نقطه A، مقدار ارتین از -1 به 0 افزایش می یابد. بنابراین، می توانیم یک نتیجه کلی در مورد رفتار تابع بگیریم. صفحه نمایش خروجی را نشان می دهد که سینت در بخش [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk]، در بازه [(π/2)+2πk کاهش می‌یابد. (3π/2)+2πk] برای هر عدد صحیح k.

چهارمین خاصیت سینوس مرز بودن تابع را در نظر می گیرد. توجه داشته باشید که تابع sint هم در بالا و هم در پایین محدود می شود. هنگامی که دانش آموزان با مفهوم کرانه بودن یک تابع آشنا شدند، اطلاعات جبر پایه نهم را به یاد می آورند. شرط یک تابع محدود شده از بالا بر روی صفحه نمایش داده می شود که برای آن عدد مشخصی وجود دارد که نابرابری f(x)>=M در هر نقطه از تابع برای آن برقرار است. ما همچنین شرایط یک تابع محدود شده در زیر را به یاد می آوریم که برای آن یک عدد m کوچکتر از هر نقطه تابع وجود دارد. برای سینت شرط -1 برآورده می شود<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

ویژگی پنجم کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع را در نظر می گیرد. دستیابی به کوچکترین مقدار -1 در هر نقطه t=-(π/2)+2πk و بزرگترین در نقاط t=(π/2)+2πk ذکر شده است.

بر اساس ویژگی های در نظر گرفته شده، نموداری از تابع sint بر روی قطعه ساخته می شود. برای ساخت تابع، از مقادیر جدولی سینوس در نقاط مربوطه استفاده می شود. مختصات نقاط π/6، π/3، π/2، 2π/3، 5π/6، π در صفحه مختصات مشخص شده است. با علامت گذاری مقادیر جدول تابع در این نقاط و اتصال آنها با یک خط صاف، یک نمودار می سازیم.

برای رسم نمودار تابع sint روی پاره [-π;π]، از خاصیت تقارن تابع نسبت به مبدا مختصات استفاده می شود. شکل نشان می دهد که چگونه خطی که در نتیجه ساخت و ساز به دست می آید به طور متقارن نسبت به مبدأ مختصات به قطعه [-π; 0] منتقل می شود.

با استفاده از ویژگی تابع sint که در فرمول کاهش sin(x+2π) = sin x بیان می‌شود، توجه می‌شود که هر ۲π نمودار سینوسی تکرار می‌شود. بنابراین، در بازه [π; 3π] نمودار مانند [-π;π] خواهد بود. بنابراین، نمودار این تابع نشان دهنده قطعات تکرار شونده [-π;π] در کل دامنه تعریف است. به طور جداگانه ذکر می شود که چنین نموداری از یک تابع سینوسی نامیده می شود. مفهوم موج سینوسی نیز معرفی شده است - قطعه ای از یک نمودار ساخته شده بر روی قطعه [-π;π]، و یک قوس سینوسی ساخته شده بر روی قطعه. این قطعات دوباره برای به خاطر سپردن نشان داده می شوند.

ذکر شده است که تابع sint یک تابع پیوسته در کل دامنه تعریف است و همچنین محدوده مقادیر تابع در مجموعه مقادیر بخش [-1;1] قرار دارد.

در پایان درس تصویری، حل گرافیکی معادله sin x=x+π در نظر گرفته شده است. بدیهی است که حل گرافیکی معادله، تقاطع نمودار تابع داده شده توسط عبارت سمت چپ و تابع داده شده توسط عبارت سمت راست خواهد بود. برای حل مسئله یک صفحه مختصات ساخته می شود که روی آن سینوسی مربوطه y=sin x مشخص شده و یک خط مستقیم مربوط به نمودار تابع y=x+π ساخته می شود. نمودارهای ساخته شده در یک نقطه واحد B(-π; 0) قطع می شوند. بنابراین x=-π جواب معادله خواهد بود.

درس ویدیویی "تابع y = sinx، ee خواص و نمودار" به افزایش اثربخشی یک درس ریاضی سنتی در مدرسه کمک می کند. هنگام انجام آموزش از راه دور نیز می توانید از مطالب بصری استفاده کنید. این راهنما می‌تواند به دانش‌آموزانی که برای درک عمیق‌تر مطالب به درس‌های اضافی نیاز دارند، به تسلط بر موضوع کمک کند.

رمزگشایی متن:

موضوع درس ما "تابع y = sin x، خصوصیات و نمودار آن" است.

قبلاً با تابع s = sin t آشنا شدیم، جایی که tϵR (es برابر با سینوس te است، جایی که te به مجموعه اعداد حقیقی تعلق دارد). بیایید خواص این تابع را مطالعه کنیم:

خصوصیات 1. دامنه تعریف مجموعه اعداد حقیقی R (er) است، یعنی D(f) = (-; +) (de از ef بازه منهای بی نهایت تا به علاوه بی نهایت را نشان می دهد).

خاصیت 2. تابع s = sin t فرد است.

در درس های کلاس نهم، آموختیم که تابع y = f (x)، x εX (y برابر است با ef از x، جایی که x متعلق به مجموعه x بزرگ است) اگر برای هر مقدار x از مجموعه باشد، فرد نامیده می شود. X برابری

f (- x) = - f (x) (eff از منهای x برابر است با منهای ef از x).

و از آنجایی که مختصات نقاط L و N که در مورد محور آبسیسا متقارن هستند مخالف هستند، sin(-t) = -sint.

یعنی s = sin t یک تابع فرد است و نمودار تابع s = sin t با توجه به مبدا در سیستم مختصات مستطیلی متقارن است. tos(te o es).

بیایید PROPERTY 3 را در نظر بگیریم. در بازه [ 0; ] (از صفر تا پی دو) تابع s = sin t در قطعه [; ] (از پی توسط دو به پی).

این به وضوح در شکل ها قابل مشاهده است: هنگامی که یک نقطه در امتداد دایره عددی از صفر به پی دو حرکت می کند (از نقطه A به B)، ترتیب به تدریج از 0 به 1 افزایش می یابد، و زمانی که از عدد پی توسط دو به عدد پی (از پی) حرکت می کند. نقطه B تا C)، مختصات به تدریج از 1 به 0 کاهش می یابد.

وقتی نقطه ای در امتداد ربع سوم (از نقطه C به نقطه D) حرکت می کند، مختصات نقطه متحرک از صفر به منهای یک کاهش می یابد و وقتی در امتداد ربع چهارم حرکت می کند، مختصات از منهای یک به صفر افزایش می یابد. بنابراین، می توانیم یک نتیجه کلی بگیریم: تابع s = sin t در بازه افزایش می یابد

(از منهای پی دو به اضافه دو پی کا به پی دو به علاوه دو پی کا) و در قطعه [; (از پی دو به علاوه دو پی کا تا سه پی با دو به علاوه دو پی کا)، که در آن

(ka متعلق به مجموعه اعداد صحیح است).

ویژگی 4. تابع s = sint از بالا و پایین محدود می شود.

از دوره کلاس نهم، تعریف کرانه بودن را به یاد بیاورید: یک تابع y = f (x) از پایین محدود می شود اگر همه مقادیر تابع کمتر از یک عدد معین نباشد. متر متربه طوری که برای هر مقدار x از دامنه تعریف تابع، نابرابری f (x) ≥ متر(ef از x بزرگتر یا مساوی em است). به یک تابع y = f (x) گفته می شود که در بالا محدود می شود اگر همه مقادیر تابع از یک عدد معین بیشتر نباشد. م، این بدان معنی است که یک عدد وجود دارد مبه طوری که برای هر مقدار x از دامنه تعریف تابع، نابرابری f (x) ≤ م(eff از x کوچکتر یا مساوی em است) اگر تابعی از پایین و بالا محدود شود، محدود خوانده می شود.

بیایید به تابع خود برگردیم: مرزبندی از این واقعیت ناشی می شود که برای هر te نابرابری درست است - 1 ≤ sint≤ 1. (سینوس te بزرگتر یا مساوی منهای یک است، اما کوچکتر یا مساوی یک است).

خاصیت 5. کوچکترین مقدار یک تابع برابر با منهای یک است و تابع در هر نقطه از شکل t = به این مقدار می رسد (te برابر است با منهای پی با دو به اضافه دو قله، و بالاترین ارزشتابع برابر با یک است و توسط یک تابع در هر نقطه از شکل t = به دست می آید (te برابر است با پی ضربدر دو به اضافه دو قله).

بزرگترین و کوچکترین ارزشتوابع s = sin t نشان دهنده نام s است. و حداکثر s .

با استفاده از ویژگی‌های به‌دست‌آمده، نموداری از تابع y = sin x می‌سازیم (y برابر با سینوس x است)، زیرا ما بیشتر به نوشتن y = f (x) عادت داریم تا s = f (t).

برای شروع، بیایید یک مقیاس را انتخاب کنیم: در امتداد محور مختصات، دو خانه را به عنوان یک قطعه واحد در نظر می گیریم، و در امتداد محور آبسیسا، دو خانه پی در سه هستند (از 1 ≈). ابتدا، بیایید نموداری از تابع y = sin x روی قطعه بسازیم. ما به جدولی از مقادیر تابع در این بخش نیاز داریم؛ برای ساخت آن، از جدول مقادیر برای زوایای کسینوس و سینوسی مربوطه استفاده می کنیم:

بنابراین، برای ساخت جدولی از مقادیر آرگومان و تابع، باید آن را به خاطر بسپارید ایکس(x) این عدد به ترتیب برابر با زاویه در فاصله صفر تا پی است و در(یونانی) مقدار سینوس این زاویه.

بیایید این نقاط را در صفحه مختصات علامت گذاری کنیم. طبق PROPERTY 3 در بخش

[0; ] (از صفر تا پی دو) تابع y = sin x در قطعه [; ](از پی در دو به پی) و با اتصال نقاط به دست آمده با یک خط صاف، بخشی از نمودار بدست می آید.(شکل 1)

با استفاده از تقارن نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا، نموداری از تابع y = sin x را از قبل روی قطعه به دست می آوریم.

[-π; π ] (از منهای پی تا پی). (شکل 2)

به یاد بیاورید که sin(x + 2π) = sinx

(سینوس x به اضافه دو پی برابر با سینوس x است). این بدان معنی است که در نقطه x + 2π تابع y = sin x همان مقدار را در نقطه x می گیرد. و از آنجایی که (x + 2π) ε [π; 3π](x به اضافه دو پی متعلق به بخش از پی تا سه پی است)، اگر x ε[-π; π ]، سپس در بخش [π; 3π ] نمودار تابع دقیقاً شبیه به بخش [-π; π]. به طور مشابه، در بخش ها، [-3π; -π ] و به همین ترتیب، نمودار تابع y = sin x مانند قطعه به نظر می رسد

[-π; π].(شکل 3)

خطی که نمودار تابع y = sin x است موج سینوسی نامیده می شود. بخشی از موج سینوسی که در شکل 2 نشان داده شده است، موج سینوسی نامیده می شود، در حالی که در شکل 1، موج سینوسی یا نیم موج نامیده می شود.

با استفاده از نمودار ساخته شده، چند ویژگی دیگر از این تابع را یادداشت می کنیم.

خاصیت 6. تابع y = sin x یک تابع پیوسته است. به این معنی که نمودار تابع پیوسته است، یعنی هیچ پرش و سوراخی ندارد.

ویژگی 7. محدوده مقادیر تابع y = sin x قطعه [-1; 1] (از منهای یک به یک) یا می توان چنین نوشت: (e از ef برابر است با قطعه از منهای یک به یک).

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. معادله sin x = x + π را به صورت گرافیکی حل کنید (سینوس x برابر است با x به اضافه پی).

راه حل. بیایید نمودارهای تابع بسازیم y =گناه ایکسو y = x + π.

نمودار تابع y = sin x یک سینوسی است.

y = x + π یک تابع خطی است که نمودار آن یک خط مستقیم است که از نقاط با مختصات (0; π) و (- π ; 0) می گذرد.

نمودارهای ساخته شده دارای یک نقطه تقاطع هستند - نقطه B(- π; 0) (با مختصات منهای پی، صفر باشد). این به این معنی است که این معادله فقط یک ریشه دارد - آبسیسا نقطه B - -π. پاسخ: ایکس = - π.

در این درس نگاهی دقیق به تابع y = sin x، ویژگی‌های اصلی و نمودار آن خواهیم داشت. در ابتدای درس به تعریف تابع مثلثاتی y = sin t روی دایره مختصات می پردازیم و نمودار تابع را روی دایره و خط در نظر می گیریم. بیایید تناوب این تابع را در نمودار نشان دهیم و ویژگی های اصلی تابع را در نظر بگیریم. در پایان درس با استفاده از نمودار یک تابع و ویژگی های آن چندین مسئله ساده را حل می کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: تابع y=sinx، خصوصیات اساسی و نمودار آن

هنگام در نظر گرفتن یک تابع، مهم است که هر مقدار آرگومان را با یک مقدار تابع واحد مرتبط کنیم. این قانون مکاتباتو تابع نامیده می شود.

اجازه دهید قانون مطابقت را برای .

هر عدد حقیقی مربوط به یک نقطه از دایره واحد است.یک نقطه دارای یک مصداق است که به آن سینوس عدد می گویند (شکل 1).

هر مقدار آرگومان با یک مقدار تابع منفرد مرتبط است.

خواص آشکار از تعریف سینوس به دست می آید.

شکل نشان می دهد که زیرا ترتیب یک نقطه روی دایره واحد است.

نمودار تابع را در نظر بگیرید. اجازه دهید تفسیر هندسی استدلال را به یاد بیاوریم. آرگومان زاویه مرکزی است که با رادیان اندازه گیری می شود. در امتداد محور اعداد یا زوایا واقعی را بر حسب رادیان رسم می کنیم و در امتداد محور مقادیر مربوط به تابع را ترسیم می کنیم.

به عنوان مثال، یک زاویه روی دایره واحد مربوط به نقطه ای از نمودار است (شکل 2).

ما نموداری از تابع در ناحیه بدست آورده ایم اما با دانستن دوره سینوس می توانیم نمودار تابع را در کل دامنه تعریف به تصویر بکشیم (شکل 3).

دوره اصلی تابع به این معنی است که نمودار را می توان در یک بخش به دست آورد و سپس در کل دامنه تعریف ادامه داد.

ویژگی های تابع را در نظر بگیرید:

1) محدوده تعریف:

2) محدوده مقادیر:

3) تابع فرد:

4) کوچکترین دوره مثبت:

5) مختصات نقاط تقاطع نمودار با محور آبسیسا:

6) مختصات نقطه تقاطع گراف با محور مختصات:

7) فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد:

8) فواصل زمانی که تابع مقادیر منفی می گیرد:

9) افزایش فواصل:

10) کاهش فواصل:

11) حداقل امتیاز:

12) حداقل توابع:

13) حداکثر امتیاز:

14) حداکثر توابع:

ما به ویژگی های تابع و نمودار آن نگاه کردیم. هنگام حل مشکلات، از ویژگی ها مکرراً استفاده می شود.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی) - M.: Prosveshchenie، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (تدوین شده توسط M.I. Skanavi).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای برای دانش آموزان کلاس 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

ما متوجه شدیم که رفتار توابع مثلثاتی، و توابع y = گناه x به خصوص، در کل خط اعداد (یا برای همه مقادیر آرگومان ایکس) کاملاً با رفتار آن در بازه مشخص می شود 0 < ایکس < π / 2 .

بنابراین، ابتدا تابع را رسم می کنیم y = گناه x دقیقا در این فاصله

بیایید جدول زیر از مقادیر تابع خود را بسازیم.

با علامت گذاری نقاط مربوطه در صفحه مختصات و اتصال آنها با یک خط صاف، منحنی نشان داده شده در شکل را به دست می آوریم.

منحنی به دست آمده را می‌توان به صورت هندسی، بدون تهیه جدولی از مقادیر تابع، ساخت y = گناه x .

1. ربع اول یک دایره به شعاع 1 را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنید، مختصات نقاط تقسیم دایره سینوس های زوایای مربوطه است.

2. ربع اول دایره مربوط به زوایای 0 تا است π / 2 . بنابراین، در محور ایکسبیایید یک قطعه برداریم و آن را به 8 قسمت مساوی تقسیم کنیم.

3. خطوط مستقیم موازی با محورها رسم می کنیم ایکسو از نقاط تقسیم عمود می سازیم تا زمانی که با خطوط افقی تلاقی کنند.

4. نقاط تقاطع را با یک خط صاف وصل کنید.

حالا بیایید به فاصله زمانی نگاه کنیم π / 2 < ایکس < π .
هر مقدار آرگومان ایکساز این فاصله را می توان به صورت نمایش داد

ایکس = π / 2 + φ

جایی که 0 < φ < π / 2 . طبق فرمول های کاهش

گناه ( π / 2 + φ ) = cos φ = گناه ( π / 2 - φ ).

نقاط محور ایکسبا آبسیسا π / 2 + φ و π / 2 - φ متقارن با یکدیگر در مورد نقطه محور ایکسبا آبسیسا π / 2 ، و سینوس ها در این نقاط یکسان هستند. این به ما امکان می دهد نموداری از تابع را بدست آوریم y = گناه x در فاصله [ π / 2 , π ] به سادگی با نمایش متقارن نمودار این تابع در بازه نسبت به خط مستقیم ایکس = π / 2 .

در حال حاضر با استفاده از ملک تابع برابری فرد y = گناه x،

گناه (- ایکس) = - گناه ایکس,

رسم این تابع در بازه [- آسان است π , 0].

تابع y = sin x تناوبی با دوره 2π است ;. بنابراین برای ساخت کل نمودار این تابع کافی است منحنی نشان داده شده در شکل را به صورت دوره ای با نقطه به چپ و راست ادامه دهید. 2π .

منحنی حاصل نامیده می شود سینوسی . نمودار تابع را نشان می دهد y = گناه x.

شکل به خوبی تمام ویژگی های تابع را نشان می دهد y = گناه x ، که قبلا ثابت کرده ایم. اجازه دهید این خواص را یادآوری کنیم.

1) عملکرد y = گناه x برای همه مقادیر تعریف شده است ایکس ، بنابراین دامنه آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

2) عملکرد y = گناه x محدود. تمام مقادیری که می پذیرد بین 1- و 1 است که شامل این دو عدد می شود. در نتیجه، دامنه تغییرات این تابع توسط نابرابری -1 تعیین می شود < در < 1. وقتی ایکس = π / 2 + 2 هزار π تابع بزرگترین مقادیر برابر با 1 را می گیرد و برای x = - π / 2 + 2 هزار π - کوچکترین مقادیر برابر با - 1 است.

3) عملکرد y = گناه x فرد است (سینوسی نسبت به مبدا متقارن است).

4) عملکرد y = گناه x دوره ای با دوره 2 π .

5) در فواصل 2n π < ایکس < π + 2n π (n هر عدد صحیحی است) مثبت است و در فواصل زمانی π + 2 هزار π < ایکس < 2π + 2 هزار π (k هر عدد صحیحی است) منفی است. در x = k π تابع به صفر می رسد. بنابراین، این مقادیر آرگومان x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) تابع صفر نامیده می شوند y = گناه x

6) در فواصل زمانی - π / 2 + 2n π < ایکس < π / 2 + 2n π تابع y = گناه ایکس به صورت یکنواخت و در فواصل زمانی افزایش می یابد π / 2 + 2 هزار π < ایکس < 3π / 2 + 2 هزار π یکنواخت کاهش می یابد.

شما باید به رفتار تابع توجه ویژه ای داشته باشید y = گناه x نزدیک نقطه ایکس = 0 .

به عنوان مثال، sin 0.012 ≈ 0.012; sin(-0.05) ≈ -0,05;

گناه 2 درجه = گناه π 2 / 180 = گناه π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

در عین حال، باید توجه داشت که برای هر مقدار x

| گناه ایکس| < | x | . (1)

در واقع، بگذارید شعاع دایره نشان داده شده در شکل برابر با 1 باشد،
آ / AOB = ایکس.

بعد گناه کن ایکس= AC اما AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол ایکس. طول این کمان آشکارا برابر است با ایکس، از آنجایی که شعاع دایره 1 است. بنابراین، در 0< ایکس < π / 2

گناه x< х.

از این رو، به دلیل عجیب بودن تابع y = گناه x به راحتی می توان نشان داد که وقتی - π / 2 < ایکس < 0

| گناه ایکس| < | x | .

بالاخره کی ایکس = 0

| گناه x | = | x |.

بنابراین، برای | ایکس | < π / 2 نابرابری (1) ثابت شده است. در واقع این نابرابری برای | نیز صادق است ایکس | > π / 2 با توجه به اینکه | گناه ایکس | < 1، الف π / 2 > 1

تمرینات

1. بر اساس نمودار تابع y = گناه x تعیین: الف) گناه 2; ب) گناه 4; ج) گناه (-3).

2. طبق نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام عدد از بازه
[ - π / 2 , π / 2 ] دارای سینوس برابر با: الف) 0.6; ب) -0.8.

3. با توجه به نمودار تابع y = گناه x تعیین کنید کدام اعداد دارای سینوس هستند،
برابر با 1/2.

4. تقریباً (بدون استفاده از جداول) پیدا کنید: a) sin 1°; ب) گناه 0.03;
ج) گناه (-0.015); د) گناه (-2°30").

چگونه تابع y=sin x را رسم کنیم؟ ابتدا، بیایید به نمودار سینوس در بازه نگاه کنیم.

ما یک بخش 2 سلولی را در دفترچه یادداشت برداریم. در محور Oy یکی را علامت گذاری می کنیم.

برای راحتی، عدد π/2 را به 1.5 گرد می کنیم (و نه به 1.6، همانطور که قوانین گرد کردن لازم است). در این مورد، یک قطعه به طول π/2 مربوط به 3 سلول است.

در محور Ox ما نه بخش های منفرد، بلکه بخش هایی به طول π/2 (هر 3 سلول) را علامت گذاری می کنیم. بر این اساس، یک قطعه از طول π مربوط به 6 سلول، و یک قطعه به طول π/6 مربوط به 1 سلول است.

با این انتخاب یک قطعه واحد، نمودار نشان داده شده بر روی یک برگه دفترچه در یک جعبه تا حد امکان با نمودار تابع y=sin x مطابقت دارد.

بیایید جدولی از مقادیر سینوس در بازه ایجاد کنیم:

نقاط حاصل را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم:

از آنجایی که y=sin x یک تابع فرد است، نمودار سینوسی با توجه به مبدا متقارن است - نقطه O(0;0). با در نظر گرفتن این واقعیت، اجازه دهید نمودار را به سمت چپ، سپس نقاط -π را ادامه دهیم:

تابع y=sin x تناوبی با دوره T=2π است. بنابراین، نمودار تابعی که در بازه [-π;π] گرفته شده است، بی نهایت بار به سمت راست و چپ تکرار می شود.

درس و ارائه با موضوع: "تابع y=sin(x). تعاریف و خواص"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین Integral برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف ساخت و ساز تعاملی برای کلاس های 7-10
محیط نرم افزار "1C: Mathematical Constructor 6.1"

آنچه ما مطالعه خواهیم کرد:

ویژگی های تابع Y=sin(X).
نمودار تابع
نحوه ساخت نمودار و مقیاس آن
مثال ها.

خواص سینوس Y=sin(X)

بچه ها، ما قبلاً ملاقات کرده ایم توابع مثلثاتی استدلال عددی. آیا آنها را به خاطر می آورید؟

بیایید نگاه دقیق تری به تابع Y=sin(X) بیندازیم.

بیایید برخی از ویژگی های این تابع را بنویسیم:
1) دامنه تعریف مجموعه اعداد حقیقی است.
2) تابع فرد است. بیایید تعریف تابع فرد را به خاطر بسپاریم. یک تابع فرد نامیده می شود اگر تساوی برقرار باشد: y(-x)=-y(x). همانطور که از فرمول های شبح به یاد داریم: sin(-x)=-sin(x). این تعریف برآورده شده است، به این معنی که Y=sin(X) یک تابع فرد است.
3) تابع Y=sin(X) در قطعه افزایش می یابد و در قطعه کاهش می یابد [π/2; π]. وقتی در امتداد ربع اول حرکت می کنیم (در خلاف جهت عقربه های ساعت)، مقدار افزایش می یابد و وقتی در ربع دوم حرکت می کنیم کاهش می یابد.

4) تابع Y=sin(X) از پایین و از بالا محدود می شود. این خاصیت از این واقعیت ناشی می شود که
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) کوچکترین مقدار تابع -1 است (در x = - π/2+ πk). بزرگترین مقدار تابع 1 است (در x = π/2+ πk).

بیایید از خواص 1-5 برای رسم تابع Y=sin(X) استفاده کنیم. ما نمودار خود را به صورت متوالی و با استفاده از ویژگی های خود خواهیم ساخت. بیایید شروع به ساخت یک نمودار در بخش کنیم.

باید به مقیاس توجه ویژه ای شود. در محور ارتین، گرفتن یک قطعه واحد برابر با 2 سلول راحت تر است، و در محور آبسیسا، راحت تر است که یک قطعه واحد (دو سلول) برابر با π/3 بگیرید (شکل را ببینید).

رسم تابع سینوس x، y=sin(x)

بیایید مقادیر تابع را در بخش خود محاسبه کنیم:

بیایید با در نظر گرفتن ویژگی سوم، یک نمودار با استفاده از نقاط خود بسازیم.

جدول تبدیل فرمول های ارواح

بیایید از خاصیت دوم استفاده کنیم، که می گوید تابع ما فرد است، به این معنی که می توان آن را به صورت متقارن نسبت به مبدا منعکس کرد:

می دانیم که sin(x+2π) = sin(x). این بدان معنی است که در بازه [- π; π] نمودار شبیه به بخش [π; 3π] یا [-3π; - π] و غیره. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که نمودار شکل قبل را در کل محور x با دقت دوباره ترسیم کنیم.

نمودار تابع Y=sin(X) سینوسی نامیده می شود.

بیایید با توجه به نمودار ساخته شده چند ویژگی دیگر بنویسیم:
6) تابع Y=sin(X) در هر بخش از فرم افزایش می یابد: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk]، k یک عدد صحیح است و در هر بخش از شکل کاهش می‌یابد: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk]، k – عدد صحیح.
7) تابع Y=sin(X) یک تابع پیوسته است. بیایید به نمودار تابع نگاه کنیم و مطمئن شویم که تابع ما هیچ شکستی ندارد، این به معنای تداوم است.
8) محدوده مقادیر: بخش [- 1; 1]. این از نمودار تابع نیز به وضوح قابل مشاهده است.
9) تابع Y=sin(X) - تابع دوره ای. بیایید دوباره به نمودار نگاه کنیم و ببینیم که تابع در فواصل زمانی معین مقادیر یکسانی را می گیرد.

نمونه هایی از مشکلات سینوس

1. معادله sin(x)= x-π را حل کنید

راه حل: بیایید 2 نمودار از تابع بسازیم: y=sin(x) و y=x-π (شکل را ببینید).
نمودارهای ما در یک نقطه A (π; 0) قطع می شوند، این پاسخ است: x = π

2. تابع y=sin(π/6+x)-1 را رسم کنید

راه حل: نمودار مورد نظر با حرکت نمودار تابع y=sin(x) π/6 واحد به چپ و 1 واحد به پایین بدست می آید.

راه حل: بیایید تابع را رسم کنیم و بخش خود را [π/2; 5π/4].
نمودار تابع نشان می دهد که بزرگترین و کوچکترین مقادیر در انتهای بخش به ترتیب در نقاط π/2 و 5π/4 به دست می آیند.
پاسخ: sin(π/2) = 1 – بزرگترین مقدار، sin(5π/4) = کوچکترین مقدار.