هنگام در نظر گرفتن فضای اقلیدسی، تعریف فرم درجه دوم را معرفی کردیم. با استفاده از مقداری ماتریس

یک چند جمله ای مرتبه دوم از فرم ساخته شده است

که شکل درجه دوم تولید شده توسط یک ماتریس مربع نامیده می شود آ.

اشکال درجه دوم ارتباط نزدیکی با سطوح مرتبه دوم در فضای اقلیدسی n بعدی دارند. معادله کلی چنین سطوحی در فضای اقلیدسی سه بعدی ما در سیستم مختصات دکارتی به شکل زیر است:

خط بالایی چیزی بیش از شکل درجه دوم نیست، اگر x 1 =x، x 2 =y، x 3 =z قرار دهیم:

- ماتریس متقارن (a ij = a ji)

اجازه دهید برای کلیت فرض کنیم که چند جمله ای

یک فرم خطی وجود دارد. سپس معادله کلی سطح حاصل جمع یک فرم درجه دوم، یک شکل خطی و مقداری ثابت است.

وظیفه اصلی نظریه اشکال درجه دوم کاهش شکل درجه دوم به ساده ترین شکل ممکن با استفاده از تبدیل خطی غیر منحط متغیرها یا به عبارت دیگر تغییر مبنا است.

به یاد داشته باشیم که هنگام مطالعه سطوح مرتبه دوم، به این نتیجه رسیدیم که با چرخش محورهای مختصات می‌توانیم از شر جمله‌های حاوی حاصل ضرب xy، xz، yz یا x i x j (ij) خلاص شویم. علاوه بر این، با ترجمه موازی محورهای مختصات، می توانید از شر اصطلاحات خطی خلاص شوید و در نهایت معادله سطح عمومی را به شکل زیر کاهش دهید:

در مورد فرم درجه دوم، تقلیل آن به فرم

کاهش یک فرم درجه دوم به شکل متعارف نامیده می شود.

چرخش محورهای مختصات چیزی نیست جز جایگزینی یک پایه با پایه دیگر یا به عبارت دیگر تبدیل خطی.

بیایید شکل درجه دوم را به صورت ماتریسی بنویسیم. برای انجام این کار، بیایید آن را به صورت زیر تصور کنیم:

L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+

Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+

Z(a 13 x + a 23 y + a 33 z)

بیایید یک ماتریس - ستون را معرفی کنیم

سپس
- جایی کهX T =(x,y,z)

نمادگذاری ماتریسی فرم درجه دوم. این فرمول بدیهی است که در حالت کلی معتبر است:

شکل متعارف شکل درجه دوم بدیهی است که به این معنی است که ماتریس آظاهری مورب دارد:

اجازه دهید برخی از تبدیل خطی X = SY را در نظر بگیریم، که در آن S یک ماتریس مربع از مرتبه n است و ماتریس های - ستون های X و Y عبارتند از:

ماتریس S را ماتریس تبدیل خطی می نامند. اجازه دهید به طور گذراً توجه کنیم که هر ماتریس از مرتبه n با یک مبنای معین با یک عملگر خطی مشخص مطابقت دارد.

تبدیل خطی X = SY متغیرهای x 1, x 2, x 3 را با متغیرهای جدید y 1, y 2, y 3 جایگزین می کند. سپس:

جایی که B = S T A S

وظیفه کاهش به شکل متعارف به یافتن یک ماتریس انتقالی S خلاصه می شود به طوری که ماتریس B شکل مورب به خود می گیرد:

بنابراین، فرم درجه دوم با ماتریس آپس از تبدیل خطی متغیرها به شکل درجه دوم از متغیرهای جدید با ماتریس تبدیل می شود که در.

بیایید به عملگرهای خطی بپردازیم. هر ماتریس A برای یک مبنای معین مربوط به یک عملگر خطی خاص است آ . این عملگر به وضوح دارای سیستم خاصی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه است. علاوه بر این، توجه می کنیم که در فضای اقلیدسی سیستم بردارهای ویژه متعامد خواهد بود. ما در سخنرانی قبلی ثابت کردیم که در مبنای بردار ویژه، ماتریس یک عملگر خطی شکل مورب دارد. همانطور که به یاد داریم، فرمول (*)، فرمول تبدیل ماتریس یک عملگر خطی هنگام تغییر پایه است. فرض کنید بردارهای ویژه عملگر خطی آ با ماتریس A - اینها بردارهای y 1، y 2، ...، y n هستند.

و این بدان معنی است که اگر بردارهای ویژه y 1, y 2, ..., y n مبنا گرفته شود، ماتریس عملگر خطی در این مبنا مورب خواهد بود.

یا B = S -1 A S، که در آن S ماتریس انتقال از پایه اولیه است ( ه) به پایه ( y). علاوه بر این، در یک مبنای متعامد، ماتریس S متعامد خواهد بود.

که برای کاهش یک فرم درجه دوم به یک شکل متعارف، باید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی A را پیدا کرد که در پایه اصلی ماتریس A است که شکل درجه دوم را ایجاد می کند، به اساس بردارهای ویژه بروید. و شکل درجه دوم را در دستگاه مختصات جدید بسازید.

بیایید به نمونه های خاص نگاه کنیم. بیایید خطوط مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

یا

با چرخاندن محورهای مختصات و متعاقب آن ترجمه موازی محورها، می توان این معادله را به شکل کاهش داد (متغیرها و ضرایب دوباره طراحی می شوند x 1 = x، x 2 = y):

1)
اگر خط مرکزی باشد،  1  0،  2  0

2)
اگر خط غیر مرکزی باشد، یعنی یکی از  i = 0.

اجازه دهید انواع خطوط مرتبه دوم را به یاد بیاوریم. خطوط مرکزی:

خطوط خارج از مرکز:

5) x 2 = a 2 دو خط موازی.

6) x 2 = 0 دو خط ادغام;

7) y 2 = سهمی 2px.

موارد 1)، 2)، 7) مورد توجه ما هستند.

بیایید به یک مثال خاص نگاه کنیم.

معادله خط را به شکل متعارف بیاورید و آن را بسازید:

5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.

ماتریس فرم درجه دوم است
. معادله مشخصه:

ریشه های آن:

بیایید بردارهای ویژه را پیدا کنیم:

وقتی  1 = 4:
u 1 = -2u 2 ; u 1 = 2c، u 2 = -c یا g 1 = c 1 (2 من – ی).

وقتی  2 = 9:
2u 1 = u 2 ; u 1 = c، u 2 = 2c یا g 2 = c 2 ( من+2ی).

ما این بردارها را عادی می کنیم:

بیایید یک ماتریس تبدیل خطی یا یک ماتریس انتقال به پایه g 1, g 2 ایجاد کنیم:

- ماتریس متعامد!

فرمول های تبدیل مختصات به شکل زیر است:

یا

بیایید خطوط را در معادله خود جایگزین کنیم و به دست آوریم:

بیایید یک ترجمه موازی از محورهای مختصات انجام دهیم. برای این کار مربع های کامل x 1 و y 1 را انتخاب کنید:

بیایید نشان دهیم
. سپس معادله به شکل 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 یا

این یک بیضی با نیم محورهای 3 و 2 است. بیایید زاویه چرخش محورهای مختصات و جابجایی آنها را برای ایجاد یک بیضی در سیستم قدیمی تعیین کنیم.

پ تیز:

بررسی کنید: در x = 0: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 – 7y + 10 = 0. بنابراین y 1,2 = 5; 2

وقتی y = 0: 5x 2 – 32x + 80 = 0 هیچ ریشه ای در اینجا وجود ندارد، یعنی هیچ نقطه تقاطعی با محور وجود ندارد. ایکس!

یک شکل درجه دوم، اگر همه i.e.

هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل های خطی به شکل متعارف کاهش داد. در عمل معمولا از روش های زیر استفاده می شود.

1. تبدیل متعامد فضا:

جایی که - مقادیر ویژه ماتریس آ.

2. روش لاگرانژ - انتخاب متوالی مربع های کامل. به عنوان مثال، اگر

سپس یک روش مشابه با فرم درجه دوم انجام می شود و غیره اگر به صورت درجه دوم همه چیز باشد اما سپس پس از تبدیل اولیه، موضوع به رویه در نظر گرفته می شود. بنابراین، اگر، برای مثال، آنگاه فرض کنیم

3. روش ژاکوبی (در موردی که همه خردسالان اصلی شکل درجه دوم با صفر متفاوت است):

هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

علاوه بر این، ثابت های A و B در یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A ≠0، B ≠ 0 - خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

A = 0، B ≠0، C ≠0 (By + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Ox

B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy

B = C = 0، A ≠0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A = C = 0، B ≠0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

یک خط مستقیم در فضا را می توان مشخص کرد:

1) به عنوان خط تقاطع دو صفحه، یعنی. سیستم معادلات:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) با دو نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، سپس خط مستقیمی که از آنها می گذرد با معادلات به دست می آید:

= ; (3.3)

3) نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) متعلق به آن و بردار آ(m، n، p)، هم خط به آن. سپس خط مستقیم با معادلات تعیین می شود:

. (3.4)

معادلات (3.4) نامیده می شوند معادلات متعارف خط.

بردار آتماس گرفت بردار جهت مستقیم.

معادلات پارامتری خط را با معادل سازی هر یک از روابط (3.4) با پارامتر t بدست می آوریم:

x = x 1 +mt، y = y 1 + nt، z = z 1 + rt. (3.5)

حل سیستم (3.2) به عنوان یک سیستم معادلات خطی برای مجهولات ایکسو y، به معادلات خط در می رسیم طرح هاو یا به معادلات خط مستقیم داده شده:

x = mz + a، y = nz + b. (3.6)

از معادلات (3.6) می توانیم به معادلات متعارف برویم، پیدا کنیم zاز هر معادله و معادل سازی مقادیر به دست آمده:

.

از معادلات عمومی (3.2) اگر نقطه ای از این خط و بردار جهت آن پیدا کردید، می توانید به روش دیگری به سراغ معادلات متعارف بروید. n= [n 1 , n 2]، که در آن n 1 (A 1، B 1، C 1) و n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - بردارهای عادی صفحات داده شده. اگر یکی از مخرج ها m، nیا آردر معادلات (3.4) معلوم می شود که برابر با صفر است، پس از آن صورت کسر مربوطه باید برابر با صفر باشد، یعنی. سیستم

معادل سیستم است ; چنین خط مستقیمی عمود بر محور Ox است.

سیستم معادل سیستم x = x 1، y = y 1 است. خط مستقیم موازی با محور اوز است.

هر معادله درجه اول با توجه به مختصات x، y، z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

یک صفحه را تعریف می کند و بالعکس: هر صفحه ای را می توان با رابطه (3.1) نشان داد که به نام معادله هواپیما.

بردار n(A, B, C) متعامد به صفحه نامیده می شود بردار معمولیسطح. در رابطه (3.1) ضرایب A، B، C به طور همزمان برابر با 0 نیستند.

موارد خاص معادله (3.1):

1. D = 0، Ax+By+Cz = 0 - هواپیما از مبدأ عبور می کند.

2. C = 0، Ax+By+D = 0 - صفحه موازی با محور Oz است.

3. C = D = 0، Ax + By = 0 - هواپیما از محور Oz عبور می کند.

4. B = C = 0، Ax + D = 0 - صفحه موازی با صفحه Oyz است.

معادلات صفحات مختصات: x = 0، y = 0، z = 0.

یک خط مستقیم ممکن است متعلق به یک هواپیما باشد یا نباشد. اگر حداقل دو نقطه آن روی هواپیما باشد متعلق به هواپیما است.

اگر خطی متعلق به صفحه نباشد، می تواند موازی آن باشد یا آن را قطع کند.

یک خط موازی با یک صفحه است اگر با خط دیگری که در آن صفحه قرار دارد موازی باشد.

یک خط مستقیم می تواند یک صفحه را در زوایای مختلف قطع کند و به ویژه بر آن عمود باشد.

یک نقطه در رابطه با هواپیما را می توان به صورت زیر قرار داد: متعلق به آن یا عدم تعلق به آن. نقطه ای متعلق به صفحه ای است که روی یک خط مستقیم واقع در این صفحه قرار گیرد.

در فضا، دو خط می توانند همدیگر را قطع کنند، یا موازی باشند و یا متقاطع شوند.

موازی قطعات خط در پیش بینی ها حفظ می شود.

اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقاط تقاطع برجستگی های آنها به همین نام روی یک خط اتصال قرار می گیرند.

خطوط عبوری متعلق به یک هواپیما نیستند، یعنی. متقاطع یا موازی نباشند.

در نقاشی، پیش بینی خطوطی به همین نام، که جداگانه گرفته شده اند، دارای ویژگی های خطوط متقاطع یا موازی هستند.

بیضی.بیضی مکان هندسی نقاطی است که مجموع فواصل دو نقطه ثابت (کانون) برای تمام نقاط بیضی یک مقدار ثابت است (این مقدار ثابت باید بیشتر از فاصله بین کانون ها باشد).

ساده ترین معادله بیضی

جایی که آ- محور نیمه اصلی بیضی، ب- محور نیمه کوچک بیضی. اگر 2 ج- فاصله بین فوکوس ها، سپس بین آ, بو ج(اگر آ > ب) رابطه وجود دارد

آ 2 - ب 2 = ج 2 .

خروج از مرکز یک بیضی نسبت فاصله بین کانون های این بیضی به طول محور اصلی آن است.

بیضی دارای خروج از مرکز است ه < 1 (так как ج < آ) و کانون های آن روی محور اصلی قرار دارند.

معادله هذلولی که در شکل نشان داده شده است.

گزینه ها:
الف، ب - نیمه محورها؛
- فاصله بین فوکوس ها،
- غیرعادی بودن؛
- مجانبی؛
- سرکار خانم ها
مستطیل نشان داده شده در مرکز تصویر، مستطیل اصلی است و قطرهای آن مجانبی هستند.

این روش شامل انتخاب متوالی مربع های کامل به صورت درجه دوم است.

اجازه دهید شکل درجه دوم داده شود

به یاد بیاورید که به دلیل تقارن ماتریس

,

دو مورد احتمالی وجود دارد:

1. حداقل یکی از ضرایب مربع ها با صفر متفاوت است. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم (این را همیشه می توان با شماره گذاری مجدد مناسب متغیرها به دست آورد).

2. همه ضرایب

اما یک ضریب متفاوت از صفر وجود دارد (برای قطعیت، بگذارید باشد).

در مورد اولشکل درجه دوم را به صورت زیر تبدیل کنید:

,

و تمام اصطلاحات دیگر با نشان داده می شوند.

شکل درجه دوم متغیرهای (n-1) است.

با او همینطور رفتار می کنند و غیره.

توجه کنید که

مورد دومجایگزینی متغیرها

به اولی می رسد.

مثال 1: از طریق تبدیل خطی غیر منحط، شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهید.

راه حل. بیایید تمام اصطلاحات حاوی ناشناخته را جمع آوری کنیم و آنها را به یک مربع کامل اضافه کنید

.

(زیرا .)

یا

(3)

یا


(4)

و از ناشناخته
فرم شکل خواهد گرفت. بعد ما فرض می کنیم

یا

و از ناشناخته
فرم شکل متعارف به خود خواهد گرفت

اجازه دهید مساوات (3) را با توجه به حل کنیم
:

یا

اجرای متوالی تبدیل های خطی
و
، جایی که

,

ماتریس دارد

تبدیل خطی مجهولات
شکل درجه دوم می دهد به شکل متعارف (4). متغیرها
مرتبط با متغیرهای جدید
روابط

در کارگاه 2_1 با تجزیه LU آشنا شدیم

بیایید اظهارات کارگاه 2_1 را به خاطر بسپاریم

بیانیه(رجوع کنید به L.5، ص 176)

این اسکریپت برای درک نقش LU در روش لاگرانژ طراحی شده است؛ شما باید با استفاده از دکمه F9 در دفترچه یادداشت EDITOR با آن کار کنید.

و در وظایف پیوست شده در زیر، بهتر است توابع M خود را ایجاد کنید که به محاسبه و درک مسائل جبر خطی کمک می کند (در چارچوب این کار)

Ax=X."*A*X % شکل درجه دوم را می گیریم

Ax=simple(Ax) % آن را ساده کنید

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% تجزیه LU را بدون مرتب کردن مجدد ردیف های ماتریس A پیدا کنید

% هنگام تبدیل یک ماتریس به فرم سطحی

% بدون جایگشت ردیف، ماتریسی از M1 و U3 دریافت می کنیم

% U از A U3=M1*A به دست می آید،

% با این ماتریس تبدیل های ابتدایی

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% U3=M1*A را دریافت می کنیم، جایی که

4.0000 -2.0000 2.0000

% از M1 بدست آوردن L1 با تغییر علائم آسان است

% در ستون اول در همه سطرها به جز اولین.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 به گونه ای است که

A_=L1*U % این تجزیه LU است که ما نیاز داریم

% عناصر روی مورب اصلی U -

% ضرایب مربع های y i ^2 هستند

% به شکل درجه دوم تبدیل شده

% در مورد ما فقط یک ضریب وجود دارد

% به این معنی است که در مختصات جدید فقط 4y 1 2 مربع خواهد بود.

% برای باقیمانده ضرایب 0y 2 2 و 0y 3 2 برابر با صفر است

٪ ستون های ماتریس L1 تجزیه Y توسط X هستند

% در ستون اول y1=x1-0.5x2+0.5x3 را می بینیم

% برای ثانیه ما y2=x2 را می بینیم. با توجه به سومین y3=x3.

% اگر L1 منتقل شود،

% که T=L1 است."

% T - ماتریس انتقال از (X) به (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – ماتریس فرم درجه دوم تبدیل شده

% توجه کنید U=A2*L1." و A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% بنابراین، تجزیه A_=L1* A2*L1." یا A_=T."* A2*T را دریافت کردیم.

% تغییر متغیرها را نشان می دهد

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

% و نمایش فرم درجه دوم در مختصات جدید

A_=T."*A2*T % T=L1." ماتریس انتقال از (X) به (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % باید با A اصلی مطابقت داشته باشد

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % ماتریس انتقال از (Y) به (X) را پیدا کنید.

% بیایید تبدیل را پیدا کنیم،

% درجه دوم Ax=X."*A*X

% به نوع جدید Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% ماتریس تبدیل دوم،

% که کامپایل آن بسیار ساده تر است.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2، X=R*Z

R=Q1*Q2 % تبدیل خطی غیر منحط

% آوردن ماتریس عملگر به شکل متعارف.

det(R) % تعیین کننده برابر با صفر نیست - تبدیل غیر منحط است

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 خوب

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

بیایید الگوریتمی برای کاهش quads فرمول بندی کنیم شکل منطقی به شکل متعارف با تبدیل متعامد:

تعریف 10.4.نمای متعارفشکل درجه دوم (10.1) به شکل زیر گفته می شود: . (10.4)

اجازه دهید نشان دهیم که در مبنای بردارهای ویژه، شکل درجه دوم (10.1) شکل متعارفی به خود می گیرد. اجازه دهید

- بردارهای ویژه نرمال شده مربوط به مقادیر ویژه λ 1، λ 2، λ 3ماتریس (10.3) بر اساس متعارف. سپس ماتریس انتقال از پایه قدیمی به جدید ماتریس خواهد بود

. در مبنای جدید ماتریس آبه شکل مورب (9.7) (با خاصیت بردارهای ویژه) خواهد بود. بنابراین، تبدیل مختصات با استفاده از فرمول:

,

در مبنای جدید، شکل متعارف یک فرم درجه دوم را با ضرایب برابر با مقادیر ویژه به دست می آوریم. λ 1، λ 2، λ 3:

نکته 1. از نقطه نظر هندسی، تبدیل مختصات در نظر گرفته شده چرخشی از سیستم مختصات است که محورهای مختصات قدیمی را با محورهای جدید ترکیب می کند.

نکته 2. اگر هر یک از مقادیر ویژه ماتریس (10.3) منطبق باشد، می‌توانیم یک بردار واحد متعامد به هر یک از آنها به بردارهای ویژه متعامد مربوطه اضافه کنیم و بنابراین مبنایی ایجاد کنیم که در آن شکل درجه دوم شکل متعارف را به خود بگیرد.

اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف برسانیم

ایکس² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

ماتریس آن به شکلی است که در مثال مورد بحث در سخنرانی 9، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متعارف این ماتریس یافت می شوند:

بیایید یک ماتریس انتقال به پایه از این بردارها ایجاد کنیم:

(ترتیب بردارها طوری تغییر می کند که یک سه گانه سمت راست تشکیل می دهند). بیایید مختصات را با استفاده از فرمول ها تبدیل کنیم:

.

بنابراین، شکل درجه دوم با ضرایب برابر با مقادیر ویژه ماتریس فرم درجه دوم به شکل متعارف کاهش می یابد.

سخنرانی 11.

منحنی های مرتبه دوم بیضی، هذلولی و سهمی، خواص و معادلات متعارف آنها. کاهش یک معادله مرتبه دوم به شکل متعارف.

تعریف 11.1.منحنی های مرتبه دومدر یک صفحه خطوط تقاطع یک مخروط دایره ای با صفحاتی که از راس آن عبور نمی کنند نامیده می شود.

اگر چنین صفحه ای تمام ژنراتیک های یک حفره مخروط را قطع کند، در این بخش معلوم می شود بیضی، در تقاطع ژنراتیکس های هر دو حفره - هذلولی، و اگر صفحه برش موازی با هر ژنراتوری باشد، بخش مخروط است سهمی.

اظهار نظر. تمام منحنی های مرتبه دوم با معادلات درجه دوم در دو متغیر مشخص می شوند.

بیضی.

تعریف 11.2.بیضیمجموعه ای از نقاط صفحه است که مجموع فواصل دو نقطه ثابت برای آنهاست اف 1 و اف ترفندها، یک مقدار ثابت است.

اظهار نظر. وقتی نقاط بر هم منطبق می شوند اف 1 و اف 2 بیضی به دایره تبدیل می شود.

اجازه دهید با انتخاب سیستم دکارتی معادله بیضی را استخراج کنیم

y M(x,y)مختصات به طوری که محور اوهمنطبق با یک خط مستقیم اف 1 اف 2، شروع

مختصات r 1 r 2 - با وسط قطعه اف 1 اف 2. اجازه دهید طول این

قطعه برابر با 2 است با، سپس در سیستم مختصات انتخاب شده

F 1 O F 2 x اف 1 (-ج, 0), اف 2 (ج، 0). بگذارید نکته M(x، y) روی بیضی قرار دارد و

مجموع فواصل از آن تا اف 1 و اف 2 برابر 2 آ.

سپس r 1 + r 2 = 2آ، ولی ،

بنابراین، معرفی نماد ب² = آ²- ج² و پس از انجام تبدیل های جبری ساده، به دست می آوریم معادله بیضی متعارف: (11.1)

تعریف 11.3.عجیب و غریبیک بیضی را قدر می گویند e=s/a (11.2)

تعریف 11.4.مدیر مدرسه D iبیضی مربوط به کانون F i F iنسبت به محور OUعمود بر محور اوهدر فاصله a/eاز مبدا.

اظهار نظر. با انتخاب متفاوت سیستم مختصات، بیضی را می توان نه با معادله متعارف (11.1)، بلکه با یک معادله درجه دوم از نوع متفاوت مشخص کرد.

خواص بیضی:

1) بیضی دارای دو محور متقارن عمود بر هم (محورهای اصلی بیضی) و یک مرکز تقارن (مرکز بیضی) است. اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، محورهای اصلی آن محورهای مختصات و مرکز آن مبدا است. از آنجایی که طول قطعات تشکیل شده از تقاطع بیضی با محورهای اصلی برابر با 2 است. آو 2 ب (2آ>2ب) سپس محور اصلی که از کانون ها می گذرد، محور اصلی بیضی و دومین محور اصلی را محور فرعی می نامند.

2) تمام بیضی در مستطیل قرار دارد

3) خروج از مرکز بیضی ه< 1.

واقعا،

4) جهات بیضی در خارج از بیضی قرار دارند (از آنجایی که فاصله مرکز بیضی تا جهت است. a/e، آ ه<1, следовательно, a/e>aو کل بیضی در یک مستطیل قرار دارد)

5) نسبت فاصله r iاز نقطه بیضی تا فوکوس F iبه فاصله d iاز این نقطه تا جهت متناظر با کانون برابر است با خروج از مرکز بیضی.

اثبات

فواصل از نقطه M(x، y)تا کانون های بیضی را می توان به صورت زیر نشان داد:

بیایید معادلات Directrix را ایجاد کنیم:

(D 1), (D 2). سپس از اینجا r i / d i = e، چیزی بود که باید ثابت می شد.

هذلولی.

تعریف 11.5.هایپربولیمجموعه نقاطی در صفحه است که مدول اختلاف فاصله تا دو نقطه ثابت برای آنهاست اف 1 و اف 2 از این هواپیما، به نام ترفندها، یک مقدار ثابت است.

اجازه دهید معادله متعارف یک هذلولی را با قیاس با مشتق معادله یک بیضی، با استفاده از همان نماد، استخراج کنیم.

|r 1 - r 2 | = 2آ، از جایی که اگر نشان دهیم ب² = ج² - آ²، از اینجا می توانید دریافت کنید

- معادله هذلولی متعارف. (11.3)

تعریف 11.6.عجیب و غریبهذلولی را کمیت می گویند e = c/a.

تعریف 11.7.مدیر مدرسه D iهذلولی مربوط به کانون F i، به خط مستقیمی گفته می شود که در همان نیم صفحه قرار دارد F iنسبت به محور OUعمود بر محور اوهدر فاصله a/eاز مبدا.

ویژگی های هذلولی:

1) هذلولی دارای دو محور تقارن (محورهای اصلی هذلولی) و یک مرکز تقارن (مرکز هذلولی) است. در این حالت یکی از این محورها در دو نقطه با هذلولی قطع می شود که راس هذلولی نامیده می شود. به آن محور واقعی هذلولی (محور اوهبرای انتخاب متعارف سیستم مختصات). محور دیگر هیچ نقطه مشترکی با هذلولی ندارد و محور خیالی آن (در مختصات متعارف - محور) نامیده می شود. OU). در دو طرف آن شاخه های راست و چپ هذلولی قرار دارد. کانون های هذلولی روی محور واقعی آن قرار دارند.

2) شاخه های هذلولی دارای دو مجانب هستند که با معادلات تعیین می شوند

3) همراه با هذلولی (11.3)، می توانیم هذلولی مزدوج را در نظر بگیریم که با معادله متعارف تعریف شده است.

که با حفظ مجانب یکسان، محور واقعی و خیالی با هم عوض می‌شوند.

4) خروج از مرکز هذلولی ه> 1.

5) نسبت فاصله r iاز نقطه هذلولی تا تمرکز F iبه فاصله d iاز این نقطه تا جهت متناظر با کانون برابر است با خروج از مرکز هذلولی.

اثبات را می توان به همان روشی که برای بیضی انجام داد.

سهمی.

تعریف 11.8.سهمیمجموعه ای از نقاط روی صفحه است که فاصله آنها تا یک نقطه ثابت است افاین صفحه برابر است با فاصله تا یک خط مستقیم ثابت. نقطه افتماس گرفت تمرکزسهمی ها، و خط مستقیم آن است مدیر مدرسه.

برای استخراج معادله سهمی، دکارتی را انتخاب می کنیم

سیستم مختصات به طوری که مبدأ آن وسط باشد

D M(x,y) عمود بر FD، از تمرکز بر دستورالعمل حذف شده است

r su، و محورهای مختصات موازی و قرار گرفتند

عمود بر کارگردان طول قطعه را بگذارید FD

D O F x برابر است با آر. سپس از برابری r = dبه دنبال آن است

زیرا

با استفاده از تبدیل های جبری، این معادله را می توان به شکل زیر کاهش داد: y² = 2 px, (11.4)

تماس گرفت معادله سهمی متعارف. اندازه آرتماس گرفت پارامترسهمی ها

خواص سهمی:

1) سهمی دارای یک محور تقارن (محور سهمی) است. نقطه ای که سهمی محور را قطع می کند راس سهمی نامیده می شود. اگر سهمی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محور آن محور است اوه،و راس مبدأ مختصات است.

2) کل سهمی در نیم صفحه سمت راست هواپیما قرار دارد اوه

اظهار نظر. با استفاده از ویژگی های جهات بیضی و هذلولی و تعریف سهمی می توان جمله زیر را اثبات کرد:

مجموعه ای از نقاط در صفحه که رابطه برای آنها هفاصله از یک نقطه ثابت تا فاصله تا یک خط مستقیم یک مقدار ثابت است، بیضی است (با ه<1), гиперболу (при ه>1) یا سهمی (با ه=1).

اطلاعات مربوطه.